Bernoulli võrrand on üks kuulsamaid esimest järku mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid. See on vormis kirjutatud

Kus a(x) Ja b(x) on pidevad funktsioonid. Kui m= 0, siis Bernoulli võrrandist saab lineaarne diferentsiaalvõrrand. Juhul, kui m= 1, muutub võrrand eraldatavaks võrrandiks. Üldiselt, millal m≠ 0,1, Bernoulli võrrand taandatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks, kasutades asendust

Funktsiooni uus diferentsiaalvõrrand z(x) omab vormi

ja seda saab lahendada lehel Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid kirjeldatud meetodite abil.

BERNOULI MEETOD.

Vaadeldava võrrandi saab lahendada Bernoulli meetodiga. Selleks otsime algsele võrrandile lahendust kahe funktsiooni korrutise kujul: kus u, v- funktsioonid alates x. Eristage: asendage algse võrrandiga (1): (2) Nagu v Võtame võrrandi mis tahes nullist erineva lahendi: (3) Võrrand (3) on eraldatavate muutujatega võrrand. Pärast seda, kui leidsime selle konkreetse lahenduse v = v(x), asendage see punktiga (2). Kuna see vastab võrrandile (3), muutub sulgudes olev avaldis nulliks. Saame: See on ka eraldatav võrrand. Leiame selle üldlahenduse ja koos sellega ka algvõrrandi lahendi y = uv.

64. Võrrand summaarsetes diferentsiaalides. Integreeriv tegur. Lahendusmeetodid

Vormi esimest järku diferentsiaalvõrrand

helistas võrrand summaarsetes diferentsiaalides, kui selle vasak pool kujutab mõne funktsiooni kogudiferentsiaali, st.

Teoreem. Selleks, et võrrand (1) oleks võrrand summaarsetes diferentsiaalides, on vajalik ja piisav, et mõnes lihtsalt seotud muutujate muutumise piirkonnas on tingimus täidetud

Võrrandi (1) üldintegraal on kujul või

Näide 1. Lahendage diferentsiaalvõrrand.

Lahendus. Kontrollime, kas see võrrand on diferentsiaalvõrrand:

nii see on tingimus (2) on täidetud. Seega on see võrrand summaarsete diferentsiaalide võrrand ja

seetõttu kus on veel määratlemata funktsioon.

Integreerides saame . Leitud funktsiooni osatuletis peab olema võrdne, mis annab kust nii et Seega,.

Algse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal.

Mõne diferentsiaalvõrrandi integreerimisel saab termineid rühmitada nii, et saadakse kergesti integreeritavad kombinatsioonid.

65. Kõrgemat järku harilikud diferentsiaallineaarvõrrandid: homogeensed ja ebahomogeensed. Lineaarne diferentsiaaloperaator, selle omadused (koos tõestusega).

Lineaarne diferentsiaaloperaator ja selle omadused. Funktsioonide komplekt, mille intervall ( a , b ) mitte vähem n tuletised, moodustab lineaarruumi. Mõelge operaatorile L n (y ), mis kuvab funktsiooni y (x ), millel on tuletised, funktsiooniks, millel on k - n derivaadid.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid
ja Bernoulli võrrand

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis on lineaarne tundmatu funktsiooni ja selle tuletise suhtes. See näeb välja nagu

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kus p(x) ja q(x) on antud x funktsioonid, mis on pidevad piirkonnas, kuhu võrrand (1) tuleb integreerida.

Kui q(x)\equiv0 , siis nimetatakse võrrandit (1). lineaarne homogeenne. See on eraldatav võrrand ja sellel on üldine lahendus

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Inhomogeensele võrrandile võib leida üldlahenduse suvalise konstandi muutmise meetod, mis seisneb selles, et võrrandi (1) lahendust otsitakse kujul

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), kus C(x) on x-i uus tundmatu funktsioon.

Näide 1. Lahenda võrrand y"+2xy=2xe^(-x^2).

Lahendus. Kasutame konstantse variatsiooni meetodit. Vaatleme sellele mittehomogeensele võrrandile vastavat homogeenset võrrandit y"+2xy=0. See on eraldatavate muutujatega võrrand. Selle üldlahend on kujul y=Ce^(-x^2) .

Otsime mittehomogeensele võrrandile üldlahendust kujul y=C(x)e^(-x^2), kus C(x) on x tundmatu funktsioon. Asendades saame C"(x)=2x, kust C(x)=x^2+C. Seega on ebahomogeense võrrandi üldlahend y=(x^2+C)e^(-x^2), kus C on integratsiooni konstant.

Kommenteeri. Võib selguda, et diferentsiaalvõrrand on x-s y funktsioonina lineaarne. Sellise võrrandi normaalvorm on

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Näide 2. Lahenda võrrand \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Lahendus. See võrrand on lineaarne, kui käsitleme x-i y funktsioonina:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Kasutame suvalise konstandi muutmise meetodit. Esmalt lahendame vastava homogeense võrrandi

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

mis on eraldatavate muutujatega võrrand. Selle üldlahendusel on vorm x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Otsime võrrandi üldlahendust kujul , kus C(y) on y tundmatu funktsioon. Asendades saame

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y või C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Siit, osade kaupa integreerimine, on meil

\begin(joondatud)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y))))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(joondatud)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Selle võrrandi asendamine x=C(y)e^(\sin(y)), saame algse võrrandi üldlahenduse ja seega ka sellele võrrandile:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Algse võrrandi saab integreerida ka järgmiselt. Meie usume

y=u(x)v(x),

kus u(x) ja v(x) on x tundmatud funktsioonid, millest ühe, näiteks v(x), saab suvaliselt valida.

Asendades y=u(x)v(x) väärtusega , saame pärast teisendust

vu"+(pv+v")u=q(x).

Määrates v(x) tingimusest v"+pv=0, leiame siis alates vu"+(pv+v")u=q(x) funktsioon u(x) ja sellest tulenevalt võrrandi lahend y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). V(x)-na võime võtta võrrandi mis tahes sagedase lahendi v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Näide 3. Lahendage Cauchy probleem: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Lahendus. Otsime võrrandile üldist lahendit kujul y=u(x)v(x) ; meil on y"=u"v+uv". Asendades algsesse võrrandisse y ja y" avaldise, saame

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) või x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funktsiooni v=v(x) leiame tingimusest x(x-1)v"+v=0. Võttes viimase võrrandi mis tahes konkreetse lahendi, näiteks v=\frac(x)(x-1) ja selle asendades saame võrrandi u"=2x-1, millest leiame funktsiooni u(x)=x^2-x+C. Seetõttu võrrandi üldlahendus x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) tahe

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), või y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Kasutades algtingimust y|_(x=2)=4, saame võrrandi C leidmiseks 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, kust C=0; nii et Cauchy ülesande lahendus on funktsioon y=x^2.

Näide 4. On teada, et voolu i ja elektromotoorjõu E vahel on seos takistusega R ja iseinduktiivsusega L E=Ri+L\frac(di)(dt), kus R ja L on konstandid. Kui vaadelda E funktsiooni aja t, saame voolutugevuse i jaoks lineaarse ebahomogeense võrrandi:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Leia voolutugevus i(t) juhul, kui E=E_0=\tekst(konst) ja i(0)=I_0.

Lahendus. Meil on \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Selle võrrandi üldlahendusel on vorm i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Kasutades algtingimust (13), saame alates C=I_0-\frac(E_0)(R), seega on soovitud lahendus

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

See näitab, et hetkel t\to+\infty kaldub voolutugevus i(t) olema konstantne väärtus \frac(E_0)(R) .

Näide 5. Antakse lineaarse mittehomogeense võrrandi y"+p(x)y=q(x) integraalkõverate perekond C_\alfa.

Näidake, et lineaarvõrrandiga määratletud kõverate C_\alpha vastavate punktide puutujad ristuvad ühes punktis (joonis 13).

Lahendus. Vaatleme mis tahes kõvera puutujat C_\alpha punktis M(x,y).Punkti M(x,y) puutuja võrrand on kujul

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kus \xi,\eta on puutujapunkti praegused koordinaadid.

Definitsiooni järgi on x vastavates punktides konstantne ja y muutuv. Võttes sirge C_\alpha mis tahes puutuja vastavates punktides nende lõikepunkti S koordinaatide jaoks, saame

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

See näitab, et kõik kõverate C_\alpha puutujad vastavates punktides (x on fikseeritud) lõikuvad samas punktis

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Argumendi x kõrvaldamisel süsteemist saame punktide asukoha võrrandi S\koolon f(\xi,\eta)=0.

Näide 6. Leidke võrrandi lahendus y"-y=\cos(x)-\sin(x), mis vastab tingimusele: y on piiratud väärtusega y\to+\infty .

Lahendus. Selle võrrandi üldlahendus on y=Ce^x+\sin(x) . Kõik C\ne0 üldlahendusest saadud võrrandi lahendid on piiramata, kuna x\to+\infty korral on funktsioon \sin(x) piiratud ja e^x\to+\infty . Sellest järeldub, et sellel võrrandil on kordumatu lahendus y=\sin(x) , mis on piiratud punktiga x\to+\infty , mis saadakse üldlahendist C=0 .

Bernoulli võrrand

Bernoulli diferentsiaalvõrrand paistab nagu

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kus n\ne0;1 (n=0 ja n=1 korral on see võrrand lineaarne).

Muutuja asendamise kasutamine z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoulli võrrand taandatakse lineaarseks võrrandiks ja integreeritakse lineaarseks.

Näide 7. Lahendage Bernoulli võrrand y"-xy=-xy^3.

Lahendus. Jagage võrrandi mõlemad pooled y^3-ga:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Muutuva muudatuse tegemine \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", kus \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Pärast asendamist muutub viimane võrrand lineaarseks võrrandiks

-\frac(z")(2)-xz=-x või z"+2xz=2x, mille üldlahend on z=1+Ce^(-x^2).

Siit saame selle võrrandi üldise integraali

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) või y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Kommenteeri. Bernoulli võrrandit saab integreerida ka konstandi muutmise meetodil, nagu lineaarvõrrand, ja kasutades asendust y(x)=u(x)v(x) .

Näide 8. Lahendage Bernoulli võrrand xy"+y=y^2\ln(x). .

Lahendus. Kasutame suvalise konstandi muutmise meetodit. Vastava homogeense võrrandi xy"+y=0 üldlahend on kujul y=\frac(C)(x). Võrrandi üldlahendit otsime kujul y=\frac(C(x)) (x) , kus C(x) - uus tundmatu funktsioon. Asendades algse võrrandi, saame

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Funktsiooni C(x) leidmiseks saame eraldatavate muutujatega võrrandi, millest muutujaid eraldades ja integreerides leiame

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Paremnool~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Niisiis, algse võrrandi üldlahendus y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Mõned esimest järku mittelineaarsed võrrandid saab taandada lineaarseteks või Bernoulli võrranditeks, kasutades edukalt leitud muutujate muutust.

Näide 9. Lahenda võrrand y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujule y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Võrrandi mõlema poole jagamine 2\cos^2\frac(y)(2), saame \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operaatorinimi(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Asendamine \operaatorinimi(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) taandab selle võrrandi lineaarseks \frac(dz)(dx)+z=-x, mille üldlahend on z=1-x+Ce^(-x) .

Asendades z selle avaldisega y-s, saame selle võrrandi üldise integraali \operaatorinimi(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Mõnes võrrandis võib soovitud funktsioon y(x) olla integraalimärgi all. Nendel juhtudel on mõnikord võimalik seda võrrandit diferentseerimise teel taandada diferentsiaalvõrrandiks.

Näide 10. Lahenda võrrand x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Lahendus. Eristades selle võrrandi mõlemad pooled x-i suhtes, saame

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) või \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Diferentseerides uuesti x suhtes, saame lineaarse homogeense võrrandi y(x)\koolon suhtes

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) või x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Muutujaid eraldades ja integreerides leiame y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). See lahendus, mida saab hõlpsasti kontrollida, rahuldab algse võrrandi.

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis on lineaarne tundmatu funktsiooni ja selle tuletise suhtes. See näeb välja nagu

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kus p(x) ja q(x) on antud x funktsioonid, mis on pidevad piirkonnas, kuhu võrrand (1) tuleb integreerida.

Kui q(x)\equiv0 , siis nimetatakse võrrandit (1). lineaarne homogeenne. See on eraldatav võrrand ja sellel on üldine lahendus

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Inhomogeensele võrrandile võib leida üldlahenduse suvalise konstandi muutmise meetod, mis seisneb selles, et võrrandi (1) lahendust otsitakse kujul

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), kus C(x) on x-i uus tundmatu funktsioon.

Näide 1. Lahendage võrrand y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Lahendus. Kasutame konstantse variatsiooni meetodit. Vaatleme sellele mittehomogeensele võrrandile vastavat homogeenset võrrandit y"+2xy=0. See on eraldatavate muutujatega võrrand. Selle üldlahend on kujul y=Ce^(-x^2) .

Otsime mittehomogeensele võrrandile üldlahendust kujul y=C(x)e^(-x^2), kus C(x) on x tundmatu funktsioon. Asendades saame C"(x)=2x, kust C(x)=x^2+C. Seega on mittehomogeense võrrandi üldlahend y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , kus C - integratsioonikonstant.

Kommenteeri. Võib selguda, et diferentsiaalvõrrand on x-s y funktsioonina lineaarne. Sellise võrrandi normaalvorm on

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Näide 2. Lahenda võrrand \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Lahendus. See võrrand on lineaarne, kui käsitleme x-i y funktsioonina:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Kasutame suvalise konstandi muutmise meetodit. Esmalt lahendame vastava homogeense võrrandi

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

mis on eraldatavate muutujatega võrrand. Selle üldlahendusel on vorm x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Otsime võrrandi üldlahendust kujul x=C(y)e^(\sin(y)), kus C(y) on y tundmatu funktsioon. Asendades saame

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y või C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Siit, osade kaupa integreerimine, on meil

\begin(joondatud)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y))))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(joondatud)

Niisiis,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Asendades selle võrrandi x=C(y)e^(\sin(y)) , saame algse võrrandi üldlahenduse ja seega ka selle võrrandi:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Algse võrrandi saab integreerida ka järgmiselt. Meie usume

Y=u(x)v(x),

kus u(x) ja v(x) on x tundmatud funktsioonid, millest ühe, näiteks v(x), saab suvaliselt valida.

Asendades y=u(x)v(x) väärtusega , saame pärast teisendust

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Määrates v(x) tingimusest v"+pv=0, leiame siis vu"+(pv+v")u=q(x) järgi funktsiooni u(x) ja sellest tulenevalt ka lahendi y=uv võrrand \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). V(x)-na võime võtta võrrandi mis tahes sagedase lahendi v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Näide 3. Lahendage Cauchy probleem: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Lahendus. Otsime võrrandile üldist lahendit kujul y=u(x)v(x) ; meil on y"=u"v+uv". Asendades algsesse võrrandisse y ja y" avaldise, saame

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) või x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Funktsiooni v=v(x) leiame tingimusest x(x-1)v"+v=0. Võttes viimase võrrandi mis tahes konkreetse lahendi, näiteks v=\frac(x)(x-1) ja selle asendades saame võrrandi u"=2x-1, millest leiame funktsiooni u(x)=x^2-x+C. Seetõttu võrrandi üldlahendus x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) tahe

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), või y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Kasutades algtingimust y|_(x=2)=4, saame võrrandi C leidmiseks 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, kust C=0; nii et Cauchy ülesande lahendus on funktsioon y=x^2.

Näide 4. On teada, et voolu i ja elektromotoorjõu E vahel on seos takistusega R ja iseinduktiivsusega L E=Ri+L\frac(di)(dt), kus R ja L on konstandid. Kui vaadelda E funktsiooni aja t, saame voolutugevuse i jaoks lineaarse ebahomogeense võrrandi:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Leia voolutugevus i(t) juhul, kui E=E_0=\tekst(konst) ja i(0)=I_0.

Lahendus. Meil on \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Selle võrrandi üldlahendusel on vorm i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Kasutades algtingimust (13), saame alates C=I_0-\frac(E_0)(R), seega on soovitud lahendus

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

See näitab, et hetkel t\to+\infty kaldub voolutugevus i(t) olema konstantne väärtus \frac(E_0)(R) .

Näide 5. Antakse lineaarse mittehomogeense võrrandi y"+p(x)y=q(x) integraalkõverate perekond C_\alfa.

Näidake, et lineaarvõrrandiga määratletud kõverate C_\alpha vastavate punktide puutujad ristuvad ühes punktis (joonis 13).

Lahendus. Vaatleme mis tahes kõvera puutujat C_\alpha punktis M(x,y).Punkti M(x,y) puutuja võrrand on kujul

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kus \xi,\eta on puutujapunkti praegused koordinaadid.

Definitsiooni järgi on x vastavates punktides konstantne ja y muutuv. Võttes sirge C_\alpha mis tahes puutuja vastavates punktides nende lõikepunkti S koordinaatide jaoks, saame

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

See näitab, et kõik kõverate C_\alpha puutujad vastavates punktides ( x on fikseeritud) lõikuvad samas punktis

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right).

Argumendi x kõrvaldamisel süsteemist saame punktide asukoha võrrandi S\koolon f(\xi,\eta)=0.

Näide 6. Leidke võrrandi lahendus y"-y=\cos(x)-\sin(x), mis vastab tingimusele: y on piiratud väärtusega y\to+\infty .

Lahendus. Selle võrrandi üldlahendus on y=Ce^x+\sin(x) . Kõik C\ne0 üldlahendusest saadud võrrandi lahendid on piiramata, kuna x\to+\infty korral on funktsioon \sin(x) piiratud ja e^x\to+\infty . Sellest järeldub, et sellel võrrandil on kordumatu lahendus y=\sin(x) , mis on piiratud punktiga x\to+\infty , mis saadakse üldlahendist C=0 .

Bernoulli võrrand

Bernoulli diferentsiaalvõrrand paistab nagu

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kus n\ne0;1 (n=0 ja n=1 korral on see võrrand lineaarne).

Muutuja asendamise kasutamine z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoulli võrrand taandatakse lineaarseks võrrandiks ja integreeritakse lineaarseks.

Näide 7. Lahendage Bernoulli võrrand y"-xy=-xy^3.

Lahendus. Jagage võrrandi mõlemad pooled y^3-ga:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Muutuva muudatuse tegemine \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", kus \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Pärast asendamist muutub viimane võrrand lineaarseks võrrandiks

-\frac(z")(2)-xz=-x või z"+2xz=2x, mille üldlahend on z=1+Ce^(-x^2).

Siit saame selle võrrandi üldise integraali

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) või y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Kommenteeri. Bernoulli võrrandit saab integreerida ka konstandi muutmise meetodil, nagu lineaarvõrrand, ja kasutades asendust y(x)=u(x)v(x) .

Näide 8. Lahendage Bernoulli võrrand xy"+y=y^2\ln(x). .

Lahendus. Kasutame suvalise konstandi muutmise meetodit. Vastava homogeense võrrandi xy"+y=0 üldlahend on kujul y=\frac(C)(x). Võrrandi üldlahendit otsime kujul y=\frac(C(x)) (x) , kus C(x) - uus tundmatu funktsioon. Asendades algse võrrandi, saame

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Funktsiooni C(x) leidmiseks saame eraldatavate muutujatega võrrandi, millest muutujaid eraldades ja integreerides leiame

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Paremnool~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Niisiis, algse võrrandi üldlahendus y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Mõned esimest järku mittelineaarsed võrrandid saab taandada lineaarseteks või Bernoulli võrranditeks, kasutades edukalt leitud muutujate muutust.

Näide 9. Lahenda võrrand y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujule y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Võrrandi mõlema poole jagamine 2\cos^2\frac(y)(2), saame \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operaatorinimi(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Asendamine \operaatorinimi(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) taandab selle võrrandi lineaarseks \frac(dz)(dx)+z=-x, mille üldlahend on z=1-x+Ce^(-x) .

Asendades z selle avaldisega y-s, saame selle võrrandi üldise integraali \operaatorinimi(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Mõnes võrrandis võib soovitud funktsioon y(x) olla integraalimärgi all. Nendel juhtudel on mõnikord võimalik seda võrrandit diferentseerimise teel taandada diferentsiaalvõrrandiks.

Näide 10. Lahenda võrrand x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Lahendus. Eristades selle võrrandi mõlemad pooled x-i suhtes, saame

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) või Teabeallikas

Bernoulli võrrandi tunnused

Definitsioon 1

Esimest järku diferentsiaalvõrrand standardkujul $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, kus $P\left(x\right) )$ ja $Q\left(x\right)$ on pidevad funktsioonid ja $n$ on teatud arv, mida nimetatakse Jacob Bernoulli diferentsiaalvõrrandiks.

Sel juhul on numbrile $n$ kehtestatud piirangud:

• $n\ne 0$, kuna $n = 0$ juures on diferentsiaalvõrrand lineaarselt ebahomogeenne ja mingit muud erilahendusmeetodit sel juhul vaja ei ole;
• $n\ne 1$, kuna kui meil on üks $n$, siis on diferentsiaalvõrrand lineaarne homogeenne, mille lahendusmeetod on samuti teada.

Lisaks ei võeta konkreetselt arvesse Bernoulli diferentsiaalvõrrandi $y=0$ triviaalset lahendust.

Matemaatik Jacob Bernoulli diferentsiaalvõrrandit ei tohiks segi ajada Bernoulli seadusega, mis sai nime tema vennapoja onu, keda tuntakse Daniel Bernoulli nime all.

Märkus 1

Daniel Bernoulli on füüsik, kõige kuulsam muster, mille ta leidis, kirjeldab seost vedeliku voolu kiiruse ja rõhu vahel. Bernoulli seadus kehtib ka laminaarsete gaasivoogude puhul. Seda kasutatakse tavaliselt hüdraulika ja vedeliku dünaamikas.

Bernoulli võrrandi lahendamine lineaarseks ebahomogeenseks taandamise teel

Bernoulli diferentsiaalvõrrandi lahendamise peamine meetod on see, et teisenduste kaudu taandatakse see lineaarseks ebahomogeenseks. Need teisendused on järgmised:

1. Korrutame võrrandi arvuga $y^(-n) $ ja saame $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left (x\ paremale)$.
2. Rakendame asendust $z=y^(1-n) $ ja eristame seda võrdsust kompleksse astmefunktsioonina; saame $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$, kust $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. Asendame selle diferentsiaalvõrrandi väärtused $y^(1-n) $ ja $y^(-n) \cdot y"$ ja saame $\frac(z")(1-n) +P\left (x\right )\cdot z=Q\left(x\right)$ või $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\right )\cdot Q\left(x\right)$.

Saadud diferentsiaalvõrrand on funktsiooni $z$ suhtes lineaarselt ebahomogeenne, mille lahendame järgmiselt:

1. Arvutame integraali $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, kirjutame konkreetse lahenduse kujul $v\left(x\ right)=e ^(-I_(1) ) $, teostame lihtsustavaid teisendusi ja valime $v\left(x\right)$ jaoks kõige lihtsama nullist erineva variandi.
2. Arvutame integraali $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, mille järel kirjutame avaldise kujul $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$.
3. Kirjutame lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse kujul $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
4. Pöördume tagasi funktsiooni $y$ juurde, asendades $z$ väärtusega $y^(1-n)$ ja vajadusel teostame lihtsustavaid teisendusi.

Näide:

Leia diferentsiaalvõrrandi $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ üldlahendus. Kirjutage üles konkreetne lahendus, mis rahuldab $x=1$ algtingimust $y=1$.

Sel juhul on meil Bernoulli diferentsiaalvõrrand esitatud standardkujul.

Sel juhul $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

Esitame selle kujul, mis puudutab asendust $z$:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ või $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$.

Saadud diferentsiaalvõrrand on lineaarselt ebahomogeenne funktsiooni $z$ suhtes, mille lahendame ülalkirjeldatud meetodil.

Arvutame integraali $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.

Meil on $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

Kirjutame konkreetse lahenduse kujul $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ ja teostame lihtsustavaid teisendusi: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ parem|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.

$v\left(x\right)$ jaoks valime kõige lihtsama nullist erineva variandi: $v\left(x\right)=x$.

Arvutame integraali $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $.

Kirjutame avaldise kujul $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, see tähendab $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Lõpuks kirjutame üles funktsiooni $z$ lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse kujul $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, see tähendab, $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Nüüd pöördume tagasi funktsiooni $y$ juurde, asendades $z$ väärtusega $y^(1-n)$:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ või $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

See on selle Bernoulli diferentsiaalvõrrandi üldlahendus, mis on kirjutatud kaudsel kujul.

Konkreetse lahenduse leidmiseks kasutame $x=1$ jaoks seda algtingimust $y=1$:

Seetõttu on osalahend järgmisel kujul: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac (x )(2) $.

Bernoulli diferentsiaalvõrrandi lahendamine asendusmeetodil

Bernoulli võrrandi teine ​​võimalik lahendus on asendusmeetod.

Näide:

Leia asendusmeetodi abil diferentsiaalvõrrandi $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ üldlahendus.

Rakendame asendust $y=u\cdot v$.

Pärast eristamist saame:

Funktsiooni $v\left(x\right)$ leiame võrrandist $v"+\frac(v)(x) =0$; selleks nihutame teise liikme paremale poole.

Saame:

$\frac(dv)(dx) =-\frac(v)(x) $;

eralda muutujad $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

integreerida $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, kust $v=\frac(1)(x) $.

Funktsioon $u\left(x\right)$ leitakse võrrandist $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, mis võtab arvesse $v=\frac(1)(x) $ ja $v"+\frac(v)(x) =0$.

Pärast lihtsaid teisendusi saame: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

Eraldame muutujad: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

Integreerime: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ või $\frac(1)( u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$.

Tuleme tagasi vana muutuja juurde. Arvestame, et $y=u\cdot v$ või $y=u\cdot \frac(1)(x) $, kust $u=x\cdot y$.

Saame selle diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.