Vektoreid saab graafiliselt esitada suunatud segmentidega. Pikkus valitakse tähistamiseks kindlal skaalal vektori suurusjärk , ja segmendi suund tähistab vektori suund . Näiteks kui eeldada, et 1 cm tähistab kiirust 5 km/h, siis 15 km/h kiirusega kirdetuult esindab 3 cm pikkuse suunalõiguga, nagu on näidatud joonisel.
Vektor tasapinnal on see suunatud segment. Kaks vektorit võrdne kui neil on sama suurus Ja suunas.
Vaatleme vektorit, mis on tõmmatud punktist A punkti B. Punkti kutsutakse alguspunkt vektor ja kutsutakse punkti B lõpp-punkt. Selle vektori sümboolne tähistus on (loe kui "vektor AB"). Vektoreid tähistatakse ka rasvaste tähtedega, nagu U, V ja W. Vasakpoolsel joonisel on neli vektorit sama pikkuse ja suunaga. Seetõttu esindavad nad võrdne tuuled; see on, 
Vektorite kontekstis kasutame = näitamaks, et need on võrdsed.
Pikkus või suurusjärk väljendatakse kui ||. Et teha kindlaks, kas vektorid on võrdsed, leiame nende suurused ja suunad.
Näide 1 Vektorid u, , w on näidatud alloleval joonisel. Tõesta, et u = = w. 
Lahendus Kõigepealt leiame kaugusvalemi abil iga vektori pikkuse:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Siit
|u| = | = |w|.
Vektorid u, , ja w, nagu jooniselt näha, näivad olevat ühesuunalised, kuid me kontrollime nende kallet. Kui joontel, millel need asuvad, on samad kalded, siis vektoritel on sama suund. Arvutame nõlvad: 
Kuna u, , ja w on võrdsed ja sama suund,
u = = w.
Pidage meeles, et võrdsed vektorid nõuavad ainult sama suurust ja sama suunda, mitte sama asukohta. Kõige ülemisel joonisel on vektori võrdsuse näide.
Oletame, et inimene astub 4 sammu itta ja seejärel 3 sammu põhja poole. Inimene on siis 5 sammu kaugusel alguspunktist vasakul näidatud suunas. 4 ühiku pikkune vektor paremale suunaga tähistab 4 sammu itta ja 3 ühikut pikkune vektor suunaga üles, mis tähistab 3 sammu põhja poole. Summa neist kahest vektorist on vektor, mille suurusjärk on 5 ja näidatud suunas. Summa nimetatakse ka tulemuseks kaks vektorit.
Üldiselt saab kaks nullist erinevat vektorit u ja v lisada geomeetriliselt, asetades vektori v alguspunkti vektori u lõpp-punkti ja seejärel leides vektori, millel on sama alguspunkt kui vektoril u ja sama lõpp. punkt vektorina v, nagu on näidatud alloleval joonisel. 
Summa on vektor, mida esindab suunatud segment vektori u punktist A vektori v lõpp-punkti C. Seega, kui u = ja v = , siis
u + v = + =
Vektorite liitmist võime kirjeldada ka kui vektorite alguspunktide kokku panemist, rööpküliku konstrueerimist ja rööpküliku diagonaali leidmist. (alloleval joonisel.) Seda lisamist nimetatakse mõnikord ka kui rööpküliku reegel
vektorite liitmine. Vektori lisamine on kommutatiivne. Nagu on näidatud joonisel, on mõlemad vektorid u + v ja v + u esindatud sama suunalõikega. 
Kui kaks jõudu F 1 ja F 2 mõjuvad ühele objektile, tulemuseks jõud on nende kahe eraldiseisva jõu F 1 + F 2 summa. 
Näide Kaks jõudu 15 njuutonit ja 25 njuutonit mõjuvad ühele objektile üksteisega risti. Leidke nende summa ehk saadud jõud ja nurk, mille see moodustab suurema jõuga.
Lahendus Joonistame ülesandetingimuse, antud juhul ristküliku, kasutades resultanti esitamiseks v või. Selle väärtuse leidmiseks kasutame Pythagorase teoreemi:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Siin |v| tähistab v pikkust või suurust.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
Suuna leidmiseks pange tähele, et kuna OAB on täisnurk,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Kalkulaatori abil leiame θ, nurga, mille suurem jõud teeb netojõuga:
θ = tan -1 (0,6) ≈ 31°
Tulemuse suurus on 29,2 ja nurk 31° suurema jõuga.
Piloodid saavad külgtuule korral oma lennusuunda reguleerida. Lennuki tuult ja kiirust saab kujutada tuultena.
Näide 3. Lennuki kiirus ja suund. Lennuk liigub mööda 100° asimuuti kiirusega 190 km/h, tuule kiirus on 48 km/h ja asimuut 220°. Leidke lennuki absoluutkiirus ja liikumise suund, võttes arvesse tuult.
Lahendus Kõigepealt teeme joonise. Tuul on kujutatud ja lennuki kiiruse vektor on . Saadud kiirusvektor on v, kahe vektori summa. Nurka θ v ja vahel nimetatakse triivi nurk
.
Pange tähele, et COA väärtus = 100° – 40° = 60°. Siis on ka CBA väärtus 60° (rööpküliku vastasnurgad on võrdsed). Kuna rööpküliku kõigi nurkade summa on 360° ning COB ja OAB on ühesuurused, peavad mõlemad olema 120°. Kõrval koosinusreegel
OAB-s on meil
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Siis |v| võrdub 218 km/h. Vastavalt siinuste reegel
, samas kolmnurgas,
48
/sinθ = 218
/patt 120°,
või
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Seejärel θ = 11° lähima täisarvu nurgani. Absoluutkiirus on 218 km/h ja selle liikumise suund tuult arvestades: 100° - 11° ehk 89°.
Kui on antud vektor w, leiame veel kaks vektorit u ja v, mille summa on w. Nimetatakse vektoreid u ja v komponendid w ja nende leidmise protsessi nimetatakse lagunemine või vektori esitus selle vektori komponentide järgi.
Vektorit laiendades otsime tavaliselt risti olevaid komponente. Väga sageli on aga üks komponent paralleelne x-teljega ja teine paralleelne y-teljega. Seetõttu nimetatakse neid sageli horisontaalne
Ja vertikaalne
vektori komponendid. Alloleval joonisel on vektor w = lagundatud u = ja v = summana. 
W horisontaalkomponent on u ja vertikaalkomponent v.
Näide 4 Vektori w suurus on 130 ja kalle horisontaaltasapinna suhtes 40°. Jagage vektor horisontaal- ja vertikaalkomponentideks.
Lahendus Kõigepealt joonistame pildi horisontaal- ja vertikaalvektoritega u ja v, mille summa on w. 
ABC-st leiame |u| ja |v|, kasutades koosinuse ja siinuse määratlusi:
cos40° = |u|/130 või |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 või |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Seejärel on w horisontaalne komponent 100 paremale ja w vertikaalkomponent 84 ülespoole.
Ruumi alus nad nimetavad sellist vektorite süsteemi, milles kõik teised ruumis olevad vektorid võivad olla kujutatud baasis sisalduvate vektorite lineaarse kombinatsioonina.
Praktikas rakendatakse seda kõike üsna lihtsalt. Alust kontrollitakse reeglina tasapinnal või ruumis ning selleks tuleb leida vektori koordinaatidest koosneva teist, kolmandat järku maatriksi determinant. Allpool on skemaatiliselt kirjutatud tingimused, mille korral vektorid moodustavad aluse
To laiendada vektor b baasvektoriteks
e,e...,e[n] on vaja leida koefitsiendid x, ..., x[n], mille vektorite lineaarne kombinatsioon e,e...,e[n] on võrdne vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Selleks tuleks vektorvõrrand teisendada lineaarvõrrandisüsteemiks ja leida lahendused. Seda on ka üsna lihtne rakendada.
Nimetatakse leitud koefitsiendid x, ..., x[n] vektori b koordinaadid baasis e,e...,e[n].
Liigume edasi teema praktilise poole juurde.
Vektori lagundamine baasvektoriteks
Ülesanne 1. Kontrollige, kas vektorid a1, a2 moodustavad tasapinnal aluse
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lahendus: Koostame vektorite koordinaatidest determinandi ja arvutame selle
Determinant ei ole null, järelikult vektorid on lineaarselt sõltumatud, mis tähendab, et nad moodustavad aluse.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Lahendus: Arvutame vektoritest koosneva determinandi 
Determinant on võrdne 13-ga (ei võrdu nulliga) - sellest järeldub, et vektorid a1, a2 on tasandi aluseks.
---=================---
Vaatame tüüpilisi näiteid MAUP programmist erialal "Kõrgmatemaatika".
2. ülesanne. Näidake, et vektorid a1, a2, a3 moodustavad kolmemõõtmelise vektorruumi aluse ja laiendage vektorit b vastavalt sellele alusele (kasutage lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamisel Crameri meetodit).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lahendus: kõigepealt vaatleme vektorite süsteemi a1, a2, a3 ja kontrollige maatriksi A determinanti
ehitatud nullist erinevale vektoritele. Maatriks sisaldab ühte nullelementi, seega on sobivam arvutada determinant ajakavana esimeses veerus või kolmandas reas. 
Arvutuste tulemusena leidsime, et determinant erineb seega nullist vektorid a1, a2, a3 on lineaarselt sõltumatud.
Definitsiooni järgi moodustavad vektorid R3 aluse. Kirjutame üles vektori b ajakava, mille alusel 
Vektorid on võrdsed, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed.
Seetõttu saame vektorvõrrandist lineaarsete võrrandite süsteemi 
Lahendame SLAE Crameri meetod. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vormile
SLAE põhideterminant on alati võrdne baasvektoritest koosneva determinandiga
Seetõttu praktikas seda kaks korda ei arvestata. Abideterminantide leidmiseks paneme peadeterminandi iga veeru asemele vabade terminite veeru. Determinandid arvutatakse kolmnurga reegli abil 
Asendame leitud determinandid Crameri valemiga 
Seega on vektori b laiendus aluse suhtes kujul b=-4a1+3a2-a3. Vektori b koordinaadid baasis a1, a2, a3 on (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lahendus: kontrollime vektorite baasi - koostame vektorite koordinaatidest determinandi ja arvutame selle 
Seetõttu ei ole determinant võrdne nulliga vektorid moodustavad ruumis aluse. Selle aluse kaudu jääb üle leida vektori b ajakava. Selleks kirjutame vektori võrrandi 
ja teisendada lineaarvõrrandisüsteemiks 
Kirjutame maatriksvõrrandi
Järgmisena leiame Crameri valemite jaoks abideterminandid 
Rakendame Crameri valemeid 
Seega on antud vektoril b ajakava läbi kahe baasvektori b=-2a1+5a3 ja selle koordinaadid baasis on võrdsed b(-2,0, 5).
Testiülesanded
Ülesanne 1 - 10. Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse ja leidke sellel alusel vektori koordinaadid:
Antud vektorid ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Näidake, et vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse ja leidke sellel alusel vektori X koordinaadid.
See ülesanne koosneb kahest osast. Kõigepealt tuleb kontrollida, kas vektorid moodustavad aluse. Vektorid moodustavad aluse, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev, vastasel juhul ei ole vektorid põhilised ja vektorit X ei saa selle aluse peale laiendada.
Arvutame maatriksi determinandi:
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Maatriksi determinant on ∆ =37
Kuna determinant on nullist erinev, moodustavad vektorid aluse, seega saab vektorit X laiendada üle selle aluse. Need. on arvud α 1, α 2, α 3, nii et võrdsus kehtib:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Kirjutame selle võrdsuse koordinaatide kujul:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Kasutades vektorite omadusi, saame järgmise võrdsuse:
(3;0;1) = (3α1;1α1;6α1 ;) + (-2α2;2α2;-3α2 ;) + (-4α3;5α3;-1α3 ;)
(3;0;1) = (3α1-2α2-4α3;1α1 + 2α2 + 5α3;6α1-3α2-1α3)
Vektorite võrdsuse omaduse järgi on meil:
3α1-2α2-4α3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α1-3α2-1α3 = 1
Lahendame saadud võrrandisüsteemi Gaussi meetod või Crameri meetod.
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Lahendus saadi ja töödeldi teenuse abil:
Vektori koordinaadid baasis
Lisaks sellele probleemile lahendavad nad ka:
Maatriksvõrrandite lahendamine
Crameri meetod
Gaussi meetod
Pöördmaatriks Jordano-Gaussi meetodil
Pöördmaatriks algebraliste komplementide kaudu
Online maatrikskorrutamine
Standardmääratlus: "Vektor on suunatud segment." See on tavaliselt koolilõpetaja teadmiste ulatus vektorite kohta. Kes vajab mingeid "suunalisi segmente"?
Aga tegelikult, mis on vektorid ja milleks need on?
Ilmateade. "Loodetuul, kiirus 18 meetrit sekundis." Nõus, nii tuule suund (kust see puhub) kui ka selle kiiruse suurus (st absoluutväärtus) on oluline.
Koguseid, millel pole suunda, nimetatakse skalaarideks. Massi, tööd, elektrilaengut pole kuhugi suunatud. Neid iseloomustab ainult arvväärtus - "mitu kilogrammi" või "mitu džauli".
Füüsikalisi suurusi, millel on mitte ainult absoluutväärtus, vaid ka suund, nimetatakse vektorsuurusteks.
Kiirus, jõud, kiirendus – vektorid. Nende jaoks on oluline “kui palju” ja “kus” on oluline. Näiteks gravitatsioonist tingitud kiirendus 
suunatud Maa pinnale ja selle magnituudiks on 9,8 m/s 2. Impulss, elektrivälja tugevus, magnetvälja induktsioon on samuti vektorsuurused.
Pea meeles, et füüsilisi suurusi tähistatakse ladina või kreeka tähtedega. Tähe kohal olev nool näitab, et suurus on vektor:
Siin on veel üks näide.
Auto liigub punktist A punkti B. Lõpptulemus on selle liikumine punktist A punkti B, see tähendab liikumine vektori võrra.
Nüüd on selge, miks vektor on suunatud segment. Pange tähele, et vektori lõpp on seal, kus on nool. Vektori pikkus nimetatakse selle segmendi pikkuseks. Näidatud: või
Seni oleme töötanud skalaarsuurustega, aritmeetika ja elementaaralgebra reeglite järgi. Vektorid on uus kontseptsioon. See on veel üks matemaatiliste objektide klass. Neil on omad reeglid.
Kunagi ei teadnud me numbritest midagi. Minu tutvus nendega sai alguse põhikoolis. Selgus, et numbreid saab omavahel võrrelda, liita, lahutada, korrutada ja jagada. Saime teada, et on olemas number üks ja number null.
Nüüd tutvustatakse meile vektoreid.
Vektorite jaoks ei eksisteeri mõisteid "rohkem" ja "vähem" - lõppude lõpuks võivad nende suunad olla erinevad. Võrrelda saab ainult vektorite pikkusi.
Kuid vektorite jaoks on olemas võrdsuse kontseptsioon.
Võrdne nimetatakse vektoreid, millel on sama pikkus ja suund. See tähendab, et vektori saab endaga paralleelselt üle kanda mis tahes punkti tasandis.
Vallaline on vektor, mille pikkus on 1. Null on vektor, mille pikkus on null, see tähendab, et selle algus langeb kokku lõpuga.
Kõige mugavam on töötada vektoritega ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis - samas, kus joonistame funktsioonide graafikud. Iga punkt koordinaatsüsteemis vastab kahele arvule – selle x- ja y-koordinaadid, abstsiss ja ordinaat.
Vektor määratakse ka kahe koordinaadiga:
Siin on sulgudesse kirjutatud vektori koordinaadid - x ja y.
Need leitakse lihtsalt: vektori lõpu koordinaat miinus selle alguse koordinaat.
Kui vektori koordinaadid on antud, leitakse selle pikkus valemiga
Vektori lisamine
Vektorite lisamiseks on kaks võimalust.
1 . Parallelogrammi reegel. Vektorite ja lisamiseks asetame mõlema lähtekohad samasse punkti. Ehitame üles rööpküliku ja samast punktist joonestame rööpküliku diagonaali. See on vektorite summa ja .
Kas mäletate muinasjutt luigest, vähist ja haugist? Nad püüdsid väga, kuid nad ei liigutanud kunagi käru. Lõppude lõpuks oli nende poolt vankrile rakendatud jõudude vektorsumma võrdne nulliga.
2. Teine viis vektorite lisamiseks on kolmnurga reegel. Võtame samad vektorid ja . Liidame teise alguse esimese vektori lõppu. Nüüd ühendame esimese alguse ja teise lõpu. See on vektorite ja .
Sama reeglit kasutades saate lisada mitu vektorit. Korraldame need üksteise järel ja ühendame seejärel esimese alguse viimase lõpuni.
Kujutage ette, et lähete punktist A punkti B, punktist B punkti C, punktist C punkti D, seejärel punkti E ja F. Nende toimingute lõpptulemus on liikumine punktist A punkti F.
Vektorite lisamisel saame:
Vektori lahutamine
Vektor on suunatud vektori vastassuunas. Vektorite ja pikkused on võrdsed.
Nüüd on selge, mis on vektorlahutamine. Vektorite erinevus ja on vektori ja vektori summa.
Vektori korrutamine arvuga
Kui vektorit korrutada arvuga k, saadakse vektor, mille pikkus erineb pikkusest k korda. See on vektoriga samasuunaline, kui k on suurem kui null, ja vastupidine, kui k on väiksem kui null.
Vektorite punktkorrutis
Vektoreid saab korrutada mitte ainult numbritega, vaid ka üksteisega.
Vektorite skalaarkorrutis on vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis.
Pange tähele, et me korrutasime kaks vektorit ja tulemuseks oli skalaar, see tähendab arv. Näiteks füüsikas võrdub mehaaniline töö kahe vektori – jõu ja nihke – skalaarkorrutisega:
Kui vektorid on risti, on nende skalaarkorrutis null.
Ja nii väljendatakse skalaarkorrutist vektorite koordinaatide kaudu ja:
Skalaarkorrutise valemist leiate vektorite vahelise nurga:
See valem on eriti mugav stereomeetrias. Näiteks matemaatika profiili ühtse riigieksami ülesandes 14 tuleb leida nurk lõikuvate sirgete või sirge ja tasandi vahel. Sageli vektormeetodülesanne 14 lahendatakse mitu korda kiiremini kui klassikaline.
Kooli matemaatika õppekavas õpetatakse ainult vektorite skalaarkorrutist.
Selgub, et lisaks skalaarkorrutisele on olemas ka vektorkorrutis, kui kahe vektori korrutamise tulemuseks on vektor. Kes rendib Füüsika ühtne riigieksam, teab, mis on Lorentzi jõud ja Ampere jõud. Nende jõudude leidmise valemid hõlmavad vektorkorrutisi.
Vektorid on väga kasulik matemaatiline tööriist. Seda näete oma esimesel aastal.
