Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus

Funktsiooni suurim väärtus on suurim, vähim väärtus on kõigist selle väärtustest väikseim.

Funktsioonil võib olla ainult üks suurim ja ainult üks väikseim väärtus või sellel võib üldse mitte olla. Pidevate funktsioonide suurima ja väikseima väärtuse leidmine põhineb nende funktsioonide järgmistel omadustel:

1) Kui teatud intervallis (lõplik või lõpmatu) funktsioon y=f(x) on pidev ja sellel on ainult üks ekstreemum ja kui see on maksimum (miinimum), siis on see funktsiooni suurim (väikseim) väärtus selles intervallis.

2) Kui funktsioon f(x) on teatud segmendis pidev, on sellel sellel lõigul tingimata suurim ja väikseim väärtus. Need väärtused saavutatakse kas lõigu sees asuvates äärmuspunktides või selle lõigu piiridel.

Segmendi suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks on soovitatav kasutada järgmist skeemi:

1. Leia tuletis.

2. Leia funktsiooni kriitilised punktid, kus =0 või ei eksisteeri.

3. Leidke funktsiooni väärtused kriitilistes punktides ja lõigu otstes ning valige nende hulgast suurim f max ja väikseim f max.

Otsustades rakendatud probleemid, eelkõige optimeerimine, oluline neil on ülesanded leida funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused (globaalne maksimum ja globaalne miinimum) intervallil X. Selliste ülesannete lahendamiseks tuleks tingimuse põhjal valida sõltumatu muutuja ja avaldada uuritav väärtus läbi see muutuja. Seejärel leidke saadud funktsiooni soovitud suurim või väikseim väärtus. Sel juhul määratakse ülesande tingimustest ka sõltumatu muutuja muutumise intervall, mis võib olla lõplik või lõpmatu.

Näide. Lahtise ülaosa kujuline reservuaar ristkülikukujuline rööptahukas kandilise põhjaga pead seest tinatama. Millised peaksid olema paagi mõõtmed, kui selle maht on 108 liitrit? vett, et selle tinatamise kulu oleks minimaalne?

Lahendus. Paagi tinaga katmise kulud on minimaalsed, kui antud mahu juures on selle pindala minimaalne. Tähistame a dm-ga aluse külge, b dm-ga paagi kõrgust. Siis on selle pinna pindala S võrdne

JA

Saadud seos loob seose reservuaari pindala S (funktsioon) ja aluse a külje vahel (argument). Uurime ekstreemumi funktsiooni S. Leiame esimese tuletise, võrdsustame selle nulliga ja lahendame saadud võrrandi:

Seega a = 6. (a) > 0, kui a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Näide. Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused intervallil.

Lahendus: Määratud funktsioon pidev kogu arvureal. Funktsiooni tuletis

Tuletis jaoks ja jaoks. Arvutame funktsiooni väärtused nendes punktides:

.

Funktsiooni väärtused antud intervalli otstes on võrdsed. Seetõttu on funktsiooni suurim väärtus võrdne at , funktsiooni väikseim väärtus on võrdne at .

Enesetesti küsimused

1. Sõnastage L'Hopitali reegel vormi määramatuste paljastamiseks. Nimekiri Erinevat tüüpi määramatused, mille puhul saab kasutada L'Hopitali reeglit.

2. Sõnasta funktsiooni suurenemise ja kahanemise tunnused.

3. Määratlege funktsiooni maksimum ja miinimum.

4. Sõnasta vajalik tingimus ekstreemumi olemasolu.

5. Milliseid argumendi väärtusi (milliseid punkte) nimetatakse kriitilisteks? Kuidas neid punkte leida?

6. Millised on piisavad tunnused funktsiooni ekstreemumi olemasolust? Joonistage skeem ekstreemumis oleva funktsiooni uurimiseks, kasutades esimest tuletist.

7. Joonistage skeem ekstreemumis oleva funktsiooni uurimiseks teise tuletise abil.

8. Defineeri kõvera kumerus ja nõgusus.

9. Mida nimetatakse funktsiooni graafiku käändepunktiks? Märkige meetod nende punktide leidmiseks.

10. Sõnasta kõvera kumeruse ja nõgususe vajalikud ja piisavad tunnused taga see segment.

11. Defineeri kõvera asümptoot. Kuidas leida vertikaalset, horisontaalset ja kaldus asümptoodid funktsioonigraafika?

12. Konspekt üldine skeem funktsiooni uurimine ja selle graafiku koostamine.

13. Sõnasta reegel funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks antud intervallil.

Ja selle lahendamiseks vajate teema kohta minimaalseid teadmisi. Järgmine lõpeb õppeaasta, kõik tahavad puhkusele minna ja selle hetke lähemale toomiseks asun kohe asja juurde:

Alustame piirkonnast. Tingimuses viidatud ala on piiratud suletud punktide kogum tasapinnal. Näiteks kolmnurgaga piiratud punktide kogum, sealhulgas TERVE kolmnurk (kui alates piirid"torgake välja" vähemalt üks punkt, siis piirkonda enam ei suleta). Praktikas on ka alasid, mis on ristkülikukujulised, ringikujulised ja veidi suuremad. keerulised kujundid. Tuleb märkida, et teoreetiliselt matemaatiline analüüs on antud ranged määratlused piirangud, isolatsioon, piirid jne., kuid ma arvan, et kõik on nendest mõistetest intuitiivsel tasandil teadlikud ja nüüd pole enam midagi vaja.

Tasast piirkonda tähistatakse tavaliselt tähega ja reeglina määratakse see analüütiliselt - mitme võrrandiga (mitte tingimata lineaarne); harvem ebavõrdsus. Tüüpiline sõnasõna: "suletud ala, joontega piiratud ».

Lahutamatu osa Kõnealune ülesanne on konstrueerida joonisel ala. Kuidas seda teha? Peate joonistama kõik loetletud jooned (in sel juhul 3 sirge) ja analüüsige juhtunut. Otsitav ala on tavaliselt kergelt varjutatud ja selle piir on tähistatud paksu joonega:


Sama ala saab määrata ka lineaarsed ebavõrdsused: , mis millegipärast kirjutatakse sageli pigem loendatava loeteluna kui süsteem.
Kuna piir kuulub piirkonnale, siis kõik ebavõrdsused muidugi lõtv.

Ja nüüd ülesande olemus. Kujutage ette, et telg väljub lähtepunktist otse teie poole. Mõelge funktsioonile, mis pidev igas ala punkt. Selle funktsiooni graafik kujutab mõnda pinnale, ja väike õnn on see, et tänase probleemi lahendamiseks ei pea me teadma, milline see pind välja näeb. See võib asuda kõrgemal, madalamal, ristuda tasapinnaga - see kõik ei oma tähtsust. Ja oluline on järgmine: vastavalt Weierstrassi teoreemid, pidev V piiratud suletud piirkonnas saavutab funktsioon suurima väärtuse (kõrgeim") ja kõige vähem (madalaim") väärtused, mis tuleb leida. Sellised väärtused saavutatakse või V statsionaarsed punktid, piirkonda kuuluvD , või punktides, mis asuvad selle piirkonna piiril. See toob kaasa lihtsa ja läbipaistva lahendusalgoritmi:

Näide 1

Piiratud koguses suletud ala

Lahendus: Kõigepealt peate joonisel kujutama ala. Kahjuks on mul tehniliselt keeruline probleemist interaktiivset mudelit teha ja seetõttu esitan kohe lõpliku illustratsiooni, millel on välja toodud kõik uurimistöö käigus leitud “kahtlased” punktid. Tavaliselt loetletakse need üksteise järel, kui need avastatakse:

Preambula põhjal saab otsuse mugavalt jagada kaheks punktiks:

I) Leidke statsionaarsed punktid. See on tavaline toiming, mida tegime tunnis korduvalt. mitme muutuja äärmuste kohta:

Leiti statsionaarne punkt kuulub alad: (märkige see joonisele), mis tähendab, et peaksime arvutama funktsiooni väärtuse antud punktis:

- nagu artiklis Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused segmendil, olulisi tulemusi Toon esile paksus kirjas. Neid on mugav pliiatsiga märkmikus jälgida.

Pöörake tähelepanu meie teisele õnnele – pole mõtet kontrollida ekstreemumi jaoks piisav tingimus. Miks? Isegi kui funktsioon mingil hetkel jõuab näiteks kohalik miinimum, siis see EI TÄHENDA, et saadud väärtus on minimaalne kogu piirkonnas (vt tunni algust tingimusteta äärmuste kohta) .

Mida teha, kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda? Peaaegu mitte midagi! Tuleb seda märkida ja liikuda järgmise punkti juurde.

II) Uurime piirkonna piiri.

Kuna ääris koosneb kolmnurga külgedest, on mugav uuring jagada 3 alajaotisesse. Kuid parem on seda mitte mingil juhul teha. Minu seisukohast on soodsam esmalt käsitleda segmente paralleelselt koordinaatteljed, ja ennekõike need, kes ise telgedel lebavad. Kogu toimingute jada ja loogika mõistmiseks proovige uurida lõppu "ühe hingetõmbega":

1) Tegeleme kolmnurga alumise küljega. Selleks asendage otse funktsiooniga:

Teise võimalusena saate seda teha järgmiselt:

Geomeetriliselt tähendab see seda koordinaattasand (mis on ka võrrandiga antud)"nikerdab" välja pinnad"ruumiline" parabool, mille tipus tekib kohe kahtlus. Uurime välja kus ta asub:

– saadud väärtus "kukkus" piirkonda ja võib hästi selguda, et hetkel (joonisel märgitud) funktsioon saavutab maksimumi või madalaim väärtus kogu piirkonnas. Ühel või teisel viisil teeme arvutused:

Teised “kandidaadid” on loomulikult segmendi otsad. Arvutame funktsiooni väärtused punktides (joonisel märgitud):

Siin, muide, saate teha suulise minikontrolli, kasutades "tühistatud" versiooni:

2) Uurimiseks parem pool asendame funktsiooniga kolmnurga ja "seame asjad järjekorda":

Siin teostame kohe ligikaudse kontrolli, "helistades" segmendi juba töödeldud lõppu:
, Suurepärane.

Geomeetriline olukord on seotud eelmine punkt:

- saadud väärtus "tuli ka meie huvide sfääri", mis tähendab, et peame arvutama, millega funktsioon ilmunud punktis võrdub:

Uurime segmendi teist otsa:

Funktsiooni kasutamine , teeme kontrollkontrolli:

3) Tõenäoliselt võib igaüks arvata, kuidas allesjäänud poolt uurida. Asendame selle funktsiooniga ja teeme lihtsustusi:

Segmendi lõpud on juba uuritud, kuid eelnõus kontrollime siiski, kas oleme funktsiooni õigesti leidnud :
– langes kokku esimese lõigu tulemusega;
– langes kokku teise lõigu tulemusega.

Jääb üle välja selgitada, kas segmendis on midagi huvitavat:

- Seal on! Asendades võrrandis sirge, saame selle "huvitava" ordinaat:

Märgime joonisele punkti ja leiame funktsioonile vastava väärtuse:

Kontrollime arvutusi "eelarve" versiooni abil :
, tellida.

Ja viimane samm: Vaatame HOOLIKALT läbi kõik “paksud” numbrid, soovitan algajatel koostada isegi ühe nimekirja:

mille hulgast valime välja suurima ja väikseima väärtuse. Vastus Kirjutame üles leidmise ülesande stiilis segmendi funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused:

Igaks juhuks kommenteerin uuesti geomeetriline tähendus tulemus:
- siin on kõige rohkem kõrgpunkt pinnad piirkonnas;
- siin on kõige rohkem madalpunkt piirkonna pinnad.

Analüüsitud ülesandes tuvastasime 7 “kahtlast” punkti, kuid nende arv on ülesandeti erinev. Kolmnurkse piirkonna jaoks koosneb minimaalne "uuringute kogum". kolm punkti. See juhtub siis, kui funktsioon näiteks määrab lennuk– on täiesti selge, et statsionaarseid punkte pole ja funktsioon võib saavutada oma maksimaalsed/väikseimad väärtused ainult kolmnurga tippudes. Kuid sarnaseid näiteid on ainult üks-kaks – tavaliselt tuleb mõnega leppida 2. järgu pind.

Kui proovite selliseid ülesandeid veidi lahendada, võivad kolmnurgad teie pea ringi käima panna ja seepärast valmistusin teie jaoks ebatavalised näited et see muutuks kandiliseks :))

Näide 2

Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused joontega piiratud kinnisel alal

Näide 3

Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused piiratud suletud piirkonnas.

Erilist tähelepanu Pöörake tähelepanu piirkonna piiri uurimise ratsionaalsele järjekorrale ja tehnikale, samuti vahekontrollide ahelale, mis väldib peaaegu täielikult arvutusvigu. Üldiselt võite seda lahendada nii, nagu soovite, kuid mõne probleemi puhul, näiteks näites 2, on kõik võimalused teie elu palju keerulisemaks muuta. Ligikaudne näidisülesannete lõpetamine tunni lõpus.

Süstematiseerime lahendusalgoritmi, muidu läks see minu kui ämbliku usinusega kuidagi 1. näite pika kommentaaride lõime kaduma:

– Esimese sammuna rajame ala, soovitav on see varjutada ja ääris paksu joonega esile tõsta. Lahendamise käigus tekivad punktid, mis tuleb joonisele märkida.

– Leidke statsionaarsed punktid ja arvutage funktsiooni väärtused ainult neis neist mis kuuluvad piirkonda. Toome tekstis esile saadud väärtused (näiteks ringige need pliiatsiga). Kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda, siis märgime selle fakti ikooniga või suuliselt. Kui statsionaarsed punktidüldse mitte, siis teeme kirjaliku järelduse, et need puuduvad. Igal juhul ei saa seda punkti vahele jätta!

– Uurime piirkonna piiri. Esiteks on kasulik mõista sirgeid, mis on paralleelsed koordinaattelgedega (kui neid üldse on). Samuti tõstame esile funktsioonide väärtused, mis on arvutatud "kahtlastes" punktides. Eespool on palju räägitud lahendustehnikast ja midagi muud räägitakse allpool - lugege, lugege uuesti, süvenege sellesse!

– Valige valitud numbrite hulgast suurim ja väikseim väärtus ning andke vastus. Mõnikord juhtub, et funktsioon jõuab selliste väärtusteni mitmes punktis korraga - sel juhul peaksid kõik need punktid vastuses kajastuma. Olgu näiteks ja selgus, et see on väikseim väärtus. Siis paneme selle kirja

Viimased näited on pühendatud teistele kasulikke ideid mis on praktikas kasulikud:

Näide 4

Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus suletud piirkonnas .

Olen säilitanud autori sõnastuse, milles pindala on antud topeltvõrratuse kujul. Selle tingimuse saab kirjutada samaväärse süsteemiga või selle probleemi jaoks traditsioonilisemal kujul:

Tuletan teile meelde, et sellega mittelineaarne kohtasime ebavõrdsust ja kui te ei mõista tähise geomeetrilist tähendust, siis palun ärge viivitage ja tehke olukord kohe selgeks;-)

Lahendus, nagu alati, algab ala ehitamisega, mis kujutab endast teatud tüüpi "talda":

Hmm, vahel tuleb närida mitte ainult teadusgraniiti...

I) Leidke statsionaarsed punktid:

Süsteem on idioodi unistus :)

Statsionaarne punkt kuulub piirkonda, nimelt asub selle piiril.

Ja nii, pole hullu... tund läks hästi – seda tähendabki õige tee joomine =)

II) Uurime piirkonna piiri. Ilma pikema jututa alustame x-teljega:

1) Kui , siis

Leiame, kus on parabooli tipp:
– hinda selliseid hetki – oled “tabanud” täpselt sinnamaani, kust kõik on juba selge. Kuid me ei unusta siiski kontrollimist:

Arvutame segmendi otstes oleva funktsiooni väärtused:

2) C põhja Mõelgem välja "põhjad" "ühe istungiga" - asendame need ilma kompleksideta funktsiooniga ja meid huvitab ainult segment:

Kontroll:

Juba see toob üksluisesse rihveldatud rajal sõitu omajagu elevust. Leiame kriitilised punktid:

Otsustame ruutvõrrand, kas mäletate sellest veel midagi? ...Kuid pidage muidugi meeles, muidu te ei loeks neid ridu =) Kui kahes eelmises näites arvutatakse kümnendkohad(mis on, muide, haruldane), siis ootavad meid siin tavalised harilikud murded. Leiame "X" juured ja kasutame võrrandit "kandidaat" punktide vastavate "mängu" koordinaatide määramiseks:


Arvutame leitud punktides funktsiooni väärtused:

Kontrollige funktsiooni ise.

Nüüd uurime hoolikalt võidetud karikaid ja paneme kirja vastama:

Need on “kandidaadid”, need on “kandidaadid”!

Selle ise lahendamiseks:

Näide 5

Leia väikseim ja kõrgeim väärtus funktsioonid suletud alal

Lokkis traksidega kirje kõlab järgmiselt: "punktide komplekt selline."

Mõnikord sisse sarnased näited kasutada Lagrange'i kordaja meetod, kuid selle kasutamiseks pole tõenäoliselt tõelist vajadust. Näiteks kui on antud funktsioon sama alaga “de”, siis pärast sellesse asendust – tuletisega raskusteta; Pealegi on kõik koostatud “ühele reale” (märkidega), ilma et oleks vaja ülemist ja alumist poolringi eraldi käsitleda. Aga loomulikult on neid rohkemgi keerulised juhtumid, kus ilma Lagrange'i funktsioonita (kus näiteks on sama ringi võrrand) Raske on läbi saada – nagu ka ilma korraliku puhkuseta on raske hakkama saada!

Head aega kõigile ja kohtumiseni järgmisel hooajal!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus: Kujutame ala joonisel:

Funktsiooni väikseimate ja suurimate väärtuste otsimine lõigul meenutab põnevat lendu ümber objekti (funktsiooni graafik) kopteris, tulistades teatud punktides kaugsuurtükist ja valides väga erilisi punkte. nendest punktidest kontrolllöökide jaoks. Punkte valitakse kindlal viisil ja vastavalt teatud reeglid. mis reeglite järgi? Sellest räägime edasi.

Kui funktsioon y = f(x) on pidev intervallil [ a, b] , siis jõuab see sellesse segmenti vähemalt Ja kõrgeimad väärtused . See võib juhtuda mõlemas äärmuslikud punktid või segmendi otstes. Seetõttu, et leida vähemalt Ja funktsiooni suurimad väärtused , pidev intervallil [ a, b], peate arvutama selle väärtused kokku kriitilised punktid ja segmendi otstes ning seejärel valige nende hulgast väikseim ja suurim.

Oletame näiteks, et soovite määrata funktsiooni suurima väärtuse f(x) segmendil [ a, b] . Selleks peate leidma kõik selle kriitilised punktid, mis asuvad [ a, b] .

Kriitiline punkt nimetatakse punktiks, kus funktsioon määratletud, ja tema tuletis kas võrdne nulliga või seda pole olemas. Seejärel peaksite arvutama funktsiooni väärtused kriitilistes punktides. Ja lõpuks tuleks võrrelda funktsiooni väärtusi kriitilistes punktides ja segmendi otstes ( f(a) Ja f(b)). Suurim neist numbritest saab olema funktsiooni suurim väärtus segmendil [a, b] .

Probleemid leidmisega funktsiooni väikseimad väärtused .

Otsime koos funktsiooni väikseimat ja suurimat väärtust

Näide 1. Leia funktsiooni väikseim ja suurim väärtus segmendil [-1, 2] .

Lahendus. Leidke selle funktsiooni tuletis. Võrdsustame tuletise nulliga () ja saame kaks kriitilist punkti: ja . Funktsiooni väikseima ja suurima väärtuse leidmiseks antud segmendil piisab, kui arvutada selle väärtused segmendi otstes ja punktis, kuna punkt ei kuulu segmenti [-1, 2]. Need funktsiooni väärtused on: , , . Sellest järeldub väikseim funktsiooni väärtus(alloleval graafikul punasega tähistatud), mis võrdub -7, saavutatakse lõigu paremas otsas - punktis , ja suurim(graafikul ka punane), võrdub 9, - kriitilises punktis.

Kui funktsioon on teatud intervallis pidev ja see intervall ei ole lõik (vaid on näiteks intervall; intervalli ja lõigu erinevus: intervalli piiripunktid ei sisaldu intervallis, vaid lõigu piiripunktid on lõigusse kaasatud), siis ei pruugi funktsiooni väärtuste hulgas olla kõige väiksem ja suurim. Näiteks alloleval joonisel kujutatud funktsioon on pidev ]-∞, +∞[ ja sellel pole kõige suuremat väärtust.

Kuid mis tahes intervalli (suletud, avatud või lõpmatu) puhul kehtib järgmine pidevate funktsioonide omadus.

Näide 4. Leia funktsiooni väikseim ja suurim väärtus segmendil [-1, 3] .

Lahendus. Jagatise tuletiseks leiame selle funktsiooni tuletise:

.

Võrdsustame tuletise nulliga, mis annab meile ühe kriitilise punkti: . See kuulub segmenti [-1, 3] . Funktsiooni väikseima ja suurima väärtuse leidmiseks antud segmendis leiame selle väärtused segmendi otstest ja leitud kriitilisest punktist:

Võrdleme neid väärtusi. Järeldus: võrdne -5/13, punktis ja kõrgeim väärtus võrdne 1-ga punktis .

Jätkame koos funktsiooni väikseimate ja suurimate väärtuste otsimist

On õpetajaid, kes funktsiooni väikseimate ja suurimate väärtuste leidmise teemal ei anna õpilastele lahendamiseks näiteid, mis on keerulisemad kui just käsitletud, st need, milles funktsioon on polünoom või murd, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid. Kuid me ei piirdu selliste näidetega, kuna õpetajate seas on neid, kellele meeldib sundida õpilasi täielikult mõtlema (tuletiste tabel). Seetõttu kasutatakse logaritmi ja trigonomeetrilist funktsiooni.

Näide 6. Leia funktsiooni väikseim ja suurim väärtus segmendil .

Lahendus. Leiame selle funktsiooni tuletise kui toote tuletis :

Võrdsustame tuletise nulliga, mis annab ühe kriitilise punkti: . See kuulub segmenti. Funktsiooni väikseima ja suurima väärtuse leidmiseks antud segmendis leiame selle väärtused segmendi otstest ja leitud kriitilisest punktist:

Kõigi toimingute tulemus: funktsioon saavutab oma minimaalse väärtuse, võrdub 0, punktis ja punktis ja kõrgeim väärtus, võrdne e², punktis.

Näide 7. Leia funktsiooni väikseim ja suurim väärtus segmendil .

Lahendus. Leidke selle funktsiooni tuletis:

Võrdsustame tuletise nulliga:

Ainus kriitiline punkt kuulub segmendile. Funktsiooni väikseima ja suurima väärtuse leidmiseks antud segmendis leiame selle väärtused segmendi otstest ja leitud kriitilisest punktist:

Järeldus: funktsioon saavutab oma minimaalse väärtuse, võrdne , punktis ja kõrgeim väärtus, võrdne , punktis .

Rakendatud äärmuslike ülesannete puhul taandub funktsiooni väikseimate (maksimaalsete) väärtuste leidmine reeglina miinimumi (maksimumi) leidmisele. Kuid praktilist huvi ei paku mitte miinimumid ega maksimumid ise, vaid need argumendi väärtused, millega need saavutatakse. Rakendusprobleemide lahendamisel tekib see lisaraskus- vaadeldavat nähtust või protsessi kirjeldavate funktsioonide koostamine.

Näide 8. 4-kohaline reservuaar, millel on rööptahuka kuju ruudukujuline alus ja ülevalt avatud, peate selle tinatama. Millised peaksid olema paagi mõõtmed, et see võtaks väikseim summa materjal?

Lahendus. Lase x- põhja pool, h- paagi kõrgus, S- selle pindala ilma katteta, V- selle maht. Paagi pindala väljendatakse valemiga, st. on kahe muutuja funktsioon. Väljendada Sühe muutuja funktsioonina kasutame asjaolu, et , kust . Leitud väljendi asendamine h valemisse S:

Uurime seda funktsiooni äärmuseni. See on määratletud ja diferentseeritav kõikjal ]0, +∞[ ja

.

Võrdsustame tuletise nulliga () ja leiame kriitilise punkti. Lisaks, kui tuletist pole olemas, kuid see väärtus ei sisaldu definitsioonipiirkonnas ega saa seetõttu olla äärmuspunkt. Niisiis, see on ainus kriitiline punkt. Kontrollime teise piisava märgi abil ekstreemumi olemasolu. Leiame teise tuletise. Kui teine ​​tuletis on suurem kui null (). See tähendab, et kui funktsioon jõuab miinimumini . Alates sellest miinimum on selle funktsiooni ainus äärmus, see on selle väikseim väärtus. Niisiis peaks paagi aluse külg olema 2 m ja selle kõrgus peaks olema .

Näide 9. Punktist A asub raudteeliinil, punktini KOOS, mis asub sellest eemal l, veos tuleb vedada. Kaaluühiku transportimise maksumus vahemaaühiku kohta raudteel on võrdne ja maanteel võrdne . Mis punktini M read raudtee kaubaveoks tuleks ehitada kiirtee A V KOOS oli kõige ökonoomsem (jagu AB eeldatakse, et raudtee on sirge)?

Selliste probleemide lahendamise standardalgoritm hõlmab pärast funktsiooni nullpunktide leidmist tuletise märkide määramist intervallidel. Seejärel arvutatakse väärtused leitud maksimaalsetes (või minimaalsetes) punktides ja intervalli piiril, olenevalt sellest, milline küsimus on tingimuses.

Soovitan teil asju veidi teisiti teha. Miks? Kirjutasin sellest.

Soovitan selliseid probleeme lahendada järgmisel viisil:

1. Leia tuletis.
2. Leia tuletise nullpunktid.
3. Määrake, millised neist kuuluvad see intervall.
4. Arvutame funktsiooni väärtused 3. sammu intervalli ja punktide piiridel.
5. Teeme järelduse (vastame esitatud küsimusele).

Esitatud näidete lahendamisel lahendust täpsemalt ei käsitletud ruutvõrrandid, peate seda suutma. Ka nemad peaksid teadma.

Vaatame näiteid:

77422. Leia funktsiooni y=x suurim väärtus 3 –3x+4 lõigul [–2;0].

Leiame tuletise nullid:

Punkt x = –1 kuulub tingimuses määratud intervalli.

Arvutame funktsiooni väärtused punktides –2, –1 ja 0:

Funktsiooni suurim väärtus on 6.

Vastus: 6

77425. Leia funktsiooni y = x 3 – 3x 2 + 2 väikseim väärtus lõigul.

Leiame antud funktsiooni tuletise:

Leiame tuletise nullid:

Punkt x = 2 kuulub tingimuses määratud intervalli.

Arvutame funktsiooni väärtused punktides 1, 2 ja 4:

Funktsiooni väikseim väärtus on –2.

Vastus: -2

77426. Leia funktsiooni y = x 3 – 6x 2 suurim väärtus lõigul [–3;3].

Leiame antud funktsiooni tuletise:

Leiame tuletise nullid:

Tingimuses määratud intervall sisaldab punkti x = 0.

Arvutame funktsiooni väärtused punktides –3, 0 ja 3:

Funktsiooni väikseim väärtus on 0.

Vastus: 0

77429. Leia lõigul funktsiooni y = x 3 – 2x 2 + x +3 väikseim väärtus.

Leiame antud funktsiooni tuletise:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Saame juured: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Tingimuses määratud intervall sisaldab ainult x = 1.

Leiame funktsiooni väärtused punktides 1 ja 4:

Leidsime, et funktsiooni väikseim väärtus on 3.

Vastus: 3

77430. Leia funktsiooni y = x 3 + 2x 2 + x + 3 suurim väärtus lõigul [– 4; -1].

Leiame antud funktsiooni tuletise:

Leiame tuletise nullid ja lahendame ruutvõrrandi:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Vaatame juured:

Tingimuses määratud intervall sisaldab juurt x = –1.

Funktsiooni väärtused leiame punktidest –4, –1, –1/3 ja 1:

Leidsime, et funktsiooni suurim väärtus on 3.

Vastus: 3

77433. Leia lõigul funktsiooni y = x 3 – x 2 – 40x +3 väikseim väärtus.

Leiame antud funktsiooni tuletise:

Leiame tuletise nullid ja lahendame ruutvõrrandi:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Vaatame juured:

Tingimuses määratud intervall sisaldab juurt x = 4.

Leidke funktsiooni väärtused punktides 0 ja 4:

Leidsime, et funktsiooni väikseim väärtus on –109.

Vastus: –109

Vaatleme võimalust määrata funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused ilma tuletiseta. Seda lähenemisviisi saab kasutada, kui teil on suuri probleeme. Põhimõte on lihtne - asendame kõik intervalli täisarvud funktsiooniga (fakt on see, et kõigis sellistes prototüüpides on vastus täisarv).

77437. Leia funktsiooni y=7+12x–x 3 väikseim väärtus lõigul [–2;2].

Asenduspunktid –2 kuni 2: Vaata lahendust

77434. Leia funktsiooni y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 suurim väärtus lõigul [–2;0].

See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Sageli on füüsikas ja matemaatikas vaja leida funktsiooni väikseim väärtus. Nüüd ütleme teile, kuidas seda teha.

Funktsiooni väikseima väärtuse leidmine: juhised

1. Väikseima väärtuse arvutamiseks pidev funktsioon antud segmendis peate järgima järgmist algoritmi:
2. Leia funktsiooni tuletis.
3. Leidke antud lõigul punktid, kus tuletis on võrdne nulliga, samuti kõik kriitilised punktid. Seejärel saate teada funktsiooni väärtused nendes punktides, see tähendab, et lahendage võrrand, kus x on võrdne nulliga. Uurige, milline väärtus on väikseim.
4. Määrake funktsiooni väärtus lõpp-punktid. Määrake funktsiooni väikseim väärtus nendes punktides.
5. Võrrelge saadud andmeid madalaima väärtusega. Saadud arvudest väiksem on funktsiooni väikseim väärtus.

Pange tähele, et kui segmendi funktsioonil pole väikseimad punktid, see tähendab, et antud segmendis see suureneb või väheneb. Seetõttu tuleks funktsiooni lõplike segmentide puhul arvutada väikseim väärtus.

Kõigil muudel juhtudel arvutatakse funktsiooni väärtus etteantud algoritmi järgi. Algoritmi igas punktis peate lahendama lihtsa lineaarvõrrandühe juurega. Vigade vältimiseks lahendage võrrand pildi abil.

Kuidas leida pooleldi avatud segmendil funktsiooni väikseim väärtus? Funktsiooni poolavatud või avatud perioodil tuleks väikseim väärtus leida järgmiselt. Funktsiooni väärtuse lõpp-punktides arvutage funktsiooni ühekülgne piir. Teisisõnu lahendage võrrand, kus suundumuspunktid on antud väärtustega a+0 ja b+0, kus a ja b on nimed kriitilised punktid.

Nüüd teate, kuidas leida funktsiooni väikseim väärtus. Peaasi on teha kõik arvutused õigesti, täpselt ja vigadeta.