2. Tõenäosusteooria alused
Oodatud väärtus
Vaatleme arvväärtustega juhuslikku muutujat. Sageli on kasulik seostada selle funktsiooniga arv - selle "keskväärtus" või, nagu öeldakse, "keskmine väärtus", "keskse tendentsi indeks". Mitmel põhjusel, millest mõned selguvad hiljem, kasutatakse matemaatilist ootust tavaliselt “keskmise väärtusena”.
3. definitsioon. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus X helistatud number
need. juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste kaalutud summa, mille kaalud on võrdsed vastavate elementaarsündmuste tõenäosustega.
Näide 6. Arvutame välja stantsi ülaosas oleva arvu matemaatilise ootuse. Definitsioonist 3 tuleneb otseselt, et
2. väide. Olgu juhuslik suurus X võtab väärtusi x 1, x 2,…, xm. Siis on võrdsus tõsi
(5)
need. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste kaalutud summa kaaludega, mis on võrdsed tõenäosusega, et juhuslik suurus võtab teatud väärtused.
Erinevalt punktist (4), kus summeerimine toimub otse elementaarsündmuste üle, võib juhuslik sündmus koosneda mitmest elementaarsündmusest.
Mõnikord võetakse seost (5) matemaatilise ootuse määratlusena. Kuid kasutades definitsiooni 3, nagu allpool näidatud, on lihtsam määrata reaalsete nähtuste tõenäosusmudelite koostamiseks vajalike matemaatilise ootuse omadusi kui seost (5).
Seose (5) tõestamiseks rühmitame (4) terminiteks, millel on juhusliku suuruse identsed väärtused:
Kuna konstantse teguri saab summa märgist välja võtta, siis
Sündmuse tõenäosuse määramisega
Kasutades kahte viimast seost, saame vajaliku:
Matemaatilise ootuse mõiste tõenäosus-statistilises teoorias vastab mehaanika raskuskeskme mõistele. Paneme selle punktidesse x 1, x 2,…, xm massiarvu teljel P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) vastavalt. Siis näitab võrdsus (5), et selle materiaalsete punktide süsteemi raskuskese langeb kokku matemaatilise ootusega, mis näitab definitsiooni 3 loomulikkust.
3. väide. Lase X- juhuslik väärtus, M(X)– selle matemaatiline ootus, A- teatud arv. Siis
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Selle tõestamiseks vaatleme esmalt juhuslikku suurust, mis on konstantne, s.t. funktsioon kaardistab elementaarsündmuste ruumi ühte punkti A. Kuna konstantse kordaja saab võtta summa märgist kaugemale, siis
Kui summa iga liige jagada kaheks liikmeks, jagatakse kogu summa kaheks summaks, millest esimene koosneb esimestest liikmetest ja teine teisest liikmest. Seetõttu on kahe juhusliku suuruse summa matemaatiline ootus X+Y, defineeritud samal elementaarsündmuste ruumil, on võrdne matemaatiliste ootuste summaga M(X) Ja M(U) need juhuslikud muutujad:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Ning seetõttu M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Nagu ülal näidatud, M(M(X)) = M(X). Seega M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Kuna (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , See M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Lihtsustame viimast võrdsust. Nagu on näidatud väite 3 tõestuse alguses, on konstandi matemaatiline ootus konstant ise ja seetõttu M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Kuna konstantse kordaja saab võtta summa märgist kaugemale, siis M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Viimase võrrandi parem pool on 0, sest nagu ülal näidatud, M(X-M(X))=0. Seega M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , mida oli vaja tõestada.
Eeltoodust järeldub, et M[(X- a) 2 ] jõuab miinimumini A, võrdne M[(X- M(X)) 2 ], juures a = M(X), kuna võrdsuse 3) teine liige on alati mittenegatiivne ja võrdub 0-ga ainult määratud väärtuse puhul A.
4. väide. Olgu juhuslik suurus X võtab väärtusi x 1, x 2,…, xm, ja f on mingi arvargumendi funktsioon. Siis
Selle tõestamiseks rühmitagem matemaatilist ootust defineeriva võrdsuse (4) paremale poolele samade väärtustega terminid:
Kasutades asjaolu, et konstantse teguri saab summa märgist välja võtta, ja juhusliku sündmuse tõenäosuse definitsiooni (2), saame
Q.E.D.
5. väide. Lase X Ja U– juhuslikud muutujad, mis on määratletud samas elementaarsündmuste ruumis, A Ja b- mõned numbrid. Siis M(aX+ kõrval)= olen(X)+ bM(Y).
Kasutades matemaatilise ootuse definitsiooni ja liitmissümboli omadusi, saame võrdsuste ahela:
Nõutav on tõestatud.
Eelnev näitab, kuidas matemaatiline ootus sõltub üleminekust teisele võrdluspunktile ja teisele mõõtühikule (üleminek Y=aX+b), samuti juhuslike muutujate funktsioonidele. Saadud tulemusi kasutatakse pidevalt tehnilises ja majanduslikus analüüsis, ettevõtte finantsmajandusliku tegevuse hindamisel, ühelt valuutalt teisele üleminekul välismajanduslikes arvutustes, regulatiivses ja tehnilises dokumentatsioonis jne. Vaatlusalused tulemused võimaldavad samade arvutusvalemite kasutamine erinevate parameetrite skaala ja nihke jaoks.
| Eelmine |
Diskreetsete ja pidevate juhuslike suuruste põhilised numbrilised karakteristikud: matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve. Nende omadused ja näited.
Jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid paljude probleemide puhul piisab püstitatud küsimusele vastamiseks teadmisest uuritava väärtuse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest). Vaatleme diskreetsete juhuslike suuruste peamisi arvulisi omadusi.
Definitsioon 7.1.Matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p lk.(7.1)
Kui juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv on lõpmatu, siis kui saadud seeria läheneb absoluutselt.
Märkus 1. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmine, kuna see on ligikaudu võrdne juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega paljudes katsetes.
Märkus 2. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim.
Märkus 3. Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on mitte-juhuslikud(pidev. Hiljem näeme, et sama kehtib ka pidevate juhuslike muutujate kohta.
Näide 1. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- standardosade arv kolme hulgast, mis on valitud 10 osast koosnevast partiist, sealhulgas 2 defektset. Loome jaotusseeria jaoks X. Probleemsetest tingimustest järeldub, et X võib võtta väärtused 1, 2, 3. Siis
Näide 2. Määrake juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- mündiviskamiste arv enne vapi esmakordset ilmumist. See suurus võib võtta lõpmatu arvu väärtusi (võimalike väärtuste kogum on naturaalarvude kogum). Selle jaotussarja vorm on:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (arvutamisel kasutati kahel korral lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa valemit: , kust ).
Matemaatilise ootuse omadused.
1) Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga:
M(KOOS) = KOOS.(7.2)
Tõestus. Kui arvestada KOOS diskreetse juhusliku muutujana, millel on ainult üks väärtus KOOS tõenäosusega R= 1, siis M(KOOS) = KOOS?1 = KOOS.
2) Konstantse teguri saab matemaatilise ootuse märgist välja võtta:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Tõestus. Kui juhuslik suurus X antud jaotussarjade kaupa
Siis M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = KOOS(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definitsioon 7.2. Nimetatakse kahte juhuslikku muutujat sõltumatu, kui ühe neist jaotusseadus ei sõltu sellest, milliseid väärtusi teine on võtnud. Muidu juhuslikud muutujad sõltuv.
Definitsioon 7.3. Helistame sõltumatute juhuslike muutujate korrutis X Ja Y juhuslik muutuja XY, mille võimalikud väärtused on võrdsed kõigi võimalike väärtuste korrutistega X kõigi võimalike väärtuste jaoks Y, ja vastavad tõenäosused on võrdsed tegurite tõenäosuste korrutistega.
3) Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Tõestus. Arvutuste lihtsustamiseks piirdume juhtumiga, kui X Ja Y võtke ainult kaks võimalikku väärtust:
Seega M(XY) = x 1 y 1 ?lk 1 g 1 + x 2 y 1 ?lk 2 g 1 + x 1 y 2 ?lk 1 g 2 + x 2 y 2 ?lk 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 lk 1 + x 2 lk 2) + + y 2 g 2 (x 1 lk 1 + x 2 lk 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 lk 1 + x 2 lk 2) = M(X)?M(Y).
Märkus 1. Samamoodi saate seda omadust tõestada suurema hulga tegurite võimalike väärtuste jaoks.
Märkus 2. Omadus 3 kehtib mis tahes arvu sõltumatute juhuslike muutujate korrutisele, mida tõestab matemaatiline induktsioon.
Definitsioon 7.4. Defineerime juhuslike muutujate summa X Ja Y juhusliku muutujana X+Y, mille võimalikud väärtused on võrdsed iga võimaliku väärtuse summadega X iga võimaliku väärtusega Y; selliste summade tõenäosused on võrdsed liikmete tõenäosuste korrutistega (sõltuvate juhuslike muutujate korral - ühe liikme tõenäosuse korrutis teise tingimusliku tõenäosusega).
4) Kahe juhusliku suuruse (sõltuva või sõltumatu) summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Tõestus.
Vaatleme uuesti omaduse 3 tõestuses antud jaotusrea abil defineeritud juhuslikke muutujaid. Seejärel võimalikud väärtused X+Y on X 1 + juures 1 , X 1 + juures 2 , X 2 + juures 1 , X 2 + juures 2. Tähistame nende tõenäosusi vastavalt kui R 11 , R 12 , R 21 ja R 22. Me leiame M(X+Y) = (x 1 + y 1)lk 11 + (x 1 + y 2)lk 12 + (x 2 + y 1)lk 21 + (x 2 + y 2)lk 22 =
= x 1 (lk 11 + lk 12) + x 2 (lk 21 + lk 22) + y 1 (lk 11 + lk 21) + y 2 (lk 12 + lk 22).
Tõestame seda R 11 + R 22 = R 1 . Tõepoolest, sündmus, mis X+Y võtab väärtusi X 1 + juures 1 või X 1 + juures 2 ja mille tõenäosus on R 11 + R 22 langeb kokku sündmusega, mis X = X 1 (selle tõenäosus on R 1). Sarnasel viisil on tõestatud, et lk 21 + lk 22 = R 2 , lk 11 + lk 21 = g 1 , lk 12 + lk 22 = g 2. Tähendab,
M(X+Y) = x 1 lk 1 + x 2 lk 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Kommenteeri. Atribuudist 4 järeldub, et suvalise arvu juhuslike muutujate summa on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga.
Näide. Leidke viie täringu viskamisel saadud punktide summa matemaatiline ootus.
Leiame ühe täringu viskamisel visatud punktide arvu matemaatilise ootuse:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Sama arv on võrdne mis tahes täringul visatud punktide arvu matemaatilise ootusega. Seetõttu vara 4 järgi M(X)=
Dispersioon.
Juhusliku muutuja käitumisest ettekujutuse saamiseks ei piisa ainult selle matemaatilise ootuse teadmisest. Mõelge kahele juhuslikule muutujale: X Ja Y, mis on määratud vormi jaotussarjaga
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| lk | 0,5 | 0,5 |
Me leiame M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Nagu näete, on mõlema suuruse matemaatilised ootused võrdsed, kuid kui HM(X) kirjeldab hästi juhusliku muutuja käitumist, olles selle kõige tõenäolisem võimalik väärtus (ja ülejäänud väärtused ei erine palju 50-st), siis väärtused Y oluliselt eemaldunud M(Y). Seetõttu on koos matemaatilise ootusega soovitav teada, kui palju juhusliku suuruse väärtused sellest kõrvale kalduvad. Selle indikaatori iseloomustamiseks kasutatakse dispersiooni.
Definitsioon 7.5.Dispersioon (hajumine) juhusliku suuruse puhul on selle matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise ruudu matemaatiline ootus:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
Leiame juhusliku suuruse dispersiooni X(standardosade arv valitud hulgas) käesoleva loengu näites 1. Arvutame iga võimaliku väärtuse ruudus hälbe matemaatilisest ootusest:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Seega
Märkus 1. Dispersiooni määramisel ei hinnata kõrvalekallet keskmisest, vaid selle ruutu. Seda tehakse selleks, et erinevate märkide kõrvalekalded üksteist ei tühistaks.
Märkus 2. Dispersiooni definitsioonist järeldub, et see suurus võtab ainult mittenegatiivseid väärtusi.
Märkus 3. Dispersiooni arvutamiseks on arvutusteks mugavam valem, mille paikapidavus on tõestatud järgmise teoreemiga:
Teoreem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Tõestus.
Kasutades mida M(X) on konstantne väärtus ja matemaatilise ootuse omadused, teisendame valemi (7.6) kujule:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), mida oli vaja tõestada.
Näide. Arvutame juhuslike suuruste dispersioonid X Ja Y arutatakse selle jaotise alguses. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Seega on teise juhusliku suuruse dispersioon mitu tuhat korda suurem kui esimese. Seega, isegi teadmata nende suuruste jaotusseadusi, saame teadaolevate dispersiooniväärtuste põhjal väita, et X kaldub oma matemaatilisest ootusest vähe kõrvale, samas kui jaoks Y see kõrvalekalle on üsna märkimisväärne.
Dispersiooni omadused.
1) Konstantse väärtuse dispersioon KOOS võrdne nulliga:
D (C) = 0. (7.8)
Tõestus. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Tõestus. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Tõestus. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Järeldus 1. Mitme üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja summa dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga.
Järeldus 2. Konstandi ja juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne juhusliku suuruse dispersiooniga.
4) Kahe sõltumatu juhusliku suuruse erinevuse dispersioon on võrdne nende dispersioonide summaga:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Tõestus. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Dispersioon annab juhusliku suuruse ruudus hälbe keskmisest väärtusest; Hälbe enda hindamiseks kasutatakse väärtust, mida nimetatakse standardhälbeks.
Definitsioon 7.6.Standardhälveσ juhuslik suurus X nimetatakse dispersiooni ruutjuureks:
Näide. Eelmises näites standardhälbed X Ja Y on vastavalt võrdsed
Juhuslike suuruste arvuliste karakteristikute hulgast tuleb esmajoones ära märkida need, mis iseloomustavad juhusliku suuruse asukohta arvteljel, s.o. näitavad mingit keskmist, ligikaudset väärtust, mille ümber on rühmitatud kõik juhusliku suuruse võimalikud väärtused.
Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame juhusliku suuruse teatud arvulisele omadusele, mis kirjeldab selle asukohta. numbriteljel, s.o. "positsiooni omadused".
Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse matemaatilisel ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.
Vaatleme diskreetset juhuslikku muutujat, millel on võimalikud väärtused tõenäosustega. Peame mõne numbriga iseloomustama juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Selleks on loomulik kasutada väärtuste nn “kaalutud keskmist” ning iga väärtust tuleks keskmistamisel arvesse võtta “kaaluga”, mis on võrdeline selle väärtuse tõenäosusega. Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise, mida tähistame:
või seda arvestades
. (5.6.1)
Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime arvesse tõenäosusteooria üht olulisemat mõistet – matemaatilise ootuse mõiste.
Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.
Pange tähele, et ülaltoodud sõnastuses kehtib matemaatilise ootuse määratlus rangelt võttes ainult diskreetsete juhuslike muutujate puhul; Allpool üldistame seda mõistet pidevate suuruste puhul.
Matemaatilise ootuse mõiste selgemaks muutmiseks pöördugem diskreetse juhusliku suuruse jaotuse mehaanilise tõlgendamise poole. Olgu abstsissteljel abstsissidega punktid, millesse massid on koondunud vastavalt ja . Ilmselgelt pole valemiga (5.6.1) defineeritud matemaatiline ootus midagi muud kui antud materiaalsete punktide süsteemi raskuskeskme abstsiss.
Juhusliku suuruse matemaatilist ootust ühendab omapärane sõltuvus suure arvu katsete jooksul juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku muutuja vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosuses läheneb) selle matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel.
Tõepoolest, kaaluge diskreetset juhuslikku muutujat, mida iseloomustab jaotusseeria:
Kus 
.
Tehke sõltumatud katsed, millest igaühes saab kogus teatud väärtuse. Oletame, et väärtus ilmus üks kord, väärtus ilmus üks kord ja väärtus ilmus üks kord. Ilmselgelt
Arvutame suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mida erinevalt matemaatilisest ootusest tähistame:
Kuid pole midagi muud kui sündmuse sagedus (või statistiline tõenäosus); seda sagedust saab määrata. Siis
,
need. juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine on võrdne juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste sageduste korrutistega.
Eksperimentide arvu suurenedes lähenevad sagedused (tõenäosuses koonduvad) vastavatele tõenäosustele. Järelikult läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosusega läheneb) selle matemaatilisele ootusele, kui katsete arv suureneb.
Eelpool sõnastatud seos aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu. Me anname selle seaduse täpse tõestuse 13. peatükis.
Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et mõned keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama suuruse vaatluste jada aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.
Paljude katsete keskmiste stabiilsust saab hõlpsasti katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel keha kaalumisel saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; Vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.
Matemaatilise ootuse valem (5.6.1) vastab diskreetse juhusliku suuruse korrale. Pideva suuruse korral väljendatakse matemaatilist ootust loomulikult mitte summana, vaid integraalina:
, (5.6.2)
kus on suuruse jaotustihedus .
Valem (5.6.2) saadakse valemist (5.6.1), kui selles olevad üksikud väärtused asendatakse pidevalt muutuva parameetriga x, vastavad tõenäosused - tõenäosuselemendiga ja lõppsumma - integraaliga. Tulevikus kasutame sageli seda meetodit katkendlike suuruste jaoks tuletatud valemite laiendamiseks pidevatele suurustele.
Mehaanilises tõlgenduses säilitab pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus sama tähenduse - raskuskeskme abstsiss juhul, kui mass jaotub piki abstsissi pidevalt, tihedusega . See tõlgendus võimaldab sageli lihtsate mehaaniliste kaalutluste põhjal leida matemaatilise ootuse integraali (5.6.2) arvutamata.
Eespool tutvustasime koguse matemaatilise ootuse tähistust. Paljudel juhtudel, kui kogus sisaldub valemites konkreetse numbrina, on seda mugavam tähistada ühe tähega. Nendel juhtudel tähistame väärtuse matemaatilist ootust järgmiselt:
Märgistust ja matemaatilisi ootusi kasutatakse edaspidi paralleelselt, sõltuvalt valemite konkreetse salvestamise mugavusest. Leppigem kokku ka sõnade “matemaatiline ootus” lühendamine tähtedega m.o.
Tuleb märkida, et positsiooni kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike muutujate puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest suurustest, mille jaoks matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb.
Vaatleme näiteks katkendlikku juhuslikku muutujat jaotusseeriaga:
Seda on lihtne kontrollida, s.t. jaotusseeria on mõttekas; summa aga lahkneb sel juhul ja seetõttu puudub väärtuse matemaatiline ootus. Kuid sellised juhtumid ei paku praktikale olulist huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud hulk võimalikke väärtusi ja loomulikult on neil matemaatiline ootus.
Eespool esitasime valemid (5.6.1) ja (5.6.2), mis väljendavad vastavalt katkendliku ja pideva juhusliku muutuja matemaatilist ootust.
Kui suurus kuulub segatüüpi suuruste hulka, väljendatakse selle matemaatilist ootust järgmise vormi valemiga:
, (5.6.3)
kus summa laieneb kõikidele punktidele, kus jaotusfunktsioon on katkendlik, ja integraal laieneb kõikidele aladele, kus jaotusfunktsioon on pidev.
Lisaks positsiooni kõige olulisematele tunnustele - matemaatilisele ootusele - kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsiooni tunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.
Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike suuruste kohta; pideva suuruse korral on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Leppigem kokku, et tähistame režiimi tähega . Joonisel fig. 5.6.1 ja 5.6.2 näitavad vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiimi.
Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, nimetatakse jaotust “multimodaalseks” (joonis 5.6.3 ja 5.6.4).
Mõnikord on jaotusi, mille keskel on pigem miinimum kui maksimum (joonis 5.6.5 ja 5.6.6). Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks". Antimodaalse jaotuse näide on näites 5, nr 5.1 saadud jaotus.
Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.
Sageli kasutatakse teist positsioonikarakteristikut – juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda katkendliku muutuja jaoks.
Juhusliku muutuja mediaan on selle väärtus, mille korral
need. sama tõenäoline on, et juhuslik suurus on väiksem või suurem kui . Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala jagatakse pooleks (joonis 5.6.7).
Tõenäosusteooria on matemaatika eriharu, mida õpivad ainult kõrgkoolide üliõpilased. Kas teile meeldivad arvutused ja valemid? Kas teid ei hirmuta väljavaade tutvuda diskreetse juhusliku suuruse normaaljaotuse, ansamblientroopia, matemaatilise ootuse ja dispersiooniga? Siis on see teema teile väga huvitav. Tutvume selle teadusharu mitme olulisema põhimõistega.
Meenutagem põhitõdesid
Isegi kui mäletate tõenäosusteooria lihtsamaid kontseptsioone, ärge jätke tähelepanuta artikli esimesi lõike. Asi on selles, et ilma selge arusaama põhitõdedest ei saa te allpool käsitletud valemitega töötada.
Niisiis, juhtub mõni juhuslik sündmus, mõni eksperiment. Tehtavate toimingute tulemusena võime saada mitmeid tulemusi – mõned neist esinevad sagedamini, teised harvemini. Sündmuse tõenäosus on ühte tüüpi tegelikult saadud tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhe. Ainult teades selle mõiste klassikalist definitsiooni, saate hakata uurima pidevate juhuslike muutujate matemaatilisi ootusi ja hajuvust.
Keskmine
Kooliajal, matemaatikatundides, hakkasite töötama aritmeetilise keskmisega. Seda mõistet kasutatakse tõenäosusteoorias laialdaselt ja seetõttu ei saa seda ignoreerida. Meie jaoks on hetkel peamine, et me seda juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemites kohtame.
Meil on arvude jada ja me tahame leida aritmeetilise keskmise. Meilt nõutakse vaid, et võtame kokku kõik saadaolevad ja jagame jada elementide arvuga. Olgu meil arvud 1 kuni 9. Elementide summa võrdub 45-ga ja me jagame selle väärtuse 9-ga. Vastus: - 5.
Dispersioon
Teaduslikus mõttes on dispersioon tunnuse saadud väärtuste aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete keskmine ruut. Seda tähistatakse ühe suure ladina tähega D. Mida on selle arvutamiseks vaja? Jada iga elemendi jaoks arvutame olemasoleva arvu ja aritmeetilise keskmise erinevuse ja selle ruuduga. Väärtusi on täpselt nii palju, kui võib olla selle sündmuse tulemusi, mida me kaalume. Järgmisena võtame kokku kõik saadud ja jagame jada elementide arvuga. Kui meil on viis võimalikku tulemust, jagage viiega.
Dispersioonil on ka omadusi, mida tuleb meeles pidada, et seda probleemide lahendamisel kasutada. Näiteks juhusliku suuruse suurendamisel X korda suureneb dispersioon X ruudus korda (st X*X). See ei ole kunagi väiksem kui null ega sõltu väärtuste nihutamisest võrdsetes kogustes üles või alla. Lisaks on sõltumatute katsete korral summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.
Nüüd peame kindlasti kaaluma näiteid diskreetse juhusliku suuruse dispersioonist ja matemaatilisest ootusest.
Oletame, et tegime 21 katset ja saime 7 erinevat tulemust. Me vaatlesime neid kõiki vastavalt 1, 2, 2, 3, 4, 4 ja 5 korda. Millega võrdub dispersioon?
Esmalt arvutame aritmeetilise keskmise: elementide summa on loomulikult 21. Jagage see 7-ga, saades 3. Nüüd lahutage igast algse jada arvust 3, ruudustage iga väärtus ja liidage tulemused kokku. Tulemuseks on 12. Nüüd ei pea me tegema muud, kui jagama arvu elementide arvuga ja tundub, et see on kõik. Aga seal on konks! Arutame seda.
Sõltuvus katsete arvust
Selgub, et dispersiooni arvutamisel võib nimetaja sisaldada ühte kahest numbrist: kas N või N-1. Siin on N tehtud katsete arv või jada elementide arv (mis on sisuliselt sama asi). Millest see oleneb?
Kui testide arvu mõõdetakse sadades, siis nimetajasse tuleb panna N. Kui ühikutes, siis N-1. Teadlased otsustasid piiri tõmmata üsna sümboolselt: täna läbib see arvu 30. Kui tegime vähem kui 30 katset, siis jagame summa N-1-ga ja kui rohkem, siis N-ga.
Ülesanne
Tuleme tagasi meie näite juurde dispersiooni ja matemaatilise ootuse probleemi lahendamisest. Saime vahenumbri 12, mis oli vaja jagada N või N-1-ga. Kuna tegime 21 katset, mis on vähem kui 30, siis valime teise variandi. Seega on vastus: dispersioon on 12/2 = 2.
Oodatud väärtus
Liigume edasi teise kontseptsiooni juurde, mida peame selles artiklis käsitlema. Matemaatiline ootus on kõigi võimalike tulemuste liitmise tulemus, mis on korrutatud vastavate tõenäosustega. Oluline on mõista, et saadud väärtus ja ka dispersiooni arvutamise tulemus saadakse kogu probleemi kohta ainult üks kord, olenemata sellest, kui palju tulemusi selles arvesse võetakse.
Matemaatilise ootuse valem on üsna lihtne: me võtame tulemuse, korrutame selle tõenäosusega, lisame sama teise, kolmanda tulemuse jne jaoks. Kõike selle mõistega seonduvat pole keeruline arvutada. Näiteks on eeldatavate väärtuste summa võrdne summa eeldatava väärtusega. Sama kehtib ka töö kohta. Mitte iga tõenäosusteooria suurus ei võimalda selliseid lihtsaid tehteid sooritada. Võtame ülesande ja arvutame kahe uuritud mõiste tähenduse korraga. Pealegi segas meid teooria – aeg on harjutada.
Üks näide veel
Tegime 50 katset ja saime 10 erinevat tüüpi tulemusi – numbreid 0 kuni 9 –, mis esinesid erineva protsendimääraga. Need on vastavalt: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Tuletage meelde, et tõenäosuste saamiseks peate protsendiväärtused jagama 100-ga. Seega saame 0,02; 0,1 jne. Toome näite juhusliku suuruse dispersiooni ja matemaatilise ootuse ülesande lahendamisest.
Aritmeetilise keskmise arvutame valemiga, mida mäletame põhikoolist: 50/10 = 5.
Nüüd teisendame tõenäosused tulemuste arvuks "tükkidena", et oleks lihtsam loendada. Saame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Igast saadud väärtusest lahutame aritmeetilise keskmise, misjärel ruudustame kõik saadud tulemused. Vaadake, kuidas seda teha, kasutades näitena esimest elementi: 1 - 5 = (-4). Järgmiseks: (-4) * (-4) = 16. Muude väärtuste puhul tehke need toimingud ise. Kui tegite kõik õigesti, saate pärast nende kõigi liitmist 90.
Jätkame dispersiooni ja eeldatava väärtuse arvutamist, jagades 90 N-ga. Miks valime N-1 asemel N? Õige, sest tehtud katsete arv ületab 30. Seega: 90/10 = 9. Saime dispersiooni. Kui saate teistsuguse numbri, ärge heitke meelt. Tõenäoliselt tegite arvutustes lihtsa vea. Kontrollige veel kord üle, mida kirjutasite, ja tõenäoliselt loksub kõik paika.
Lõpuks pidage meeles matemaatilise ootuse valem. Me ei anna kõiki arvutusi, kirjutame ainult vastuse, mida saate kontrollida pärast kõigi vajalike protseduuride sooritamist. Eeldatav väärtus on 5,48. Tuletagem vaid meelde, kuidas toiminguid teha, kasutades näitena esimesi elemente: 0*0.02 + 1*0.1... ja nii edasi. Nagu näete, korrutame tulemuse väärtuse lihtsalt selle tõenäosusega.
Hälve
Teine dispersiooni ja matemaatiliste ootustega tihedalt seotud mõiste on standardhälve. Seda tähistatakse kas ladina tähtedega sd või kreeka väiketähtedega "sigma". See kontseptsioon näitab, kui palju väärtused keskmiselt kesksest tunnusest kõrvale kalduvad. Selle väärtuse leidmiseks peate arvutama dispersiooni ruutjuure.
Kui joonistate normaaljaotuse graafiku ja soovite ruudus hälvet otse sellel näha, saab seda teha mitmes etapis. Võtke pool pildist režiimist vasakule või paremale (keskväärtus), tõmmake horisontaalteljega risti nii, et saadud kujundite alad oleksid võrdsed. Segmendi suurus jaotuse keskkoha ja sellest tuleneva projektsiooni vahel horisontaalteljele tähistab standardhälvet.
Tarkvara
Nagu valemite kirjeldustest ja toodud näidetest näha, ei ole dispersiooni ja matemaatilise ootuse arvutamine aritmeetilisest seisukohast kõige lihtsam protseduur. Et mitte aega raisata, on mõttekas kasutada kõrgkoolides kasutatavat programmi - selle nimi on “R”. Sellel on funktsioonid, mis võimaldavad arvutada paljude mõistete väärtusi statistikast ja tõenäosusteooriast.
Näiteks määrate väärtuste vektori. Seda tehakse järgmiselt: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Lõpuks
Dispersioon ja matemaatiline ootus on ilma milleta on raske tulevikus midagi välja arvutada. Ülikoolide loengute põhikursusel räägitakse neist juba aine õppimise esimestel kuudel. Just nende lihtsate mõistete mittemõistmise ja arvutamisoskuse tõttu hakkavad paljud tudengid kohe programmis maha jääma ja saavad hiljem sessi lõpus halbu hindeid, mis jätab nad ilma stipendiumidest.
Harjutage vähemalt üks nädal, pool tundi päevas, lahendades ülesandeid, mis on sarnased käesolevas artiklis esitatud ülesannetega. Seejärel saate mis tahes tõenäosusteooria testis näidetega hakkama ilma kõrvaliste näpunäidete ja petulehtedeta.
Nagu juba teada, iseloomustab jaotusseadus täielikult juhuslikku muutujat. Tihti on aga levitamisseadus teadmata ja tuleb piirduda vähema infoga. Mõnikord on isegi kasulikum kasutada juhuslikku suurust summaarselt kirjeldavaid arve; selliseid numbreid kutsutakse juhusliku suuruse arvkarakteristikud.Üks olulisi arvulisi tunnuseid on matemaatiline ootus.
Matemaatiline ootus, nagu allpool näidatud, on ligikaudu võrdne juhusliku suuruse keskmise väärtusega. Paljude ülesannete lahendamiseks piisab matemaatilise ootuse tundmisest. Näiteks kui on teada, et esimese laskuri punktide arvu matemaatiline ootus on suurem kui teise laskuri oma, siis esimene laskur kogub keskmiselt rohkem punkte kui teine ja seetõttu laseb ta paremini. kui teine. Kuigi matemaatiline ootus annab juhusliku suuruse kohta palju vähem teavet kui selle jaotuse seadus, piisab matemaatilise ootuse teadmisest ülaltoodud ja paljude teiste probleemide lahendamiseks.
§ 2. Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus
Matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa.
Olgu juhuslik suurus X saab võtta ainult väärtusi X 1 , X 2 , ..., X P , mille tõenäosused on vastavalt võrdsed R 1 , R 2 , . . ., R P . Siis matemaatiline ootus M(X) juhuslik muutuja X määrab võrdsus
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n lk n .
Kui diskreetne juhuslik suurus X võtab siis loendatava hulga võimalikke väärtusi
M(X)=
Veelgi enam, matemaatiline ootus on olemas, kui võrdsuse paremal poolel olevad jadad lähenevad absoluutselt.
Kommenteeri. Definitsioonist järeldub, et diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) suurus. Soovitame seda väidet meeles pidada, sest seda kasutatakse hiljem korduvalt. Hiljem näidatakse, et pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus on samuti konstantne väärtus.
Näide 1. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus X, teades selle leviku seadust:
Lahendus. Nõutav matemaatiline ootus on võrdne juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutistega:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Näide 2. Leidke sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus Aühel katsel, kui sündmuse tõenäosus A võrdne R.
Lahendus. Juhuslik väärtus X - sündmuse esinemiste arv Aühes testis - võib võtta ainult kaks väärtust: X 1 = 1 (sündmus A juhtus) tõenäosusega R Ja X 2 = 0 (sündmus A ei toimunud) tõenäosusega q= 1 -R. Nõutav matemaatiline ootus
M(X)= 1* lk+ 0* q= lk
Niisiis, matemaatiline ootus sündmuse esinemiste arvu kohta ühes katses on võrdne selle sündmuse tõenäosusega. Seda tulemust kasutatakse allpool.
§ 3. Matemaatilise ootuse tõenäosuslik tähendus
Las toodetakse P testid, milles juhuslik suurus X vastu võetud T 1 korda väärtus X 1 , T 2 korda väärtus X 2 ,...,m k korda väärtus x k , ja T 1 + T 2 + …+t To = lk. Seejärel kõigi võetud väärtuste summa X, võrdne
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X To T To .
Leiame aritmeetilise keskmise 
kõik juhusliku suurusega aktsepteeritud väärtused, mille jaoks jagame leitud summa testide koguarvuga:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X To T To)/P,
=
X 1
(m 1 /
n)
+
X 2
(m 2 /
n)
+ ... +
X To
(T To /P).
(*)
Märgates, et suhtumine m 1 / n- suhteline sagedus W 1 väärtused X 1 , m 2 / n - suhteline sagedus W 2 väärtused X 2 jne, kirjutame seose (*) järgmiselt:
=X 1
W 1
+
x 2 W 2
+ ..
. + X To W k .
(**)
Oletame, et testide arv on üsna suur. Siis on suhteline sagedus ligikaudu võrdne sündmuse toimumise tõenäosusega (seda tõestab IX peatükk, § 6):
W 1
lk 1 ,
W 2
lk 2 ,
…,
W k
lk k .
Asendades suhtelised sagedused vastavate tõenäosustega seoses (**), saame
x 1 lk 1
+
X 2 R 2
+ … +
X To R To .
Selle ligikaudse võrdsuse parem pool on M(X). Niisiis,
M(X).
Saadud tulemuse tõenäosuslik tähendus on järgmine: matemaatiline ootus on ligikaudu võrdne(mida täpsem, seda suurem on testide arv) juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine.
Märkus 1. On lihtne mõista, et matemaatiline ootus on suurem kui väikseim ja väiksem kui suurim võimalik väärtus. Teisisõnu, arvureal asuvad võimalikud väärtused matemaatilisest ootusest vasakul ja paremal. Selles mõttes iseloomustab matemaatiline ootus jaotuse asukohta ja seetõttu nimetatakse seda sageli jaotuskeskus.
See termin on laenatud mehaanikast: kui massid R 1 , R 2 , ..., R P asub abstsisspunktides x 1 ,
X 2 ,
...,
X n, ja 
siis raskuskeskme abstsiss
x c =
.
Võttes arvesse, et
=
M
(X)
Ja 
saame M(X)= x Koos .
Seega on matemaatiline ootus materiaalsete punktide süsteemi raskuskeskme abstsiss, mille abstsissid on võrdsed juhusliku suuruse võimalike väärtustega ja massid on võrdsed nende tõenäosustega.
Märkus 2. Mõiste “matemaatiline ootus” päritolu on seotud tõenäosusteooria tekke algperioodiga (XVI – XVII sajand), mil selle rakendusala piirdus hasartmängudega. Mängijat huvitas oodatava võidu keskmine väärtus ehk teisisõnu matemaatiline võiduootus.