Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui punkti x 0 mõnes naabruses on ebavõrdsus ()(0 xfxf) täidetud
Punkti x 1 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui punkti x 1 mõnes naabruses nimetatakse võrratust ()(1 xfxf) Funktsiooni väärtusi punktides x 0 ja x 1 nimetatakse funktsiooni maksimum ja miinimum Funktsiooni maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiks.
Ühel intervallil võib funktsioonil olla mitu äärmust ja võib juhtuda, et miinimum ühes punktis on suurem kui maksimum teises. Funktsiooni maksimum või miinimum teatud intervallil ei ole üldjuhul funktsiooni suurim ja väikseim väärtus. Kui diferentseeruval funktsioonil f(xf(x)) on mingis punktis xx 00 ekstreemum, siis mõnes selle punkti läheduses kehtib Fermat' teoreem ja funktsiooni tuletis selles punktis võrdub nulliga: 0)(0 xf
Funktsioonil võib aga olla ekstreemum punktis, kus see ei ole diferentseeritav. Näiteks funktsioonil xy on miinimum punktis 0 x, kuid see ei ole selles punktis diferentseeritav.
Selleks, et funktsioonil y=f(x) oleks ekstreemum punktis x 0, on vajalik, et selle tuletis selles punktis oleks võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.
Punkte, kus vajalik äärmuslik tingimus on täidetud, nimetatakse kriitilisteks või statsionaarseteks. T. ob. , kui mis tahes punktis on ekstreemum, siis on see punkt kriitiline. Kuid kriitiline punkt ei pruugi olla äärmuspunkt.
Rakendame vajalikku äärmuslikku tingimust: xxy 2)(2 002 xprixy 0 0 y x - kriitiline punkt
Rakendame vajalikku äärmuslikku tingimust: 23 3)1(xxy 003 2 xprixy 1 0 y x - kriitiline punkt
Kui punkti x 0 läbimisel diferentseeruva funktsiooni y=f(x) tuletis muudab märgi plussist miinusesse, siis on x 0 maksimumpunkt ja kui miinusest plussiks, siis x 0 on miinimum punkt.
Las tuletis muudab märgi plussist miinusesse, st teatud intervallil 0; xa 0)(xf ja mingil intervallil bx; 0 0)(xf) Siis suureneb funktsioon y=f(x) 0 võrra; xa
ja väheneb bx võrra; 0 Kasvava funktsiooni definitsiooni järgi 00 ;)()(xaxallforxfxf Väheneva funktsiooni bxxallforxfxf;)()(00 0 x on maksimumpunkt. Samamoodi on tõestatud ka miinimumi puhul.
1 Leia funktsiooni tuletis)(xfy 2 Leia funktsiooni kriitilised punktid, kus tuletis on null või seda ei eksisteeri.
3 Uurige tuletise märki igast kriitilisest punktist vasakul ja paremal. 4 Leidke funktsiooni ekstreemum.
Rakendame ekstreemumile funktsiooni uurimise skeemi: 1 Leia funktsiooni tuletis: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx
3 Uurime igast kriitilisest punktist vasakule ja paremale jääva tuletise märki: x 4 1 1 y y Punktis x=1 x=1 ekstreemumit pole.
Kui diferentseeruva funktsiooni y=f(x) esimene tuletis punktis x 0 on võrdne nulliga ja teine tuletis selles punktis on positiivne, siis x 0 on miinimumpunkt ja kui teine tuletis on negatiivne, siis x 0 on maksimumpunkt.
Olgu 0)(0 xf seega 0)(0 xf ja mõnes punkti x 00 läheduses, st 0)()(xfxf
Functionba; suureneb)(xf, mis sisaldab punkti x 00. Aga Ho 0)(0 xf intervallil 0; xa 0)(xf ja intervallil bx; 0 0)(xf
Seega muutub funktsioon punkti x 00 läbimisel märgi miinusest plussiks, seega on see punkt miinimumpunkt.)(xf Funktsiooni maksimumi juhtum on tõestatud sarnaselt.
Ekstreemumi funktsiooni uurimise skeem on sel juhul sarnane eelmisele, kuid kolmas punkt tuleks asendada järgmisega: 3 Leidke teine tuletis ja määrake igas kriitilises punktis selle märk.
Teisest piisavast tingimusest järeldub, et kui kriitilises punktis ei ole funktsiooni teine tuletis võrdne nulliga, siis on see punkt äärmuspunkt. Vastupidine väide ei vasta tõele: kui kriitilises punktis on funktsiooni teine tuletis võrdne nulliga, siis võib see punkt olla ka ekstreemumipunkt. Sel juhul on funktsiooni uurimiseks vaja kasutada ekstreemumi jaoks esimest piisavat tingimust.
See on üsna huvitav matemaatika osa, millega puutuvad kokku absoluutselt kõik lõpetajad ja üliõpilased. Siiski ei meeldi matan kõigile. Mõned ei saa aru isegi põhilistest asjadest, nagu näiliselt standardne funktsiooniuuring. See artikkel on mõeldud sellise eksimuse parandamiseks. Kas soovite funktsioonianalüüsi kohta rohkem teada saada? Kas soovite teada, mis on äärmuspunktid ja kuidas neid leida? Siis on see artikkel teie jaoks.
Funktsiooni graafiku uurimine
Esiteks tasub mõista, miks peate graafikut üldse analüüsima. On lihtsaid funktsioone, mida pole keeruline joonistada. Sellise funktsiooni ilmekas näide on parabool. Graafiku joonistamine ei ole keeruline. Kõik, mida vajate, on lihtsa teisenduse abil leida arvud, mille juures funktsioon võtab väärtuse 0. Ja põhimõtteliselt on see kõik, mida peate teadma, et koostada parabooli graafik.
Aga mis siis, kui graafik, mida vajame, on palju keerulisem? Kuna keeruliste funktsioonide omadused ei ole päris ilmsed, on vaja läbi viia terviklik analüüs. Alles pärast seda saab funktsiooni graafiliselt kujutada. Kuidas seda teha? Sellele küsimusele leiate vastuse sellest artiklist.
Funktsioonide analüüsi plaan
Esimene asi, mida peame tegema, on funktsiooni pealiskaudne uuring, mille käigus leiame definitsioonipiirkonna. Niisiis, alustame järjekorras. Määratluspiirkond on väärtuste kogum, mille abil funktsioon on määratletud. Lihtsamalt öeldes on need arvud, mida saab funktsioonis x asemel kasutada. Ulatuse määramiseks peate lihtsalt vaatama kirjet. Näiteks on ilmne, et funktsioonil y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 on definitsioonipiirkond, mis on reaalarvude hulk. Noh, funktsiooniga nagu (x 2 - 2x)/x on kõik veidi erinev. Kuna nimetaja arv ei tohi olla võrdne 0-ga, on selle funktsiooni definitsioonipiirkonnaks kõik reaalarvud peale nulli.
Järgmiseks tuleb leida funktsiooni nn nullid. Need on argumendi väärtused, mille puhul kogu funktsioon võtab väärtuse null. Selleks on vaja funktsioon võrdsustada nulliga, kaaluda seda üksikasjalikult ja teha mõned teisendused. Võtame juba tuttava funktsiooni y(x) = (x 2 - 2x)/x. Koolikursusest teame, et murd on võrdne 0-ga, kui lugeja on võrdne nulliga. Seetõttu jätame nimetaja kõrvale ja hakkame töötama lugejaga, võrdsustades selle nulliga. Saame x 2 - 2x = 0 ja paneme x sulgudest välja. Seega x (x - 2) = 0. Selle tulemusena leiame, et meie funktsioon on võrdne nulliga, kui x on 0 või 2.
Funktsiooni graafikut uurides puutuvad paljud kokku äärmuspunktide kujul esinevate probleemidega. Ja see on imelik. Ekstreemsused on ju üsna lihtne teema. Ei usu mind? Vaadake ise, lugedes artikli seda osa, milles räägime miinimum- ja maksimumpunktidest.
Esiteks tasub mõista, mis on ekstreemum. Ekstreemum on piirväärtus, milleni funktsioon graafikul jõuab. Selgub, et on kaks äärmuslikku väärtust - maksimaalne ja minimaalne. Selguse huvides võite vaadata ülaltoodud pilti. Uuritavas piirkonnas on punkt -1 funktsiooni y (x) = x 5 - 5x maksimum ja punkt 1 vastavalt miinimum.
Samuti ärge ajage mõisteid segi. Funktsiooni äärmuspunktid on need argumendid, mille juures antud funktsioon omandab äärmuslikud väärtused. Ekstreemum on omakorda funktsiooni miinimumi ja maksimumi väärtus. Näiteks vaadake uuesti ülaltoodud joonist. -1 ja 1 on funktsiooni äärmuspunktid ning 4 ja -4 on äärmuspunktid ise.
Ekstreemumipunktide leidmine
Aga kuidas leida funktsiooni äärmuspunkte? Kõik on üsna lihtne. Esimene asi, mida teha, on leida võrrandi tuletis. Oletame, et saime ülesande: “Leia funktsiooni y (x) äärmuspunktid, argumendiks on x, võtame selguse huvides funktsiooni y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Eristame ja. saame järgmise võrrandi: 3x 2 + 4x + 1. Selle tulemusel on meil standardne ruutvõrrand, mis tuleb järgmiseks teha, on võrdsustada see nulliga ja leida juured, kuna diskriminant on suurem kui null (D = 16 - 12 = 4), selle võrrandi määrab kaks juurt: 1/3 ja -1. Need on aga funktsiooni äärmuspunktid on kes Milline punkt on maksimaalne ja milline on minimaalne, tuleb võtta naaberpunkt ja välja selgitada selle väärtus , mis asub piki koordinaatjoont? 1. Asendage see väärtus võrrandiga y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Selle tulemusena saame positiivse arvu. See tähendab, et vahemikus 1/3 kuni -1 funktsioon suureneb. See omakorda tähendab, et intervallidel miinus lõpmatusest 1/3 ja -1 pluss lõpmatuseni funktsioon väheneb. Seega võime järeldada, et arv 1/3 on funktsiooni miinimumpunkt uuritud intervallil ja -1 on maksimumpunkt.
Samuti väärib märkimist, et ühtne riigieksam eeldab mitte ainult ekstreemsete punktide leidmist, vaid ka nendega mingite toimingute tegemist (liitmine, korrutamine jne). Just sel põhjusel tasub probleemi tingimustele erilist tähelepanu pöörata. Tähelepanematuse tõttu võite ju punkte kaotada.
Definitsioon. Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti nimetatakse äärmuslikud punktid.
Teoreem. (vajalik tingimus ekstreemumi olemasoluks) Kui funktsioonf(x) on diferentseeruv punktis x = x 1 ja punkt x 1 on äärmuspunkt, siis funktsiooni tuletis kaob selles punktis.
Tõestus. Oletame, et funktsiooni f(x) maksimum on punktis x = x 1.
Siis on piisavalt väikese positiivse х>0 korral tõene järgmine ebavõrdsus:
A-prioor:
Need. kui х0, agaх<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0, siisf(x 1)0.
Ja see on võimalik ainult siis, kui х0f(x 1) = 0.
Juhul, kui funktsioonil f(x) on punktis x 2 miinimum, tõestatakse teoreem sarnaselt.
Teoreem on tõestatud.
Tagajärg. Vastupidine väide ei vasta tõele. Kui funktsiooni tuletis teatud punktis on võrdne nulliga, ei tähenda see, et funktsioonil on selles punktis ekstreemum. Selle kõnekaks näiteks on funktsioon y = x 3, mille tuletis punktis x = 0 on võrdne nulliga, kuid sellel hetkel on funktsioonil ainult kääne, mitte maksimum või miinimum.
Definitsioon. Kriitilised punktid funktsioonid on punktid, kus funktsiooni tuletist ei eksisteeri või see on võrdne nulliga.
Eelpool käsitletud teoreem annab meile vajalikud tingimused ekstreemumi olemasoluks, kuid sellest ei piisa.
Näide: f(x) =x Näide: f(x) = 
y a
Punktis x = 0 on funktsioonil miinimum, kuid punktis x = 0 pole funktsioonil kumbagi
ei oma tuletist. maksimum, pole miinimumi, pole tootmist
Üldiselt võib funktsioonil f(x) olla ekstreemum punktides, kus tuletist ei eksisteeri või see on võrdne nulliga.
Teoreem. (Piisavad tingimused ekstreemumi olemasoluks)
Laske funktsioonilf(x) on pidev intervallis (a, b), mis sisaldab kriitilist punkti x 1 , ja on selle intervalli kõigis punktides diferentseeruv (välja arvatud võib-olla punkt x ise 1 ).
Kui punkti x läbimisel 1 funktsiooni tuletis vasakult paremalef (x) muudab märgi “+” asemel “-”, seejärel punktis x = x 1 funktsioonif(x) omab maksimumi ja kui tuletis muudab märgi „-“ asemel „+“, siis on funktsioonil miinimum.
Tõestus.
Lase 
Lagrange'i teoreemi järgi: f(x)
–
f(x 1
)
=
f
(
)(x
–
x 1
),
kusx< Siis: 1) Kui x< x 1 ,
то f(x) –f(x 1)<0
илиf(x) 2) Kui x > x 1, siis>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно f(x) –f(x 1)<0
илиf(x) Kuna vastused langevad kokku, võime öelda, et f(x) Teoreemi tõestus miinimumpunkti kohta on sarnane. Teoreem on tõestatud. Ülaltoodu põhjal saate välja töötada ühtse protseduuri segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks: Leia funktsiooni kriitilised punktid. Leidke funktsiooni väärtused kriitilistes punktides. Leidke segmendi otstes oleva funktsiooni väärtused. Valige saadud väärtuste hulgast suurim ja väikseim väärtus. Ekstreemumi funktsiooni uurimine kasutades kõrgema järgu tuletised. Olgu punktis x = x 1 f(x 1) = 0 ja f(x 1) eksisteerib ja on punkti x 1 mingis naabruses pidev. Teoreem.
Kuif
(x 1
) = 0, siis funktsioonf(x) punktis x = x 1
on maksimum, kuif
(x 1
)<0
и минимум, если
f
(x 1
)>0.
Tõestus.
Olgu f(x 1) = 0 ja f(x 1)<0.
Т.к. функцияf(x)
непрерывна, тоf(x 1)
будет отрицательной и в некоторой малой
окрестности точки х 1 . Sest f(x) = (f(x))< 0, тоf(x)
убывает на отрезке, содержащем точку
х 1 , ноf(x 1)=0,
т.е.f(x)
>0 x juures Miinimumfunktsiooni korral on teoreem tõestatud sarnaselt. Kui f(x) = 0, siis kriitilise punkti olemus on teadmata. Selle kindlakstegemiseks on vaja täiendavaid uuringuid. Kõvera kumerus ja nõgusus. Pöördepunktid. Definitsioon.
Kõver on kumer üles intervallil (a,b), kui kõik selle punktid asuvad selle intervalli mis tahes puutujast allpool. Kõverat nimetatakse ülespoole kumeraks kumer, ja nimetatakse kumeralt allapoole suunatud kõverat nõgus. Joonisel on toodud ülaltoodud määratluse illustratsioon. 1. teoreem.
Kui intervalli (a,
b) funktsiooni teine tuletisf(x) on negatiivne, siis kõvery
=
f(x) on ülespoole kumer (kumer). Tõestus.
Olgu x 0 (a,b). Joonistame selles punktis kõvera puutuja. Kõverõrrand: y=f(x); Tangensi võrrand: Tuleb tõestada, et. Lagrange'i teoreemi järgi f(x) –f(x 0): ,x 0 Vastavalt Lagrange'i teoreemile for Olgu x > x 0, siis x 0 Las x Samamoodi on tõestatud, et kui f(x) > 0 intervallil (a,b), siis kõver y=f(x) on intervallil (a,b) nõgus. Teoreem on tõestatud. Definitsioon.
Punkti, mis eraldab kõvera kumerat osa nõgusast, nimetatakse pöördepunkt. Ilmselgelt ristub puutuja pöördepunktis kõveraga. 2. teoreem.
Olgu kõver defineeritud võrrandigay =
f(x). Kui teine tuletisf
(a) = 0 võif
(a) ei eksisteeri isegi punkti x = a läbimiself
(x) muudab märki, siis on kõvera punkt abstsissiga x = a käändepunkt. Tõestus.
1) Olgu f(x)< 0 при х x Olgu f(x) > 0, kui x Teoreem on tõestatud. Asümptoodid. Funktsioonide uurimisel juhtub sageli, et kui kõvera punkti x-koordinaat liigub lõpmatuseni, läheneb kõver määramatult teatud sirgele. Definitsioon.
Sirget nimetatakse asümptoot kõver, kui kaugus kõvera muutuvast punktist selle sirgjooneni kipub punkti liikudes lõpmatuseni nulli. Tuleb märkida, et igal kõveral ei ole asümptooti. Asümptoodid võivad olla sirged või kaldu. Asümptootide olemasolu funktsioonide uurimine on väga oluline ja võimaldab teil täpsemalt määrata funktsiooni olemust ja kõvera graafiku käitumist. Üldiselt võib kõver, mis läheneb oma asümptoodile lõputult, ristuda ja mitte ühes punktis, nagu on näidatud alloleva funktsiooni graafikul. Vaatleme üksikasjalikumalt kõverate asümptootide leidmise meetodeid. Vertikaalsed asümptoodid. Asümptoodi definitsioonist järeldub, et kui Näiteks funktsiooni jaoks Kaldus asümptoodid. Oletame, et kõveral y=f(x) on kaldu asümptoot y=kx+b. Mõelge järgmisele joonisele. See näitab funktsiooni y = x^3 – 3*x^2 graafikut. Vaatleme mõnda intervalli, mis sisaldab punkti x = 0, näiteks vahemikust -1 kuni 1. Sellist intervalli nimetatakse ka punkti x = 0 ümbruseks. Nagu graafikult näha, on selles naabruses funktsioon y = x ^3 – 3*x^2 saab suurima väärtuse täpselt punktis x = 0. Sel juhul nimetatakse punkti x = 0 funktsiooni maksimumpunktiks. Selle analoogia põhjal nimetatakse punkti x = 2 funktsiooni y = x^3 – 3*x^2 miinimumpunktiks. Kuna selle punkti naabruskond on selles punktis minimaalne kõigi teiste selle naabruskonna väärtuste hulgas. Punkt maksimaalselt funktsiooni f(x) nimetatakse punktiks x0, eeldusel, et punkti x0 naabrus on selline, et kõigi x-de puhul, mis ei võrdu x0-ga sellest naabrusest, kehtib võrratus f(x)< f(x0). Punkt miinimum funktsiooni f(x) nimetatakse punktiks x0, eeldusel, et punkti x0 naabrus on selline, et kõigi x-ide puhul, mis ei ole võrdsed x0-ga sellest naabrusest, kehtib võrratus f(x) > f(x0). Funktsioonide maksimumi ja miinimumi punktides on funktsiooni tuletise väärtus null. Kuid see ei ole piisav tingimus funktsiooni olemasoluks maksimum- või miinimumpunktis. Näiteks funktsiooni y = x^3 punktis x = 0 tuletis on võrdne nulliga. Kuid punkt x = 0 ei ole funktsiooni miinimum- ega maksimumpunkt. Nagu teate, suureneb funktsioon y = x^3 piki kogu arvtelge. Seega on miinimum- ja maksimumpunktid alati võrrandi f’(x) = 0 juurte hulgas. Kuid mitte kõik selle võrrandi juured ei ole maksimum- või miinimumpunktid. Punkte, kus funktsiooni tuletise väärtus on null, nimetatakse statsionaarseteks punktideks. Samuti võib esineda maksimum- või miinimumpunkte punktides, kus funktsiooni tuletist üldse ei eksisteeri. Näiteks y = |x| punktis x = 0 on miinimum, kuid tuletist selles punktis ei eksisteeri. See punkt on funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni kriitilised punktid on punktid, kus tuletis on võrdne nulliga või tuletist selles punktis ei eksisteeri, st selles punktis olev funktsioon on mittediferentseeritav. Funktsiooni maksimumi või miinimumi leidmiseks peab olema täidetud piisav tingimus. Olgu f(x) mingi diferentseeruv funktsioon intervallil (a;b). Punkt x0 kuulub sellesse intervalli ja f’(x0) = 0. Siis: 1. kui funktsioon f(x) ja selle tuletis muudab statsionaarse punkti x0 läbimisel märki plussilt miinusele, siis on punkt x0 funktsiooni maksimumpunkt. 2. kui statsionaarse punkti x0 läbimisel muudab funktsioon f(x) ja selle tuletis märki “miinusest” “plussiks”, siis on punkt x0 funktsiooni miinimumpunkt.
juures
, seega, 
.
See
.
. Selle kaldu asümptoot on y = x.
või 
või 
, siis sirge x = a on kõvera y = f (x) asümptoot.
sirgjoon x = 5 on vertikaalne asümptoot.
Maksimaalsed ja minimaalsed funktsioonid
Statsionaarsed ja kriitilised punktid