Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.
See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad tänini, teadusringkonnad pole paradokside olemuses veel ühisele seisukohale jõudnud ... teema uurimisse kaasati matemaatilist analüüsi, hulgateooriat, uusi füüsikalisi ja filosoofilisi käsitlusi. ; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.
Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus kilpkonnale järele jõuab. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.
Kui pöörame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."
Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele ühikutele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:
Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise esimesega võrdse ajaintervalli jooksul jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.
See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.
Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:
Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.
Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte fotot, mis on tehtud ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid te ei saa määrata nende kaugust. Auto kauguse määramiseks on vaja kahte pilti, mis on tehtud ühel ajahetkel erinevatest ruumipunktidest, kuid nende järgi ei saa liikumise fakti kindlaks teha (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid ). Erilist tähelepanu tahan juhtida see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need annavad uurimistööks erinevaid võimalusi.
Kolmapäeval, 4. juulil 2018
Vikipeedias on väga hästi kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Vaatame.
Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista kunagi sellist absurdset loogikat. See on rääkivate papagoide ja treenitud ahvide tase, kellel puudub mõistus sõnast “täiesti”. Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.
Kunagi olid silla ehitanud insenerid silda katsetades silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.
Pole tähtis, kuidas matemaatikud peituvad fraasi "mind me, I'm in the house" taha või õigemini: "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.
Õppisime väga hästi matemaatikat ja nüüd istume kassa taga ja anname palka välja. Nii et matemaatik tuleb meie juurde oma raha pärast. Loeme talle kogu summa välja ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitagem matemaatikule, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.
Esiteks hakkab tööle saadikute loogika: "Seda võib teistele rakendada, aga mulle mitte!" Siis hakkavad nad meile kinnitama, et sama nimiväärtusega vekslitel on erinevad arvenumbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palgad müntidesse – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik paaniliselt meenutama füüsikat: erinevatel müntidel on erinev kogus mustust, kristallstruktuur ja aatomite paigutus on igal mündil unikaalne...
Ja nüüd on mul kõige huvitavam küsimus: kus on piir, millest kaugemale muutuvad multikomplekti elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus ei ole siin lähedalgi valetamisele.
Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindalad on samad – see tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui vaadata nende samade staadioninimesid, siis saame neid palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt nii hulk kui ka multikomplekt. Kumb on õige? Ja siin tõmbab matemaatik-šamaan-teramees varrukast trumpide ässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.
Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".
Pühapäev, 18. märts 2018
Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga seepärast ongi nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.
Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida leht "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Numbrid on ju graafilised sümbolid, millega me numbreid kirjutame, ja matemaatika keeles kõlab ülesanne järgmiselt: "Leia mis tahes arvu tähistavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hõlpsasti hakkama.
Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.
1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.
2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks üksikuid numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.
3. Teisendage üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.
4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.
Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on šamaanide õpetatavad “lõikamis- ja õmbluskursused”, mida matemaatikud kasutavad. Kuid see pole veel kõik.
Matemaatilisest seisukohast pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Seega on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. Suure numbriga 12345 ei taha ma oma pead petta, mõelgem numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, me oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.
Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui määraksite ristküliku pindala meetrites ja sentimeetrites, saaksite täiesti erinevad tulemused.
Null näeb kõigis numbrisüsteemides välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis ei ole arv? Mis, matemaatikute jaoks ei eksisteeri midagi peale numbrite? Ma võin seda lubada šamaanidele, kuid mitte teadlastele. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.
Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega annavad pärast nende võrdlemist erinevaid tulemusi, siis pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.
Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise tehte tulemus ei sõltu arvu suurusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.
Oh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on laboratoorium hingede indefiilse pühaduse uurimiseks nende taevasse tõusmise ajal! Halo peal ja nool üles. Mis tualett veel?
Naine... Halo peal ja nool alla on isased.
Kui selline disainikunstiteos vilksatab teie silme ees mitu korda päevas,
Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:
Mina isiklikult pingutan selle nimel, et kakaval inimesel oleks näha miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitmest pildist koosnev kompositsioon: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei arva, et see tüdruk on loll, kes füüsikat ei tunne. Tal on lihtsalt tugev stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.
1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.
Toimingute järjekord – matemaatika 3. klass (moro)
Lühike kirjeldus:
Elus teed pidevalt erinevaid toiminguid: tõused püsti, pesed nägu, teed harjutusi, sööd hommikusööki, lähed kooli. Kas arvate, et seda protseduuri on võimalik muuta? Näiteks sööge hommikusööki ja seejärel pese oma nägu. Ilmselt võimalik. Pesemata olemise korral ei pruugi olla väga mugav hommikusööki süüa, aga midagi hullu sellest ei juhtu. Kas matemaatikas on võimalik oma äranägemise järgi tehte järjekorda muuta? Ei, matemaatika on täppisteadus, nii et isegi vähimad muudatused protseduuris viivad selleni, et arvavaldise vastus muutub valeks. Teises klassis oled juba mõne kodukorraga tutvunud. Nii et ilmselt mäletate, et toimingute sooritamise järjekorda reguleerivad sulgud. Need näitavad, millised toimingud tuleb kõigepealt lõpule viia. Millised protseduurireeglid on veel olemas? Kas sulgudega ja ilma sulgudeta avaldistes on toimingute järjekord erinev? Nendele küsimustele leiad vastused 3. klassi matemaatikaõpikust teemat “Tegude järjekord” õppides. Kindlasti tuleb harjutada õpitud reeglite rakendamist ning vajadusel leida ja parandada vigu arvavaldistes tegevuste järjekorra kehtestamisel. Pidage meeles, et järjekord on oluline igas äris, kuid matemaatikas on see eriti oluline! 
Näidete arvutamisel peate järgima teatud protseduuri. Kasutades alltoodud reegleid, selgitame välja, millises järjekorras toiminguid tehakse ja milleks on sulgud.
Kui avaldises pole sulgusid, siis:
Mõelgem menetlust järgmises näites.
Tuletame teile seda meelde tehte järjekord matemaatikas paigutatud vasakult paremale (näite algusest lõpuni).
Avaldise väärtuse arvutamisel saate selle salvestada kahel viisil.
Esimene viis
- Iga toiming salvestatakse näite all eraldi oma numbriga.
- Pärast viimase toimingu sooritamist kirjutatakse vastus tingimata algsele näitele.
- Teist meetodit nimetatakse ahelsalvestuseks. Kõik arvutused tehakse täpselt samas järjekorras, kuid tulemused kirjutatakse kohe pärast võrdusmärki.
- Kõigepealt teostame kõik sulgudes olevad toimingud
- Seejärel tõstame astmeks kõik sulud ja arvud, mis seisavad astmes, vasakult paremale (näite algusest lõpuni).
- Ülejäänud toimingud teostame nagu tavaliselt
- toimingud tehakse vasakult paremale,
- Lisaks tehakse kõigepealt korrutamine ja jagamine ning seejärel liitmine ja lahutamine.
- Kui näites pole sulgusid, teeme kõik toimingud järjekorras, vasakult paremale.
- Kui näide sisaldab sulgusid, siis esmalt sooritame sulgudes olevad toimingud ja alles siis kõik muud toimingud, alustades vasakult paremale.
- Kui näites pole sulgusid, sooritage kõigepealt korrutamise ja jagamise toimingud järjekorras, vasakult paremale. Seejärel - liitmise ja lahutamise toimingud järjekorras, vasakult paremale.
- Kui näide sisaldab sulgusid, siis esmalt sooritame sulgudes olevad toimingud, seejärel korrutamise ja jagamise ning seejärel liitmise ja lahutamise alustades vasakult paremale.
- Selle ülesande täitmisel leiame esmalt sulgudes oleva avaldise väärtuse.
- Alustada tuleks korrutamisest, seejärel liitmisest.
- Pärast sulgudes oleva avaldise lahendamist jätkame tegevustega väljaspool neid.
- Vastavalt protseduurireeglitele on järgmine samm korrutamine.
- Viimane samm on lahutamine.
- Toetuste arvestuse tunnused Riik püüab toetada väike- ja keskmise suurusega ettevõtlust. Selline toetus väljendub enamasti toetustena – tasuta maksed alates […]
- Kaebus lastearsti peale Kaebus lastearsti peale on ametlik dokument, mis määrab kindlaks patsiendi nõuded ja kirjeldab nende nõuete olemust. Vastavalt föderaalseaduse artiklile 4 "Arvestamise korra kohta [...]
- Avaldus nõude suuruse vähendamiseks Üks nõude selgitamise liike on avaldus nõude suuruse vähendamiseks. Kui hageja määras nõude väärtuse valesti. Või täitis kostja osaliselt [...]
- Kiievi dollarite must turg Valuutaoksjon dollarite ostmiseks Kiievis Tähelepanu: administratsioon ei vastuta valuutaoksjonil olevate kuulutuste sisu eest. Välisvaluutas kuulutuste avaldamise reeglid […]
Kahekohaliste ja/või kolmekohaliste arvudega toimingute tulemuste arvutamisel loetlege kindlasti oma arvutused veerus.
Teine viis
Kui avaldis sisaldab sulgusid, sooritatakse esmalt sulgudes olevad toimingud.
Sulgude endi sees on tegevuste järjekord sama, mis sulgudeta väljendites.
Kui sulgudes on rohkem sulgusid, siis sooritatakse esmalt toimingud pesastatud (sisemiste) sulgude sees.
Protseduur ja astendamine
Kui näide sisaldab sulgudes numbrilist või sõnasõnalist avaldist, mis tuleb tõsta astmeni, siis:
Toimingute sooritamise kord, reeglid, näited.
Numbrilised, tähestikulised avaldised ja muutujatega avaldised võivad sisaldada erinevate aritmeetiliste tehete märke. Avaldiste teisendamisel ja avaldiste väärtuste arvutamisel tehakse toimingud kindlas järjekorras ehk teisisõnu tuleb jälgida toimingute järjekord.
Selles artiklis selgitame välja, millised toimingud tuleks teha kõigepealt ja millised pärast neid. Alustame lihtsamatest juhtudest, kui avaldis sisaldab ainult pluss-, miinus-, korrutus- ja jagamismärkidega ühendatud numbreid või muutujaid. Järgmisena selgitame, millist tegevuste järjekorda tuleks sulgudega avaldistes järgida. Lõpuks vaatame, millises järjekorras toiminguid tehakse avaldistes, mis sisaldavad võimsusi, juuri ja muid funktsioone.
Leheküljel navigeerimine.
Kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine
Kool annab järgmist reegel, mis määrab tegevuste sooritamise järjekorra avaldistes ilma sulgudeta:
Väljatoodud reeglit tajutakse üsna loomulikult. Toimingute sooritamine vasakult paremale on seletatav asjaoluga, et meil on tavaks pidada arvestust vasakult paremale. Ja seda, et korrutamine ja jagamine tehakse enne liitmist ja lahutamist, on seletatav tähendusega, mida need toimingud kannavad.
Vaatame mõnda näidet selle reegli rakendamise kohta. Näidete jaoks võtame kõige lihtsamad numbrilised avaldised, et mitte lasta end arvutustest segada, vaid keskenduda konkreetselt toimingute järjekorrale.
Järgige samme 7–3+6.
Algne avaldis ei sisalda sulgu ega korrutamist ega jagamist. Seetõttu peaksime tegema kõik toimingud järjekorras vasakult paremale, see tähendab, et kõigepealt lahutame 7-st 3, saame 4, mille järel lisame saadud erinevusele 4 6, saame 10.
Lühidalt võib lahenduse kirjutada järgmiselt: 7−3+6=4+6=10.
Märkige toimingute järjekord väljendis 6:2·8:3.
Probleemi küsimusele vastamiseks pöördume reegli poole, mis näitab toimingute sooritamise järjekorda avaldistes ilma sulgudeta. Algne avaldis sisaldab ainult korrutamise ja jagamise tehteid ning reegli järgi tuleb need sooritada järjekorras vasakult paremale.
Kõigepealt jagame 6 2-ga, korrutame selle jagatise 8-ga ja lõpuks jagame tulemuse 3-ga.
Arvutage avaldise 17−5·6:3−2+4:2 väärtus.
Esmalt määrame kindlaks, millises järjekorras tuleks esialgses avaldises olevaid toiminguid sooritada. See sisaldab nii korrutamist ja jagamist kui ka liitmist ja lahutamist. Esiteks, vasakult paremale, peate tegema korrutamise ja jagamise. Seega korrutame 5 6-ga, saame 30, jagame selle arvu 3-ga, saame 10. Nüüd jagame 4 2-ga, saame 2. Asendame leitud väärtuse 10 algsesse avaldisesse 5·6:3 asemel ja 4:2 asemel väärtuse 2 on meil 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2 +2.
Saadud avaldis ei sisalda enam korrutamist ja jagamist, seega jääb järelejäänud toimingud sooritada järjekorras vasakult paremale: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Selleks, et avaldise väärtuse arvutamisel mitte segada toimingute sooritamise järjekorda, on alguses mugav paigutada tegevusmärkide kohale numbrid, mis vastavad nende sooritamise järjekorrale. Eelmise näite puhul näeks see välja järgmine: 
.
Sama toimingute järjekorda – esmalt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine – tuleks järgida ka tähtavaldistega töötamisel.
Esimese ja teise etapi toimingud
Mõnes matemaatikaõpikus on aritmeetilised teheted jagatud esimese ja teise astme tehtedeks. Mõtleme selle välja.
Esimese etapi toimingud nimetatakse liitmist ja lahutamist ning korrutamist ja jagamist teise etapi toimingud.
Nendes tingimustes kirjutatakse eelmise lõigu reegel, mis määrab toimingute sooritamise järjekorra, järgmiselt: kui avaldis ei sisalda sulgusid, siis vasakult paremale järjekorras kõigepealt teise etapi toimingud ( korrutamine ja jagamine), seejärel tehakse esimese etapi toimingud (liitmine ja lahutamine).
Aritmeetiliste toimingute järjekord sulgudega avaldistes
Avaldised sisaldavad sageli sulgusid, mis näitavad toimingute sooritamise järjekorda. Sel juhul reegel, mis määrab sulgudega avaldistes toimingute sooritamise järjekorra, on sõnastatud järgmiselt: esiteks sooritatakse sulgudes olevad toimingud, samal ajal sooritatakse ka korrutamine ja jagamine järjekorras vasakult paremale, seejärel liitmine ja lahutamine.
Seega käsitletakse sulgudes olevaid väljendeid algse avaldise komponentidena ja need säilitavad meile juba teadaoleva tegevusjärjekorra. Vaatame suurema selguse huvides näidete lahendusi.
Järgige neid samme 5+(7–2·3)·(6–4):2.
Avaldis sisaldab sulgusid, seega sooritame esmalt toimingud nendesse sulgudesse lisatud avaldistes. Alustame avaldisega 7−2·3. Selles tuleb esmalt sooritada korrutamine ja alles siis lahutamine, meil on 7−2·3=7−6=1. Liigume edasi teise avaldise juurde sulgudes 6−4. Siin on ainult üks toiming - lahutamine, me teostame selle 6−4 = 2.
Saadud väärtused asendame algse avaldisega: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. Saadud avaldises sooritame esmalt vasakult paremale korrutamise ja jagamise, seejärel lahutamise, saame 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. Siinkohal on kõik toimingud tehtud, järgisime nende teostamise järjekorda: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Paneme kirja lühilahenduse: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Juhtub, et avaldis sisaldab sulgudes sulgusid. Seda pole vaja karta, tuleb lihtsalt järjekindlalt rakendada sulgudega avaldistes toimingute sooritamise reeglit. Näitame näite lahendust.
Soorita toimingud avaldises 4+(3+1+4·(2+3)) .
See on sulgudega avaldis, mis tähendab, et toimingute täitmine peab algama sulgudes oleva avaldisega, st 3+1+4·(2+3) . See avaldis sisaldab ka sulgusid, seega peate esmalt sooritama nendes olevad toimingud. Teeme nii: 2+3=5. Leitud väärtuse asendamisel saame 3+1+4·5. Selles avaldises sooritame esmalt korrutamise, seejärel liitmise, saame 3+1+4·5=3+1+20=24. Algväärtus on pärast selle väärtuse asendamist kujul 4+24 ja jääb üle vaid toimingud lõpule viia: 4+24=28.
Üldiselt, kui avaldis sisaldab sulgudes sulgusid, on sageli mugav sooritada toiminguid, alustades sisemistest sulgudest ja liikudes välimiste sulgudeni.
Näiteks oletame, et peame sooritama toimingud avaldises (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Esmalt sooritame toimingud sisesulgudes, kuna 4−6:2=4−3=1, siis pärast seda saab algne avaldis kuju (4+(4+1)−1)−1. Tegevuse sooritame jällegi sisesulgudes, kuna 4+1=5, jõuame järgmise avaldiseni (4+5−1)−1. Jällegi sooritame sulgudes olevad toimingud: 4+5−1=8 ja saame vahe 8−1, mis võrdub 7-ga.
Toimingute järjekord juurte, astmete, logaritmide ja muude funktsioonidega avaldistes
Kui avaldis sisaldab astmeid, juuri, logaritme, siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti, aga ka muid funktsioone, arvutatakse nende väärtused enne muude toimingute sooritamist ja eelmiste lõikude reeglid, mis määravad toimingute järjekorra, on samuti arvesse võetud. Teisisõnu võib loetletud asju jämedalt öeldes lugeda sulgudes ja me teame, et sulgudes olevad toimingud tehakse kõigepealt.
Vaatame näidete lahendusi.
Soorita toimingud avaldises (3+1)·2+6 2:3−7.
See avaldis sisaldab 6 2 võimsust, selle väärtus tuleb enne muude toimingute tegemist välja arvutada. Seega teostame astendamise: 6 2 =36. Asendame selle väärtuse algse avaldisega, see saab kujul (3+1)·2+36:3−7.
Siis on kõik selge: sooritame sulgudes olevad toimingud, mille järel meile jääb sulgudeta avaldis, milles vasakult paremale järjekorras sooritame esmalt korrutamise ja jagamise ning seejärel liitmise ja lahutamise. Meil on (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13.
Artiklis Avaldiste väärtuste arvutamine näete muid, sealhulgas keerukamaid näiteid toimingute tegemise kohta juurte, võimsustega jne avaldistes.
cleverstudents.ru
Veebimängud, simulaatorid, esitlused, õppetunnid, entsüklopeediad, artiklid
Postituse navigeerimine
Näited sulgudega, õppetund simulaatoritega.
Vaatleme selles artiklis kolme näidet:
1. Näited sulgudega (liitmise ja lahutamise toimingud)
2. Näited sulgudega (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine)
3. Näited, kus on palju tegevust
1 Näited sulgudega (liitmise ja lahutamise toimingud)
Vaatame kolme näidet. Igas neist on toimingute järjekord tähistatud punaste numbritega:
Näeme, et toimingute järjekord on igas näites erinev, kuigi numbrid ja märgid on samad. See juhtub seetõttu, et teises ja kolmandas näites on sulud.
*See reegel kehtib näidete jaoks ilma korrutamise ja jagamiseta. Vaatame selle artikli teises osas sulgudega näidete reegleid, mis hõlmavad korrutamise ja jagamise tehteid.
Et vältida segadust näites sulgudega, saate selle muuta tavaliseks näiteks ilma sulgudeta. Selleks kirjutage saadud tulemus sulgude kohale, seejärel kirjutage kogu näide ümber, kirjutades selle tulemuse sulgude asemel, ja seejärel tehke kõik toimingud järjekorras, vasakult paremale:
Lihtsates näidetes saate kõiki neid toiminguid oma mõtetes teha. Peaasi on esmalt sooritada toiming sulgudes ja tulemus meelde jätta ning seejärel lugeda järjekorras, vasakult paremale.
Ja nüüd - simulaatorid!
1) Näited sulgudega kuni 20. Online simulaator.
2) Näited sulgudega kuni 100. Online simulaator.
3) Näited sulgudega. Simulaator nr 2
4) Sisestage puuduv number - näited sulgudega. Treeningaparaat
2 näidet sulgudega (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine)
Vaatame nüüd näiteid, milles lisaks liitmisele ja lahutamisele on ka korrutamine ja jagamine.
Vaatame kõigepealt näiteid ilma sulgudeta:
Toimingute järjekorra näidete lahendamisel segaduse vältimiseks on üks nipp. Kui sulgusid pole, siis sooritame korrutamise ja jagamise toimingud, seejärel kirjutame näite ümber, kirjutades nende toimingute asemel üles saadud tulemused. Seejärel teostame liitmise ja lahutamise järjekorras:
Kui näide sisaldab sulgusid, siis tuleb esmalt sulgudest lahti saada: kirjutada näide ümber, kirjutades neisse sulgude asemel saadud tulemuse. Seejärel peate vaimselt esile tõstma näite osad, mis on eraldatud märkidega "+" ja "-", ning loendama iga osa eraldi. Seejärel tehke liitmine ja lahutamine järjekorras:
3 näidet rohkete tegevustega
Kui näites on palju toiminguid, on mugavam mitte kogu näites toimingute järjekorda korraldada, vaid valida plokid ja lahendada iga plokk eraldi. Selleks leiame vabad märgid “+” ja “–” (vaba tähendab mitte sulgudes, näidatud joonisel nooltega).
Need märgid jagavad meie näite plokkideks:
Igas plokis toimingute tegemisel ärge unustage artiklis ülaltoodud protseduuri. Olles lahendanud iga ploki, teostame liitmise ja lahutamise toimingud järjekorras.
Nüüd ühendame lahenduse näidete jaoks simulaatorite toimingute järjekorra kohta!
1. Näited sulgudega arvudes kuni 100, liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise tehted. Online treener.
2. Matemaatika simulaator 2.–3. klassile “Koostage toimingute järjekord (tähtväljendid).”
3. Toimingute järjekord (korrastame järjekorra ja lahendame näiteid)
Protseduur matemaatikas 4. klass
Algkool hakkab lõppema ja peagi astub laps edasi arenenud matemaatikamaailma. Kuid juba sel perioodil seisab õpilane silmitsi teaduse raskustega. Lihtsat ülesannet täites satub laps segadusse ja eksib, mis lõppkokkuvõttes toob kaasa negatiivse hinde tehtud tööle. Selliste probleemide vältimiseks peate näidete lahendamisel suutma navigeerida selles järjekorras, milles peate näite lahendama. Olles toimingud valesti jaotanud, ei täida laps ülesannet õigesti. Artiklis on toodud põhireeglid näidete lahendamiseks, mis sisaldavad kõiki matemaatilisi arvutusi, sealhulgas sulgusid. Protseduur matemaatikas 4. klassi reeglid ja näited.
Enne ülesande täitmist paluge oma lapsel nummerdada toimingud, mida ta teeb. Kui teil on raskusi, palun aidake.
Mõned reeglid, mida järgida näidete lahendamisel ilma sulgudeta:
Kui ülesanne nõuab rida tehteid, peate esmalt sooritama jagamise või korrutamise ja seejärel liitmise. Kõik toimingud tehakse kirja edenedes. Vastasel juhul ei ole otsuse tulemus õige.
Kui näites peate tegema liitmise ja lahutamise, teeme seda järjekorras, vasakult paremale.
27-5+15=37 (Näite lahendamisel juhindume reeglist. Kõigepealt teostame lahutamise, seejärel liitmise).
Õpetage oma last alati planeerima ja nummerdama tehtud toiminguid.
Iga lahendatud toimingu vastused on kirjutatud näite kohale. Nii on lapsel toimingutes palju lihtsam liikuda.
Mõelgem veel ühele võimalusele, kus on vaja toimingud järjekorras jaotada:
Nagu näha, lähtutakse lahendamisel reeglist: kõigepealt otsime toodet, siis otsime erinevust.
Need on lihtsad näited, mis nõuavad nende lahendamisel hoolikat kaalumist. Paljud lapsed on jahmunud, kui näevad ülesannet, mis ei sisalda ainult korrutamist ja jagamist, vaid ka sulgusid. Õpilasel, kes ei tea toimingute sooritamise korda, tekib küsimusi, mis takistavad ülesande täitmist.
Nagu reeglis kirjas, leiame kõigepealt toote või jagatise ja seejärel kõik muu. Aga seal on sulud! Mida sel juhul teha?
Näidete lahendamine sulgudega
Vaatame konkreetset näidet:
Nagu näeme visuaalses näites, on kõik toimingud nummerdatud. Teema tugevdamiseks paluge oma lapsel ise mitu näidet lahendada:
Avaldise väärtuse arvutamise järjekord on juba paika pandud. Laps peab otsuse vaid vahetult ellu viima.
Teeme ülesande keerulisemaks. Lase lapsel ise leida väljendite tähendus.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Õpetage oma last lahendama kõiki ülesandeid mustandi kujul. Sel juhul on õpilasel võimalus vigane otsus või blotid parandada. Töövihikus ei ole parandused lubatud. Ise ülesandeid täites näevad lapsed oma vigu.
Vanemad peaksid omakorda pöörama tähelepanu vigadele, aitama lapsel neid mõista ja parandada. Te ei tohiks õpilase aju suure hulga ülesannetega üle koormata. Sellise tegevusega heidate lapse teadmistehimu. Kõiges peaks olema mõõdutunne.
Puhka. Laps peaks olema häiritud ja tundidest pausi tegema. Peaasi, mida meeles pidada, on see, et kõigil pole matemaatilist mõistust. Võib-olla kasvab teie lapsest kuulus filosoof.
detskoerazvitie.info
Matemaatikatund 2. klass Tegevuste järjekord sulgudega väljendites.
Kiirusta ja kasuta Infouroki kursuste allahindlusi kuni 50%.
Sihtmärk: 1.
2.
3. Kinnitada teadmisi korrutustabelist ja 2–6-ga jagamisest, jagaja mõistest ja
4. Õppige töötama paaris, et arendada suhtlemisoskusi.
Varustus * : + — (), geomeetriline materjal.
Üks, kaks – pea püsti.
Kolm, neli - käed laiemad.
Viis, kuus – kõik istuvad maha.
Seitse, kaheksa – jätame laiskuse kõrvale.
Kuid kõigepealt peate välja selgitama selle nime. Selleks peate täitma mitu ülesannet:
6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 - 6 14 dm 5 cm… 4 dm 5 cm
Sel ajal, kui meenutasime tegevuste järjekorda väljendites, juhtus lossiga imesid. Olime just väravas ja nüüd olime koridoris. Vaata, uks. Ja selle peal on loss. Kas avame selle?
1. Lahutage arvust 20 jagatis 8 ja 2.
2. Jagage vahe 20 ja 8 vahel 2-ga.
— Kuidas tulemused erinevad?
- Kes oskab meie tunni teemat nimetada?
(massaaži mattidel)
Mööda rada, mööda rada
Me galopeerime paremal jalal,
Hüppame vasakule jalale.
Jookseme mööda rada,
Meie oletus oli täiesti õige7
Kus tehakse esimesena toimingud, kui avaldises on sulgud?
Vaadake meie ees olevaid "elavaid näiteid". Paneme nad ellu.
* : + — ().
m – c * (a + d) + x
k: b + (a – c) * t
6. Töötage paaris.
Nende lahendamiseks vajate geomeetrilist materjali.
Õpilased täidavad ülesandeid paarides. Pärast lõpetamist kontrollige paaride tööd laual.
Mida uut olete õppinud?
8. Kodutöö.
Teema: Toimingute järjekord sulgudega väljendites.
Sihtmärk: 1. Tuletage tegevuste järjekorra reegel avaldistes, mille sulgudes on kõik
4 aritmeetilisi tehteid,
2. Arendada oskust reegleid praktiliselt rakendada,
4. Õppige töötama paaris, et arendada suhtlemisoskusi.
Varustus: õpik, märkmikud, tegevusmärkidega kaardid * : + — (), geomeetriline materjal.
1 .Füüsiline treening.
Üheksa, kümme – istu vaikselt maha.
2. Algteadmiste uuendamine.
Täna asume järjekordsele teekonnale läbi teadmiste maa, matemaatika linna. Peame külastama ühte paleed. Kuidagi unustasin selle nime. Kuid ärgem ärritugem, selle nime võite mulle ise öelda. Samal ajal kui mina olin mures, lähenesime palee väravatele. Kas tuleme sisse?
1. Võrrelge väljendeid:
2. Lahutage sõna.
3. Probleemi avaldus. Millegi uue avastamine.
Mis on siis palee nimi?
Ja millal me matemaatikas räägime järjekorrast?
Mida sa juba tead avaldiste tegevuste järjekorra kohta?
— Huvitav, meil palutakse väljendeid üles kirjutada ja lahendada (õpetaja loeb väljendeid, õpilased kirjutavad üles ja lahendavad).
20 – 8: 2
(20 – 8) : 2
Hästi tehtud. Mis on nendes väljendites huvitavat?
Vaadake väljendeid ja nende tulemusi.
— Mis on ühist väljendite kirjutamisel?
— Miks teie arvates olid tulemused erinevad, kuna numbrid olid samad?
Kes julgeks sõnastada reegli tegevuste sooritamiseks sulgudega väljendites?
Selle vastuse õigsust saame kontrollida teises ruumis. Lähme sinna.
4. Füüsiline harjutus.
Ja sama teed mööda
Jõuame mäele.
Peatus. Puhkame natuke
Ja me läheme jälle jalgsi.
5. Õpitu esmane kinnistamine.
Siin me oleme.
Eelduse õigsuse kontrollimiseks peame lahendama veel kaks avaldist.
6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2
Eelduse õigsuse kontrollimiseks avame õpikud lk 33 ja loeme reeglit.
Kuidas teha toiminguid pärast sulgudes olevat lahendust?
Tahvlile on kirjutatud tähtväljendid ja seal on kaardid tegevusmärkidega. * : + — (). Lapsed lähevad ükshaaval tahvli juurde, võtavad kaardi selle toiminguga, mis tuleb kõigepealt ära teha, siis tuleb välja teine õpilane ja võtab kaardi teise toiminguga jne.
a + (a – b)
a * (b + c) : d – t
m – c * ( a + d ) + x
k : b + ( a – c ) * t
(a–b) : t+d
6. Töötage paaris. Autonoomne mittetulundusühing Kohtuekspertiisi büroo Kohtuekspertiisi ekspertiis. Kohtuväline ekspertiis Eksami läbivaatamine. Hindamine Moskvas asuv autonoomne mittetulundusühing “Bureau of Kohtuekspertiisi büroo” on keskus […]
Ja arvude jagamine toimub teise etapi toimingute järgi.
Toimingute järjekord avaldiste väärtuste leidmisel määratakse kindlaks järgmiste reeglitega:
1. Kui avaldises ei ole sulgusid ja see sisaldab ainult ühe etapi toiminguid, siis sooritatakse neid järjekorras vasakult paremale.
2. Kui avaldis sisaldab esimese ja teise astme toiminguid ja selles ei ole sulgusid, siis sooritatakse esmalt teise etapi toimingud, seejärel esimese astme toimingud.
3. Kui avaldises on sulud, siis soorita esmalt sulgudes olevad toimingud (arvestades reegleid 1 ja 2).
Näide 1. Leiame avaldise väärtuse
a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20 - m = 37;
e) 37 - s = 20;
e) 20 + k = 0.
636. Milliste naturaalarvude lahutamisel saad 12? Mitu paari selliseid numbreid on? Vastake samadele küsimustele korrutamise ja jagamise kohta.
637. Antakse kolm arvu: esimene on kolmekohaline arv, teine on kuuekohalise arvu jagatis kümnega ja kolmas on 5921. Kas neist arvudest on võimalik märkida suurimat ja väiksemat?
638. Lihtsusta väljendit:
a) 2a + 612 + 1a + 324;
b) 12у + 29у + 781 + 219;
639. Lahenda võrrand:
a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13a + 15a-24 = 60;
c) Зz - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x + 59): 42 = 86;
e) 528: k - 24 = 64;
g) p: 38-76 = 38;
h) 43 m- 215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
k) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.
640. Loomakasvatusfarm annab kaalutõusu 750 g looma kohta ööpäevas. Millise kasu saab kompleks 30 päevaga 800 looma pealt?
641. Kahes suures ja viies väikeses purgis on 130 liitrit piima. Kui palju piima mahutab väike purk, kui selle mahutavus on neli korda väiksem kui suurema mahutavus?
642. Koer nägi oma omanikku, kui oli temast 450 m kaugusel ja jooksis talle vastu kiirusega 15 m/s. Kui suur on vahemaa omaniku ja koera vahel 4 s pärast; 10 s pärast; t s?
643. Lahendage ülesanne võrrandi abil:
1) Mihhailil on 2 korda rohkem pähkleid kui Nikolail ja Petjal 3 korda rohkem kui Nikolail. Kui palju pähkleid on igal inimesel, kui igaühel on 72 pähklit?
2) Kolm tüdrukut kogusid mererannal 35 karpi. Galya leidis 4 korda rohkem kui Maša ja Lena 2 korda rohkem kui Maša. Mitu kesta leidis iga tüdruk?
644. Koosta programm avaldise hindamiseks
8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.
Kirjutage see programm diagrammi kujul. Leia väljendi tähendus.
645. Kirjutage avaldis järgmise arvutusprogrammi abil:
1. Korrutage 271 49-ga.
2. Jagage 1001 13-ga.
3. Korrutage käsu 2 tulemus 24-ga.
4. Lisage käskude 1 ja 3 tulemused.
Leidke selle väljendi tähendus.
646. Kirjutage avaldis vastavalt skeemile (joonis 60). Kirjutage programm selle arvutamiseks ja selle väärtuse leidmiseks.
647. Lahenda võrrand:
a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
c) 2a + 7a + 78 = 1581;
d) 256 m - 147 m - 1871 - 63 747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.
648. Leidke jagatis:
a) 1 989 680: 187; c) 9 018 009: 1001;
b) 572 163: 709; d) 533 368 000: 83 600.
649. Mootorlaev sõitis 3 tundi mööda järve kiirusega 23 km/h ja seejärel 4 tundi mööda jõge. Mitu kilomeetrit läbis laev selle 7 tunniga, kui liikus mööda jõge 3 km/h kiiremini kui mööda järve?
650. Nüüd on koera ja kassi vahe 30 m. Mitme sekundiga jõuab koer kassile järele, kui koera kiirus on 10 m/s ja kassil 7 m/s?
651. Leia tabelist (joonis 61) kõik numbrid järjekorras 2 kuni 50. Seda harjutust on kasulik teha mitu korda; Võistelda saab sõbraga: kes leiab kõik numbrid kiiremini üles?
N.Ya. VILENKIN, V. I. ŽOHOV, A. S. TŠESNOKOV, S. I. ŠVARTSBURD, matemaatika 5. klass, Õpik üldharidusasutustele
Tunniplaanid 5. klassi matemaatika allalaadimiseks, õpikud ja raamatud tasuta, matemaatikatundide arendamine veebis
Tunni sisu tunnimärkmed toetavad raamtunni esitluskiirendusmeetodid interaktiivseid tehnoloogiaid Harjuta ülesanded ja harjutused enesetesti töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, diagrammid, huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid nipid uudishimulikele hällid õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku fragmendi uuendamine, innovatsioonielemendid tunnis, vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid aasta kalenderplaan, metoodilised soovitused, aruteluprogramm Integreeritud õppetunnid