TEEMA:
Täisnurkse kolmnurga elementide omadused. Poolitaja omadus kolmnurga nurk.
valla õppeasutuse matemaatikaõpetaja
keskmine Põhikool №13
KOSTROMA 2009
SELGITAV MÄRKUS
Nende didaktiliste materjalide koostamisel püstitati järgmised eesmärgid:
Aidake õpetajal organiseerida haridusprotsess teemade “Kolmnurga nurga poolitaja omadus” ja “Tipust langenud kõrguse omadus” õppimisel täisnurk hüpotenuusile"
Täiendage nende teemade geomeetriaõpikut ülesannetega iseseisev tööõpilased;
Matemaatika ühtseks riigieksamiks valmistumise ülesannete väljaselgitamine.
Need didaktilised materjalid aitavad kinnistada täisnurksete kolmnurkade sarnasusest tulenevate omaduste rakendamise ülesannete lahendamise oskusi. Valik ülesandeid saab kasutada jooksva ja lõppkontrolli jaoks, iseseisvaks tööks, jaoks individuaalne ülesanne kodus, nii 9. klassis kui ka 10.-11. klassis materjali kordamisel ja ühtseks riigieksamiks valmistumisel. Materjalides on välja toodud 22 probleemi, millest pooltel on kaasas lahendused. Ülesandeid, mille lahendused on sarnased käsitletuga, pakutakse kas iseseisvaks lahendamiseks klassis või a kodutöö. Ülesanded on järjestatud raskusastme suurenemise järjekorras.
Miks oli mul õpetajana vaja just sellel teemal ülesandeid? Siin on mitu vastust. Esiteks, õpikus, millega ma töötan, sellel teemal probleeme praktiliselt pole (ainult kaks ülesannet: nr 40 lk 106 ja veel mitu ülesannet didaktilistes materjalides), kuid need on sama tüüpi ja üldiselt mitte. peegeldama erinevaid olukordi omaduste rakendamiseks. Kolmnurga nurgapoolitaja omaduste rakendamisel pole probleeme.
Teiseks on seda teemat kajastatud rohkem kui üks kord Ühtse riigieksami materjalid, ja seetõttu pean vajalikuks seda teemat õpilaste jaoks põhjalikumalt visandada. Matemaatikaeksami geomeetriaülesannete arv on suurenenud
Kirjandus:
« Eksami küsimused ja vastused 5"
“Käsiraamat ülikoolidesse kandideerijatele”
Zelensky I. I. "Geomeetria ülesannetes". Matemaatika seeria: "Taaskäivitamine"
"Geomeetria ülesannete kogumine"
Ziv A. G. "Geomeetria probleemid"
Gusev A.I." Didaktilised materjalid geomeetrias"
Pealkiri
Kinnistu nr 1
Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine võrdeline jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile
Kinnistu nr 2
Täisnurkse kolmnurga jalg on hüpotenuusi ja selle hüpotenuusile projektsiooni vaheline keskmine
Kinnistu nr 3
Kolmnurga poolitaja jagab vastaskülje segmentideks, mis on võrdelised kahe teise küljega
Tase A
A1 Kolmnurga ümbermõõt on 25 cm ja selle poolitaja jagab vastaskülje lõikudeks, mille suurus on 7,5 cm ja 2,5 cm. Leidke kolmnurga küljed.
A2 Kolmnurga ümbermõõt on 35 cm Leia lõigud, milleks kolmnurga poolitaja jagab vastaskülje.
A3 Täisnurkse kolmnurga üks jalg on 10 dm ja selle projektsioon hüpotenuusile on 8 dm. Leidke teine jalg ja hüpotenuus.
A4 Leidke täisnurkse kolmnurga jalad, kui nende projektsioonid hüpotenuusile on 36 cm 64 cm.
A5 Leidke täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus merepinnast, kui selle alus jagab hüpotenuusi lõikudeks 4 cm ja 9 cm.
A6 Täisnurga tipust hüpotenuusini tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus merepinnast on 4. Leidke hüpotenuus, kui üks harudest on 8.
Tase B
B1 B täisnurkne kolmnurk hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on 36 cm ja jagab selle segmentideks vahekorras 9:16. Leidke RAVS
https://pandia.ru/text/78/060/images/image003_197.gif" width="71" height="23">; SK2= AK ∙ HF;
362 = 9x∙16x; 1296 = 144x2; x2 = 9; x = 3
AK=27cm; VK=48cm; AB = 75 cm.
2) Alates ∆ AKS Pythagorase teoreemi järgi: AC= https://pandia.ru/text/78/060/images/image006_144.gif" width="49" height="24 src=">=45 (cm) )
Alates ∆ ABC Pythagorase teoreemi järgi: BC===60 (cm)
3) P ABC = AC+AB+BC; RABC = 180 cm.
Vastus 180cm
B2 Täisnurkses kolmnurgas jagab hüpotenuusile tõmmatud kõrgus selle osadeks vahekorras 16:9. Kolmnurga pikim jalg on 60 cm. leidke selle kõrguse pikkus. (see probleem on sarnane eelmisega ja seetõttu selle lahendust ei käsitleta )
Vastus: 36 cm
B3 Ringjoone punktist läbimõõdule tõmmatakse risti, mis jagab läbimõõdu segmentideks, mille pikkus on vahekorras 9:4. Leia ümbermõõt, kui risti pikkus on 24 cm.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_107.gif" width="12" height="19">AO = 26 cm
3) Ümbermõõdu leidmiseks kasutage valemit: L = 2https://pandia.ru/text/78/060/images/image011_97.gif" width="15" height="15 src="> cm
Vastus: 52https://pandia.ru/text/78/060/images/image012_89.gif" width="208" height="172 src=">Lahendus
1) Rakendame joonistatud kõrguse omadust
täisnurga tipust ∆ABC hüpotenuusile AC: VK= https://pandia.ru/text/78/060/images/image014_72.gif" width="83" height="27">cm, AK =4cm, KS =16cm.
2) ∆AKV-st Pythagorase teoreemi järgi:
3) ∆VKS-st Pythagorase teoreemi järgi:
4) SAVSD =AB ∙ ; S ABCD = 160 cm2
Vastus: 160cm2
B6 Ristküliku vastasnurkade tippudest tõmmatakse diagonaalile ristid, mille aluste vahe on 16 cm. Leidke ristküliku pindala, kui nende ristide pikkus on 6 cm. (Probleem sarnaneb eelmisele, seega selle lahendust ei esitata)
Vastus: 120cm2
Ülesandeid B7, B8, B9 saab õpilastele pakkuda kas kodutööna või klassi kaasa võtta. sõltumatu otsus klassis
Q7 Täisnurkse kolmnurga pindala on 150, üks jalg on 15. Leidke täisnurga tipust langenud kõrguse pikkus
Q8 Täisnurga tipust hüpotenuusini tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on võrdne hüpotenuusi leidmisega, kui üks harudest on 8.
Q9 Täisnurkse kolmnurga kõrgus hüpotenuusile langetatuna võrdub b-ga ja üks teravnurkadest on 60○. Leidke hüpotenuus.
B10 Täisnurkse kolmnurga teravnurga poolitaja jagab 12 cm ja 15 cm haru. Leidke segmentide abil kolmnurga pindala.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image022_49.gif" width="148" height="41">
Olgu siis proportsionaalsuskoefitsient x
5x – pool AB, 4x – pool AC
2) ∆ACV puhul rakendame Pythagorase teoreemi
AB2 = AC2 + BC2;
25x2 = 16x2 +729;
3) Rakendage kolmnurga pindala jaoks valem: S∆ = AC∙BC; AC = 36 (cm); Päike = 27 (cm)
S∆ASV =486 cm2
Vastus: 486 cm2
Q11, Q12 on sarnased eelmise probleemiga.
B11 Kolmnurga täisnurga poolitaja jagab selle hüpotenuusi 15 cm ja 20 cm pikkusteks lõikudeks. Leidke kolmnurga pindala.
Vastus: 294cm2
Q12 Täisnurkses kolmnurgas jagab teravnurga poolitaja vastasharu 8 cm ja 10 cm pikkusteks lõikudeks, leidke selle kolmnurga ümbermõõt.
Vastus: 72 cm
B13 Täisnurkse kolmnurga poolitaja jagab hüpotenuusi 20 cm ja 15 cm pikkusteks lõikudeks. Leidke sisse kirjutatud ringi raadius.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image025_41.gif" width="148" height="41">
2) Olgu x proportsionaalsuskordaja, siis AC -4x, CB-3x
∆ASV puhul rakendame Pythagorase teoreemi:
AB2 = AC2+CB2
x=7 AC=28cm, CB=21cm
3) Sisse kirjutatud ringi raadiuse leidmiseks kasutage valemit: r═;r = cm
Vastus: 7 cm
B14 Täisnurkse kolmnurga teravnurga poolitaja jagab jala 10 cm ja 26 cm pikkusteks lõikudeks. Leidke selle kolmnurga ümber piiritletud ringi raadius.
AB - 13x, AC - 5x
3) Rakendame Pythagorase teoreemi ∆ ASV jaoks:
AB2= AC2 + BC2
169x2= 1396+25x2https://pandia.ru/text/78/060/images/image030_35.gif">4) Kuna täisnurkse kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt on hüpotenuusi keskpunktR= R=19,5 cm
Vastus: 19,5 cm
Q15, Q16, Q17 saab määrata kodus, millele järgneb testimine klassiruumis.
Ülesanne nr 15 Täisnurkse kolmnurga poolitaja jagab hüpotenuusi lõikudeks vahekorras 4:3. Leidke need lõigud, kui sisse kirjutatud ringi raadius on 7.
Vastus: 32cm ja 24cm
IN 1 6 Ristküliku tipust tõmmatud poolitaja jagab selle diagonaali 65 cm ja 156 cm segmentideks. Leidke ristküliku pindala.
Vastus 17340cm2
Q17Ringjoone pikkus täisnurkse kolmnurga ümber on 39https://pandia.ru/text/78/060/images/image023_47.gif" width="16" height="41">DВ∙DК; ВD - ? DК - ?
2) Leiame S∆ABC, kasutades Heroni valemit: p = 21, S∆ABC = 84.
3) Teisest küljest S ∆ABC = AC∙DB AC∙DB = 2S; DВ = ; DB = 12;
4) Võtame AK = x, siis SC = 14 – x; Rakendame kolmnurga nurgapoolitaja omadust: =https://pandia.ru/text/78/060/images/image036_29.gif" width="21" height="41 src=">.gif" width ="20" kõrgus = "16 src="> x = 6,5: AK = 6,5
5) DK = AK – AD..gif" width="16" height="41 src=">∙12∙1,5 = 9.
Kolmnurk - kolme küljega hulknurk või suletud katkendlik joon kolme lüliga või kolmest segmendist moodustatud kujund, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu samal sirgel (vt joonis 1).
Kolmnurga abc põhielemendid
Tipud – punktid A, B ja C;
Peod – tippe ühendavad lõigud a = BC, b = AC ja c = AB;
Nurgad – α, β, γ, mille moodustavad kolm külgede paari. Nurki tähistatakse sageli samamoodi nagu tippe, tähtedega A, B ja C.
Nurka, mille moodustavad kolmnurga küljed ja mis asub selle sisealal, nimetatakse sisenurgaks ja sellega külgnevat kolmnurga külgnevat nurka (2, lk 534).
Kolmnurga kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned
Lisaks kolmnurga põhielementidele võetakse arvesse ka teisi huvitavate omadustega segmente: kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned.
Kõrgus
Kolmnurga kõrgused- need on ristid, mis on langetatud kolmnurga tippudest vastaskülgedele.
Kõrguse joonistamiseks peate tegema järgmised toimingud:
1) tõmmake sirgjoon, mis sisaldab kolmnurga ühte külge (kui kõrgus on tõmmatud nüri kolmnurga teravnurga tipust);
2) tõmmake tõmmatud joone vastas asuvast tipust punktist sellele sirgele lõik, tehes sellega 90-kraadise nurga.
Nimetatakse punkti, kus kõrgus lõikub kolmnurga küljega kõrguse alus (vt joonis 2).
Kolmnurga kõrguste omadused
Täisnurkses kolmnurgas jagab täisnurga tipust tõmmatud kõrgus selle kaheks algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks.
Teravas kolmnurgas lõikavad selle kaks kõrgust sellest sarnased kolmnurgad.
Kui kolmnurk on terav, siis kõik kõrguste alused kuuluvad kolmnurga külgedele ja nüri kolmnurk külgede jätkule langevad kaks kõrgust.
Kolm kõrgust sisse terav kolmnurk ristuvad ühes punktis ja seda punkti nimetatakse ortotsenter kolmnurk.
Mediaan
Mediaanid(ladina keelest mediana – “keskosa”) – need on lõigud, mis ühendavad kolmnurga tippe vastaskülgede keskpunktidega (vt joonis 3).
Mediaani koostamiseks peate tegema järgmised sammud:
1) leida külje keskosa;
2) ühenda lõiguga punkt, mis on kolmnurga külje keskpunkt vastastipuga.
Kolmnurga mediaanide omadused
Mediaan jagab kolmnurga kaheks võrdse pindalaga kolmnurgaks.
Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need kõik suhtega 2:1, lugedes tipust. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.
Kogu kolmnurk jagatakse selle mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.
Poolitaja
Poolitajad(ladina keelest bis - kaks korda ja seko - lõigatud) on kolmnurga sees olevad sirgjoonelõigud, mis poolitavad selle nurgad (vt joonis 4).
Poolitaja konstrueerimiseks peate tegema järgmised toimingud:
1) konstrueerida kiir, mis väljub nurga tipust ja jagab selle kaheks võrdseks osaks (nurga poolitaja);
2) leida kolmnurga nurga poolitaja lõikepunkt vastasküljega;
3) vali lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje lõikepunktiga.
Kolmnurga poolitajate omadused
Kolmnurga nurga poolitaja jagab vastaskülje suhtega võrdne suhtega kaks külgnevat külge.
Poolitajad sisemised nurgad kolmnurgad lõikuvad ühes punktis. Seda punkti nimetatakse sisse kirjutatud ringi keskpunktiks.
Sise- ja välisnurga poolitajad on risti.
Kui poolitaja välisnurk kolmnurk lõikub vastaskülje jätkuga, siis ADBD=ACBC.
Kolmnurga ühe sise- ja kahe välisnurga poolitajad lõikuvad ühes punktis. See punkt on ühe kolmest keskpunkt ringleb see kolmnurk.
Kolmnurga kahe sise- ja ühe välisnurga poolitajate alused asuvad samal sirgel, kui välisnurga poolitaja ei ole paralleelne kolmnurga vastasküljega.
Kui kolmnurga välisnurkade poolitajad ei ole paralleelsed vastaskülgedega, siis asuvad nende alused samal sirgel.
Tere, kallid lugejad! Täna hakkame probleeme lahendamakolmnurga poolitaja ja mediaani omadused.
Kõigepealt meenutagem, mis on poolitaja ja mediaan.
Poolitaja - see on segment CD, mis ulatub kolmnurga nurga tipust, poolitab nurga ja lõpeb vastasküljel.
Mediaan on CM segment, misühendab kolmnurga tipp Koos vastaskülje keskosa.
Kuna kolmnurgal on kolm tippu ja kolm külge, on sellel ka kolm mediaanpoolitajat.
Ülesanne 1. Antud ristkülikukujuline kolmnurk ABC. Mediaan AD ja poolitaja AM on tõmmatud tipust A küljele BC. Nurk mediaani ja poolitaja vahel on 17°. Otsi teravad nurgad kolmnurk.
Lahendus: Kuna AM on poolitaja, siis nurk BAM võrdne nurgaga MAC ja need on 45°. Kuid nurk DAM on 17°. Seega on nurk VAD võrdne nurkade VAM ja LAM vahega ehk 45-17 = 28°.
Me teame seda Täisnurkse kolmnurga täisnurga tipust tõmmatud mediaan jagab selle kolmnurga 2 võrdhaarseks kolmnurgaks. Nimelt kolmnurgad АВД ja АДС.
Ja nüüd, kuna kolmnurk ABC on võrdhaarne, on selle aluse nurgad võrdsed, st. nurk VAD on võrdne nurgaga AAD ja mõlemad on võrdsed 28°.
See tähendab, et täisnurkses kolmnurgas on nurk B 28°.
Aga täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90°. Seega on nurk C võrdne 90–28 = 62°.
Vastus: Täisnurkse kolmnurga teravnurgad on 28° ja 62°.
2. ülesanne. Tõesta, et poolitajad külgnevad nurgad risti.
Lahendus: Me teame nurkade mõõtmise omadust, mis seda väidab kui kiired tõmmatakse nurga sisse, jagavad nad selle mitmeks nurgaks ja nende nurkade kraadide summa on võrdne kraadi mõõt originaalnurk.
Seetõttu on meil: α+α+β+β = 180°.
Või 2α+2β = 180°.
Lühendame paremat ja vasak pool võrrandi 2 võrra, saame: α + β = 90°.
Need. nurk DVK külgnevate nurkade poolitajate VD ja VK vahel ALATI võrdne 90°-ga sõltumata külgnevate nurkade suurusest.
3. ülesanne. Antud trapets ABCD. Nurkade A ja B poolitajad lõikuvad punktis M.
Leidke AB, kui AM = 24, BM = 18.
Lahendus: Alates eelmine ülesanne saime sellest teada külgnevate nurkade poolitajad moodustavad alati 90° nurga.
Küljega külgneva trapetsi nurkadest tõmmatud poolitajad moodustavad samuti 90° nurga.
Tegelikult: trapetsi nurgad A ja B annavad kokku 180°, nagu ka ühepoolsed nurgad paralleelsete joontega AD ja BC ning lõike AB.
See tähendab, et nende nurkade pooled moodustavad kokku 90°.
Ja kui kolmnurgas on kaks nurka kokku 90°, siis võrdub kolmas nurk 90°, sest kolmnurga sisenurkade summa on 180°.
Nii et see on täisnurkne kolmnurk. Teame, et sellel on 2 jalga; hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil.
AB² = AM² + BM² = 24² + 18² = 900. Seega AB = 30.
Vastus: AB = 30.
Arvukate keskkooli ainete hulgas on üks selline nagu “geomeetria”. Traditsiooniliselt arvatakse, et selle süstemaatilise teaduse rajajad on kreeklased. Tänapäeval nimetatakse kreeka geomeetriat elementaarseks, kuna just tema alustas kõige lihtsamate vormide: tasapindade, sirgjoonte ja kolmnurkade uurimist. Keskendume oma tähelepanu viimasele või õigemini selle joonise poolitajale. Neile, kes on juba unustanud, on kolmnurga poolitaja osa kolmnurga ühe nurga poolitajast, mis jagab selle pooleks ja ühendab tipu vastasküljel asuva punktiga.
Kolmnurga poolitaja omab mitmeid omadusi, mida peate teatud probleemide lahendamisel teadma:
- Nurgapoolitaja on lookus poolt eemaldatud punktid võrdsed vahemaad nurgaga külgnevatest külgedest.
- Kolmnurga poolitaja jagab nurga vastaskülje segmentideks, mis on võrdelised külgnevate külgedega. Näiteks antud kolmnurk MKB, kus nurgast K väljub poolitaja, mis ühendab selle nurga tipu punktiga A vastasküljel MB. Olles analüüsinud see vara ja meie kolmnurk, meil on MA/AB=MK/KB.
- Punkt, kus kolmnurga kõigi kolme nurga poolitajad ristuvad, on samasse kolmnurka kantud ringi keskpunkt.
- Ühe välis- ja kahe sisenurga poolitajate alused on samal sirgel, eeldusel, et välisnurga poolitaja ei ole paralleelne kolmnurga vastasküljega.
- Kui kaks poolitajat ühest, siis see
Tuleb märkida, et kui on antud kolm poolitajat, siis on nendest kolmnurga konstrueerimine isegi kompassi abil võimatu.
Väga sageli on ülesannete lahendamisel kolmnurga poolitaja teadmata, kuid on vaja määrata selle pikkus. Selle ülesande lahendamiseks peate teadma nurka, mille poolitaja poolitab ja selle nurgaga külgnevad küljed. Sel juhul määratletakse nõutav pikkus nurgaga külgnevate külgede kahekordse korrutisega ja pooleks jagatud nurga koosinuse suhtega nurgaga külgnevate külgede summasse. Näiteks antud sama kolmnurga MKB. Poolitaja väljub nurgast K ja lõikub MV vastasküljega punktis A. Nurka, millest poolitaja väljub, tähistatakse y-ga. Nüüd kirjutame kõik sõnadega öeldud valemi kujul üles: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Kui kolmnurga poolitaja väljumise nurga väärtus on teadmata, kuid on teada selle kõik küljed, siis poolitaja pikkuse arvutamiseks kasutame lisamuutujat, mida nimetame poolperimeetriks ja tähistame täht P: P=1/2*(MK+KB+MB). Pärast seda teeme mõned muudatused eelmises valemis, mille abil määrati poolitaja pikkus, nimelt paneme murdosa lugejasse nurgaga külgnevate külgede pikkuste kahekordse korrutuse poolperimeetriga. ja jagatis, kus poolperimeetrist lahutatakse kolmanda külje pikkus. Jätame nimetaja muutmata. Valemi kujul näeb see välja järgmine: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Poolitaja võrdhaarne kolmnurk koos üldised omadused on mitu oma. Tuletagem meelde, milline kolmnurk see on. Sellisel kolmnurgal on kaks võrdset külge ja võrdsed nurgad, mis külgnevad alusega. Sellest järeldub, et poolitajad, mis laskuvad küljed võrdhaarne kolmnurk, üksteisega võrdsed. Lisaks on alusele langetatud poolitaja nii kõrgus kui ka mediaan.
Sa vajad
- - täisnurkne kolmnurk;
- - teadaolev jalgade pikkus;
- - hüpotenuusi teadaolev pikkus;
- - teadaolevad nurgad ja üks osapooltest;
- - nende osade teadaolevad pikkused, milleks poolitaja hüpotenuusi jagab.
Juhised
Kasutage järgmist teoreemi: jalgade seosed ja külgnevate segmentide seosed, millel on otsene seos nurk jagab hüpotenuus on võrdsed. See tähendab, jagage jalad üksteiseks ja võrdsustage need suhtega x/(c-x). Samal ajal veenduge, et lugeja sisaldab x-ga külgnevat jalga. Lahendage saadud võrrand ja leidke x.
Olles välja selgitanud nende lõikude pikkuse, mille jaoks on sirge poolitaja nurk jaganud hüpotenuusi, leidke siinuste teoreemi abil hüpotenuusi enda pikkus. Teate jala ja poolitaja vahelist nurka - 45⁰, kaks külge sisemine kolmnurk Sama.
Asendage andmed siinusteoreemiga: x/sin45⁰=l/sinα. Avaldist lihtsustades saad l=2xsinα/√2. Asendage leitud x: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). See on sirge poolitaja nurk, mida väljendatakse hüpotenuusi kaudu.
Kui teile antakse jalad, on teil kaks võimalust: kas leida hüpotenuusi pikkus Pythagorase teoreemi abil, mille kohaselt jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, ja lahendada ülaltoodud viisil. Või kasuta järgmist valmis valemit: l=√2*ab/(a+b), kus a ja b on jalgade pikkused.
Allikad:
- kuidas leida sirge pikkust
Nurga pooleks jagamine ja selle ülaosast vastasküljele tõmmatud joone pikkuse arvutamine on asi, mida peavad oskama lõikurid, geodeedid, paigaldajad ja mõne muu elukutse esindajad.
Sa vajad
- Tööriistad Pliiatsijoonlauad siinus- ja koosinustabelid Matemaatilised valemid ja mõisted: poolitaja definitsioon Siinuste ja koosinuste teoreemid Poolitajate teoreem
Juhised
Ehitage vajaliku suurusega kolmnurk, olenevalt sellest, mis teile antakse? dfe-küljed ja nendevaheline nurk, kolm külge või kaks nurka ja nendevaheline külg.
Märgistage nurkade ja külgede tipud traditsiooniliste ladina tähtedega A, B ja C. Nurkade tipud tähistavad vastandlikud pooled- väiketähed. Märgistage nurgad Kreeka tähed?,? Ja?
Siinuste ja koosinuste teoreemide abil arvuta nurgad ja küljed kolmnurk.
Pidage meeles poolitajaid. Bisector - nurga jagamine pooleks. Nurgapoolitaja kolmnurk jagab vastandi kaheks segmendiks, mis on võrdsed kahe külgneva külje suhtega kolmnurk.
Joonistage nurkade poolitajad. Märgistage saadud segmendid kirjutatud nurkade nimedega väiketähti, alaindeksiga l. Külg c on jagatud segmentideks a ja b indeksiga l.
Arvutage siinuste seaduse abil saadud lõikude pikkused.
Video teemal
Märge
Lõigu pikkus, mis on samaaegselt kolmnurga külg, mille moodustavad algse kolmnurga üks külgedest, poolitaja ja lõik ise, arvutatakse siinuste seaduse abil. Sama külje teise lõigu pikkuse arvutamiseks kasutage saadud segmentide ja algse kolmnurga külgnevate külgede suhet.
Segaduste vältimiseks tõmmake poolitajad erinevad nurgad erinevad värvid.
Vihje 3: kuidas leida täisnurksest kolmnurgast poolitaja
Poolitaja on kiir, mis jagab nurga pooleks. Lisaks sellele on poolitajal palju muid omadusi ja funktsioone. Ja selleks, et arvutada selle pikkus ristkülikukujuliselt kolmnurk, vajate allolevaid valemeid ja juhiseid.
Sa vajad
- - kalkulaator
Juhised
Korruta külg a, külg b, kolmnurga p poolperimeeter ja arv neli 4*a*b. Järgmisena tuleb saadud summa korrutada poolperimeetri p ja külje c 4*a*b*(p-c) vahega. Tõmmake välja juur sellest, mille saite varem. SQR(4*a*b*(p-c)). Ja jagage tulemus külgede a ja b summaga. Seega oleme saanud Stewarti teoreemi abil ühe poolitaja leidmise valemitest. Seda saab tõlgendada erinevalt, esitades seda järgmiselt: SQR(a*b*(a+b+c)(a+b-c)). Selle valemi jaoks on veel mitu võimalust, mis on saadud sama teoreemi alusel.
Korrutage a küljega b. Tulemusest lahutada lõikude e ja d pikkused, milleks poolitaja l jagab külje c. Tulemused näevad välja sellised: a*b-e*d. Järgmisena peate eraldama esitatud erinevuse SQR juure (a*b-e*d). See on veel üks meetod kolmnurkade poolitaja pikkuse jaoks. Tehke kõik arvutused hoolikalt, korrates vähemalt 2 korda võimalikud vead.
Korrutage kaks külgedega a ja b, pluss pooleks jagatud nurga c koosinus. Järgmisena tuleb saadud korrutis jagada külgede a ja b summaga. Kui koosinused on teada, on see arvutusmeetod teile kõige mugavam.
Lahutage nurga a koosinus nurga b koosinusest. Seejärel jagage saadud vahe pooleks. Jagaja, mida me hiljem vajame, on arvutatud. Nüüd jääb üle vaid jagada küljele c tõmmatud kõrgus eelnevalt arvutatud arvuga. Nüüd on demonstreeritud teist arvutusmeetodit poolitaja leidmiseks ristkülikukujuliselt kolmnurk. Vajalike numbrite leidmise meetodi valik on teie enda otsustada ja sõltub ka sellest, mis on selle või selle tingimustega ette nähtud geomeetriline kujund.
Video teemal
Olgu antud kaks nende võrranditega antud ristuvat sirget. On vaja leida sirge võrrand, mis nende kahe sirge lõikepunkti läbides jagaks nendevahelise nurga täpselt pooleks, st oleks poolitaja.