Ortogonaalsed vektorsüsteemid. Ortogonaalne vektorsüsteem

Ortogonaalne funktsioonisüsteem

funktsioonide süsteem ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., ortogonaalne kaaluga ρ ( X) segmendil [ A, b], st selline, et

Näited. trigonomeetriline süsteem 1, cos nx, patt nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. raskusega 1 lõigul [-π, π]. Besseli funktsioonid n = 1, 2,..., J ν ( x), vormi iga ν > - 1/2 O. s. f. kaaluga X segmendil.

Kui iga funktsioon φ ( X) O. s. f. on see x) numbri järgi

Süstemaatiline uurimine O. s. f. alustati seoses Fourier' meetodiga matemaatilise füüsika võrrandite piirväärtusülesannete lahendamiseks. See meetod viib näiteks lahenduste leidmiseni Sturm-Liouville'i probleemile (vt Sturm-Liouville'i probleem) võrrandile [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ juures, mis vastab piirtingimustele juures(A) + tere"(a) = 0, y(b) + Hy"(b) = 0, kus h Ja N- püsiv. Need otsused on nn. ülesande omafunktsioonid moodustavad O.s. f. kaaluga ρ ( X) segmendil [ a, b].

Äärmiselt oluline klass O. s. f. - Ortogonaalsed polünoomid - avastas P. L. Tšebõšev oma uuringutes vähimruutude meetodil interpoleerimise ja hetkede probleemi kohta. 20. sajandil uuringud O. s. f. viiakse läbi peamiselt integraaliteooria ja Lebesgue'i mõõdiku alusel. See aitas kaasa nende uuringute eraldamisele iseseisvaks matemaatikaharuks. Teooria üks peamisi ülesandeid O. s. f. - funktsiooni lagunemise probleem f(x) kujul p ( X)) - O. s. f. Kui me seda formaalselt väljendame P ( X)) - normaliseeritud O. s. f. ja lubage terminihaaval integreerimise võimalus, seejärel korrutage see seeria φ-ga P(X) ρ( X) ja integreerimine alates A enne b, saame:

Koefitsiendid S p, mida nimetatakse funktsiooni Fourier koefitsientideks süsteemi suhtes (φ n(x)), millel on järgmine äärmuslik omadus: lineaarne vorm x):

on väikseim väärtus võrreldes sama kohta antud vigadega n muud vormi lineaarsed avaldised

Seeria ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) koefitsientidega S p, mis arvutatakse valemi (*) abil, nimetatakse funktsiooni Fourier' seeriaks f(x) vastavalt normaliseeritud O. s. f. (φ n(x)). Rakenduste puhul on esmatähtis küsimus, kas funktsioon on üheselt määratletud f(x) nende Fourier koefitsientide järgi. O. s. f., mille puhul see toimub, nimetatakse täielikuks või suletud. Tingimused suletud O. s. f. võib esitada mitmel samaväärsel kujul. 1) Iga pidev funktsioon f(x) saab funktsioonide φ lineaarsete kombinatsioonide abil iga täpsusastmega keskmiselt ligikaudseks määrata k(x), see tähendab, et C n φ n (x) koondub keskmiselt funktsioonile f(x)]. 2) Mis tahes funktsiooni jaoks f(x), mille ruutu integreerime kaalu ρ( X), on Ljapunov-Steklovi suletuse tingimus täidetud:

3) Intervallil [ a, b] ruut, mis on ortogonaalne kõikide funktsioonide φ suhtes n(x), n = 1, 2,....

Kui käsitleda integreeritava ruuduga funktsioone Hilberti ruumi elementidena (vt Hilberti ruum), siis normaliseeritud O.S. f. on selle ruumi koordinaatühiku vektorite süsteemid ja seeria laiendus normaliseeritud O.s. f. - vektori laiendamine ühikvektorites. Selle lähenemisviisiga on paljud normaliseeritud operatsioonisüsteemide teooria kontseptsioonid. f. omandavad selge geomeetrilise tähenduse. Näiteks valem (*) tähendab, et vektori projektsioon ühikvektorile on võrdne vektori ja ühikühiku skalaarkorrutisega; Ljapunov - Steklovi võrdsust saab tõlgendada kui Pythagorase teoreemi lõpmatu mõõtmega ruumi jaoks: vektori pikkuse ruut võrdub selle projektsioonide ruutude summaga koordinaattelgedel; isolatsioon O. s. f. tähendab, et väikseim suletud alamruum, mis sisaldab kõiki selle süsteemi vektoreid, langeb kokku kogu ruumiga jne.

Lit.: Tolstov G.P., Fourier' seeria, 2. väljaanne, M., 1960; Natanson I.P., Konstruktiivne funktsioonide teooria, M. - L., 1949; tema poolt, Reaalmuutuja funktsioonide teooria, 2. väljaanne, M., 1957; Jackson D., Fourier' jada ja ortogonaalsed polünoomid, tlk. inglise keelest, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Ortogonaalridade teooria, tlk. saksa keelest, M., 1958.

Suur Nõukogude entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. 1969-1978 .

Vaadake, mis on "ortogonaalne funktsioonide süsteem" teistes sõnaraamatutes:

- (kreeka ortogonios ristkülikukujuline) lõplik või loendatav funktsioonide süsteem, mis kuulub (eraldatavasse) Hilberti ruumi L2(a,b) (ruutsuunaliselt integreeritavad funktsioonid) ja mis vastab tingimustele F tion g(x). kaalus O. s. f.,* tähendab ...... Füüsiline entsüklopeedia

Funktsioonide süsteem??n(x)?, n=1, 2,..., mis on määratud lõigul ORTOGOONAALNE TEISUND Eukleidilise vektorruumi lineaarne teisendus, säilitades vektorite pikkused või (mis on sellega võrdne) skalaarkorrutised . .. Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Funktsioonide süsteem (φn(x)), n = 1, 2, ..., mis on defineeritud vahemikus [a, b] ja mis vastab järgmisele ortogonaalsuse tingimusele: k≠l korral, kus ρ(x) on mingi funktsioon nimetatakse kaaluks. Näiteks trigonomeetriline süsteem on 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... entsüklopeediline sõnaraamat

Funktsioonide süsteem ((фn(х)), n=1, 2, ..., mis on defineeritud intervallis [a, b] ja mis rahuldab jälgi, ortogonaalsuse tingimus k jaoks ei ole võrdne l-ga, kus p(x) ) on teatud funktsioon , mida nimetatakse kaaluks. Näiteks trigonomeetriline süsteem 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. kaaluga... ... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Vt Art. Ortogonaalne funktsioonide süsteem. Füüsiline entsüklopeedia. 5 köites. M.: Nõukogude entsüklopeedia. Peatoimetaja A. M. Prohhorov. 1988... Füüsiline entsüklopeedia

1) O. s. vektorid on eukleidilise (Hilberti) ruumi nullist erineva vektorite kogum skalaarkorrutisega (. , .) nii, et for (ortogonaalsus) ja (normaliseeritavus). M. I. Voitsekhovski. 2) O. s. ruumi funktsioonid ja funktsioonide süsteem ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Konstruktsioon antud funktsioonide süsteemi jaoks (fn(x)), integreeritav ruuduga ortogonaalsüsteemi intervalli [a, b]funktsioonidel (jn(x)), rakendades teatud ortogonaliseerimisprotsessi või laiendades funktsioone fn( x) …… Matemaatiline entsüklopeedia

Definitsioon 1. ) nimetatakse ortogonaalseks, kui kõik selle elemendid on paarikaupa ortogonaalsed:

1. teoreem. Nullist erineva vektorite ortogonaalne süsteem on lineaarselt sõltumatu.

(Oletame, et süsteem on lineaarselt sõltuv: ja et olla kindel, Korrutame võrdsuse skalaarselt . Võttes arvesse süsteemi ortogonaalsust, saame: }

2. definitsioon. Eukleidilise ruumi vektorite süsteem ( ) nimetatakse ortonormaalseks, kui see on ortogonaalne ja iga elemendi norm on võrdne ühega.

1. teoreemist järeldub kohe, et ortonormaalne elementide süsteem on alati lineaarselt sõltumatu. Siit järeldub omakorda, et sisse n– dimensioonilises eukleidilises ruumis ortonormaalne süsteem n vektorid moodustavad aluse (näiteks ( i, j, k ) kell 3 X– dimensiooniruum).Sellist süsteemi nimetatakse ortonormaalne alus, ja selle vektorid on baasvektorid.

Vektori koordinaate ortonormaalsel alusel saab hõlpsasti arvutada skalaarkorrutise abil: kui Tõepoolest, võrdsuse korrutamine peal , saame näidatud valemi.

Üldiselt kõik põhisuurused: vektorite skalaarkorrutis, vektori pikkus, vektoritevahelise nurga koosinus jne. on ortonormaalsel alusel kõige lihtsamal kujul. Vaatleme skalaarkorrutist: , kuna

Ja kõik muud tingimused on võrdsed nulliga. Siit saame kohe: ,

* Kaaluge meelevaldset alust. Selle aluse skalaarkorrutis on võrdne:

(Siin αi Ja β j – vektorite koordinaadid baasis ( f) ja on baasvektorite skalaarkorrutised).

Kogused γ ij moodustavad maatriksi G, kutsus Grami maatriks. Maatriksi kujul olev skalaarkorrutis näeb välja järgmine: *

2. teoreem. Igas n– dimensioonilises eukleidilises ruumis on ortonormaalne alus. Teoreemi tõestus on oma olemuselt konstruktiivne ja seda nimetatakse

9. Gram-Schmidti ortogonaliseerimisprotsess.

Lase ( a 1,...,a n ) − meelevaldne alus n- dimensiooniline eukleidiline ruum (sellise aluse olemasolu on tingitud n– ruumi mõõde). Algoritm ortonormaali koostamiseks etteantud alusel on järgmine:

1.b 1 = a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, sest (e 1, a 2)- projektsioon a 2 peal e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2, b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2, e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Protsessi jätkates saame ortonormaalse aluse ( e 1 ,...,e n }.

Märkus 1. Vaadeldava algoritmi abil on võimalik konstrueerida igale lineaarsele kestale ortonormaalne alus, näiteks süsteemi lineaarsele kestale ortonormaalne alus, mille auaste on kolm ja mis koosneb viiemõõtmelistest vektoritest.

Näide.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Märkus 2. Erijuhtumid

Gram-Schmidti protsessi saab rakendada ka lineaarselt sõltumatute vektorite lõpmatule jadale.

Lisaks saab Gram-Schmidti protsessi rakendada lineaarselt sõltuvatele vektoritele. Sel juhul tekitab probleeme 0 (nullvektor) etapis j , Kui a j on vektorite lineaarne kombinatsioon a 1 ,...,a j -1 . Kui see võib juhtuda, siis väljundvektorite ortogonaalsuse säilitamiseks ja nulliga jagamise vältimiseks ortonormaliseerimisel peab algoritm nullvektoreid kontrollima ja need kõrvale heitma. Algoritmi tekitatud vektorite arv on võrdne vektorite genereeritud alamruumi mõõtmega (st lineaarselt sõltumatute vektorite arvuga, mida saab algsete vektorite hulgast eristada).

10. Geomeetrilised vektorruumid R1, R2, R3.

Rõhutagem, et ainult ruumidel on otsene geomeetriline tähendus

R1, R2, R3. Ruum R n n > 3 korral on abstraktne puhtalt matemaatiline objekt.

1) Olgu antud kahe vektori süsteem a Ja b . Kui süsteem on lineaarselt sõltuv, siis üks vektoritest, oletame a , väljendatakse lineaarselt teise kaudu:

a= k b.

Kahte sellise sõltuvusega ühendatud vektorit, nagu juba mainitud, nimetatakse kollineaarseks. Seega on kahe vektori süsteem lineaarselt sõltuv siis ja ainult

kui need vektorid on kollineaarsed. Pange tähele, et see järeldus kehtib mitte ainult R3, vaid ka mis tahes lineaarse ruumi kohta.

2) Olgu R3-s olev süsteem kolmest vektorist a, b, c . Lineaarne sõltuvus tähendab, et üks vektoritest, ütleme a , väljendatakse lineaarselt ülejäänud kaudu:

A= k b+ l c . (*)

Definitsioon. Kolm vektorit a, b, c R 3-s, mis asuvad samal tasapinnal või paralleelselt sama tasapinnaga, nimetatakse koplanaarseteks

(vasakpoolsel joonisel on vektorid näidatud a, b, c ühelt tasapinnalt ja paremal on samad vektorid joonistatud erinevatest alguspunktidest ja on ainult paralleelsed ühe tasapinnaga).

Seega, kui kolm vektorit R3-s on lineaarselt sõltuvad, siis on nad samatasandilised. Tõsi on ka vastupidi: kui vektorid a, b, c alates R3 on koplanaarsed, siis on nad lineaarselt sõltuvad.

Vektorkunstiteos vektor a, vektorile b ruumis nimetatakse vektoriks c , mis vastab järgmistele nõuetele:

Määramine:

Vaatleme mitte-tasapinnaliste vektorite järjestatud kolmikut a, b, c kolmemõõtmelises ruumis. Kombineerime nende vektorite alguspunktid punktis A(see tähendab, et me valime ruumis punkti suvaliselt A ja liigutage iga vektorit paralleelselt nii, et selle alguspunkt langeb kokku punktiga A). Vektorite otsad kombineerituna nende algustega punktis A, ei asu samal sirgel, kuna vektorid on mittetasapinnalised.

Mitte-tasapinnaliste vektorite järjestatud kolmik a, b, c kolmemõõtmelises ruumis nimetatakse õige, kui vektori lõpust c lühim pööre vektorist a vektorile b vaatlejale vastupäeva nähtav. Ja vastupidi, kui lühimat pööret vaadatakse päripäeva, kutsutakse kolmik vasakule.

Teine määratlus on seotud parem käsi isik (vt pilti), kust nimi pärineb.

Kõiki paremakäelisi (ja vasakukäelisi) vektorite kolmikuid nimetatakse identse orienteeritud.

Võrdne nulliga:

Kui see on täielik, saab seda kasutada ruumi aluseks. Sel juhul saab mis tahes elemendi lagunemise arvutada valemite abil: , kus .

Juhtu, kui kõigi elementide norme nimetatakse ortonormaalseks süsteemiks.

Ortogonaliseerimine

Iga täielik lineaarselt sõltumatu süsteem lõplikus mõõtmes ruumis on aluseks. Lihtsa aluse pealt võib seega minna ortonormaalsele alusele.

Ortogonaalne lagunemine

Vektorruumi vektorite lagundamisel ortonormaalse aluse järgi lihtsustatakse skalaarkorrutise arvutamist: , kus ja .

Vaata ka

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, mis on "ortogonaalne süsteem" teistes sõnaraamatutes:

1) Oh... Matemaatiline entsüklopeedia

Funktsioonide süsteem ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonaalne raskusega ρ (x) lõigul [a, b], st selline, et Näited. Trigonomeetriline süsteem 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., O. s.f. raskusega 1 lõigul [π, π]. Bessel... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Ortogonaalsed koordinaadid on need, milles meetrilisel tensoril on diagonaalne kuju. kus d Ortogonaalsetes koordinaatsüsteemides q = (q1, q², …, qd) on koordinaatpinnad üksteise suhtes ortogonaalsed. Eelkõige Descartes'i koordinaatsüsteemis... ... Wikipedia

ortogonaalne mitmekanaliline süsteem- - [L.G. Sumenko. Inglise-vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: Riigiettevõte TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogia üldiselt EN ortogonaalne multipleks ...

(fotogrammeetrilise) kujutise koordinaatsüsteem- Parempoolne ortogonaalne ruumiline koordinaatsüsteem, fikseeritud fotogrammeetrilisele kujutisele lähtemärkide kujutistega. [GOST R 51833 2001] Teemad: fotogrammeetria... Tehniline tõlkija juhend

süsteem- 4.48 süsteem: interakteeruvate elementide kombinatsioon, mis on organiseeritud ühe või mitme kindlaksmääratud eesmärgi saavutamiseks. Märkus 1 Süsteemi võib pidada tooteks või selle pakutavateks teenusteks. Märkus 2 Praktikas...... Normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite sõnastik-teatmik

funktsioonide süsteem ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., ortogonaalne kaaluga ρ ( X) segmendil [ A, b], st selline, et

Kui iga funktsioon φ ( X) O. s. f. on see x) numbri järgi

Koefitsiendid S p, mida nimetatakse funktsiooni Fourier koefitsientideks süsteemi suhtes (φ n(x)), millel on järgmine äärmuslik omadus: lineaarne vorm x):

on väikseim väärtus võrreldes sama kohta antud vigadega n muud vormi lineaarsed avaldised

3) Intervallil [ a, b] ruut, mis on ortogonaalne kõikide funktsioonide φ suhtes n(x), n = 1, 2,....

- n-mõõtmelise vektorruumi V kõigi lineaarsete teisenduste rühm üle välja k, säilitades fikseeritud mittemandunud ruutvormi Q kohta V)=Q mis tahes) jaoks...
Matemaatiline entsüklopeedia
- maatriks üle kommutatiivse ringi R ühikuga 1, mille puhul transponeeritud maatriks langeb kokku pöördväärtusega. O. m determinant on võrdne +1...
Matemaatiline entsüklopeedia
- võrk, milles eri perede sirgete puutujad teatud punktis on ortogonaalsed. Näited operatsioonisüsteemidest: asümptootiline võrk minimaalsel pinnal, joonkõverusvõrk. A.V. Ivanov...
Matemaatiline entsüklopeedia
- 1) Oh...
Matemaatiline entsüklopeedia
- ortogonaalne massiiv, OA - maatriks suurusega kx N, mille elementideks on arvud 1, 2, .....
Matemaatiline entsüklopeedia
- vt Isogonaalne trajektoor...
Matemaatiline entsüklopeedia
- teatud Hilberti ruumi H ortonormaalne funktsioonide süsteem (j), nii et H-s ei eksisteeri funktsiooni, mis oleks ortogonaalne antud perekonna kõigi funktsioonide suhtes...
Matemaatiline entsüklopeedia
- vaata projektsiooni...
Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat
- erinevate objektide funktsioonide alluvuse määramine...
Äriterminite sõnastik
- funktsioonide tugevdamine, üks Ch. elundite järkjärgulise ümberkujundamise viisid loomade evolutsiooni käigus. I.f. tavaliselt seotud elundite ja keha kui terviku ehituse tüsistustega...
Bioloogia entsüklopeediline sõnastik
- funktsioonide tugevdamine, üks peamisi viise elundite järkjärguliseks ümberkujundamiseks loomade evolutsiooni käigus. I.f. on seotud elundite ehituse tüsistustega ja viib üldise elutegevuse taseme tõusuni...
- telli n Matrix...
Suur Nõukogude entsüklopeedia
- paralleelprojektsiooni erijuhtum, kui projektsioonide telg või tasand on projektsiooni suunaga risti...
Suur Nõukogude entsüklopeedia
- funktsioonide süsteem (), n = 1, 2,..., mis on lõigu raskusega ρ ortogonaalne, st selline, et Näited. Trigonomeetriline süsteem 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. segmendi raskusega 1...
Suur Nõukogude entsüklopeedia
- selline intervallil defineeritud funktsioonide süsteem Ф = (φ), et ei ole funktsiooni f, mille jaoks...
Suur Nõukogude entsüklopeedia
- ORTOGOONAALNE FUNKTSIOONI süsteem - funktsioonide süsteem n?, n=1, 2,.....
Suur entsüklopeediline sõnastik

"Ortogonaalne funktsioonide süsteem" raamatutes

Lõige XXIV Vana kaevikusõja süsteem ja kaasaegne marsside süsteem

Raamatust Strateegia ja taktika sõjakunstis autor Zhomini Genrikh Veniaminovitš

Lõige XXIV Vana positsioonisõja süsteem ja kaasaegne marsside süsteem Positsioonide süsteemi all mõeldakse vana metoodilise sõjapidamise meetodit, kus armeed magavad telkides, varud käepärast, jälgivad üksteist; üks armee

19. Mõiste "Vene Föderatsiooni maksusüsteem". Seos mõistete "maksusüsteem" ja "maksusüsteem" vahel

Raamatust Maksuseadus autor Mikidze S G

19. Mõiste "Vene Föderatsiooni maksusüsteem". Seos mõistete "maksusüsteem" ja "maksusüsteem" vahel Maksusüsteem on Vene Föderatsioonis kehtestatud föderaalsete, piirkondlike ja kohalike maksude kogum. Selle struktuur on sätestatud art. 13–15 Vene Föderatsiooni maksuseadustik

Raamatust Kuidas see tegelikult juhtus. Tõelise ajaloo rekonstrueerimine autor Nosovski Gleb Vladimirovitš

23. Ptolemaiose geotsentriline süsteem ja Tycho Brahe (ja Koperniku) heliotsentriline süsteem Tycho Brahe järgi maailma süsteem on näidatud joonisel fig. 90. Maailma keskmes on Maa, mille ümber tiirleb Päike. Kõik teised planeedid tiirlevad aga juba ümber Päikese. Täpselt nii

23. Ptolemaiose geotsentriline süsteem ja Tycho Brahe (ja Koperniku) heliotsentriline süsteem

Autori raamatust

Täielik funktsioonide süsteem

Autori raamatust Great Soviet Encyclopedia (PO). TSB

Ortogonaalne maatriks

TSB

Ortograafiline projektsioon

Autori raamatust Great Soviet Encyclopedia (OR). TSB

Ortogonaalne funktsioonisüsteem

Autori raamatust Great Soviet Encyclopedia (OR). TSB

Vihje 46: edastage funktsiooniobjektid funktsioonide asemel algoritmidele

Raamatust STL-i kasutamine tõhusalt autor Meyers Scott

Vihje 46: edastage funktsiooniobjektid funktsioonide asemel algoritmidele Sageli öeldakse, et kõrgetasemeliste keelte abstraktsioonitaseme suurendamine muudab genereeritud koodi vähem tõhusaks. STL-i leiutaja Aleksandr Stepanov arendas kunagi väikese kompleksi

12.3.5. Funktsiooniadapterid funktsiooniobjektide jaoks

C++ raamatust algajatele autor Lippman Stanley

12.3.5. Funktsiooniadapterid funktsiooniobjektide jaoks Standardne teek sisaldab ka mitmeid funktsiooniadaptereid nii ühe- kui ka kahendfunktsiooniobjektide spetsialiseerimiseks ja laiendamiseks. Adapterid on eriklassid, mis jagunevad kaheks järgmiseks

19.11.2. Funktsioonide kutsumine funktsioonifailist

Raamatust Linux ja UNIX: shell-programmeerimine. Arendaja juhend. autor Tainsley David

19.11.2. Funktsioonide kutsumine funktsioonifailist Oleme juba vaadanud, kuidas funktsioone käsurealt kutsutakse. Seda tüüpi funktsioone kasutavad tavaliselt süsteemiteateid loovad utiliidid Nüüd kasutame uuesti ülalkirjeldatud funktsiooni, kuid antud juhul

Objektiivse (positiivse) õiguse süsteem ja seadusandluse süsteem: mõistete seos

Raamatust Jurisprudents autor Mardaliev R.T.

Objektiivse (positiivse) õiguse süsteem ja õigusloome süsteem: mõistete seos Objektiivse (positiivse) õiguse süsteem on õiguse sisemine struktuur, jagades selle vastavalt subjektile ja meetodile harudeks, alamsektoriteks ja institutsioonideks. juriidilisest

31. Prantsusmaa valitsussüsteem, valimisõigus ja valimissüsteem

Raamatust Välisriikide põhiseadus autor Imasheva E G

31. Prantsuse valitsussüsteem, valimisõigus ja valimissüsteem Prantsusmaal on segavabariiklik (või poolpresidentlik) vabariiklik valitsus. Prantsusmaa valitsemissüsteem on üles ehitatud võimude lahususe põhimõttele.Moodne Prantsusmaa

Raviliigutused motoorsete funktsioonide taastamiseks ja seljavalu korral Motoorsete funktsioonide taastamine

Raamatust Erinevate haiguste terapeutiliste liikumiste entsüklopeedia autor Astašenko Oleg Igorevitš

Raviliigutused motoorsete funktsioonide taastamiseks ja seljavalude korral Motoorsete funktsioonide taastamine Lülisamba taastamiseks on palju harjutusi. Võite need ise välja mõelda või leida neid erinevat tüüpi võimlemises. Samas lihtne

Terapeutilised liigutused motoorsete funktsioonide taastamiseks ja seljavalu motoorsete funktsioonide taastamiseks

Raamatust Selgroo kapitaalremont autor Astašenko Oleg Igorevitš

Raviliigutused motoorsete funktsioonide taastamiseks ja motoorsed funktsioonid seljavalude korral Motoorsete funktsioonide taastamine Lülisamba taastamiseks on palju harjutusi. Võite need ise välja mõelda või leida neid erinevat tüüpi võimlemises.

x =λ 0 e +z, kusz L. λ 0 arvutamiseks korrutame võrdsuse mõlemad pooled skalaarselt e-ga. Kuna (z ,e ) = 0, saame (x ,e ) =λ 0 (e ,e ) =λ 0 .

Ortogonaalsed ja ortonormaalsed süsteemid

Definitsioon 5.5. Kui L on Hilberti ruumi H alamruum, siis nimetatakse kõigi L-ga ortogonaalsete elementide kogumit H-st.

L-i ortogonaalne täiendus.

Tõestame, et ka M on alamruum.

1) Omadusest 3) ortogonaalsete elementide puhul järeldub, et M on ruumi H lineaarne alamhulk.

2) Olgu z n M ja z n → z . Definitsiooni järgi on M z n y mis tahes y L korral ja omaduse 4 järgi ortogonaalsete elementide puhul on meil z y . Seetõttu on z M ja M suletud.

Mis tahes x H korral on teoreemi 5.3 kohaselt ainulaadne laiendus

kujul x =y +z, kus y L,z M, s.o. alamruumid L ja M moodustavad

Ruumi H ortogonaalne lagunemine.

Lemma 5.1. Olgu antud paarikaupa ortogonaalsete alamruumide L n lõplik või loendatav hulk ja element x H esitatakse kujul

x = ∑ y n , kus y L . Siis on selline esitus ainulaadne ja y n = Pr L n x .

Definitsioon 5.6. Ortogonaalsete alamruumide süsteemi L n nimetatakse täielikuks, kui ruumis H ei ole nullist erinevat elementi, mis oleks ortogonaalne kogu L n suhtes.

Definitsioon 5.7. Hilberti ruumi H lõplikku või loendatavat elementide süsteemi h n nimetatakse ortogonaalseks, kui h n h m n ≠m korral Definitsioon 5.8. Ortogonaalsüsteemi h n nimetatakse ortonormaalne, kui ||h n || = 1.

Definitsioon 5.9. Ortogonaalsüsteemi h n nimetatakse täielikuks, kui puudub nullist erinev element x H, mille puhul x h n kõigi n .

Saate seda kontrollida ortogonaalsüsteemi nullist erinevad elemendid on lineaarselt sõltumatud.

Täieliku ortonormaalse süsteemi näide l 2-s on kõigi koordinaatühikute vektorite süsteem.


Loodud elementide h n	ühemõõtmeline		alamruumid L n
ortogonaalne. Elemendi projektsioonid				alamruumid
arvutatakse valemiga		x = anhn.
	PrL n
Arve α n = (x ,h n ) kutsutakse	koefitsiendid			Fourier elementx
elementide süsteemi h n suhtes.

Teoreem 5.4. Kui elementi x H saab esitada kui

x = ∑ λ n h n , siis see esitus on kordumatu ja koefitsiendid λ n on võrdsed

See on etendus x nimetatakse elemendi x Fourier-laiendiks (ortogonaalseks paisumiseks) elementideks hn.

Teoreem 5.5. Selleks, et mis tahes elementi x H saaks esitada selle Fourier' laiendusena üle ortonormaalse süsteemi elementide h n, on vajalik ja piisav, et see süsteem oleks täielik.

Sellest teoreemist järeldub, et n-mõõtmelises Hilberti ruumis peab terviklik ortonormaalne süsteem koosnema n-st elemendist. Teisest küljest, kui n-mõõtmelises Hilberti ruumis on antud suvaline alus, mis koosneb paarikaupa ortogonaalsetest elementidest, siis teoreemist 5.5 järeldub, et see süsteem on täielik.

Definitsioon 5.10. Täielikku ortogonaalset elementide süsteemi nimetatakse

ortonormaalne alus Hilberti ruum.

Definitsioon 5.11. Suhe

	∑ α n 2=
	∑ α n 2=

kus α n	– elemendi x Fourier koefitsiendid, mida nimetatakse võrrandiks
isolatsioon.

Teoreem 5.6.

Suvalise ortonormaalse süsteemi (h n ) korral on järgmised väited elementide x H kohta samaväärsed:

1) elemendi x H puhul kehtib Fourier' laiendus (5.7);

2) element x H sisaldub elementide hulga (h n) poolt genereeritud alamruumis;

3) elemendi x H jaoks on täidetud suletusvõrrand (5.8) Järeldus. Lausetest 5.5 ja 5.6 järeldub, et selleks, et ortonormaalne süsteem oleks täielik, on vajalik ja piisav, et

mis tahes x H korral oli suletusvõrrand täidetud.

Teoreem 5.7. Kui elementi x H saab esitada selle Fourier' laiendusega (5.7) üle ortonormaalsüsteemi elementide (h n ), siis mis tahes y H korral

(x,y)= ∑ α n β n,

kus α n on elemendix Fourier' koefitsiendid, β n on elemendi Fourier' koefitsiendid süsteemi suhtes (h n).

Teoreem 5.8. Lõpliku mõõtmega normruum on eraldatav Teoreem 5.9. Iga loendava alusega ruum on eraldatav.

Teoreemidest 5.8 ja 5.9 järeldub, et lõplik või loendatav ortonormaalne alus saab eksisteerida ainult eraldatavates ruumides.

Lineaarselt sõltumatute elementide süsteemi ortogonaliseerimine

Olgu Hilberti ruumile H antud lineaarselt sõltumatute elementide g 1 , g 2 , ... lõplik või loendatav süsteem. Koostame elementidest h 1 , h 2 , ... ortonormaalse süsteemi nii, et igal h n on vorm

h n =μ n 1 g 1 + μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
ja igal g n-il on vorm
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Esmalt konstrueerime ortogonaalsüsteemi elementidest f 1 , f 2 , ..., eeldades, et järjestikused

k = 1

Koefitsiendid λ ik tuleb valida nii, et elemendid f 1 , f 2 , ... oleksid paarikaupa ortogonaalsed. Olgu elementide f 1 , f 2 , ..., f n- 1 koefitsiendid λ ik juba leitud. Siis kui ma

n-1		n-1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k,f i ).
k = 1		k = 1
Kuna f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 juba	on ortogonaalsed, siis (f k ,f i ) = 0		k ≠ i,
saame	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
(fn	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
Kuna iga element		on lineaarne kombinatsioon lineaarselt
sõltumatud elemendid g 1,	g 2 , ...,g n ja koefitsient		g n juures

ühtsus, siis f n ≠ 0. Et tingimus (f n ,f i ) = 0 oleks täidetud, tuleb koefitsient λ ni määrata valemiga

λni=	g n,	f i)

Oleme konstrueerinud ortogonaalsüsteemi f 1 , f 2 , .... Nüüd paneme

h n=

Elemendid h 1 ,h 2 , ... on paarikaupa ortogonaalsed, ||h n || = 1 ja iga element h n on lineaarne kombinatsioon elementidest g 1 ,g 2 , ...,g n , seega on nõutav kuju (5.9). Teisest küljest selgub valemist (5.11), et iga g n on elementide f 1, f 2, ..., f n lineaarne kombinatsioon ja seega ka elemendid h 1, h 2, ..., h n , st. on kujul (5.10). Seega oleme saanud vajaliku ortonormaalse süsteemi.

Veelgi enam, kui algne süsteem (gn) oli lõpmatu, koosneb ortogonaliseerimisprotsess lõpmatust arvust sammudest ja süsteem (hn) on samuti lõpmatu. Kui algne süsteem koosneb m elemendist, on tulemuseks olev süsteem sama arvuga.

Pange tähele, et tingimustest (5.9) ja (5.10) järeldub, et elementide (gn) ja (hn) süsteemide lineaarsed kestad langevad kokku.

Kui L on ruumi H lõplike mõõtmetega alamruum ja g 1 ,g 2 , ...,g n on selle suvaline alus, siis rakendades ortogonaliseerimisprotsessi süsteemile (g n ), konstrueerime ortonormaalse aluse alamruum

Suvalise eraldatava Hilberti ruumi isomorfism ruumiga l²

Teoreem 5.10. Eraldatavas Hilberti ruumis H, mis sisaldab nullist erinevaid elemente, eksisteerib lõplik või loendatav ortonormaalne alus.

Tõestus.

Eraldatavuse definitsiooni järgi on H-s igal pool loendatav tihe hulk A. Nummerdame kõik hulga A elemendid ümber. Valime A hulgast lineaarselt sõltumatute elementide lõplik või loendatav süsteem B, mille lineaarulatus langeb kokku hulga A lineaarulatusega. Sel juhul on kõik A-st välja visatud elemendid süsteemi B elementide lineaarsed kombinatsioonid. Allutame süsteemi B ortogonaliseerimise protsessile ja konstrueerime lõpliku või loendatava ortonormaalse süsteemi h n . Tõestame

et see on täis.

Olgu x H ortogonaalne kõigi h n suhtes. Kuna süsteemi B elemendid on elementide h n lineaarsed kombinatsioonid, on tox kõigi elementide suhtes ortogonaalne

süsteemid B. Hulk A erineb B-st selle poolest, et sisaldab veel mõnda elementi, mis on kujutatud süsteemi B elementide lineaarsete kombinatsioonidena. Seetõttu on x ortogonaalne hulga A kõigi elementide suhtes. Aga kuna A on tihe kõikjal H-s, siis x = 0 omaduse 5) järgi ortogonaalsete elementide puhul. Seega on elementide süsteemi h n täielikkus tõestatud.

Viime eukleidiliste ruumide algebralise isomorfismi ja isomeetria definitsioonid üle mis tahes normitud ruumidesse.

Definitsioon 5.12. Nimetatakse kaks normiruumi E ja E 1

algebraliselt isomorfne ja isomeetriline , kui nende elementide vahel saab luua üks-ühele vastavuse nii, et:

a) algebralised tehted elementidega E-st vastavad samadele tehtetele nende kujutistega E 1 ;

b) E ja E 1 vastavate elementide normid on võrdsed.

Teoreem 5.11. Iga lõpmatu mõõtmega eraldatav Hilberti ruum H on ruumi l 2 suhtes algebraliselt isomorfne ja isomeetriline.

Tõestus.

Teoreemi 5.10 kohaselt on H-s loendatav ortonormaalne alus: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Teoreemi 5.5 kohaselt on mis tahes x H korral laiendus

x = ∑ α n hn .

võrreldav

n = 1

selle koefitsientide järjestus

(α n ), st.

n = 1

Vektorit a ja nimetatakse elementide kujutiseks.

Kui α n on elementide Fourier koefitsiendid ja β n on koefitsiendid

elementide x ja y kujutiste summa. Samamoodi kontrollitakse, et kui a on elementide kujutis, siis λ a on elemendi λ x kujutis. See tähendab, et algebralised toimingud H elementidega vastavad samadele toimingutele nende kujutistel 2.

Näitame, et iga vektor a = (α n )l 2 on mõne kujutis

x H . Selleks koostame antud väärtuse juures rea ∑ α n h n . Kuna sarja liikmed

on paarikaupa ortogonaalsed ja		n = 1
on paarikaupa ortogonaalsed ja

∑ \|\|α n h n \|\|2 =	∑ α n 2< +∞,
n = 1	n = 1

siis teoreemi 5.2 järgi seeria koondub. Kui tähistame selle summat x-ga, siis on teoreemi 5.4α järgi n selle Fourier' koefitsient, seega,

antud vektor a on selle kujutis.

Nüüd kontrollime, kas loodud vastavus H elementide ja l 2 vektorite vahel on üks-ühele. Tõepoolest, kui vektorid a ja b on vastavalt y-s olevate elementide kujutised, siis tõestatu põhjal on a – b elementide kujutis – y-s ja (5.12) a − b = x − y. Seega, kuix ≠ y, siis ia ≠ b.

Teisisõnu, kui ortonormaalne süsteem on täielik ja kahel elemendil x ja y on vastavalt samad Fourier koefitsiendid, siis x = y. See ei kehti mittetäieliku süsteemi kohta.

Seega oleme loonud vastavuse H elementide ja l 2 vektorite vahel, mis esindab algebralist isomorfismi ja vastavalt (5.12) isomeetrilist. Teoreem on tõestatud.

Nüüd tõestame, et isomorfism H ja l 2 vahel on samuti kindlaks tehtud

skalaarkorrutise väärtuse säilitamine.

Teoreem 5.12. Teoreemis 5.11 kehtestatud ruumide H ja l 2 vahelise isomorfismiga H mis tahes kahe elemendi skalaarkorrutis. on võrdne nende kujutiste skalaarkorrutisega 2.

Tõestus . Olgu vektorid a ja b elementide uy kujutised,


vastavalt a= (a n), b= (β n). Siis: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n .
n = 1	n = 1

Võttes arvesse teoreemi 5.7 ja skalaarkorrutise definitsiooni l 2-s, leiame