Sirged, kus kaks paralleelset tasapinda ristuvad kolmanda tasapinnaga. Tasapindade paralleelsus: seisund ja omadused

Tunni eesmärgid:

• Tutvustage paralleelsete tasandite mõistet.
• Vaatleme ja tõestame tasandite paralleelsuse märki ja paralleelsete tasandite omadusi väljendavaid teoreeme.
• Jälgige nende teoreemide rakendamist probleemide lahendamisel.

Tunniplaan (kirjuta tahvlile):

I. Ettevalmistav suuline töö.

II. Uue materjali õppimine:

1. Kahe tasandi suhteline asend ruumis.
2. Paralleelsete tasandite määramine.
3. Paralleelsete tasandite märk.
4. Paralleelsete tasandite omadus.

III. Tunni kokkuvõte.

IV. Kodutöö.

TUNNIDE AJAL

I. Suuline töö

Tahaksin õppetundi alustada tsitaadiga Tšaadajevi filosoofilisest kirjast:

“Kust tuleb see imeline analüüsivõime matemaatikas? Fakt on see, et mõistus tegutseb siin täielikult sellele reeglile alludes.

Seda reeglikuulekust vaatleme järgmises ülesandes. Uue materjali õppimiseks peate mõnda küsimust kordama. Selleks peate koostama nendest väidetest tuleneva väite ja põhjendama oma vastust:

II. Uue materjali õppimine

1. Kuidas saavad kaks tasapinda ruumis paikneda? Mis on mõlemale tasapinnale kuuluvate punktide hulk?

Vastus:

a) langeb kokku (siis on meil tegemist ühe lennukiga, see ei ole rahuldav);
b) ristuvad, ;
c) ei ristu ( ühised punktid absoluutselt mitte).

2. Definitsioon: Kui kaks tasapinda ei ristu, nimetatakse neid paralleelseks

3. Määramine:

4. Too näiteid keskkonnast paralleelsete tasandite kohta

5. Kuidas teada saada, kas kaks ruumis olevat tasapinda on paralleelsed?

Vastus:

Võite kasutada määratlust, kuid see on sobimatu, sest Tasapindade ristumiskohta ei ole alati võimalik kindlaks teha. Seetõttu on vaja arvestada tingimusega, mis on piisav, et väita, et tasapinnad on paralleelsed.

6. Vaatleme olukordi:

b) kui ?

c) kui ?

Miks on vastus punktides a ja b “mitte alati”, aga punktis c “jah”? (Lõikuvad jooned määratlevad tasapinna ainulaadsel viisil, mis tähendab, et need on unikaalselt määratletud!)

Olukord 3 on kahe tasandi paralleelsuse märk.

7. Teoreem: Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.

Arvestades:

Tõesta:

Tõestus:

(Õpilased kasutavad joonisele tähistusi.)

1. Märkus: . Samamoodi:
2. Laske: .
3. Meil ​​on: Sarnaselt:
4. Saame: läbi M on vastuolu planimeetria aksioomiga.
5. Seega: vale, tähendab jne.

8. Lahendus nr 51 (Õpilased rakendavad joonisele sümboleid).

Arvestades:

Tõesta:

Tõestus:

1 viis

1. Ehitame

2. meetod

Sisenege kaudu .

9. Vaatleme paralleelsete tasandite kahte omadust:

Teoreem: Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.

(Õpilased ise lõpetavad konstruktsiooni ja märgivad selle joonisele).

Arvestades:

Vaadeldakse tasapindade paralleelsuse seost, selle omadusi ja rakendusi.

Nende kahe asukoha visuaalne kujutis

tasapinnad annab modelleerimise kasutades külgnevate seinte pindade tasapindu, toa lae ja põrandat, narid, kahte kinnitatud paberilehte

mustkunstnikud jne (joon. 242–244).

Kuigi on olemas lõpmatu hulk erinevate tasandite suhtelise paigutuse võimalused, et teha kindlaks ja iseloomustada, milliseid nurkade ja kauguste mõõtmisi edaspidi kasutatakse, keskendume esmalt neile, kus klassifikatsioon (nagu ka tasapindadega sirged) põhineb tasandite arvul. nende ühised punktid.

1. Kahel lennukil on vähemalt kolm levinud punktid, mis ei asu samal sirgel. Sellised tasapinnad langevad kokku (aksioom C 2, §7).

2. Kahe tasandi ühispunktid asuvad ühel sirgel, mis on nende tasandite lõikejoon (aksioom C 3, §7). Sellised tasapinnad ristuvad.

3. Kahel tasapinnal pole ühiseid punkte.

IN sel juhul nimetatakse neid paralleelne-

Kaht tasapinda nimetatakse paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte.

Tasapindade paralleelsust näitab märk ||: α || β.

Nagu ikka, tutvustamisel geomeetrilised mõisted tekkis

Nende olemasoluga pole probleemi. ristuvate-

Xia lennukid on iseloomulik tunnus ruum,

ja oleme seda juba mitu korda kasutanud. Vähem ilmne on

Paralleelsete tasandite olemasolu on kinnitatud. Seal ei ole

kahtleb, et näiteks vastassuunaliste graafikute tasapinnad

Kuubikud on paralleelsed, see tähendab, et nad ei ristu. Aga otse

Tõepoolest, definitsiooni järgi ei saa seda kindlaks teha. Lahendamiseks

püstitatud küsimuse mõistmine, samuti muud sellega seotud küsimused

tasandite paralleelsus, on vaja paralleelsuse märki.

Märgi otsimiseks on soovitatav kaaluda lennukit,

"kootud" sirgetest joontest. On ilmne, et iga sirge on üks

paralleelsed tasapinnad peavad olema üksteisega paralleelsed.

IN muidu lennukitel on ühine punkt. Piisav

Kas tasapind β on täpselt paralleelne sama sirgega α

et tasapinnad α ja β oleksid paralleelsed? Absoluutselt

aga ei (põhjendage seda!). Praktiline kogemus näitab seda

piisab kahest sellisest ristuvast sirgest. Kindlustama

masti küljes on maapinnaga paralleelne platvorm, lihtsalt asetage see

kahel masti külge kinnitatud talal paralleelselt
maise (joon. 245). Neid on palju rohkem
näiteid selle sätte tehnika kasutamisest
päris tasaste pindade paralleelsus
objektid (proovige seda!).
Ülaltoodud kaalutlused võimaldavad meil sõnastada
lüürige järgmine väide.
		(paralleelsete tasandite märk).
		ühe tasapinna ristuvad sirged

Kui tasapinnad on paralleelsed teise tasapinnaga, siis on need tasapinnad paralleelsed.

 Olgu tasapinna α lõikejooned a ja b paralleelsed tasapinnaga β. Tõestame, et tasandid α ja β on paralleelsed. Selleks oletame, et tasapinnad α ja β lõikuvad piki sirget

t (joonis 246). Sirged a ja b ei saa vastavalt tingimusele sirgeid ristuda. Kuid siis tasapinnal α tõmmatakse läbi ühe punkti kaks sirget, mis ei ristu sirgega, st on sellega paralleelsed. See on vastuolu

ja lõpetab teoreemi tõestuse.

Tasapindade paralleelsuse märki kasutatakse tasapinnaliste konstruktsioonide (betoonplaadid, põrandad, goniomeetriseadmete ketas jne) horisontaalsel paigutamisel, kasutades kahte tasandit, mis on paigutatud konstruktsiooni tasapinnale ristuvatele sirgjoontele. Selle tunnuse põhjal on võimalik konstrueerida sellega paralleelne tasapind.

Ülesanne 1. Joonistage antud tasapinnast väljapoole jääva punkti kaudu antud tasapinnaga paralleelne tasapind.

 Olgu antud tasand β ja punkt M väljaspool tasapinda (joon. 247, a). Tõmbame läbi punkti M kaks tasandiga β paralleelset lõikuvat sirget a ja b. Selleks tuleb β tasapinnal võtta kaks ristuvat sirget c ja d (joonis 247, b). Seejärel tõmmake punkti M kaudu sirged a ja b, mis on paralleelsed sirgetega c ja d.

kuid (joon. 247, c).

Lõikuvad sirged a ja b paralleelselt tasapinnaga β, lähtudes sirge ja tasandi paralleelsusest (Teoreem 1 §11). Need määratlevad üheselt tasapinna α. Tõestatud kriteeriumi kohaselt on α || β.

Näide 1. Antud kuubik ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on punktid M , N , P vastavalt servade BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 keskpunktid. Installige vastastikune kokkulepe tasapinnad: 1)ABV 1 ja PNM; 2) NMA ja A1C1C; 3) A 1 NM

ja PC 1 C; 4) MAD 1 ja DB 1 C.

 1) Tasapinnad ABB 1 ja РNM (joonis 248) on paralleelsed, lähtudes tasandite paralleelsusest (Teoreem 1). Tõepoolest, sirged РN ja NM lõikuvad ja on paralleelsed tasapinnaga ABB 1, lähtudes sirge ja tasandi paralleelsusest (teoreem 1 §11), sest lõigud РN ja NM ühendavad keskpunkte vastasküljed ruudud, nii et need on paralleelsed ruutude külgedega:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Tasapinnad NMA ja A 1 C 1 C lõikuvad piki sirget AA 1 (joonis 249). Tõepoolest, sirged AA 1 ja CC 1 on paralleelsed, lähtudes sirgete paralleelsusest (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Seetõttu asub sirgjoon AA 1 tasapinnal A 1 C 1 C. Sarnaselt on põhjendatud sirge AA 1 kuulumine tasapinnale NMA.

3) Tasapinnad A 1 NM ja РС 1 C (joon. 250) on paralleelsed, lähtudes tasandite paralleelsusest. Tõepoolest, NM ||С 1 C . Seetõttu on sirge NM paralleelne tasapinnaga PC 1 C. Lõigud PC 1 ja A 1 N on samuti paralleelsed, kuna nelinurk PC 1 NA 1 on rööpkülik (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Seega on sirge A 1 N paralleelne tasapinnaga PC 1 C. Sirged A 1 N ja NM lõikuvad.

4) Tasapinnad MAD 1 ja DB 1 C lõikuvad (joonis 251). Kuigi nende ristumisjoont ei ole lihtne konstrueerida, ei ole raske näidata selle sirge üht punkti. Tõepoolest, sirged A 1 D ja B 1 C on paralleelsed, kuna nelinurk A 1 B 1 CD on rööpkülik (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Seetõttu kuulub sirge A 1 D tasapinnale DB 1 C. Sirged A 1 D ja AD 1 ristuvad punktis, mis on ühine tasapindadele MAD 1 ja DB 1 C.

		Tasapindade paralleelsuse antud märk
		mõnikord on mugavam kasutada veidi teistsuguses
	1′ (paralleelsete tasandite märk).

Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.

Kasutades sirge ja tasandi paralleelsuse kriteeriumi (Teoreem 1 §11), on lihtne kindlaks teha, et teoreemi 1 tingimus tuleneb teoreemi 1 tingimustest. Teoreemi rakendamine pöördvõrdeliselt paralleelsuse kriteeriumile. joon ja tasapind (Teoreem 2 §11) lõpetab lausete 1 ja 1 ′ tingimuste samaväärsuse põhjenduse.

Loomulikult tekib küsimus ülesandes 1 toodud konstruktsiooni unikaalsuse kohta. Kuna me peame seda omadust kasutama rohkem kui üks kord, tõstame selle esile eraldi teoreemina. Siiski vaatame kõigepealt üht teist väidet.

Teoreem 2 (kahe paralleelse tasandi lõikumise kohta kolmandaga).

Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas tasapind, siis on tasandite lõikejooned paralleelsed.

 Olgu antud paralleelsed tasandid α, β ja neid lõikuva tasapind γ (joonis 252). Tähistame ristumisjooned

läbi a ja b. Need sirged asuvad γ-tasandil ega ristu, kuna α- ja β-tasanditel pole ühiseid punkte. Seetõttu otse

a ja b on paralleelsed.

Teoreem 3 (sellega paralleelse tasandi olemasolu ja kordumatuse kohta).

Antud tasapinnast väljaspool asuva punkti kaudu saab joonistada ühe tasandi, mis on paralleelne antud tasapinnaga.

 Sellise tasapinna ehitus viidi läbi ülesandes 1. Tõestame konstruktsiooni unikaalsust vastuoluga. Oletame, et läbi punkti M on tõmmatud kaks erinevat tasapinda α ja γ, pa-

paralleelsed tasapinnad β (joonis 253) ja sirgjoon t on nende lõikejoon. Joonestame tasapinna δ läbi punkti M, mis lõikub sirgega

m ja β tasapind (kuidas seda teha?). Tähistame a ja b-ga

tasapinna δ lõikejoon tasapindadega α ja γ ning läbi c - tasapindade δ ja β lõikejoon (joonis 253). Vastavalt teoreemile 2,a ||c

ja b ||s. See tähendab, et δ tasapinnal läbi

kaks sirgjoontega paralleelset sirget läbivad punkti M. Vastuolu näitab, et eeldus on vale.

Tasapindade paralleelsuse seosel on mitmeid omadusi, millel on planimeetrias analooge.

Teoreem 4 (paralleelsete tasandite vaheliste paralleelsete sirgete lõikude kohta).

Paralleelsete tasandite poolt ära lõigatud paralleelsete joonte lõigud on üksteisega võrdsed.

 Olgu antud kaks paralleelset tasandit α ja β ning lõigud AB

ja nende tasanditega ära lõigatud paralleelsete sirgjoonte a ja d CD (joon. 254, a). Joonestame tasapinna γ läbi sirgete a ja d (joon. 254, b). See lõikab tasapindu α ja β mööda sirgeid AC ja BD, mis vastavalt teoreemile 2 on paralleelsed. Seetõttu on nelinurk ABCD rööpkülik, mille vastasküljed AC ja BD on võrdsed.

Ülaltoodud omadusest järeldub, et kui joonistame graafiku kõigist tasapinna punktidest

lennuki ühel küljel paralleelsed jooned sama pikkusega, siis moodustavad nende segmentide otsad kaks paralleelset tasapinda. Sellel omadusel põhineb rööptahuka konstrueerimine segmentide sadestamist kasutades (joonis 255).

Teoreem 5 (tasapindade paralleelsuse seose transitiivsuse kohta).

Kui mõlemad tasapinnad on paralleelsed kolmandaga, siis on need kaks tasapinda paralleelsed.

 Olgu tasapinnad α ja β paralleelsed tasapinnaga γ. Oletame, et

α ja β ei ole paralleelsed. Siis on tasapindadel α ja β ühine punkt ning läbi selle punkti läbivad kaks erinevat tasapinnaga γ paralleelset tasandit, mis on vastuolus teoreemiga 3. Seetõttu ei ole tasanditel α ja β ühiseid punkte, st nad on paralleelsed. .

Teoreem 5 on veel üks tasandite paralleelsuse märk. Seda kasutatakse laialdaselt nii geomeetrias kui ka praktiline tegevus. Näiteks mitmekorruselises majas tagab põranda- ja laetasapindade paralleelsus igal korrusel nende paralleelsuse erinevatel korrustel.

Ülesanne 2. Tõesta, et kui sirge lõikub tasapinnaga α, siis ta lõikab ka kõiki tasapinnaga α paralleelseid tasapindu.

 Olgu tasapinnad α ja β paralleelsed ning sirge a lõikab tasandit α punktis A. Tõestame, et see lõikub ka tasapinnaga

β. Oletame, et see pole nii. Siis on sirge a paralleelne tasapinnaga β. Joonistame tasapinna γ läbi sirge ja suvaline punkt tasapind β (joonis 256).

See tasand lõikab paralleelseid tasapindu α ja β piki sirgeid b is. kaas-

vastavalt teoreemile 2, b || c, st tasapinnal γ läbivad punkti A paralleelselt sirgega c kaks sirget a ja b . See vastuolu kinnitab väidet.

Proovige omal jõul tõestada, et kui tasapind α lõikub tasapinnaga β, siis lõikub ka iga tasapinnaga β paralleelset tasapinda.

Näide 2. Tetraeedris ABCD on punktid K, F, E servade DA, DC, DB, aM ja P keskpunktid - vastavalt tahkude ABD ja ВСD massikeskmed.

1) Määrake tasandite KEF ja ABC suhteline asukoht;

DEF ja ABC.

2) Ehitage AFB ja KEC tasandite lõikejoon.

3) Leidke tetraeedri ristlõike pindala tasapinnaga ABD paralleelse ja punkti P läbiva tasapinna järgi, kui tetraeedri kõik servad on võrdsed.

 Ehitame tingimusele vastava joonise (joonis 257, a). 1) Tasapinnad KEF ja ABC on paralleelsed, lähtudes tasandite paralleelsusest (teoreem 1'): KEF tasandi lõikejooned KE ja KF on paralleelsed ABC tasandi lõikejoontega AB ja AC (keskjooned vastav

olemasolevad kolmnurgad).

Tasapinnad DEF ja ABC lõikuvad piki sirget BC, kuna sirge BC kuulub mõlemale tasapinnale ja need ei saa kokku langeda - punktid A, B, C, D ei asu samal tasapinnal.

2) Tasapind AFB lõikub tasapinnaga KEC piki sirget, mis sisaldab punkti P, kuna neil tasapindadel asuvad sirged CE ja BF on tasapinnal BCD ja lõikuvad punktis P. Teine punkt on tasapinnal ACD sirgete AF ja CK lõikepunkt Q (joon. 257, b). Ilmselgelt on see punkt ACD näo massikese. Nõutav ristmik on joon PQ.

3) Konstrueerida tingimuses määratud lõik, kasutades tasandite paralleelsuse märki. Tõmbame sirged läbi punktide P ja Q, mis on paralleelsed vastavalt sirgetega DB ja DA (joon. 257, c). Need sirged lõikuvad lõigu CD punktis L. Viimane tuleneb kolmnurga massikeskme omadusest - see jagab kolmnurga mediaanid suhtega 2: 1, lugedes tipust. Jääb üle rakendada Thalese teoreemi. Seega on PLQ ja BDA tasapinnad paralleelsed. Vajalik osa on kolmnurk LSN.

Konstruktsiooni järgi on kolmnurgad BCD ja SCL sarnased sarnasuskoefitsiendiga CE CP = 3 2. Seetõttu LS = 3 2 BD . Sarnaselt väljakujunenud

lisatakse järgmised võrdsused: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Sellest järeldub, et kolmnurgad LSN ja ABD on sarnased sarnasuskoefitsiendiga 3 2. Vastavalt sarnaste kolmnurkade pindalade omadustele

S LNS =4 9 S ABD . Jääb leida kolmnurga ABD pindala. Kõrval-

kuna tingimuse järgi on tetraeedri kõik servad võrdsed a-ga, siis S ABD =4 3 a 2.

Nõutav pindala on 3 1 3 a 2 .

On asjakohane märkida, et vastus sõltub ainult näopiirkonnast ABD. Seetõttu on kõigi servade võrdsus vaid vahend selle ala leidmiseks. Seega see ülesanne võib oluliselt üldistada.

Vastus. 1)KEF ||ABC ; 3) 3 1 3 a 2 .

 Testi küsimused

1. Kas on tõsi, et kaks tasapinda on paralleelsed, kui iga ühel tasapinnal paiknev sirge on paralleelne teise tasapinnaga?

2. Tasapinnad α ja β on paralleelsed. Kas nendel tasapindadel on viltuseid jooni?

3. Kolmnurga kaks külge on paralleelsed teatud tasapinnaga. Kas kolmnurga kolmas külg on selle tasapinnaga paralleelne?

4. Rööpküliku kaks külge on paralleelsed teatud tasapinnaga. Kas vastab tõele, et rööpküliku tasand on paralleelne antud tasandiga?

5. Kas kahe paralleelse tasapinnaga lõigatud sirge lõigud võivad olla ebavõrdsed?

6. Kas kuubi ristlõige võib olla võrdhaarne trapets? Kas kuubi ristlõige võib olla tavaline viisnurk? Kas vastab tõele, et kaks sama sirgega paralleelset tasapinda on paralleelsed?

Tasapindade α ja β lõikejooned tasapinnaga γ on üksteisega paralleelsed. Kas tasapinnad α ja β on paralleelsed?

Kas kuubi kolm tahku võivad olla paralleelsed sama tasapinnaga?

Graafilised harjutused

1. Joonisel 258 on kujutatud kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, punktid M, N, K, L, P on vastavate servade keskpunktid. Täida tabel valides toodud näite järgi vajalik asukoht tasapinnad α ja β.

Vastastikune

asukoht

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
ja ADC	ja BB1 D	ja MNP	ja BMN
	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
ja PLN	ja DMN	ja AB1 C	ja MKP

2. Joonisel fig. 259 kujutab tetraeedrit ABCD, punktid K, F, M, N, Q on vastavate servade keskpunktid. Palun märkige:

1) tasapinnaga ABC paralleelne punkti K läbiv tasapind;

2) tasapinnaga MNQ paralleelset sirget BD läbiv tasapind.

3. Määrake, milline on joonise läbilõige tasandist, mis läbib joonisel näidatud kolme punkti.

kah 260, a)–e) ja 261, a)–d).

4. Ehitage etteantud andmete põhjal joonis.

1) Rööpküliku ABCD tippudest, mis asuvad ühel kahest paralleelsest tasapinnast, tõmmatakse paralleelsed sirged, mis lõikuvad teise tasandiga vastavalt punktides A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

2) Kolmnurk A 1 B 1 C 1 on kolmnurga ABC projektsioon sellega paralleelsele tasapinnale α. Punkt M on päikese keskpaik, M 1 on punkti M projektsioon tasapinnale α.

207. Kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punktid O, O 1 on vastavalt tahkude ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 keskpunktid, M serva AB keskpunkt.

1°) Määrake tasandite MO 1 O suhteline asukoht

ja ADD 1, ABD 1 ja CO 1 C 1.

2°) Koostage tasapinna DCC 1 ja sirge MO 1 lõikepunkt ning tasandite MCC 1 ja A 1 D 1 C 1 lõikepunkt.

3) Leidke kuubi ristlõikepindala tasapinnaga AD 1 C 1 paralleelselt ja läbib punkti O 1, kui kuubi serv on võrdne a-ga.

208. Tetraeedris ABCD on punktid K, L, P vastavalt tahkude ABD, BDC, ABC massikeskmed ja aM serva AD keskpunkt.

1°) Määrake ACD tasandite suhteline asukoht

ja KLP, MLK ja ABC.

2°) Koostage tasapinna ABC ja sirge ML lõikepunkt ning tasandite MKL ja ABC lõikepunkt.

3) Leidke tetraeedri ristlõike pindala tasapinnaga, mis läbib punkte K, L ja M paralleelselt sirgjoonega AD, kui tetraeedri kõik servad on võrdsed.

209. Antud on kuup ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punktid L, M, M 1 on vastavalt servade AB, AD ja A 1 D 1 keskpunktid.

1°) Määrake tasapindade B 1 D 1 D suhteline asukoht

ja LMM1.

2) Koostage punkti M läbiv tasapind paralleelselt tasapinnaga ACC 1.

3) Konstrueerige kuubist lõige punkti M 1 läbiva tasapinnaga paralleelselt tasapinnaga CDD 1.

4) Määrake tasandite MA 1 B 1 suhteline asukoht

ja CDM1.

5) Koostage tasapinnaga CDM 1 paralleelset sirget C 1 D 1 läbiv tasapind.

210. Korrapärase nelinurkse püramiidi SABCD kõik servad on üksteisega võrdsed. Punktid L, M ja N on vastavalt servade AS, BS, CS keskpunktid.

1°) Määrake: sirgete LM ja BC suhteline asukoht; sirgjoon LN ja tasapind ABD; lennukid LMN ja BDC.

2°) Tõesta, et kolmnurgad ABC ja LMN on sarnased.

3) Konstrueerida püramiidi lõik, kasutades tasandit AMN; lennuk LMN; lennukLBC.

4*) Millise tippu S läbivatest püramiidi lõikudest on suurim pindala?

Sirgete ja tasandite paralleelsus

SABC tetraeedris on kõik tahud korrapärased kolmnurgad. Punktid L, M ja N on vastavalt servade AS, BS, CS keskpunktid. 1°) Määrake sirgete LM ja BC suhteline asukoht. 2°) Määrake sirge LN ja tasandi ABC suhteline asukoht.

3) Tõesta, et kolmnurgad LMN ja ABC on sarnased.

Rööpküliku ABCD tippudest, mis asuvad ühes
kaks paralleelset tasapinda, mis on tõmmatud paarikaupa paralleelselt
lineaarsed sirgjooned, mis lõikuvad teist tasandit vastavad
täpsemalt punktides A 1, B 1, C 1, D 1.
1°) Tõesta, et nelinurk A 1 B 1 C 1 D 1 on paralleelne
2°) Tõesta, et rööpkülikud ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1
on üksteisega võrdsed.
3°) Määrake tasandite ABC 1 suhteline asukoht
ja DD1 C1.
4) Joonistage tasapind 1 läbi lõigu AA keskosa nii
nii et see lõikab neid sirgeid punktides, mis on
rööpkülikuga võrdsed tipud
mu ABCD.
Antud on kaks paralleelset tasapinda ja punkt O, mis ei kuulu
surudes vastu mõnda neist tasapindadest ja mitte lamades nende vahel
neid. Punktist O		joonistatakse kolm kiirt, mis lõikuvad tasapinnaga
luud vastavalt punktides A, B, C ja A 1, B 1, C 1 ja ei lama
lamades samas tasapinnas.
1°) Määrake nende tasandite suhteline asukoht
ja tasapind, mis läbib lõikude AA 1, BB 1, CC 1 keskpunkte.
2) Leidke kolmnurga A 1 B 1 C 1 ümbermõõt, kui OA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
Kolmnurk A 1 B 1 C 1 on kolmnurga ABC projektsioon
sellega paralleelsele tasapinnale α. Punkt M – saja keskpaik
ron BC ;M 1 - punkti M projektsioon			α tasapinnale. Punkt N
jagab poole AB		vahekorras 1:2.	tasapind M 1 MN ja sirge
1) Koostage ristumispunkt N 1
minu A 1 B 1 .
2) Määrake nelinurga M 1 N 1 NM kuju.
	M asub trapetsi ABCB tasandist väljaspool baasi-
mi AD	ja B.C. Koostage tasandite lõikejoon:
1°) ABM ja CDM;		2) CBM ja ADM.

Koostage kuubist osa, mis on: 1°) Võrdkülgne kolmnurk; 2) viisnurk.

217. Koostage tetraeedri lõik, mis on rööpkülik.

218°. Tõesta, et rööptahuka vastasküljed on paralleelsed.

219. Tõesta, et kõigi läbivate sirgete hulk see punkt ja antud tasapinnaga paralleelne, moodustab antud tasapinnaga paralleelse tasandi.

220. Antud on neli punkti A, B, C, D, mis ei asu samas tasapinnas. Tõesta, et iga sirgetega AB ja CD paralleelne tasapind lõikab rööpküliku tippudes sirgeid AC, AD, BD, BC.

221. Tõesta, et tasapind ja sellele tasapinnale mittekuuluv sirge on üksteisega paralleelsed, kui mõlemad on paralleelsed sama tasapinnaga.

222. Kuubi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 diagonaalide lõikepunkti O kaudu tõmmatakse tasapinnaga ABCD paralleelne tasapind. See tasapind lõikab servi BB 1 ja CC 1 vastavalt punktides M ja N. Tõesta, et nurk MON on täisnurk.

223. Tõesta, et kaks tasandit on üksteisega paralleelsed siis ja ainult siis, kui iga tasapinda lõikuv sirge lõikub ka teisega.

224*. Kolmnurkses püramiidis SABC tõmmake läbi segmentide AD ja CE, kus D on keskpunkt SB ja E on keskpunkt SA, püramiidi lõigud üksteisega paralleelselt.

225. Leia geomeetrilisi kohti:

1) kõigi lõikude keskpunktid, mille ots on kahel andmel paralleelsed tasapinnad; 2*) lõikude keskpunktid, mille otsad on kahel etteantud lõikuval sirgel.

226*. Tasapinnal α paikneva kolmnurga ABC külg AB on paralleelne tasapinnaga β. Võrdkülgne kolmnurk 1 B 1 C 1 on paralleelprojektsioon kolmnurk ABC tasapinnal β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Määrake sirgjoonte AB ja A 1 B 1 suhteline asukoht,

BC ja B1 C1, A1 C1 ja AC.

2) Leidke kolmnurga A 1 B 1 C 1 pindala.

227*. Antud kaks ristuvat joont. Märkige kõigi ruumipunktide kogum, mille kaudu saab tõmmata sirge, mis lõikub iga kahe etteantud sirgega.

Põhimääratlus

Neid kahte lennukit nimetatakse

on paralleelsed,

kui neil pole ühiseid punkte.

Peamised väited

Paralleelmärk – kui tasandi ühe tasapinna kaks lõikuvat sirget on vastavalt paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis need tasapinnad

luud on paralleelsed.

Lõikumise teoreem Kui kahte paralleelselt lõikuvat kahte mitteparalleelset tasandit lõikub kolmas tasapind, siis tasandi kolmanda lõikejoone sirged

need on paralleelsed.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β, Mβ

Teemateks valmistumine

hindamiseks teemal “Sirgete ja tasandite paralleelsus”

Enesekontrolli ülesanded

1. Neli punkti ei kuulu samale tasapinnale. Kas kolm neist võivad asuda samal sirgel?

2. Kas kolmel erineval tasapinnal võib olla täpselt kaks ühist punkti?

3. Kas kaks kaldjoont võivad olla paralleelsed kolmanda sirgega?

4. Kas see on tõsi, et otse a ja b ei ole paralleelsed, kui a ja b-ga paralleelset sirget c pole?

5. Kas nad saavad võrdsed segmendid on ebavõrdsed prognoosid?

6. Kas kiir võib olla sirge paralleelprojektsioon?

7. Kas ruut võib olla kuubi kujutis?

8. Kas vastab tõele, et antud ruumipunkti kaudu saab antud sirgega paralleelselt tõmmata ainult ühe tasapinna?

9. Kas alati on võimalik joont läbi antud punkti tõmmata paralleelselt kahe etteantud tasapinnaga, mis seda punkti ei sisalda?

10. Kas on võimalik tõmmata paralleelseid tasapindu läbi kahe ristuva sirge?

Enesekontrolli ülesannete vastused

Katseproov

Kaks rööpkülikut ABCD ja ABC 1 D 1 asuvad erinevatel tasapindadel.

1°) Määrake sirgete CD ja C 1 D 1 suhteline asukoht.

2°) Määrake sirge C 1 D 1 ja tasandi suhteline asukoht

3°) Koostage tasapindade DD 1 C 1 ja ВСС 1 lõikejoon.

4°) Määrake tasandite ADD 1 ja BCC 1 suhteline asukoht.

5) Läbi punkti M, jagades lõigu AB vahekorras 2:1, lugedes punktist A, tõmmake tasapinnaga C 1 BC paralleelne tasapind α. 6) Koostage sirge AC lõikepunkt tasapinnaga α ja leidke suhe, milles see punkt jagab lõigu AC.

		Sirgete ja tasandite paralleelsus
Joonte suhteline asukoht ruumis
			Tabel 21
	Ühiste punktide arv
Vähemalt kaks
		valeta ühes	ära valeta ühes
		lennuk	lennuk

Sirgete ja tasandite suhteline asend ruumis

			Tabel 22
	Ühiste punktide arv
Vähemalt kaks		Mitte ühtegi

a asub α-s	ja lõikub α	ja i α - paralleelne
(a α)	(a × α)	ny (a || α)
Tasapindade vastastikune paigutus ruumis
		Tabel 23
	Ühiste punktide arv
Vähemalt kolm	Vähemalt üks, aga	Mitte ühtegi
ei lama	puuduvad ühised punktid, pole le-
üks sirgjoon	vajutades ühele sirgjoonele

Trigonomeetriline

Trigonomeetriliste funktsioonidega olete juba geomeetriatundides tegelenud. Seni piirdusid nende rakendused peamiselt kolmnurkade lahendamisega ehk siis räägiti mõne kolmnurga elemendi leidmisest teistest. Matemaatika ajaloost on teada, et trigonomeetria tekkimine on seotud pikkuste ja nurkade mõõtmisega. Nüüd aga sfäär

teda rakendused on palju laiemad kui iidsetel aegadel.

Sõna "trigonomeetria" pärineb kreeka sõnast τριγωνον

(trigonon) – kolmnurk ja µετρεω (metreo) – mõõt, mõõta-

ma haugun. Sõna otseses mõttes tähendab see kolmnurkade mõõtmist.

IN See peatükk süstematiseerib teile geomeetria kursusest juba teadaoleva materjali ja jätkab uurimist trigonomeetrilised funktsioonid ja nende rakendused eelkõige partiiprotsesside iseloomustamiseks pöörlev liikumine, võnkeprotsessid ja nii edasi.

Enamik trigonomeetria rakendusi on spetsiifiliselt seotud perioodiliste protsessidega, st protsessidega, mis korduvad korrapäraste ajavahemike järel. Päikesetõus ja loojang, aastaaegade muutused, ratta pöörlemine – need on selliste protsesside lihtsaimad näited. Mehaaniline ja elektromagnetilised vibratsioonid on ka olulised näited perioodilistest protsessidest. Seetõttu on perioodiliste protsesside uurimine oluline ülesanne. Ja matemaatika roll selle lahendamisel on määrav.

valmistume õppima teemat "Trigonomeetrilised funktsioonid"

Teema “Trigonomeetrilised funktsioonid” uurimist on soovitatav alustada kolmnurga nurkade trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonide ja omadustega ning nende rakendustega nii täisnurksete kui ka suvaliste kolmnurkade lahendamisel.

Ristkülikunurkade siinus, koosinus, puutuja, kotangens

kolmnurk

Tabel 24

Teravnurga siinus on suhe vastasjalg hüpotenuusile:

sin α = a c .

Teravnurga koosinus on suhe külgnev jalg hüpotenuusile:

cosα = b c .

Teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe:

tg α =a b .

Teravnurga kotangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe:

ctgα = a b .

Siinus, koosinus, puutuja, nurkade 0° kuni 180° kotangens

Tabel 25

sin α = R y ; cosα = Rx;

tg α = x y; cotgα = x y.

(X;juures) - punkti koordinaadid A asub ülemisel poolringil, α - raadiuse moodustatud nurk OA ring teljega X.

Siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi väärtused

mõned nurgad

Tabel 26

Nurk t

0°

90°

180°

patt t

cos t

tg t

ctg t

Trigonomeetrilised funktsioonid

Suvaliste kolmnurkade lahendamine

Tabel 27

Siinuste teoreem

Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega:

patt aα = patt bβ = patt cγ .

Koosinusteoreem

Kolmnurga suvalise külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, ilma nende külgede kahekordse korrutuseta nendevahelise nurga koosinusega:

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ ,b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 eKr cos α .

Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest:

S=1 2 abpattγ = 1 2 acpattβ = 1 2 eKrpattα .

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid

)

Tabel 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

patt 2 α + cos 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 +tgα = cos2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

patt 2 α

Antud kolmnurk ABC,KOOS= 90°, Päike=3 ,AB= 2. Millega on võrdne

IN ?

B. 45 °.

IN. 60 °.

A. 30 °.

G. Ilma arvutusvahenditeta on võimatu arvutada.

Antud kolmnurk

ABC , KOOS

Päike= 3,

IN= 60°. Mis on võrdne

AB ?

A. 3

B. 6.

3 .

Nende osapoolte sõnul täisnurkne kolmnurk leida

selle väiksema nurga koosinus: A= 3,b= 4,c

A. 0,8.

Milline antud väärtustest ei saa kalduda

nus teravnurga?

7 − 1

7 2

A.

5. Võrrelge siinuste summat teravad nurgad suvaline täisnurkne kolmnurk (tähistame sedaA) ühega.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Seda on võimatu võrrelda. Järjesta numbrid kasvavas järjekorras: A= sin 30°, b= cos 30°,

= tg 30°.

< b<c.B.a<c<b

Trigonomeetrilised funktsioonid

Milliste teravnurkade korral on siinus väiksem kui koosinus?

Kõigi jaoks.

Väiksematele 45°.

Suurtele 45°.

G. Mitte kellelegi.

Millega on cos võrdne?

α, kui α on ristkülikukujulise kolmnurga teravnurk

ruut ja pattα =

12 .

Puu varju pikkus on 15 m Päikesekiired moodustavad nurga

30° Maa pinnaga. Mis on ligikaudne kõrgus?

puu? Valige kõige täpsem tulemus.

B. 13 m.

IN. 7 m.

Mis on avaldise väärtus

1 − x2

juures X= – 0,8?

B. –0,6.

G.≈ 1,34.

Valemist a2 +b2 =4 väljendada b< 0 черезa.

A.b=4 −a2 .

B.b=a2 −4 .

b= −a2

− 4 .

b= −4 −a2 .

Punkt A

asub kolmandas kvartalis teljest 3 kaugusel X Ja

distantsil

10 päritolust. Mis on koordinaadid

on mõtet A?

B.(−1; 3).

IN.(−1; −3).

G.(−3; −1).

järgmised punktid

kuulub

ring

x 2+ y 2

= 1?

B.(0,5; 0,5).

. G.

15. Määrake punkti koordinaadidA, lamades raadiusega 1 ringil (vt joonist).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.IN.

Selles õppetükis vaatleme paralleelsete tasandite kolme omadust: kahe paralleelse tasandi lõikekoht kolmanda tasandiga; paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleelsete segmentide kohta; ja nurga külgede lõikamise kohta paralleelsete tasanditega. Järgmisena lahendame neid omadusi kasutades mitmeid probleeme.

Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus

Õppetund: Paralleeltasandite omadused

Kui kahte paralleelset tasandit lõikab kolmas, siis on nende lõikejooned paralleelsed.

Tõestus

Olgu paralleelsed tasapinnad ja antud ning tasapind, mis lõikab tasapindu ja piki sirgeid A Ja b vastavalt (joon. 1.).

Otsene A Ja b asuvad samal tasapinnal, nimelt γ-tasandil. Tõestame, et sirgjooned A Ja bära ristu.

Kui sirge A Ja b lõikuvad, see tähendab, et neil oleks ühine punkt, siis see ühine punkt kuuluks kahele tasapinnale ja , ja , mis on võimatu, kuna need on tingimuselt paralleelsed.

Niisiis, otse A Ja b on paralleelsed, mida oli vaja tõestada.

Paralleelsete tasandite vahel olevad paralleelsete sirgete lõigud on võrdsed.

Tõestus

Olgu antud paralleelsed tasapinnad ja paralleelsed sirged AB Ja KOOSD, mis lõikuvad need tasapinnad (joonis 2.). Tõestame, et segmendid AB Ja KOOSD on võrdsed.

Kaks paralleelset joont AB Ja KOOSD moodustavad ühtse tasapinna γ, γ = ABDKOOS. Tasapind γ lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid sirgeid (vastavalt esimesele omadusele). Nii et see on sirge AC Ja IND paralleelselt.

Otsene AB Ja KOOSD on ka paralleelsed (tingimuse järgi). Nii et see on nelinurk ABDKOOS- rööpkülik, kuna selle vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Rööpküliku omadustest järeldub, et lõigud AB Ja KOOSD on võrdsed, nagu on vaja tõestada.

Rööptasandid lõikavad nurga küljed proportsionaalseteks osadeks.

Tõestus

Olgu meile antud paralleelsed tasapinnad, mis lõikavad nurga külgi A(Joonis 3.). Seda on vaja tõestada.

Paralleelsed tasapinnad ja lõigatud nurktasandiga A. Nimetame nurktasandi lõikejoont A ja lennukid - päike, ja nurktasandi lõikejoon A ja lennukid - B 1 C 1. Esimese omaduse järgi ristumisjooned Päike Ja B 1 C 1 paralleelselt.

Seega kolmnurgad ABC Ja AB 1 C 1 sarnased. Saame:

3. Vitali Stanislavovitš Tsegelnõi matemaatiline veebisait ()

4. Pedagoogiliste ideede festival "Avatud õppetund" ()

1. Punkt KOHTA- iga segmendi ühine keskpunkt AA 1, BB 1, SS 1, mis ei asu samas tasapinnas. Tõesta, et lennukid ABC Ja A 1 B 1 C 1 paralleelselt.

2. Tõesta, et läbi kahe kaldjoone saab tõmmata paralleelseid tasapindu.

3. Tõesta, et sirge, mis lõikab ühte kahest paralleelsest tasapinnast, lõikub ka teisega.

4. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele (põhi- ja erialatase) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill.

Ülesanded 6, 8, 9 lk 29

Tasapindade paralleelsus. Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on vastavalt paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.
Tõestus. Lase a Ja b- lennuki andmed, a 1 Ja a 2– tasapinna sirgjooned a, ristuvad punktis A, b 1 Ja b 2 vastavalt nendega paralleelsed jooned tasapinnal b. Oletame, et lennukid a Ja b mitte paralleelsed, see tähendab, et nad lõikuvad mööda mingit sirget Koos. Otse A 1 on joonega paralleelne b 1, mis tähendab, et see on tasapinnaga paralleelne b(joone ja tasandi paralleelsuse märk). Otse A 2 on joonega paralleelne b 2, see tähendab, et see on tasapinnaga paralleelne b(joone ja tasandi paralleelsuse märk). Otse Koos kuulub lennukile a, mis tähendab vähemalt ühte sirget a 1 või a 2 lõikub sirgega koos, see tähendab, et sellel on ühine punkt. Aga otse Koos kuulub ka lennukile b, mis tähendab joone ületamist koos, otse a 1 või a 2 ristub tasapinnaga b, mis ei saa olla, kuna need on sirged a 1 Ja a 2 paralleelselt tasapinnaga b. Sellest järeldub, et lennukid a Ja b ei ristu, st on paralleelsed.

1. teoreem . Kui kaks paralleelset tasandit lõikuvad kolmandiku võrra, siis on lõikesirged paralleelsed.
Tõestus. Lase a Ja b- paralleelsed tasapinnad ja g - neid ristuv lennuk. Lennuk a ristus lennukiga g sirgjoonel A. Lennuk b ristus lennukiga g sirgjoonel b. Ristmikujooned A Ja b lamavad samas tasapinnas g ja seetõttu võivad need olla kas lõikuvad või paralleelsed sirged. Kuid kuuludes kahele paralleelsele tasapinnale, ei saa neil olla ühiseid punkte. Seetõttu on need paralleelsed.

2. teoreem. Kahe paralleelse tasandi vahele jäävate paralleelsete joonte lõigud on võrdsed.
Tõestus. Lase a Ja b- paralleelsed tasapinnad ja A Ja b- neid ristuvad paralleelsed sirged. Läbi sirgjoonte A Ja b viime läbi lennuk g (need jooned on paralleelsed, mis tähendab defineerige tasapind ja ainult üks). Lennuk a ristus lennukiga g sirgjoonel AB . Lennuk b ristus lennukiga g piki sirget SD. Eelmise teoreemi kohaselt sirge Koos joonega paralleelne d. Otsene A,b, AB Ja SD kuuluvad lennukile g Nende sirgetega piiratud nelinurk on rööpkülik (selle vastasküljed on paralleelsed). Ja kuna see on rööpkülik, siis on selle vastasküljed võrdsed, see tähendab AD = BC

e vara pa paralleelsed jooned, mida nimetatakse transitiivseteksparalleelsus:

• Kui kaks sirget a ja b on paralleelsed kolmanda sirgega c, siis on nad paralleelsed meid üksteisele.

Kuid stereomeetriliselt on seda omadust keerulisem tõestada. Tasapinnal peavad mitteparalleelsed sirged lõikuma ja seetõttu ei saa olla samal ajal paralleelsed kolmanda sirgega (vastasel juhul rikutakse paralleelaksioomi). Proruumis on mitteparalleelsed jadisjunktsete joonte mahtkui need asuvad erinevatel tasapindadel. Sellised sirgjooned väidetavalt ristuvad.

Joonisel fig. 4 on kujutatud kuubikut; sirged AB ja BC lõikuvad, AB ja CDon paralleelsed ning AB ja B KOOS ristuvad. Edaspidi kasutame illustreerimiseks sageli kuubi abitriage stereomeetria mõisted ja faktid. Meie kuubik on kokku liimitud kuuest ruudukujulisest tahust. Selle põhjal tuletame selle muud omadused. Näiteks võime öelda, et sirge AB on paralleelne C-gaD,sest mõlemad on paralleelsed CD ühise küljeganeid hoidvad ruudud.

Stereomeetrias arvestatakse paralleelsuse seost ka tasapindade puhul: kaks tasapindaSirg või sirge ja tasapind on paralleelsed, kui neil pole ühiseid punkte. Sirget ja tasapinda on mugav pidada paralleelseks ka siis, kui see asub tasapinnas. Tasapindade ja sirgjoonte puhul kehtivad järgmised transitiivsuse teoreemid:

• Kui kaks tasapinda on paralleelsed kolmanda tasapinnaga, siis on nad üksteisega paralleelsed.
• Kui sirge ja tasapind on paralleelsed mingi sirgega (või tasapinnaga), siis on nad paralleelsed üksteisega.

Teise teoreemi kõige olulisem erijuhtum on sirge ja tasandi paralleelsuse märk:

• Sirg on paralleelne tasapinnaga, kui see on paralleelne selle tasapinna mõne sirgega.

Ja siin on paralleelsete tasandite märk:

• Kui kaks lõikuvat sirget ühes tasapinnas on paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega, siis on tasapinnad paralleelsed.

Sageli kasutatakse järgmist lihtsat teoreemi:

• Sirged, mida mööda kaks paralleelset tasapinda ristuvad kolmandaga, on üksteisega paralleelsed.

Vaatame uuesti kuubikut (joonis 4). Sirge ja tasandi paralleelsuse märgist järeldub näiteks sirge A IN paralleelne tasapinnaga ABCD (kuna see on paralleelne joonega AB sellel tasapinnal) ja kuubi vastasküljed, eriti A IN KOOS D ja ABCD, paralleelsed tasapindade paralleelsuse alusel: sirged A B ja B KOOS ühel küljel on vastavalt paralleelsed sirgetega AB ja BC teisel küljel. Ja veidi vähem lihtne näide. Tasand, mis sisaldab paralleelseid sirgeid AA ja SS, lõikuvad paralleelsed tasapinnad ABCD ja A B C D mööda sirgeid AC ja A KOOS, see tähendab, et need sirged on paralleelsed: samamoodi paralleelsed sirged B C ja A D. Seetõttu paralleelsed tasapinnad AB C ja A DC, mis lõikab kuupi kolmnurkades.

III. Ruumikujude kujutis.

Seal on selline aforism Geomeetriasee on kiusatusoskus vale joonise põhjal õigesti arutleda. Tõepoolest, kui me tagasi pöördumeÜlaltoodud põhjenduste põhjal selgub:

Ainus kasu, mille saime kaasasolevast kuubi joonisest, oli see, et see säästis meile seletamisel ruumiNI tähistused. Seda saab sama lihtsalt kujutada kui keha joonisel fig. 4, mina, kuigi ilmselgelt pole sellel kujutatud mitte ainult kuup, vaid ka mitte hulktahukas. Ja ometi sisaldab ülaltoodud aforism vaid osa tõest. Lõppude lõpuks, enne arutamistesitage valmis tõend, see peab olemamõtle. Ja selleks peate selgelt ette kujutama antud figuuri, selle elementide vahelisi suhteid. Hea joonistus aitab sellist ideed arendada. Veelgi enam, nagu näeme, stereomeetrias saab edukas joonistadavõib saada mitte ainult illustratsiooniks, vaid ka probleemi lahendamise aluseks.

Kunstnik (õigemini realistlik kunstnik) edasijoonistab meie kuubi nii, nagu me seda näeme (joonis 5, b), st perspektiivis või keskelprojektsiooni pole. Keskprojektsiooniga punktist O (projektsioonikeskus) tasapinnale a,suvaline punkt X on kujutatud punktiga X, kus a lõikub sirgega OX (joonis 6). Keskprojektsioon säilitab sirgusepunktide lineaarne paigutus, kuid reeglina muudab paralleelsed sirged lõikepunktideksmuutuv, rääkimata sellest, et see muudab vahemaid ja nurki. Selle omadusi uurides aadressiltõi kaasa olulise geomeetria lõigu tekkimise (vt artiklit Projektiivne geomeetria).

Kuid geomeetrilistel joonistel kasutatakse teistsugust projektsiooni. Võib öelda, et see saadakse keskpunktist, kui keskpunkt O eemaldub lõpmatuseni ja sirged OX muutuvad pa-ksparalleelselt.

Valime tasapinna a ja seda lõikuva sirge l. Joonistame sirge läbi punkti X, paparalleelne l. Punkt X, kus see sirge kohtub punktiga a, on X paralleelprojektsioon tasapinnale a piki sirget l (joonis 7). Umbeskujundi projektsioon koosneb kõigi selle punktide projektsioonidest. Geomeetrias on kujundi kujutis selle paralleelprojektsioon.

Täpsemalt sirgjoone kujutiskas see on sirgjoon või (erandjuhtudel)tee, kui joon on paralleelne projektsiooni suunaga) punkt. Pildil on paralleel