Juhised
Kolmnurka nimetatakse täisnurkseks, kui selle üks nurkadest on 90 kraadi. See koosneb kahest jalast ja hüpotenuusist. Hüpotenuus nimetatakse suur pool see kolmnurk. See asub vastu täisnurka. Jalgu nimetatakse vastavalt selle väiksemateks külgedeks. Need võivad olla üksteisega võrdsed või omada erinevad suurused. Jalgade võrdsus on see, mida te töötate täisnurkse kolmnurgaga. Selle ilu seisneb selles, et see ühendab kaks figuuri: ristkülikukujuline ja võrdhaarne kolmnurk. Kui jalad ei ole võrdsed, on kolmnurk meelevaldne ja järgib põhiseadust: mida suurem on nurk, seda rohkem veereb tema vastas asuv.
Hüpotenuusi leidmiseks ja nurga järgi on mitu võimalust. Kuid enne ühe neist kasutamist peaksite kindlaks määrama, milline nurk on teada. Kui teile on antud nurk ja sellega külgnev külg, on hüpotenuusi lihtsam leida nurga koosinuse abil. Koosinus teravnurk(cos a) nimetatakse täisnurkses kolmnurgas suhteks külgnev jalg hüpotenuusile. Sellest järeldub, et hüpotenuus (c) on võrdne külgneva jala (b) suhtega nurga a koosinusesse (cos a). Selle saab kirjutada järgmiselt: cos a=b/c => c=b/cos a.
Kui on antud nurk ja vastupidine jalg, siis peaksite töötama. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus (sin a) on suhe vastaspool a) hüpotenuusile (c). Siin on põhimõte sama, mis eelmises näites, ainult koosinusfunktsiooni asemel võetakse siinus. sin a=a/c => c=a/sin a.
Võite kasutada ka trigonomeetrilist funktsiooni, näiteks . Kuid soovitud väärtuse leidmine muutub veidi keerulisemaks. Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja (tg a) on vastasharu (a) ja külgneva jala (b) suhe. Olles leidnud mõlemad pooled, rakendage Pythagorase teoreemi (hüpotenuusi ruut võrdne summaga jalgade ruudud) ja leitakse suurem.
Märge
Pythagorase teoreemiga töötades pidage meeles, et tegemist on kraadiga. Olles leidnud jalgade ruutude summa, peate lõpliku vastuse saamiseks võtma ruutjuure.
Allikad:
- kuidas leida jalg ja hüpotenuus
Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on 90-kraadise nurga vastas. Selle pikkuse arvutamiseks piisab, kui on teada kolmnurga ühe jala pikkus ja ühe teravnurga suurus.
Juhised
Teadaoleva ja terava ristkülikukujulise nurga korral on hüpotenuusi suuruseks jala ja selle nurga suhe, kui see nurk on selle vastas/külgnev:
h = C1(või C2)/sina;
h = C1 (või C2)/cosa.
Näide: Olgu ABC hüpotenuusiga AB ja C 60 kraadi ja nurk A 30 kraadi. Hüpotenuusi AB pikkus on vajalik. Selleks võite kasutada mõnda ülaltoodud meetoditest:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
sõna" jalg" pärit Kreeka sõnad"risti" või "looder" - see selgitab, miks täisnurkse kolmnurga mõlemat külge, mis moodustavad selle üheksakümnekraadise nurga, nii kutsuti. Leidke mis tahes pikkus jalg ov pole keeruline, kui külgneva nurga väärtus ja muud parameetrid on teada, kuna sel juhul saavad tegelikult teada kõigi kolme nurga väärtused.
Juhised
Kui lisaks külgneva nurga väärtusele (β) on sekundi pikkus jalg a (b), seejärel pikkus jalg ja (a) võib defineerida teadaoleva pikkuse jagatisena jalg ja teadaoleva nurga all: a=b/tg(β). See tuleneb selle trigonomeetria definitsioonist. Kui kasutate teoreemi, saate ilma puutujata hakkama. Sellest järeldub, et soovitud pikkus vastasnurga siinusesse teadaoleva pikkuse suhtega jalg ja teadaoleva nurga siinusse. Soovitule vastupidine jalg y teravnurka saab väljendada tuntud nurga kaudu kui 180°-90°-β = 90°-β, kuna iga kolmnurga kõigi nurkade summa peab olema 180° ja üks selle nurkadest on 90°. Niisiis, vajalik pikkus jalg ja seda saab arvutada valemiga a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Kui on teada külgneva nurga väärtus (β) ja hüpotenuusi pikkus (c), siis pikkus jalg ja (a) saab arvutada hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga koosinuse korrutisena: a=c∗cos(β). See tuleneb koosinuse kui trigonomeetrilise funktsiooni definitsioonist. Kuid võite kasutada, nagu eelmises etapis, siinuste teoreemi ja seejärel soovitud pikkust jalg a on võrdne siinuse korrutisega vahemikus 90° ja teadaolev nurk hüpotenuusi pikkuse ja täisnurga siinuse suhe. Ja kuna siinus on 90° võrdne ühega, siis saame selle kirjutada nii: a=sin(90°-β)∗c.
Praktilisi arvutusi saab teha näiteks kaasasoleva OS-i abil Windowsi tarkvara kalkulaator. Selle käivitamiseks saate nupul "Start" valida peamenüüst "Käivita", tippida käsu calc ja klõpsata "OK". Selle programmi vaikimisi avaneva liidese kõige lihtsamas versioonis trigonomeetrilised funktsioonid ei pakuta, nii et pärast selle käivitamist peate klõpsama menüüs jaotisel "Vaade" ja valima rea "Teadus" või "Insener" (olenevalt kasutatavast versioonist operatsioonisüsteem).
Video teemal
Sõna "kathet" tuli vene keelde kreeka keelest. IN täpne tõlge see tähendab loodijoont, st maapinnaga risti. Matemaatikas on jalad need küljed, mis moodustavad täisnurkse kolmnurga täisnurga. Selle nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Mõistet "kateet" kasutatakse ka arhitektuuris ja tehnoloogias keevitustööd.
Joonistage täisnurkne kolmnurk DIA. Märgistage selle jalad a ja b ning hüpotenuus tähega c. Täisnurkse kolmnurga kõik küljed ja nurgad on omavahel määratletud. Ühe teravnurga vastas oleva jala suhet hüpotenuusiga nimetatakse siinusteks antud nurk. IN antud kolmnurk sinCAB=a/c. Koosinus on suhe külgneva jala hüpotenuusiga, st cosCAB=b/c. Pöördseoseid nimetatakse sekantseks ja koosekandiks.
Selle nurga sekant saadakse hüpotenuusi jagamisel külgneva jalaga, see tähendab secCAB = c/b. Tulemuseks on koosinuse pöördväärtus, st seda saab väljendada valemiga secCAB=1/cosSAB.
Koosekant võrdub hüpotenuusi jagatisega, mis on jagatud vastasküljega ja on suurus siinuse pöördväärtus. Seda saab arvutada valemi cosecCAB=1/sinCAB abil
Mõlemad jalad on omavahel ja kotangensiga ühendatud. IN sel juhul puutuja on külje a ja külje b suhe, st külgneva külje vastaskülje suhe. Seda seost saab väljendada valemiga tgCAB=a/b. vastavalt pöördvõrdeline seos tuleb kotangent: ctgCAB=b/a.
Hüpotenuusi ja mõlema jala suuruse vahelise seose määras Vana-Kreeka Pythagoras. Inimesed kasutavad endiselt teoreemi ja tema nime. See ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga, see tähendab c2 = a2 + b2. Sellest lähtuvalt on iga jalg võrdne ruutjuur hüpotenuusi ja teise jala ruutude erinevusest. Selle valemi saab kirjutada kujul b=√(c2-a2).
Jala pikkust saab väljendada ka teile teadaolevate suhete kaudu. Siinuste ja koosinuste teoreemide järgi jalg võrdne tootega hüpotenuus ühele neist funktsioonidest. Seda saab väljendada kui ja või kotangent. Jala a võib leida näiteks valemiga a = b*tan CAB. Täpselt samamoodi, sõltuvalt antud puutujast või , määratakse teine jalg.
Arhitektuuris kasutatakse ka mõistet "kateet". Seda rakendatakse joonia pealinnale ja selle selja keskosale. See tähendab, et antud juhul on see liige antud joonega risti.
Keevitustehnoloogias on "filee keevisjalg". Nagu muudel juhtudel, on see lühim vahemaa. Siin me räägime umbes ühe keevitatud osa vahelise pilu kohta teise osa pinnal asuva õmbluse piirini.
Video teemal
Allikad:
- mis on jalg ja hüpotenuus 2019. aastal
Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on suhe vastupidine jalg hüpotenuusile.
Seda tähistatakse järgmiselt: sin α.
Koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
See on tähistatud järgmiselt: cos α.
Tangent teravnurk α on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
See on tähistatud järgmiselt: tg α.
Kotangent teravnurk α on külgneva külje ja vastaskülje suhe.
See on tähistatud järgmiselt: ctg α.
Nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens sõltuvad ainult nurga suurusest.
Reeglid:
Põhiline trigonomeetrilised identiteedid täisnurkses kolmnurgas:
(α – teravnurk jala vastas b ja jala kõrval a . Külg Koos - hüpotenuus. β – teine teravnurk).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
Teranurga suurenedessin α jatan α suurenemine jacos α väheneb.
Iga teravnurga α korral:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Näide-seletus:
Laske sisse täisnurkne kolmnurk ABC
AB = 6,
eKr = 3,
nurk A = 30º.
Leiame nurga A siinuse ja nurga B koosinuse.
Lahendus.
1) Esiteks leiame nurga B väärtuse. Siin on kõik lihtne: kuna täisnurkses kolmnurgas on teravnurkade summa 90º, siis nurk B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Arvutame patt A. Teame seda siinust võrdne suhtega hüpotenuusi vastaskülg. Nurga A puhul on vastaskülg külg BC. Niisiis:
eKr 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Nüüd arvutame cos B. Teame, et koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga B puhul on külgnev jalg sama külg BC. See tähendab, et peame jälle jagama BC AB-ga - see tähendab tegema samu toiminguid, mis nurga A siinuse arvutamisel:
eKr 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Tulemuseks on:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Sellest järeldub, et täisnurkses kolmnurgas on ühe teravnurga siinus võrdne koosinusega teine teravnurk - ja vastupidi. See on täpselt see, mida meie kaks valemit tähendavad:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Veendume selles uuesti:
1) Olgu α = 60º. Asendades siinuse valemis α väärtuse, saame:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Olgu α = 30º. Asendades α väärtuse koosinusvalemis, saame:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Lisateavet trigonomeetria kohta leiate jaotisest Algebra)
Trigonomeetria - sektsioon matemaatikateadus, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetria areng algas Vana-Kreekas. Keskajal oluline panus Selle teaduse arendamisele aitasid kaasa Lähis-Ida ja India teadlased.
See artikkel on pühendatud põhimõisteid ja trigonomeetria määratlused. Selles käsitletakse trigonomeetriliste põhifunktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Nende tähendust selgitatakse ja illustreeritakse geomeetria kontekstis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Esialgu väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, täisnurkse kolmnurga külgede suhtena.
Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid
Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus (cos α) - külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja (t g α) - vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Nurga kotangent (c t g α) - külgneva külje ja vastaskülje suhe.
Need definitsioonid on antud täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta!
Toome näite.
Täisnurgaga C kolmnurgas ABC on nurga A siinus võrdne jala BC ja hüpotenuusi AB suhtega.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused võimaldavad teil arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.
Oluline meeles pidada!
Siinuse ja koosinuse väärtuste vahemik on -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja kotangensi väärtuste vahemik on kogu arvurida, see tähendab, et need funktsioonid võivad omandada mis tahes väärtused.
Ülaltoodud määratlused kehtivad teravnurkade kohta. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtus erinevalt teravnurgast ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga Pöörlemisnurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga vahemikus - ∞ kuni + ∞. .
Selles kontekstis saame defineerida suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutagem ette ühikringi, mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi algpunktis.
Algpunkt A koordinaatidega (1, 0) pööratakse ümber keskpunkti üksuse ring mingile nurgale α ja läheb punkti A 1 . Määratlus on antud punkti A 1 (x, y) koordinaatidena.
Pöörlemisnurga siinus (sinus).
Pöördenurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sin α = y
Pöörlemisnurga koosinus (cos).
Pöördenurga α koosinus on punkti A abstsiss 1 (x, y). cos α = x
Pöördenurga puutuja (tg).
Pöörlemisnurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x
Pöördenurga kotangent (ctg).
Pöördenurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi suhe selle ordinaadiga. c t g α = x y
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest punkti abstsissi ja ordinaati saab pärast pöörlemist määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutuja on määratlemata, kui punkt pärast pööramist läheb punkti, mille abstsiss on null (0, 1) ja (0, - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat läheb nulli.
Oluline meeles pidada!
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.
Puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kootangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Otsustades praktilisi näiteidära ütle "pöördenurga α siinus". Sõnad "pöördenurk" on lihtsalt välja jäetud, mis viitab sellele, et kontekstist on juba selge, millest arutatakse.
Numbrid
Aga arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon, mitte pöördenurk?
Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.
Näiteks arvu 10 siinus π võrdub pöördenurga siinusega 10 π rad.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. Vaatame seda lähemalt.
Igaüks tegelik arv tühikringi punkt on seotud ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu.
Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1, 0).
Positiivne number t
Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu lähtepunkt läheb, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läheb teed t.
Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, liigume edasi siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni juurde.
Siinus (patt) t-st
Arvu siinus t- numbrile vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y
Koosinus (cos) t-st
Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x
t puutuja (tg).
Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe t. t g t = y x = sin t cos t
Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva lõigu alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt ringil numbrile vastav t, langeb kokku punktiga, kuhu lähtepunkt läheb pärast nurga võrra pööramist t radiaan.
Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Iga nurga α väärtus vastab konkreetne väärtus selle nurga siinus ja koosinus. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° k, vastavad k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) teatud puutuja väärtusele. Kootangens, nagu eespool öeldud, on defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Võime öelda, et sin α, cos α, t g α, c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.
Samamoodi võime funktsioonidena rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist numbriline argument. Iga reaalarv t vastab arvu siinuse või koosinuse teatud väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k, k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Samamoodi on kotangent defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k, k ∈ Z.
Trigonomeetria põhifunktsioonid
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt on kontekstist selge, millise trigonomeetrilise funktsiooni argumendiga (nurkargumendiga või numbriargumendiga) tegemist on.
Tuleme tagasi alguses antud definitsioonide ja alfanurga juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Trigonomeetrilised määratlused siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on täielikult kooskõlas geomeetrilised määratlused, mis on antud täisnurkse kolmnurga kuvasuhteid kasutades. Näitame seda.
Võtke ühikring, mille keskpunkt on ristkülikukujuline Descartes'i süsteem koordinaadid Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) abstsissteljega risti. Saadud täisnurkses kolmnurgas nurk A 1 O H võrdne nurgaga pööre α, jala pikkus O H võrdub punkti A abstsissiga 1 (x, y). Nurga vastas oleva jala pikkus võrdub punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.
Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastaskülje ja hüpotenuusi suhtega.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Mis on nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens, aitab teil mõista täisnurkset kolmnurka.
Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg \(AC\)); jalad on kaks ülejäänud külge \(AB\) ja \(BC\) (need, mis külgnevad täisnurk) ja kui arvestada jalgu nurga \(BC\) suhtes, siis jalg \(AB\) on külgnev jalg ja jalg \(BC\) on vastupidine. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangent?
Nurga siinus– see on vastupidise (kauge) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Nurga koosinus– see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Nurga puutuja– see on vastaskülje (kauge) ja külgneva (lähedase) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Nurga kotangents– see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.
Meie kolmnurgas:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg milleks jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:
Koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;
Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.
Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhted ei sõltu nende külgede pikkustest (sama nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:
Vaatleme näiteks nurga \(\beta \) koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), kuid nurga \(\beta \) koosinuse saame arvutada kolmnurgast \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.
Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja kinnitage need!
Alloleval joonisel näidatud kolmnurga \(ABC \) jaoks leiame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(massiiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiivi) \)
No kas sa said aru? Seejärel proovige ise: arvutage sama nurga \(\beta \) jaoks.
Vastused: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Ühik (trigonomeetriline) ring
Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne \(1\) . Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on trigonomeetria õppimisel väga kasulik. Seetõttu vaatame seda veidi üksikasjalikumalt.
Nagu sa näed, antud ring konstrueeritud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega ja ringi keskpunkt asub lähtepunktis, lähtepositsioon Raadiuse vektor on fikseeritud piki \(x\) telje positiivset suunda (meie näites on see raadius \(AB\)).
Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: koordinaat piki telge \(x\) ja koordinaat piki telge \(y\). Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks peame meeles pidama vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Vaatleme kolmnurka \(ACG\) . See on ristkülikukujuline, kuna \(CG\) on risti teljega \(x\).
Mis on \(\cos \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? See on õige \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Lisaks teame, et \(AC\) on ühikuringi raadius, mis tähendab \(AC=1\) . Asendame selle väärtuse koosinuse valemis. See juhtub järgmiselt.
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Millega võrdub \(\sin \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? No muidugi, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Asendage selle valemiga raadiuse väärtus \(AC\) ja saate:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Niisiis, kas saate öelda, millised koordinaadid on ringile kuuluval punktil \(C\)? No mitte kuidagi? Mis siis, kui mõistate, et \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) on vaid numbrid? Millisele koordinaadile vastab \(\cos \alpha \)? Muidugi, koordinaat \(x\)! Ja millisele koordinaadile vastab \(\sin \alpha \)? Täpselt nii, koordinaat \(y\)! Nii et point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Millega on siis \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \) võrdsed? See on õige, kasutame puutuja ja kotangensi vastavaid definitsioone ja saame selle \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Mis siis, kui nurk on suurem? Näiteks nagu sellel pildil:
Mis on muutunud selles näites? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : nurk (külgneb nurgaga \(\beta \) ). Mis on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus nurga jaoks \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\nurk ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\nurk ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiivi) \)
No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile \(y\) ; nurga koosinuse väärtus - koordinaat \(x\) ; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega kehtivad need seosed raadiusvektori mis tahes pööramise kohta.
Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje \(x\) positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud väärtusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates – negatiivne.
Seega teame, et kogu raadiusvektori pööre ümber ringi on \(360()^\circ \) või \(2\pi \) . Kas raadiuse vektorit on võimalik pöörata \(390()^\circ \) või \(-1140()^\circ \) võrra? No muidugi saab! Esimesel juhul \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), seega teeb raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub positsioonis \(30()^\circ \) või \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Teisel juhul \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), see tähendab, et raadiuse vektor moodustab kolm täispöördeid ja peatub positsioonis \(-60()^\circ \) või \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad \(360()^\circ \cdot m \) või \(2\pi \cdot m \) võrra (kus \(m \) on mis tahes täisarv ), vastavad raadiusvektori samale asukohale.
Allolev joonis näitab nurka \(\beta =-60()^\circ \) . Sama pilt vastab nurgale \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga \(\beta +360()^\circ \cdot m\) või \(\beta +2\pi \cdot m \) (kus \(m \) on mis tahes täisarv)
\(\begin(massiiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiivi) \)
Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millised on väärtused:
\(\begin(massiivi)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiiv) \)
Siin on ühikuring, mis aitab teid:
Kas teil on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:
\(\begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(massiiv)\)
Siit määrame teatud nurgamõõtudele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk sisse \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastab punktile koordinaatidega \(\left(0;1 \right) \) , seega:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei eksisteeri;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Lisaks saame samast loogikast kinni pidades teada, et nurgad on sees \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastavad koordinaatidega punktidele \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \paremal) \), vastavalt. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavad punktid. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.
Vastused:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ \pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ 2\pi \)- ei eksisteeri
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei eksisteeri
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Seega saame teha järgmise tabeli:
Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:
\(\left. \begin(massiivi)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiiv) \right\)\ \text(Peate seda meeles pidama või suutma seda kuvada!! \) !}
Kuid nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) allolevas tabelis toodud, peate meeles pidama:
Ärge kartke, nüüd näitame teile ühte näidet vastavate väärtuste üsna lihtsast meeldejätmisest:
Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada kõigi kolme nurga mõõtmise siinusväärtusi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samuti nurga puutuja väärtus \(30()^\circ \) . Teades neid \(4\) väärtusi, on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:
\(\begin(massiivi)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiiv) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), saate seda teades väärtused taastada \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Lugeja "\(1 \)" vastab \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimetaja "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastab \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui mõistate seda ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate tabelist ainult \(4\) väärtusi.
Ringjoone punkti koordinaadid
Kas ringil on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, raadiust ja pöördenurka? No muidugi saab! Võtame selle välja üldine valem punkti koordinaatide leidmiseks. Näiteks siin on meie ees ring:
See punkt on meile antud \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ringi keskpunkt. Ringi raadius on \(1,5\) . On vaja leida punkti \(P\) koordinaadid, mis saadakse punkti \(O\) pööramisel \(\delta \) kraadi võrra.
Nagu jooniselt näha, vastab punkti \(P\) koordinaat \(x\) lõigu pikkusele \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lõigu \(UK\) pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile \(x\), see tähendab, et see on võrdne \(3\) . Lõigu \(KQ\) pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooniga:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Paremnool KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Siis on meil see punkti \(P\) koordinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Sama loogikat kasutades leiame punkti \(P\) y-koordinaadi väärtuse. Seega
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Niisiis, sisse üldine vaade Punktide koordinaadid määratakse valemitega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiiv) \), Kus
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ringi keskpunkti koordinaadid,
\(r\) - ringi raadius,
\(\delta \) - vektori raadiuse pöördenurk.
Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi puhul need valemid märkimisväärselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on võrdsed nulliga ja raadius on võrdne ühega:
\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiivi) \)
Javascript on teie brauseris keelatud.Arvutuste tegemiseks peate lubama ActiveX-juhtelemendid!
Selles artiklis näitame, kuidas anda nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid trigonomeetrias. Siin räägime märgetest, toome kirjete näiteid ja toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.
Leheküljel navigeerimine.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon
Vaatame, kuidas moodustub siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi idee koolikursus matemaatika. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem uuritakse trigonomeetriat, mis räägib pöördenurga ja arvu siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Esitagem kõik need määratlused, tooge näiteid ja tehkem vajalikud kommentaarid.
Täisnurkse kolmnurga teravnurk
Geomeetria kursusest teame täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Anname nende sõnastused.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja– see on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens- see on külgneva külje ja vastaskülje suhe.
Seal tutvustatakse ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistusi - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.
Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastaskülje BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.
Need määratlused võimaldavad teil arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal, samuti teadaolevad väärtused leida teiste külgede pikkused siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi ja ühe külje pikkuse abil. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC võrdne 3-ga ja hüpotenuus AB on võrdne 7-ga, siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse väärtuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/ AB = 3/7.
Pöörlemisnurk
Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurga suurus, erinevalt teravnurgast, ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga. Pöörlemisnurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.
Selles valguses on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte teravnurga, vaid suvalise suurusega nurga - pöördenurga - kohta. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, kuhu läheb nn alguspunkt A(1, 0) pärast selle pööramist nurga α võrra ümber punkti O – ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tanα=y/x.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga kotangentsα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y.
Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel nurga α võrra. Kuid puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb null-abstsissiga (0, 1) või (0, −1) punkti, ja see toimub nurkade 90°+180° k, k∈Z (π) korral /2+π·k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis see ei ole defineeritud nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaadiga punkti (1, 0) või (−1, 0), ja see juhtub nurkade 180° k, k ∈Z korral. (π·k rad).
Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ja kotangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definitsioonid hõlmavad meile juba teadaolevaid tähiseid sin, cos, tg ja ctg, neid kasutatakse ka pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistamiseks (mõnikord võib leida tangensile ja kotangensile vastavad tähised tan ja cot) . Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletage meelde, et nurga radiaani mõõtmise kirjutamisel jäetakse tähis "rad" sageli välja. Näiteks kolme pi rad suuruse pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3·π.
Selle punkti kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas “pöördenurk” või sõna “pööramine”. See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või, veelgi lühem, "siinus alfa". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.
Samuti ütleme, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0 kuni 90 kraadise pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. Me põhjendame seda.
Numbrid
Definitsioon.
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on number võrdne siinusega, pöördenurga koosinus, puutuja ja kotangens vastavalt t radiaanides.
Näiteks arvu 8 koosinus π on definitsiooni järgi arv võrdne koosinusega nurk 8·π rad. Ja nurga 8·π rad koosinus on võrdne ühega, seetõttu on arvu 8·π koosinus võrdne 1-ga.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. See seisneb selles, et iga reaalarv t on seotud ühikringi punktiga, mille keskpunkt on alguses ristkülikukujuline süsteem koordinaadid ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu. Vaatame seda üksikasjalikumalt.
Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:
- arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0);
- positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringi alguspunktist vastupäeva ja käime mööda teed pikkus t;
- negatiivne arv t seostatakse ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist päripäeva ja kõnnime tee pikkusega |t| .
Nüüd liigume edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab punktile ringil A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).
Definitsioon.
Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaat, st sint=y.
Definitsioon.
Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks, st kulu=x.
Definitsioon.
Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, st tgt=sint/kulu.
Definitsioon.
Arvu kotangents t on arvule t vastava ühikringjoone punkti abstsissi ja ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe: ctgt=kulu/sint.
Siinkohal märgime, et just antud määratlused on kooskõlas selle lõigu alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel t radiaani nurga võrra.
Seda punkti tasub veel täpsustada. Oletame, et meil on kirje sin3. Kuidas aru saada, kas me räägime arvu 3 siinusest või 3 radiaani pöördenurga siinusest? Tavaliselt on see kontekstist selge muidu see pole tõenäoliselt põhimõttelise tähtsusega.
Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Vastavalt andmetele aastal eelmine lõik definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α täpselt määratletud nurgale patu väärtusα, nagu cosα väärtus. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα väärtustele ja väärtused, mis ei ole 180°k, k∈Z (πk rad ) – väärtused of ctgα . Seetõttu on sinα, cosα, tanα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.
Sarnaselt võime rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab väga konkreetsele väärtusele sint ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k, k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k, k∈Z - väärtused ctgt.
Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt selgub kontekstist, kas tegemist on nurkargumendi või numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõtmiseks (nurkargumendiks) kui ka arvuliseks argumendiks.
Koolis aga põhiliselt õpitakse numbrilised funktsioonid, st funktsioonid, mille argumendid, nagu ka nende vastavad funktsiooni väärtused, on arvud. Seega, kui me räägime konkreetselt funktsioonidest, siis on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.
Geomeetria ja trigonomeetria definitsioonide seos
Kui arvestada pöördenurga α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. teravnurk täisnurkses kolmnurgas, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.
Kujutagem ühikringi ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy. Märgime alguspunktiks A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y). Kukkugem risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.
On hästi näha, et täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 OH võrdne pöördenurgaga α, selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdub punkti A 1 abstsissiga, see tähendab |OH |=x, nurga vastas oleva jala pikkus A 1 H võrdub punkti A 1 ordinaadiga, st |A 1 H|=y ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kui α on 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.
Bibliograafia.
- Geomeetria. 7-9 klassid: õpik üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geomeetria: õpik. 7-9 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Haridus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra ja elementaarsed funktsioonid : Õpetus 9. klassi õpilastele Keskkool/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. M.: Haridus, 1969.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Haridus, 1990. - 272 lk. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. Kell 2 lk 1. osa: õpetus õppeasutused (profiili tase)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra ja algas matemaatiline analüüs. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I.: Haridus, 2010.- 368 lk.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.