Ükskõik milline reaalarv t võetakse, saab seda seostada üheselt määratletud arvuga sin t. Tõsi, sobitamisreegel on üsna keeruline; nagu eespool nägime, on see järgmine.
Sin t väärtuse leidmiseks arvu t abil on vaja:
1) asetage arvring koordinaattasandil nii, et ringi keskpunkt langeks kokku koordinaatide alguspunktiga ja ringi alguspunkt A langeks punkti (1; 0);
2) leida ringilt punkt, mis vastab arvule t;
3) leidke selle punkti ordinaat.
See ordinaat on sin t.
Tegelikult räägime funktsioonist u = sin t, kus t on mis tahes reaalarv.
Kõiki neid funktsioone nimetatakse numbrilise argumendi t trigonomeetrilised funktsioonid.
On mitmeid seoseid, mis ühendavad erinevate trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi; mõned neist seostest oleme juba saanud:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Kahest viimasest valemist on lihtne leida seos, mis ühendab tg t ja ctg t:
Kõiki neid valemeid kasutatakse juhtudel, kui trigonomeetrilise funktsiooni väärtust teades on vaja arvutada teiste trigonomeetriliste funktsioonide väärtused.
Mõisted "siinus", "koosinus", "puutuja" ja "kotangens" olid tegelikult tuttavad, kuid siiski kasutati neid veidi erinevas tõlgenduses: geomeetrias ja füüsikas käsitleti siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. peas(kuid mitte
numbrid, nagu eelmistes lõikudes).
Geomeetriast on teada, et teravnurga siinus (koosinus) on täisnurkse kolmnurga jalgade ja selle hüpotenuusi suhe ning nurga puutuja (kotangens) on täisnurkse kolmnurga jalgade suhe. Eelmistes lõikudes töötati välja teistsugune lähenemine mõistetele siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tegelikult on need lähenemisviisid omavahel seotud.
Võtame kraadimõõduga b o nurga ja asetame selle „ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi arvringi” mudelisse, nagu on näidatud joonisel fig. 14
nurga tipp ühildub keskpunktiga
ringid (koordinaadisüsteemi alguspunktiga),
ja nurga üks külg on ühilduv
x-telje positiivne kiir. Täispeatus
nurga teise külje ristumiskoht
tähistage ringiga tähte M. Ordina-
Joonis 14 b o ja selle punkti abstsiss on nurga b o koosinus.
Nurga b o siinuse või koosinuse leidmiseks pole üldse vaja neid väga keerulisi konstruktsioone iga kord teha.
Piisab, kui märkida, et kaar AM moodustab arvuringi pikkusest sama osa kui nurk b o 360° nurgast. Kui kaare AM pikkust tähistatakse tähega t, saame:
Seega
Näiteks,
Arvatakse, et 30° on nurga kraad ja sama nurga radiaanmõõt: 30° = rad. Üleüldse:
Eelkõige on mul hea meel, kust me selle omakorda saame.
Mis on siis 1 radiaan? Segmentide pikkust on erinevaid: sentimeetrid, meetrid, jardid jne. Nurkade suuruse näitamiseks on ka erinevaid meetmeid. Vaatleme ühikuringi kesknurki. Nurk 1° on kesknurk, mille all on kaar, mis on ringi osa. 1 radiaani suurune nurk on kesknurk, mille all on kaar pikkusega 1, s.o. kaarel, mille pikkus võrdub ringi raadiusega. Valemist leiame, et 1 rad = 57,3°.
Kui vaadelda funktsiooni u = sin t (või mõnda muud trigonomeetrilist funktsiooni), võime sõltumatut muutujat t pidada arvuliseks argumendiks, nagu eelmistes lõikudes, kuid võime seda muutujat pidada ka nurk, st. nurga argument. Seetõttu ei ole trigonomeetrilisest funktsioonist rääkides teatud mõttes vahet pidada seda numbri- või nurkargumendi funktsiooniks.
Definitsioon 1: Valemiga y=sin x antud arvfunktsiooni nimetatakse siinuseks.
Seda kõverat nimetatakse - siinuslaine.
Funktsiooni y=sin x omadused
2. Funktsiooni väärtuste vahemik: E(y)=[-1; 1]
3. Pariteedifunktsioon:
y=sin x – paaritu,.
4. Perioodilisus: sin(x+2πn)=sin x, kus n on täisarv.
See funktsioon omandab teatud aja möödudes samad väärtused. Seda funktsiooni omadust nimetatakse sagedus. Intervall on funktsiooni periood.
Funktsiooni y=sin x puhul on periood 2π.
Funktsioon y=sin x on perioodiline, perioodiga Т=2πn, n on täisarv.
Väikseim positiivne periood on T=2π.
Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt: sin(x+2πn)=sin x, kus n on täisarv.
Definitsioon2: Valemiga y=cosx antud arvfunktsiooni nimetatakse koosinusteks.
Funktsiooni y=cos x omadused
1. Funktsiooni domeen: D(y)=R
2. Funktsiooni väärtuse ala: E(y)=[-1;1]
3. Pariteedifunktsioon:
y=cos x – paaris.
4. Perioodilisus: cos(x+2πn)=cos x, kus n on täisarv.
Funktsioon y=cos x on perioodiline, perioodiga Т=2π.
Definitsioon 3: Valemiga y=tan x antud arvfunktsiooni nimetatakse puutujaks.
Funktsiooni y=tg x omadused
1. Funktsiooni domeen: D(y) - kõik reaalarvud peale π/2+πk, k – täisarv. Kuna nendes punktides pole puutujat määratletud.
3. Pariteedifunktsioon:
y=tg x – paaritu.
4. Perioodilisus: tg(x+πk)=tg x, kus k on täisarv.
Funktsioon y=tg x on perioodiline perioodiga π.
Definitsioon 4: Valemiga y=ctg x antud arvfunktsiooni nimetatakse kotangentiks.
Funktsiooni y=ctg x omadused
1. Funktsiooni määratluspiirkond: D(y) - kõik reaalarvud peale πk, k on täisarv. Kuna nendes punktides ei ole kotangent defineeritud.
2. Funktsioonivahemik: E(y)=R.
Numbriargumendi trigonomeetrilised funktsioonid.
Numbriargumendi trigonomeetrilised funktsioonidt on vormi funktsioonid y= kulu,
y= sin t, y= tg t, y= ctg t.
Neid valemeid kasutades saate ühe trigonomeetrilise funktsiooni teadaoleva väärtuse kaudu leida teiste trigonomeetriliste funktsioonide tundmatud väärtused.
Selgitused.
1) Võtke valem cos 2 t + sin 2 t = 1 ja kasutage seda uue valemi tuletamiseks.
Selleks jagage valemi mõlemad pooled cos 2 t-ga (t ≠ 0, see tähendab t ≠ π/2 + π k). Niisiis:
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Esimene liige on võrdne 1-ga. Teame, et siinuse ja koonuse suhe on puutuja, mis tähendab, et teine liige on võrdne tg 2 t-ga. Selle tulemusena saame uue (ja teile juba teada) valemi:
2) Nüüd jagage cos 2 t + sin 2 t = 1 sin 2 t-ga (t ≠ π k):
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, kus t ≠ π k + π k, k– täisarv
sin 2 t sin 2 t sin 2 t
Koosinuse ja siinuse suhe on kotangens. Tähendab:
Teades matemaatika põhiprintsiipe ja õppinud trigonomeetria põhivalemeid, saate enamiku teistest trigonomeetrilistest identiteetidest iseseisvalt tuletada. Ja see on isegi parem kui lihtsalt nende päheõppimine: peast õpitu ununeb kiiresti, aga see, millest aru saad, jääb meelde kauaks, kui mitte igaveseks. Näiteks pole vaja meelde jätta, millega võrdub ühe ja puutuja ruudu summa. Kui unustasite, saate hõlpsalt meeles pidada, kui teate kõige lihtsamat asja: puutuja on siinuse ja koosinuse suhe. Lisaks rakendage lihtsat reeglit erinevate nimetajatega murdude liitmiseks ja saate tulemuse:
sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Samamoodi saab hõlpsasti leida kotangensi ühe ja ruudu summa, aga ka palju muid identiteete.
Nurgaargumendi trigonomeetrilised funktsioonid.
Funktsioonidesjuures = cost, juures = pattt, juures = tgt, juures = ctgt muutuvt võib olla midagi enamat kui lihtsalt numbriline argument. Seda võib pidada ka nurga mõõduks – see tähendab nurgaargumendiks.
Arvringi ja koordinaatsüsteemi abil saate hõlpsalt leida mis tahes nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Selleks peavad olema täidetud kaks olulist tingimust:
1) nurga tipp peab olema ringi keskpunkt, mis on ühtlasi ka koordinaattelje keskpunkt;
2) nurga üks külgedest peab olema positiivse telje tala x.
Sel juhul on selle punkti ordinaat, milles ringjoon ja nurga teine külg ristuvad, selle nurga siinus ja selle punkti abstsiss on selle nurga koosinus.
Selgitus. Joonistame nurga, mille üks külg on telje positiivne kiir x, ja teine külg väljub koordinaattelje alguspunktist (ja ringi keskpunktist) 30º nurga all (vt joonist). Siis vastab teise külje ja ringi lõikepunktile π/6. Me teame selle punkti ordinaat ja abstsiss. Need on ka meie nurga koosinus ja siinus:
√3 1
--; --
2 2
Ja teades nurga siinust ja koosinust, saate hõlpsasti leida selle puutuja ja kotangensi.
Seega on koordinaatsüsteemis paiknev arvuring mugav viis nurga siinuse, koosinuse, puutuja või kotangensi leidmiseks.
Kuid on lihtsam viis. Te ei pea joonistama ringi ja koordinaatide süsteemi. Võite kasutada lihtsaid ja mugavaid valemeid:
Näide: leidke siinus ja koosinus nurgale, mis on võrdne 60º.
Lahendus:
π 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2
π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2
Selgitus: saime teada, et 60º nurga siinus ja koosinus vastavad ringi punkti väärtustele π/3. Järgmisena leiame lihtsalt tabelist selle punkti väärtused ja lahendame seega oma näite. Arvuringi põhipunktide siinuste ja koosinuste tabel on eelmises osas ja lehel “Tabelid”.
Selles peatükis tutvustame numbrilise argumendi trigonomeetrilisi funktsioone. Paljud matemaatika, mehaanika, füüsika ja teiste teaduste küsimused viivad trigonomeetriliste funktsioonideni mitte ainult nurga (kaare), vaid ka täiesti erineva iseloomuga (pikkus, aeg, temperatuur jne) argumentide juurde. Seni mõisteti trigonomeetrilise funktsiooni argumendi all kraadides või radiaanides mõõdetavat nurka. Nüüd üldistame mõisted siinus, koosinus, puutuja, kotangens, sekant ja koossekants, tutvustades neid arvulise argumendi funktsioonidena.Definitsioon. Arvulise argumendi trigonomeetrilised funktsioonid on radiaanidega võrdse nurga samanimelised trigonomeetrilised funktsioonid.
Selgitame seda määratlust konkreetsete näidetega.
Näide 1. Arvutame väärtuse. Siin peame silmas abstraktset irratsionaalset arvu. Definitsiooni järgi. Niisiis, .
Näide 2. Arvutame väärtuse. Siin peame 1,5 all silmas abstraktset arvu. Nagu on määratletud (vt II liide).
Näide 3. Arvutage väärtus Saame sama, mis ülal (vt II lisa).
Seega mõistame tulevikus trigonomeetriliste funktsioonide argumendi abil nurka (kaaret) või lihtsalt arvu, olenevalt lahendatavast ülesandest. Ja mõnel juhul võib argumendiks olla suurus, millel on teine mõõde, näiteks aeg jne. Argumendi nimetamisel nurgaks (kaareks) võime selle all mõelda arvu, millega seda radiaanides mõõdetakse.
Tund ja ettekanne teemal: "Arvulise argumendi trigonomeetriline funktsioon, definitsioon, identiteedid"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 10. klassile
Algebraülesanded parameetritega, klass 9–11
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Mida me uurime:
1. Numbriargumendi definitsioon.
2. Põhivalemid.
3. Trigonomeetrilised identiteedid.
4. Näited ja ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.
Numbriargumendi trigonomeetrilise funktsiooni definitsioon
Poisid, me teame, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangent.Vaatame, kas mõne trigonomeetrilise funktsiooni väärtuste abil on võimalik leida teiste trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi?
Määratleme arvelemendi trigonomeetrilise funktsiooni järgmiselt: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Meenutagem põhivalemeid:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Muide, mis on selle valemi nimi?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, $t≠πk$ jaoks.
Tuletame uued valemid.
Trigonomeetrilised identiteedid
Teame põhilist trigonomeetrilist identiteeti: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Poisid, jagame identiteedi mõlemad pooled $cos^2(t)$-ga.
Saame: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t)) $.
Teisendame: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Saame identiteedi: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, kus $t≠\frac(π)(2)+πk$.
Nüüd jagame identiteedi mõlemad pooled $sin^2(t)$-ga.
Saame: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t)) $.
Teisendame: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Saame uue identiteedi, mida tasub meeles pidada:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$ jaoks.
Meil õnnestus hankida kaks uut valemit. Pidage neid meeles.
Neid valemeid kasutatakse juhul, kui mõne trigonomeetrilise funktsiooni teadaoleva väärtuse põhjal on vaja arvutada mõne teise funktsiooni väärtus.
Näidete lahendamine arvargumendi trigonomeetriliste funktsioonide kohta
Näide 1.$cos(t) =\frac(5)(7)$, leia $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ kõigi t kohta.
Lahendus:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Siis $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49) $.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
Näide 2.
$tg(t) = \frac(5)(12)$, leia $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$ kõigi 0 $ eest Lahendus:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Siis $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Saame, et $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Siis $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, aga $0
Saame: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Iseseisvalt lahendatavad probleemid
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, leia $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, kõigile $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, leia $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ kõigi $t$ jaoks.