Lõige 2 Kolmnurga ja trapetsi rööpküliku pindalad. "Rööpküliku, kolmnurga, trapetsi pindala

1) Tervitus

2) Tunni motiveerimine Õpetaja kontrollib klassi valmisolekut tunniks; motiveerib õpilasi teemat sõnastama.

Lugege definitsiooni tahvlil (teemaleht) ja sisestage kõnealune mõiste:

Hulknurga poolt hõivatud tasapinna osa suurus on ... (pindala)

Nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed - .... (parallelogramm)

Joonist, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, ja kolmest neid ühendavast segmendist nimetatakse .... (kolmnurgaks)

Joonist, mille kaks külge on paralleelsed ja teised kaks pole paralleelsed, nimetatakse ... (trapetsikujuliseks)

Proovige saadud sõnadest luua meie tänase õppetunni teema.

Niisiis, tunni teema….Rööpküliku, kolmnurga, trapetsi pindalad.

Valdkonnad, milliseid kujundeid leiame ja kuidas?

Arvutage joonisel fig.

Kas on muid lahendusi?

Mis juhtus?

Milliseid katseid on tehtud seda piirkonda leida?

Kes püüdis leida rööpküliku pindala? Ütle mulle.

Rööpküliku pindala valemi tuletamine.

Ülesanne.

Kuidas "ümber joonistada" rööpkülikut, et saada sama pindalaga ristkülik?

Rööpkülik joonistati ümber ristkülikuks. See tähendab, et selle pindala on võrdne ristküliku pindalaga.

Mis on rööpküliku ristküliku pikkus ja laius?

Rööpküliku pindala on võrdne selle aluse ja kõrguse korrutisega.

Rööpkülikukujul võib alus olla mis tahes külg. Ja selleks, et rakendada ala leidmise valemit, tuleb kõrgus aluse külge tõmmata.

Arvutame selle rööpküliku pindala.

Kolmnurga pindala valemi tuletamine.

Kuidas saab kolmnurka ümber joonistada või täiendada?

Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle aluse ja kõrguse korrutisest.

Mis siis, kui kolmnurk on täisnurkne?

Vaata joonist fig.

Selle saab "ümber joonistada" ristkülikuks.

Ja leiame selle ala valemi abil

S =a *b . Ristküliku pikkus on pool jalast ja laius on teine jalg.

Täisnurkse kolmnurga pindala on võrdne poolega selle jalgade korrutisest.

Trapetsi pindala valemi tuletamine.

Vaadake, kuidas treapeetsia on "ümber kujundatud" - kolmnurgaks. Ja leiame kolmnurga pindala järgmise valemi abil:

Kolmnurga alus on ülemise ja alumise aluse pikkuste summa ning kolmnurga kõrgus on trapetsi kõrgus.

Trapetsi pindala on võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega.

1) Leidke S aur. , Kui A=5, h =4.

2) Leidke S kolmnurk. , Kui A=3,5; h =2.

3) Leidke S redel. , Kui A=4,5; b = 2,5; h =3.

Täida testiülesanded (vt lisa)

Iseseisva töö eksperthinnang.

Probleemide lahendamine uuel teemal:

Nr 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

Nõrkadele ja alasooritatavatele õpilastele on koostatud individuaalne töö kaartidel, mis sisaldab ülesandeid, milles on näide lahenduse fikseerimisest.

Õpetaja pakub vastuseid uue teema kohta küsimustele.

Poisid, võtame selle kokku!

Mida sa täna tunnis õppisid?

Mida sa tegema oled õppinud?

Mida oli raske otsustada?

Õpetaja kommenteerib kodutööd.

lõige 23 nr 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Hästi tehtud kõigile!

Õppetund on läbi. Hüvasti!

Geomeetrilise kujundi pindala- geomeetrilise kujundi arvuline karakteristik, mis näitab selle kujundi suurust (pinnaosa, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Pindala suurust väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.

Kolmnurga pindala valemid

Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse järgi
Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja ümbermõõdu raadiusel
Kolmnurga pindala valem, mis põhineb sisse kirjutatud ringi kolmel küljel ja raadiusel
Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.

Ruutpinna valemid

Ruudu pindala valem küljepikkuse järgi
Ruudukujuline ala võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
Valem ruudu pindala jaoks piki diagonaali pikkust
Ruudukujuline ala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.
S= 1 2
2

Ristküliku pindala valem

Ristküliku pindala

Parallelogrammi pindala valemid

Rööpküliku pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
Rööpküliku pindala
Rööpküliku pindala valem, mis põhineb kahel küljel ja nendevahelisel nurgal
Rööpküliku pindala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.
a b sin α

Rombi pindala valemid

Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
Rombi pindala võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.
Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja nurgal
Rombi pindala on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega.
Rombi pindala valem, mis põhineb selle diagonaalide pikkustel
Rombi pindala võrdne poolega selle diagonaalide pikkuste korrutisest.

Trapetsi pindala valemid

Heroni valem trapetsi jaoks
kus S on trapetsi pindala,
- trapetsi aluste pikkused,
- trapetsi külgede pikkused,

Rööpküliku pindala

1. teoreem

Rööpküliku pindala on määratletud kui selle külje pikkuse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutis.

kus $a$ on rööpküliku külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$ $AD=BC=a$. Joonistame kõrgused $DF$ ja $AE$ (joonis 1).

1. pilt.

Ilmselt on $FDAE$ arv ristkülik.

\[\angle BAE=(90)^0-\nurk A,\ \] \[\angle CDF=\nurk D-(90)^0=(180)^0-\nurk A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Järelikult, kuna $CD=AB,\ DF=AE=h$, $I$ kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi järgi $\kolmnurk BAE=\kolmnurk CDF$. Siis

Niisiis, vastavalt ristküliku pindala teoreemile:

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem

Rööpküliku pindala on määratletud kui selle külgnevate külgede pikkuse korrutis nende külgede vahelise nurga siinusega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on rööpküliku küljed, $\alpha $ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$, mille $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Joonistame kõrguse $DF=h$ (joonis 2).

Joonis 2.

Siinuse definitsiooni järgi saame

Seega

Niisiis, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Kolmnurga pindala

3. teoreem

Kolmnurga pindala on määratletud kui pool selle külje pikkuse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a$ on kolmnurga külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Joonis 3.

Niisiis, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

4. teoreem

Kolmnurga pindala on määratletud kui pool selle külgnevate külgede pikkuse ja nende külgede vahelise nurga siinuse korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on kolmnurga küljed, $\alpha$ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$, mille $AB=a$. Leiame kõrguse $CH=h$. Ehitame selle üles rööpkülikuks $ABCD$ (joonis 3).

Ilmselgelt on $I$ kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi järgi $\triangle ACB=\kolmnurk CDB$. Siis

Niisiis, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Trapetsi pindala

5. teoreem

Trapetsi pindala on defineeritud kui pool selle aluste pikkuste ja kõrguse summa korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

Tõestus.

Olgu meile antud trapets $ABCK$, kus $AK=a,\ BC=b$. Joonistame sellesse kõrgused $BM=h$ ja $KP=h$ ning diagonaali $BK$ (joonis 4).

Joonis 4.

Teoreemi järgi $3$ saame

Teoreem on tõestatud.

Näidisülesanne

Näide 1

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, kui selle külje pikkus on $a.$

Lahendus.

Kuna kolmnurk on võrdkülgne, on kõik selle nurgad võrdsed $(60)^0$.

Siis on meil teoreemi $4$ järgi

Vastus:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Pange tähele, et selle ülesande tulemust saab kasutada mis tahes antud küljega võrdkülgse kolmnurga pindala leidmiseks.

Leppigem kokku, et kutsume rööpküliku ühte külge alus, ja rist, mis on tõmmatud mis tahes punktist, mis asub alust sisaldavale joonele vastasküljel, on rööpküliku kõrgus.

Teoreem

Tõestus

Vaatleme rööpkülikut ABCD pindalaga S. Võtame aluseks külje AD ja joonistame kõrgused ВН ja СК (joon. 182). Tõestame, et S = AD VN.

Riis. 182

Esmalt tõestame, et ristküliku ABCD pindala on samuti võrdne S-ga. Trapets ABCD koosneb rööpkülikust ABCD ja kolmnurgast DCK. Teisest küljest koosneb see ristkülikust НВСК ja kolmnurgast АВН. Kuid täisnurksed kolmnurgad DCK ja ABH on hüpotenuusi ja teravnurga poolest võrdsed (nende hüpotenuusid AB ja CD on võrdsed rööpküliku vastaskülgedena ning nurgad 1 ja 2 on võrdsed vastavate nurkadega, kui paralleelsed sirged AB ja CD ristuvad lõikega AD) , seega on nende pindalad võrdsed.

Järelikult on rööpküliku ABCD ja ristküliku NVSK pindalad samuti võrdsed, st ristküliku NVSK pindala on võrdne S-ga. Ristküliku pindala teoreemi järgi S = BC BN ja kuna BC = AD, siis S = AD BN. Teoreem on tõestatud.

Kolmnurga pindala

Sageli nimetatakse selleks kolmnurga ühte külge alus. Kui alus on valitud, tähendab sõna “kõrgus” aluse külge tõmmatud kolmnurga kõrgust. Teoreem

Tõestus

Olgu S kolmnurga ABC pindala (joonis 183). Võtame kolmnurga aluseks külje AB ja joonistame kõrguse CH. Tõestame seda .

Riis. 183

Täiendame kolmnurga ABC rööpküliku ABDC, nagu näidatud joonisel 183. Kolmnurgad ABC ja DCB on kolmel küljel võrdsed (BC on nende ühine külg, AB = CD ja AC = BD rööpküliku ABDC vastasküljed), seega nende pindalad on võrdsed. Seetõttu võrdub kolmnurga ABC pindala S poolega paralleelogrammi ABDC pindalast, s.o. . Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1

Järeldus 2

Kasutame järeldust 2, et tõestada teoreemi võrdsete nurkadega kolmnurkade pindalade suhte kohta.

Teoreem

Tõestus

Olgu S ja S 1 kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 pindalad, mille puhul ∠A = ∠A 1 (joon. 184, a). Tõestame seda .

Riis. 184

Asetame kolmnurga A 1 B 1 C 1 kolmnurga ABC peale nii, et tipp A 1 joondub tipuga A ning küljed A 1 B 1 ja A 1 C 1 kattuvad vastavalt kiirtega AB ja AC (joonis 184, b). Kolmnurkadel ABC ja AB 1 C on seega ühine kõrgus - CH .

Kolmnurkadel AB 1 C ja AB 1 C 1 on samuti ühine kõrgus - B 1 H 1, seega . Korrutades saadud võrrandid, leiame:

Teoreem on tõestatud.

Trapetsi pindala

Suvalise hulknurga pindala arvutamiseks teete tavaliselt seda: jagage hulknurk kolmnurkadeks ja leidke iga kolmnurga pindala. Nende kolmnurkade pindalade summa on võrdne antud hulknurga pindalaga (joonis 185, a). Seda tehnikat kasutades tuletame trapetsi pindala arvutamise valemi. Leppigem kokku, et nimetame trapetsi kõrgust risti, mis on tõmmatud ühe aluse mis tahes punktist teise alust sisaldava joonega. Joonisel 185 b on segment BH (nagu ka lõik DH 1) trapetsi ABCD kõrgus.

Riis. 185

Teoreem

Tõestus

Vaatleme trapetsi ABCD alustega AD ja BC, kõrgusega BH ja pindalaga S (vt joonis 185, b).

Tõestame seda

Diagonaal BD jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks ABD ja BCD, seega S = S ABD + S BCD.

Võtame kolmnurga ABD aluseks ja kõrguseks lõigud AD ja ВН ning kolmnurga BCD põhjaks ja kõrguseks lõigud ВС ja DH 1. Siis

Teoreem on tõestatud.

Ülesanded

459. Olgu rööpküliku alus a, kõrgus ja S pindala. Leia: a) S, kui a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, kui S = 34 cm 2, h = 8,5 cm; c) a, kui S = 162 cm2, h = 1/2a; d) h, kui h = 3a, S = 27.

460. Rööpküliku diagonaal, mis on võrdne 13 cm, on risti rööpküliku küljega, mis on võrdne 12 cm. Leidke rööpküliku pindala.

461. Rööpküliku külgnevad küljed on 12 cm ja 14 cm ning selle teravnurk on 30°. Leidke rööpküliku pindala.

462. Rombi külg on 6 cm ja üks nurkadest on 150°. Leidke rombi pindala.

463. Rööpküliku külg on 8,1 cm ja diagonaal, mis võrdub 14 cm, moodustab sellega 30° nurga. Leidke rööpküliku pindala.

464. Olgu a ja b rööpküliku külgnevad küljed, S pindala, a h 1 ja h 2 selle kõrgused. Leia: a) h 2, kui a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, kui a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 ja h 2, kui S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 cm.

465. Rööpküliku teravnurk on 30° ja nürinurga tipust tõmmatud kõrgused on 2 cm ja 3 cm. Leidke rööpküliku pindala.

466. Rööpküliku diagonaal on võrdne selle küljega. Leidke rööpküliku pindala, kui selle pikim külg on 15,2 cm ja üks nurkadest on 45°.

467. Ruudul ja rombil, mis ei ole ruut, on samad perimeetrid. Võrrelge nende jooniste pindalasid.

468. Olgu a kolmnurga alus, h kõrgus ja S pindala. Leia: a) S, kui a = 7 cm, h = 11 cm; b) S, kui a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, kui S = 37,8 cm2, a - 14 cm; d) a, kui S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Kolmnurga ABC küljed AB ja BC on vastavalt 16 cm ja 22 cm ning küljele AB tõmmatud kõrgus on võrdne 11 cm. Leidke külje BC kõrgus.

470. Kolmnurga kaks külge on võrdsed 7,5 cm ja 3,2 cm. Suurema külje kõrgus on 2,4 cm. Leia nendest külgedest väiksema külje kõrgus.

471. D Leia täisnurkse kolmnurga pindala, kui selle jalad on võrdsed: a) 4 cm ja 11 cm; b) 1,2 dm ja 3 dm.

472. Täisnurkse kolmnurga pindala on 168 cm 2. Leidke selle jalad, kui nende pikkuste suhe on 7/12.

473. Läbi kolmnurga ABC tipu C tõmmatakse küljega AB paralleelne sirge m. Tõesta, et kõik kolmnurgad, mille tipud on sirgel m ja aluses AB, on võrdsed.

474. Võrrelge kahe kolmnurga pindalasid, milleks antud kolmnurk on jagatud mediaani järgi.

475. Joonesta kolmnurk ABC. Tõmmake kaks sirget läbi tipu A nii, et need jagaksid selle kolmnurga kolmeks võrdse pindalaga kolmnurgaks.

476. Tõesta, et rombi pindala on võrdne poolega selle diagonaalide korrutisest. Arvutage rombi pindala, kui selle diagonaalid on võrdsed: a) 3,2 dm ja 14 cm; b) 4,6 dm ja 2 dm.

477. Leidke rombi diagonaalid, kui üks neist on teisest 1,5 korda suurem ja rombi pindala on 27 cm 2.

478. Kumeras nelinurgas on diagonaalid üksteisega risti. Tõesta, et nelinurga pindala on võrdne poolega selle diagonaalide korrutisest.

479. Punktid D ja E asuvad kolmnurga ABC külgedel AB ja AC. Leia: a) S ADE, kui AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2; b) AD, kui AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Leidke trapetsi ABCD pindala alustega AB ja CD, kui:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, kõrgus BH on 7 cm;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Leidke ristkülikukujulise trapetsi pindala, mille kaks väiksemat külge on 6 cm ja suurem nurk on 135°.

482. Võrdhaarse trapetsi nürinurk on 135° ja selle nurga tipust tõmmatud kõrgus jagab suurema aluse 1,4 cm ja 3,4 cm segmentideks. Leidke trapetsi pindala.

Vastused probleemidele

459. a) 180 cm 2; b) 4 cm; c) 18 cm; d) 9.

460. 156 cm 2.

461,84 cm2.

462. 18 cm 2.

463,56,7 cm2.

464. a) 10 cm; b) 4 cm; c) 12 cm ja 9 cm.

465. 12 cm 2.

466. 115,52 cm 2.

467. Ruudu pindala on suurem.

468. a) 38,5 cm 2; b) 5√3 cm2; c) d) 4√2 cm.

470,5,625 cm.

471. a) 22 cm 2; b) 1,8 dm 2.

472. 14 cm ja 24 cm.

473. Juhend. Kasutage teoreemi 38.

474. Kolmnurkade pindalad on võrdsed.

475. Juhend. Kõigepealt jaga külg BC kolmeks võrdseks osaks.

476. a) 224 cm 2; b) 4,6 dm 2. Märge. Pange tähele, et rombi diagonaalid on üksteisega risti.

477. 6 cm ja 9 cm.

479. a) 2 cm 2; b) 2,4 cm.Juhend. Kasutage lõike 53 teist teoreemi.

480. a) 133 cm 2; b) 24 cm2; c) 72 cm 2.

481,54 cm2.

Rööpküliku pindala

1. teoreem

Rööpküliku pindala on määratletud kui selle külje pikkuse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutis.

kus $a$ on rööpküliku külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$ $AD=BC=a$. Joonistame kõrgused $DF$ ja $AE$ (joonis 1).

1. pilt.

Ilmselt on $FDAE$ arv ristkülik.

\[\angle BAE=(90)^0-\nurk A,\ \] \[\angle CDF=\nurk D-(90)^0=(180)^0-\nurk A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Järelikult, kuna $CD=AB,\ DF=AE=h$, $I$ kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi järgi $\kolmnurk BAE=\kolmnurk CDF$. Siis

Niisiis, vastavalt ristküliku pindala teoreemile:

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem

Rööpküliku pindala on määratletud kui selle külgnevate külgede pikkuse korrutis nende külgede vahelise nurga siinusega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on rööpküliku küljed, $\alpha $ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$, mille $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Joonistame kõrguse $DF=h$ (joonis 2).

Joonis 2.

Siinuse definitsiooni järgi saame

Seega

Niisiis, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Kolmnurga pindala

3. teoreem

Kolmnurga pindala on määratletud kui pool selle külje pikkuse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a$ on kolmnurga külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Joonis 3.

Niisiis, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

4. teoreem

Kolmnurga pindala on määratletud kui pool selle külgnevate külgede pikkuse ja nende külgede vahelise nurga siinuse korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on kolmnurga küljed, $\alpha$ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$, mille $AB=a$. Leiame kõrguse $CH=h$. Ehitame selle üles rööpkülikuks $ABCD$ (joonis 3).

Ilmselgelt on $I$ kolmnurkade võrdsuse kriteeriumi järgi $\triangle ACB=\kolmnurk CDB$. Siis

Niisiis, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Trapetsi pindala

5. teoreem

Trapetsi pindala on defineeritud kui pool selle aluste pikkuste ja kõrguse summa korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

Tõestus.

Olgu meile antud trapets $ABCK$, kus $AK=a,\ BC=b$. Joonistame sellesse kõrgused $BM=h$ ja $KP=h$ ning diagonaali $BK$ (joonis 4).

Joonis 4.

Teoreemi järgi $3$ saame

Teoreem on tõestatud.

Näidisülesanne

Näide 1

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, kui selle külje pikkus on $a.$

Lahendus.

Kuna kolmnurk on võrdkülgne, on kõik selle nurgad võrdsed $(60)^0$.

Siis on meil teoreemi $4$ järgi

Vastus:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Pange tähele, et selle ülesande tulemust saab kasutada mis tahes antud küljega võrdkülgse kolmnurga pindala leidmiseks.