Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [–5; 6]. Leidke f(x) graafikul nende punktide arv, millest igaühe juures funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja langeb kokku või on paralleelne x-teljega

Joonisel on kujutatud diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletise graafik.

Leia funktsioonigraafikult punktide arv, mis kuuluvad lõigu [–7; 7], milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne võrrandiga y = –3x määratud sirgega.

Materjalipunkt M hakkab liikuma punktist A ja liigub sirgjooneliselt 12 sekundit. Graafik näitab, kuidas kaugus punktist A punkti M muutus aja jooksul. Abstsisstelg näitab aega t sekundites ja ordinaattelg näitab kaugust s meetrites. Määrata, mitu korda liikumise jooksul punkti M kiirus nulliks pöördus (ei arvesta liikumise algust ja lõppu).

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) ja selle puutuja graafiku lõiked punktis, mille abstsiss on x = 0. On teada, et see puutuja on paralleelne graafiku punkte läbiva sirgega abstsissiga x = -2 ja x = 3. Seda kasutades leidke tuletise f"(o) väärtus.

Joonisel on kujutatud graafik y = f’(x) – funktsiooni f(x) tuletis, mis on defineeritud lõigul (−11; 2). Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja on abstsissiga paralleelne või langeb sellega kokku.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 2 m/s?

Materiaalne punkt liigub mööda sirgjoont algpositsioonist lõppasendisse. Joonisel on selle liikumise graafik. Abstsisstelg näitab aega sekundites ja ordinaattelg näitab kaugust punkti algsest asukohast (meetrites). Leidke punkti keskmine kiirus. Esitage oma vastus meetrites sekundis.

Funktsioon y = f (x) on defineeritud intervallil [-4; 4]. Joonisel on selle tuletise graafik. Leia funktsiooni y = f (x) graafikult punktide arv, mille puutuja moodustab Ox-telje positiivse suunaga 45° nurga.

Funktsioon y = f (x) on defineeritud intervallil [-2; 4]. Joonisel on selle tuletise graafik. Leia funktsiooni y = f (x) graafikult punkti abstsiss, mille juures see võtab lõigul [-2; -0,001].

Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis x0. Puutuja on antud võrrandiga y = -2x + 15. Leia funktsiooni y = -(1/4)f(x) + 5 tuletise väärtus punktis x0.

Diferentseeruva funktsiooni y = f (x) graafikule on märgitud seitse punkti: x1,.., x7. Leia kõik märgitud punktid, kus funktsiooni f(x) tuletis on suurem kui null. Oma vastuses märkige nende punktide arv.

Joonisel on näidatud intervallil (-10; 2) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik y = f"(x). Leia punktide arv, kus funktsiooni f graafiku puutuja (x) on paralleelne sirgega y = -2x-11 või langeb sellega kokku.

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(x) - funktsiooni f(x) tuletis. Abstsissteljele on märgitud üheksa punkti: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Kui paljud neist punktidest kuuluvad kahaneva funktsiooni f(x) intervallidesse?

Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis x0. Puutuja on antud võrrandiga y = 1,5x + 3,5. Leia funktsiooni y = 2f(x) - 1 tuletise väärtus punktis x0.

Joonisel on kujutatud funktsiooni f (x) ühe antiderivaadi graafik y=F(x). Graafikule on märgitud kuus punkti abstsissidega x1, x2, ..., x6. Mitmes neist punktidest saab funktsioon y=f(x) negatiivseid väärtusi?

Joonisel on kujutatud marsruudil liikuva auto graafikut. Abstsisstelg näitab aega (tundides) ja ordinaattelg näitab läbitud vahemaad (kilomeetrites). Leidke auto keskmine kiirus sellel marsruudil. Esitage oma vastus km/h

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kus x on kaugus võrdluspunktist (meetrites), t on aeg liikumisest (sekundites). Leia selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t=6 s

Joonisel on kujutatud mingi funktsiooni y = f(x) antiderivaadi y = F(x) graafik, mis on defineeritud vahemikus (-6; 7). Määrake joonise abil funktsiooni f(x) nullide arv sellel intervallil.

Joonisel on graafik y = F(x) mõne funktsiooni f(x) antiderivaadist, mis on defineeritud vahemikus (-7; 5). Joonist kasutades määrake võrrandi f(x) = 0 lahendite arv intervallil [- 5; 2].

Joonisel on diferentseeruva funktsiooni y=f(x) graafik. X-teljele on märgitud üheksa punkti: x1, x2, ... x9. Leia kõik märgitud punktid, kus funktsiooni f(x) tuletis on negatiivne. Oma vastuses märkige nende punktide arv.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t)=12t^3−3t^2+2t, kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites mõõdetuna liikumise algusest. Leia selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t=6 s.

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis x0. Puutuja võrrand on näidatud joonisel. leida funktsiooni y=4*f(x)-3 tuletise väärtus punktis x0.

Õppige grammatilisi vigu märkama. Kui õpite neid ülesandes enesekindlalt ära tundma, ei kaota te essees punkte. (9. kriteerium – “Keelenormide täitmine.”) Lisaks nõuab erilist tähelepanu ülesanne, mille eest saab 5 punkti!

Ülesanne 7 Vene keele ühtne riigieksam

Ülesande sõnastus: Loo vastavus grammatiliste vigade ja lausete vahel, milles need tehti: esimese veeru iga positsiooni jaoks valige teisest veerust vastav positsioon.

Grammatilised vead

pakkumisi

A) rikkumine osalausega lause konstruktsioonis B) viga komplekslause koostamisel C) rikkumine vastuolulise rakendusega lause koostamisel D) subjekti ja predikaadi vahelise seose katkemine D) verbivormide aspektuaal-ajalise korrelatsiooni rikkumine

1) I.S. Turgenev allutab Bazarovi kõige raskemale proovile - "armastuse proovile" - ja paljastas seeläbi oma kangelase tõelise olemuse. 2) Kõik, kes Krimmi külastasid, võtsid pärast temaga lahkuminekut endaga kaasa eredaid muljeid merest, mägedest, lõunaosast kõrrelised ja lilled. 3) Teos “Tõelise mehe lugu” põhineb tõsielulistel sündmustel, mis juhtusid Aleksei Maresjeviga. 4) S. Mihhalkov väitis, et tänu näitlejate suurepärasele näitlejatööle saab Maly teatri laval näha kaupmees Zamoskvoretšje maailma. 5) 1885. aastal V.D. Polenov eksponeeris rändnäitusel üheksakümmend seitse visandit, mis olid toodud idareisilt. 6) Igat tüüpi poeetiliste kompositsioonide kõneoskuse teooria kirjutas A.I. Galitš, kes õpetas Tsarskoje Selo Lütseumis vene ja ladina kirjandust. 7) I. Maškovi maastikul “Vaade Moskvale” on tunda linnatänava helisevat ilu. 8) Õnnelikud on need, kes pärast pikka külma ja lörtsiga teed näevad tuttavat maja ja kuulevad sugulaste hääli. 9) Klassikalist kirjandust lugedes märkate, kui erinevalt on kujutatud "Petrovi linna" A.S. Puškina, N.V. Gogol, F.M. Dostojevski.

Kirjutage valitud numbrid tabelisse vastavate tähtede alla.

Kuidas sellist ülesannet täita? Parem on alustada vasakult küljelt. Otsige parempoolsetest lausetest üles nimetatud süntaktiline nähtus (osalusfraas, subjekt ja predikaat jne) ja kontrollige grammatikavea olemasolu. Alustage neist, mida on lihtsam leida ja tuvastada.

Vaatame tüüpilisi grammatilisi vigu selles järjekorras, milles neid eksamil kontrollida tuleks.

Ebaühtlane rakendus

Ebajärjekindel lisa on jutumärkidesse pandud raamatu, ajakirja, filmi, pildi vms pealkiri.

Muutused käändes lauses üldine sõna ja ebajärjekindel rakendus on algkujul ega muutu: V romaan"Sõda ja rahu"; pilt Levitan "Kuldne sügis" jaamas metroojaam "Tverskaja".

Kui lauses pole üldsõna, muutub rakendus ise tõstu- ja tähtede kaupa: "Sõja ja rahu" kangelased; Vaatan Levitani “Kuldset sügist”, kohtume Tverskajas.

Grammatikaviga : romaanis “Sõda ja rahu”; maalil “Kuldne sügis”, Tverskoi metroojaamas.

Ülesandes tekkis selline viga 3. lauses.

Otsene ja kaudne kõne.

Kaudse kõnega lause on keeruline lause. Võrdlema:

Dirigent ütles: "Ma toon teile teed" - dirigent ütles, et toob meile teed. Grammatikaviga: Dirigent ütles, et ma toon sulle teed.(Isiklik asesõna peab muutuma.)

Reisija küsis: "Kas ma saan akna avada?" - Reisija küsis, kas ta saab akna avada. Grammatikaviga : Reisija küsis, kas ta saab akna avada.(Lauses on sidesõnana LI; sidesõna MIS pole lauses lubatud.)

Osalevad

Leiame osalausega laused ja vaatame, kas selle konstruktsioonis on vigu.

1. Määratletud (põhi)sõna ei saa sattuda osalause sisse, see võib esineda enne või pärast seda. Grammatikaviga: need, kes tulid pealtvaatajad kohtumisele direktoriga.Õige: pealtvaatajad, kes tulid lavastajaga kohtuma või pealtvaatajad, kes tulid lavastajaga kohtuma.

2. Osalause peab soo, arvu ja käände poolest kokku leppima põhisõnaga, mis on määratud tähenduse ja küsimusega: elanikud mäed (millised?), hirmutatud orkaanist või elanikud mäed(millised?), kuuskedega võsastunud. Grammatikaviga: orkaanist ehmunud mägede elanikud või mägede asukad, kasvanud kuusepuudega.

Märge: üks sündmusi, mis juhtus eelmisel suvel(me nõustume osastava sõnaga ÜKS - räägime ühest sündmusest). Mäletan mitmeid sündmusi, mis juhtusid eelmisel suvel (küsime küsimuse SÜNDMUSED “millised?”).

3. Osalausel on olevik ( õpilane õpib reeglit pähe), minevikuvorm ( õpilane, kes reegli pähe õppis), kuid tuleviku aega pole ( õpilane õpib reeglit pähe- grammatikaviga).

Ülesandes tekkis selline viga 5. lauses.

Osaluskäive

Pea meeles: osalause nimetab lisatoimingu ja predikaatverb põhitegevuse. Gerund ja predikaatverb peavad viitama samale märgile!

Leiame lausest subjekti ja kontrollime, kas see sooritab toimingut, mida nimetatakse gerundiks. Esimesele ballile minnes oli Nataša Rostoval loomulik elevus. Me põhjendame: tekkis elevus - Nataša Rostova kõndis- erinevad tegelased. Õige variant: Esimesele ballile minnes koges Nataša Rostova loomulikku elevust.

Kindlas isiklikus lauses on teemat lihtne taastada: MINA, MEIE, SINA, SINA: Pakkumist tehes kaaluge(Sina) sõna grammatilist tähendust. Me põhjendame: sa arvestad Ja sa leiad- viga pole.

Predikaatverbi saab väljendada infinitiiv: Lause koostamisel tuleb arvestada sõna grammatilist tähendust.

Me põhjendame: Pärast lause lugemist tundub mulle, et viga pole. MINA ei saa olla teemaks, kuna see pole algkujul. Selles lauses on grammatikaviga.

Subjekti ja predikaadi grammatiline seos.

Viga võib peituda keerulistes lausetes, mis on koostatud vastavalt mudelile "NEED, KES ...", "KÕIK, KES ...", "KÕIK KES ...", "MITTE ÜKSKI NEIST, KES ...", "PALJUD, KES ...", "ÜKS NEED KES..." Igal lihtsal lausel keerulises lauses on oma teema; peate kontrollima, kas need on kooskõlas nende predikaatidega. KES, KÕIK, MITTE KEEGI, ÜKS, kombineeritakse predikaatidega ainsuses; NEED, KÕIK, PALJUD on kombineeritud nende predikaatidega mitmuses.

Analüüsime ettepanekut: Ükski neist, kes seal suvel käisid, ei pettunud. KEEGI EI OLNUD – grammatikaviga. KES ON KÜLASTANUD – pole viga. Kes näituse avamisele ei tulnud, see kahetses. KAHETSID – viga polnud. KES EI TULNUD - grammatikaviga.

Ülesandes tekkis selline viga 2. lauses.

Verbivormide tüübi-ajalise korrelatsiooni rikkumine.

Pöörake erilist tähelepanu predikaatverbidele: tegusõna vale kasutamine põhjustab tegevuste jadas segadust. Töötan tähelepanematult, katkendlikult ja selle tulemusena tegin palju naeruväärseid vigu. Parandame vea: Töötan tähelepanematult, katkendlikult ja sellest tulenevalt teen palju naeruväärseid vigu.(Mõlemad imperfektiivsed verbid on olevikuvormis.) Töötasin tähelepanematult, katkendlikult ja selle tulemusena tegin palju naeruväärseid vigu.(Mõlemad verbid on minevikuvormis, esimene tegusõna - imperfektiivne - näitab protsessi, teine ​​- perfektiivne - näitab tulemust.)

Ülesandes ilmnes lauses 1 järgmine viga: Turgenev paljastab ja paljastab...

Homogeensed lauseliikmed

Grammatilised vead sidesõnadega lausetes JA.

1. liit JA ei suuda üht lauseliiget kogu lausega siduda. Mulle ei meeldi haigestuda ja kui saan halva hinde. Moskva on linn mis oli Puškini sünnikoht ja ta kirjeldas seda üksikasjalikult. Kui Onegin naasis Peterburi ja olles kohtunud Tatjanaga, ei tundnud ta teda ära. Kuulas loengut spordi tähtsusest ja miks nad seda tegema peavad?. (Parandame vea: Kuulas loengut spordi tähtsusest ja sportliku tegevuse kasulikkusest. Või: Kuulasime loengut teemal mis on spordi tähtsus Ja miks nad seda tegema peavad? .)
2. liit JA ei saa ühendada homogeenseid liikmeid, mida väljendatakse omadussõnade ja osaliste täis- ja lühivormis: Ta on pikk ja kõhn. Ta on tark ja ilus.
3. liit JA ei saa ühendada infinitiivi ja nimisõna: Mulle meeldib pesu pesta, süüa teha ja raamatuid lugeda. (Paremal: Mulle meeldib pesu pesta, süüa teha ja raamatuid lugeda.)
4. Sellise süntaksi viga on raske ära tunda: Dekabristid armastasid ja imetlesid vene rahvast. Lisand INIMESED viitab selles lauses mõlemale predikaadile, kuid on grammatiliselt seotud ainult ühega neist: IMMATUD (KELLE?) INIMESED. Tegusõnast LOVED esitame küsimuse KES? Kindlasti esitage iga predikaatverbi objektile küsimus. Siin on tüüpilised vead: vanemad hoolivad ja armastavad lapsi; ma mõistan sind ja tunnen sulle kaasa; ta õppis ja kasutas reeglit; Ma armastan oma poega ja olen selle üle uhke. Sellise vea parandamine nõuab mitmesuguste täienduste sisseviimist, millest igaüks on kooskõlas selle predikaatverbiga: Ma armastan oma poega ja olen tema üle uhke.

Liitsidesõnade kasutamine.

1. Õpi ära tundma lauses järgmisi sidesõnu: “MITTE AINULT..., VAID KA”; "NAI..., NII JA." Nende sidesõnade puhul ei saa te üksikuid sõnu vahele jätta ega teistega asendada: Mitte ainult meie, vaid ka meie külalised olid üllatunud. Ajastu atmosfääri loovad komöödias mitte ainult näitlejad, vaid ka lavavälised tegelased. Töö käib täie hooga nii päeval kui öösel.
2. Topeltkonjunktsiooni osad peavad olema vahetult enne iga homogeenset liiget . Vale sõnajärjestus põhjustab grammatilisi vigu: Uurisime mitte ainult iidne osa linnades, aga külastati ka uusi piirkondi.(Õige järjekord: Me mitte ainult ei vaadanud ringi..., vaid külastasime ka...)Essees, mida vajate kuidas on lood peategelastega, ütle mulle nii kunstiliste tunnuste kohta. (Õige järjekord: Essee peab rääkima kuidas on lood peategelastega, ja kunstiliste tunnuste kohta. )

Sõnade üldistamine homogeensete terminitega

Üldistav sõna ja sellele järgnevad homogeensed liikmed on samas käändes: Mängige kahte spordiala:(kuidas?) suusatamine ja ujumine.(Grammatikaviga: Tugevatel inimestel on kaks omadust: lahkus ja alandlikkus.)

Homogeensete liikmetega eessõnad

Eessõnad enne homogeenseid liikmeid saab ära jätta ainult siis, kui need on samad: Ta käis külas V Kreeka, Hispaania, Itaalia, peal Küpros. Grammatikaviga: Ta käis külas V Kreeka, Hispaania, Itaalia, Küpros.

Keeruline lause

Väga levinud on sidesõnade, liitsõnade ja demonstratiivsete sõnade ebaõige kasutamisega seotud vead. Võimalikke vigu võib olla palju, vaatame mõnda neist.

Täiendav side: Mind piinas küsimus, kas ma peaksin isale kõik rääkima. Ma ei saanud aru, kui kaugel ma tõest olin.

Koordineerivate ja alluvate sidesõnade segamine : Kui Murka kassipoegadega jamamisest tüdines ja ta kuhugi magama läks.

Lisaosake: Mul on vaja, et ta tuleks minu juurde.

Puuduv indekssõna: Sinu viga on see, et sul on liiga kiire.(Vaatamata IN VOL.)

Sidesõna MIS on määratletavast sõnast ära rebitud: Soe vihm niisutas mulda, mida taimed nii väga vajasid.(Paremal: Soe vihm milles vaja taimi, niisutas mulda.)

Ülesandes tehti selline viga 9. lauses.

Eessõnaga nimisõna käändevormi vale kasutamine

1. Eessõnad TÄNAN, VASTAVALT, VASTAST, KONTRASTI, KONTRASTIS, TÕENÄOLISELT + nimisõna DATIIVKÄES: tänu oskuseleYu , vastavalt ajakavaleYu , vastuolus reeglitegaolen .

• Eessõna ON võib kasutada tähistamaks “PÄRAST”. Sel juhul on nimisõna eessõna käändes ja sellel on lõpp JA: lõpetamisel (pärast lõpetamist), linna saabumisel (pärast saabumist), pärast tähtaja möödumist (pärast tähtaja möödumist).

Pea meeles: saabumisel JA, Lõpetamisel JA, Lõpetamisel JA, aegumisel JA, saabumisel E, saabumisel E.

• Mäletame haldusfunktsioone järgmistes fraasides:

Tõesta (mida?) õigust

Imetlege (mida?) kannatlikkust

Tooge näide (millest?) veast

Tehke tööst kokkuvõte (mis?).

Tunnista (mida?) kuriteos

Preili, kurvastage (kelle pärast?) teie pärast

Pöörake tähelepanu (mis?) pisiasjadele

Too välja (millele?) puudused

Süüdistada (mida?) ahnuses

Meenutagem paare:

Muretse oma poja pärast – muretse oma poja pärast

Uskuge võitu - uskuge võitu

Küsimus ehituse kohta – probleemid ehitusega

Teeni üüritulu – saa üüritulu

Probleemi teadmatus – probleemiga mittetundmine

Umbusaldusest solvuda – usaldamatusest solvuda

Pöörake tähelepanu tervisele - pöörake tähelepanu tervisele

Ettevõtlusega tegelemine – muretse äri pärast

Maksa reisi eest – maksa reisi eest

Tagasiside esseele – essee arvustus

Teenustasu – tasu teenuse eest

Üleolek temast - eelis tema ees

Hoiata ohu eest – hoiata ohu eest

Tee vahet sõpradel ja vaenlastel – erista sõpru vaenlastest

Üllatunud kannatlikkusest - üllatunud kannatlikkusest

Talle iseloomulik – talle omane

Matemaatika ühtsel riigieksamil profiilitasemel 2019. aastal muudatusi ei ole - eksamiprogramm on sarnaselt varasematele aastatele kokku pandud peamiste matemaatika erialade materjalidest. Piletid sisaldavad matemaatilisi, geomeetrilisi ja algebralisi ülesandeid.

KIM ühtse riigieksami 2019 matemaatika profiili tasemel muudatusi ei ole.

2019. aasta matemaatika ühtse riigieksami ülesannete tunnused

• Matemaatika (profiil) ühtseks riigieksamiks valmistumisel pöörake tähelepanu eksamiprogrammi põhinõuetele. See on loodud selleks, et testida teadmisi süvaprogrammist: vektor- ja matemaatilised mudelid, funktsioonid ja logaritmid, algebralised võrrandid ja võrratused.
• Eraldi harjutage ülesannete lahendamist .
• Oluline on näidata uuenduslikku mõtlemist.

Eksami struktuur

Erimatemaatika ühtsed riigieksami ülesanded jagatud kaheks plokiks.

1. Osa – lühikesed vastused, sisaldab 8 ülesannet, mis panevad proovile elementaarse matemaatilise ettevalmistuse ja matemaatikateadmiste igapäevaelus rakendamise oskuse.
2. osa - lühike ja üksikasjalikud vastused. See koosneb 11 ülesandest, millest 4 nõuavad lühikest vastust ja 7 - üksikasjalikku koos argumentidega tehtud toimingute kohta.

• Täiustatud raskusaste- KIM-i teise osa ülesanded 9-17.
• Kõrge raskusaste- ülesanded 18-19 –. See eksamiülesannete osa kontrollib mitte ainult matemaatikateadmiste taset, vaid ka loomingulise lähenemise olemasolu või puudumist kuivade "numbriliste" ülesannete lahendamisel, samuti teadmiste ja oskuste professionaalse tööriistana kasutamise tõhusust. .

Tähtis! Seetõttu toetage ühtseks riigieksamiks valmistumisel alati oma matemaatika teooriat praktiliste ülesannete lahendamisega.

Kuidas punkte jagatakse?

Matemaatika KIM-i esimese osa ülesanded on lähedased ühtse riigieksami algtaseme testidele, mistõttu on neil võimatu kõrget punktisummat saada.

Matemaatika iga ülesande punktid profiili tasemel jagunesid järgmiselt:

• ülesannete nr 1-12 õigete vastuste eest - 1 punkt;
• nr 13-15 – 2 tk;
• nr 16-17 – 3 tk;
• Nr 18-19 – 4 tk.

Eksami kestus ja ühtse riigieksami käitumisreeglid

Eksamitöö täitmiseks -2019 õpilane on määratud 3 tundi 55 minutit(235 minutit).

Selle aja jooksul ei tohiks õpilane:

• käituma lärmakalt;
• kasutada vidinaid ja muid tehnilisi vahendeid;
• maha kirjutama;
• proovige teisi aidata või küsige abi enda jaoks.

Selliste toimingute eest võidakse eksaminand klassiruumist välja saata.

Matemaatika riigieksamiks lubatud tuua Võtke kaasa ainult joonlaud, ülejäänud materjalid antakse teile vahetult enne ühtset riigieksamit. väljastatakse kohapeal.

Tõhus ettevalmistus on 2019. aasta matemaatika veebitestide lahendus. Valige ja saage maksimaalne punktisumma!

Keskharidus üldharidus

Liin UMK G. K. Muravin. Algebra ja matemaatilise analüüsi põhimõtted (10-11) (sügav)

UMK Merzlyak liin. Algebra ja analüüsi algus (10-11) (U)

Matemaatika

Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks (profiilitasand): ülesanded, lahendused ja selgitused

Analüüsime ülesandeid ja lahendame koos õpetajaga näiteid

Profiilitaseme eksam kestab 3 tundi 55 minutit (235 minutit).

Minimaalne lävi- 27 punkti.

Eksamitöö koosneb kahest osast, mis erinevad nii sisu, keerukuse kui ka ülesannete arvu poolest.

Iga tööosa määravaks tunnuseks on ülesannete vorm:

• 1. osa sisaldab 8 ülesannet (ülesanded 1-8) lühikese vastusega täisarvu või kümnendmurru kujul;
• 2. osa sisaldab 4 ülesannet (ülesanded 9–12) lühikese vastusega täisarvu või kümnendmurru kujul ja 7 ülesannet (ülesanded 13–19) üksikasjaliku vastusega (lahenduse täielik kirje koos põhjendusega võetud toimingud).

Panova Svetlana Anatolevna, kooli kõrgeima kategooria matemaatikaõpetaja, töökogemus 20 aastat:

«Koolitunnistuse saamiseks peab lõpetaja sooritama ühtse riigieksami vormis kaks kohustuslikku eksamit, millest üks on matemaatika. Vastavalt Vene Föderatsiooni matemaatilise hariduse arendamise kontseptsioonile on matemaatika ühtne riigieksam jagatud kaheks tasemeks: põhi- ja erialaeksam. Täna vaatame profiilitaseme valikuid.

Ülesanne nr 1- testib ühtse riigieksami osalejate oskust rakendada 5.–9. klassi algmatemaatika kursusel omandatud oskusi praktilises tegevuses. Osalejal peab olema arvutusoskus, ta peab suutma töötada ratsionaalsete arvudega, suutma ümardada kümnendkohti ja oskama üht mõõtühikut teisendada.

Näide 1. Korteris, kus Peter elab, paigaldati külma vee voolumõõtja (mõõtja). 1. mail näitas arvesti kuluks 172 kuupmeetrit. m vett ja esimesel juunil - 177 kuupmeetrit. m Kui palju peaks Peeter maksma külma vee eest mais, kui hind on 1 kuupmeeter? m külm vesi on 34 rubla 17 kopikat? Esitage oma vastus rublades.

Lahendus:

1) Leidke kuus kulutatud vee kogus:

177–172 = 5 (kuupm)

2) Leiame, kui palju raha nad raisatud vee eest maksavad:

34,17 5 = 170,85 (hõõru)

Vastus: 170,85.

Ülesanne nr 2- on üks lihtsamaid eksamiülesandeid. Suurem osa lõpetajaid tuleb sellega edukalt toime, mis viitab funktsiooni mõiste definitsiooni tundmisele. Ülesande liik nr 2 nõuete kodifitseerija järgi on ülesanne omandatud teadmiste ja oskuste kasutamisest praktilises tegevuses ja igapäevaelus. Ülesanne nr 2 seisneb suuruste erinevate reaalsete seoste kirjeldamises, kasutamises ja nende graafikute tõlgendamises. Ülesanne nr 2 testib tabelite, diagrammide ja graafikutena esitatud teabe eraldamise võimet. Lõpetajad peavad suutma määrata argumendi väärtusest funktsiooni väärtuse erinevatel funktsioonide täpsustamise viisidel ning kirjeldada funktsiooni käitumist ja omadusi selle graafiku põhjal. Samuti peate suutma funktsioonigraafikust leida suurima või väikseima väärtuse ja koostama uuritud funktsioonide graafikud. Probleemi tingimuste lugemisel, diagrammi lugemisel on tehtud vead juhuslikud.

#ADVERTISING_INSERT#

Näide 2. Joonisel on näha kaevandusettevõtte ühe aktsia vahetusväärtuse muutus 2017. aasta aprilli esimesel poolel. 7. aprillil ostis ärimees selle ettevõtte 1000 aktsiat. 10. aprillil müüs ta kolmveerand ostetud aktsiatest ja 13. aprillil kõik ülejäänud aktsiad. Kui palju ärimees nende operatsioonide tulemusel kaotas?

Lahendus:

2) 1000 · 3/4 = 750 (aktsiad) - moodustavad 3/4 kõigist ostetud aktsiatest.

6) 247500 + 77500 = 325000 (hõõruda) - ärimees sai pärast müüki 1000 aktsiat.

7) 340 000 – 325 000 = 15 000 (hõõru) - ärimees kaotas kõigi toimingute tulemusena.

Vastus: 15000.

Ülesanne nr 3- on esimese osa algtaseme ülesanne, testib oskust sooritada toiminguid geomeetriliste kujunditega vastavalt Planimeetria kursuse sisule. Ülesandes 3 testitakse ruudulisel paberil oleva kujundi pindala arvutamise oskust, nurkade astmemõõtude arvutamise oskust, perimeetrite arvutamist jne.

Näide 3. Leidke ruudulisele paberile joonistatud ristküliku pindala, mille lahtri suurus on 1 cm x 1 cm (vt joonist). Esitage oma vastus ruutsentimeetrites.

Lahendus: Antud joonise pindala arvutamiseks võite kasutada Peak valemit:

Antud ristküliku pindala arvutamiseks kasutame Peaki valemit:

S= B +	G
	2

kus B = 10, G = 6, seega

S = 18 +	6
	2

Vastus: 20.

Loe ka: Füüsika ühtne riigieksam: võnkumiste alaste ülesannete lahendamine

Ülesanne nr 4- kursuse “Tõenäosusteooria ja statistika” eesmärk. Testitakse oskust arvutada sündmuse tõenäosust kõige lihtsamas olukorras.

Näide 4. Ringile on märgitud 5 punast ja 1 sinine täpp. Määrake, millised hulknurgad on suuremad: need, mille kõik tipud on punased või need, mille üks tippudest on sinine. Oma vastuses märkige, kui palju ühtesid on rohkem kui teisi.

Lahendus: 1) Kasutame kombinatsioonide arvu valemit n elemendid poolt k:

mille tipud on kõik punased.

3) Üks viisnurk, mille kõik tipud on punased.

4) 10 + 5 + 1 = 16 hulknurka kõigi punaste tippudega.

millel on punased pealsed või ühe sinise ülaosaga.

millel on punased pealsed või ühe sinise ülaosaga.

8) Üks punaste tippudega kuusnurk ja üks sinine tipp.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 hulknurka, millel on kõik punased tipud või üks sinine tipp.

10) 42–16 = 26 hulknurka, kasutades sinist punkti.

11) 26 – 16 = 10 hulknurka – mitu hulknurka, mille üks tippudest on sinine täpp, on rohkem kui hulknurki, mille kõik tipud on ainult punased.

Vastus: 10.

Ülesanne nr 5- esimese osa algtase kontrollib lihtsate võrrandite (irratsionaalne, eksponentsiaalne, trigonomeetriline, logaritmiline) lahendamise oskust.

Näide 5. Lahendage võrrand 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Lahendus. Jagage selle võrrandi mõlemad pooled 5 3 +-ga X≠ 0, saame

2 3 + x	= 0,4 või		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

millest järeldub, et 3 + x = 1, x = –2.

Vastus: –2.

Ülesanne nr 6 planimeetrias geomeetriliste suuruste (pikkuste, nurkade, pindalade) leidmiseks, reaalsete olukordade modelleerimine geomeetria keeles. Ehitatud mudelite uurimine geomeetriliste mõistete ja teoreemide abil. Raskuste allikaks on reeglina planimeetria vajalike teoreemide teadmatus või vale rakendamine.

Kolmnurga pindala ABC võrdub 129-ga. DE– küljega paralleelne keskjoon AB. Leidke trapetsi pindala VOODI.

Lahendus. Kolmnurk CDE sarnane kolmnurgaga TAKSO kahe nurga all, kuna nurk tipus Cüldine, nurk СDE võrdne nurgaga TAKSO kui vastavad nurgad DE || AB sekant A.C.. Sest DE on kolmnurga keskjoon tingimuse, seejärel keskjoone omaduse järgi | DE = (1/2)AB. See tähendab, et sarnasuse koefitsient on 0,5. Sarnaste arvude pindalad on seega seotud sarnasuskordaja ruuduna

Seega S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Ülesanne nr 7- kontrollib tuletise rakendamist funktsiooni uurimisel. Edukas rakendamine eeldab tuletise mõiste tähenduslikke, mitteformaalseid teadmisi.

Näide 7. Funktsiooni graafikule y = f(x) abstsisspunktis x 0 tõmmatakse puutuja, mis on risti selle graafiku punkte (4; 3) ja (3; –1) läbiva sirgega. Otsi f′( x 0).

Lahendus. 1) Kasutame kahte antud punkti läbiva sirge võrrandit ja leiame punkte (4; 3) ja (3; –1) läbiva sirge võrrandi.

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, kus k 1 = 4.

2) Leidke puutuja kalle k 2, mis on joonega risti y = 4x– 13, kus k 1 = 4, vastavalt valemile:

3) Puutenurk on funktsiooni tuletis puutepunktis. Tähendab, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Vastus: –0,25.

Ülesanne nr 8- kontrollib eksamil osalejate teadmisi elementaarsest stereomeetriast, oskust rakendada valemeid kujundite pindalade ja mahtude, kahetahuliste nurkade leidmiseks, võrrelda sarnaste kujundite ruumalasid, teha toiminguid geomeetriliste kujundite, koordinaatide ja vektoritega jne.

Ümber kera ümbritsetud kuubi ruumala on 216. Leia sfääri raadius.

Lahendus. 1) V kuubik = a 3 (kus A– kuubi serva pikkus), seega

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Kuna kera on kantud kuubi, tähendab see, et kera läbimõõdu pikkus on võrdne kuubi serva pikkusega, seega d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Ülesanne nr 9- eeldab lõpetajalt algebraliste avaldiste teisendamise ja lihtsustamise oskust. Kõrgendatud raskusastmega ülesanne nr 9 lühikese vastusega. Ühtse riigieksami jaotise „Arvutused ja teisendused” ülesanded on jagatud mitut tüüpi:

arvuliste ratsionaalavaldiste teisendus;

algebraliste avaldiste ja murdude teisendamine;

numbriliste/tähtede irratsionaalsete avaldiste teisendamine;

toimingud kraadidega;

logaritmiliste avaldiste teisendamine;

1. numbriliste/tähtede trigonomeetriliste avaldiste teisendamine.

Näide 9. Arvutage tanα, kui on teada, et cos2α = 0,6 ja

3π	< α < π.
4

Lahendus. 1) Kasutame topeltargumendi valemit: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ja leiame

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

See tähendab tan 2 α = ± 0,5.

3) Tingimuste järgi

3π	< α < π,
4

see tähendab, et α on teise kvartali ja tgα nurk< 0, поэтому tgα = –0,5.

Vastus: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Ülesanne nr 10- testib õpilaste oskust kasutada omandatud varaseid teadmisi ja oskusi praktilises tegevuses ja igapäevaelus. Võime öelda, et need on ülesanded füüsikas ja mitte matemaatikas, kuid tingimuses on kõik vajalikud valemid ja suurused antud. Probleemid taanduvad lineaarse või ruutvõrrandi või lineaarse või ruutvõrratuse lahendamisele. Seetõttu on vaja selliseid võrrandeid ja võrratusi lahendada ning vastus määrata. Vastus tuleb esitada täisarvu või lõpliku kümnendmurruna.

Kaks massilist keha m= 2 kg igaüks, liikudes sama kiirusega v= 10 m/s üksteise suhtes 2α nurga all. Nende absoluutselt mitteelastsel kokkupõrkel vabanev energia (džaulides) määratakse avaldise järgi K = mv 2 sin 2 α. Millise väikseima nurga 2α (kraadides) all peavad kehad liikuma, et kokkupõrke tagajärjel vabaneks vähemalt 50 džauli?
Lahendus.Ülesande lahendamiseks tuleb lahendada ebavõrdsus Q ≥ 50, intervallil 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Kuna α ∈ (0°; 90°), siis me ainult lahendame

Esitame ebavõrdsuse lahenduse graafiliselt:

Kuna tingimuse α ∈ (0°; 90°) järgi tähendab see 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Ülesanne nr 11- on tüüpiline, kuid osutub õpilastele keeruliseks. Peamine raskuste allikas on matemaatilise mudeli koostamine (võrrandi koostamine). Ülesandes nr 11 testitakse tekstülesannete lahendamise oskust.

Näide 11. 11. klassi õpilane Vasja pidi kevadvaheajal ühtseks riigieksamiks valmistumiseks lahendama 560 harjutusülesannet. 18. märtsil, viimasel koolipäeval, lahendas Vasja 5 ülesannet. Siis lahendas ta iga päev sama palju probleeme rohkem kui eelmisel päeval. Tehke kindlaks, kui palju probleeme Vasya 2. aprillil, pühade viimasel päeval, lahendas.

Lahendus: Tähistame a 1 = 5 – probleemide arv, mille Vasya 18. märtsil lahendas, d- igapäevane Vasya lahendatud ülesannete arv, n= 16 – päevade arv 18. märtsist 2. aprillini kaasa arvatud, S 16 = 560 – ülesannete koguarv, a 16 – probleemide arv, mille Vasya 2. aprillil lahendas. Teades, et Vasja lahendas iga päev sama arvu ülesandeid võrreldes eelmise päevaga rohkem, saame aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks kasutada valemeid:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Vastus: 65.

Ülesanne nr 12- need kontrollivad õpilaste võimet teha funktsioonidega tehteid ja kasutada tuletist funktsiooni uurimisel.

Leia funktsiooni maksimumpunkt y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Lahendus: 1) Leidke funktsiooni määratluspiirkond: x + 9 > 0, x> –9, see tähendab x ∈ (–9; ∞).

2) Leidke funktsiooni tuletis:

4) Leitud punkt kuulub intervalli (–9; ∞). Määrame funktsiooni tuletise märgid ja kujutame funktsiooni käitumist joonisel:

Soovitud maksimumpunkt x = –8.

Laadige tasuta alla õppematerjalide rea G.K. matemaatika tööprogramm. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Laadige alla tasuta algebra õppevahendeid

Ülesanne nr 13-kõrgendatud keerukuse tase üksikasjaliku vastusega, võrrandite lahendamise võime testimine, kõige edukamalt lahendatud ülesannete hulgas, millel on kõrgendatud keerukusastmega üksikasjalik vastus.

a) Lahendage võrrand 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Leia kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad segmenti.

Lahendus: a) Olgu log 3 (2cos x) = t, siis 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	logi 3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ sest |cos x| ≤ 1,
	logi 3(2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

siis cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Leia juured, mis asuvad lõigul .

Joonisel on näha, et antud segmendi juured kuuluvad

11π	Ja	13π	.
6		6

Vastus: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Ülesanne nr 14-kõrgtase viitab üksikasjaliku vastusega ülesannetele teises osas. Ülesandes testitakse oskust sooritada toiminguid geomeetriliste kujunditega. Ülesanne sisaldab kahte punkti. Esimeses punktis tuleb ülesanne tõestada ja teises punktis arvutada.

Silindri aluse ringi läbimõõt on 20, silindri generatriks on 28. Tasapind lõikub selle põhjaga piki kõõlu pikkusega 12 ja 16. Kõõlude vaheline kaugus on 2√197.

a) Tõesta, et silindri aluste keskpunktid asuvad selle tasapinna ühel küljel.

b) Leidke nurk selle tasandi ja silindri aluse tasapinna vahel.

Lahendus: a) Kõõl pikkusega 12 asub põhiringi keskpunktist kaugusel = 8 ja kõõl pikkusega 16 on samamoodi kaugusel 6. Seetõttu on nende projektsioonide vaheline kaugus ringjoonega paralleelsele tasapinnale. silindrite põhi on kas 8 + 6 = 14 või 8 - 6 = 2.

Siis on akordide vahekaugus kas

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Vastavalt tingimusele realiseeriti teine ​​juhtum, kus kõõlude projektsioonid asuvad ühel pool silindri telge. See tähendab, et telg ei ristu silindri sees selle tasapinnaga, see tähendab, et alused asuvad selle ühel küljel. Mida oli vaja tõestada.

b) Tähistame aluste keskpunktid O 1 ja O 2. Joonistame aluse keskpunktist 12 pikkuse kõõluga risti poolitaja selle kõõlule (selle pikkus on 8, nagu juba märgitud) ja teise aluse keskpunktist teise kõõluni. Need asuvad samal tasapinnal β, mis on nende akordidega risti. Nimetame väiksema kõõlu B keskpunkti, suurema kõõlu A ja A projektsiooni teisele alusele - H (H ∈ β). Siis on AB,AH ∈ β ja seega AB,AH risti kõõlu ehk aluse lõikesirge antud tasandiga.

See tähendab, et nõutav nurk on võrdne

∠ABH = arctaan	A.H.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Ülesanne nr 15- üksikasjaliku vastusega suurenenud keerukuse tase, testib ebavõrdsuse lahendamise võimet, mis on kõige edukamalt lahendatud kõrgendatud keerukusastmega üksikasjaliku vastusega ülesannete hulgas.

Näide 15. Lahenda ebavõrdsus | x 2 – 3x| logi 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Lahendus: Selle ebavõrdsuse määratluspiirkond on intervall (–1; +∞). Mõelge kolmele juhtumile eraldi:

1) Lase x 2 – 3x= 0, st. X= 0 või X= 3. Sel juhul muutub see ebavõrdsus tõeseks, seetõttu kaasatakse need väärtused lahendusse.

2) Lase nüüd x 2 – 3x> 0, st. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Lisaks saab selle ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt ( x 2 – 3x) logi 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 ja jaga positiivse avaldisega x 2 – 3x. Saame logi 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 või x≤ –0,5. Võttes arvesse määratlusvaldkonda, on meil x ∈ (–1; –0,5].

3) Lõpuks kaaluge x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Sel juhul kirjutatakse algne ebavõrdsus ümber kujul (3 x – x 2) logi 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pärast positiivsega 3 jagamist x – x 2, saame logi 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Piirkonda arvesse võttes on meil x ∈ (0; 1].

Saadud lahendusi kombineerides saame x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Vastus: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ülesanne nr 16- kõrgtase viitab üksikasjaliku vastusega ülesannetele teises osas. Ülesandes testitakse oskust sooritada toiminguid geomeetriliste kujundite, koordinaatide ja vektoritega. Ülesanne sisaldab kahte punkti. Esimeses punktis tuleb ülesanne tõestada ja teises punktis arvutada.

Võrdhaarses kolmnurgas ABC, mille nurk on 120°, on poolitaja BD tõmmatud tipus A. Ristkülik DEFH on kantud kolmnurka ABC nii, et külg FH asub lõigul BC ja tipp E asub lõigul AB. a) Tõesta, et FH = 2DH. b) Leidke ristküliku DEFH pindala, kui AB = 4.

Lahendus: A)

1) ΔBEF – ristkülikukujuline, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, siis EF = BE 30° nurga vastas asuva jala omaduse järgi.

2) Olgu EF = DH = x, siis BE = 2 x, BF = x√3 Pythagorase teoreemi järgi.

3) Kuna ΔABC on võrdhaarne, tähendab see ∠B = ∠C = 30˚.

BD on ∠B poolitaja, mis tähendab, et ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Vaatleme ΔDBH – ristkülikukujulist, sest DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2 (3 – √3 )

S DEFH = 24–12√3.

Vastus: 24 – 12√3.

Ülesanne nr 17- üksikasjaliku vastusega ülesanne, selle ülesandega testitakse teadmiste ja oskuste rakendamist praktilises tegevuses ja igapäevaelus, oskust ehitada ja uurida matemaatilisi mudeleid. See ülesanne on majandusliku sisuga tekstiprobleem.

Näide 17. 20 miljoni rubla suurune hoius plaanitakse avada neljaks aastaks. Pank suurendab iga aasta lõpus hoiust 10% võrreldes selle aasta alguse suurusega. Lisaks täiendab investor kolmanda ja neljanda aasta alguses hoiust igal aastal võrra X miljonit rubla, kus X - terve number. Leia suurim väärtus X, milles pangale laekub hoiusele nelja aasta jooksul vähem kui 17 miljonit rubla.

Lahendus: Esimese aasta lõpus on sissemakse 20 + 20 · 0,1 = 22 miljonit rubla ja teise aasta lõpus - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljonit rubla. Kolmanda aasta alguses on sissemakse (miljonites rublades) (24,2+ X) ja lõpus - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Neljanda aasta alguses on sissemakse (26,62 + 2,1 X), ja lõpus - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Tingimuse järgi tuleb leida suurim täisarv x, mille kohta ebavõrdsus kehtib

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Selle ebavõrdsuse suurim täisarvlahend on arv 24.

Vastus: 24.

Ülesanne nr 18- üksikasjaliku vastusega kõrgendatud keerukusega ülesanne. See ülesanne on mõeldud konkursil osalemiseks ülikoolidesse, kus on kõrgendatud nõuded kandideerijate matemaatilisele ettevalmistusele. Kõrge keerukusega ülesanne on ülesanne mitte ühe lahendusmeetodi kasutamisel, vaid erinevate meetodite kombinatsioonil. Ülesande 18 edukaks sooritamiseks on vaja lisaks kindlatele matemaatilistele teadmistele ka kõrget matemaatilist kultuuri.

Mille juures a ebavõrdsuse süsteem

	x 2 + y 2 ≤ 2jah – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

on täpselt kaks lahendust?

Lahendus: Seda süsteemi saab vormis ümber kirjutada

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Kui joonistada tasapinnale esimese võrratuse lahendite hulk, saame raadiusega 1 ringi sisemuse (piiriga), mille keskpunkt on punktis (0, A). Teise võrratuse lahendite hulk on tasandi osa, mis asub funktsiooni graafiku all y = | x| – a, ja viimane on funktsiooni graafik
y = | x| , nihutatud allapoole A. Selle süsteemi lahendus on iga ebavõrdsuse lahenduste kogumite ristumiskoht.

Järelikult on sellel süsteemil kaks lahendust ainult joonisel fig. 1.

Ringi ja joonte kokkupuutepunktid on süsteemi kaks lahendust. Iga sirgjoon on telgede suhtes 45° nurga all. Nii et see on kolmnurk PQR– ristkülikukujulised võrdhaarsed. Punkt K on koordinaadid (0, A) ja punkt R– koordinaadid (0, – A). Lisaks segmendid PR Ja PQ võrdne ringi raadiusega 1. See tähendab

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Vastus: a =	√2	.
	2

Ülesanne nr 19- üksikasjaliku vastusega kõrgendatud keerukusega ülesanne. See ülesanne on mõeldud konkursil osalemiseks ülikoolidesse, kus on kõrgendatud nõuded kandideerijate matemaatilisele ettevalmistusele. Kõrge keerukusega ülesanne on ülesanne mitte ühe lahendusmeetodi kasutamisel, vaid erinevate meetodite kombinatsioonil. Ülesande 19 edukaks sooritamiseks peab oskama lahendust otsida, valides teadaolevate seast erinevaid lähenemisviise ja modifitseerides uuritud meetodeid.

Lase Sn summa P aritmeetilise progressiooni terminid ( a p). On teada, et S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Esitage valem P selle edenemise tähtaeg.

b) Leia väikseim absoluutsumma S n.

c) Leia väikseim P, mille juures S n on täisarvu ruut.

Lahendus: a) On selge, et a n = S n – S n- 1 . Seda valemit kasutades saame:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

Tähendab, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Alates S n = 2n 2 – 25n, siis kaaluge funktsiooni S(x) = | 2x 2 – 25x|. Selle graafik on näha joonisel.

Ilmselt saavutatakse väikseim väärtus täisarvu punktides, mis asuvad funktsiooni nullidele kõige lähemal. Ilmselgelt on need punktid X= 1, X= 12 ja X= 13. Alates S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, siis on väikseim väärtus 12.

c) Eelmisest lõigust järeldub, et Sn positiivne, alates n= 13. Alates S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), siis ilmne juhtum, kui see avaldis on täiuslik ruut, realiseerub siis, kui n = 2n– 25, see tähendab kl P= 25.

Jääb üle kontrollida väärtusi vahemikus 13 kuni 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Selgub, et väiksemate väärtuste puhul P täielikku ruutu ei saavutata.

Vastus: A) a n = 4n– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Alates 2017. aasta maist on ühendatud kirjastuskontsern "DROFA-VENTANA" osa korporatsioonist Russian Textbook. Korporatsiooni alla kuuluvad ka kirjastus Astrel ja digitaalne haridusplatvorm LECTA. Aleksandr Brõtškin, Venemaa Föderatsiooni valitsuse alluvuses oleva finantsakadeemia vilistlane, majandusteaduste kandidaat, kirjastuse DROFA uuenduslike projektide juht digihariduse valdkonnas (õpikute elektroonilised vormid, Vene elektrooniline kool, digitaalne haridusplatvorm LECTA) määrati peadirektoriks. Enne DROFA kirjastusega liitumist töötas ta kirjastusettevõtte EKSMO-AST strateegilise arendamise ja investeeringute asepresidendi ametikohal. Täna on kirjastusettevõttel "Vene õpik" suurim föderaalsesse nimekirja kantud õpikute portfell - 485 nimetust (ligikaudu 40%, välja arvatud erikoolide õpikud). Korporatsiooni kirjastustele kuuluvad vene koolide populaarseimad füüsika, joonistamise, bioloogia, keemia, tehnoloogia, geograafia, astronoomia õpikukomplektid – need on teadmised, mida on vaja riigi tootmispotentsiaali arendamiseks. Korporatsiooni portfooliosse kuuluvad põhikoolide õpikud ja õppevahendid, mis pälvisid presidendipreemia haridusvaldkonnas. Need on õpikud ja käsiraamatud ainevaldkondades, mis on vajalikud Venemaa teadusliku, tehnilise ja tootmispotentsiaali arendamiseks.