1. Arvestades kolmnurga tipud ABC.A(–9; –2), IN(3; 7), KOOS(1; –7).
1) külje pikkus AB;
2) külgede võrrandid AB Ja AC ja nende nurkkoefitsiendid;
3) nurk A radiaanides;
4) kõrgusvõrrand KOOSD ja selle pikkus;
5) ringi võrrand, mille kõrgus KOOSD on läbimõõt;
6) kolmnurka määratlev lineaarvõrratuste süsteem ABC.
Lahendus. Teeme joonise.
1. Leiame külje AB pikkuse. Kahe punkti vaheline kaugus määratakse valemiga
2. Leiame külgede võrrandidAB JaAC ja nende nurkkoefitsiendid.
Kirjutame üles kahte punkti läbiva sirge võrrandi.
See on sirge üldvõrrand. Lahendame selle y suhtes, saame
, sirgjoone kalle on võrdne 
Samamoodi on meil külje vahelduvvoolu jaoks.
sirge kalle on võrdne 
3. Me leiamenurkA
radiaanides.
See on nurk kahe vektori vahel 
Ja 
. Kirjutame üles vektorite koordinaadid. Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne
4. Me leiamekõrguse võrrandKOOS
D
ja selle pikkus.
Seetõttu on nende nurkkoefitsiendid seotud suhtega 
.
Kirjutame kõrgusvõrrandi läbi nurkkoefitsiendi
Punkt 
kuulub reale CD, seetõttu vastavad selle koordinaadid sirge võrrandile, seega on meil 
Lõpuks 
või
Kõrguse pikkuse arvutame kaugusena punktist C sirgeni AB
5. Leiame ringi võrrandi, millise kõrguse jaoksKOOS D on läbimõõt.
Punkti D koordinaadid leiame kahe sirge AB ja CD lõikepunktiks, mille võrrandid on teada.
Leiame punkti O – ringi keskpunkti – koordinaadid. See on CD sektsiooni keskpunkt.
Ringi raadius on 
Kirjutame üles ringi võrrandi.
6) Määratleme kolmnurgaABC lineaarsete võrratuste süsteem.
Leiame sirge CB võrrandi.
Lineaarse ebavõrdsuse süsteem näeb välja selline.
2. Lahendage see võrrandisüsteem Crameri valemite abil. Kontrollige saadud lahust.
Lahendus. Arvutame selle süsteemi determinandi:
.
Leiame määrajad 
ja lahendage süsteem:
Eksam:
Vastus:
3. Kirjutage võrrandisüsteem maatrikskujul ja lahendage see kasutades
pöördmaatriks. Kontrollige saadud lahust
Lahendus.
Leiame maatriksi A determinandi
maatriks ei ole ainsuses ja sellel on pöördväärtus. Leiame kõik algebralised täiendid ja loome liitmaatriksi. 
Pöördmaatriksi kuju on järgmine: 
Teeme korrutamise 
ja leida lahenduste vektor.
Läbivaatus
. 
Vastus: 
Lahendus.
N = (2, 1). Joonistage normaalvektoriga risti olev nivoojoon ja liigutage seda normaalse suunas,
Sihtfunktsioon saavutab oma miinimumi punktis A ja maksimumi punktis B. Nende punktide koordinaadid leiame, lahendades ühiselt nende sirgete võrrandid, mille ristumiskohas need asuvad.
5. Reisifirma ei nõua enamat A kolmetonnised bussid ja mitte rohkem V
viietonnised bussid. Esimese margi busside müügihind on 20 000 USD, teist marki
40 000 USD Reisifirma ei saa eraldada rohkem kui Koos c.u.
Mitu iga margi bussi tuleks eraldi osta, et nende kokku
(kogu) kandevõime oli maksimaalne. Lahendage probleem graafiliselt.
A= 20 V= 18 Koos= 1000000
Lahendus.
Koostame ülesande matemaatilise mudeli .
Tähistagem poolt 
- iga ostetava tonnaaži busside arv. Hanke eesmärk on omada ostetavate masinate maksimaalset kandevõimet, mida kirjeldab eesmärgifunktsioon
Ülesande piirangud määrab ostetud busside arv ja nende maksumus.
Lahendame probleemi graafiliselt. . Konstrueerime probleemile teostatavate lahenduste piirkonna ja nivoojoontele normaalse N = (3, 5). Joonistage normaalvektoriga risti olev nivoojoon ja liigutage seda normaalvektori suunas.
Eesmärgi funktsioon saavutab punktis maksimumi 
, võtab eesmärgifunktsioon väärtuse .
Lahendus. 1. Funktsiooni määratluspiirkond on kogu numbritelg.
2, funktsioon pole paaris ega paaritu.
3. Kui x=0, y=20
4. Uurime monotoonsuse ja ekstreemsuse funktsiooni.
Leiame tuletise nullid
Funktsiooni statsionaarsed punktid.
Joonistame Ox-teljele statsionaarsed punktid ja kontrollime tuletise märke igal teljelõigul.
- maksimumpunkt 
; 
- miinimumpunkt 
5. Uurime kumeruse ja nõgususe funktsiooni graafikut. Võtame 2. tuletise
Funktsioonigraafiku käändepunkt.
Kell 
- funktsioon on kumer; juures 
- funktsioon on nõgus.
Funktsiooni graafik näeb välja selline
6. Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus intervallil [-1; 4]
Arvutame segmendi otstes oleva funktsiooni väärtuse 
Minimaalses punktis võtab funktsioon väärtused, seega lõigu väikseima väärtuse [-1; 4] funktsioon võtab minimaalsest punktist ja maksimumi intervalli vasakpoolsest piirist.
7. Leidke määramata integraalid ja kontrollige integreerimise tulemusi
eristamist.
Lahendus.
Läbivaatus.
Siin on koosinuste korrutis trigonomeetriliste valemite järgi asendatud summaga.
1. Külgede AB ja BC võrrand ning nende nurkkoefitsiendid.
Ülesanne annab nende punktide koordinaadid, mida need sirged läbivad, seega kasutame kahte antud punkti läbiva sirge võrrandit $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ asenda ja hanki võrrandid
sirge AB võrrand $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ sirge AB kalle on võrdne \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
sirge BC võrrand $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ sirge BC kalle on võrdne \ (k_( eKr) = -7\)
2. Nurk B radiaanides kahekohalise täpsusega
Nurk B on sirgete AB ja BC vaheline nurk, mis arvutatakse valemiga $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ asendab nurgakoefitsientide väärtused nendest ridadest ja saada $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \umbes 0,79 $$
3.Külje AB pikkus
Külje AB pikkus arvutatakse punktide vahelise kaugusena ja see on võrdne \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD kõrguse ja selle pikkuse võrrand.
Kõrgusvõrrandi leiame sirgjoone valemiga, mis läbib antud punkti C(4;13) antud suunas - risti sirgega AB, kasutades valemit \(y-y_0=k(x-x_0) \). Leiame kõrguse nurkkoefitsiendi \(k_(CD)\), kasutades ristsirgete omadust \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) saame $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Asendame võrrandisse sirge, saame $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Otsime kõrguse pikkust kui kaugus punktist C(4;13) sirgjooneni AB, kasutades valemit $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ lugejas on võrrand sirgjoonest AB taandame selle kujule \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , asendame saadud tulemusega võrrand ja punkti koordinaadid valemisse $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $ $
5. Mediaani AE ja punkti K koordinaatide võrrand, selle mediaani lõikekoht kõrgusega CD.
Otsime mediaani võrrandit kui kahte antud punkti A(-6;8) ja E läbiva sirge võrrandit, kus punkt E on keskpunkt punktide B ja C vahel ning selle koordinaadid leitakse vastavalt valem \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) asendab punktide koordinaadid \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), siis on keskmise AE võrrand järgmine $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Leiame punktide lõikepunkti koordinaadid kõrgused ja mediaan, s.o. leiame nende ühise punkti. Selleks loome süsteemivõrrandi $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac. (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Lõikepunkti koordinaadid \(K(-\frac(1)(2);7 )\)
6. Võrrand sirgega, mis läbib punkti K paralleelselt küljega AB.
Kui sirge on paralleelne, siis on nende nurkkoefitsiendid võrdsed, st. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), on teada ka punkti \(K(-\frac(1)(2);7)\) koordinaadid , st. sirgjoone võrrandi leidmiseks rakendame antud suunas antud punkti läbiva sirge võrrandi valemit \(y - y_0=k(x-x_0)\), asendame andmed ja saame $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Punkti A suhtes sümmeetrilise punkti M koordinaadid sirge CD suhtes.
Punkt M asub sirgel AB, sest CD on selle külje kõrgus. Leiame CD ja AB lõikepunkti, et seda teha, lahendame võrrandisüsteemi $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(juhtumid) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(juhtumid) => $$$$\begin(juhtumid )12a = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(juhtumid) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Punkti D koordinaadid(-2;5). Tingimuse AD=DK kohaselt leitakse see punktide vaheline kaugus Pythagorase valemiga \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), kus AD ja DK on võrdsete täisnurksete kolmnurkade hüpotenuusid ning \(Δx =x_2-x_1\) ja \(Δy=y_2-y_1\) on nende kolmnurkade jalad, st. leiame jalad ja punkti M koordinaadid. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\) ja \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), seejärel koordinaadid punktist M on võrdne \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4 = 2 \) ja \(y_M-y_D = Δy => y_D + Δy =5-3 = 2 \), leidsime, et punkti \( M(2;2)\) koordinaadid
Näide mõne ülesande lahendamisest standardtööst “Analüütiline geomeetria tasapinnal”
Tipud on antud, 
,
kolmnurk ABC. Leia:
Kolmnurga kõigi külgede võrrandid;
Kolmnurka määratlev lineaarvõrratuste süsteem ABC;
Kolmnurga tipust tõmmatud kõrguse, mediaani ja poolitaja võrrandid A;
Kolmnurga kõrguste lõikepunkt;
Kolmnurga mediaanide lõikepunkt;
Küljele langetatud kõrguse pikkus AB;
Nurk A;
Tee joonistus.
Olgu kolmnurga tippudel koordinaadid: A (1; 4), IN (5; 3), KOOS(3; 6). Joonistame kohe joonise:
1. Kolmnurga kõigi külgede võrrandite üleskirjutamiseks kasutame kahte antud punkti läbiva sirge võrrandit koordinaatidega ( x 0 , y 0 ) ja ( x 1 , y 1 ):
=
Seega asendades ( x 0 , y 0 ) punkti koordinaadid A, ja selle asemel ( x 1 , y 1 ) punkti koordinaadid IN, saame sirge võrrandi AB:
Saadud võrrand on sirgjoone võrrand AB, kirjutatud üldkujul. Samamoodi leiame sirgjoone võrrandi AC:
Ja ka sirgjoone võrrand Päike:
2. Pange tähele, et kolmnurga punktide hulk ABC tähistab kolme pooltasandi ristumiskohta ja iga pooltasapinda saab määratleda lineaarse ebavõrdsuse abil. Kui võtame kummagi poole võrrandi ∆ ABC, Näiteks AB, siis ebavõrdsused
Ja 
määratleda punktid, mis asuvad joone vastaskülgedel AB. Peame valima pooltasapinna, kus punkt C asub, asendame selle koordinaadid mõlema võrratusega:
Teine võrratus on õige, mis tähendab, et nõutavad punktid määratakse ebavõrdsusega
.
Teeme sama sirgjoonega BC, selle võrrandiga 
. Testpunktina kasutame punkti A (1, 1):
See tähendab, et nõutav ebavõrdsus on kujul:
.
Kui kontrollime sirgjoont AC (katsepunkt B), saame:
See tähendab, et nõutav ebavõrdsus saab kuju
Lõpuks saame ebavõrdsuse süsteemi:
Märgid “≤”, “≥” tähendavad, et kolmnurga moodustavate punktide hulka kuuluvad ka kolmnurga külgedel asuvad punktid. ABC.
3. a) Et leida tipust langenud kõrguse võrrand A küljele Päike, kaaluge külje võrrandit Päike:
. Vektor koordinaatidega 
küljega risti Päike ja seetõttu paralleelne kõrgusega. Kirjutame üles punkti läbiva sirge võrrandi A paralleelselt vektoriga 
:
See on t-st välja jäetud kõrguse võrrand. A küljele Päike.
b) Leia külje keskkoha koordinaadid Päike vastavalt valemitele: 
Siin 
– need on t koordinaadid. IN, A 
– koordinaadid t. KOOS. Asendame ja saame:
Seda punkti ja punkti läbiv sirgjoon A on soovitud mediaan:
c) Otsime poolitaja võrrandit lähtudes sellest, et võrdhaarse kolmnurga kõrgus, mediaan ja poolitaja, mis on laskunud ühest tipust kolmnurga põhja, on võrdsed. Leiame kaks vektorit 
Ja 
ja nende pikkused:
Siis vektor 
on vektoriga samas suunas 
ja selle pikkus 
Samamoodi ühikvektor 
kattub suunalt vektoriga 
Vektori summa
on vektor, mis kattub suunalt nurga poolitajaga A. Seega saab soovitud poolitaja võrrandi kirjutada järgmiselt:
4) Oleme ühe kõrguse võrrandi juba konstrueerinud. Koostame võrrandi mõne teise kõrguse jaoks, näiteks tipust IN. Külg AC võrrandiga antud 
Seega vektor 
risti AC, ja seega paralleelselt soovitud kõrgusega. Seejärel tippu läbiva sirge võrrand IN vektori suunas 
(st risti AC), on kujul:
On teada, et kolmnurga kõrgused ristuvad ühes punktis. Eelkõige on see punkt leitud kõrguste ristumiskoht, s.o. võrrandisüsteemi lahendamine:
- selle punkti koordinaadid.
5. Keskmine AB on koordinaadid 
. Kirjutame mediaani võrrandi küljele AB. See sirge läbib punkte koordinaatidega (3, 2) ja (3, 6), mis tähendab, et selle võrrandi kuju on järgmine:
Pange tähele, et null sirge võrrandi murdosa nimetajas tähendab, et see sirge kulgeb paralleelselt ordinaatteljega.
Mediaanide lõikepunkti leidmiseks piisab võrrandisüsteemi lahendamisest:
Kolmnurga mediaanide lõikepunktil on koordinaadid 
.
6. Küljele langetatud kõrguse pikkus AB, võrdne kaugusega punktist KOOS sirgjoonele AB võrrandiga 
ja see leitakse valemiga:
7. Nurga koosinus A võib leida vektoritevahelise nurga koosinuse valemi abil 
Ja 
, mis võrdub nende vektorite skalaarkorrutise ja nende pikkuste korrutise suhtega:
.