On aeg see korda ajada juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdusel, mis kehtib iga mittenegatiivse arvu b kohta.
Allpool vaatleme ükshaaval juurte ekstraheerimise peamisi meetodeid.
Alustame kõige lihtsamast juhtumist – naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.
Kui tabelid ruutudest, kuubikutest jne. Kui teil seda käepärast pole, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab radikaalarvu lagundamist algteguriteks.
Eraldi tasub mainida, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.
Lõpuks vaatleme meetodit, mis võimaldab meil järjestikku leida juurväärtuse numbrid.
Alustame.
Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.
Kõige lihtsamatel juhtudel võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juurte väljavõtmist. Mis need tabelid on?
Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, valides konkreetse rea ja konkreetse veeru, see võimaldab koostada arvu vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga lahter asub kindla rea ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99. Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ja 3 üheliste veeru ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.
Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.
Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende kasutamise põhimõtet juurte ekstraheerimisel.
Oletame, et peame eraldama arvu a n-nda juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Seda tabelit kasutades leiame arvu b nii, et a=b n. Siis 
, seega on arv b soovitud n-nda astme juur.
Näitena näitame, kuidas kasutada kuubitabelit kuupjuure 19 683 eraldamiseks. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on numbri 27 kuup, seega 
.
On selge, et n-nda astme tabelid on juurte eraldamiseks väga mugavad. Sageli pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab omajagu aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel peate kasutama muid juure ekstraheerimise meetodeid.
Radikaalarvu faktoriseerimine algteguriteks
Üsna mugav viis naturaalarvu juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on radikaalarvu lagundamine algteguriteks. Tema point on selles: pärast seda on seda üsna lihtne esitada soovitud astendajaga astmena, mis võimaldab saada juure väärtuse. Täpsustame seda punkti.
Olgu naturaalarvu a n-s juur ja selle väärtus võrdub b. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Arvu b, nagu iga naturaalarvu, saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, p m korrutisena kujul p 1 ·p 2 ·…·p m ja sel juhul radikaalarvu a on esitatud kui (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kuna arvu lagunemine algteguriteks on unikaalne, on radikaalarvu a lagundamine algteguriteks kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, mis võimaldab arvutada juure väärtuse. nagu.
Pange tähele, et kui radikaalarvu a algteguriteks lagunemist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, siis sellise arvu a n-ndat juurt ei eraldata täielikult.
Selgitame selle välja näidete lahendamisel.
Näide.
Võtke 144 ruutjuur.
Lahendus.
Kui vaatate eelmises lõigus toodud ruutude tabelit, näete selgelt, et 144 = 12 2, millest on selge, et 144 ruutjuur võrdub 12-ga.
Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur eraldatakse radikaalarvu 144 algteguriteks lagundamisel. Vaatame seda lahendust.
Laguneme 144 algteguriteks:
See tähendab, et 144=2·2·2·2·3·3. Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Seega 
.
Kasutades kraadi omadusi ja juurte omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .
Vastus:
Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.
Näide.
Arvutage juure väärtus.
Lahendus.
Radikaalarvu 243 algfaktorisatsioon on kujul 243=3 5 . Seega 
.
Vastus:
Näide.
Kas juurväärtus on täisarv?
Lahendus.
Sellele küsimusele vastamiseks jagame radikaalarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubina.
Meil on 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Saadud laiendust ei saa esitada täisarvu kuubina, kuna algteguri 7 aste ei ole kolmekordne. Seetõttu ei saa kuupjuurt 285 768 täielikult eraldada.
Vastus:
Ei.
Murdarvudest juurte eraldamine
On aeg välja mõelda, kuidas eraldada murdarvu juur. Kirjutada murdosa radikaalarv kujul p/q. Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murru juure eraldamise reegel: Murru juur on võrdne lugeja juure jagatisega, mis on jagatud nimetaja juurega.
Vaatame näidet juure murdmisest.
Näide.
Mis on hariliku murru 25/169 ruutjuur?
Lahendus.
Kasutades ruutude tabelit, leiame, et algmurru lugeja ruutjuur võrdub 5-ga ja nimetaja ruutjuur on võrdne 13-ga. Siis 
. See lõpetab hariliku fraktsiooni 25/169 juure ekstraheerimise.
Vastus:
Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast radikaalarvude asendamist tavaliste murdudega.
Näide.
Võtke kümnendmurru 474,552 kuupjuur.
Lahendus.
Kujutagem ette algset kümnendmurdu hariliku murruna: 474,552=474552/1000. Siis 
. Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis 
Ja 
. Jääb vaid arvutused lõpule viia 
.
Vastus:
.
Negatiivse arvu juure võtmine
Tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juureksponent on paaritu arv, siis juurmärgi all võib olla negatiivne arv. Andsime neile kirjetele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu eksponendi korral, 
. See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivse arvu juure eraldamiseks peate võtma vastupidise positiivse arvu juure ja panema tulemuse ette miinusmärgi.
Vaatame näidislahendust.
Näide.
Leidke juure väärtus.
Lahendus.
Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi all oleks positiivne arv: 
. Nüüd asendage segaarv tavalise murruga: 
. Rakendame hariliku murru juure eraldamise reeglit: 
. Jääb välja arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: 
.
Siin on lahenduse lühikokkuvõte: 
.
Vastus:
.
Juurväärtuse bitipõhine määramine
Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid sel juhul on vaja teada antud juure tähendust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure ekstraheerimiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjestikku saada soovitud arvu piisava arvu numbrilisi väärtusi.
Selle algoritmi esimene samm on välja selgitada, mis on juurväärtuse kõige olulisem bitt. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse hetk, mil arv ületab radikaalarvu. Seejärel näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõige olulisemat numbrit.
Näiteks kaaluge seda algoritmi sammu viie ruutjuure eraldamisel. Võtke arvud 0, 10, 100, ... ja ruudustage need, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5. Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, mis tähendab, et kõige olulisem number on üks number. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.
Algoritmi kõik järgnevad sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele selgitamisele, leides juure soovitud väärtuse järgmiste bittide väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaimateni. Näiteks juure väärtus esimesel etapil osutub 2, teisel - 2,2, kolmandal - 2,23 ja nii edasi 2,236067977…. Kirjeldame, kuidas numbrite väärtused leitakse.
Numbrid leitakse nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9 kaudu. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse radikaalarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja kui seda ei juhtu, toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule; siis selle numbri väärtus on 9.
Selgitame neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.
Kõigepealt leiame ühikute numbri väärtuse. Me käime läbi väärtused 0, 1, 2, ..., 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, ..., 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugav esitada tabeli kujul: 
Seega on ühikute numbri väärtus 2 (alates 2 2<5
, а 2 3 >5). Liigume edasi kümnendike koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi radikaalarvuga 5: 
Alates 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, siis kümnendiku koha väärtus on 2. Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist: 
Nii leiti viie juure järgmine väärtus, see võrdub 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.
Esmalt määrame kindlaks kõige olulisema numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2 151 186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , seega on kõige olulisem number kümnend.
Määrame selle väärtuse. 
Alates 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, siis on kümnekoha väärtus 1. Liigume edasi üksuste juurde. 
Seega on ühe numbri väärtus 2. Liigume kümnendike juurde. 
Kuna isegi 12,9 3 on vähem kui radikaalarv 2 151,186, siis kümnendiku koha väärtus on 9. Jääb täita algoritmi viimane samm, see annab meile juurväärtuse vajaliku täpsusega. 
Selles etapis leitakse juure väärtus sajandiku täpsusega: 
.
Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid võimalusi. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.
Bibliograafia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).
Juurte ja jõududega väljendite teisendamine nõuab sageli juurte ja jõudude vahel edasi-tagasi liikumist. Selles artiklis vaatleme, kuidas selliseid üleminekuid tehakse, mis on nende aluseks ja millistel kohtadel esineb kõige sagedamini vigu. Toome seda kõike tüüpiliste näidetega koos lahenduste üksikasjaliku analüüsiga.
Leheküljel navigeerimine.
Üleminek murdosaastendajatega astmetelt juurtele
Võimalus liikuda murdosaastendajaga astmelt juure määrab juba astme määratlus. Tuletagem meelde, kuidas see määratakse: positiivse arvu a astet, mille astendaja on m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse m-i n-ndaks juureks, st kus a>0 , m∈Z, n∈ N. Nulli murdosa võimsus on defineeritud sarnaselt 
, selle ainsa erinevusega, et sel juhul ei peeta m-d enam täisarvuks, vaid loomulikuks, nii et nulliga jagamist ei toimu.
Seega saab kraadi alati asendada juurega. Näiteks võite minna alates kuni ja kraadi saab asendada juurega. Kuid te ei tohiks liikuda avaldise juurest juure, kuna astmel pole esialgu mõtet (negatiivsete arvude astet pole määratletud), hoolimata asjaolust, et juurel on tähendus.
Nagu näete, pole üleminekus arvude astmetelt juurtele absoluutselt midagi keerulist. Üleminek murdosaastendajatega astmete juurtele, mille aluses on suvalised avaldised, viiakse läbi sarnaselt. Pange tähele, et määratud üleminek viiakse läbi algse avaldise muutujate ODZ-l. Näiteks väljend 
selle avaldise muutuja x kogu ODZ-l saab asendada juurega 
. Ja kraadist 
mine juure 
, toimub selline asendus mis tahes muutujate komplekti x, y ja z puhul algse avaldise ODZ-st.
Juurte asendamine jõududega
Võimalik on ka vastupidine asendamine, st juurte asendamine murdosaastendajatega astmetega. See põhineb ka võrdsusel, mida antud juhul kasutatakse paremalt vasakule, see tähendab kujul.
Positiivse a korral on näidatud üleminek ilmne. Näiteks saate astme asendada sõnaga , ja liikuda juurest astmeni vormi murdosa astendajaga.
Ja negatiivse a puhul pole võrdsusel mõtet, kuid juurel võib siiski olla mõtet. Näiteks juurtel on mõte, kuid neid ei saa asendada jõududega. Nii et kas neid on üldse võimalik jõududega väljenditeks teisendada? See on võimalik, kui teete esialgseid teisendusi, mis seisnevad nende all olevate mittenegatiivsete arvude juurte minemises, mis seejärel asendatakse murdosaastendajatega astmetega. Näitame, mis on need esialgsed teisendused ja kuidas neid läbi viia.
Juure puhul saate teha järgmisi teisendusi: 
. Ja kuna 4 on positiivne arv, saab viimase juure asendada astmega. Ja teisel juhul negatiivse arvu paaritu juure määramine−a (kus a on positiivne), väljendatakse võrdsusega 
, võimaldab asendada juure avaldisega, milles kahe kuupjuure saab juba asendada astmega ja see võtab kuju .
Jääb üle välja mõelda, kuidas avaldiste all olevad juured asendatakse võimsustega, mis sisaldavad neid avaldisi baasis. Selle asendamisega pole vaja kiirustada, teatud väljendi tähistamiseks kasutasime tähte A. Toome näite, et selgitada, mida me selle all mõtleme. Tahan lihtsalt asendada juure kraadiga, lähtudes võrdsusest. Kuid selline asendus on asjakohane ainult tingimusel x-3≥0 ja muutuja x muude väärtuste korral ODZ-st (mis vastab tingimusele x-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Valemi ebatäpse rakendamise tõttu tekivad juurtelt positsioonidele liikumisel sageli vead. Näiteks õpikus on antud ülesanne esitada avaldis ratsionaalse astendajaga astme kujul ja antakse vastus, mis tekitab küsimusi, kuna tingimus ei määra piirangut b>0. Ja õpikus on üleminek väljendilt 
, tõenäoliselt järgmiste irratsionaalse avaldise teisenduste kaudu 
väljendile. Küsimusi tekitab ka viimane üleminek, kuna see kitsendab DZ-d.
Tekib loogiline küsimus: "Kuidas saab ODZ muutujate kõigi väärtuste puhul õigesti liikuda juurest võimsusele?" See asendamine toimub järgmiste väidete alusel:
Enne salvestatud tulemuste põhjendamist toome mitu näidet nende kasutamisest juurtelt võimsustele üleminekuks. Kõigepealt pöördume tagasi väljendi juurde. See tuli asendada mitte , vaid tähega (sel juhul on m=2 paarisarv, n=3 on loomulik täisarv). Veel üks näide: 
.
Nüüd siis lubatud tulemuste põhjendus.
Kui m on paaritu täisarv ja n on paaris loomulik täisarv, siis mis tahes muutujate komplekti puhul ODZ-st avaldise jaoks on avaldise A väärtus positiivne (kui m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Sellepärast, .
Liigume edasi teise tulemuse juurde. Olgu m positiivne paaritu täisarv ja n paaritu naturaalarv. Kõigi ODZ-i muutujate väärtuste puhul, mille puhul avaldise A väärtus on mittenegatiivne, 
, ja mille puhul see on negatiivne, 
Järgnev tulemus on tõestatud sarnaselt negatiivsete ja paaritute täisarvude m ja paaritute loomulike täisarvude n korral. Kõigi ODZ-i muutujate väärtuste puhul, mille puhul avaldise A väärtus on positiivne, , ja mille puhul see on negatiivne,
Lõpuks viimane tulemus. Olgu m paarisarv, n suvaline naturaalarv. Kõigi ODZ-i muutujate väärtuste puhul, mille puhul avaldise A väärtus on positiivne (kui m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . Ja mille puhul see on negatiivne,. Seega, kui m on paarisarv, n on mis tahes naturaalarv, siis mis tahes ODZ muutujate väärtuste kogumi puhul võib selle avaldise jaoks asendada .
Bibliograafia.
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
- Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 11. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. – M.: Haridus, 2009.- 336 lk.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel kasutab juure eraldamiseks ja arvu astmeks tõstmiseks sisseehitatud funktsioone ja matemaatilisi operaatoreid. Vaatame näiteid.
SQRT funktsiooni näited Excelis
Sisseehitatud SQRT-funktsioon tagastab positiivse ruutjuure väärtuse. Funktsioonide menüüs on see kategooria Matemaatika all.
Funktsiooni süntaks: =ROOT(arv).
Ainus ja nõutav argument on positiivne arv, mille jaoks funktsioon arvutab ruutjuure. Kui argument on negatiivne, tagastab Excel veateate #NUM!
Saate määrata konkreetse väärtuse või viite lahtrile argumendina arvväärtusega.
Vaatame näiteid.
Funktsioon tagastas ruutjuure arvust 36. Argument on konkreetne väärtus.
Funktsioon ABS tagastab absoluutväärtuse -36. Selle kasutamine võimaldas meil vältida vigu negatiivse arvu ruutjuure ekstraheerimisel.
Funktsioon võttis ruutjuure summast 13 ja lahtri C1 väärtusest.
Astendusfunktsioon Excelis
Funktsiooni süntaks: =POWER(väärtus, arv). Mõlemad argumendid on vajalikud.
Väärtus on mis tahes tegelik arvväärtus. Arv näitab võimsust, milleni antud väärtust tuleb tõsta.
Vaatame näiteid.
Lahtris C2 - arvu 10 ruudustamisel tulemus.
Funktsioon tagastas arvu 100 tõstetuna väärtusele ¾.
Astendamine operaatori abil
Arvu astmeliseks tõstmiseks Excelis saate kasutada matemaatilist operaatorit “^”. Selle sisestamiseks vajutage klahvikombinatsiooni Shift + 6 (ingliskeelse klaviatuuripaigutusega).
Selleks, et Excel käsitleks sisestatud teavet valemina, asetatakse kõigepealt märk “=”. Järgmine on number, mida tuleb astmeni tõsta. Ja pärast märgi “^” on kraadi väärtus.
Selle matemaatilise valemi mis tahes väärtuse asemel võite kasutada viiteid numbritega lahtritele.
See on mugav, kui peate koostama mitu väärtust.
Kopeerides valemi tervesse veergu, saime kiiresti A veerus olevate arvude kolmandasse astmesse tõstmise tulemused.
N-nda juurte ekstraheerimine
ROOT on Exceli ruutjuure funktsioon. Kuidas eraldada 3., 4. ja teiste astmete juur?
Meenutagem üht matemaatilist seadust: n-nda juure eraldamiseks peate arvu tõstma astmeni 1/n.
Näiteks kuupjuure eraldamiseks tõstame arvu astmeni 1/3.
Kasutame valemit Excelis erineva astme juurte eraldamiseks.
Valem tagastas arvu 21 kuupjuure väärtuse. Murdarvuni tõstmiseks kasutati operaatorit “^”.
Õnnitleme: täna vaatame juuri - ühte 8. klassi kõige vingemat teemat :)
Paljud inimesed lähevad juurte osas segadusse mitte sellepärast, et need on keerulised (mis selles nii keerulist on - paar definitsiooni ja veel paar omadust), vaid seetõttu, et enamikus kooliõpikutes on juured määratletud läbi sellise džungli, et ainult õpikute autorid. ise saavad sellest kirjast aru. Ja ka siis ainult pudeli hea viskiga :)
Seetõttu annan nüüd juure kõige õigema ja pädevama määratluse - ainsa, mida peaksite tõesti meeles pidama. Ja siis ma selgitan: miks seda kõike vaja on ja kuidas seda praktikas rakendada.
Kuid kõigepealt pidage meeles ühte olulist punkti, mille paljud õpikute koostajad mingil põhjusel "unustavad":
Juured võivad olla paarisastmega (meie lemmik $\sqrt(a)$, samuti kõikvõimalikud $\sqrt(a)$ ja paarisastmed $\sqrt(a)$) ja paaritu astmega (igasugused $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ jne). Ja paaritu astme juure määratlus erineb mõneti paarisastmest.
Tõenäoliselt on 95% kõigist juurtega seotud vigadest ja arusaamatustest peidus selles kuradi “mõnevõrra”. Teeme terminoloogia lõplikult selgeks:
Definitsioon. Isegi juur n numbrist $a$ on ükskõik milline mittenegatiivne arv $b$ on selline, et $((b)^(n))=a$. Ja sama arvu $a$ paaritu juur on üldiselt mis tahes arv $b$, mille puhul kehtib sama võrdsus: $((b)^(n))=a$.
Igal juhul on juur tähistatud järgmiselt:
\(a)\]
Sellises tähises olevat arvu $n$ nimetatakse juureksponendiks ja arvu $a$ radikaalavaldiseks. Täpsemalt, $n=2$ korral saame oma “lemmik” ruutjuure (muide, see on paarisastme juur) ja $n=3$ puhul kuupjuure (paaritu aste), mis on leidub sageli ka ülesannetes ja võrrandites.
Näited. Ruutjuurte klassikalised näited:
\[\begin(joonda) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(joonda)\]
Muide, $\sqrt(0)=0$ ja $\sqrt(1)=1$. See on üsna loogiline, kuna $((0)^(2))=0$ ja $((1)^(2))=1$.
Levinud on ka kuubikujuured – neid pole vaja karta:
\[\begin(joonda) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(joonda)\]
Noh, paar "eksootilist näidet":
\[\begin(joonda) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(joonda)\]
Kui te ei saa aru, mis vahe on paaris ja paaritu astme vahel, lugege definitsioon uuesti läbi. See on väga tähtis!
Vahepeal käsitleme juurte üht ebameeldivat omadust, mille tõttu oli meil vaja paaris- ja paaritute eksponentide jaoks eraldi definitsioon sisse viia.
Miks me üldse juuri vajame?
Pärast määratluse lugemist küsivad paljud õpilased: "Mida matemaatikud suitsetasid, kui nad selle välja mõtlesid?" Ja tõesti: milleks kõiki neid juuri üldse vaja on?
Sellele küsimusele vastamiseks pöördume korraks tagasi põhikooli juurde. Pidage meeles: neil kaugetel aegadel, kui puud olid rohelisemad ja pelmeenid maitsvamad, oli meie peamine mure numbrite õige korrutamine. Noh, midagi sellist nagu "viis viis - kakskümmend viis", see on kõik. Kuid arve saate korrutada mitte paarikaupa, vaid kolmikute, neljakordsete ja üldiselt tervete komplektidena:
\[\begin(joonda) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(joonda)\]
See pole aga asja mõte. Nipp on erinev: matemaatikud on laisad inimesed, nii et neil oli raskusi kümne viie korrutise kirjutamisega nii:
Sellepärast tulid välja kraadid. Miks mitte kirjutada tegurite arv pika stringi asemel ülaindeksina? Midagi sellist:
See on väga mugav! Kõik arvutused vähenevad märkimisväärselt ning umbes 5183 kirja panemiseks ei pea te raiskama hunnikut pärgamendilehti ja märkmikke. Seda rekordit nimetati arvu võimsuseks, sellest leiti hunnik omadusi, kuid õnn osutus lühiajaliseks.
Pärast suurejoonelist joomapidu, mis korraldati just kraadide “avastamiseks”, küsis mõni eriti kangekaelne matemaatik äkki: “Mis siis, kui me teame arvu astet, aga arv ise pole teada?” Tõepoolest, kui me teame, et teatud arv $b$, näiteks 5. astmeni, annab 243, siis kuidas saame arvata, millega arv $b$ ise võrdub?
See probleem osutus palju globaalsemaks, kui esmapilgul võib tunduda. Sest selgus, et enamiku "valmis" jõudude jaoks pole selliseid "algseid" numbreid. Otsustage ise:
\[\begin(joona) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Paremnool b=4\cdot 4\cdot 4\Paremnool b=4. \\ \end(joonda)\]
Mis siis, kui $((b)^(3)) = 50 $? Selgub, et me peame leidma teatud arvu, mis kolmekordsel endaga korrutamisel annab 50. Aga mis see arv on? See on selgelt suurem kui 3, kuna 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. See on see arv jääb kolme ja nelja vahele, kuid te ei saa aru, millega see võrdub.
Just seepärast tulid matemaatikud välja $n$-nda juurtega. Just seetõttu võeti kasutusele radikaalne sümbol $\sqrt(*)$. Määrata väga arv $b$, mis antud määral annab meile varem teadaoleva väärtuse
\[\sqrt[n](a)=b\Paremnool ((b)^(n))=a\]
Ma ei vaidle vastu: sageli on need juured kergesti arvutatavad - eespool nägime mitmeid selliseid näiteid. Kuid enamikul juhtudel, kui mõtlete suvalisele arvule ja proovite sellest siis suvalise astme juure välja tõmmata, on teil kohutav jama.
Mis seal on! Isegi kõige lihtsamat ja tuttavamat $\sqrt(2)$ ei saa esitada meie tavapärasel kujul – täisarvu või murdena. Ja kui sisestate selle numbri kalkulaatorisse, näete järgmist:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Nagu näete, on pärast koma lõputu arvujada, mis ei allu ühelegi loogikale. Muidugi saate selle arvu ümardada, et kiiresti võrrelda teiste numbritega. Näiteks:
\[\sqrt(2)=1,4142...\umbes 1,4 \lt 1,5\]
Või siin on veel üks näide:
\[\sqrt(3)=1,73205...\umbes 1,7 \gt 1,5\]
Kuid esiteks on kõik need ümardamised üsna karmid; ja teiseks peate suutma töötada ka ligikaudsete väärtustega, muidu võite tabada hunniku mitteilmseid vigu (muide, võrdlemise ja ümardamise oskust tuleb testida profiilil Unified State Examination).
Seetõttu ei saa tõsises matemaatikas ilma juurteta hakkama - need on kõigi reaalarvude hulga $\mathbb(R)$ võrdsed esindajad, nagu ka meile juba ammu tuttavad murd- ja täisarvud.
Suutmatus esitada juurt murdosa kujul $\frac(p)(q)$ tähendab, et see juur ei ole ratsionaalne arv. Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks ja neid ei saa täpselt esitada, kui ainult radikaali või muude spetsiaalselt selleks loodud konstruktsioonide (logaritmid, võimsused, piirid jne) abil. Aga sellest pikemalt teine kord.
Vaatame paar näidet, kus pärast kõiki arvutusi jäävad vastusesse ikkagi irratsionaalsed arvud.
\[\begin(joona) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\umbes 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\umbes -1,2599... \\ \end(joonda)\]
Loomulikult on juure välimuse järgi peaaegu võimatu arvata, millised arvud tulevad pärast koma. Siiski võite arvestada kalkulaatoriga, kuid isegi kõige arenenum kuupäevakalkulaator annab meile irratsionaalsest arvust vaid paar esimest numbrit. Seetõttu on palju õigem kirjutada vastused kujul $\sqrt(5)$ ja $\sqrt(-2)$.
Täpselt sellepärast need leiutati. Vastuste mugavaks salvestamiseks.
Miks on vaja kahte määratlust?
Tähelepanelik lugeja on ilmselt juba märganud, et kõik näidetes toodud ruutjuured on võetud positiivsetest arvudest. Noh, vähemalt nullist. Kuid kuupjuuri saab rahulikult välja tõmmata absoluutselt igast numbrist – olgu see siis positiivne või negatiivne.
Miks see juhtub? Vaadake funktsiooni $y=((x)^(2))$ graafikut:
Ruutfunktsiooni graafik annab kaks juurt: positiivse ja negatiivse Proovime selle graafiku abil arvutada $\sqrt(4)$. Selleks tõmmatakse graafikule (märgitud punasega) horisontaaljoon $y=4$, mis lõikub parabooliga kahes punktis: $((x)_(1))=2$ ja $((x) )_(2)) =-2 $. See on üsna loogiline, kuna
Esimese numbriga on kõik selge - see on positiivne, seega on see juur:
Aga mida siis teise punktiga peale hakata? Nagu neljal on kaks juurt korraga? Lõppude lõpuks, kui paneme arvu −2 ruutu, saame ka 4. Miks mitte kirjutada siis $\sqrt(4)=-2$? Ja miks õpetajad vaatavad selliseid postitusi nagu tahaksid sind ära süüa :)
Probleem on selles, et kui te lisatingimusi ei sea, on nelikul kaks ruutjuurt - positiivne ja negatiivne. Ja igal positiivsel arvul on neid ka kaks. Kuid negatiivsetel arvudel pole üldse juuri – seda võib näha samast graafikust, kuna parabool ei lange kunagi teljest allapoole y, st. ei aktsepteeri negatiivseid väärtusi.
Sarnane probleem ilmneb kõigi ühtlase eksponendiga juurte puhul:
- Rangelt võttes on igal positiivsel arvul kaks juurt paaris eksponendiga $n$;
- Negatiivsetest arvudest ei eraldata juurt paaris $n$-ga üldse.
Sellepärast on paarisastme juure definitsioonis $n$ konkreetselt ette nähtud, et vastuseks peab olema mittenegatiivne arv. Nii vabaneme ebaselgusest.
Kuid paaritu $n$ puhul sellist probleemi pole. Selle nägemiseks vaatame funktsiooni $y=((x)^(3))$ graafikut:
Kuubiku parabool võib võtta mis tahes väärtuse, seega võib kuupjuure võtta mis tahes arvust Sellelt graafikult saab teha kaks järeldust:
- Kuubikujulise parabooli oksad, erinevalt tavalisest, lähevad lõpmatuseni mõlemas suunas – nii üles kui alla. Seetõttu, olenemata sellest, millisele kõrgusele me horisontaaljoone tõmbame, lõikub see joon kindlasti meie graafikuga. Järelikult saab kuupjuure alati välja võtta absoluutselt suvalisest arvust;
- Lisaks on selline ristmik alati ainulaadne, nii et te ei pea mõtlema, millist numbrit peetakse "õigeks" juureks ja millist ignoreerida. Seetõttu on paaritu astme juurte määramine lihtsam kui paarisastme jaoks (ei ole mittenegatiivsuse nõuet).
Kahju, et enamikes õpikutes neid lihtsaid asju ei seletata. Selle asemel hakkab meie aju hõljuma kõikvõimalike aritmeetiliste juurte ja nende omadustega.
Jah, ma ei vaidle vastu: peate ka teadma, mis on aritmeetiline juur. Ja ma räägin sellest üksikasjalikult eraldi õppetükis. Täna räägime ka sellest, sest ilma selleta oleksid kõik mõtted $n$-nda paljususe juurtest puudulikud.
Kuid kõigepealt peate selgelt mõistma ülaltoodud määratlust. Muidu hakkab terminite rohkuse tõttu peas selline segadus, et lõpuks ei saa üldse millestki aru.
Kõik, mida pead tegema, on mõistma paaris- ja paaritute näitajate erinevust. Seetõttu kogume veel kord kõik, mida juurte kohta tegelikult vaja on:
- Paarisastme juur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust ja on ise alati mittenegatiivne arv. Negatiivsete arvude puhul on selline juur määramata.
- Kuid paaritu astme juur eksisteerib mis tahes arvust ja võib ise olla mis tahes arv: positiivsete arvude puhul on see positiivne ja negatiivsete arvude puhul, nagu ülem vihjab, negatiivne.
Kas see on raske? Ei, see pole raske. See on selge? Jah, see on täiesti ilmne! Nii et nüüd harjutame natuke arvutustega.
Põhiomadused ja piirangud
Juurtel on palju kummalisi omadusi ja piiranguid – sellest tuleb juttu eraldi õppetükis. Seetõttu käsitleme nüüd ainult kõige olulisemat "trikki", mis kehtib ainult ühtlase indeksiga juurte kohta. Kirjutame selle omaduse valemina:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Teisisõnu, kui tõstame arvu paarisastmeni ja seejärel eraldame sama astme juure, ei saa me algarvu, vaid selle moodulit. See on lihtne teoreem, mida saab kergesti tõestada (piisab, kui käsitleda eraldi mittenegatiivseid $x$ ja seejärel eraldi negatiivseid). Õpetajad räägivad sellest pidevalt, see on igas kooliõpikus ära toodud. Kuid niipea, kui on vaja lahendada irratsionaalseid võrrandeid (st radikaalmärki sisaldavad võrrandid), unustavad õpilased selle valemi üksmeelselt.
Probleemi üksikasjalikuks mõistmiseks unustame minutiks kõik valemid ja proovime välja arvutada kaks arvu:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Need on väga lihtsad näited. Enamik inimesi lahendab esimese näite, kuid paljud inimesed jäävad teisega jänni. Sellise jama probleemideta lahendamiseks kaaluge alati protseduuri:
- Esiteks tõstetakse arv neljanda astmeni. Noh, see on omamoodi lihtne. Saate uue numbri, mille leiate isegi korrutustabelist;
- Ja nüüd on sellest uuest numbrist vaja välja võtta neljas juur. Need. juurte ja jõudude "vähendamine" ei toimu - need on järjestikused toimingud.
Vaatame esimest avaldist: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ilmselt peate kõigepealt arvutama juure all oleva avaldise:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Seejärel eraldame arvu 81 neljanda juure:
Nüüd teeme sama teise avaldisega. Esiteks tõstame arvu −3 neljanda astmeni, mis nõuab selle endaga korrutamist 4 korda:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vasak(-3 \parem)=81\]
Saime positiivse arvu, kuna toote miinuste koguarv on 4 ja need kõik tühistavad üksteist (miinus miinuse eest annab ju plussi). Seejärel ekstraheerime juure uuesti:
Põhimõtteliselt poleks seda rida saanud kirjutada, sest pole aimugi, et vastus oleks sama. Need. sama paarisvõimsuse paarisjuur “põletab” miinused ja selles mõttes on tulemus tavalisest moodulist eristamatu:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \parem|=3. \\ \end(joonda)\]
Need arvutused on hästi kooskõlas paarisastme juure definitsiooniga: tulemus on alati mittenegatiivne ja ka radikaalmärk sisaldab alati mittenegatiivset arvu. Vastasel juhul on juur määramata.
Märkus protseduuri kohta
- Märkus $\sqrt(((a)^(2)))$ tähendab, et esmalt me ruudustame arvu $a$ ja seejärel võtame saadud väärtuse ruutjuure. Seetõttu võime olla kindlad, et juurmärgi all on alati mittenegatiivne arv, kuna $((a)^(2))\ge 0$ igal juhul;
- Kuid märge $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, vastupidi, tähendab, et me võtame esmalt teatud arvu $a$ juure ja alles siis tulemuse ruut. Seetõttu ei saa arv $a$ mingil juhul olla negatiivne – see on definitsioonis sisalduv kohustuslik nõue.
Seega ei tohiks mingil juhul mõtlematult juuri ja astmeid vähendada, väidetavalt "lihtsustades" algset väljendit. Sest kui juurel on negatiivne arv ja selle astendaja on paaris, saame hunniku probleeme.
Kõik need probleemid on aga olulised ainult ühtlaste näitajate puhul.
Miinusmärgi eemaldamine juurmärgi alt
Loomulikult on paaritute astendajatega juurtel ka oma tunnus, mida paarisarvuga põhimõtteliselt ei eksisteeri. Nimelt:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Ühesõnaga, paaritu astme juurte märgi alt saab miinuse eemaldada. See on väga kasulik omadus, mis võimaldab teil "välja visata" kõik puudused:
\[\begin(joonda) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(joonda)\]
See lihtne omadus lihtsustab paljusid arvutusi oluliselt. Nüüd ei pea te muretsema: mis siis, kui negatiivne väljend oli peidetud juure alla, kuid juure aste osutus ühtlaseks? Piisab sellest, kui "välja visata" kõik väljaspool juuri olevad miinused, misjärel saab neid omavahel korrutada, jagada ja üldiselt teha palju kahtlaseid asju, mis "klassikaliste" juurte puhul meid kindlasti viivad. viga.
Ja siin tuleb mängu veel üks määratlus – seesama, millega enamikus koolides alustatakse irratsionaalsete väljendite uurimist. Ja ilma milleta oleks meie arutluskäik puudulik. Saage tuttavaks!
Aritmeetiline juur
Oletame hetkeks, et juurmärgi all võivad olla ainult positiivsed arvud või äärmisel juhul null. Unustame paaris/paaritud näitajad, unustame kõik ülaltoodud definitsioonid – töötame ainult mittenegatiivsete arvudega. Mis siis?
Ja siis saame aritmeetilise juure - see kattub osaliselt meie “standardsete” määratlustega, kuid erineb neist siiski.
Definitsioon. Mittenegatiivse arvu $a$ $n$-nda astme aritmeetiline juur on mittenegatiivne arv $b$, nii et $((b)^(n))=a$.
Nagu näeme, ei huvita meid enam pariteet. Selle asemel ilmus uus piirang: radikaalne väljend on nüüd alati mittenegatiivne ja juur ise on samuti mittenegatiivne.
Et paremini mõista, kuidas aritmeetiline juur erineb tavalisest, vaadake meile juba tuttavaid ruut- ja kuupparabooli graafikuid:
Aritmeetilise juureotsingu ala – mittenegatiivsed arvud Nagu näha, huvitavad meid edaspidi vaid need graafikutükid, mis asuvad esimeses koordinaatide kvartalis – kus koordinaadid $x$ ja $y$ on positiivsed (või vähemalt null). Enam pole vaja indikaatorit vaadata, et mõista, kas meil on õigus panna negatiivne arv juure alla või mitte. Sest negatiivseid numbreid põhimõtteliselt enam ei arvestata.
Võite küsida: "Noh, miks me vajame sellist steriliseeritud määratlust?" Või: "Miks me ei saa ülaltoodud standardmääratlusega hakkama?"
Noh, ma annan ainult ühe omaduse, mille tõttu uus määratlus sobib. Näiteks astendamise reegel:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Pange tähele: saame radikaalavaldise tõsta mis tahes astmeni ja samal ajal korrutada juureksponenti sama astmega - ja tulemus on sama arv! Siin on näited.
\[\begin(joona) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(joonda)\]
Mis on siis suur asi? Miks me ei saanud seda varem teha? Siin on põhjus. Vaatleme lihtsat avaldist: $\sqrt(-2)$ - see arv on meie klassikalises arusaamas täiesti normaalne, kuid aritmeetilise juure seisukohalt absoluutselt vastuvõetamatu. Proovime seda teisendada:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(joonda)$
Nagu näete, eemaldasime esimesel juhul radikaali alt miinuse (meil on täielik õigus, kuna eksponent on paaritu) ja teisel juhul kasutasime ülaltoodud valemit. Need. Matemaatilisest küljest vaadatuna toimub kõik reeglite järgi.
WTF?! Kuidas saab sama arv olla nii positiivne kui ka negatiivne? Pole võimalik. Lihtsalt astendamise valem, mis töötab suurepäraselt positiivsete arvude ja nulli korral, hakkab negatiivsete arvude puhul tekitama täielikku ketserlust.
Just selleks, et sellisest ebaselgusest vabaneda, leiutati aritmeetilised juured. Neile on pühendatud eraldi suur õppetund, kus käsitleme üksikasjalikult kõiki nende omadusi. Nii et me ei peatu neil praegu - õppetund on juba liiga pikaks osutunud.
Algebraline juur: neile, kes tahavad rohkem teada
Mõtlesin kaua, kas panna see teema eraldi lõiku või mitte. Lõpuks otsustasin selle siia jätta. See materjal on mõeldud neile, kes soovivad juurtest veelgi paremini aru saada - mitte enam keskmisel koolitasemel, vaid olümpiaadilähedasel tasemel.
Niisiis: lisaks arvu $n$-nda juure “klassikalisele” definitsioonile ja sellega seotud jagamisele paaris- ja paarituteks eksponenditeks on olemas ka “täiskasvanulikum” definitsioon, mis ei sõltu sugugi paarsusest ja muudest peensustest. Seda nimetatakse algebraliseks juureks.
Definitsioon. Iga $a$ algebraline $n$. juur on kõikide arvude $b$ hulk, nii et $((b)^(n))=a$. Selliste juurte jaoks pole kehtestatud nimetust, seega paneme ülaosale kriipsu:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Põhiline erinevus tunni alguses antud standarddefinitsioonist seisneb selles, et algebraline juur ei ole konkreetne arv, vaid hulk. Ja kuna me töötame reaalarvudega, on seda komplekti ainult kolme tüüpi:
- Tühi komplekt. Tekib siis, kui on vaja leida negatiivsest arvust paarisastme algebraline juur;
- Komplekt, mis koosneb ühest elemendist. Sellesse kategooriasse kuuluvad kõik paaritute astmete juured, aga ka nulli paarisastmete juured;
- Lõpuks võib komplekt sisaldada kahte numbrit – sama $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))=-((x)_(1))$, mida nägime graafiku ruutfunktsioon. Järelikult on selline paigutus võimalik ainult siis, kui eraldatakse positiivsest arvust paarisastme juur.
Viimane juhtum väärib põhjalikumat käsitlemist. Erinevuse mõistmiseks loeme paar näidet.
Näide. Hinnake väljendeid:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Lahendus. Esimese väljendiga on kõik lihtne:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Need on kaks numbrit, mis on komplekti osa. Sest igaüks neist ruudus annab nelja.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Siin näeme komplekti, mis koosneb ainult ühest numbrist. See on üsna loogiline, kuna juureksponent on paaritu.
Lõpuks viimane väljend:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Saime tühja komplekti. Sest pole ühtegi reaalarvu, mis neljanda (st paaris!) astmeni tõstes annaks meile negatiivse arvu −16.
Lõplik märkus. Pange tähele: mitte juhuslikult märkisin ma kõikjal, et töötame reaalarvudega. Sest on ka kompleksarvud - seal on täiesti võimalik arvutada $\sqrt(-16)$ ja palju muud imelikku.
Kaasaegsetes koolimatemaatikakursustes kompleksarvusid aga peaaegu kunagi ei esine. Need on enamikust õpikutest eemaldatud, kuna meie ametnikud peavad teemat "liiga raskesti mõistetavaks".
See on kõik. Järgmises õppetükis vaatleme kõiki juurte põhiomadusi ja lõpuks õpime irratsionaalseid väljendeid lihtsustama :)
Tehted volituste ja juurtega. Kraad negatiivsega ,
null ja murdosa indikaator. Väljenditest, millel pole tähendust.
Tehted kraadidega.
1. Kui korrutada astmed sama alusega, liidetakse nende eksponendid:
olen · a n = a m + n .
2. Kraadide jagamisel sama alusega nende eksponendid arvatakse maha .
3. Kahe või enama teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite astmete korrutisega.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Suhtarvu (murru) aste võrdub dividendi (lugeja) ja jagaja (nimetaja) astmete suhtega:
(a/b ) n = a n / b n .
5. Kui tõstetakse aste astmeks, korrutatakse nende eksponendid:
(olen ) n = a m n.
Kõik ülaltoodud valemid loetakse ja täidetakse mõlemas suunas vasakult paremale ja vastupidi.
NÄIDE (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operatsioonid juurtega. Kõigis allolevates valemites sümbol tähendab aritmeetiline juur(radikaalavaldis on positiivne).
1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne korrutisega Nende tegurite juured:
2. Suhtarvu juur on võrdne dividendi juurte ja jagaja suhtega:
3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõstad selle astmeni radikaalarv:
4. Kui suurendame juure astet m tõsta kuni m th aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:
5. Kui me vähendame juure astet m eemaldage juur üks kord ja samal ajal m radikaalarvu astmes, siis juure väärtus ei ole muutub:
Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade vaadelnud ainult naturaalastendajatega; aga toimingud koos kraadid ja juured võivad samuti kaasa tuua negatiivne, null Ja murdosaline näitajad. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.
Negatiivse astendajaga kraad. Mõne arvu võimsus c negatiivne (täisarv) astendaja on defineeritud kui üks jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne absoluutväärtuseganegatiivne näitaja:
T nüüd valem olen: a n= olen - n saab kasutada mitte ainultm, rohkem kui n, aga ka koos m, vähem kui n .
NÄIDE a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Kui tahame valemitolen : a n= olen - noli õiglane, kuim = n, vajame nullkraadi määratlust.
Kraad nullindeksiga. Iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, on 1.
NÄITED. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu ja võimsusele m/n , peate juure ekstraheerima m n-s aste -selle arvu aste A:
Väljenditest, millel pole tähendust. Selliseid väljendeid on mitu. suvaline number.
Tegelikult, kui eeldame, et see avaldis on võrdne mõne arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile on meil: 0 = 0 · x. Kuid see võrdsus tekib siis, kui mis tahes arv x, mida oli vaja tõestada.
Juhtum 3.
0 0 - suvaline number.
Tõesti,
Lahendus. Vaatleme kolme peamist juhtumit.
1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit
(Miks?).
2) millal x> 0 saame: x/x = 1, st. 1 = 1, mis tähendab
Mida x- mis tahes number; kuid võttes arvesse seda
Meie puhul x> 0, vastus onx > 0 ;
3) millal x < 0 получаем: – x/x= 1, st e . –1 = 1, seega
Sel juhul pole lahendust.
Seega x > 0.