Sinus teravnurk Täisnurkse kolmnurga α on suhe vastupidine jalg hüpotenuusile.
Seda tähistatakse järgmiselt: sin α.

Koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
See on tähistatud järgmiselt: cos α.

Tangent teravnurk α on suhe vastaspool külgneva jala külge.
See on tähistatud järgmiselt: tg α.

Kotangent teravnurk α on suhe külgnev jalg vastupidisele.
See on tähistatud järgmiselt: ctg α.

Nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens sõltuvad ainult nurga suurusest.

Reeglid:

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid täisnurkses kolmnurgas:

(α – teravnurk jala vastas b ja jala kõrval a . Külg Koos - hüpotenuus. β – teine ​​teravnurk).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b tan α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
sin α tg α = -- cos α

Teranurga suurenedessin α jatan α suurenemine jacos α väheneb.

Iga teravnurga α korral:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Näide-seletus:

Laske sisse täisnurkne kolmnurk ABC
AB = 6,
eKr = 3,
nurk A = 30º.

Leiame nurga A siinuse ja nurga B koosinuse.

Lahendus.

1) Esiteks leiame nurga B väärtuse. Siin on kõik lihtne: kuna täisnurkses kolmnurgas on teravnurkade summa 90º, siis nurk B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Arvutame patt A. Teame seda siinust võrdne suhtega hüpotenuusi vastaskülg. Nurga A puhul on vastaskülg külg BC. Niisiis:

eKr 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nüüd arvutame cos B. Teame, et koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga B puhul on külgnev jalg sama külg BC. See tähendab, et peame jälle jagama BC AB-ga - see tähendab tegema samu toiminguid, mis nurga A siinuse arvutamisel:

eKr 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulemuseks on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Sellest järeldub, et täisnurkses kolmnurgas on ühe teravnurga siinus võrdne koosinusega teine ​​teravnurk - ja vastupidi. See on täpselt see, mida meie kaks valemit tähendavad:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Veendume veel kord:

1) Olgu α = 60º. Asendades siinuse valemis α väärtuse, saame:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olgu α = 30º. Asendades koosinusvalemis α väärtuse, saame:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Lisateavet trigonomeetria kohta leiate jaotisest Algebra)

Ma arvan, et sa väärid rohkemat. Siin on minu trigonomeetria võti:

• Joonistage kuppel, sein ja lagi
• Trigonomeetrilised funktsioonid ei ole midagi muud kui nende kolme vormi protsent.

Siinuse ja koosinuse metafoor: kuppel

Kolmnurkade endi vaatamise asemel kujutlege neid tegutsemas, leides mõned eriline näide elust.

Kujutage ette, et olete keset kuplit ja soovite riputada filmiprojektori ekraani. Osutate sõrmega kuplile teatud nurga all “x” ja ekraan tuleks sellest punktist riputada.

Nurk, millele osutate, määrab:

• siinus(x) = sin(x) = ekraani kõrgus (põrandast kupli kinnituspunktini)
• koosinus(x) = cos(x) = kaugus sinust ekraanini (korruse kaupa)
• hüpotenuus, kaugus sinust ekraani ülaossa, alati sama, võrdne kupli raadiusega

Kas soovite, et ekraan oleks võimalikult suur? Riputage see otse enda kohale.

Kas soovite, et ekraan rippuks teist võimalikult kaugel? Riputage see otse risti. Selles asendis on ekraani kõrgus null ja see ripub kõige kaugemal, nagu küsisite.

Kõrgus ja kaugus ekraanist on pöördvõrdelised: mida lähemal ekraan ripub, seda suurem on selle kõrgus.

Siinus ja koosinus on protsendid

Kahjuks ei selgitanud mulle keegi minu õpingute jooksul, et trigonomeetrilised funktsioonid siinus ja koosinus pole muud kui protsendid. Nende väärtused on vahemikus +100% kuni 0 kuni -100% või positiivsest maksimumist nulli kuni negatiivse maksimumini.

Oletame, et maksin 14 rubla maksu. Sa ei tea, kui palju see on. Aga kui ütlete, et maksin 95% tulumaksu, siis saate aru, et mind lihtsalt fliisitati.

Absoluutne kõrgus ei tähenda midagi. Aga kui siinus on 0,95, siis ma saan aru, et teler ripub peaaegu teie kupli otsas. Väga varsti jõuab ta kohale maksimaalne kõrgus kupli keskel ja hakkab seejärel uuesti alla minema.

Kuidas me saame seda protsenti arvutada? See on väga lihtne: jagage praegune ekraani kõrgus maksimaalse võimalikuga (kupli raadius, mida nimetatakse ka hüpotenuusiks).

Sellepärast meile öeldakse, et "koosinus = vastaskülg / hüpotenuus". Kõik on huvi tekitamises! Siinus on kõige parem määratleda kui "protsent praegusest kõrgusest maksimaalsest võimalikust". (Siinus muutub negatiivseks, kui teie nurk on "maa all". Koosinus muutub negatiivseks, kui nurk osutab teie taga oleva kuplipunkti poole.)

Lihtsustame arvutusi, eeldades, et oleme keskel üksuse ring(raadius = 1). Võime jagamise vahele jätta ja võtta siinuse, mis võrdub kõrgusega.

Iga ring on sisuliselt ühik, suurendatud või vähendatud skaalal õige suurus. Seega määrake ühikuringi ühendused ja rakendage tulemusi oma konkreetsele ringi suurusele.

Eksperiment: võtke ükskõik milline nurk ja vaadake, mida protsentides kõrgus kuni laius kuvab:

Siinuse väärtuse kasvu graafik ei ole lihtsalt sirge. Esimesed 45 kraadi katavad 70% kõrgusest, kuid viimased 10 kraadi (80° kuni 90°) vaid 2%.

See teeb sulle selgemaks: kui kõnnid ringi, tõused 0° juures peaaegu vertikaalselt, aga kupli tipule lähenedes muutub kõrgus aina vähem.

Tangent ja sekant. Sein

Ühel päeval ehitas naaber müüri otse üksteise kõrval oma kupli juurde. Nutsin oma vaadet aknast ja hea hind edasimüügiks!

Kuid kas selles olukorras on võimalik kuidagi võita?

Muidugi jah. Mis siis, kui riputaksime filmiekraani otse naabri seinale? Sihite nurga (x) ja saate:

• tan(x) = tan(x) = ekraani kõrgus seinal
• kaugus sinust seinani: 1 (see on sinu kupli raadius, sein ei liigu sinust kuhugi, eks?)
• secant(x) = sec(x) = "redeli pikkus" sinust kupli keskel seistes kuni rippuva ekraani ülaossa

Täpsustame paar punkti puutuja ehk ekraani kõrguse kohta.

• see algab nullist ja võib tõusta lõpmatult kõrgele. Saate sirutada ekraani seinal aina kõrgemale, et luua lõputu lõuend oma lemmikfilmi vaatamiseks! (Sellise tohutu jaoks peate muidugi kulutama palju raha).
• tangens on lihtsalt siinuse suurem versioon! Ja kuigi siinuse suurenemine kupli tipu poole liikudes aeglustub, kasvab puutuja jätkuvalt!

Sekansul on ka millega kiidelda:

• Sekant algab kell 1 (redel on põrandal, sinust seinani) ja hakkab sealt tõusma
• Sekant on alati pikem kui puutuja. Ekraani riputamiseks kasutatav kaldus redel peaks olema pikem kui ekraan ise, eks? (Ebareaalsete suurustega, kui ekraan on niiiii pikk ja redel on vaja peaaegu vertikaalselt asetada, on nende suurused peaaegu samad. Aga ka siis on sekant veidi pikem).

Pidage meeles, et väärtused on protsenti. Kui otsustate ekraani riputada 50 kraadise nurga all, siis tan(50)=1,19. Teie ekraan on 19% suurem kui kaugus seinast (kupli raadius).

(Sisestage x=0 ja kontrollige oma intuitsiooni – tan(0) = 0 ja sec(0) = 1.)

Kootangens ja kosekant. Lagi

Uskumatult otsustas teie naaber nüüd teie kuplile katuse ehitada. (Mis tal viga on? Ilmselt ta ei taha, et sa teda luuraksid, kui ta alasti õues ringi kõnnib...)

Noh, on aeg ehitada väljapääs katusele ja rääkida naabriga. Valite kaldenurga ja alustate ehitamist:

• vertikaalne kaugus katuse väljalaskeava ja põranda vahel on alati 1 (kupli raadius)
• kotangent(x) = cot(x) = kupli ülaosa ja väljumispunkti vaheline kaugus
• kosekant(x) = csc(x) = teie tee pikkus katusele

Tangent ja sekant kirjeldavad seina ning COtangent ja COsekant kirjeldavad lage.

Meie intuitiivsed järeldused on seekord sarnased eelmiste järeldustega:

• Kui võtate nurgaks 0°, kestab teie väljapääs katusele igavesti, kuna see ei ulatu kunagi laeni. Probleem.
• Lühima katuse "redel" saadakse, kui ehitate selle põranda suhtes 90-kraadise nurga all. Kootangens võrdub 0-ga (me ei liigu üldse mööda katust, väljume rangelt risti) ja kosekant on võrdne 1-ga (“redeli pikkus” on minimaalne).

Visualiseerige ühendusi

Kui kõik kolm korpust on joonistatud kupli-seina-lae kombinatsioonina, on tulemus järgmine:

Noh, see on ikka sama kolmnurk, suurendatud, et jõuda seina ja laeni. Meil on vertikaalsed küljed (siinus, puutuja), horisontaalsed küljed (koosinus, kotangents) ja “hüpotenused” (sekant, kosekant). (Noolte järgi näete, kuhu iga element ulatub. Koossekant on kogu kaugus sinust katuseni).

Natuke maagiat. Kõigil kolmnurkadel on samad võrdsused:

Pythagorase teoreemist (a 2 + b 2 = c 2) näeme, kuidas on ühendatud iga kolmnurga küljed. Lisaks peaksid kõrguse ja laiuse suhted olema kõigi kolmnurkade puhul samad. (Astuge lihtsalt tagasi suur kolmnurk vähemale. Jah, suurus on muutunud, kuid kuvasuhted jäävad samaks).

Teades, milline külg igas kolmnurgas on võrdne 1-ga (kupli raadius), saame kergesti arvutada, et "sin/cos = tan/1".

Olen alati püüdnud neid fakte lihtsa visualiseerimise abil meelde jätta. Pildil näete selgelt neid sõltuvusi ja saate aru, kust need tulevad. See tehnika on palju parem kui meeldejätmine kuivad valemid.

Ärge unustage teisi vaatenurki

Psst... Ära jää ühele graafikule kinni, arvates, et puutuja on alati väiksem kui 1. Nurka suurendades saad laeni jõuda ka seinani jõudmata:

Pythagorase ühendused töötavad alati, kuid suhtelised suurused võib olla erinev.

(Võib-olla olete märganud, et siinus- ja koosinussuhted on alati väikseimad, kuna need sisalduvad kuplis).

Kokkuvõtteks: mida me peame meeles pidama?

Ma ütleksin, et enamikule meist piisab sellest:

• trigonomeetria selgitab matemaatiliste objektide, nagu ringid ja korduvad intervallid, anatoomiat
• Kupli/seina/katuse analoogia näitab seost erinevate trigonomeetriliste funktsioonide vahel
• Trigonomeetrilised funktsioonid annavad protsendid, mida me oma stsenaariumile rakendame.

Te ei pea pähe õppima selliseid valemeid nagu 1 2 + võrevoodi 2 = csc 2 . Need sobivad ainult rumalad testid, milles teadmine faktist edastatakse selle mõistmisena. Võtke minut aega, et joonistada poolring kupli, seina ja katuse kujul, märgistada elemendid ja kõik valemid jõuavad teieni paberile.

Rakendus: pöördfunktsioonid

Iga trigonomeetriline funktsioon võtab sisendparameetrina nurga ja tagastab tulemuse protsentides. sin(30) = 0,5. See tähendab, et 30-kraadine nurk võtab 50% maksimaalsest kõrgusest.

Trigonomeetriline pöördfunktsioon on kirjutatud kui sin -1 või arcsin. Samuti kirjutatakse seda sageli nagu sisse erinevaid keeli programmeerimine.

Kui meie kõrgus on 25% kupli kõrgusest, siis milline on meie nurk?

Meie proportsioonide tabelist leiate suhte, kus sekant jagatakse 1-ga. Näiteks sekant 1-ga (hüpotenuus horisontaalsuunas) võrdub 1-ga jagatud koosinusega:

Oletame, et meie sekant on 3,5, st. 350% ühikringi raadiusest. Millisele seina kaldenurgale see väärtus vastab?

Lisa: Mõned näited

Näide: Leia nurga x siinus.

Igav ülesanne. Keerutagem banaalne "leia siinus" sõnadega "Mis on kõrgus protsendina maksimumist (hüpotenuus)?"

Esiteks pange tähele, et kolmnurk on pööratud. Selles pole midagi halba. Kolmnurgal on ka kõrgus, see on joonisel tähistatud rohelisega.

Millega võrdub hüpotenuus? Pythagorase teoreemi kohaselt teame, et:

3 2 + 4 2 = hüpotenuus 2 25 = hüpotenuus 2 5 = hüpotenuus

Hästi! Siinus on protsent kolmnurga pikima külje ehk hüpotenuusi kõrgusest. Meie näites on siinus 3/5 või 0,60.

Muidugi võime minna mitut moodi. Nüüd teame, et siinus on 0,60, saame lihtsalt arsiini leida:

Asin(0,6)=36,9

Siin on veel üks lähenemine. Pange tähele, et kolmnurk on "seina poole", nii et siinuse asemel saame kasutada puutujat. Kõrgus on 3, kaugus seinast on 4, seega puutuja on ¾ ehk 75%. Arktangensi abil saame protsendiväärtusest tagasi nurga alla minna:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Näide: kas sa ujud kaldale?

Olete paadis ja teil on piisavalt kütust 2 km läbimiseks. Nüüd olete rannikust 0,25 km kaugusel. Millise maksimaalse nurga all kalda suhtes saab sinna ujuda, et kütust jätkuks? Täiendus probleemiavaldusele: meil on ainult kaarekoosinusväärtuste tabel.

Mis meil on? rannajoon võib kujutada meie kuulsas kolmnurgas "seinana" ja seinale kinnitatud "redeli pikkus" on maksimaalne võimalik vahemaa, mida paadiga kaldani läbida (2 km). Ilmub sekant.

Esiteks peate minema protsentide juurde. Meil on 2 / 0,25 = 8, see tähendab, et me suudame ujuda vahemaa, mis on 8 korda pikem kui kalda (või seina) sirge vahemaa.

Tekib küsimus: "Mis on 8 sekant?" Kuid me ei saa sellele vastata, kuna meil on ainult kaarekoosinused.

Sekandi seostamiseks koosinusega kasutame eelnevalt tuletatud sõltuvusi: "sec/1 = 1/cos"

8 sekant on võrdne ⅛ koosinusega. Nurk, mille koosinus on ⅛, on võrdne acos(1/8) = 82,8. Ja see on suurim nurk, mida saame etteantud kütusekogusega paadis lubada.

Pole paha, eks? Ilma kuppel-seina-lae analoogiata oleksin valemite ja arvutuste hunnikusse eksinud. Probleemi visualiseerimine lihtsustab oluliselt lahenduse otsimist ning huvitav on ka näha, milline trigonomeetriline funktsioon lõpuks aitab.

Mõelge iga probleemi lahendamisel järgmisel viisil: Kas mind huvitab kuppel (sin/cos), sein (tan/sec) või lagi (voodi/csc)?

Ja trigonomeetria muutub palju nauditavamaks. Lihtsad arvutused teile!

Ühtne riigieksam 4-le? Kas sa ei lahvata õnnest?

Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav... Võimalik, 4-ga on võimalik läbida! Ja samas mitte lõhkeda... Peamine tingimus on regulaarselt trenni teha. Siin on põhiline ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks. Kõigi ühtse riigieksami saladuste ja saladustega, millest te õpikutest ei loe... Uurige seda jaotist, otsustage rohkem ülesandeid alates erinevatest allikatest- ja kõik saab korda! Eeldatakse, et põhiosa "Teile piisab A C-st!" see ei tekita sulle probleeme. Aga kui äkki... Järgige linke, ärge olge laisk!

Ja alustame suurepärase ja kohutava teemaga.

Trigonomeetria

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

See teema tekitab õpilastele palju probleeme. Seda peetakse üheks kõige raskemaks. Mis on siinus ja koosinus? Mis on puutuja ja kotangent? Mis on juhtunud numbriring? Niipea kui sa neid kahjutuid küsimusi esitad, muutub inimene kahvatuks ja püüab vestlust mujale juhtida... Aga asjata. See lihtsad mõisted. Ja see teema pole teistest raskem. Peate lihtsalt nendele küsimustele vastuseid algusest peale selgelt aru saama. See on väga tähtis. Kui mõistate, meeldib teile trigonomeetria. Niisiis,

Mis on siinus ja koosinus? Mis on puutuja ja kotangent?

Alustame iidsetest aegadest. Ärge muretsege, me läbime kõik 20 sajandit trigonomeetria umbes 15 minutiga ja seda märkamata kordame 8. klassi geomeetriat.

Joonistame täisnurkse kolmnurga külgedega a, b, c ja nurk X. Siin see on.

Tuletan meelde, et külgi, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. a ja c-jalad. Neid on kaks. Ülejäänud külge nimetatakse hüpotenuusiks. Koos- hüpotenuus.

Kolmnurk ja kolmnurk, mõtle vaid! Mida temaga teha? Aga muistsed inimesed teadsid, mida teha! Kordame nende tegevust. Mõõdame külge V. Joonisel on lahtrid spetsiaalselt joonistatud, nagu näidatud Ühtse riigieksami ülesanded Juhtub. Külg V võrdne nelja rakuga. OKEI. Mõõdame külge A. Kolm rakku.

Nüüd jagame külje pikkuse A külje pikkuse kohta V. Või, nagu öeldakse, võtame suhtumise A To V. a/v= 3/4.

Vastupidi, saate jagada V peal A. Saame 4/3. Saab V poolt jagama Koos. Hüpotenuus Koos Lahtrite kaupa on võimatu loendada, kuid see on 5. Saame kõrge kvaliteet= 4/5. Ühesõnaga saab külgede pikkused üksteisega jagada ja saada mõned numbrid.

Mis siis? Mis mõtet sellel on huvitav tegevus? Veel mitte ühtegi. Otse öeldes mõttetu harjutus.)

Nüüd teeme seda. Suurendame kolmnurka. Laiendame külgi sisse ja koos, vaid nii, et kolmnurk jääb ristkülikukujuliseks. Nurk X, muidugi ei muutu. Selle nägemiseks hõljutage kursorit pildi kohal või puudutage seda (kui teil on tahvelarvuti). Peod a, b ja c muutub m, n, k, ja loomulikult muutuvad külgede pikkused.

Aga nende suhe ei ole!

Suhtumine a/v oli: a/v= 3/4, sai m/n= 6/8 = 3/4. Ka teiste asjassepuutuvate osapoolte suhted on ei muutu . Täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi saate vastavalt soovile muuta, suurendada, vähendada, ilma nurka x muutmata – asjaomaste osapoolte vahelised suhted ei muutu . Saate seda kontrollida või võite võtta iidsete inimeste sõna.

Aga see on juba väga oluline! Täisnurkse kolmnurga külgede suhted ei sõltu kuidagi külgede pikkustest (sama nurga all). See on nii oluline, et pooltevahelised suhted on pälvinud oma erilise nime. Nii-öelda teie nimed.) Kohtume.

Mis on nurga x siinus ? See on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:

sinx = a/c

Mis on nurga x koosinus ? See on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:

Koososx= kõrge kvaliteet

Mis on puutuja x ? See on vastaskülje ja külgneva külje suhe:

tgx =a/v

Mis on nurga x kootangens ? See on külgneva külje ja vastaskülje suhe:

ctgx = v/a

Kõik on väga lihtne. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on mõned arvud. Mõõtmeteta. Lihtsalt numbrid. Igal nurgal on oma.

Miks ma kordan kõike nii igavalt? Mis see siis on vaja meeles pidada. Oluline on meeles pidada. Meeldejätmist saab lihtsamaks muuta. Kas fraas “Alustame kaugelt…” on tuttav? Nii et alustage kaugelt.

Sinus nurk on suhe kauge jala nurgast hüpotenuusini. Koosinus– naabri ja hüpotenuusi suhe.

Tangent nurk on suhe kauge jala nurgast lähedase poole. Kotangent- vastupidi.

See on lihtsam, eks?

Noh, kui mäletate, et puutujas ja kotangensis on ainult jalad ning siinus- ja koosinussus ilmub hüpotenuus, siis muutub kõik üsna lihtsaks.

Kogu seda hiilgavat perekonda - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens nimetatakse ka trigonomeetrilised funktsioonid.

Nüüd küsimus kaalumiseks.

Miks me ütleme siinus, koosinus, puutuja ja kotangens nurk? Räägime osapoolte omavahelistest suhetest, nagu... Mis sellega pistmist on? nurk?

Vaatame teist pilti. Täpselt sama, mis esimene.

Hõljutage kursorit pildi kohal. Muutsin nurka X. Suurendas seda alates x kuni x. Kõik suhted on muutunud! Suhtumine a/v oli 3/4 ja vastav suhe TV sai 6/4.

Ja kõik muud suhted muutusid teistsuguseks!

Seetõttu ei sõltu külgede suhted kuidagi nende pikkustest (ühe nurga all x), vaid sõltuvad järsult just sellest nurgast! Ja ainult temalt. Seetõttu viitavad terminid siinus, koosinus, puutuja ja kotangens nurk. Nurk on siin peamine.

Tuleb selgelt mõista, et nurk on lahutamatult seotud selle trigonomeetriliste funktsioonidega. Igal nurgal on oma siinus ja koosinus. Ja peaaegu igaühel on oma puutuja ja kotangent. See on tähtis. Arvatakse, et kui meile on antud nurk, siis selle siinus, koosinus, puutuja ja kotangens me teame ! Ja vastupidi. Siinuse või mõne muu trigonomeetrilise funktsiooni korral tähendab see, et me teame nurka.

On olemas spetsiaalsed tabelid, kus iga nurga jaoks on kirjeldatud selle trigonomeetrilisi funktsioone. Neid nimetatakse Bradise tabeliteks. Need on koostatud väga kaua aega tagasi. Kui veel kalkulaatoreid ega arvuteid polnud...

Loomulikult on võimatu meeles pidada kõigi nurkade trigonomeetrilisi funktsioone. Peate neid teadma vaid mõne nurga alt, sellest lähemalt hiljem. Aga loits Ma tean nurka, mis tähendab, et tean selle trigonomeetrilisi funktsioone. töötab alati!

Nii kordasime 8. klassist geomeetriatükki. Kas meil on seda ühtse riigieksami jaoks vaja? Vajalik. Siin on ühtse riigieksami tüüpiline probleem. Selle ülesande lahendamiseks piisab 8. klassist. Antud pilt:

Kõik. Rohkem andmeid pole. Peame leidma lennuki külje pikkuse.

Rakud eriti ei aita, kolmnurk on kuidagi valesti paigutatud.... Meelega vist... Info järgi on hüpotenuusi pikkus. 8 rakku. Millegipärast oli nurk antud.

Siin peate trigonomeetriat kohe meeles pidama. Seal on nurk, mis tähendab, et me teame kõiki selle trigonomeetrilisi funktsioone. Millist neljast funktsioonist peaksime kasutama? Vaatame, mida me teame? Me teame hüpotenuusi ja nurka, kuid me peame leidma külgnevad kateeter sellesse nurka! Selge, koosinus tuleb ellu viia! Siin me läheme. Kirjutame lihtsalt koosinuse määratluse järgi (suhe külgnevad jalg hüpotenuusini):

cosC = BC/8

Meie nurk C on 60 kraadi, selle koosinus on 1/2. Sa pead seda teadma, ilma tabeliteta! See on:

1/2 = BC/8

Elementaarne lineaarvõrrand. Tundmatu – Päike. Need, kes on võrrandite lahendamise unustanud, vaadake linki, ülejäänud lahendavad:

eKr = 4

Kui muistsed inimesed mõistsid, et igal nurgal on oma trigonomeetriliste funktsioonide komplekt, tekkis neil mõistlik küsimus. Kas siinus, koosinus, puutuja ja kotangent on omavahel kuidagi seotud? Nii et teades ühte nurgafunktsiooni, leiate teised? Ilma nurka ise arvutamata?

Nad olid nii rahutud...)

Ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonide seos.

Loomulikult on sama nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens omavahel seotud. Igasugune seos avaldiste vahel on matemaatikas antud valemitega. Trigonomeetrias on tohutult palju valemeid. Kuid siin vaatleme kõige elementaarsemaid. Neid valemeid nimetatakse: põhilised trigonomeetrilised identiteedid. Siin nad on:

Peate neid valemeid põhjalikult tundma. Ilma nendeta pole trigonomeetrias üldiselt midagi peale hakata. Nendest põhiidentiteetidest tuleneb veel kolm abiidentiteeti:

Hoiatan kohe, et kolm viimast valemit kukuvad kiiresti mälust välja. Millegipärast.) Neid valemeid saab muidugi tuletada sellest kolm esimest. Aga sisse Raske aeg... Sa saad aru.)

IN standardülesanded, nagu allolevad, saab ka ilma nende unustamatute valemiteta hakkama. JA oluliselt vähendada vigu unustamise tõttu ja ka arvutustes. See praktika on jaotises 555, õppetükis "Seosed sama nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel".

Millistes ülesannetes ja kuidas kasutatakse põhilisi trigonomeetrilisi identiteete? Kõige populaarsem ülesanne on leida mõni nurgafunktsioon, kui on antud mõni teine. Ühtse riigieksami puhul on selline ülesanne olemas aastast aastasse.) Näiteks:

Otsi sinx väärtus, kui x on teravnurk ja cosx=0,8.

Ülesanne on peaaegu elementaarne. Otsime valemit, mis sisaldab siinust ja koosinust. Siin on valem:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Asendage siin teadaolev kogus, nimelt koosinuse asemel 0,8:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Noh, me arvestame nagu tavaliselt:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

See on praktiliselt kõik. Arvutasime siinuse ruudu, jääb üle vaid ruutjuur välja võtta ja vastus ongi valmis! 0,36 juur on 0,6.

Ülesanne on peaaegu elementaarne. Aga sõna “peaaegu” on seal põhjusega... Fakt on see, et vastus sinx= - 0,6 sobib ka... (-0,6) 2 saab samuti 0,36.

On kaks erinevat vastust. Ja sa vajad ühte. Teine on vale. Kuidas olla!? Jah, nagu tavaliselt.) Lugege ülesanne hoolikalt läbi. Millegipärast on kirjas:... kui x on teravnurk... Ja ülesannetes on igal sõnal tähendus jah... See fraas on lahenduse lisainfo.

Teravnurk on nurk, mis on väiksem kui 90°. Ja sellistes nurkades Kõik trigonomeetrilised funktsioonid - siinus, koosinus ja puutuja kotangensiga - positiivne. Need. Siinkohal jätame eitava vastuse lihtsalt kõrvale. Meil on õigus.

Tegelikult ei vaja kaheksanda klassi õpilased selliseid peensusi. Need töötavad ainult täisnurksete kolmnurkadega, kus nurgad võivad olla ainult teravad. Ja nad ei tea, õnnelikud, et on olemas nii negatiivsed nurgad kui ka 1000° nurgad... Ja kõigil neil kohutavatel nurkadel on oma trigonomeetrilised funktsioonid, nii pluss kui miinus...

Aga gümnasistidele, märki arvestamata – mitte kuidagi. Paljud teadmised mitmekordistavad kurbust, jah...) Ja selleks õige otsusÜlesanne peab sisaldama lisainfot (vajadusel). Näiteks võib selle anda järgmise kirjega:

Või mõnel muul viisil. Allolevates näidetes näete.) Selliste näidete lahendamiseks peate teadma millisesse kvartalisse see langeb? määratud nurk x ja mis on soovitud trigonomeetrilise funktsiooni märk selles kvadrandis.

Neid trigonomeetria põhitõdesid käsitletakse õppetundides selle kohta, mis on trigonomeetriline ring, selle ringi nurkade mõõtmine, nurga radiaanmõõt. Mõnikord on vaja teada siinuste tabelit, puutujate koosinusi ja kotangentide tabelit.

Niisiis, paneme tähele kõige olulisemat:

Praktilised nõuanded:

1. Pidage meeles siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. See on väga kasulik.

2. Mõistame selgelt: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on nurkadega tihedalt seotud. Me teame üht, mis tähendab, et teame teist.

3. Saame selgelt aru: ühe nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on üksteisega põhiliselt seotud trigonomeetrilised identiteedid. Teame ühte funktsiooni, mis tähendab, et saame (vajaliku lisateabe olemasolul) kõik teised välja arvutada.

Nüüd otsustame, nagu tavaliselt. Esiteks ülesanded 8. klassi mahus. Aga ka keskkooliõpilased saavad sellega hakkama...)

1. Arvutage tgA väärtus, kui ctgA = 0,4.

2. β on täisnurkse kolmnurga nurk. Leidke tanβ väärtus, kui sinβ = 12/13.

3. Määrake teravnurga x siinus, kui tgх = 4/3.

4. Leidke väljendi tähendus:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Leidke väljendi tähendus:

(1-cosx)(1+cosx), kui sinx = 0,3

Vastused (eraldatud semikooloniga, segaduses):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Juhtus? Suurepärane! Kaheksanda klassi õpilased saavad juba A-d ära tooma.)

Kas kõik ei õnnestunud? Ülesanded 2 ja 3 ei ole kuidagi väga head...? Pole probleemi! Selleks on üks ilus nipp sarnased ülesanded. Kõik on lahendatav praktiliselt ilma valemiteta! Ja seetõttu ilma vigadeta. Seda tehnikat kirjeldatakse õppetükis „Ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahelised seosed” jaotises 555. Seal tegeldakse ka kõigi muude ülesannetega.

Need olid probleemid Ühtse riigieksami tüüp, kuid eemaldatud versioonis. Ühtne riigieksam – kerge). Ja nüüd peaaegu samad ülesanded, kuid täisformaadis. Teadmistekoormatud keskkooliõpilastele.)

6. Leidke tanβ väärtus, kui sinβ = 12/13 ja

7. Määrake sinх, kui tgх = 4/3 ja x kuulub intervalli (-540°; -450°).

8. Leidke avaldise sinβ cosβ väärtus, kui ctgβ = 1.

Vastused (segaduses):

0,8; 0,5; -2,4.

Siin ülesandes 6 pole nurk väga selgelt määratud... Aga ülesandes 8 pole seda üldse täpsustatud! See on meelega). Lisainformatsioon mitte ainult ülesandest võetud, vaid ka peast.) Aga kui otsustate, on üks õige ülesanne garanteeritud!

Mis siis, kui te pole otsustanud? Hmm... Noh, paragrahv 555 aitab siin. Seal on kõigi nende ülesannete lahendused üksikasjalikult kirjeldatud, raske on mitte mõista.

See õppetund annab väga piiratud arusaama trigonomeetrilistest funktsioonidest. 8. klassi piires. Ja vanematel on veel küsimusi...

Näiteks kui nurk X(vaata teist pilti sellel lehel) - tee lolliks!? Kolmnurk laguneb täielikult! Mida me siis tegema peaksime? Ei tule jalga, ei hüpotenuusi... Siinus on kadunud...

Kui muistsed inimesed poleks sellest olukorrast väljapääsu leidnud, poleks meil praegu mobiiltelefone, televiisorit ega elektrit. Jah Jah! Teoreetiline alus kõik need asjad ilma trigonomeetriliste funktsioonideta on ilma pulgata null. Kuid muistsed inimesed ei valmistanud pettumust. Kuidas nad välja said, on järgmises õppetükis.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Üks matemaatika valdkondi, millega õpilased kõige rohkem vaeva näevad, on trigonomeetria. See pole üllatav: selle teadmiste valdkonna vabaks valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja osata kasutada arvus pi arvutused. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel kasutada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.

Trigonomeetria päritolu

Selle teadusega tutvumine peaks algama siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate mõistma, mida trigonomeetria üldiselt teeb.

Ajalooliselt on selle jaotise peamine uurimisobjekt matemaatikateadus olid täisnurksed kolmnurgad. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata kõnealuse joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.

Esimene aste

Algselt räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid laiendada kasutuspiire Igapäevane elu see matemaatika haru.

Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksetest kolmnurkadest, mille järel õpilased kasutavad omandatud teadmisi füüsikas ja abstraktsete ülesannete lahendamisel. trigonomeetrilised võrrandid, millega töö algab keskkoolis.

Sfääriline trigonomeetria

Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad erinevad reeglid ning kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. See jaotis koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada vähemalt sellepärast maa pind, ja mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinnamärgised jäävad sisse kolmemõõtmeline ruum"kaarekujuline".

Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pange tähele – see on võtnud kaare kuju. Selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakendusvaldkondades.

Täisnurkne kolmnurk

Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.

Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. See on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle numbriline väärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.

Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.

Ülejäänud kahte külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi.

Definitsioon

Lõpuks, geomeetrilise aluse kindla mõistmisega võib pöörduda siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratluse poole.

Nurga siinus on vastasjala (st soovitud nurga vastaskülje) ja hüpotenuusi suhe. Nurga koosinus on külgneva külje ja hüpotenuusi suhe.

Pidage meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla rohkem kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim, olenemata sellest, kui pikk jalg on, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega, mis on suurem kui 1, otsige arvutustes või põhjendustes viga. See vastus on selgelt vale.

Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Siinuse jagamine koosinusega annab sama tulemuse. Vaata: valemi järgi jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, seejärel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama seose, mis puutuja definitsioonis.

Vastavalt sellele on kotangent nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame, kui jagame ühe puutujaga.

Niisiis, oleme vaadanud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangens definitsioone ning saame liikuda edasi valemite juurde.

Kõige lihtsamad valemid

Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Kuid just seda on vaja probleemide lahendamisel.

Esimene valem, mida pead teadma trigonomeetriat õppima asudes, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid säästab aega, kui on vaja teada pigem nurga kui külje suurust.

Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on samuti lahendamisel väga populaarne kooliülesanded: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on sama väide, mis esimeses valemis, ainult identiteedi mõlemad pooled olid jagatud koosinuse ruuduga. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe teeb seda trigonomeetriline valem täiesti tundmatu. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreeglid ja mitu põhivalemid võite igal ajal vajaliku rohkem välja võtta keerulised valemid paberitükil.

Topeltnurkade valemid ja argumentide liitmine

Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud siinuse ja koosinuse väärtustega nurkade summa ja erinevuse jaoks. Need on toodud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.

Vormis on argumentidega seotud ka valemid kahekordne nurk. Need on täielikult tuletatud eelmistest – harjutuseks proovige need ise hankida, võttes alfanurga võrdseks beetanurgaga.

Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab ümber paigutada, et vähendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa võimsust.

Teoreemid

Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsasti aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.

Siinuse teoreem ütleb, et kui jagame kolmnurga mõlema külje pikkuse vastasnurgaga, saame sama number. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.

Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.

Ettevaatamatud vead

Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks vaatame kõige populaarsemaid.

Esiteks, te ei tohiks teisendada murde kümnendkohtadeks enne, kui olete lõpptulemuse saanud – võite jätta vastuse järgmisele harilik murd, kui tingimustes ei ole märgitud teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et probleemi igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida autori idee kohaselt tuleks vähendada. Sel juhul raiskate oma aega mittevajalikule matemaatilised tehted. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme juur või kahe juur, sest neid leidub probleemides igal sammul. Sama kehtib ka "koledate" numbrite ümardamise kohta.

Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise nendevahelise nurga koosinusega, saate mitte ainult täiesti vale tulemuse, vaid demonstreerite ka täielikku arusaamatust teemast. See on hullem kui hooletu viga.

Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segi ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.

Rakendus

Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle praktilist tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, mille abil saate arvutada kauguse kauged tähed, ennustada meteoriidi langemist, saata uurimissond teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on kõige rohkem ilmsed näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.

Lõpuks

Nii et sa oled siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.

Kogu trigonomeetria mõte taandub asjaolule, et kolmnurga teadaolevate parameetrite abil peate arvutama tundmatud. Kokku on kuus parameetrit: pikkus kolm küljed ja suurused kolm nurka. Ainus erinevus ülesannetes seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.

Nüüd teate, kuidas jalgade või hüpotenuusi teadaolevate pikkuste põhjal leida siinust, koosinust, puutujat. Kuna need terminid ei tähenda muud kui suhet ja suhe on murdosa, peamine eesmärk trigonomeetriline probleem on tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juurte leidmine. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.

Selles artiklis näitame, kuidas anda nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid trigonomeetrias. Siin räägime märgetest, toome kirjete näiteid ja toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon

Vaatame, kuidas moodustub siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi idee koolikursus matemaatika. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem uuritakse trigonomeetriat, mis räägib pöördenurga ja arvu siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Esitagem kõik need määratlused, tooge näiteid ja tehkem vajalikud kommentaarid.

Täisnurkse kolmnurga teravnurk

Geomeetria kursusest teame täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Anname nende sõnastused.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja– see on vastaskülje ja külgneva külje suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens- see on külgneva külje ja vastaskülje suhe.

Seal tutvustatakse ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistusi - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.

Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastaskülje BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.

Need määratlused võimaldavad teil arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal, samuti teadaolevad väärtused leida teiste külgede pikkused siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi ja ühe külje pikkuse abil. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC võrdne 3-ga ja hüpotenuus AB on võrdne 7-ga, siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse väärtuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/ AB = 3/7.

Pöörlemisnurk

Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurga suurus, erinevalt teravnurgast, ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga. Pöörlemisnurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.

Selles valguses on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte teravnurga, vaid suvalise suurusega nurga - pöördenurga - kohta. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, kuhu läheb nn alguspunkt A(1, 0) pärast selle pööramist nurga α võrra ümber punkti O – ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tanα=y/x.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga kotangentsα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y.

Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel nurga α võrra. Kuid puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb null-abstsissiga (0, 1) või (0, −1) punkti, ja see toimub nurkade 90°+180° k, k∈Z (π) korral /2+π·k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis see ei ole defineeritud nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaadiga punkti (1, 0) või (−1, 0), ja see juhtub nurkade 180° k, k ∈Z korral. (π·k rad).

Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ja kotangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definitsioonid hõlmavad meile juba teadaolevaid tähiseid sin, cos, tg ja ctg, neid kasutatakse ka pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistamiseks (mõnikord võib leida tangensile ja kotangensile vastavad tähised tan ja cot) . Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletage meelde, et nurga radiaani mõõtmise kirjutamisel jäetakse tähis "rad" sageli välja. Näiteks kolme pi rad suuruse pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3·π.

Selle punkti kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas “pöördenurk” või sõna “pööramine”. See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või, veelgi lühem, "siinus alfa". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.

Samuti ütleme, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0 kuni 90 kraadise pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. Me põhjendame seda.

Numbrid

Definitsioon.

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on number võrdne siinusega, pöördenurga koosinus, puutuja ja kotangens vastavalt t radiaanides.

Näiteks arvu 8 koosinus π on definitsiooni järgi arv võrdne koosinusega nurk 8·π rad. Ja nurga koosinus on 8 π rad võrdne ühega, seega on arvu 8·π koosinus võrdne 1-ga.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. See seisneb selles, et kõik tegelik arv t määratakse ühikuringi punktile, mille keskpunkt on alguses ristkülikukujuline süsteem koordinaadid ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu. Vaatame seda üksikasjalikumalt.

Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:

• arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0);
• positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringi alguspunktist vastupäeva ja käime mööda teed pikkus t;
• negatiivne arv t seostatakse ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist päripäeva ja kõnnime tee pikkusega |t| .

Nüüd liigume edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab punktile ringil A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).

Definitsioon.

Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaat, st sint=y.

Definitsioon.

Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks, st kulu=x.

Definitsioon.

Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, st tgt=sint/kulu.

Definitsioon.

Arvu kotangents t on arvule t vastava ühikringjoone punkti abstsissi ja ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe: ctgt=kulu/sint.

Siinkohal märgime, et just antud määratlused on kooskõlas selle lõigu alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel t radiaani nurga võrra.

Seda punkti tasub veel täpsustada. Oletame, et meil on kirje sin3. Kuidas aru saada, kas me räägime arvu 3 siinusest või 3 radiaani pöördenurga siinusest? Tavaliselt on see kontekstist selge muidu see pole tõenäoliselt põhimõttelise tähtsusega.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Vastavalt andmetele aastal eelmine lõik definitsioonidele vastab iga pöördenurk α täielikult konkreetne väärtus sinα on sama, mis cosα väärtus. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα väärtustele ja väärtused, mis ei ole 180°k, k∈Z (πk rad ) – väärtused of ctgα . Seetõttu on sinα, cosα, tanα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi saame rääkida funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens numbriline argument. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab väga konkreetsele väärtusele sint ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k, k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k, k∈Z - väärtused ctgt.

Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt selgub kontekstist, kas tegemist on nurkargumendi või numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõtmiseks (nurkargumendiks) kui ka arvuliseks argumendiks.

Koolis õpime aga põhiliselt arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka neile vastavad funktsiooniväärtused on arvud. Seega, kui me räägime konkreetselt funktsioonide osas on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.

Geomeetria ja trigonomeetria definitsioonide seos

Kui arvestada pöördenurga α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. teravnurk täisnurkses kolmnurgas, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.

Kujutame seda ristkülikukujuliselt Descartes'i süsteem koordinaadid Oxy unit ring. Märgime alguspunktiks A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y). Kukkugem risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.

Lihtne on näha, et täisnurkses kolmnurga nurgas A 1 OH võrdne nurgaga pöörde α korral on selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdne punkti A 1 abstsissiga, st |OH|=x, nurga vastas oleva jala A 1 H pikkus võrdub nurga ordinaadiga. punkt A 1, st |A 1 H|=y ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kui α on 0 kuni 90 kraadi.

Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.

Bibliograafia.

1. Geomeetria. 7-9 klassid: õpik üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geomeetria: õpik. 7-9 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Haridus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ja elementaarsed funktsioonid : Õpetus 9. klassi õpilastele Keskkool/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. M.: Haridus, 1969.
4. Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Haridus, 1990. - 272 lk. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. Kell 2 p 1. osa: õpetus õppeasutused (profiili tase)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ja alustas matemaatiline analüüs. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I.: Haridus, 2010.- 368 lk.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.