Teadmiste hüpermarket >>Matemaatika >>Matemaatika 10. klass >>
Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik
Vaatleme avaldist 2x ja leiame selle väärtused muutuja x erinevate ratsionaalsete väärtuste jaoks, näiteks kui x = 2;
Üldiselt olenemata sellest, millise ratsionaalse tähenduse me muutujale x omistame, saame alati välja arvutada avaldise 2 x vastava arvväärtuse. Seega võime rääkida eksponentsiaalsest funktsioonid y=2 x, defineeritud ratsionaalarvude hulgal Q:
Vaatame selle funktsiooni mõningaid omadusi.
Vara 1.- funktsiooni suurendamine. Tõestust teostame kahes etapis.
Esimene aste. Tõestame, et kui r on positiivne ratsionaalarv, siis 2 r >1.
Võimalikud on kaks juhtumit: 1) r on naturaalarv, r = n; 2) tavaline taandamatu murdosa,
Viimase võrratuse vasakul pool on meil , ja paremal pool 1. See tähendab, et viimase võrratuse saab vormile ümber kirjutada
Nii et igal juhul kehtib võrratus 2 r > 1, mida oli vaja tõestada.
Teine faas. Olgu x 1 ja x 2 arvud ning x 1 ja x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(vahet x 2 - x 1 tähistasime tähega r).
Kuna r on positiivne ratsionaalarv, siis esimeses etapis tõestatuga on 2 r > 1, s.o. 2 r -1 >0. Arv 2x" on samuti positiivne, mis tähendab, et korrutis 2 x-1 (2 Г -1) on samuti positiivne. Seega oleme tõestanud, et ebavõrdsus 2 Xg -2x" >0.
Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Vara 2. altpoolt piiratud ja ülalt mitte piiratud.
Funktsiooni piiritus altpoolt tuleneb võrratusest 2 x >0, mis kehtib mis tahes x väärtuste korral funktsiooni definitsioonipiirkonnast. Samal ajal, olenemata sellest, millise positiivse arvu M võtate, saate alati valida astendaja x nii, et täidetakse ebavõrdsus 2 x >M - mis iseloomustab funktsiooni piiramatust ülalt. Toome rea näiteid.
Vara 3. ei oma väikseimat ega ka suurimat väärtust.
See, et see funktsioon ei ole kõige olulisem, on ilmne, sest nagu me just nägime, ei ole see ülalpool piiratud. Kuid see on altpoolt piiratud, miks pole sellel minimaalset väärtust?
Oletame, et 2 r on funktsiooni väikseim väärtus (r on mingi ratsionaalne näitaja). Võtame ratsionaalarvu q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
See kõik on hea, aga miks me käsitleme funktsiooni y-2 x ainult ratsionaalarvude hulga puhul, miks me ei käsitle seda nagu teisi tuntud funktsioone tervel arvureal või mõnel pideval intervallil. numbririda? Mis meid takistab? Mõelgem olukorrale.
Arvurida ei sisalda mitte ainult ratsionaalseid, vaid ka irratsionaalseid arve. Varem uuritud funktsioonide puhul see meid ei häirinud. Näiteks leidsime funktsiooni y = x2 väärtused võrdselt hõlpsalt nii x ratsionaalse kui ka irratsionaalse väärtuse jaoks: piisas antud x väärtuse ruudustamiseks.
Kuid funktsiooniga y=2 x on olukord keerulisem. Kui argumendile x on antud ratsionaalne tähendus, siis põhimõtteliselt saab x arvutada (minge uuesti tagasi lõigu algusesse, kus me täpselt nii tegime). Mis siis, kui argumendile x antakse irratsionaalne tähendus? Kuidas näiteks arvutada? Me ei tea seda veel.
Matemaatikud on leidnud väljapääsu; nii nad arutlesid.
On teada, et 
Mõelge ratsionaalarvude jadale - arvu kümnendarvude lähendused puuduse tõttu:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
On selge, et 1,732 = 1,7320 ja 1,732050 = 1,73205. Selliste korduste vältimiseks jätame kõrvale need jada liikmed, mis lõpevad numbriga 0.
Siis saame kasvava järjestuse:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Vastavalt sellele järjestus suureneb
Kõik selle jada liikmed on positiivsed arvud, mis on väiksemad kui 22, s.o. see järjestus on piiratud. Weierstrassi teoreemi (vt § 30) kohaselt, kui jada on kasvav ja piiratud, siis ta koondub. Lisaks teame §-st 30, et kui jada koondub, teeb see seda ainult ühe piirini. Lepiti kokku, et seda ühtset piiri tuleks pidada arvavaldise väärtuseks. Ja pole oluline, et numbrilise avaldise 2 ligikaudset väärtust on väga raske leida; on oluline, et see oleks konkreetne arv (lõppude lõpuks ei kartnud me öelda, et see on näiteks ratsionaalse võrrandi juur, 
trigonomeetrilise võrrandi juur, mõtlemata sellele, mis need arvud täpselt on: 
Niisiis, oleme välja selgitanud, mis tähenduse matemaatikud sümbolile 2^ omistavad. Samamoodi saate määrata, mis ja üldiselt mis on a a, kus a on irratsionaalne arv ja a > 1.
Aga mis siis, kui 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Nüüd saame rääkida mitte ainult suvaliste ratsionaalsete astendajatega võimsustest, vaid ka suvaliste reaalastendajatega võimsustest. On tõestatud, et mistahes reaalastendajatega kraadidel on kõik tavalised kraadiomadused: samade alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse, jagamisel lahutatakse, astme tõstmisel astmeni korrutatakse, jne. Kuid kõige tähtsam on see, et nüüd saame rääkida funktsioonist y-ax, mis on defineeritud kõigi reaalarvude hulgal.
Pöördume tagasi funktsiooni y = 2 x juurde ja koostame selle graafiku. Selleks loome funktsiooni väärtuste tabeli y=2x:
Märgime punktid koordinaattasandile (joonis 194), need tähistavad teatud joont, tõmmake see (joon 195).
Funktsiooni y - 2 x omadused:
1)
2) ei ole paaris ega paaritu; 248
3) suureneb;
5) ei oma suurimaid ega väikseimaid väärtusi;
6) pidev;
7)
8) kumer allapoole.
Funktsiooni y-2 x loetletud omaduste ranged tõestused on antud kõrgema matemaatika käigus. Mõnda neist omadustest käsitlesime ühel või teisel määral varem, osa neist on selgelt näidatud konstrueeritud graafikuga (vt joonis 195). Näiteks funktsiooni paarsuse või veidruse puudumine on geomeetriliselt seotud graafiku sümmeetria puudumisega vastavalt y-telje või alguspunkti suhtes.
Igal funktsioonil kujul y = a x, kus a > 1, on sarnased omadused. Joonisel fig. Koostati 196 ühes koordinaatsüsteemis, funktsioonide graafikud y=2 x, y=3 x, y=5 x.
Vaatleme nüüd funktsiooni ja loome selle jaoks väärtuste tabeli:
Märgime punktid koordinaattasandile (joonis 197), need tähistavad teatud joont, tõmmake see (joon 198).
Funktsiooni omadused
1)
2) ei ole paaris ega paaritu;
3) väheneb;
4) ülalt piiramata, alt piiratud;
5) ei ole ei suurimat ega väikseimat väärtust;
6) pidev;
7)
8) kumer allapoole.
Igal funktsioonil kujul y = a x on sarnased omadused, kus O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Pange tähele: funktsioonigraafikud 
need. y=2 x, sümmeetriline y-telje suhtes (joonis 201). See on üldlause (vt § 13) tagajärg: funktsioonide y = f(x) ja y = f(-x) graafikud on y-telje suhtes sümmeetrilised. Samamoodi funktsioonide y = 3 x ja graafikud
Öeldu kokkuvõtteks anname eksponentsiaalfunktsiooni definitsiooni ja toome välja selle olulisemad omadused.
Definitsioon. Vormi funktsiooni nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks.
Eksponentfunktsiooni y = a x põhiomadused
Funktsiooni y=a x graafik a> 1 korral on näidatud joonisel fig. 201 ja 0 jaoks<а < 1 - на рис. 202.
Joonisel fig. 201 või 202 nimetatakse eksponendiks. Tegelikult nimetavad matemaatikud eksponentsiaalfunktsiooni ennast tavaliselt y = a x. Seega kasutatakse terminit "eksponent" kahes tähenduses: nii eksponentsiaalfunktsiooni kui ka eksponentsiaalfunktsiooni graafiku nimetamiseks. Tavaliselt on tähendus selge, kas me räägime eksponentsiaalfunktsioonist või selle graafikust.
Pöörake tähelepanu eksponentsiaalfunktsiooni y=ax graafiku geomeetrilisele tunnusele: x-telg on graafiku horisontaalne asümptoot. Tõsi, seda väidet selgitatakse tavaliselt järgmiselt.
X-telg on funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot
Teisisõnu
Esimene oluline märkus. Koolilapsed ajavad sageli segi mõisted: võimsusfunktsioon, eksponentsiaalfunktsioon. Võrdlema:
Need on näited võimsusfunktsioonidest; 
Need on eksponentsiaalfunktsioonide näited.
Üldiselt on y = x r, kus r on konkreetne arv, astmefunktsioon (argument x sisaldub astme baasis);
y = a", kus a on konkreetne arv (positiivne ja 1-st erinev), on eksponentsiaalne funktsioon (argument x sisaldub eksponendis).
"Eksootilist" funktsiooni nagu y = x ei peeta eksponentsiaalseks ega võimsuseks (seda nimetatakse mõnikord eksponentsiaalseks).
Teine oluline märkus. Tavaliselt ei arvestata eksponentsiaalfunktsiooni, mille alus on a = 1 või alus a, mis rahuldab ebavõrdsust a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 ja a Fakt on see, et kui a = 1, siis iga x väärtuse korral kehtib võrdus Ix = 1. Seega eksponentsiaalfunktsioon y = a" a = 1-ga "degenereerub" konstantseks funktsiooniks y = 1 - see ei ole huvitav. Kui a = 0, siis 0x = 0 x mis tahes positiivse väärtuse korral, st saame funktsiooni y = 0, mis on defineeritud x > 0 jaoks - see on samuti ebahuvitav. Kui lõpuks a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Enne näidete lahendamise juurde asumist pane tähele, et eksponentsiaalfunktsioon erineb oluliselt kõigist seni uuritud funktsioonidest. Uue objekti põhjalikuks uurimiseks peate seda kaaluma erinevate nurkade alt, erinevates olukordades, nii et näiteid on palju.
Näide 1.
Lahendus, a) Olles koostanud ühes koordinaatsüsteemis funktsioonide y = 2 x ja y = 1 graafikud, märkame (joonis 203), et neil on üks ühine punkt (0; 1). See tähendab, et võrrandil 2x = 1 on üks juur x =0.
Seega saame võrrandist 2x = 2° x = 0.
b) Olles koostanud funktsioonide y = 2 x ja y = 4 graafikud ühes koordinaatsüsteemis, märkame (joonis 203), et neil on üks ühine punkt (2; 4). See tähendab, et võrrandil 2x = 4 on üks juur x = 2.
Seega saame võrrandist 2 x = 2 2 x = 2.
c) ja d) Samadele kaalutlustele tuginedes järeldame, et võrrandil 2 x = 8 on üks juur ja selle leidmiseks ei pea koostama vastavate funktsioonide graafikuid;
on selge, et x = 3, kuna 2 3 = 8. Samamoodi leiame võrrandi ainsa juure
Seega saime võrrandist 2x = 2 3 x = 3 ja võrrandist 2 x = 2 x saime x = -4.
e) Funktsiooni y = 2 x graafik asub funktsiooni y = 1 graafiku kohal, kui x > 0 - see on selgelt loetav joonisel fig. 203. See tähendab, et võrratuse 2x > 1 lahend on intervall
f) Funktsiooni y = 2 x graafik asub funktsiooni y = 4 graafiku all punktis x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Tõenäoliselt märkasite, et kõigi näite 1 lahendamisel tehtud järelduste aluseks oli funktsiooni y = 2 x monotoonsuse (suurenemise) omadus. Sarnane arutluskäik võimaldab meil kontrollida kahe järgmise teoreemi paikapidavust.
Lahendus. Võite jätkata nii: koostage funktsiooni y-3 x graafik, seejärel venitage seda x-teljelt 3 korda ja tõstke saadud graafikut 2 skaalaühiku võrra ülespoole. Kuid mugavam on kasutada asjaolu, et 3-3* = 3 * + 1, ja seetõttu koostada funktsiooni y = 3 x * 1 + 2 graafik.
Liigume edasi, nagu oleme sellistel juhtudel korduvalt teinud, abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis (-1; 2) - punktiirjooned x = - 1 ja 1x = 2 joonisel fig. 207. "Seome" funktsiooni y=3* uue koordinaatsüsteemiga. Selleks valige funktsiooni kontrollpunktid 
, kuid me ehitame need mitte vanasse, vaid uude koordinaatsüsteemi (need punktid on märgitud joonisel 207). Seejärel konstrueerime punktidest eksponendi – see on vajalik graafik (vt joonis 207).
Antud funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks segmendil [-2, 2] kasutame ära asjaolu, et antud funktsioon kasvab ja seetõttu võtab see oma väikseimad ja suurimad väärtused vastavalt segmendi vasak ja parem ots.
Niisiis:
Näide 4. Lahenda võrrand ja võrratused:
Lahendus, a) Koostame funktsioonide y=5* ja y=6-x graafikud ühes koordinaatsüsteemis (joonis 208). Nad ristuvad ühes punktis; joonise järgi otsustades on see punkt (1; 5). Kontroll näitab, et tegelikult punkt (1; 5) rahuldab nii võrrandit y = 5* kui ka võrrandit y = 6-x. Selle punkti abstsiss on antud võrrandi ainus juur.
Seega on võrrandil 5 x = 6 - x üks juur x = 1.
b) ja c) Eksponent y-5x asub sirge y=6-x kohal, kui x>1, on see joonisel fig. 208. See tähendab, et võrratuse 5*>6 lahendi saab kirjutada järgmiselt: x>1. Ja lahendus ebavõrdsusele 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Vastus: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
Näide 5. Antud funktsioon 
Tõesta seda 
Lahendus. Vastavalt seisukorrale, mis meil on.
Eksponentfunktsioon
Funktsioon kujul y = a x , kus a on suurem kui null ja a ei ole võrdne ühega, nimetatakse eksponentsiaalfunktsiooniks. Eksponentfunktsiooni põhiomadused:
1. Eksponentfunktsiooni määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
2. Eksponentfunktsiooni väärtuste vahemik on kõigi positiivsete reaalarvude hulk. Mõnikord on seda komplekti lühiduse huvides tähistatud kui R+.
3. Kui eksponentsiaalfunktsioonis on alus a suurem kui üks, siis funktsioon kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Kui aluse a eksponentsiaalfunktsioonis on täidetud järgmine tingimus 0
4. Kehtivad kõik kraadide põhiomadused. Kraadide põhiomadusi esindavad järgmised võrdsused:
a x *a y =a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x =a x /b x ;
(a x ) y =a (x * y) .
Need võrdsused kehtivad kõigi x ja y reaalväärtuste puhul.
5. Eksponentfunktsiooni graafik läbib alati punkti koordinaatidega (0;1)
6. Sõltuvalt sellest, kas eksponentsiaalfunktsioon suureneb või väheneb, on selle graafikul üks kahest kujust.
Järgmisel joonisel on kujutatud kasvava eksponentsiaalfunktsiooni graafik: a>0.
Järgmisel joonisel on näidatud kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni graafik: 0
Punkti (0;1) läbivad nii kasvava eksponentsiaalfunktsiooni kui ka kahaneva eksponentsiaalfunktsiooni graafik vastavalt viiendas lõigus kirjeldatud omadusele.
7. Eksponentfunktsioonil ei ole äärmuspunkte, ehk teisisõnu tal puuduvad funktsiooni miinimum- ja maksimumpunktid. Kui arvestame funktsiooni mis tahes konkreetsel segmendil, võtab funktsioon selle intervalli lõpus minimaalsed ja maksimaalsed väärtused.
8. Funktsioon ei ole paaris ega paaritu. Eksponentfunktsioon on üldvormi funktsioon. Seda on näha graafikutelt, ükski neist ei ole sümmeetriline ei Oy telje ega koordinaatide alguspunkti suhtes.
Logaritm
Logaritme on koolimatemaatikakursustes alati raskeks teemaks peetud. Logaritmi definitsioone on palju erinevaid, kuid millegipärast kasutatakse enamikes õpikutes neist kõige keerukamat ja ebaõnnestunumat.
Logaritmi määratleme lihtsalt ja selgelt. Selleks loome tabeli:
Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks tõstma kaks. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.
Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:
Definitsioon
Logaritm aluseks võtta argumendi x a on võimsus, milleni numbrit tuleb tõsta a numbri saamiseks x.
Määramine
log a x = b
kus a on alus, x on argument, b - tegelikult, millega logaritm võrdub.
Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama eduga log 2 64 = 6, kuna 2 6 = 64.
Nimetatakse arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsioonilogaritm . Niisiis, lisame oma tabelisse uue rea:
Kahjuks ei arvutata kõiki logaritme nii lihtsalt. Näiteks proovige leida log 2 5. Arv 5 ei ole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil intervallil. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Selliseid arve nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid arve saab kirjutada lõpmatuseni ja neid ei korrata kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti:
Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on jõud , millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.
Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et Määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:
Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse.
Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!
Sellised piirangud kutsutakse vastuvõetavate väärtuste vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Pange tähele, et arvule piiranguid pole b (logaritmi väärtus) ei kattu. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.
Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, kus pole vaja teada logaritmi VA-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DL-nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.
Nüüd arvestage kindraliga logaritmide arvutamise skeem. See koosneb kolmest etapist:
Esitage põhjus a ja argument x astme kujul, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
Lahenda muutuja suhtes b võrrand: x = a b ;
Saadud arv b on vastus.
See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga oluline: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama on kümnendmurdudega: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.
Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:
Arvutage logaritm: log 5 25
Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Saime vastuse: 2.
Arvutage logaritm:
Kujutleme alust ja argumenti kolme astmena: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4;
Loome ja lahendame võrrandi:
Saime vastuseks: −4.
−4
Arvutage logaritm: log 4 64
Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Saime vastuse: 3.
Arvutage logaritm: log 16 1
Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Loome ja lahendame võrrandi:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Saime vastuseks: 0.
Arvutage logaritm: log 7 14
Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
Eelmisest lõigust järeldub, et logaritm ei lähe arvesse;
Vastus ei muutu: logi 7 14.
logi 7 14
Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt arvestage see peamiste tegurite hulka. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.
Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;
8, 81 - täpne kraad; 48, 35, 14 - ei.
Pange tähele ka seda, et algarvud ise on alati iseenda täpsed astmed.
Kümnendlogaritm
Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.
Definitsioon
Kümnendlogaritm argumendist x on logaritm alusele 10, st. võimsus, milleni tuleb arvu saamiseks tõsta arv 10 x.
Määramine
lg x
Näiteks log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.
Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x
Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.
Naturaalne logaritm
On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnendkoht. Me räägime naturaallogaritmist.
Definitsioon
Naturaalne logaritm argumendist x on aluse logaritm e , st. võimsus, milleni number tuleb tõsta e numbri saamiseks x.
Määramine
ln x
Paljud inimesed küsivad: mis on number e? See on irratsionaalne arv, selle täpset väärtust ei saa leida ega üles kirjutada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459...
Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage vaid meeles, et e - naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x
Seega ln e = 1; ln e 2 = 2; Kell 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt on mis tahes ratsionaalarvu naturaallogaritm irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.
Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.
Logaritmide põhiomadused
Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Kuid kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, on neil omad reeglid, mida nimetatakse põhiomadusteks.
Neid reegleid peate kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: log a x ja logi a y . Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
logi a x + palk jah = log a ( x · y );
logi a x − logi jah = log a ( x : y ).
Niisiis, logaritmide summa võrdub korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: siin on põhipunkt samadel põhjustel. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi " "). Vaadake näiteid ja vaadake:
Leidke avaldise väärtus: log 6 4 + log 6 9.
Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Leidke avaldise väärtus: log 2 48 − log 2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Leidke avaldise väärtus: log 3 135 − log 3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).
Eksponenti väljavõtmine logaritmist
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Siis selle astme eksponendi saab logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi Kõik need reeglid on mõistlikud, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Leidke avaldise väärtus: log 7 49 6 .
Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meil on:
Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.
Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log 2 7. Kuna log 2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.
Üleminek uuele vundamendile
Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?
Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:
Teoreem
Olgu antud logaritmi logi a x . Siis suvalise numbri jaoks c nii, et c > 0 ja c ≠ 1, võrdsus on tõene:
Eelkõige, kui paneme c = x, saame:
Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.
Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:
Leidke avaldise väärtus: log 5 16 log 2 25.
Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:
Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.
Leidke avaldise väärtus: log 9 100 lg 3.
Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:
Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:
Põhiline logaritmiline identiteet
Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:
Esimesel juhul number n muutub argumendis seisva astme näitajaks. Number n võib olla absoluutselt ükskõik, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.
Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse järgmiselt:põhilogaritmiline identiteet.
Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.
Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.
Ülesanne
Leidke väljendi tähendus:
Lahendus
Pange tähele, et log 25 64 = log 5 8 – võttis lihtsalt ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:
200
Kui keegi veel ei tea, siis see oli päris ühtse riigieksami ülesanne :)
Logaritmiline ühik ja logaritmiline null
Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt saab omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.
log a a = 1 on logaritmiline ühik. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist on võrdne ühega.
log a 1 = 0 on logaritmiline null. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a 0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.
See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist!
Tähelepanu kontsentratsioon:
Definitsioon. Funktsioon liigiks nimetatakse eksponentsiaalne funktsioon .
Kommenteeri. Baasväärtustest väljajätmine a numbrid 0; 1 ja negatiivsed väärtused a on seletatav järgmiste asjaoludega:
Analüütiline väljend ise a x nendel juhtudel säilitab see oma tähenduse ja seda saab kasutada probleemide lahendamisel. Näiteks väljendi jaoks x y punkt x = 1; y = 1 jääb vastuvõetavate väärtuste vahemikku.
Koostage funktsioonide graafikud: ja.
 |
 |
| Eksponentfunktsiooni graafik | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Eksponentfunktsiooni omadused
| Eksponentfunktsiooni omadused | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Funktsioonide ulatus | ||
| 3. Ühikuga võrdlemise intervallid | juures x> 0, a x > 1 | juures x > 0, 0< a x < 1 |
| juures x < 0, 0< a x < 1 | juures x < 0, a x > 1 | |
| 4. Paaris, paaritu. | Funktsioon ei ole paaris ega paaritu (üldkuju funktsioon). | |
| 5. Monotoonsus. | suureneb monotoonselt võrra R | väheneb monotoonselt võrra R |
| 6. Äärmused. | Eksponentfunktsioonil ei ole äärmusi. | |
| 7. Asümptoot | O-telg x on horisontaalne asümptoot. | |
| 8. Mis tahes tegelike väärtuste jaoks x Ja y; |  |
|
Kui tabel on täidetud, lahendatakse ülesandeid paralleelselt täitmisega.
Ülesanne nr 1. (Leia funktsiooni määratluspiirkond).
Millised argumentide väärtused kehtivad funktsioonide jaoks:
Ülesanne nr 2. (Funktsiooni väärtusvahemiku leidmiseks).
Joonisel on kujutatud funktsiooni graafik. Määrake funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste vahemik:
 |
 |
 |
 |
Ülesanne nr 3. (Märkida võrdlusvahemikud ühega).
Võrrelge kõiki järgmisi võimsusi ühega:
Ülesanne nr 4. (Uurida monotoonsuse funktsiooni).
Võrrelge reaalarve suuruse järgi m Ja n Kui:
Ülesanne nr 5. (Uurida monotoonsuse funktsiooni).
Tehke järeldus aluse kohta a, Kui:
y(x) = 10 x; f(x) = 6 x; z(x) – 4x
Kuidas on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud üksteise suhtes x > 0, x = 0, x< 0?
Järgmised funktsioonigraafikud on joonistatud ühel koordinaattasandil:
y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5) x; z(x) = (0,8) x .
Kuidas on eksponentsiaalfunktsioonide graafikud üksteise suhtes x > 0, x = 0, x< 0?
| Number
üks olulisemaid konstante matemaatikas. Definitsiooni järgi see võrdne jada piiriga
piiramatuga
suurendades n
. Määramine e sisenes Leonard Euler
1736. aastal. Ta arvutas selle arvu esimesed 23 numbrit kümnendsüsteemis ja arv ise nimetati Napieri auks "mitte-Pierre'i numbriks".
Number e mängib matemaatilises analüüsis erilist rolli. Eksponentfunktsioon koos alusega e, nimetatakse eksponendiks ja on määratud y = e x. Esimesed märgid numbrid e lihtne meelde jätta: kaks, koma, seitse, Leo Tolstoi sünniaasta - kaks korda, nelikümmend viis, üheksakümmend, nelikümmend viis. |
 |
Kodutöö:
Kolmogorovi lõige 35; nr 445-447; 451; 453.
Korrake moodulmärgi all muutujat sisaldavate funktsioonide graafikute koostamise algoritmi.
1. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y(x) = a x, olenevalt eksponendist x, astme a aluse konstantse väärtusega, kus a > 0, a ≠ 0, xϵR (R on reaalarvude komplekt).
Mõelgem funktsiooni graafik, kui alus ei täida tingimust: a>0
a) a< 0
Kui a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Kui a = 0, on funktsioon y = defineeritud ja selle konstantne väärtus on 0
c) a =1
Kui a = 1, on funktsioon y = defineeritud ja selle konstantne väärtus on 1
Funktsiooni domeen (DOF) Funktsiooni lubatud väärtuste vahemik (APV) 3. Funktsiooni nullpunktid (y = 0) 4. Lõikepunktid ordinaatteljega oy (x = 0) 5. Funktsioonide suurendamine, vähenemine Kui , siis funktsioon f(x) suureneb 6. Paaris, paaritu funktsioon Funktsioon y = ei ole sümmeetriline telje 0y ja koordinaatide alguspunkti suhtes, seega pole ta paaris ega paaritu. (Üldfunktsioon) 7. Funktsioonil y = ei ole äärmust 8. Reaalastendajaga kraadi omadused: Olgu a > 0; a≠1 Siis xϵR jaoks; yϵR: Kraadi monotoonsuse omadused: kui siis Kui a> 0, siis . 9. Funktsiooni suhteline asend Mida suurem on alus a, seda lähemal telgedele x ja oy a > 1, a = 20 Näide 1. Tutvustame esmalt eksponentsiaalfunktsiooni definitsiooni. Eksponentfunktsioon $f\left(x\right)=a^x$, kus $a >1$. Tutvustame eksponentsiaalfunktsiooni omadusi $a >1$ korral. \ \ [juuri pole\] \ Ristumine koordinaattelgedega. Funktsioon ei lõiku $Ox$ teljega, vaid lõikub $Oy$ teljega punktis $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \ [juuri pole\] \ Graafik (joonis 1). Joonis 1. Funktsiooni $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$ graafik. Tutvustame eksponentsiaalfunktsiooni omadusi $0 juures Määratluspiirkond on kõik reaalarvud. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funktsioon pole paaris ega paaritu. $f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses. Väärtuste vahemik on intervall $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \ [juuri pole\] \ \ [juuri pole\] \ Funktsioon on kumer kogu määratluspiirkonna ulatuses. Käitumine domeeni otstes: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Graafik (joonis 2). Uurige ja joonistage funktsioon $y=2^x+3$. Lahendus. Viime läbi uuringu, kasutades ülaltoodud diagrammi: Määratluspiirkond on kõik reaalarvud. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funktsioon pole paaris ega paaritu. $f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses. Väärtuste vahemik on intervall $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses. $f(x)\ge 0$ kogu määratluspiirkonna ulatuses. Ristumine koordinaattelgedega. Funktsioon ei lõiku $Ox$ teljega, vaid lõikub $Oy$ teljega punktis ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ Funktsioon on kumer kogu määratluspiirkonna ulatuses. Käitumine domeeni otstes: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Graafik (joonis 3). Joonis 3. Funktsiooni $f\left(x\right)=2^x+3$ graafik
2. Vaatame eksponentsiaalfunktsiooni lähemalt:
0
Kui , siis funktsioon f(x) väheneb
Funktsioon y= , 0 juures
See tuleneb reaalastendajaga astme monotoonsuse omadustest.
b> 0; b≠1
Näiteks:
Eksponentfunktsioon on pidev mis tahes punktis ϵ R.
Kui a0, siis on eksponentsiaalfunktsioon kuju, mis on lähedane y = 0-le.
Kui a1, siis ox- ja oy-telgedest kaugemal saab graaf funktsioonile y = 1 lähedase kuju.
Koostage y = graafik
Eksponentfunktsioon $f\left(x\right)=a^x$, kus $0
Näide ülesandest eksponentsiaalfunktsiooni konstrueerimiseks
