1. lehekülg

Oksüdeeriva aine ja redutseerija keemilist koostoimet kajastavate võrrandite koostamine taandub koefitsientide määramisele lähteainete ja reaktsioonisaaduste valemites, mille koostis määratakse kogemuse põhjal.

Kriteeriumide arvu määramiseks on soovitatav koostada võrrandid nii, et iga võrrand sisaldaks kolme muutuvat suurust ab a2, a3 ning ülejäänud suurused a4 ja i sisalduksid võrrandites ükshaaval.

Võrrandite koostamine on võimalik ainult kõige lihtsamate objektide jaoks. Keerulisemaid objekte, mis hõlmavad enamikku naftatööstuse objekte, uuritakse endiselt eksperimentaalselt. Automaatjuhtimissüsteemide uurimisel kasutatavad objekti omadused on isetasandumine, mahtuvus ja viivitus.

Koostame diferentsivormis võrrandid juhtiva keskkonna ja dielektriku jaoks, samuti ühe- ja kahemõõtmeliste ülesannete jaoks, mille puhul välja väärtuste muutus vahemaa tagant toimub vastavalt ühes või kahes koordinaatsuunas.

Virtuaalsete variatsioonide võrrandite koostist demonstreeritakse mitteholoonsete seoste arvessevõtmise näitel. Näidatakse, et holonoomse sidestamise võrrand parameetriga on ideaalne sidestus, kui see kirjeldab mähisjoont. Arutatakse kahe sõltumatu muutuja ühenduste virtuaalse muutmise reegleid.

Võrrandite koostamisel on sellise tõlkega palju ühist. Kergetel juhtudel laguneb sõnaline sõnastus peaaegu mehaaniliselt mitmeks järjestikuseks osaks, millest igaüks võib olla otseselt väljendatav matemaatiliste sümbolitega. Raskematel juhtudel koosneb tingimus osadest, mida ei saa otse matemaatilisteks sümboliteks tõlkida. Sel juhul peaksime pöörama vähem tähelepanu verbaalsele sõnastusele ja keskenduma selle sõnastuse tähendusele. Enne matemaatilise tähistusega jätkamist peame võib-olla sõnastama tingimused teisiti, pidades alati silmas selle uue formuleeringu kirjutamise matemaatilisi vahendeid.

Selliste keemiliste protsesside võrrandite koostamine ei tekita raskusi.

Allpool käsitletakse variatsioonivõrrandite koostist üldkujul.

Väändenurkade Q võrrandi koostamine ja selle tuletiste määramine.

Võrrandite koostamine on võimalik ainult kõige lihtsamate objektide jaoks. Keerulisemaid objekte, mis hõlmavad enamikku naftatööstuse objekte, uuritakse endiselt eksperimentaalselt. Automaatjuhtimissüsteemide uurimisel kasutatavad objekti omadused on isetasandumine, mahtuvus ja viivitus.

Võrrandite analüütiline koostamine on võimalik ainult suhteliselt lihtsate objektide puhul, mille protsessid või füüsikalised nähtused on piisavalt hästi uuritud. Üldjuhul kirjeldatakse juhitavate objektide dünaamilisi omadusi diferentsiaalvõrranditega, mis väljendavad väljund- ja sisendkoguste sõltuvust ajas. Need võrrandid on koostatud füüsikaliste seaduste alusel, mis määravad objektides toimuvad mööduvad protsessid.

Võrrandite (6 - 58) koostamine ja nende lahendamine A ja B jaoks. Selle ülesande lahendamise üldmeetodi võib näidata tingimusel, et A ja B sisestavad võrrandi lineaarselt.

Võrrandite koostamist hõlmavate tekstülesannete lahendused on kasulik eelkõige koolilastele. 9. ja 10. klassi õppekava hõlmab laia klassi probleeme, mis nõuavad tundmatute tuvastamist, võrrandi loomist ja nende lahendamist. Allpool on vaid väike osa võimalikest probleemidest ja nende arvutamise metoodika.

Näide 1. Esimene jalgrattur läbib iga minutiga 50 meetrit vähem kui teine, seega kulutab ta 120 km pikkusele teekonnale 2 tundi rohkem kui teine. Leia teise jalgratturi kiirus (km/h).
Lahendus: ülesanne on paljude jaoks raske, kuid tegelikult on kõik lihtne.
Fraasi "Iga minutiga sõidab 50 meetrit vähem" alla on peidetud kiirus 50 m/min. Kuna ülejäänud andmed on km ja tundides, siis teisendame 50 m/min km/h-ks.
50/1000*60=3000/1000=3 (km/h).
Tähistame teise jalgratturi kiirust V-ga ja liikumisaega t-ga.
Korrutades kiiruse liikumise ajaga, saame teekonna
V*t=120.
Esimene jalgrattur sõidab aeglasemalt ja võtab seetõttu kauem aega. Koostame vastava liikumisvõrrandi
(V-3) (t+2) = 120.
Meil on kahest võrrandist koosnev süsteem kahe tundmatuga.
Esimesest võrrandist väljendame liikumisaega ja asendame selle teisega
t = 120/V; (V-3) (120/V+2) = 120.
Pärast V/2-ga korrutamist ja sarnaste liikmete rühmitamist saame järgmise ruutvõrrandi
V^2-3V-180=0.
Arvutame võrrandi diskriminandi
D=9+4*180=729=27*27
ja juured
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Me lükkame tagasi teise; sellel pole füüsilist tähendust. Leitud väärtus V = 15 km/h on teise jalgratturi kiirus.
Vastus: 15 km/h.

Näide 2. Merevesi sisaldab 5 massiprotsenti soola. Kui palju magedat vett tuleb lisada 30 kg mereveele, et soola kontsentratsioon väheneks 70%?
Lahendus: leidke, kui palju soola on 30 kg merevees
30*5/100=1,5 (kg).
Uues lahenduses on see nii
(100%-70%) = 30% 5%, moodustage proportsioonid
5% – 100%
X – 30%.
Arvutuste tegemine
X=5*30/100=150/100=1,5%.
Seega vastab 1,5 kg soola uues lahuses 1,5 protsendile. Proportsioonide liitmine uuesti
1,5 – 1,5% Y – 100% .
Merevee lahuse massi leidmine
Y=1,5*100/1,5=100 (kg).
Mageda vee koguse leidmiseks lahutage soolase vee mass
100-30=70 (kg).
Vastus: 70 kg värsket vett.

Näide 3. Mootorrattur viibis tõkkepuu juures 24 minutit. Pärast seda, suurendades kiirust 10 kilomeetrit tunnis, korvas ta 80 km pikkusel lõigul hilinemise. Enne aeglustamist määrake mootorratturi kiirus (km/h).
Lahendus: ülesanne kiiruse võrrandi koostamiseks. Tähistame mootorratturi algkiirust V-ga ja aega, mille jooksul ta pidi sõitma, t-ga. Tundmatuid on kaks, järelikult peab olema ka 2 võrrandit. Tingimuse kohaselt pidi ta selle aja jooksul läbima 80 km.
V*t=80 (km) .
Viivitatud tähendab, et aeg on vähenenud 24 minuti võrra. Tasub ka tähele panna, et selliste probleemide puhul tuleb aeg teisendada tundideks või minutiteks (olenevalt olukorrast) ja seejärel lahendada. Koostame liikumisvõrrandi, võttes arvesse vähem aega ja suuremat kiirust
(V+10) (t-24/60) = 80.
Aja ja kiiruse määramiseks on kaks võrrandit. Kuna ülesanne nõuab kiirust, siis väljendame aja esimesest võrrandist ja asendame selle teise võrrandiga
t = 80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Meie eesmärk on õpetada koostama ülesannete jaoks võrrandeid, millest saad määrata vajalikud kogused.
Seetõttu saab detailidesse laskumata saadud võrrandi 60 * V-ga korrutamisel ja 24-ga jagamisel taandada järgmiseks ruutvõrrandiks
V^2+10*V-2000=0.
Leia ise võrrandi diskriminant ja juured. Sa peaksid saama väärtuse
V = -50;
V=40.
Me loobume esimesest väärtusest; sellel pole füüsilist tähendust. Teine V = 40 km/h on mootorratturi soovitud kiirus.
Vastus: 40 km/h.

Näide 4. Kaubarong viibis teel 12 minutit ja siis 112 kilomeetri kaugusel korvas ta kaotatud aja, suurendades kiirust 10 km/h. Leidke rongi algkiirus (km/h).
Lahendus: Meil ​​on probleem, milles tundmatuteks on rongi kiirus V ja sõiduaeg t.
Kuna võrrandiskeemi kohane ülesanne vastab eelmisele, siis kirjutame tundmatute jaoks kaks võrrandit
V*t = 112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Võrrandid tuleks kirjutada täpselt sellises tähistuses. See võimaldab meil väljendada aega lihtsal viisil alates esimesest võrrandist
t = 112/V
ja asendades teisega, saada võrrand ainult kiiruse kohta
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Kui valite vale tähise, saate seda tüüpi tundmatute jaoks võrrandi
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Siin vastab t ajale pärast kiiruse suurendamist 10 km/h, kuid see pole asja mõte. Ka antud võrrandid on õiged, kuid arvutuslikust seisukohast mitte mugavad.
Proovige lahendada kaks esimest võrrandit ja viimased ning saate aru, et võrrandite koostamisel tuleks vältida teist skeemi. Seetõttu mõelge hoolikalt läbi, millise tähise sisestate, et arvutuste arvu minimeerida.
Saadud võrrand
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
taandada ruutvõrrandiks (korrutada 60*V/12-ga)
V^2+10*V-5600=0.
Vahepealsetesse arvutustesse laskumata juured saab olema
V = -80;
V=70.
Seda tüüpi ülesannete puhul saame alati negatiivse juure (V=-80), mis tuleb ära visata. Rongi kiirus on 70 km/h.

Näide 5. 10 minutit hiljem bussijaamast väljunud buss sõitis esimesse peatusesse graafikust 16 km/h suurema kiirusega ja jõudis õigel ajal kohale. Millise kiirusega (km/tunnis) peaks buss graafiku järgi sõitma, kui vahemaa bussijaamast esimese peatuseni on 16 kilomeetrit?
Lahendus: Tundmatuteks on siini kiirus V ja aeg t.
Koostame võrrandi, võttes arvesse, et viiteaeg on määratud minutites, mitte tundides
V * t = 16 - nii oleks buss pidanud sõitma nagu tavaliselt;
(V + 16) (t-10/60) = 16 on bussi hilinenud väljumise tõttu liikumise võrrand.
Seal on kaks võrrandit ja kaks tundmatut.
Avaldame aega esimesest võrrandist ja asendame selle teise võrrandiga
t = 16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Saadud kiiruse võrrand vähendatakse ruutkeskmiseks (*6 * V)
V^2+16*V-1536=0.
Ruutvõrrandi juured on
V = 32; V=-48.
Bussi nõutav kiirus on 32 km/h.
Vastus: 32 km/h.

Näide 6. Sõiduauto juht peatus 12 minutiks rehvi vahetama. Seejärel tegi ta kiirust 15 km/h tõstes tasa 60 kilomeetrile kulunud aja. Millise kiirusega (km/h) ta pärast peatumist liikus?
Lahendus: ülesande lahendamise algoritm oli eelnevates näidetes mitu korda antud. Kiirust ja aega tähistame standardselt V, t-ga.
Võrrandi kirjutamisel pidage meeles minutite tundideks teisendamist. Võrrandisüsteem näeb välja selline
V*t = 60;
(V+15) (t-12/60) = 60.
Samuti peaksite teadma või pähe õppima edasisi manipuleerimisi.
t = 60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Selle võrrandi saab taandada ruutvõrrandiks
V^2+15*V-4500=0.
Olles lahendanud ruutvõrrandi, saame järgmised kiiruse väärtused
V = 60; V=-75.
Kiirus ei saa olla negatiivne, seega on ainus õige vastus V=60 km/h.

Näide 7. Teatud kahekohaline arv on 4-kordne summa ja 3-kordne selle numbrite korrutis. Leia see number.
Lahendus: arvudega seotud ülesanded on võrrandite koostamise ülesannete hulgas tähtsal kohal ja võivad lahenduste koostamisel olla sama huvitavad kui kiirusega seotud ülesanded. Kõik, mida vajate, on probleemist hästi aru saada. Tähistame arvu ab-ga, see tähendab, et arv on võrdne 10 * a + b. Tingimusest lähtuvalt loome võrrandisüsteemi
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Kuna tundmatud sisenevad esimesse võrrandisse lineaarselt, kirjutame selle välja ja väljendame ühte tundmatutest teise kaudu
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Asendage b = 2 * a teises võrrandis
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Seega a=0; a=2. Esimest väärtust pole mõtet arvestada; kui a=2, on teine ​​number võrdne b=2*a=2*2=4 ja nõutav arv on 24.
Vastus: number on 24.

Räägime sellest, kuidas luua keemilist võrrandit, sest need on selle distsipliini põhielemendid. Tänu kõikide interaktsioonide ja ainete mustrite sügavale mõistmisele saate neid kontrollida ja rakendada erinevates tegevusvaldkondades.

Teoreetilised tunnused

Keemiliste võrrandite koostamine on keskkooli kaheksandas klassis oluline ja vastutusrikas etapp. Mis peaks sellele etapile eelnema? Enne kui õpetaja räägib õpilastele, kuidas luua keemilist võrrandit, on oluline tutvustada koolilastele terminit "valents" ja õpetada neid metallide ja mittemetallide jaoks seda väärtust määrama elementide perioodilise tabeli abil.

Kahendvalemite koostamine valentsi järgi

Selleks, et mõista, kuidas valentsi järgi keemilist võrrandit luua, peate esmalt õppima, kuidas valentsi kasutades luua valemeid kahest elemendist koosnevate ühendite jaoks. Pakume välja algoritmi, mis aitab ülesandega toime tulla. Näiteks peate looma naatriumoksiidi valemi.

Esiteks on oluline arvestada, et keemiline element, mida nimes viimasena mainitakse, peaks olema valemis esimesel kohal. Meie puhul kirjutatakse valemis esimesena naatrium, teisena hapnik. Tuletagem meelde, et oksiidid on binaarsed ühendid, milles viimane (teine) element peab olema hapnik oksüdatsiooniastmega -2 (valents 2). Järgmiseks on perioodilisustabeli abil vaja kindlaks määrata mõlema kahe elemendi valents. Selleks kasutame teatud reegleid.

Kuna naatrium on metall, mis asub 1. rühma peamises alarühmas, on selle valents konstantne väärtus, see võrdub I-ga.

Hapnik on mittemetall, kuna see on oksiidis viimane; selle valentsi määramiseks lahutame kaheksast (rühmade arv) (rühm, milles hapnik asub) 6, saame hapniku valentsi. on II.

Teatud valentside vahel leiame vähima ühiskordaja, seejärel jagame selle iga elemendi valentsiga, et saada nende indeksid. Kirjutame valmis valemi Na 2 O.

Juhised võrrandi koostamiseks

Nüüd räägime üksikasjalikumalt keemilise võrrandi kirjutamisest. Kõigepealt vaatame teoreetilisi aspekte, seejärel liigume konkreetsete näidete juurde. Seega eeldab keemiliste võrrandite koostamine teatud protseduuri.

• 1. etapp. Pärast pakutud ülesande lugemist peate kindlaks määrama, millised kemikaalid peaksid võrrandi vasakul poolel olema. Originaalkomponentide vahele asetatakse "+" märk.
• 2. etapp. Pärast võrdusmärki peate looma reaktsiooniprodukti valemi. Selliste toimingute tegemisel vajate binaarsete ühendite valemite koostamise algoritmi, mida me eespool käsitlesime.
• 3. etapp. Kontrollime iga elemendi aatomite arvu enne ja pärast keemilist koostoimet, vajadusel paneme valemite ette lisakoefitsiendid.

Põlemisreaktsiooni näide

Proovime välja mõelda, kuidas luua algoritmi abil magneesiumi põlemise keemiline võrrand. Võrrandi vasakule küljele kirjutame magneesiumi ja hapniku summa. Ärge unustage, et hapnik on kaheaatomiline molekul, seega tuleb sellele anda indeks 2. Pärast võrdusmärki koostame pärast reaktsiooni saadud produkti valemi. See on see, kus valemis on esimesena kirjutatud magneesium ja teiseks hapnik. Järgmisena määrame keemiliste elementide tabeli abil valentsid. 2. rühma (peamine alarühm) kuuluval magneesiumil on konstantne valents II, hapniku puhul 8-6 ​​lahutamisel saame ka II valentsi.

Protsessi kirje näeb välja selline: Mg+O 2 =MgO.

Selleks, et võrrand vastaks ainete massi jäävuse seadusele, on vaja järjestada koefitsiendid. Esiteks kontrollime hapniku kogust enne reaktsiooni, pärast protsessi lõppu. Kuna hapnikuaatomeid oli 2, aga tekkis ainult üks, tuleb enne magneesiumoksiidi valemit lisada paremale poole koefitsient 2. Järgmiseks loeme magneesiumiaatomite arvu enne ja pärast protsessi. Interaktsiooni tulemusel saadi 2 magneesiumi, seetõttu on lihtaine magneesiumi ees vasakul pool vajalik ka koefitsient 2.

Lõplik reaktsiooni tüüp: 2Mg+O 2 =2MgO.

Asendusreaktsiooni näide

Igasugune keemiline kokkuvõte sisaldab erinevat tüüpi interaktsioonide kirjeldust.

Erinevalt ühendist on asenduses kaks ainet nii võrrandi vasakul kui ka paremal küljel. Oletame, et peame kirjutama tsingi ja vahelise interaktsiooni reaktsiooni. Kasutame standardset kirjutamisalgoritmi. Kõigepealt kirjutame vasakule küljele tsink ja vesinikkloriidhape läbi summa ning paremale kirjutame saadud reaktsiooniproduktide valemid. Kuna tsink asub metallide elektrokeemilises pingereas enne vesinikku, siis selles protsessis tõrjub ta happest välja molekulaarse vesiniku ja moodustab tsinkkloriidi. Selle tulemusena saame järgmise kirje: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2.

Nüüd liigume edasi iga elemendi aatomite arvu võrdsustamise juurde. Kuna kloori vasakul küljel oli üks aatom ja pärast interaktsiooni oli neid kaks, on vaja vesinikkloriidhappe valemi ette panna koefitsient 2.

Selle tulemusena saame ainete massi jäävuse seadusele vastava valmis reaktsioonivõrrandi: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Järeldus

Tüüpiline keemiamärkus sisaldab tingimata mitmeid keemilisi muundumisi. Ükski selle teaduse osa ei piirdu transformatsioonide, lahustumisprotsesside, aurustumisprotsesside lihtsa sõnalise kirjeldusega; kõike kinnitavad tingimata võrrandid. Keemia eripära seisneb selles, et kõiki protsesse, mis toimuvad erinevate anorgaaniliste või orgaaniliste ainete vahel, saab kirjeldada koefitsientide ja indeksite abil.

Kuidas veel erineb keemia teistest teadustest? Keemilised võrrandid ei aita mitte ainult kirjeldada toimuvaid teisendusi, vaid ka nende põhjal teha kvantitatiivseid arvutusi, tänu millele on võimalik teostada erinevate ainete laboratoorset ja tööstuslikku tootmist.

54. Ülesanded ühe tundmatuga võrrandite koostamisel:

Probleemide lahendamisel saame rakendada võrrandite lahendamise oskusi. Järgmised näited näitavad, kuidas seda teha.

Ülesanne 1. Maja oli müügis. Ühel ostjal oli rahasumma ¾ selle väärtusest ja teisel 5/6 selle väärtusest. Kui need kokku liita, oleks neil 7000 rubla ülejääki. Mis on maja maksumus?

Oletame, et maja maksab x rubla. Siis (vastavalt probleemi algusele) oli esimesel ostjal (x · ¾) rubla. või, mis on sama asi, 3x/4 rubla ja teisel oli 5x/6 rubla. Järgmine fraas on probleemi tingimus, nimelt "kui need kokku liita, oleks neil 7000 rubla ülejääki." - on sõnadega väljendatud võrrand: nüüd on vaja seda väljendada mitte sõnadega, vaid matemaatiliste sümbolitega. Esiteks võtame sarnase fraasi lihtsustatud kujul: "kui liidate arvud a ja b, annab saadud summa m-i arvu c vastu" - selle fraasi saab matemaatiliste sümbolitega ümber kirjutada järgmiselt: a + b = c + m.

Meie ülesandes oleva võrrandi saab kirjutada täpselt samamoodi: kui liidame arvud 3x/4 ja 5x/6, annab saadud summa arvule x ülejäägi 7000 või
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

Saadud võrrandit tuleks lihtsustada: 1) korrutada võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga 12 - saame

9x + 10x = 12x + 84000

2) Liigutage tundmatud terminid vasakule:

9x + 10x - 12x = 84000

Nüüd saame probleemile vastata:

Maja maksumus oli 12 000 rubla.

2. ülesanne. Esmaspäeval puudus tundidest 13 õpilast ja teisipäeval 5 õpilast. Esmaspäeval kohalviibinud õpilaste arvu ja teisipäeval kohalviibijate arvu suhe oli 7/9. Kui palju õpilasi selles klassis oli?

Oletame, et klassis on kokku x õpilast. Siis esmaspäeval oli kohal (x – 13) õpilast ja teisipäeval (x – 5) õpilast. Fraas "esmaspäeval kohalviibivate õpilaste ja teisipäeval kohalviibivate õpilaste arvu suhe oli 7/9" on sõnadega väljendatud võrrand, mille saab matemaatiliste sümbolitega ümber kirjutada:

(x – 13) / (x – 5) = 7/9.

Lahendame selle võrrandi:

9 (x – 13) = 7 (x – 5) või 9x – 117 = 7x – 35.

Siit saame: 2x = 82 ja x = 41.
Seega oli selles klassis 41 õpilast.

3. ülesanne. Leia murd, mille nimetaja on 3 võrra suurem kui lugeja ja millest saab 4/5, kui lahutada selle lugejast ja nimetajast 1.

See ülesanne erineb mõnevõrra eelmistest. See nõuab "murru leidmist", kuid ülesande lahendamist nii, nagu 1. ja 2. ülesandes tehti, oleks võimatu: oletame, et vajalik murd on võrdne x-ga. Nii alustada oleks võimatu, sest ülesanne käsitleb eraldi lugejat ja eraldi nimetajat: lugejast tuleb lahutada 1 eraldi ja nimetajast eraldi. Seetõttu on vaja murdosa tähistada nii, et oleks näha nii selle lugeja kui ka nimetaja. Kuna öeldakse, et nimetaja on 3 võrra suurem kui lugeja, siis saame tähega x tähistada kas lugejat või nimetajat - siis on lihtne leida avaldist murru teisele liikmele ja murrule endale.

Siin on probleemi lahendus.

Oletame, et soovitud murru lugeja on võrdne x-ga. Siis on selle nimetaja x + 3 ja soovitud murd on x/(x+3). Fraas "mis (st murdosa) muutub 4/5-ks, kui 1 lahutatakse selle lugejast ja nimetajast" on võrrand ja selle saab kirjutada matemaatiliselt:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 või (x – 1) / (x + 2) = 4/5.

5 (x – 1) = 4 (x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.

Siis on murdosa nimetaja 16 ja soovitud murd on 13/16.

4. ülesanne. Üks vend on teisest 14 aastat vanem ja 6 aasta pärast on ta 2 korda vanem. Kui vana on kumbki vend?

Siin tuleb anda kaks vastust: kui vana on noorem vend ja kui vana on vanem, kuid probleemi saab lahendada võrrandiga 1 tundmatu, kuna väidetavalt on vanem vend 14 aastat vanem kui noorem. üks. Lahendame probleemi järgmiselt:

Oletame, et noorem vend on x-aastane; siis vanim on (x + 14) aastat vana.

6 aasta pärast on noorem vend (x + 6) aastat vana ja vanem vend (x + 14 + 6) aastat vana või (x + 20) aastat vana.

Räägitakse, et vanem on siis (6 aasta pärast) nooremast 2 korda vanem, st arv x + 20 peab olema 2 korda suurem kui x + 6 ja seda saab kirjutada nii

(x + 20) / (x + 6) = 2 või x + 20 = 2 (x + 6) või (x + 20) / 2 = x + 6.

Kõige loomulikum tähistus on esimene: selleks, et teada saada, mitu korda on üks arv teisest suurem, tuleb jagada; peame välja selgitama, mitu korda on arv (x + 20) suurem kui arv (x + 6) - selleks peame jagama (x + 20) arvuga (x + 6) ja ütlema meile vastuse " kaks korda”. Seetõttu kirjutame, et sellest jagamisest saame arvu 2, st (x + 20) / (x + 6) = 2.

Teist kirjet saab seletada järgmiselt: meile öeldakse, et arv (x + 20) peab olema 2 korda suurem kui arv (x + 6). Nende arvude võrdsustamiseks on seetõttu vaja korrutada neist väiksem, st x + 6, 2-ga. Siis x + 20 = 2(x + 6).

Seejärel selgitatakse tähistust järgmiselt: arvude x + 20 ja x + 6 võrdsustamiseks peate vähendama neist suuremat 2 korda ja seejärel (x + 20) / 2 = x + 6.

Kui võtame 1. sissekande

(x + 20) / (x + 6) = 2

ja korrutame võrrandi mõlemad pooled x + 6-ga, saame

x + 20 = 2 (x + 6)

st teine ​​sissekanne. Samuti on lihtne saada 2. või 1. sissekanne 3. kandest jne.

Igal juhul pärast võrrandi murdudest vabastamist saame

x + 20 = 2 (x + 6)

ja lihtsalt lahendage võrrand:

x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x või x = 8.

Niisiis, noorem vend on 8-aastane ja vanem vend on 8 + 14 = 22-aastane.

5. ülesanne. Ostsime suhkrut ja kohvi, kokku 28 naela; naela suhkru eest maksti 15 kopikat ja naela kohvi eest 80 kopikat, kogu ostu eest aga 12 rubla. Kui palju suhkrut ja kui palju kohvi ostsite?

Siin võib raskus olla selles, et ülesande tingimustes on numbrid antud kas kopikates või rublades. Eelnevalt tuleb paika panna, millistes ühikutes, rublades või kopikates, otsus tehakse. Lahendame probleemi rublades. Siis on lahendus järgmine:

Oletame, et ostsite x naela suhkrut. Siis ostsime (28 – x) naela kohvi.

Suhkru eest maksti (15x) kopikat ehk (3/20)x rubla (kuna 15 kopikat võrdub 3/20 rublaga), kohvi eest aga 80(28 – x) kopikat. või 4/5 (28–x) hõõruda. (kuna 80 kopikat = 4/5 rubla).
Fraas "nad maksid kogu ostu eest 12 rubla." võib kirjutada:

3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12

[Kui lahendada kopikatega, oleks võrrand 15x + 80(28 – x) = 1200].

Vabastame võrrandi murdudest, mille jaoks korrutame mõlemad osad 20-ga ja saame:

3x + 16 (28 - x) = 240

3x + 448 – 16x = 240

3x - 16x = 240 - 448

–13x = –208,

Niisiis, ostsime 16 naela suhkrut ja 12 naela kohvi (28–16 = 12).

Tasapinna sirgjoone võrrand.
Suunavektor on sirge. Normaalvektor

Tasapinna sirgjoon on üks lihtsamaid geomeetrilisi kujundeid, mis on teile tuttav juba põhikoolist ja täna õpime analüütilise geomeetria meetodite abil sellega toime tulema. Materjali valdamiseks peate suutma ehitada sirgjoone; teada, milline võrrand määratleb sirge, eelkõige koordinaatide alguspunkti läbiva sirge ja koordinaatide telgedega paralleelsed sirged. Selle teabe leiate juhendist Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused, lõin selle Matani jaoks, kuid lineaarset funktsiooni käsitlev osa osutus väga edukaks ja üksikasjalikuks. Seega, kallid teekannud, tehke seal enne sooja. Lisaks peavad teil olema algteadmised vektorid, muidu jääb materjalist arusaamine puudulik.

Selles õppetükis vaatleme võimalusi, kuidas luua tasapinnal sirgjoone võrrandit. Soovitan mitte jätta tähelepanuta praktilisi näiteid (isegi kui see tundub väga lihtne), kuna annan neile elementaarsed ja olulised faktid, tehnilised võtted, mida tulevikus vajatakse, sealhulgas teistes kõrgema matemaatika osades.

• Kuidas kirjutada nurgakoefitsiendiga sirge võrrandit?
• Kuidas ?
• Kuidas leida sirge üldvõrrandi abil suunavektorit?
• Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

ja alustame:

Sirge ja kalde võrrand

Tuntud sirge võrrandi "kooli" vormi nimetatakse kaldega sirge võrrand. Näiteks kui võrrandiga on antud sirge, siis selle kalle on: . Vaatleme selle koefitsiendi geomeetrilist tähendust ja seda, kuidas selle väärtus mõjutab joone asukohta:

Geomeetria kursusel on see tõestatud sirge kalle on võrdne nurga puutuja positiivse telje suuna vahelja see rida: , ja nurk “keerab lahti” vastupäeva.

Et joonist mitte segamini ajada, tõmbasin nurgad ainult kahele sirgele. Vaatleme "punast" joont ja selle kallet. Vastavalt ülaltoodule: (“alfa” nurka tähistab roheline kaar). Nurgakoefitsiendiga sinise sirgjoone puhul on võrdsus tõsi (beetanurka tähistab pruun kaar). Ja kui nurga puutuja on teada, siis vajadusel on seda lihtne leida ja nurk ise kasutades pöördfunktsiooni - arctangent. Nagu öeldakse, trigonomeetriline tabel või mikrokalkulaator käes. Seega nurgakoefitsient iseloomustab sirge kalde astet abstsisstelje suhtes.

Võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui kalle on negatiivne: siis joon jämedalt öeldes läheb ülevalt alla. Näideteks on joonisel olevad "sinised" ja "vaarikas" sirgjooned.

2) Kui kalle on positiivne: siis joon läheb alt üles. Näited - "mustad" ja "punased" sirgjooned joonisel.

3) Kui kalle on null: , siis võtab võrrand kuju ja vastav sirge on paralleelne teljega. Näiteks on "kollane" sirgjoon.

4) teljega paralleelsete joonte perekonna puhul (joonisel pole näidet, välja arvatud telg ise), nurgakoefitsient ei eksisteeri (90 kraadi puutuja pole määratletud).

Mida suurem on kalde koefitsient absoluutväärtuses, seda järsem on sirge graafik..

Mõelge näiteks kahele sirgjoonele. Seetõttu on siin sirgel järsem kalle. Tuletan meelde, et moodul võimaldab märki ignoreerida, meid huvitab ainult absoluutväärtused nurkkoefitsiendid.

Sirge on omakorda järsem kui sirged .

Ja vastupidi: mida väiksem on kalde koefitsient absoluutväärtuses, seda lamedam on sirge.

Sirgete joonte jaoks ebavõrdsus on tõsi, seega on sirge lamedam. Laste liumägi, et mitte tekitada endale sinikaid ja muhke.

Miks see vajalik on?

Pikendage piina Ülaltoodud faktide tundmine võimaldab teil kohe näha oma vigu, eriti graafikute koostamise vigu - kui joonisel selgub "ilmselgelt midagi valesti". Soovitav on, et sa kohe oli selge, et näiteks sirge on väga järsk ja läheb alt üles ning sirge on väga tasane, surutud telje lähedale ja läheb ülevalt alla.

Geomeetriliste ülesannete korral ilmnevad sageli mitu sirget joont, mistõttu on mugav neid kuidagi tähistada.

Nimetused: sirgjooned on tähistatud väikeste ladina tähtedega: . Populaarne valik on nende tähistamine sama tähega loomulike alaindeksitega. Näiteks saab tähistada viit rida, mida me just vaatasime .

Kuna iga sirge on üheselt määratud kahe punktiga, saab seda tähistada järgmiste punktidega: jne. Nimetus viitab selgelt, et punktid kuuluvad joonele.

On aeg veidi soojendada:

Kuidas kirjutada nurgakoefitsiendiga sirge võrrandit?

Kui teatud sirgele kuuluv punkt ja selle sirge nurgakoefitsient on teada, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Näide 1

Kirjutage nurkkoefitsiendiga sirge võrrand, kui on teada, et punkt kuulub sellele sirgele.

Lahendus: Koostame valemi abil sirge võrrandi . Sel juhul:

Vastus:

Läbivaatus tehakse lihtsalt. Esiteks vaatame saadud võrrandit ja veendume, et meie kalle on paigas. Teiseks peavad punkti koordinaadid seda võrrandit rahuldama. Ühendame need võrrandisse:

Saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et punkt rahuldab saadud võrrandit.

Järeldus: võrrand leiti õigesti.

Keerulisem näide iseseisvaks lahendamiseks:

Näide 2

Kirjutage sirge võrrand, kui on teada, et selle kaldenurk telje positiivse suuna suhtes on , ja punkt kuulub sellele sirgele.

Kui teil on raskusi, lugege teoreetiline materjal uuesti läbi. Täpsemalt, praktilisemalt, jätan paljud tõendid vahele.

Viimane kell on helisenud, lõpuaktus on lõppenud ja kodukooli väravate taga ootab meid analüütiline geomeetria ise. Naljad on läbi... Või äkki nad alles algavad =)

Viipame nostalgiliselt pastakaga tuttava poole ja tutvume sirge üldvõrrandiga. Kuna analüütilises geomeetrias kasutatakse just seda:

Sirge üldvõrrandil on vorm: , kus on mõned numbrid. Samal ajal koefitsiendid samaaegselt ei ole võrdsed nulliga, kuna võrrand kaotab oma tähenduse.

Riietume ülikonda ja seome võrrandi kaldekoefitsiendiga. Kõigepealt liigutame kõik terminid vasakule poole:

Mõiste "X" tuleb asetada esikohale:

Põhimõtteliselt on võrrandil juba vorm , kuid matemaatilise etiketi reeglite kohaselt peab esimese liikme koefitsient (antud juhul) olema positiivne. Märkide muutumine:

Pidage meeles seda tehnilist funktsiooni! Teeme esimese koefitsiendi (kõige sagedamini) positiivseks!

Analüütilises geomeetrias esitatakse sirgjoone võrrand peaaegu alati üldkujul. Noh, vajadusel saab selle nurkkoefitsiendiga hõlpsasti taandada “kooli” vormiks (välja arvatud ordinaatteljega paralleelsed sirged).

Küsigem endalt, mida piisav kas oskate sirgjoont konstrueerida? Kaks punkti. Aga rohkem sellest lapsepõlvejuhtumist, nüüd jääb noolte reegli juurde. Igal sirgel on väga spetsiifiline kalle, millega on lihtne “kohaneda”. vektor.

Vektorit, mis on joonega paralleelne, nimetatakse selle sirge suunavektoriks. On ilmne, et igal sirgel on lõpmatu arv suunavektoreid ja kõik need on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte - vahet pole).

Tähistan suunavektorit järgmiselt: .

Kuid sirgjoone loomiseks ühest vektorist ei piisa, vektor on vaba ega ole seotud ühegi tasapinna punktiga. Seetõttu on lisaks vaja teada mõnda punkti, mis joonele kuulub.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit punkti ja suunavektori abil?

Kui teatud joonele kuuluv punkt ja selle sirge suunavektor on teada, saab selle sirge võrrandi koostada valemiga:

Mõnikord nimetatakse seda sirge kanooniline võrrand .

Mida teha millal üks koordinaatidest on võrdne nulliga, mõistame allpool toodud praktilistes näidetes. Muide, pange tähele - mõlemad korraga koordinaadid ei saa olla võrdsed nulliga, kuna nullvektor ei määra konkreetset suunda.

Näide 3

Kirjutage sirge võrrand, kasutades punkti ja suunavektorit

Lahendus: Koostame valemi abil sirgjoone võrrandi. Sel juhul:

Kasutades proportsiooni omadusi, vabaneme murdosadest:

Ja toome võrrandi selle üldkujule:

Vastus:

Reeglina pole sellistes näidetes joonist vaja teha, kuid mõistmise huvides:

Joonisel näeme lähtepunkti, algset suunavektorit (seda saab joonistada igast tasapinna punktist) ja konstrueeritud sirget. Muide, paljudel juhtudel on kõige mugavam sirgjoont konstrueerida nurkkoefitsiendiga võrrandi abil. Meie võrrandit on lihtne vormiks muuta ja sirge konstrueerimiseks hõlpsasti valida mõni muu punkt.

Nagu lõigu alguses märgitud, on sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja kõik need on kollineaarsed. Näiteks joonistasin kolm sellist vektorit: . Ükskõik, millise suunavektori me valime, on tulemuseks alati sama sirge võrrand.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Proportsiooni lahendamine:

Jagage mõlemad pooled -2-ga ja saage tuttav võrrand:

Huvilised saavad vektoreid testida samamoodi või mõni muu kollineaarne vektor.

Nüüd lahendame pöördülesande:

Kuidas leida sirge üldvõrrandi abil suunavektorit?

Väga lihtne:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge suunavektor.

Näited sirgjoonte suunavektorite leidmiseks:

Väide võimaldab meil leida ainult ühe suunavektori lõpmatust arvust, kuid me ei vaja rohkem. Kuigi mõnel juhul on soovitatav suunavektorite koordinaate vähendada:

Seega määrab võrrand sirge, mis on teljega paralleelne ja saadud suunavektori koordinaadid jagatakse mugavalt –2-ga, saades suunavektoriks täpselt baasvektori. Loogiline.

Samamoodi määrab võrrand teljega paralleelse sirge ja jagades vektori koordinaadid 5-ga, saame suunavektoriks ühikvektori.

Nüüd teeme seda kontrolli näide 3. Näide tõusis üles, nii et tuletan teile meelde, et selles koostasime sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori abil

Esiteks, kasutades sirgjoone võrrandit, rekonstrueerime selle suunavektori: – kõik on korras, saime algse vektori (mõnel juhul võib tulemuseks olla kollineaarne vektor algsele ja seda on tavaliselt vastavate koordinaatide proportsionaalsuse järgi lihtne märgata).

Teiseks, peavad punkti koordinaadid täitma võrrandit. Asendame need võrrandisse:

Õige võrdsus saadi, mille üle on väga hea meel.

Järeldus: Ülesanne on õigesti täidetud.

Näide 4

Kirjutage sirge võrrand, kasutades punkti ja suunavektorit

See on näide, mille saate ise lahendada. Lahendus ja vastus on tunni lõpus. Väga soovitatav on kontrollida äsja käsitletud algoritmi abil. Proovige alati (võimaluse korral) mustandit kontrollida. On rumal teha vigu, kui neid saab 100% vältida.

Kui üks suunavektori koordinaatidest on null, toimige väga lihtsalt:

Näide 5

Lahendus: valem ei sobi, kuna paremal pool olev nimetaja on null. Väljapääs on olemas! Kasutades proportsiooni omadusi, kirjutame valemi vormi ümber ja ülejäänud veeretasime mööda sügavat roopa:

Vastus:

Läbivaatus:

1) Taasta joone suunav vektor:
– saadud vektor on kollineaarne algse suunavektoriga.

2) Asendage võrrandisse punkti koordinaadid:

Saavutatakse õige võrdsus

Järeldus: ülesanne on õigesti täidetud

Tekib küsimus, miks peaks valemiga vaeva nägema, kui on olemas universaalne versioon, mis töötab igal juhul? Põhjuseid on kaks. Esiteks on valem murdosa kujul palju paremini meeles. Ja teiseks, universaalse valemi puuduseks on see segadusse sattumise oht suureneb oluliselt koordinaatide asendamisel.

Näide 6

Kirjutage sirge võrrand, kasutades punkti ja suunavektorit.

See on näide, mille saate ise lahendada.

Tuleme tagasi üldlevinud kahe punkti juurde:

Kuidas kirjutada kahe punkti abil sirgjoone võrrand?

Kui on teada kaks punkti, saab neid punkte läbiva sirge võrrandi koostada järgmise valemi abil:

Tegelikult on see teatud tüüpi valem ja siin on põhjus: kui on teada kaks punkti, on vektor antud sirge suunavektor. Õppetunnis Mannekeenide vektorid käsitlesime lihtsaimat ülesannet – kuidas leida kahest punktist vektori koordinaate. Selle ülesande kohaselt on suunavektori koordinaadid:

Märge : punkte saab “vahetada” ja kasutada valemit . Selline lahendus on samaväärne.

Näide 7

Kirjutage kahe punkti abil sirge võrrand .

Lahendus: Kasutame valemit:

Nimetajate kombineerimine:

Ja segage tekki:

Nüüd on aeg murdarvudest lahti saada. Sel juhul peate mõlemad pooled korrutama 6-ga:

Avage sulud ja tooge võrrand meelde:

Vastus:

Läbivaatus on ilmne - algpunktide koordinaadid peavad vastama saadud võrrandile:

1) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

2) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

Järeldus: sirge võrrand on õigesti kirjutatud.

Kui vähemalt üks punktidest ei rahulda võrrandit, otsige viga.

Väärib märkimist, et graafiline kontrollimine on sel juhul keeruline, kuna konstrueerige sirgjoon ja vaadake, kas punktid kuuluvad sellele , mitte nii lihtne.

Märgin veel paar tehnilist aspekti lahendusest. Võib-olla on selles probleemis kasulikum kasutada peegli valemit ja samades punktides tee võrrand:

Vähem fraktsioone. Kui soovite, võite lahenduse lõpuni viia, tulemuseks peaks olema sama võrrand.

Teine punkt on vaadata lõplikku vastust ja välja selgitada, kas seda saab veelgi lihtsustada? Näiteks kui saate võrrandi , siis on soovitatav seda kahe võrra vähendada: – võrrand defineerib sama sirge. See on aga juba jututeema joonte suhteline asukoht.

Saanud vastuse Näites 7 kontrollisin igaks juhuks üle, kas võrrandi KÕIK koefitsiendid jaguvad 2, 3 või 7-ga. Kuigi enamasti tehakse selliseid taandusi lahendamise käigus.

Näide 8

Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand .

See on näide iseseisvast lahendusest, mis võimaldab teil arvutustehnikaid paremini mõista ja harjutada.

Sarnaselt eelmise lõiguga: kui valemis üks nimetajatest (suunavektori koordinaat) muutub nulliks, siis kirjutame selle ümber kujul . Jällegi pange tähele, kui kohmetu ja segaduses ta välja näeb. Ma ei näe praktiliste näidete toomisel erilist mõtet, kuna oleme selle probleemi juba tegelikult lahendanud (vt nr 5, 6).

Otsene normaalvektor (normaalvektor)

Mis on normaalne? Lihtsamalt öeldes on normaalne perpendikulaar. See tähendab, et sirge normaalvektor on antud sirgega risti. Ilmselgelt on igal sirgel neid lõpmatu arv (nagu ka suunavektoreid) ja kõik sirge normaalvektorid on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte, sellel pole vahet).

Nendega tegelemine on veelgi lihtsam kui juhtvektoritega:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge normaalvektor.

Kui suunavektori koordinaadid tuleb võrrandist ettevaatlikult “välja tõmmata”, siis võib normaalvektori koordinaadid lihtsalt “eemaldada”.

Normaalvektor on alati sirge suunavektoriga ortogonaalne. Kontrollime nende vektorite ortogonaalsust kasutades dot toode:

Toon näiteid samade võrranditega nagu suunavektori puhul:

Kas on võimalik koostada ühe punkti ja normaalvektoriga sirge võrrandit? Ma tunnen seda oma kõhus, see on võimalik. Kui normaalvektor on teada, on sirgjoone enda suund selgelt määratletud - see on "jäik struktuur", mille nurk on 90 kraadi.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

Kui teatud sirgele kuuluv punkt ja selle sirge normaalvektor on teada, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Siin sujus kõik ilma murdude ja muude üllatusteta. See on meie tavavektor. Armastama teda. Ja austus =)

Näide 9

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja normaalvektor. Leia sirge suunavektor.

Lahendus: Kasutame valemit:

Sirge üldvõrrand on saadud, kontrollime:

1) "Eemaldage" võrrandist normaalvektori koordinaadid: – jah, tõepoolest, algvektor saadi tingimusest (või tuleks saada kollineaarne vektor).

2) Kontrollime, kas punkt vastab võrrandile:

Tõeline võrdsus.

Kui oleme veendunud, et võrrand on õigesti koostatud, täidame ülesande teise, lihtsama osa. Võtame välja sirgjoone suunavektori:

Vastus:

Joonisel näeb olukord välja selline:

Koolituse eesmärgil sarnane ülesanne iseseisvaks lahendamiseks:

Näide 10

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja normaalvektor. Leia sirge suunavektor.

Tunni viimane osa on pühendatud vähem levinud, kuid ka olulistele tasapinnalise sirge võrrandite tüüpidele

Segmentides sirgjoone võrrand.
Sirge võrrand parameetrilisel kujul

Segmentide sirgjoone võrrand on kujul , kus on nullist erinevad konstandid. Teatud tüüpi võrrandeid ei saa sellisel kujul esitada, näiteks otsest proportsionaalsust (kuna vaba liige on võrdne nulliga ja paremale poole ei saa ühte).

See on piltlikult öeldes "tehnilist" tüüpi võrrand. Levinud ülesanne on kujutada sirge üldvõrrandit joone võrrandina lõikudes. Kuidas see mugav on? Sirge võrrand lõikudes võimaldab kiiresti leida sirge lõikepunktid koordinaattelgedega, mis võib mõne kõrgema matemaatika ülesande puhul olla väga oluline.

Leiame sirge lõikepunkti teljega. Lähtestame "y" nulliks ja võrrand saab kuju . Soovitud punkt saadakse automaatselt: .

Sama teljega – punkt, kus sirge lõikub ordinaatteljega.