Seosed trigonomeetriliste põhifunktsioonide - siinus, koosinus, puutuja ja kotangens - vahel on toodud trigonomeetrilised valemid. Ja kuna trigonomeetriliste funktsioonide vahel on üsna palju seoseid, siis see seletab trigonomeetriliste valemite rohkust. Mõned valemid ühendavad sama nurga trigonomeetrilisi funktsioone, teised - mitme nurga funktsioonid, teised - võimaldavad kraadi vähendada, neljandad - väljendavad kõiki funktsioone poolnurga puutuja kaudu jne.
Selles artiklis loetleme järjekorras kõik põhilised trigonomeetrilised valemid, millest piisab enamiku trigonomeetriaülesannete lahendamiseks. Meeldejäämise ja kasutamise hõlbustamiseks rühmitame need eesmärgi järgi ja sisestame tabelitesse.
Leheküljel navigeerimine.
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Põhilised trigonomeetrilised identiteedid määratleda seos ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel. Need tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonist ning ühikringi mõistest. Need võimaldavad teil väljendada ühte trigonomeetrilist funktsiooni mis tahes teise funktsioonina.
Nende trigonomeetria valemite üksikasjalikku kirjeldust, nende tuletamist ja rakendusnäiteid leiate artiklist.
Vähendamise valemid
Vähendamise valemid tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadustest, see tähendab, et need peegeldavad trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse omadust, sümmeetria omadust, aga ka antud nurga võrra nihke omadust. Need trigonomeetrilised valemid võimaldavad teil liikuda suvaliste nurkadega töötamiselt töötamisele nurkadega, mis jäävad vahemikku nullist 90 kraadini.
Artiklis saab uurida nende valemite põhjendusi, nende meeldejätmise mnemoloogilist reeglit ja näiteid nende kasutamise kohta.
Lisamise valemid
Trigonomeetrilised liitmisvalemid näidata, kuidas kahe nurga summa või erinevuse trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse nende nurkade trigonomeetriliste funktsioonidena. Need valemid on aluseks järgmiste trigonomeetriliste valemite tuletamisel.
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk
Valemid topelt-, kolmik- jne. nurk (neid nimetatakse ka mitme nurga valemiteks) näitavad, kuidas topelt-, kolmik- jne trigonomeetrilised funktsioonid. nurgad () on väljendatud ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonidena. Nende tuletamine põhineb liitmisvalemitel.
Täpsem teave on kogutud artiklite valemitesse topelt-, kolmik- jne. nurk
Poolnurga valemid
Poolnurga valemid näidata, kuidas poolnurga trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse täisnurga koosinusena. Need trigonomeetrilised valemid tulenevad topeltnurga valemitest.
Nende järeldused ja rakendusnäited leiate artiklist.
Kraadide vähendamise valemid
Trigonomeetrilised valemid kraadide vähendamiseks on loodud selleks, et hõlbustada üleminekut trigonomeetriliste funktsioonide loomulikelt võimsustelt siinustele ja koosinustele esimese astme, kuid mitme nurga all. Teisisõnu, need võimaldavad teil vähendada trigonomeetriliste funktsioonide võimsusi esimesele.
Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid
Peamine eesmärk trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid on minna funktsioonide korrutisele, mis on väga kasulik trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel. Neid valemeid kasutatakse laialdaselt ka trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, kuna need võimaldavad arvutada siinuste ja koosinuste summat ja erinevust.
Siinuse, koosinuse ja siinuse korrutise valemid koosinuse kaupa
Üleminek trigonomeetriliste funktsioonide korrutiselt summale või erinevusele toimub siinuste, koosinuste ja siinuse koosinuse korrutise valemitega.
Universaalne trigonomeetriline asendus
Lõpetame trigonomeetria põhivalemite ülevaate valemitega, mis väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga puutuja kaudu. Seda asendust kutsuti universaalne trigonomeetriline asendus. Selle mugavus seisneb selles, et kõiki trigonomeetrilisi funktsioone väljendatakse ratsionaalselt ilma juurteta poolnurga puutuja kaudu.
Bibliograafia.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Haridus, 1990. - 272 lk.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Autoriõigus nutikatele õpilastele
Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ühtegi saidi osa, sealhulgas sisemisi materjale ja välimust, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.
Tsentreeritud punkti A.
α
- radiaanides väljendatud nurk.
Definitsioon
Siinus (sin α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
Koosinus (cos α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
Aktsepteeritud märkused
;
;
.
;
;
.
Siinusfunktsiooni graafik, y = sin x
Koosinusfunktsiooni graafik, y = cos x
Siinuse ja koosinuse omadused
Perioodilisus
Funktsioonid y = sin x ja y = cos x perioodiline perioodiga 2π.
Pariteet
Siinusfunktsioon on paaritu. Koosinusfunktsioon on paaris.
Määratluse ja väärtuste valdkond, äärmused, tõus, vähenemine
Siinus- ja koosinusfunktsioonid on pidevad oma definitsioonipiirkonnas, st kõigi x-ide puhul (vt pidevuse tõestust). Nende peamised omadused on toodud tabelis (n - täisarv).
| y = sin x | y = cos x | |
| Ulatus ja järjepidevus | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Kasvav | ||
| Langevad | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Miinimum, y = - 1 | ||
| Nullid, y = 0 | ||
| Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Põhivalemid
Siinuse ja koosinuse ruutude summa
Siinuse ja koosinuse valemid summast ja vahest
;
;
Siinuse ja koosinuse korrutise valemid
Summa ja vahe valemid
Siinuse väljendamine koosinuse kaudu
;
;
;
.
Koosinuse väljendamine siinuse kaudu
;
;
;
.
Väljend tangensi kaudu
; .
Millal meil on:
;
.
aadressil:
;
.
Siinuste ja koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel
See tabel näitab siinuste ja koosinuste väärtusi argumendi teatud väärtuste jaoks. 
Avaldised keeruliste muutujate kaudu
;
Euleri valem
Avaldised hüperboolsete funktsioonide kaudu
;
;
Tuletised
; . Valemite tuletamine >>>
N-ndat järku tuletised:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, kosekant
Pöördfunktsioonid
Siinuse ja koosinuse pöördfunktsioonid on vastavalt arkosiinus ja arkosinus.
Arksiin, arcsin
Arkosiin, arccos
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
Lihtsamad trigonomeetrilised identiteedid
Nurga alfa siinuse jagamine sama nurga koosinusega on võrdne selle nurga puutujaga (valem 1). Vaata ka lihtsaimate trigonomeetriliste identiteetide teisenduse õigsuse tõestust.
Nurga alfa koosinuse jagamine sama nurga siinuse jagatis on võrdne sama nurga kootangensiga (valem 2)
Nurga sekant võrdub nurgaga, mis on jagatud sama nurga koosinusega (valem 3)
Sama nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega (valem 4). vaata ka koosinuse ja siinuse ruutude summa tõestust.
Nurga ühe ja puutuja summa on võrdne ühe ja selle nurga koosinuse ruudu suhtega (valem 5)
Üks pluss nurga kootangens võrdub ühe jagatisega selle nurga siinuse ruuduga (valem 6)
Sama nurga puutuja ja kotangensi korrutis on võrdne ühega (valem 7).
Trigonomeetriliste funktsioonide negatiivsete nurkade teisendamine (paaris ja paaritu)
Selleks, et siinuse, koosinuse või puutuja arvutamisel vabaneda nurga astmemõõdu negatiivsest väärtusest, saate paaris või paaritu trigonomeetriliste funktsioonide põhimõtete alusel kasutada järgmisi trigonomeetrilisi teisendusi (identiteete).
Nagu nähtud, koosinus ja sekant on ühtlane funktsioon, siinus, puutuja ja kotangens on paaritu funktsioonid.
Negatiivse nurga siinus võrdub sama positiivse nurga siinuse negatiivse väärtusega (miinus siinus alfa).
Koosinus miinus alfa annab sama väärtuse kui alfanurga koosinus.
Tangent miinus alfa on võrdne miinus puutujaga alfa.
Topeltnurkade vähendamise valemid (topeltnurkade siinus, koosinus, puutuja ja kotangens)
Kui peate nurga pooleks jagama või vastupidi, liikuma topeltnurgalt ühele nurgale, saate kasutada järgmisi trigonomeetrilisi identiteete:
Topeltnurga teisendus (topeltnurga siinus, kaksiknurga koosinus ja topeltnurga puutuja) üksikult toimub vastavalt järgmistele reeglitele:
Topeltnurga siinus võrdub ühe nurga siinuse ja koosinuse kahekordse korrutisega
Topeltnurga koosinus võrdne ühe nurga koosinuse ruudu ja selle nurga siinuse ruudu vahega
Topeltnurga koosinus võrdne ühe nurga koosinuse kahekordse ruuduga miinus üks
Topeltnurga koosinus võrdne ühe miinus topeltsiinuse ruuduga üksiknurgaga
Topeltnurga puutuja on võrdne murdosaga, mille lugeja on ühe nurga puutuja kaks korda suurem ja nimetaja on võrdne ühega, millest on lahutatud ühe nurga puutuja ruudus.
Topeltnurga kotangents on võrdne murdosaga, mille lugeja on ühe nurga kotangens miinus üks ruut ja nimetaja on võrdne üksiknurga kahekordse kotangensiga
Universaalse trigonomeetrilise asendamise valemid
Alltoodud teisendusvalemid võivad olla kasulikud, kui peate jagama trigonomeetrilise funktsiooni argumendi (sin α, cos α, tan α) kahega ja vähendama avaldist poole nurga väärtuseni. α väärtusest saame α/2.Neid valemeid nimetatakse universaalse trigonomeetrilise asendamise valemid. Nende väärtus seisneb selles, et nende abiga taandatakse trigonomeetriline avaldis poolnurga puutuja väljendamiseks, olenemata sellest, millised trigonomeetrilised funktsioonid (sin cos tan ctg) avaldises algselt olid. Pärast seda on võrrandit poole nurga puutujaga palju lihtsam lahendada.
Poolnurga teisenduste trigonomeetrilised identiteedid
Järgnevalt on toodud valemid poolnurga trigonomeetriliseks teisendamiseks selle täisväärtuseks.Trigonomeetrilise funktsiooni α/2 argumendi väärtus taandatakse trigonomeetrilise funktsiooni α argumendi väärtuseks.
Trigonomeetrilised valemid nurkade liitmiseks
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Nurkade summa puutuja ja kotangens alfa- ja beetaversiooni saab teisendada järgmiste trigonomeetriliste funktsioonide teisendamise reeglite abil:
Nurkade summa puutuja on võrdne murdosaga, mille lugeja on esimese nurga puutuja ja teise nurga puutuja summa ning nimetaja on üks miinus esimese nurga puutuja ja teise nurga puutuja korrutis.
Nurga erinevuse puutuja on võrdne murdosaga, mille lugeja on võrdne taandatava nurga puutuja ja lahutatava nurga puutuja vahega ning nimetaja on üks pluss nende nurkade puutujate korrutis.
Nurkade summa kotangents on võrdne murdosaga, mille lugeja on võrdne nende nurkade pluss ühe kotangentide korrutisega ning nimetaja on võrdne teise nurga ja esimese nurga kotangensi vahega.
Nurga erinevuse kotangents on võrdne murdosaga, mille lugeja on nende nurkade kaastangentide korrutis miinus üks ja nimetaja on võrdne nende nurkade kotangentide summaga.
Neid trigonomeetrilisi identiteete on mugav kasutada, kui peate arvutama näiteks 105 kraadi puutuja (tg 105). Kui kujutate seda ette tg-na (45 + 60), saate kasutada nurkade summa puutuja antud identseid teisendusi ja seejärel lihtsalt asendada puutuja 45 ja puutuja 60 kraadi tabeliväärtustega.
Valemid trigonomeetriliste funktsioonide summa või erinevuse teisendamiseks
Avaldisi, mis esindavad vormi sin α + sin β summat, saab teisendada järgmiste valemite abil:
Kolmiknurga valemid – sin3α cos3α tan3α teisendamine sinα cosα tanαks
Mõnikord on vaja teisendada nurga kolmikväärtust nii, et trigonomeetrilise funktsiooni argumendiks saaks 3α asemel nurk α.Sel juhul saate kasutada kolmiknurga teisendusvalemeid (identiteete):
Valemid trigonomeetriliste funktsioonide korrutiste teisendamiseks
Kui on vaja teisendada erinevate nurkade siinuste, eri nurkade koosinuste või isegi siinuse ja koosinuse korrutist, saate kasutada järgmisi trigonomeetrilisi identiteete:
Sel juhul teisendatakse erinevate nurkade siinus-, koosinus- või puutujafunktsioonide korrutis summaks või erinevuseks.
Valemid trigonomeetriliste funktsioonide vähendamiseks
Vähendamise tabelit peate kasutama järgmiselt. Real valime funktsiooni, mis meid huvitab. Veerus on nurk. Näiteks nurga (α+90) siinus esimese rea ja esimese veeru ristumiskohas saame teada, et sin (α+90) = cos α.
Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!
Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tan x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja nende valemeid käsitleme edasi.
Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame üles igaühe juurvalemid.
1. Võrrand "sin x=a".
„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.
Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Võrrand „cos x=a”.
`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole sellel reaalarvude hulgas lahendeid.
Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.
Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes. 
3. Võrrand „tg x=a”.
Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Võrrand „ctg x=a”.
Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.
Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid
Siinuse jaoks: 
Koosinuse jaoks: 
Tangensi ja kotangensi jaoks: 
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid
Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:
- selle lihtsaimaks muutmise abil;
- lahendage ülalpool kirjutatud juurvalemite ja tabelite abil saadud lihtsaim võrrand.
Vaatame näidete abil peamisi lahendusviise.
Algebraline meetod.
See meetod hõlmab muutuja asendamist ja selle asendamist võrdsusega.
Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,
tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",
leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:
1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktoriseerimine.
Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.
Lahendus. Liigutame kõik võrdsuse liikmed vasakule: `sin x+cos x-1=0`. Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:
"sin x — 2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",
"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Taandamine homogeenseks võrrandiks
Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi taandama ühele kahest vormist:
`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).
Seejärel jagage mõlemad osad väärtusega „cos x \ne 0” (esimesel juhul) ja „cos^2 x \ne 0” teise puhul. Saame `tg x` võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb teadaolevate meetoditega lahendada.
Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame selle vasaku ja parema külje `cos^2 x \ne 0`-ga, saame:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Tutvustame asendust „tg x=t”, mille tulemuseks on „t^2 + t – 2=0”. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:
- „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
- „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.
Liikumine poolnurgale
Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".
Lahendus. Rakendame topeltnurga valemeid, mille tulemuseks on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.
Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:
- „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
- „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.
Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Abinurga tutvustus
Trigonomeetrilises võrrandis 'a sin x + b cos x =c', kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagage mõlemad pooled väärtusega "sqrt (a^2+b^2)".
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".
Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt nende ruutude summa on 1 ja moodulid ei ole suuremad kui 1. Tähistame neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, siis:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Vaatame lähemalt järgmist näidet:
Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.
Lahendus. Jagage võrdsuse mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)-ga, saame:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.
Tähistame `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, siis võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:
„sin (x+\varphi)=2/5”,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.
Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid
Need on võrdsused murdudega, mille lugejad ja nimetajad sisaldavad trigonomeetrilisi funktsioone.
Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.
Lahendus. Korrutage ja jagage võrdsuse parem külg arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)
`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0
Arvestades, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Võrdlustame murru lugeja nulliga: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Seejärel „sin x=0” või „1-sin x=0”.
- „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
- „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.
Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.
Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".
Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppimine algab 10. klassist, ühtse riigieksami jaoks on alati ülesandeid, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need on teile kindlasti kasulikud!
Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata seda tuletada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.