Alustame trigonomeetria uurimist täisnurkne kolmnurk. Defineerime, mis on siinus ja koosinus, samuti puutuja ja kootangens teravnurk. See on trigonomeetria põhitõed.
Tuletagem seda meelde täisnurk on nurk 90 kraadi. Ehk siis pool pöördenurka.
Terav nurk- vähem kui 90 kraadi.
Nürinurk- üle 90 kraadi. Seoses sellise nurgaga pole "nüri" solvang, vaid matemaatiline termin :-)
Joonistame täisnurkse kolmnurga. Täisnurka tähistatakse tavaliselt tähisega . Pange tähele, et nurga vastaskülg on tähistatud sama tähega, ainult väikese tähega. Seega on vastasnurk A tähistatud .
Nurka tähistab vastav Kreeka kiri.
Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga külg on täisnurga vastaskülg.
Jalad- teravnurkade vastas olevad küljed.
Nurga vastas asetsevat jalga nimetatakse vastupidine(nurga suhtes). Teist jalga, mis asub nurga ühel küljel, nimetatakse külgnevad.
Sinus täisnurkse kolmnurga teravnurk on suhe vastaspool hüpotenuusile:
Koosinus teravnurk täisnurkses kolmnurgas - suhe külgnev jalg hüpotenuusile:
Tangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - vastaskülje ja külgneva külje suhe:
Teine (ekvivalentne) määratlus: teravnurga puutuja on nurga siinuse ja koosinuse suhe:
Kotangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - külgneva külje ja vastaskülje suhe (või, mis on sama, koosinuse ja siinuse suhe):
Märkige allpool siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi põhiseosed. Need on meile probleemide lahendamisel kasulikud.
Tõestame mõnda neist.
Olgu, oleme andnud definitsioonid ja kirja pannud valemid. Aga miks on meil ikkagi vaja siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti?
Me teame seda mis tahes kolmnurga nurkade summa on võrdne.
Me teame omavahelist suhet peod täisnurkne kolmnurk. See on Pythagorase teoreem: .
Selgub, et teades kolmnurga kahte nurka, võite leida kolmanda. Teades täisnurkse kolmnurga kahte külge, saate leida kolmanda. See tähendab, et nurkadel on oma suhe ja külgedel oma. Aga mida teha, kui täisnurksel kolmnurgal on teada üks nurk (v.a täisnurk) ja üks külg, kuid on vaja leida teised küljed?
Seda kohtasid inimesed minevikus piirkonna ja tähistaeva kaarte koostades. Lõppude lõpuks ei ole alati võimalik kolmnurga kõiki külgi otse mõõta.
Siinus, koosinus ja puutuja – neid nimetatakse ka trigonomeetrilised nurgafunktsioonid- anda vahelisi suhteid peod Ja nurgad kolmnurk. Nurka teades leiate spetsiaalsete tabelite abil kõik selle trigonomeetrilised funktsioonid. Ja teades kolmnurga ja selle ühe külje nurkade siinusi, koosinusi ja puutujaid, leiate ka ülejäänud.
Samuti koostame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste tabeli "heade" nurkade jaoks alates kuni.
Pange tähele kahte punast kriipsu tabelis. Sobivate nurgaväärtuste korral puutujat ja kotangenti ei eksisteeri.
Vaatame mitmeid FIPI Task Banki trigonomeetriaülesandeid.
1. Kolmnurga nurk on , . Leia .
Probleem lahendatakse nelja sekundiga.
Kuna , .
2. Kolmnurgas on nurk , , . Leia .
Leiame selle Pythagorase teoreemi abil.
Probleem on lahendatud.
Sageli on ülesannetes kolmnurgad nurkade ja või nurkadega ja. Pea meeles nende põhisuhted peast!
Nurkadega kolmnurga ja nurga vastas olev jalg on võrdne pool hüpotenuusist.
Nurkadega kolmnurk on võrdhaarne. Selles on hüpotenuus korda suurem kui jalg.
Vaatasime ülesandeid täisnurksete kolmnurkade lahendamisel – see tähendab leidmisel tundmatud osapooled või nurgad. Kuid see pole veel kõik! IN Ühtse riigieksami valikud matemaatikas on palju ülesandeid, kus ilmneb kolmnurga välisnurga siinus, koosinus, puutuja või kotangens. Lisateavet selle kohta järgmises artiklis.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.
5. peatükk: Kolmnurkade lahendamine
5.1. Täisnurkne kolmnurk
Aksioomid 1.4 ja 2.1 võimaldasid määrata segmentidele ja nurkadele nende mõõtmetega võrdseid numbreid, st mõõta segmente ja nurki. Seni puudus seos nurkade suuruste ja lõikude pikkuste vahel. Kolmnurkade kasutuselevõtuga saab võimalikuks ühendada kolmnurga nurkade ja selle külgede pikkuste aste. Vaatleme täisnurkse kolmnurga külgede ja nurkade vahelisi seoseid.
1
Joonis 5.1.1.
Täisnurkne kolmnurk.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Olgu nurk (BAC) soovitud teravnurk. Näiteks nurga BAC jaoks (joonis 5.1.1)
Teoreem 5.1.
Nurga koosinus sõltub ainult sellest kraadi mõõt nurk ja ei sõltu kolmnurga asukohast ja suurusest.
Tõestus
Olgu ABC ja A1B1C1 kaks täisnurkset kolmnurka, mille tippude A ja A1 nurk on sama ja mis on võrdne α. Ehitame kolmnurga AB2C2, võrdne kolmnurgaga A1B1C1, nagu on näidatud joonisel fig. 5.1.2. See on võimalik vastavalt aksioomile 4.1. Kuna nurgad A ja A1 on võrdsed, asub B2 sirgel AB. Sirged BC ja B2C2 on joonega AC risti ja järelduse 3.1 järgi paralleelsed. Lause 4.13 järgi
2
Joonis 5.1.2.
Teoreemi 5.1 kohta.
Kuid konstruktsiooni järgi AC2 = A1C1; AB2 = A1B1, seega
Q.E.D.
Teoreem 5.2.
Pythagorase teoreem. Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi ruut võrdne summaga jalgade ruudud.
Mudel 5.2. Pythagorase teoreemi tõestus.
Joonisel 5.1.3 on kujutatud täisnurkne kolmnurk. BC ja AC on selle jalad, AB on hüpotenuus. Teoreemi järgi BC2 + AC2 = AB2.
Tõestus
Olgu ABC antud täisnurkne kolmnurk tipus C täisnurgaga.
3
Joonis 5.1.3.
Pythagorase teoreemi tõestuse poole.
Joonistame kõrguse CD tipust C. Definitsiooni järgi kolmnurgast ACD ja alates kolmnurk ABC. Teoreemi 5.1 järgi ja seetõttu . Sarnaselt Δ CDB, Δ ACB ja seega AB · BD = BC2. Lisades saadud võrrandid ja märkides, et AD + BD = AB, saame AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Teoreem on tõestatud.
Täisnurkses kolmnurgas on mõni jalg väiksem kui hüpotenuus. Iga teravnurga koosinus on väiksem kui üks.
Olgu punktist B joonele a tõmmatud risti ja A selle sirge mis tahes punkt peale C. Lõigu AB nimetatakse punktist B joonele a tõmmatud kaldjooneks. Punkti C nimetatakse kalde aluseks. Segmenti AC nimetatakse kaldprojektsiooniks.
Pythagorase teoreemi kasutades saab näidata, et kui ühest punktist sirgele tõmmata risti ja kaldjoon, siis
iga kalle on suurem kui risti,
võrdsetel kaldudel on võrdsed projektsioonid,
Kahest kaldest on suurem see, mille projektsioon on suurem.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe. A-prioor
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe. Täisnurkse kolmnurga nurga (BAC) jaoks, mis on näidatud joonisel fig. 5.1.1, meil on
Nii nagu koosinus, sõltuvad nurga siinus ja nurga puutuja ainult nurga suurusest.
4
Joonis 5.1.4.
Nendest definitsioonidest saame järgmised seosed täisnurkse kolmnurga nurkade ja külgede vahel: kui α on täisnurkse kolmnurga teravnurk, siis
nurga α vastane jalg, võrdne tootega hüpotenuus sin α poolt;
nurgaga α külgnev jalg on võrdne hüpotenuusi ja cos α korrutisega;
nurga α vastas olev jalg on võrdne teise jala korrutisega tan α.
Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid on täisnurkse kolmnurga mis tahes kahe külje vastastikuse suhte arvväärtused. Olenevalt täisnurkse kolmnurga külgede vahekorrast nimetatakse trigonomeetrilisi funktsioone: siinus (sin), koosinus (cos), puutuja (tg), kotangens (ctg) jne.
Sinus Teravnurk on vastasjala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhte arvväärtus:
(31)
Koosinus Teravnurk on külgneva jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhte arvväärtus:
(32)
Tangent Teravnurk on vastasjala pikkuse ja külgneva jala pikkuse suhte arvväärtus:
(33)
Kotangent Teravnurk on külgneva jala pikkuse ja vastasjala pikkuse suhte arvväärtus:
(34)
Mängivad teravnurkade funktsioonid oluline roll paljude matemaatiliste ja geodeetiliste ülesannete lahendamisel piirab nende kasutamist aga teravnurkade muutuste piirid 0 (0-00) kuni 90 (30-00). Topogeodeetilisel refereerimisel kasutab suunanurkade määramise süsteem nurki (suundi) mõõtmispiiridega kuni 360 (60-00). Seetõttu on vaja laiendada trigonomeetriliste funktsioonide mõistet mis tahes suurusega nurkadele.
Mis tahes suvalise nurga trigonomeetrilisi funktsioone saab väljendada teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste kaudu (veerandnurk, vt joonis 23). Selliseid teisendusi arvesse võttes on koostatud "Siinuste ja koosinuste trigonomeetriliste funktsioonide loodusväärtuste tabel". (Lisa 6). Tabeli abil saate määrata siinuse ja koosinuse trigonomeetrilisi funktsioone ilma nurka veerandini vähendamata.
Kolmnurga lahendus.
Igat tüüpi seriive seostatakse kolmnurga lahendamisega. Kolmnurga lahendamine tähendab nurk- ja lineaarelementide tundmatute väärtuste määramist. Kolmnurga lahendamiseks peate teadma selle kolme elemendi väärtusi, millest peab olema vähemalt üks külg.
Topograafilise ja geodeetilise töö praktikas taandub lahinguformatsiooni elementide sidumine serifidega kolmanda nurga ja kahe teise külje arvutamisele teadaolevalt kahe nurga ja ühelt küljelt või kolmanda külje ja kahe nurga arvutamiseks teadaolevalt kahelt küljelt ja nurk nende vahel.
Kolmnurga lahendamine viiakse läbi selle elementide suhete valemite abil, mis on tuntud trigonomeetria kursusest.
Märgistatud kolmnurgas ABC(joon. 17) küljed läbi 
,
Ja
ja nurgad läbi A, B Ja KOOS, Paneme kirja põhilised seosed:
(nurksumma teoreem); (35)
(siinuste teoreem); (36)
(koosinusteoreem); (37)
(tangensi teoreem). (38)