Videotunnis “Funktsioon y = sinx, ee omadused ja graafik” esitatakse selleteemaline visuaalne materjal ja ka kommentaarid selle kohta. Demonstratsiooni käigus vaadeldakse funktsiooni tüüpi, selle omadusi, kirjeldatakse üksikasjalikult käitumist koordinaattasandi erinevatel segmentidel, graafiku tunnuseid ning kirjeldatakse siinust sisaldavate trigonomeetriliste võrrandite graafilise lahenduse näidet. Videotunni abil on õpetajal lihtsam sõnastada õpilase arusaam sellest funktsioonist ja õpetada ülesandeid graafiliselt lahendama.
Videotunnis kasutatakse tööriistu, mis hõlbustavad õppeinfo meeldejätmist ja mõistmist. Graafikute esitamisel ja ülesannete lahenduse kirjeldamisel kasutatakse animatsiooniefekte, mis aitavad mõista funktsiooni käitumist ja esitada järjestikku lahenduse edenemist. Samuti täiendab materjali esitamine seda oluliste kommentaaridega, mis asendavad õpetaja selgitust. Seega saab seda materjali kasutada ka visuaalse abivahendina. Ja tunni iseseisva osana õpetaja selgituse asemel uuel teemal.
Demonstratsioon algab tunni teema tutvustamisega. Esitatakse siinusfunktsioon, mille kirjeldus on meeldejätmiseks esile tõstetud kastis - s=sint, milles argumendiks t võib olla mis tahes reaalarv. Selle funktsiooni omaduste kirjeldus algab määratlusvaldkonnaga. Märgitakse, et funktsiooni määratluspiirkond on terve reaalarvude arvtelg, st D(f)=(- ∞;+∞). Teine omadus on siinusfunktsiooni veidrus. Tuletame meelde, et seda omadust uuriti 9. klassis, kui märgiti, et paaritu funktsiooni korral kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Siinuse jaoks demonstreeritakse funktsiooni veidruse kinnitust ühikuringil, mis on jagatud neljandikku. Teades, millise märgi võtab funktsioon koordinaattasandi erinevates kvartalites, märgitakse, et vastupidise märgiga argumentide puhul on punktide L(t) ja N(-t) näitel siinuse veidrustingimus täidetud. Seetõttu on s=sint paaritu funktsioon. See tähendab, et funktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.
Siinuse kolmas omadus näitab intervalle suurenevate ja kahanevate funktsioonide vahel. See märgib, et see funktsioon suureneb segmendil ja väheneb segmendil [π/2;π]. Omadust on demonstreeritud joonisel, mis kujutab ühikringi ja punktist A vastupäeva liikudes ordinaat suureneb ehk funktsiooni väärtus suureneb π/2-ni. Liikudes punktist B punkti C, st kui nurk muutub π/2-lt π-ks, siis ordinaadi väärtus väheneb. Ringjoone kolmandal veerandil punktist C punkti D liikudes ordinaat kahaneb 0-lt -1-le ehk siinuse väärtus väheneb. Viimasel veerandil punktist D punkti A liikudes tõuseb ordinaadi väärtus -1-lt 0-ni. Seega saame teha üldise järelduse funktsiooni käitumise kohta. Ekraanil kuvatakse väljund, mis sint suureneb lõigul [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], väheneb intervallil [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] mis tahes täisarvu k korral.
Siinuse neljas omadus käsitleb funktsiooni piiritust. Tuleb märkida, et sint-funktsioon on piiratud nii ülalt kui ka altpoolt. Õpilastele tuletatakse meelde 9. klassi algebra infot, kui neile tutvustati funktsiooni piirituse mõistet. Ekraanile kuvatakse ülalt piiritletud funktsiooni tingimus, mille puhul on olemas teatud arv, mille puhul funktsiooni mis tahes punktis kehtib võrratus f(x)>=M. Tuletame meelde ka allpool piiritletud funktsiooni tingimust, mille puhul on funktsiooni igast punktist väiksem arv m. Sinti puhul on tingimus -1 täidetud<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
Viies omadus arvestab funktsiooni väikseimat ja suurimat väärtust. Märgitakse väikseima väärtuse -1 saavutamine igas punktis t=-(π/2)+2πk ja suurima väärtuse saavutamine punktides t=(π/2)+2πk.
Vaadeldavate omaduste põhjal koostatakse lõigule sintfunktsiooni graafik. Funktsiooni koostamiseks kasutatakse siinuse tabeliväärtusi vastavates punktides. Koordinaatide tasapinnale on märgitud punktide π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π koordinaadid. Märkides nendes punktides funktsiooni tabeliväärtused ja ühendades need sujuva joonega, koostame graafiku.
Funktsiooni sint graafiku joonistamiseks lõigul [-π;π] kasutatakse funktsiooni sümmeetria omadust lähtekoha suhtes. Joonisel on näha, kuidas konstrueerimise tulemusena saadud joon kandub sujuvalt sümmeetriliselt koordinaatide alguspunkti suhtes lõigule [-π;0].
Kasutades sint-funktsiooni omadust, mis on väljendatud redutseerimisvalemis sin(x+2π) = sin x, märgitakse, et siinusgraafik kordub iga 2π järel. Seega intervallil [π; 3π] on graafik sama, mis [-π;π]. Seega kujutab selle funktsiooni graafik korduvaid fragmente [-π;π] kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Eraldi märgitakse, et sellist funktsiooni graafikut nimetatakse sinusoidiks. Tutvustatakse ka siinuslaine mõistet - lõigule [-π;π] ehitatud graafiku fragment ja lõigule ehitatud sinusoidkaar . Neid fragmente näidatakse uuesti meeldejätmiseks.
Märgitakse, et sint-funktsioon on pidev funktsioon kogu definitsioonipiirkonna ulatuses ja ka seda, et funktsiooni väärtuste vahemik asub segmendi [-1;1] väärtuste komplektis.
Videotunni lõpus vaadeldakse võrrandi sin x=x+π graafilist lahendust. Ilmselt on võrrandi graafiline lahendus vasakpoolse avaldisega antud funktsiooni ja parempoolse avaldise poolt antud funktsiooni graafiku ristumiskoht. Ülesande lahendamiseks konstrueeritakse koordinaattasand, millele joonistatakse välja vastav siinus y=sin x ja konstrueeritakse funktsiooni y=x+π graafikule vastav sirge. Koostatud graafikud lõikuvad ühes punktis B(-π;0). Seetõttu on x=-π võrrandi lahendus.
Videotund “Funktsioon y = sinx, ee omadused ja graafik” aitab tõsta traditsioonilise matemaatikatunni tulemuslikkust koolis. Kaugõppe sooritamisel saab kasutada ka visuaalset materjali. Käsiraamat võib aidata teemat omandada õpilastel, kes vajavad materjali sügavamaks mõistmiseks lisatunde.
TEKSTI DEKOODE:
Meie tunni teema on "Funktsioon y = sin x, selle omadused ja graafik."
Varem oleme juba tutvunud funktsiooniga s = sin t, kus tϵR (es võrdub siinusega te, kus te kuulub reaalarvude hulka). Uurime selle funktsiooni omadusi:
OMADUSED 1. Definitsioonipiirkond on reaalarvude hulk R (er), st D(f) = (- ; +) (de alates ef tähistab intervalli miinuslõpmatusest plusslõpmatuseni).
OMADUS 2. Funktsioon s = sin t on paaritu.
9. klassi tundides saime teada, et funktsiooni y = f (x), x ϵX (y on võrdne x ef-ga, kus x kuulub hulka x on suur) nimetatakse paarituks, kui mis tahes väärtuse x korral hulgast X võrdsus
f (- x) = - f (x) (eff miinus x-st võrdub miinus ef-ga x-st).
Ja kuna abstsisstelje suhtes sümmeetriliste punktide L ja N ordinaadid on vastassuunalised, siis sin(- t) = -sint.
See tähendab, et s = sin t on paaritu funktsioon ja funktsiooni s = sin t graafik on ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sümmeetriline alguspunkti suhtes tOs(te o es).
Vaatleme OMADUS 3. Intervallil [ 0; ] (nullist pi-ni kahe võrra) funktsioon s = sin t suureneb ja väheneb lõigul [; ](pi-lt kahe võrra pi-le).
See on joonistel selgelt näha: kui punkt liigub mööda arvuringi nullist pi-ni kahe võrra (punktist A punkti B), suureneb ordinaat järk-järgult 0-lt 1-le ja pi-lt kahe võrra pi-le (alates punktist B kuni C), ordinaat väheneb järk-järgult 1-lt 0-le.
Kui punkt liigub piki kolmandat veerandit (punktist C punkti D), väheneb liikuva punkti ordinaat nullist miinus ühele ja mööda neljandat veerandit liikudes suureneb ordinaat miinus ühest nullini. Seetõttu võime teha üldise järelduse: funktsioon s = sin t suureneb intervallil
(miinus pi-st kaks pluss kaks pi ka kuni pi-ni kaks pluss kaks pi ka) ja väheneb lõigul [; (piist kaks pluss kaks pi ka kolm pi kaks pluss kaks pi ka), kus
(ka kuulub täisarvude hulka).
OMADUS 4. Funktsioon s = sint on ülalt ja altpoolt piiratud.
9. klassi kursusest tuletage meelde piirituse definitsiooni: funktsiooni y = f (x) nimetatakse altpoolt piiritletuks, kui funktsiooni kõik väärtused ei ole väiksemad kui teatud arv m m nii, et mis tahes väärtuse x korral funktsiooni definitsioonipiirkonnast on võrratus f (x) ≥ m(ef alates x on suurem kui em või sellega võrdne). Funktsioon y = f (x) on ülalpool piiratud, kui funktsiooni kõik väärtused ei ole suuremad kui teatud arv M, see tähendab, et on olemas number M nii, et mis tahes väärtuse x korral funktsiooni definitsioonipiirkonnast on võrratus f (x) ≤ M(eff väärtusest x on väiksem kui em või sellega võrdne).
Tuleme tagasi funktsiooni juurde: piiritus tuleneb sellest, et iga te korral on ebavõrdsus tõene - 1 ≤ sint≤ 1. (te siinus on suurem või võrdne miinus ühega, kuid väiksem või võrdne ühega).
OMADUS 5. Funktsiooni väikseim väärtus on võrdne miinus ühega ja funktsioon saavutab selle väärtuse mis tahes punktis kujul t = (te võrdub miinus pi kahe pluss kahe tipuga ja funktsiooni suurim väärtus on võrdne ühele ja saavutatakse funktsiooniga mis tahes punktis kujul t = (te on võrdne pi korda kaks pluss kaks pi ka).
Funktsiooni s = sin t suurim ja väikseim väärtus tähistavad s kõige enam. ja s max. .
Saadud omadusi kasutades koostame funktsiooni y = sin x graafiku (y võrdub siinusega x), sest oleme harjunud pigem kirjutama y = f (x), mitte s = f (t).
Alustuseks valime skaala: piki ordinaattelge võtame ühikulise segmendina kaks lahtrit ja piki abstsisstellge on kaks lahtrit pi kolmega (alates ≈ 1). Kõigepealt koostame lõigule funktsiooni y = sin x graafiku. Selle segmendi koostamiseks vajame funktsiooni väärtuste tabelit, kasutame vastavate koosinus- ja siinusnurkade väärtuste tabelit:
Seega peate argumentide ja funktsioonide väärtuste tabeli koostamiseks seda meeles pidama X(x) see arv on vastavalt võrdne nurgaga vahemikus nullist pi ja juures(Kreeka) selle nurga siinuse väärtus.
Märgime need punktid koordinaattasandile. Vastavalt PROPERTY 3 segmendile
[ 0; ] (nullist pi-ni kahe võrra) funktsioon y = sin x suureneb ja väheneb lõigul [; ](pi-st kahe võrra pi) ja ühendades saadud punktid sujuva joonega, saame osa graafikust (joonis 1).
Kasutades paaritu funktsiooni graafiku sümmeetriat lähtekoha suhtes, saame funktsiooni y = sin x graafiku juba lõigul
[-π; π ] (miinus pi-st pi-ni (joonis 2).
Tuletame meelde, et sin(x + 2π)= sinx
(siinus x pluss kaks pi on võrdne siinus x). See tähendab, et punktis x + 2π saab funktsioon y = sin x sama väärtuse, mis punktis x. Ja kuna (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x pluss kaks pi kuulub lõiku pi-st kolme pi-ni), kui xϵ[-π; π ], siis lõigul [π; 3π ] funktsiooni graafik näeb välja täpselt samasugune nagu lõigul [-π; π]. Samamoodi segmentidel , , [-3π; -π ] ja nii edasi, funktsiooni y = sin x graafik näeb välja sama, mis lõigul
[-π; π].(joonis 3)
Sirget, mis on funktsiooni y = sin x graafik, nimetatakse siinuslaineks. Joonisel 2 kujutatud siinuslaine osa nimetatakse siinuslaineks, joonisel 1 aga siinuslaineks või poollaineks.
Konstrueeritud graafiku abil paneme kirja veel mitu selle funktsiooni omadust.
OMADUS 6. Funktsioon y = sin x on pidev funktsioon. See tähendab, et funktsiooni graafik on pidev, st sellel ei ole hüppeid ega torke.
OMADUS 7. Funktsiooni y = sin x väärtuste vahemik on segment [-1; 1] (miinus ühest üheni) või võib selle kirjutada järgmiselt: (e alates ef võrdub lõiguga miinus ühest üheni).
Vaatame NÄIDET. Lahendage graafiliselt võrrand sin x = x + π (siinus x võrdub x pluss pi).
Lahendus. Koostame funktsioonigraafikud y = patt X Ja y = x + π.
Funktsiooni y = sin x graafik on sinusoid.
y = x + π on lineaarfunktsioon, mille graafik on koordinaatidega (0; π) ja (- π ; 0) punkte läbiv sirgjoon.
Konstrueeritud graafikutel on üks lõikepunkt - punkt B(- π;0) (olema koordinaatidega miinus pi, null). See tähendab, et sellel võrrandil on ainult üks juur - punkti B abstsiss - -π. Vastus: X = - π.
Saime teada, et trigonomeetriliste funktsioonide käitumine ja funktsioonid y = sin x eriti, tervel arvureal (või argumendi kõigi väärtuste jaoks X) on täielikult määratud selle käitumisega intervallis 0 < X < π / 2 .
Seetõttu joonistame kõigepealt funktsiooni y = sin x täpselt selles intervallis.
Teeme järgmise oma funktsiooni väärtuste tabeli;
Märkides koordinaattasandile vastavad punktid ja ühendades need sujuva joonega, saame joonisel kujutatud kõvera
Saadud kõvera saab koostada ka geomeetriliselt, ilma funktsiooni väärtuste tabelit koostamata y = sin x .
1. Jaga 1 raadiusega ringi esimene veerand 8 võrdseks osaks Ringi jaotuspunktide ordinaadid on vastavate nurkade siinused.
2. Ringjoone esimene veerand vastab nurkadele 0 kuni π / 2 . Seetõttu teljel X Võtame segmendi ja jagame selle 8 võrdseks osaks.
3. Joonistame telgedega paralleelsed sirged X, ja jagamispunktidest konstrueerime ristid, kuni need ristuvad horisontaalsete joontega.
4. Ühendage ristumiskohad sujuva joonega.
Vaatame nüüd intervalli π /
2
<
X <
π
.
Iga argumendi väärtus X sellest intervallist saab esitada kui
x = π / 2 + φ
Kus 0 < φ < π / 2 . Reduktsioonivalemite järgi
patt ( π / 2 + φ ) = cos φ = patt ( π / 2 - φ ).
Telje punktid X abstsissidega π / 2 + φ Ja π / 2 - φ telje punkti suhtes sümmeetrilised X abstsissiga π / 2 , ja siinused nendes punktides on samad. See võimaldab meil saada funktsiooni graafiku y = sin x intervallil [ π / 2 , π ], kuvades lihtsalt sümmeetriliselt selle funktsiooni graafiku intervallis sirgjoone suhtes X = π / 2 .
Nüüd vara kasutuses paaritu paarsusfunktsioon y = sin x,
patt (- X) = - patt X,
seda funktsiooni on lihtne joonistada intervallisse [- π , 0].
Funktsioon y = sin x on perioodiline perioodiga 2π ;. Seetõttu piisab selle funktsiooni kogu graafiku koostamiseks, kui jätkata joonisel näidatud kõverat perioodiliselt punktiga vasakule ja paremale. 2π .
Saadud kõverat nimetatakse sinusoid . See on funktsiooni graafik y = sin x.
Joonis illustreerib hästi kõiki funktsiooni omadusi y = sin x , mida oleme varem tõestanud. Meenutagem neid omadusi.
1) Funktsioon y = sin x määratletud kõigi väärtuste jaoks X , seega on selle domeen kõigi reaalarvude hulk.
2) Funktsioon y = sin x piiratud. Kõik väärtused, mida see aktsepteerib, on vahemikus -1 kuni 1, sealhulgas need kaks numbrit. Järelikult määrab selle funktsiooni variatsioonivahemiku võrratus -1 < juures < 1. Millal X = π / 2 + 2k π funktsioon võtab suurimad väärtused 1 ja x = - π / 2 + 2k π - väikseimad väärtused on võrdsed -1.
3) Funktsioon y = sin x on paaritu (siinuslaine on alguspunkti suhtes sümmeetriline).
4) Funktsioon y = sin x perioodiline perioodiga 2 π .
5) 2n intervalliga π < x < π + 2n π (n on mis tahes täisarv) see on positiivne ja intervallides π + 2k π < X < 2π + 2k π (k on suvaline täisarv) see on negatiivne. Kui x = k π funktsioon läheb nulli. Seetõttu on need argumendi x väärtused (0; ± π ; ±2 π ; ...) nimetatakse funktsiooni nullideks y = sin x
6) intervallidega - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiooni y = patt x suureneb monotoonselt ja intervallidega π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π see väheneb monotoonselt.
Peaksite pöörama erilist tähelepanu funktsiooni käitumisele y = sin x punkti lähedal X = 0 .
Näiteks sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = patt π 2 / 180 = patt π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Samal ajal tuleb märkida, et mis tahes x väärtuste korral
| patt x| < | x | . (1)
Tõepoolest, olgu joonisel näidatud ringi raadius võrdne 1-ga,
a /
AOB = X.
Siis pattu x= AC. Aga AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Selle kaare pikkus on ilmselt võrdne X, kuna ringi raadius on 1. Seega 0 juures< X < π / 2
sin x< х.
Seega funktsiooni veidruse tõttu y = sin x on lihtne näidata, et kui - π / 2 < X < 0
| patt x| < | x | .
Lõpuks, millal x = 0
| sin x | = | x |.
Seega | X | < π / 2 ebavõrdsus (1) on tõestatud. Tegelikult kehtib see ebavõrdsus ka | x | > π / 2 tänu sellele, et | patt X | < 1, a π / 2 > 1
Harjutused
1.Vastavalt funktsiooni graafikule y = sin x määrake: a) sin 2; b) patt 4; c) patt (-3).
2.Vastavalt funktsiooni graafikule y = sin x
määrata, milline number intervallist
[ - π /
2 ,
π /
2
] siinus on võrdne: a) 0,6; b) -0,8.
3. Funktsiooni graafiku järgi y = sin x
määrake, millistel arvudel on siinus,
võrdne 1/2-ga.
4. Leia ligikaudne (tabeleid kasutamata): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
Selles õppetükis vaatleme üksikasjalikult funktsiooni y = sin x, selle põhiomadusi ja graafikut. Tunni alguses anname koordinaatringil trigonomeetrilise funktsiooni y = sin t definitsiooni ja vaatleme funktsiooni graafikut ringil ja sirgel. Näitame graafikul selle funktsiooni perioodilisust ja vaatleme funktsiooni põhiomadusi. Tunni lõpus lahendame funktsiooni ja selle omaduste graafiku abil mitmeid lihtsaid ülesandeid.
Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid
Õppetund: Funktsioon y=sinx, selle põhiomadused ja graafik
Funktsiooni kaalumisel on oluline seostada iga argumendi väärtus ühe funktsiooni väärtusega. See kirjavahetuse seadus ja seda nimetatakse funktsiooniks.
Määratleme vastavusseaduse .
Iga reaalarv vastab ühikringi ühele punktile. Punktil on üks ordinaat, mida nimetatakse arvu siinuseks (joonis 1).
Iga argumendi väärtus on seotud ühe funktsiooni väärtusega.
Siinuse definitsioonist tulenevad ilmsed omadused.
Joonis näitab seda 
sest on ühikringjoone punkti ordinaat.
Vaatleme funktsiooni graafikut. Meenutagem argumendi geomeetrilist tõlgendust. Argumendiks on kesknurk, mõõdetuna radiaanides. Piki telge joonistame reaalarvud või nurgad radiaanides, piki telge funktsiooni vastavad väärtused.
Näiteks ühikringi nurk vastab graafiku punktile (joonis 2)
Oleme saanud funktsiooni graafiku piirkonnas, kuid teades siinuse perioodi, saame kujutada funktsiooni graafikut kogu definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 3).
Funktsiooni põhiperiood on See tähendab, et graafikut saab saada segmendi kohta ja seejärel jätkata kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Mõelge funktsiooni omadustele:
1) Määratluse ulatus:
2) Väärtuste vahemik: 
3) paaritu funktsioon:
4) Väikseim positiivne periood:
5) Graafiku ja abstsisstelje lõikepunktide koordinaadid: 
6) Graafiku ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaadid:
7) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab positiivseid väärtusi:
8) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab negatiivseid väärtusi:
9) intervallide suurendamine:
10) Vähenevad intervallid:
11) Miinimumpunktid: 
12) Minimaalsed funktsioonid:
13) Maksimaalsed punktid: 
14) Maksimaalsed funktsioonid:
Vaatasime funktsiooni ja selle graafiku omadusi. Omadusi kasutatakse probleemide lahendamisel korduvalt.
Bibliograafia
1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.
5. Matemaatika ülesannete kogumik kõrgkoolidesse sisseastujatele (toimetanud M.I. Skanavi - M.: Kõrgkool, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleemid algebra ja analüüsipõhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10.–11. klassi õpilastele - M.: Prosveštšenie, 2003).
8. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.
Kodutöö
Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim.
A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Täiendavad veebiressursid
3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().
Funktsioony = pattx
Funktsiooni graafik on sinusoid.
Siinuslaine täielikku mittekorduvat osa nimetatakse siinuslaineks.
Pool siinuslainet nimetatakse poolsiinuslaineks (või kaareks).
Funktsiooni omadusedy =
pattx:
3) See on paaritu funktsioon. 4) See on pidev funktsioon.
6) Lõigul [-π/2; π/2] funktsioon suureneb intervallil [π/2; 3π/2] – väheneb. 7) Intervallide korral võtab funktsioon positiivseid väärtusi. 8) Kasvamisfunktsiooni intervallid: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Funktsiooni miinimumpunktid: -π/2 + 2πn. |
Funktsiooni graafiku loomiseks y= patt x Mugav on kasutada järgmisi kaalusid:
Ruuduga paberilehel võtame segmendi ühikuks kahe ruudu pikkuse.
Teljel x Mõõdame pikkust π. Samal ajal esitame mugavuse huvides 3.14 3 kujul - see tähendab ilma murdosata. Siis on paberilehel lahtris π 6 lahtrit (kolm korda 2 lahtrit). Ja iga rakk saab oma loomuliku nime (esimesest kuuendani): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Need on tähendused x.
Y-teljel märgime 1, mis sisaldab kahte lahtrit.
Loome oma väärtuste abil funktsiooni väärtuste tabeli x:
√3 | √3 |
Järgmiseks koostame ajakava. Tulemuseks on poollaine, mille kõrgeim punkt on (π/2; 1). See on funktsiooni graafik y= patt x segmendil. Lisame konstrueeritud graafikule sümmeetrilise poollaine (sümmeetriline alguspunkti suhtes ehk lõigul -π). Selle poollaine hari on koordinaatidega (-1; -1) x-telje all. Tulemuseks on laine. See on funktsiooni graafik y= patt x lõigul [-π; π].
Lainet saab jätkata, konstrueerides selle lõigule [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] jne. Kõigil neil segmentidel näeb funktsiooni graafik välja samasugune kui segmendil [-π; π]. Saate pideva lainelise joone identsete lainetega.
Funktsioony = cosx.
Funktsiooni graafik on siinuslaine (mõnikord nimetatakse seda koosinuslaineks).
Funktsiooni omadusedy = cosx:
1) Funktsiooni määratluspiirkond on reaalarvude hulk. 2) Funktsiooni väärtuste vahemik on segment [–1; 1] 3) See on paarisfunktsioon. 4) See on pidev funktsioon. 5) Graafiku lõikepunktide koordinaadid: 6) Lõigul funktsioon väheneb, lõigul [π; 2π] – suureneb. 7) intervallidel [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funktsioon võtab positiivsed väärtused. 8) Kasvavad intervallid: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Funktsiooni miinimumpunktid: π + 2πn. 10) Funktsioon on ülalt ja alt piiratud. Funktsiooni väikseim väärtus on –1, 11) See on perioodiline funktsioon perioodiga 2π (T = 2π) |
Funktsioony = mf(x).
Võtame eelmise funktsiooni y=cos x. Nagu te juba teate, on selle graafik siinuslaine. Kui korrutada selle funktsiooni koosinus teatud arvuga m, siis laine laieneb teljest x(või kahaneb, olenevalt m väärtusest).
See uus laine on funktsiooni y = mf(x) graafik, kus m on mis tahes reaalarv.
Seega on funktsioon y = mf(x) tuttav funktsioon y = f(x) korrutatuna m-ga.
Kuim< 1, то синусоида сжимается к оси x koefitsiendi järgim. Kuim > 1, siis venitatakse sinusoid teljeltx koefitsiendi järgim.
Venitamise või kokkusurumise sooritamisel saate kõigepealt joonistada ainult ühe siinuslaine poollaine ja seejärel täita kogu graafiku.
Funktsioony= f(kx).
Kui funktsioon y=mf(x) viib sinusoidi venitamiseni teljelt x või kokkusurumine telje suunas x, siis funktsioon y = f(kx) viib teljelt venitamiseni y või kokkusurumine telje suunas y.
Pealegi on k mis tahes reaalarv.
Kell 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y koefitsiendi järgik. Kuik > 1, siis on sinusoid telje suunas kokku surutudy koefitsiendi järgik.
Selle funktsiooni graafiku koostamisel saate kõigepealt luua siinuslaine ühe poollaine ja seejärel kasutada seda kogu graafiku täitmiseks.
Funktsioony = tgx.
Funktsioonide graafik y= tg x on puutuja.
Piisab, kui konstrueerida osa graafikust vahemikus 0 kuni π/2 ja seejärel saab seda sümmeetriliselt jätkata vahemikus 0 kuni 3π/2.
Funktsiooni omadusedy = tgx:
Funktsioony = ctgx
Funktsioonide graafik y=ctg x on ka tangentoid (seda nimetatakse mõnikord ka kotangentoidiks).
Funktsiooni omadusedy = ctgx:
Tund ja ettekanne teemal: "Funktsioon y=sin(x). Definitsioonid ja omadused"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Mida me uurime:
- Funktsiooni Y=sin(X) omadused.
- Funktsioonide graafik.
- Kuidas koostada graafikut ja selle skaala.
- Näited.
Siinuse omadused. Y=sin(X)
Poisid, oleme juba tutvunud numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Kas sa mäletad neid?
Vaatame lähemalt funktsiooni Y=sin(X)
Kirjutame üles selle funktsiooni mõned omadused:
1) Määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
2) Funktsioon on paaritu. Meenutagem paaritu funktsiooni määratlust. Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui võrdus kehtib: y(-x)=-y(x). Nagu mäletame kummitusvalemitest: sin(-x)=-sin(x). Definitsioon on täidetud, mis tähendab, et Y=sin(X) on paaritu funktsioon.
3) Funktsioon Y=sin(X) suureneb lõigul ja väheneb lõigul [π/2; π]. Kui liigume mööda esimest kvartalit (vastupäeva), siis ordinaat tõuseb ja teisest kvartalist läbi liikudes väheneb.
4) Funktsioon Y=sin(X) on piiratud alt ja ülalt. See omadus tuleneb asjaolust, et
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funktsiooni väikseim väärtus on -1 (at x = - π/2+ πk). Funktsiooni suurim väärtus on 1 (at x = π/2+ πk).
Funktsiooni Y=sin(X) joonistamiseks kasutame omadusi 1-5. Koostame oma graafiku järjestikku, rakendades oma omadusi. Alustame segmendi graafiku koostamist.
Erilist tähelepanu tuleks pöörata skaalale. Ordinaatteljel on mugavam võtta ühikuline segment, mis on võrdne 2 lahtriga, ja abstsissteljele on mugavam võtta ühikuline segment (kaks lahtrit), mis on võrdne π/3-ga (vt joonist).
_2.png)
Siinusfunktsiooni x joonistamine, y=sin(x)
Arvutame oma segmendi funktsiooni väärtused:
_3.png)
Koostame oma punktide abil graafiku, võttes arvesse kolmandat omadust.
_4.png)
Kummitusvalemite teisendustabel
Kasutame teist omadust, mis ütleb, et meie funktsioon on paaritu, mis tähendab, et seda saab peegeldada sümmeetriliselt lähtekoha suhtes:
_5.png)
Teame, et sin(x+ 2π) = sin(x). See tähendab, et intervallil [- π; π] graafik näeb välja sama, mis lõigul [π; 3π] või või [-3π; - π] ja nii edasi. Tuleb vaid eelmisel joonisel olev graafik kogu x-telje ulatuses hoolikalt ümber joonistada.
_6.png)
Funktsiooni Y=sin(X) graafikut nimetatakse sinusoidiks.
Kirjutame konstrueeritud graafiku järgi veel mõned omadused:
6) Funktsioon Y=sin(X) kasvab igal lõigul kujul: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k on täisarv ja väheneb vormi mis tahes segmendil: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – täisarv.
7) Funktsioon Y=sin(X) on pidev funktsioon. Vaatame funktsiooni graafikut ja veendume, et meie funktsioonil pole katkestusi, see tähendab järjepidevust.
8) Väärtuste vahemik: segment [- 1; 1]. See on selgelt näha ka funktsiooni graafikult.
9) Funktsioon Y=sin(X) - perioodiline funktsioon. Vaatame uuesti graafikut ja näeme, et funktsioon võtab teatud ajavahemike järel samu väärtusi.
Siinuse probleemide näited
1. Lahendage võrrand sin(x)= x-π
Lahendus: koostame funktsioonist 2 graafikut: y=sin(x) ja y=x-π (vt joonist).
Meie graafikud lõikuvad ühes punktis A(π;0), see on vastus: x = π
_7.png)
2. Joonistage funktsioon y=sin(π/6+x)-1
Lahendus: soovitud graafik saadakse funktsiooni y=sin(x) graafiku π/6 ühiku võrra vasakule ja 1 ühiku võrra allapoole liigutades.
_8.png)
Lahendus: Joonistame funktsiooni graafiku ja vaatleme meie lõiku [π/2; 5π/4].
Funktsiooni graafik näitab, et suurimad ja väikseimad väärtused saavutatakse lõigu otstes, vastavalt punktides π/2 ja 5π/4.
Vastus: sin(π/2) = 1 – suurim väärtus, sin(5π/4) = väikseim väärtus.
_9.png)
Siinuse ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
- Lahenda võrrand: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Joonistage funktsioon y=sin(π/3+x)-2
- Joonistage funktsioon y=sin(-2π/3+x)+1
- Leia funktsiooni y=sin(x) suurim ja väikseim väärtus lõigul
- Leia funktsiooni y=sin(x) suurim ja väikseim väärtus intervallil [- π/3; 5π/6]