Mõisted siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on matemaatika haru trigonomeetria peamised kategooriad ja on lahutamatult seotud nurga määratlusega. Selle omandiõigus matemaatikateadus nõuab päheõppimist ja valemite ja teoreemide mõistmist, samuti arenenud ruumilist mõtlemist. Sellepärast koolilapsed ja üliõpilased trigonomeetrilised arvutused tekitavad sageli raskusi. Nende ületamiseks peaksite tutvuma trigonomeetriliste funktsioonide ja valemitega.
Mõisted trigonomeetrias
Aru saama põhimõisted trigonomeetria, peate esmalt otsustama, mis on täisnurkne kolmnurk ja nurk ringis ning miks on nendega seotud kõik põhilised trigonomeetrilised arvutused. Kolmnurk, mille üks nurkadest on 90 kraadi, on ristkülikukujuline. Ajalooliselt kasutasid seda kuju sageli inimesed arhitektuuris, navigatsioonis, kunstis ja astronoomias. Sellest lähtuvalt jõudsid inimesed selle joonise omadusi uurides ja analüüsides arvutada selle parameetrite vastavad suhted.
Peamised täisnurksete kolmnurkadega seotud kategooriad on hüpotenuus ja jalad. Hüpotenuus - kolmnurga vastaskülg täisnurk. Jalad on vastavalt ülejäänud kaks külge. Iga kolmnurga nurkade summa on alati 180 kraadi.
Sfääriline trigonomeetria on trigonomeetria osa, mida ei õpita koolis, vaid sees rakendusteadused nagu astronoomia ja geodeesia, kasutavad teadlased seda. Kolmnurga tunnus sfääriline trigonomeetria on see, et selle nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi.
Kolmnurga nurgad
Täisnurkses kolmnurgas on nurga siinus soovitud nurga vastas oleva jala ja kolmnurga hüpotenuusi suhe. Sellest lähtuvalt on koosinus suhe külgnev jalg ja hüpotenuus. Mõlemad väärtused on alati väiksemad kui üks, kuna hüpotenuus on alati pikem kui jalg.
Nurga puutuja on suhtega võrdne väärtus vastaspool soovitud nurga külgnevale küljele või siinus koosinusesse. Kootangens on omakorda soovitud nurga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Nurga kotangensi saab ka jagades ühe puutuja väärtusega.
Üksuse ring
Ühikringjoon geomeetrias on ring, mille raadius võrdne ühega. Selline ring on ehitatud sisse Descartes'i süsteem koordinaadid, samas kui ringi keskpunkt ühtib lähtepunktiga ja lähtepositsioon Raadiusvektor määratakse X-telje (abstsisstelje) positiivse suuna järgi. Ringi igal punktil on kaks koordinaati: XX ja YY, see tähendab abstsissi ja ordinaadi koordinaadid. Valides ringil suvalise punkti XX tasapinnal ja langetades sellelt risti abstsissteljega, saame täisnurkse kolmnurga, mille moodustab valitud punkti raadius (tähistatakse tähega C), mis on tõmmatud X-teljega. (lõikepunkti tähistatakse tähega G) ja lõiku on abstsisstellje alguspunkti (punkti tähistatakse tähega A) ja lõikepunkti G vahel. Saadud kolmnurk ACG on täisnurkne kolmnurk, mis on kirjutatud ringile, kus AG on hüpotenuus ning AC ja GC on jalad. Nurk ringi raadiuse AC ja abstsisstelje tähisega AG lõigu vahel on defineeritud kui α (alfa). Niisiis, cos α = AG/AC. Arvestades, et AC on raadius üksuse ring, ja see on võrdne ühega, selgub, et cos α=AG. Samuti sin α=CG.
Lisaks saate neid andmeid teades määrata ringi punkti C koordinaadi, kuna cos α=AG ja sin α=CG, mis tähendab, et punktil C on antud koordinaadid(cos α; sin α). Teades, et puutuja võrdne suhtega siinus-koosinus, saame määrata, et tan α = y/x ja cot α = x/y. Arvestades nurki negatiivses koordinaatsüsteemis, saate arvutada, et mõne nurga siinus- ja koosinusväärtused võivad olla negatiivsed.
Arvutused ja põhivalemid
Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused
Arvestades trigonomeetriliste funktsioonide olemust ühikringi kaudu, saame nende funktsioonide väärtused tuletada mõne nurga jaoks. Väärtused on loetletud allolevas tabelis.
Lihtsamad trigonomeetrilised identiteedid
Võrrandid, milles trigonomeetrilise funktsiooni märk sisaldab tundmatu väärtus, nimetatakse trigonomeetrilisteks. Identiteedid patu väärtus x = α, k – mis tahes täisarv:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, lahendusi pole.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identiteedid väärtusega cos x = a, kus k on mis tahes täisarv:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, lahendusi pole.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Identiteedid väärtusega tg x = a, kus k on mis tahes täisarv:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Identiteedid väärtusega ctg x = a, kus k on mis tahes täisarv:
- võrevoodi x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Vähendamise valemid
See kategooria konstantsed valemid tähistab meetodeid, mille abil saate liikuda vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt argumendi funktsioonidele, st taandada mis tahes väärtusega nurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti intervalli nurga vastavatele näitajatele vahemikus 0 kuni Arvutuste hõlbustamiseks 90 kraadi.
Nurga siinuse vähendamise funktsioonide valemid näevad välja järgmised:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Nurga koosinuse jaoks:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Ülaltoodud valemite kasutamine on võimalik kahe reegli alusel. Esiteks, kui nurka saab esitada väärtusena (π/2 ± a) või (3π/2 ± a), muutub funktsiooni väärtus:
- patust cos;
- cos-ist pattu;
- tg-st ctg-ni;
- ctg-st tg-ni.
Funktsiooni väärtus jääb muutumatuks, kui nurka saab esitada kui (π ± a) või (2π ± a).
Teiseks ei muutu redutseeritud funktsiooni märk: kui see oli algselt positiivne, siis nii see ka jääb. Sama ka negatiivsete funktsioonidega.
Lisamise valemid
Need valemid väljendavad kahe pöördenurga summa ja erinevuse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi nende trigonomeetriliste funktsioonide kaudu. Tavaliselt on nurgad tähistatud kui α ja β.
Valemid näevad välja sellised:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Need valemid kehtivad mis tahes nurga α ja β korral.
Topelt- ja kolmiknurga valemid
Topelt- ja kolmiknurga trigonomeetrilised valemid on valemid, mis seovad vastavalt nurkade 2α ja 3α funktsioonid nurga α trigonomeetriliste funktsioonidega. Tuletatud liitmisvalemitest:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).
Üleminek summalt tootele
Arvestades, et 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), saame seda valemit lihtsustades identiteedi pattα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Samamoodi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Üleminek tootelt summale
Need valemid tulenevad summa korrutiseks ülemineku tunnustest:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Kraadide vähendamise valemid
Nendes identiteetides ruudu- ja kuupkraad siinust ja koosinust saab väljendada mitme nurga esimese astme siinuse ja koosinuse kaudu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universaalne asendus
Universaalse trigonomeetrilise asendamise valemid väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga puutuja kaudu.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), kusjuures x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kus x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kus x = π + 2πn;
- võrevoodi x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), kusjuures x = π + 2πn.
Erijuhtumid
Algloomade erijuhud trigonomeetrilised võrrandid on toodud allpool (k on mis tahes täisarv).
Siinuse jagatised:
| Sin x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk või 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk või -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk või 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk või -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk või 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk või -2π/3 + 2πk |
Koosinuse jagatised:
| cos x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Tangensi jagatised:
| tg x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kootangensi jagatised:
| ctg x väärtus | x väärtus |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoreemid
Siinuste teoreem
Teoreemil on kaks versiooni – lihtne ja laiendatud. Lihtne teoreem siinused: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sel juhul on a, b, c kolmnurga küljed ja α, β, γ vastavalt vastasnurgad.
Laiendatud siinusteoreem jaoks suvaline kolmnurk: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Selles identiteedis tähistab R selle ringi raadiust, millesse antud kolmnurk on kantud.
Koosinusteoreem
Identiteet kuvatakse järgmiselt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Valemis on a, b, c kolmnurga küljed ja α on külje a vastasnurk.
Tangensiteoreem
Valem väljendab seost kahe nurga puutujate ja nende vastas olevate külgede pikkuse vahel. Küljed on tähistatud a, b, c ja vastavad vastasnurgad on α, β, γ. Puutujateoreemi valem: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Kotangensi teoreem
Ühendab kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse selle külgede pikkusega. Kui a, b, c on kolmnurga küljed ja vastavalt A, B, C on nende vastas olevad nurgad, r on sissekirjutatud ringi raadius ja p kolmnurga poolperimeeter, Identiteedid kehtivad:
- võrevoodi A/2 = (p-a)/r;
- võrevoodi B/2 = (p-b)/r;
- võrevoodi C/2 = (p-c)/r.
Rakendus
Trigonomeetria - mitte ainult teoreetiline teadus seotud matemaatilised valemid. Selle omadusi, teoreeme ja reegleid kasutavad praktikas erinevad tööstusharud. inimtegevus- astronoomia, õhu- ja merenavigatsioon, muusikateooria, geodeesia, keemia, akustika, optika, elektroonika, arhitektuur, majandus, masinaehitus, mõõtmistööd, arvutigraafika, kartograafia, okeanograafia ja paljud teised.
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetria põhimõisted, mille abil saab kolmnurga nurkade ja külgede pikkuste vahelisi seoseid matemaatiliselt väljendada ning identiteetide, teoreemide ja reeglite kaudu leida vajalikke suurusi.
Ma ei püüa sind veenda, et sa petulehti ei kirjutaks. Kirjutage! Sealhulgas petulehed trigonomeetria kohta. Hiljem plaanin selgitada, miks petulehti vaja on ja miks petulehed kasulikud on. Ja siin on teave selle kohta, kuidas mitte õppida, vaid mõnda meelde jätta trigonomeetrilised valemid. Seega - trigonomeetria ilma petuleheta!Meeldejätmiseks kasutame assotsiatsioone.
1. Lisamisvalemid:
Koosinused “tulevad alati paarikaupa”: koosinus-koosinus, siinus-siinus.
Ja veel üks asi: koosinused on "ebapiisavad". “Kõik pole õige” nende jaoks, mistõttu nad muudavad märgid: “-” märgiks “+” ja vastupidi.
Siinused - "segu": siinus-koosinus, koosinus-siinus.
2. Summa ja vahe valemid:
koosinused “tulevad alati paarikaupa”. Lisades kaks koosinust - “koloboks”, saame koosinuste paari - “koloboks”. Ja lahutades ei saa me kindlasti ühtegi koloboksi. Saame paar siinust. Ka miinusega ees.
Siinused - "segu" :
3. Valemid korrutise teisendamiseks summaks ja vaheks.
Millal saame koosinuspaari? Kui lisame koosinused. Sellepärast
Millal saame paar siinust? Koosinuste lahutamisel. Siit:
“Segamine” saadakse nii siinuste liitmisel kui ka lahutamisel. Mis on lõbusam: liitmine või lahutamine? See on õige, voldi. Ja valemi jaoks lisavad nad:
Esimeses ja kolmandas valemis on summa sulgudes. Tingimuste kohtade ümberpaigutamine ei muuda summat. Järjekord on oluline ainult teise valemi puhul. Kuid selleks, et mitte segadusse sattuda, võtame meeldejätmise hõlbustamiseks kõigis kolmes esimestes sulgudes olevas valemis erinevuse
ja teiseks - summa
Petulehed taskus annavad teile meelerahu: kui valemi unustate, saate selle kopeerida. Ja need annavad teile kindlustunde: kui te ei kasuta petulehte, jätate valemid kergesti meelde.
Siinus ja koosinus tekkisid algselt vajadusest arvutada suurusi täisnurksete kolmnurkadena. Täheldati, et kui täisnurkse kolmnurga nurkade astmemõõtu ei muudeta, jääb kuvasuhe, olenemata sellest, kui palju nende külgede pikkus muutub, alati samaks.
Nii võeti kasutusele mõisted siinus ja koosinus. Sinus teravnurk täisnurkses kolmnurgas on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe ja koosinus on hüpotenuusiga külgneva külje suhe.
Koosinuste ja siinuste teoreemid
Kuid koosinust ja siinust saab kasutada rohkem kui lihtsalt täisnurksete kolmnurkade jaoks. Mis tahes kolmnurga nüri- või teravnurga või külje väärtuse leidmiseks piisab koosinuste ja siinuste teoreemi rakendamisest.
Koosinusteoreem on üsna lihtne: “Kolmnurga külje ruut võrdne summagaülejäänud kahe külje ruudud, millest lahutatakse nende külgede kahekordne korrutis nendevahelise nurga koosinusega.
Siinuse teoreemil on kaks tõlgendust: väike ja laiendatud. Väikese järgi: “Kolmnurgas on nurgad võrdelised vastaspooled». See teoreem sageli laienenud kolmnurga piiratud ringi omaduse tõttu: "Kolmnurgas on nurgad võrdelised vastaskülgedega ja nende suhe on võrdne piiratud ringi läbimõõduga."
Tuletised
Tuletis on matemaatiline tööriist, mis näitab, kui kiiresti funktsioon muutub võrreldes argumendi muutumisega. Tuletisi kasutatakse geomeetrias ja paljudes tehnilistes distsipliinides.
Ülesannete lahendamisel peate teadma trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste tabeliväärtusi: siinus ja koosinus. Siinuse tuletis on koosinus ja koosinus on siinus, kuid miinusmärgiga.
Rakendus matemaatikas
Eriti sageli kasutatakse lahendamisel siinusi ja koosinusi täisnurksed kolmnurgad ja nendega seotud ülesanded.
Siinuste ja koosinuste mugavus peegeldub ka tehnoloogias. Nurki ja külgi oli lihtne hinnata koosinuste ja siinuste teoreemide abil, jaotades keerulised kujundid ja objektid "lihtsateks" kolmnurkadeks. Insenerid tegelevad sageli kuvasuhte arvutustega ja kraadimõõtmised, kulutas palju aega ja vaeva mittetabelinurkade koosinuste ja siinuste arvutamiseks.
Siis tulid appi Bradise tabelid, mis sisaldasid tuhandeid siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtusi erinevad nurgad. IN nõukogude aeg mõned õpetajad sundisid oma õpilasi Bradise tabelite lehti pähe õppima.
Radiaan – nurga suurus kaared, pikkus võrdne raadiusega või 57,295779513° kraadi.
Kraad (geomeetrias) - 1/360 ringjoone osa või 1/90 täisnurga osa.
π = 3,141592653589793238462… ( ligikaudne väärtus Pi numbrid).
Koosinustabel nurkade jaoks: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Nurk x (kraadides) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nurk x (radiaanides) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine.
Mis tahes keerukusega trigonomeetriliste võrrandite lahendamine taandub lõpuks kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele. Ja selles parim abimees jällegi osutub see trigonomeetriliseks ringiks.
Tuletame meelde koosinuse ja siinuse definitsioone.
Nurga koosinus on ühikringi punkti abstsiss (st koordinaat piki telge), mis vastab pöördele läbi antud nurga.
Nurga siinus on ühikringi punkti ordinaat (st koordinaat piki telge), mis vastab pöördele läbi antud nurga.
Positiivne liikumissuund trigonomeetrilisel ringil on vastupäeva. Pööramine 0 kraadi (või 0 radiaani) vastab punktile koordinaatidega (1; 0)
Me kasutame neid definitsioone lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.
1. Lahenda võrrand
See võrrand on täidetud kõigi pöördenurga väärtustega, mis vastavad ringi punktidele, mille ordinaat on võrdne .
Märgime ordinaatteljel punkti, millel on ordinaat:
Viime läbi horisontaaljoon paralleelselt x-teljega, kuni see lõikub ringiga. Saame kaks punkti, mis asuvad ringil ja millel on ordinaat. Need punktid vastavad pöördenurkadele ja radiaanides:
Kui me, jättes radiaanide võrra pöördenurgale vastava punkti, läheme ringi täisring, siis jõuame punkti, mis vastab pöördenurgale radiaani kohta ja millel on sama ordinaat. See tähendab, et see pöördenurk rahuldab ka meie võrrandit. Saame teha nii palju "tühikäigu" pöördeid, kui tahame, naastes samasse punkti ja kõik need nurga väärtused rahuldavad meie võrrandit. Tühikäigu pöörete arv tähistatakse tähega (või). Kuna me saame teha neid pöördeid nii positiivses kui ka negatiivses suunas, võib (või) võtta mis tahes täisarvu.
See tähendab, et algse võrrandi lahenduste esimene seeria on kujul:
, , - täisarvude hulk (1)
Sarnaselt on teisel lahenduste seeria vorm:
, Kus,. (2)
Nagu võis arvata, põhineb see lahendusseeria ringil asuval punktil, mis vastab pöördenurgale .
Need kaks lahenduste seeriat saab ühendada üheks kirjeks:
Kui me oleme selles teeme märkmeid(ehk paaris), siis saame esimese lahendusseeria.
Kui võtame selles kirjes (st paaritu), saame teise lahenduste seeria.
2. Nüüd lahendame võrrandi
Kuna see on läbi nurga pööramisel saadud ühikringi punkti abstsiss, märgime punkti abstsissiga teljel:
Viime läbi vertikaalne joon paralleelselt teljega, kuni see lõikub ringiga. Ringil lamades ja abstsissiga saame kaks punkti. Need punktid vastavad pöördenurkadele in ja radiaanides. Tuletame meelde, et päripäeva liikudes saame negatiivse pöördenurga:
Paneme kirja kaks lahenduste seeriat:
,
,
(Me jõuame soovitud punkti, minnes põhiringist, see tähendab.
Ühendame need kaks seeriat üheks kirjeks:
3. Lahenda võrrand
Puutuja läbib OY-teljega paralleelset ühikuringi koordinaatidega (1,0) punkti
Märgime sellele punkti, mille ordinaat on võrdne 1-ga (otsime puutujat, mille nurk on võrdne 1-ga):
Ühendame selle punkti sirgjoonega koordinaatide alguspunktiga ja märgime sirge lõikepunktid ühikringiga. Sirge ja ringi lõikepunktid vastavad pöördenurkadele ja :
Kuna meie võrrandit rahuldavad pöördenurkadele vastavad punktid asuvad üksteisest radiaani kaugusel, saame lahenduse kirjutada järgmiselt:
4. Lahenda võrrand
Kootangentide joon läbib punkti, mille ühikringi koordinaadid on paralleelsed teljega.
Märgime kotangentide reale punkti abstsissiga -1:
Ühendame selle punkti sirge alguspunktiga ja jätkame seda, kuni see ristub ringiga. See sirgjoon lõikab ringi punktides, mis vastavad pöördenurkadele in ja radiaanides:
Kuna need punktid on üksteisest eraldatud vahemaaga, mis on võrdne , siis ühine otsus Selle võrrandi saame kirjutada järgmiselt:
Toodud näidetes, mis illustreerivad kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendust, kasutati trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi.
Kui aga võrrandi parem pool sisaldab mittetabelilist väärtust, siis asendame väärtuse võrrandi üldlahendusega:
ERILAHENDUSED:
Märgime punktid ringile, mille ordinaat on 0:
Märgime ringile ühe punkti, mille ordinaat on 1:
Märgime ringile ühe punkti, mille ordinaat on võrdne -1-ga:
Kuna tavaks on näidata nullile lähedasemaid väärtusi, kirjutame lahenduse järgmiselt:
Märgime punktid ringile, mille abstsiss on 0:
5.
Märgime ringile ühe punkti, mille abstsiss on võrdne 1-ga:
Märgime ringile ühe punkti, mille abstsiss on võrdne -1:
Ja veidi keerulisemad näited:
1.
Siinus on võrdne ühega, kui argument on võrdne
Meie siinuse argument on võrdne, seega saame:
Jagame võrdsuse mõlemad pooled 3-ga:
Vastus:
2.
Koosinus võrdne nulliga, kui koosinusargument on võrdne
Meie koosinuse argument on võrdne , seega saame:
Väljendame , selleks liigume kõigepealt paremale vastupidise märgiga:
Lihtsustame paremat poolt:
Jagage mõlemad pooled -2-ga:
Pange tähele, et termini ees olev märk ei muutu, kuna k võib võtta mis tahes täisarvu.
Vastus:
Ja lõpuks vaadake videoõpetust „Juurte valimine trigonomeetrilises võrrandis kasutades trigonomeetriline ring"
See lõpetab meie vestluse lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise kohta. Järgmisel korral räägime, kuidas otsustada.
Selles artiklis vaatame kõike põhjalikult. Põhilised trigonomeetrilised identiteedid on võrdsused, mis loovad ühenduse ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel ning võimaldavad leida mis tahes neist trigonomeetrilistest funktsioonidest tuntud teise nurga kaudu.
Loetleme kohe peamised trigonomeetrilised identiteedid, mida selles artiklis analüüsime. Kirjutame need tabelisse ja allpool anname nende valemite väljundi ja anname vajalikud selgitused.
Leheküljel navigeerimine.
Ühe nurga siinuse ja koosinuse suhe
Mõnikord ei räägita ülaltoodud tabelis loetletud peamistest trigonomeetrilistest identiteetidest, vaid ühest üksikust põhiline trigonomeetriline identiteet lahke 
. Selle fakti seletus on üsna lihtne: võrdsused saadakse põhitrigonomeetrilisest identiteedist pärast selle mõlema osa jagamist vastavalt ja võrdsustega. 
Ja 
tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Sellest räägime üksikasjalikumalt järgmistes lõikudes.
See on, eriline huvi tähistab täpselt võrdsust, millele anti peamise trigonomeetrilise identiteedi nimi.
Enne peamise trigonomeetrilise identiteedi tõestamist anname selle sõnastuse: ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on identselt võrdne ühega. Nüüd tõestame seda.
Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutatakse väga sageli siis, kui muutumine trigonomeetrilised avaldised . See võimaldab ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa asendada ühega. Mitte vähem sageli kasutatakse põhilist trigonomeetrilist identiteeti vastupidises järjekorras: ühik asendatakse mis tahes nurga siinuse ja koosinuse ruutude summaga.
Puutuja ja kotangens siinuse ja koosinuse kaudu
Identiteedid, mis ühendavad puutuja ja kotangensi ühe vaatenurga siinuse ja koosinusega ning 
järgneb koheselt siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Tõepoolest, definitsiooni järgi on siinus y ordinaat, koosinus on x abstsiss, puutuja on ordinaadi ja abstsissi suhe, see tähendab, 
, ja kotangens on abstsisstelje ja ordinaadi suhe, see tähendab, 
.
Tänu sellisele identiteetide ilmselgele ja Tangenti ja kotangenti defineeritakse sageli mitte abstsisside ja ordinaadi suhte, vaid siinuse ja koosinuse suhte kaudu. Seega on nurga puutuja siinuse ja koosinuse suhe selle nurga koosinusesse ja kootangens on koosinuse ja siinuse suhe.
Selle lõigu lõpetuseks tuleb märkida, et identiteedid ja toimuvad kõigi nurkade puhul, mille all nendes sisalduvad trigonomeetrilised funktsioonid on mõistlikud. Nii et valem kehtib mis tahes muu jaoks kui (muidu on nimetaja null ja me ei määratlenud nulliga jagamist) ja valem - kõigi jaoks , erineb , kus z on mis tahes .
Tangensi ja kotangensi vaheline seos
Veelgi ilmsem trigonomeetriline identiteet kui kaks eelmist, on identiteet, mis ühendab vormi ühe nurga puutuja ja kotangensi . On selge, et see toimub muude nurkade puhul peale , in muidu kas puutuja või kotangent pole määratletud.
Valemi tõestus väga lihtne. Määratluse järgi ja kust 
. Tõestust oleks võinud teha veidi teisiti. Alates , See 
.
Niisiis, sama nurga puutuja ja kotangens, mille all neil on mõte, on .