1. tund
Teema: 11. klass (ettevalmistus ühtseks riigieksamiks)
Lihtsustamine trigonomeetrilised avaldised.
Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. (2 tundi)
Eesmärgid:
- Süstematiseerida, üldistada, laiendada õpilaste teadmisi ja oskusi, mis on seotud trigonomeetria valemite kasutamise ja lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega.
Tunni varustus:
Tunni struktuur:
- Organisatsiooniline moment
- Testimine sülearvutites. Tulemuste arutelu.
- Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine
- Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine
- Iseseisev töö.
- Tunni kokkuvõte. Kodutöö seletus.
1. Organisatsioonimoment. (2 minutit.)
Õpetaja tervitab kuulajaid, teatab tunni teema, tuletab meelde, et varem anti ülesandeks korrata trigonomeetria valemeid ja valmistab õpilasi ette testimiseks.
2. Testimine. (15 min + 3 min arutelu)
Eesmärk on testida teadmisi trigonomeetrilistest valemitest ja nende rakendamise oskust. Igal õpilasel on laual sülearvuti koos testi versiooniga.
Võimalusi võib olla palju, toon neist ühe näite:
I variant.
Lihtsusta väljendeid:
a) põhilised trigonomeetrilised identiteedid
1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) liitmisvalemid
3. sin5x - sin3x;
c) toote teisendamine summaks
6. 2sin8y cos3y;
d) topeltnurga valemid
7. 2sin5x cos5x;
e) poolnurkade valemid
f) kolmiknurga valemid
h) kraadi vähendamine
16. cos 2 (3x/7);
Õpilased näevad oma vastuseid sülearvutis iga valemi kõrval.
Tööd kontrollib koheselt arvuti. Tulemused kuvatakse suurel ekraanil kõigile nähtavaks.
Samuti kuvatakse pärast töö lõpetamist õiged vastused õpilaste sülearvutitele. Iga õpilane näeb, kus viga tehti ja milliseid valemeid ta peab kordama.
3. Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine. (25 min.)
Eesmärk on korrata, harjutada ja kinnistada trigonomeetria põhivalemite kasutamist. Ühtse riigieksami ülesannete B7 lahendamine.
Peal selles etapis Soovitav on jagada klass tugevate inimeste rühmadesse (nad töötavad iseseisvalt koos järgneva testimisega) ja nõrgad õpilased kes töötavad koos õpetajaga.
Ülesanne tugevatele õpilastele (eelnevalt ette valmistatud trükitud alusel). Põhirõhk on redutseerimisvalemitel ja kahekordne nurk 2011. aasta ühtse riigieksami andmetel.
Lihtsustage väljendeid (tugevate õpilaste jaoks):
Samal ajal töötab õpetaja nõrkade õpilastega, arutades ja lahendades ekraanil ülesandeid õpilaste dikteerimisel.
Arvutama:
5) sin (270º – α) + cos (270º + α)
6) 
Lihtsustama:
Oli aeg arutada tugeva rühma töö tulemusi.
Ekraanile ilmuvad vastused, samuti kuvatakse videokaamera abil 5 erineva õpilase tööd (igaühele üks ülesanne).
Nõrk rühm näeb lahenduse tingimust ja meetodit. Arutelu on pooleli ja analüüs. Kasutades tehnilisi vahendeid see juhtub kiiresti.
4. Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. (30 min.)
Eesmärk on korrata, süstematiseerida ja üldistada kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendust ning kirjutada üles nende juured. Ülesande B3 lahendus.
Iga trigonomeetriline võrrand, olenemata sellest, kuidas me selle lahendame, viib kõige lihtsama.
Ülesande täitmisel peaksid õpilased tähelepanu pöörama erijuhtude võrrandite juurte üleskirjutamisele ja üldine vaade ja juurte valimise kohta viimases võrrandis.
Lahenda võrrandid:
Kirjutage vastuseks väikseim positiivne juur.
5. Iseseisev töö (10 min.)
Eesmärk on testida omandatud oskusi, tuvastada probleemid, vead ja nende kõrvaldamise võimalused.
Õpilase valikul pakutakse mitmetasandilist tööd.
Valik "3"
1) Leidke avaldise väärtus 
2) Lihtsusta avaldist 1 - sin 2 3α - cos 2 3α
3) Lahenda võrrand 
Valik "4" jaoks
1) Leidke avaldise väärtus
2) Lahenda võrrand 
Kirjutage oma vastuse väikseim positiivne juur.
Valik "5"
1) Leia tanα, kui 
2) Leidke võrrandi juur 
Kirjutage vastuseks väikseim positiivne juur.
6. Tunni kokkuvõte (5 min)
Õpetaja võtab kokku tunnis korratu ja kinnistatu trigonomeetrilised valemid, lahendades lihtsaid trigonomeetrilisi võrrandeid.
Kodutööd antakse (ettevalmistatakse trükitud alusel) koos kohapealne kontroll järgmises õppetükis.
Lahenda võrrandid:
9) 
10) 
Märkige vastuses väikseim positiivne juur.
2. õppetund
Teema: 11. klass (ettevalmistus ühtseks riigieksamiks)
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid. Juure valik. (2 tundi)
Eesmärgid:
- Üldistada ja süstematiseerida teadmisi erinevat tüüpi trigonomeetriliste võrrandite lahendamisest.
- Edendada arengut matemaatiline mõtlemineõpilased, oskus jälgida, võrrelda, üldistada, liigitada.
- Julgustage õpilasi protsessi raskustest üle saama vaimne tegevus, enesekontrollile, enda tegevuste sisekaemusele.
Tunni varustus: KRMu, sülearvutid igale õpilasele.
Tunni struktuur:
- Organisatsiooniline moment
- Arutelu d/z ja mina üle. töö eelmisest tunnist
- Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite ülevaade.
- Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine
- Juurte valik trigonomeetrilistes võrrandites.
- Iseseisev töö.
- Tunni kokkuvõte. Kodutöö.
1. Organisatsioonihetk (2 min)
Õpetaja tervitab kuulajaid, teatab tunni teema ja tööplaani.
2. a) Analüüs kodutöö(5 minutit.)
Eesmärk on kontrollida täitmist. Üks töö kuvatakse ekraanile videokaamera abil, ülejäänud kogutakse valikuliselt õpetaja kontrollimiseks.
b) Analüüs iseseisev töö(3 minutit)
Eesmärk on analüüsida vigu ja näidata võimalusi nende ületamiseks.
Vastused ja lahendused on ekraanil, õpilastele antakse oma tööd ette. Analüüs edeneb kiiresti.
3. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite ülevaade (5 min)
Eesmärk on meelde tuletada trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid.
Küsige õpilastelt, milliseid trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid nad teavad. Rõhutage, et on olemas niinimetatud põhilised (sageli kasutatavad) meetodid:
- muutuv asendus,
- faktoriseerimine,
- homogeensed võrrandid,
ja seal on rakendatud meetodid:
- kasutades valemeid summa korrutiseks ja korrutise summaks teisendamiseks,
- valemite järgi kraadi vähendamine,
- universaalne trigonomeetriline asendus
- sissejuhatus abinurk,
- mõnega korrutamine trigonomeetriline funktsioon.
Samuti tuleks meeles pidada, et üht võrrandit saab lahendada erineval viisil.
4. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine (30 min)
Eesmärk on üldistada ja kinnistada teadmisi ja oskusi sellel teemal, valmistuda ühtse riigieksami C1 lahenduseks.
Pean soovitavaks lahendada iga meetodi võrrandid koos õpilastega.
Õpilane dikteerib lahenduse, õpetaja kirjutab selle tahvelarvutisse ja kogu protsess kuvatakse ekraanile. See võimaldab teil kiiresti ja tõhusalt meelde tuletada varem käsitletud materjale.
Lahenda võrrandid:
1) muutuja 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 asendamine
2) faktoriseerimine 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) homogeensed võrrandid sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0
4) summa teisendamine korrutiseks cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) korrutise teisendamine summaks 2sinx sin2x + cos3x = 0
6) astme vähendamine sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5
7) universaalne trigonomeetriline asendus sinx + 5cosx + 5 = 0.
Selle võrrandi lahendamisel tuleb tähele panna, et kasutades seda meetodit viib definitsioonivahemiku kitsenemiseni, kuna siinus ja koosinus asendatakse tg(x/2). Seetõttu peate enne vastuse välja kirjutamist kontrollima, kas arvud hulgast π + 2πn, n Z on selle võrrandi hobused.
8) lisanurga sisseviimine √3sinx + cosx - √2 = 0
9) korrutamine mõne trigonomeetriaga cosx funktsioon cos2x cos4x = 1/8.
5. Trigonomeetriliste võrrandite juurte valimine (20 min.)
Kuna ägeda konkurentsi tingimustes ülikoolidesse sisseastumisel ei piisa ainult eksami esimese osa lahendamisest, tuleks enamikul õpilastel tähelepanu pöörata teise osa ülesannetele (C1, C2, C3).
Seetõttu on tunni selle etapi eesmärk meeles pidada varem õpitud materjali ja valmistuda 2011. aasta ühtse riigieksami ülesande C1 lahendamiseks.
Olemas trigonomeetrilised võrrandid, milles on vaja vastuse välja kirjutamisel valida juured. Selle põhjuseks on mõned piirangud, näiteks: murdosa nimetaja ei ole võrdne nulliga, paarisjuure all olev avaldis on mittenegatiivne, logaritmimärgi all olev avaldis positiivne jne.
Selliseid võrrandeid peetakse võrranditeks suurenenud keerukus ja sisse ühtse riigieksami versioon on teises osas, nimelt C1.
Lahendage võrrand:
Murd on võrdne nulliga, kui siis 
kasutades üksuse ring valime juured (vt joonis 1)
Pilt 1.
saame x = π + 2πn, n Z
Vastus: π + 2πn, n Z
Ekraanil näidatakse juurte valikut värvilisel pildil ringil.
Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga ja kaar ei kaota oma tähendust. Siis
Ühikringi abil valime juured (vt joonis 2)
Videotund “Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine” on mõeldud õpilaste lahendamise oskuste arendamiseks trigonomeetrilised probleemid kasutades põhilisi trigonomeetrilisi identiteete. Videotunnis käsitletakse trigonomeetriliste identiteetide tüüpe ja näiteid probleemide lahendamisest nende abil. Taotlemine visuaalne materjal, on õpetajal lihtsam tunni eesmärke saavutada. Materjali elav esitus soodustab meeldejätmist olulised punktid. Animatsiooniefektide ja häälkõne kasutamine võimaldab teil materjali selgitamise etapis õpetaja täielikult asendada. Seega saab õpetaja seda visuaalset abivahendit matemaatikatundides kasutades tõsta õpetamise tulemuslikkust.
Videotunni alguses tehakse teatavaks selle teema. Seejärel tuletame meelde varem uuritud trigonomeetrilisi identiteete. Ekraanil kuvatakse võrrandid sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kus t≠π/2+πk kϵZ jaoks, ctg t=cos t/sin t, õige t≠πk jaoks, kus kϵZ, tg t· ctg t=1, kui t≠πk/2, kus kϵZ, mida nimetatakse põhilisteks trigonomeetrilisteks identiteetideks. Märgitakse, et neid identiteete kasutatakse sageli probleemide lahendamisel, kus on vaja võrdsust tõestada või väljendit lihtsustada.
Allpool vaatleme näiteid nende identiteetide rakendamisest probleemide lahendamisel. Esiteks tehakse ettepanek kaaluda avaldiste lihtsustamise probleemide lahendamist. Näites 1 on vaja avaldist cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t lihtsustada. Näite lahendamiseks pange see esmalt sulgudest välja ühine kordaja sest 2 t. Selle sulgudes oleva teisenduse tulemusena saadakse avaldis 1- cos 2 t, mille väärtus trigonomeetria põhiidentiteedist võrdub sin 2 t. Pärast avaldise teisendamist on ilmne, et sulgudest saab välja võtta veel ühe levinud teguri sin 2 t, mille järel avaldis saab kuju sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Samast põhiidentiteedist tuletame sulgudes oleva avaldise väärtuse, mis on võrdne 1-ga. Lihtsustamise tulemusena saame cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.
Näites 2 tuleb avaldist kulu/(1- sint)+ kulu/(1+ sint) lihtsustada. Kuna mõlema murru lugejad sisaldavad avaldise maksumust, võib selle ühise tegurina sulgudest välja võtta. Seejärel taandatakse sulgudes olevad murded väärtuseks ühine nimetaja korrutamine (1- sint)(1+ sint). Pärast toomist sarnased terminid lugeja jääb 2 ja nimetaja 1 - sin 2 t. Ekraani paremal küljel on põhilise trigonomeetria meeldetuletus identiteedi patt 2 t+cos 2 t=1. Seda kasutades leiame murdosa cos 2 t nimetaja. Pärast murdosa vähendamist saame avaldise kulu/(1- sint)+ kulu/(1+ sint)=2/kulu lihtsustatud kujul.
Järgmisena vaatleme näiteid identiteeditõestustest, mis kasutavad omandatud teadmisi trigonomeetria põhiidentiteetide kohta. Näites 3 on vaja tõestada identsus (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ekraani paremal küljel kuvatakse kolm identiteeti, mida tõestuseks vaja läheb – tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ja tg t=sin t/cos t koos piirangutega. Identiteedi tõendamiseks avatakse esmalt sulud, misjärel moodustub korrutis, mis kajastab peamise trigonomeetrilise identiteedi väljendit tg t·ctg t=1. Seejärel teisendatakse vastavalt kotangensi definitsiooni identiteedile ctg 2 t. Teisenduste tulemusena saadakse avaldis 1-cos 2 t. Põhiidentiteeti kasutades leiame väljendi tähenduse. Seega on tõestatud, et (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.
Näites 4 tuleb leida avaldise tg 2 t+ctg 2 t väärtus, kui tg t+ctg t=6. Avaldise arvutamiseks tõmmake esmalt võrduse (tg t+ctg t) 2 =6 2 parem ja vasak pool ruutu. Lühendatud korrutamisvalem tuletatakse meelde ekraani paremas servas. Pärast avaldise vasakpoolses servas olevate sulgude avamist moodustub summa tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, mille teisendamiseks saab rakendada ühte trigonomeetrilistest identiteetidest tg t·ctg t=1 , mille vorm tuletatakse meelde ekraani paremal küljel. Pärast teisendust saadakse võrrand tg 2 t+ctg 2 t=34. Võrdsuse vasak pool langeb kokku ülesande tingimusega, seega on vastus 34. Ülesanne on lahendatud.
Videotund “Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine” on soovitatav kasutada traditsioonilises koolitund matemaatika. Materjal on kasulik ka seda rakendavale õpetajale kaugõpe. Trigonomeetriliste ülesannete lahendamise oskuste arendamiseks.
TEKSTI DEKOODE:
"Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine."
Võrdsused
1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (siinus ruut te pluss koosinus ruut te võrdub ühega)
2)tgt =, kui t ≠ + πk, kϵZ (puutuja te on võrdne siinuse te ja koosinuse te suhtega, kusjuures te ei võrdu pi võrra kahe pluss pi ka, ka kuulub zet)
3)ctgt = , kui t ≠ πk, kϵZ (kotangent te võrdub koosinuse te ja siinuse te suhtega, kusjuures te ei võrdu pi kaga, ka kuulub zet-le).
4) tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ korral (puutuja te korrutis kotangensiga te on võrdne ühega, kui te ei võrdu tipuga ka, jagatud kahega, ka kuulub zet-le)
nimetatakse trigonomeetrilisteks põhiidentiteetideks.
Neid kasutatakse sageli trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamiseks ja tõestamiseks.
Vaatame näiteid nende valemite kasutamisest trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamiseks.
NÄIDE 1. Lihtsusta avaldist: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (avaldis koosinus ruudus te miinus neljanda astme koosinus te pluss neljanda astme te siinus).
Lahendus. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t
(Võtame välja ühisteguri koosinus ruut te, sulgudes saame erinevuse ühtsuse ja ruudukoosinuse te vahel, mis on võrdne esimese identiteediga siinuse ruudus te. Saame summa neljanda astme siinuse te korrutis koosinus ruut te ja siinus ruut te. Võtame sulgudest välja ühisteguri siinus ruut te, sulgudes saame koosinuse ja siinuse ruutude summa, mis on põhimõtteliselt trigonomeetriline identiteet võrdub ühega. Selle tulemusena saame siinuse te) ruudu.
NÄIDE 2. Lihtsusta avaldist: + .
(avaldis be on kahe murru summa esimese koosinuse te lugejas nimetajas üks miinus siinus te, teise koosinuse te lugejas teise nimetajas pluss siinus te).
(Võtame sulgudest välja ühisteguri koosinus te ja toome selle sulgudes ühise nimetajani, mis on ühe miinus siinuse te korrutis ühe pluss siinuse te.
Lugejas saame: üks pluss siinus te pluss üks miinus siinus te, anname sarnased, lugeja võrdub kahega pärast sarnaste toomist.
Nimetajas saate rakendada lühendatud korrutamisvalemit (ruutude erinevus) ja saada siinuse te erinevuse ühtsuse ja ruudu vahel, mis vastavalt trigonomeetrilisele põhiidentiteedile
võrdne koosinuse te ruuduga. Pärast koosinus te võrra taandamist saame lõpliku vastuse: kaks jagatud koosinusega te).
Vaatame näiteid nende valemite kasutamisest trigonomeetriliste avaldiste tõestamisel.
NÄIDE 3. Tõesta identsus (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (puutuja te ja siinuse te ruutude vahe korrutis kotangensi te ruuduga on võrdne sinus te).
Tõestus.
Muutkem vasak pool võrdsus:
(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t
(Avame sulud; eelnevalt saadud seosest on teada, et puutuja te ruutude korrutis kotangensiga te on võrdne ühega. Tuletame meelde, et kotangent te võrdne suhtega koosinus te siinuse te kaupa, mis tähendab, et kootangensi ruut on koosinuse te ruudu ja siinuse te ruudu suhe.
Pärast siinusruudu te võrra vähendamist saame erinevuse ühtsuse ja koosinusruudu te vahel, mis on võrdne siinusruuduga te). Q.E.D.
NÄIDE 4. Leidke avaldise tg 2 t + ctg 2 t väärtus, kui tgt + ctgt = 6.
(puutuja te ja kotangensi te ruutude summa, kui puutuja ja kotangensi summa on kuus).
Lahendus. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Teeme algse võrdsuse mõlemad küljed ruutu:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (puutuja te ja kotangensi te summa ruut võrdub kuue ruuduga). Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemit: Kahe suuruse summa ruut võrdne ruuduga esimene pluss kahekordne esimese korrutis ja teine pluss teise ruut. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Saame tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (puutuja ruudus te pluss puutuja te korrutis kotangensiga te pluss kotangens ruudus te võrdub kolmkümmend kuus) .
Kuna puutuja te ja kotangensi te korrutis on võrdne ühega, siis tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (puutuja te ja kotangensi te ja kahe ruutude summa võrdub kolmekümne kuuega),