Punktid M 1, M 2, M 3 paiknevad samal sirgel. Nad ütlevad, et punkt M jagab lõigu M 1 M 2 suhtes λ(λ≠-1), kui .
Olgu punktide M 1 ja M 2 koordinaadid teada mõne koordinaatsüsteemi suhtes: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), siis on punktide M 1 ja M 2 koordinaadid. Punkt M(x, y, z ) sama koordinaatsüsteemi suhtes leitakse valemite abil:
Kui punkt M on lõigu M 1 M 2 keskel, siis 
, st λ=1 ja valemid (*) on järgmisel kujul:
(**)
Selle lahendamiseks kasutage järgmist kalkulaatorit:
- Punktid määratakse kahe koordinaadiga: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
- Punktid määratakse kolme koordinaadiga: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).
Näide nr 1. Kolmnurk on määratletud selle tippude A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) koordinaatidega. Leia D(x, y, z) koordinaadid – selle mediaanide lõikepunktid.
Lahendus. Tähistame M(x 0 , y 0 , z 0) BC keskpunkti, siis valemite (**) järgi
ja M(7/2, ½, 4). Punkt D jagab mediaani AM suhtega λ=2. Rakendades valemeid (*), leiame .
Näide nr 2. Lõik AB jagatakse punktist A lugedes punktiga C(4,1) suhtega λ=1/4. Leia punkti A koordinaadid, kui B(8,5).
Lahendus. Rakendades valemeid (*), saame: 
, kust leiame x=3, y=0.
Näide nr 3. Lõik AB jagatakse punktidega C(3, -1) ja D(1,4) kolmeks võrdseks osaks. Leidke lõigu otste koordinaadid.
Lahendus. Tähistame A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Punkt C on segmendi AD keskpunkt, seetõttu leiame valemite (**) abil: 
kust x 1 = 5, y 1 = -6. Punkti B koordinaadid leitakse sarnaselt: x 2 = -1, y 2 = 9.
Kui punkt M(x;y) asub sirgel, mis läbib kahte antud punkti M 1 (x 1; y 1), siis M 2 (x 2; y 2) ja suhe λ = M 1 M/MM 2 on antud, milles punkt M jagab lõigu M 1 M 2, siis punkti M koordinaadid
määratud valemitega
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Kui punkt M on lõigu M 1 M 2 keskpunkt, määratakse selle koordinaadid valemitega
x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2
86. Antud homogeense varda otsad A(3; -5) ja 6(-1; 1). Määrake selle raskuskeskme koordinaadid.
87. Homogeense varda raskuskese on punktis M(1; 4), üks selle otstest on punktis P(-2; 2). Määrake selle varda teise otsa punkti Q koordinaadid
88. Antud kolmnurga tipud A(1; -3), 6(3; -5) ja C(-5; 7). Määrake selle külgede keskpunktid.
89. Antud kaks punkti A(3; - 1) ja B(2; 1). Määratlege:
1) punkti M koordinaadid, sümmeetrilised punkti A suhtes punkti B suhtes;
2) punkti N koordinaadid, sümmeetrilised punkti B suhtes punkti A suhtes.
90. Punktid M(2; -1), N(-1; 4) ja P(-2; 2) on kolmnurga külgede keskpunktid. Määrake selle tipud.
91. Rööpküliku kolm tippu on antud A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3). Määrake neljas tipp D, mis on B vastas.
92. Antud on rööpküliku kaks kõrvuti asetsevat tippu A(-3; 5), B(1; 7) ja selle diagonaalide lõikepunkt M(1; 1). Tuvastage veel kaks tippu.
93. Rööpküliku ABCD kolm tippu A(2; 3), 6(4; -1) ja C(0; 5). Leidke selle neljas tipp D.
94. Antud kolmnurga tipud A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2). Määrake selle mediaani pikkus, mis on tõmmatud tipust B.
95. Lõik, mis on piiratud punktidega A (1;-3) ja B(4; 3), jagatakse kolmeks võrdseks osaks. Määrake jaotuspunktide koordinaadid.
96. Antud kolmnurga tipud A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Leidke tipu B sisenurga poolitaja lõikepunkt küljega AC.
97. Antud kolmnurga tipud A(3; -5), B(-3; 3) ja C(-1; -2). Määrake selle sisenurga poolitaja pikkus tipus A.
98. Antud kolmnurga tipud A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Leidke lõikepunkt selle välisnurga poolitaja külje BC jätkuga tipus A.
99. Antud kolmnurga tipud A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2). Määrake selle välisnurga poolitaja pikkus tipus B.
100. Antud kolm punkti A(1; -1), B(3; 3) ja C(4; 5), mis asuvad samal sirgel. Määrake suhe λ, milles igaüks neist jagab ülejäänud kahega piiratud lõigu.
101. Määrake punktidega P(2; 2) ja Q (1; 5) kolmeks võrdseks osaks jagatud lõigu otste A ja B koordinaadid.
102. Sirge läbib punkte M 1 (-12; -13) ja M 2 (- 2; -5). Leidke sellel sirgel punkt, mille abstsiss on 3.
103. Sirge läbib punkte M(2; -3) ja N(-6; 5). Leidke sellel sirgel punkt, mille ordinaat on -5.
104. Sirge läbib punkte A(7; -3) ja B(23;. -6). Leidke selle sirge lõikepunkt abstsissteljega.
105. Sirge läbib punkte A(5; 2) ja B(-4; -7). Leidke selle sirge ja ordinaattelje lõikepunkt.
106. Antud on nelinurga tipud A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) ja D(5; 8). Määrake suhe, milles selle diagonaal AC jagab diagonaali BD.
107. Antud on nelinurga tipud A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) ja D(6; 10). Määrake selle diagonaalide AC ja BD lõikepunkt.
108. Antud on homogeense kolmnurkse plaadi tipud A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) ja C(x 3 ; y 3). Määrake selle raskuskeskme koordinaadid,
Märge. Raskuskese asub mediaanide lõikepunktis.
109. Kolmnurga mediaanide lõikepunkt M asub abstsissteljel, selle kaks tippu on punktid A(2; -3) ja B(-5; 1), kolmas tipp C asub ordinaatteljel . Määrake punktide M ja C koordinaadid.
110. Antud on homogeense kolmnurkse plaadi tipud A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ja C(x 3; y 3). Kui ühendate selle külgede keskpunktid, moodustub uus homogeenne kolmnurkne plaat. Tõesta, et mõlema plaadi raskuskeskmed langevad kokku.
Märge. Kasutage ülesande 108 tulemust.
111. Homogeensel plaadil on ruudu kuju, mille külg on võrdne 12-ga, millesse on tehtud ruudukujuline lõige, lõike sirgjooned läbivad ruudu keskpunkti, teljed
koordinaadid on suunatud piki plaadi servi (joonis 4). Määrake selle plaadi raskuskese.
112. Homogeensel plaadil on a ja b külgedega ristkülik, millesse on tehtud ristkülikukujuline väljalõige; lõikejooned läbivad keskpunkti, koordinaatteljed on suunatud piki plaadi servi (joon. 5). Määrake selle plaadi raskuskese.
113. Homogeensel plaadil on ruudu kuju, mille külg on 2a ja millest on lõigatud kolmnurk; lõikejoon ühendab kahe kõrvuti asetseva külje keskpunkte, koordinaatteljed on suunatud piki plaadi servi (joon. 6). Määrake plaadi raskuskese.
114. Järgmistes punktides A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ja C(x 3; y 3) on massid m, n ja p kontsentreeritud. Määrake selle kolme massiga süsteemi raskuskeskme koordinaadid.
115. Punktid A (4; 2), B (7; -2) ja C (1; 6) on ühtlasest traadist valmistatud kolmnurga tipud. Määrake selle kolmnurga raskuskese.
Olgu antud suunatud lõik AB; nad ütlevad, et see on asja mõte
Selle sirge M jagab lõigu AB suhtega, mis võrdub X-ga, kus on suvaline reaalarv, kui
Kui punkt M asub punktide A ja B vahel (st segmendi sees
AB), siis on vektorid AM ja MB suunatud samas suunas (joonis 2) ja suhe (1) on positiivne.
Kui punkt M asub väljaspool lõiku
AB, siis on vektorid AM ja MB suunatud vastassuundadesse (joonis 3) ja suhe (1) on negatiivne.
Vaatame, kuidas seos (1) muutub, kui punkt M läbib kogu sirget. Kui punkt M ühtib punktiga A, on suhe (1) võrdne nulliga; kui siis punkt M läbib lõiku AB suunas A punkti B, siis suhe (1) kasvab pidevalt, muutudes punkti M lähenedes B-le meelevaldselt suureks. Kui , siis murd (1) kaotab oma tähenduse, kuna selle nimetaja muutub nullvektoriks. Punkti edasisel liikumisel piki sirgjoont samas suunas (joonisel 3, a B-st paremal) muutub seos (1) negatiivseks ja kui Z on B-le piisavalt lähedal, on sellel suhtel suvaliselt suur absoluutväärtus.
Alates aastast (paragrahvi 4 8. ettepaneku alusel) on meil
Kui punkt M, mis liigub kogu aeg samas suunas (meie joonisel 3, a vasakult paremale), läheb otse lõpmatusse, siis kipub murd olema null (kuna selle lugeja jääb konstantseks ja nimetaja suureneb piiramatult) , seetõttu kipub suhe , - olema -1.
Laske nüüd M minna "vasakule" kahest poolsisest, millesse punkt A jagab sirge (st poolsirgele, mis ei sisalda lõiku AB). Kui sel juhul asub punkt M punktist A piisavalt kaugel, siis on jällegi meelevaldselt väike ja seetõttu erineb valemis suhe -1-st meelevaldselt vähe. Kui punkt M läheneb vasakult punktile A (joonis 3, b), väheneb suhe (I), jäädes negatiivseks, absoluutväärtuses pidevalt ja muutub lõpuks võrdseks nulliga, kui punkt M naaseb punkti A.
Pange tähele, et üheski punktis M ei ole suhe võrdne -1-ga. Tegelikult on suhe negatiivne ainult siis, kui punkt M asub väljaspool lõiku AB. Kuid sel juhul ei ole segmendid AM ja MB kunagi võrdsed, s.t.
Olgu nüüd sirge koordinaatsüsteem loodud ja O on selle süsteemi alguspunkt. Tähistame punkti A koordinaati läbi punkti B ja muutuja punkti M . Siis
Kui on olemas tingimused segmendi jagamiseks teatud suhtega, on vaja määrata eraldajana kasutatava punkti koordinaadid. Tuletame nende koordinaatide leidmiseks valemi, esitades ülesande tasapinnal.
Algandmed: on antud ristkülikukujuline koordinaatide süsteem O x y ja sellel asuvad kaks mittekattuvat punkti antud koordinaatidega A (x A, y A) ja B (x B, y B). Ja antud on ka punkt C, mis jagab lõigu A B λ suhtes (mõni positiivne reaalarv). On vaja määrata punkti C koordinaadid: x C ja y C.
Enne probleemi lahendamise alustamist paljastame veidi antud tingimuse tähendust: “punkt C, mis jagab lõigu A B λ suhtes”. Esiteks näitab see avaldis, et punkt C asub lõigul A B (st punktide A ja B vahel). Teiseks on selge, et antud tingimuse järgi on lõikude A C ja C B pikkuste suhe võrdne λ-ga. Need. võrdsus on tõsi:
Sel juhul on punkt A lõigu algus, punkt B lõigu lõpp. Kui oleks ette nähtud, et punkt C jagab lõigu BA A antud suhtega, oleks võrdsus tõene: .
Noh, täiesti ilmne fakt on see, et kui λ = 1, siis punkt C on lõigu A B keskpunkt.
Lahendame ülesande vektorite abil. Kujutame suvaliselt punktid A, B ja punkti C lõigul A B kindlas ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Konstrueerime nende punktide raadiusvektorid, samuti vektorid A C → ja C B →. Vastavalt ülesande tingimustele jagab punkt C lõigu A B λ suhtes.
Punkti raadiusvektori koordinaadid on võrdsed punkti koordinaatidega, siis on võrdsused tõesed: O A → = (x A, y A) ja O B → = (x B, y B).
Määrame vektori koordinaadid: need on võrdsed punkti C koordinaatidega, mis tuleb leida vastavalt ülesande tingimustele.
Kasutades vektorite liitmise operatsiooni, kirjutame võrrandid: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
Vastavalt ülesande tingimustele jagab punkt C lõigu A B λ suhtes, s.o. võrdus A C = λ · C B on tõene.
Vektorid A C → ja C B → asuvad samal sirgel ja on kaassuunalised. λ > 0 vastavalt ülesande tingimustele, siis vastavalt vektori arvuga korrutamise operatsioonile saame: A C → = λ · C B → .
Teisendame avaldise, asendades selle: C B → = O B → - O C → .
A C → = λ · (O B → - O C →) .
Võrdsuse O C → = O A → + A C → kirjutame ümber O C → = O A → + λ · (O B → - O C →).
Kasutades vektoritega tehte omadusi, järeldub viimasest võrrandist: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .
Nüüd tuleb lihtsalt otse arvutada vektori O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → koordinaadid.
Teeme vajalikud toimingud vektoritega O A → ja O B →.
O A → = (x A , y A) ja O B → = (x B , y B), siis O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).
Seega O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ) .
Kokkuvõtteks: lõiku A B jagava punkti C koordinaadid antud suhtega λ määratakse valemitega: x C = x A + λ · x B 1 + λ ja y C = y A + λ · y B 1 + λ .
Ruumis etteantud suhtega lõiku jagava punkti koordinaatide määramine
Algandmed: ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y z, punktid etteantud koordinaatidega A (x A, y A, z A) ja B (x B, y B, z B).
Punkt C jagab lõigu A B λ suhtes. On vaja määrata punkti C koordinaadid.
Kasutades sama arutluskäiku nagu ülaltoodud lennuki puhul, jõuame võrdsuseni:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Vektorid ja on punktide A ja B raadiusvektorid, mis tähendab:
O A → = (x A , y A , z A) ja O B → = (x B , y B , z B) , seega
O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)
Seega on punktil C, mis jagab ruumis lõigu A B antud suhtega λ, koordinaadid: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)
Vaatame teooriat konkreetsete näidete abil.
Näide 1
Esialgsed andmed: punkt C jagab lõigu A B vahekorras viis kuni kolm. Punktide A ja B koordinaadid on antud punktidega A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4).
Lahendus
Vastavalt ülesande tingimustele on λ = 5 3. Rakendame ülaltoodud valemeid ja saame:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Vastus: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)
Näide 2
Esialgsed andmed: on vaja määrata kolmnurga A B C raskuskeskme koordinaadid.
Selle tippude koordinaadid on antud: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)
Lahendus
On teada, et iga kolmnurga raskuskese on selle mediaanide lõikepunkt (olgu selleks punkt M). Iga mediaan on jagatud punktiga M suhtega 2:1, lugedes tipust. Selle põhjal leiame vastuse püstitatud küsimusele.
Oletame, et A D on kolmnurga A B C mediaan. Punkt M on mediaanide lõikepunkt, sellel on koordinaadid M (x M, y M, z M) ja see on kolmnurga raskuskese. M kui mediaanide lõikepunkt jagab lõigu A D vahekorras 2:1, s.o. λ = 2.
Leiame punkti D koordinaadid. Kuna A D on mediaan, siis punkt D on lõigu B C keskpunkt. Seejärel saame lõigu keskkoha koordinaatide leidmise valemi abil:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
Arvutame punkti M koordinaadid:
x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3
Vastus: (1 3, 0, 7 3)
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Teatud punkti C koordinaatide arvutamine, mis jagab antud lõigu AB teatud suhtega, saab teha valemite abil:
xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),
kus (xA; yA) ja (xB; yB) on antud lõigu AB otste koordinaadid; arv λ = AC/CB – suhe, milles lõik AB jagatakse punktiga C, millel on koordinaadid (xC; yC).
Kui segment AB jagatakse pooleks punktiga C, siis arv λ = 1 ning xC ja yC valemid on järgmisel kujul:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
Tuleb meeles pidada, et ülesannete puhul on λ segmentide pikkuste suhe ja seetõttu ei ole sellesse suhtesse kuuluvad arvud segmentide endi pikkused antud mõõtühikus. Näiteks AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Otsige kindla lõigu keskkoha koordinaate, kasutades antud lõigu otste koordinaate
Näide 1.
Punktid A(-2; 3) ja B(6; -9) on lõigu AB otsad. Leidke punkt C, mis on lõigu AB keskpunkt.
Lahendus.
Probleemi avalduses on kirjas, et xA = -2; xB = 6; yA = 3 ja yB = -9. Peame leidma C(xC; yC).
Rakendades valemeid xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, saame:
xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.
Seega punktil C, mis on lõigu AB keskpunkt, on koordinaadid (-2; 3) (Joonis 1).
2. Teatud lõigu lõpu koordinaatide arvutamine, teades selle keskmise ja teise otsa koordinaate
Näide 2.
Lõigu AB üks ots on punkt A koordinaatidega (-3; -5) ja selle keskpunkt on punkt C(3; -2). Arvutage lõigu teise otsa – punkti B koordinaadid.
Lahendus.
Vastavalt ülesande tingimustele selgub, et xA = -3; yA = -5; xC = 3 ja yC = -2.
Asendades need väärtused valemitesse xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, saame:
3 = (-3 + xB)/2 ja
2 = (-5 + uV)/2.
Olles lahendanud esimese võrrandi xB jaoks ja teise võrrandi yB jaoks, leiame: xB = 9 ja yB = 1, selgub, et soovitud punkt B määratakse koordinaatidega (9; 1) (joonis 2).
3. Kolmnurga tippude koordinaatide arvutamine selle külgede keskpunktide antud koordinaatide järgi
Näide 3.
Kolmnurga ABC külgede keskpunktid on punktid D(1; 3), E(-1; -2) ja F(4; -1). Leia selle kolmnurga tippude A, B ja C koordinaadid.
Lahendus.
Olgu punkt D külje AB keskpunkt, punkt E külje BC keskpunkt ja punkt F külje AC keskpunkt (Joonis 3). Peate leidma punktid A, B ja C.
Tähistame kolmnurga tipud A(xA; yA), B(xB; yB) ja C(xC; yC) ning teades punktide D, E ja F koordinaate, kasutades valemeid xC = (xA + xB) /2, yC = (yA + уВ)/2 saame:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,
(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.
Taandagem võrrandid kogu nende kujule:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.
Olles lahendanud süsteemid, saame:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.
Punktid A(6; 4), B(-4; 2) ja C(2; -6) on kolmnurga vajalikud tipud.
4. Lõigu teatud vahekorras jagavate punktide koordinaatide arvutamine vastavalt antud lõigu otste koordinaatidele
Näide 4.
Lõik AB jagatakse punktiga C vahekorras 3:5 (loendades punktist A punkti B). Lõigu AB otsad on punktid A(2; 3) ja B(10; 11). Leidke punkt C.
Lahendus.
Probleemi avalduses on kirjas, et xA = 2; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. Leidke C(xC; yC) (joonis 4).
kasutades valemeid xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) saame:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ja yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Seega on meil C( 5; 6).
Kontrollime: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.
Kommenteeri. Ülesande tingimused näitavad, et lõigu jagamine toimub antud suhtega punktist A punkti B. Kui seda ei täpsustataks, oleks ülesandel kaks lahendust. Teine lahendus: lõigu jagamine punktist B punkti A. 
Näide 5.
Teatud lõik AB jaguneb suhtega 2: 3: 5 (loendades punktist A punkti B), selle otsad on punktid koordinaatidega A (-11; 1) ja B (9; 11). Leidke selle lõigu jaotuspunktid.
Lahendus.
Tähistame lõigu A-st B jaotuspunktid C ja D-ga. Ülesande püstitus ütleb, et
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Leidke C(xC; yC) ja D(xD; yD), kui AC: CD: DB = 2:3:5.
Punkt C jagab lõigu AB suhtega λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
Kasutades valemeid xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) saame:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ja yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Seega C(-7; 3).
Punkt D on lõigu AB keskpunkt. Rakendades valemeid xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, leiame:
xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. See tähendab, et D-l on koordinaadid (-1; 6).
5. Lõigu jagavate punktide koordinaatide arvutamine, kui on antud selle lõigu otste koordinaadid ja osade arv, milleks see lõik on jagatud
Näide 6.
Lõigu otsad on punktid A(-8; -5) ja B(10; 4). Leidke punktid C ja D, mis jagavad selle lõigu kolmeks võrdseks osaks.
Lahendus.
Ülesande tingimustest on teada, et xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ja n = 3. Leidke C(xC; yC) ja D(xD; yD) (joonis 5).
Leiame punkti C. See jagab lõigu AB suhtega λ = 1/2. Jagame punktist A punkti B. Kasutades valemeid xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) saame:
xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 ja yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Seega C(-2; -2).
Segmendi CB jagamine toimub vahekorras 1: 1, seega kasutame valemeid
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. Seega D(4; 1).
Jagamispunktid C(-2; -2) ja D(4; 1).
Märkus: punkti D saab leida, jagades lõigu AB suhtega 2: 1. Sel juhul on vaja uuesti rakendada valemeid xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) + λyB) / (1 + λ).
Näide 7.
Punktid A(5; -6) ja B(-5; 9) on lõigu otsad. Leidke punktid, mis jagavad antud lõigu viieks võrdseks osaks.
Lahendus.
Olgu järjestikused jaotuspunktid A-st B-ni C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ja F(xF; yF). Ülesande tingimused ütlevad, et xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 ja n = 5.
Kasutades valemeid xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) leiame punkti C. See jagab lõigu AB suhtega λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ja yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, me saada, et punktil C on koordinaadid (3; -3).
Lõike AB jagamine punktiga D tehakse suhtega 2: 3 (st λ = 2/3), seega:
xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ja yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, seega D (10).
Leiame punkti E. See jagab lõigu AB suhtega λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ja yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Seega E(-1; 3).
Punkt F jagab lõigu AB suhtega λ = 4/1, seega:
XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 ja yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Jagamispunktid C(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) ja F(-3; 6).
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas segmentide jagamise probleemi lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!
veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.