Pythagorase teoreemi animeeritud tõestus - üks fundamentaalne Eukleidilise geomeetria teoreemid, mis määravad seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Arvatakse, et selle tõestas kreeka matemaatik Pythagoras, kelle järgi see on nime saanud (on ka teisi versioone, eriti alternatiivne arvamus, et selle teoreemi üldisel kujul sõnastas Pythagorase matemaatik Hippasus).
Teoreem ütleb:
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.
Kolmnurga hüpotenuusi pikkuse määramine c, ja jalgade pikkused on nagu a Ja b, saame järgmise valemi:
Seega kehtestab Pythagorase teoreem seose, mis võimaldab teil määrata täisnurkse kolmnurga külje, teades ülejäänud kahe pikkusi. Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuhtum, mis määrab suvalise kolmnurga külgede vahelise seose.
Tõestatud on ka vastupidine väide (mida nimetatakse ka Pythagorase teoreemi vastupidiseks):
Mis tahes kolme positiivse arvu a, b ja c korral, nii et a ? + b ? = c ?, on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ning hüpotenuus c.
Visuaalsed tõendid kolmnurga (3, 4, 5) kohta raamatust "Chu Pei" 500-200 eKr. Teoreemi ajalugu võib jagada neljaks osaks: Pythagorase arvude tundmine, täisnurkse kolmnurga külgede suhte tundmine, külgnevate nurkade suhte tundmine ja teoreemi tõestus.
Megaliitstruktuurid umbes 2500 eKr. Egiptuses ja Põhja-Euroopas sisaldavad täisarvu külgedega täisnurkseid kolmnurki. Bartel Leendert van der Waerden oletas, et tol ajal leiti Pythagorase arvud algebraliselt.
Kirjutatud aastatel 2000–1876 eKr. Papüürus Kesk-Egiptuse kuningriigist Berliin 6619 sisaldab ülesannet, mille lahenduseks on Pythagorase arvud.
Hammurapi Suure valitsusajal, Babüloonia tahvel Plimpton 322, aastatel 1790–1750 eKr kirjutatud, sisaldab palju Pythagorase arvudega tihedalt seotud kirjeid.
Budhayana suutrates, mis on erinevalt dateeritud kaheksandasse või teisesse sajandisse eKr. Indias sisaldab algebraliselt tuletatud Pythagorase numbreid, Pythagorase teoreemi väidet ja võrdkülgse täisnurkse kolmnurga geomeetrilist tõestust.
Apastamba Sutrad (umbes 600 eKr) sisaldavad Pythagorase teoreemi arvulist tõestust pindalaarvutuste abil. Van der Waerden usub, et see põhines oma eelkäijate traditsioonidel. Albert Burco sõnul on see teoreemi algne tõestus ja ta viitab sellele, et Pythagoras külastas Arakonit ja kopeeris selle.
Pythagoras, kelle eluaastateks on tavaliselt märgitud 569 – 475 eKr. kasutab Pythagorase arvude arvutamiseks algebralisi meetodeid, selgub Proklovi kommentaaridest Eukleidese kohta. Proklos elas aga aastatel 410–485 pKr. Thomas Guise’i sõnul ei viita teoreemi autorlusele enne viis sajandit pärast Pythagorast. Kui aga autorid, nagu Plutarchos või Cicero, omistavad teoreemi Pythagorasele, teevad nad seda nii, nagu oleks autorlus laialt tuntud ja kindel.
Umbes 400 eKr Proklose järgi andis Platon meetodi Pythagorase arvude arvutamiseks, mis ühendas algebra ja geomeetria. Umbes 300 eKr, aastal Algused Eukleidese käes on vanim aksiomaatiline tõestus, mis on säilinud tänapäevani.
Kirjutatud millalgi vahemikus 500 eKr. ja 200 eKr, Hiina matemaatiline raamat Chu Pei (? ? ? ?) annab visuaalse tõestuse Pythagorase teoreemile, mida Hiinas nimetatakse Gugu teoreemiks (????) külgedega (3, 4, 5) kolmnurga kohta. ). Hani dünastia ajal, aastast 202 eKr. aastani 220 pKr Pythagorase arvud esinevad raamatus "Matemaatikakunsti üheksa haru" koos täisnurksete kolmnurkade mainimisega.
Teoreemi esmakordselt registreeriti Hiinas, kus seda tuntakse Gugu (????) teoreemina, ja Indias, kus seda tuntakse Bhaskari teoreemina.
Laialdaselt on vaieldud selle üle, kas Pythagorase teoreem avastati üks kord või korduvalt. Boyer (1991) usub, et Shulba Sutras leiduvad teadmised võivad olla Mesopotaamia päritolu.
Algebraline tõestus 
Neljast täisnurksest kolmnurgast moodustatakse ruudud. Pythagorase teoreemile on teada üle saja tõestuse. Siin on tõestus, mis põhineb kujundi pindala olemasolu teoreemil:
Asetame neli identset täisnurkset kolmnurka, nagu joonisel näidatud.
Nelinurk külgedega c on ruut, kuna kahe teravnurga summa on Ja sirge nurk on .
Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on "a + b", ja teiselt poolt nelja kolmnurga pindalade ja sisemise ruudu summaga. .
Mida on vaja tõestada.
Kolmnurkade sarnasuse järgi 
Sarnaste kolmnurkade kasutamine. Lase ABC- täisnurkne kolmnurk, milles nurk C otse nagu pildil näidatud. Joonistame kõrguse punktist C, ja helistame H ristumispunkt küljega AB. Moodustub kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga ABC, kuna need on mõlemad ristkülikukujulised (kõrguse määratluse järgi) ja neil on ühine nurk A, Ilmselt on nende kolmnurkade kolmas nurk samuti sama. Sarnaselt rahuga, kolmnurgaga CBH sarnane ka kolmnurgaga ABC. Kolmnurkade sarnasusega: Kui
Seda saab kirjutada kui
Kui lisame need kaks võrdsust, saame
HB + c korda AH = c korda (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Teisisõnu, Pythagorase teoreem:
Eukleidese tõestus 
Eukleidese tõestus Eukleidese "Elementides", Pythagorase teoreem on tõestatud rööpküliku meetodiga. Lase A, B, C täisnurkse kolmnurga tipud, täisnurgaga A. Langeme punktist risti A hüpotenuusi vastasküljele hüpotenuusile ehitatud ruudus. Joon jagab ruudu kaheks ristkülikuks, millest kummalgi on sama pindala kui külgedele ehitatud ruutudel. Tõestuse põhiidee seisneb selles, et ülemised ruudud muutuvad sama pindalaga rööpkülikuteks ning seejärel naasevad ja muutuvad alumises ruudus ristkülikuteks ja uuesti sama pindalaga.
Joonistame segmendid CF Ja A.D. saame kolmnurgad BCF Ja B.D.A.
Nurgad TAKSO Ja KOTTI- sirge; vastavalt punktid C, A Ja G- kollineaarne. Samuti B, A Ja H.
Nurgad CBD Ja FBA– mõlemad on sirged, seejärel nurk ABD võrdne nurgaga FBC, kuna mõlemad on täisnurga ja nurga summa ABC.
Kolmnurk ABD Ja FBC tase kahel küljel ja nendevaheline nurk.
Alates punktidest A, K Ja L– kollineaarne, ristküliku BDLK pindala on võrdne kolmnurga kahe pindalaga ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Samamoodi saame CKLE = ACIH = AC 2
Ühel pool ala CBDE võrdne ristkülikute pindalade summaga BDLK Ja CKLE, ja teisel pool ruudu pindala eKr 2, või AB 2 + AC 2 = eKr 2.
Diferentsiaalide kasutamine 
Diferentsiaalide kasutamine. Pythagorase teoreemile saab jõuda uurides, kuidas külje suurenemine mõjutab hüpotenuusi suurust, nagu on näidatud parempoolsel joonisel, ja rakendades väikest arvutust.
Külje suurenemise tulemusena a, sarnastest kolmnurkadest lõpmata väikeste sammude jaoks
Integreerimise saame
Kui a= 0 siis c = b, nii "pidev" on b 2. Siis
Nagu näha, on ruudud tingitud juurdekasvu ja külgede vahelisest proportsioonist, samas kui summa on külgede juurdekasvu sõltumatu panuse tulemus, mis ei ole geomeetriliste tõendite põhjal ilmne. Nendes võrrandites da Ja dc– vastavalt lõpmata väikesed külgede juurdekasvud a Ja c. Aga mida me selle asemel kasutame? a Ja? c, siis on suhte piir, kui need kipuvad nulli da / alalisvool, tuletis ja on samuti võrdne c / a, kolmnurkade külgede pikkuste suhe, mille tulemusena saame diferentsiaalvõrrandi.
Ortogonaalse vektorite süsteemi korral kehtib võrdsus, mida nimetatakse ka Pythagorase teoreemiks:
Kui – Need on vektori projektsioonid koordinaattelgedele, siis see valem langeb kokku eukleidilise kaugusega ja tähendab, et vektori pikkus võrdub selle komponentide ruutude summa ruutjuurega.
Selle võrdsuse analoogi lõpmatu vektorite süsteemi korral nimetatakse Parsevali võrduseks.
Ühes võite olla sada protsenti kindel, et kui küsida, milline on hüpotenuusi ruut, vastab iga täiskasvanu julgelt: "Jalgade ruutude summa." See teoreem on iga haritud inimese teadvuses kindlalt juurdunud, kuid peate lihtsalt paluma kellelgi seda tõestada ja raskused võivad tekkida. Seetõttu pidagem meeles ja vaadakem erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks.
Lühike elulugu
Pythagorase teoreem on tuttav peaaegu kõigile, kuid millegipärast pole selle maailma toonud inimese elulugu nii populaarne. Seda saab parandada. Seetõttu peate enne Pythagorase teoreemi tõestamise erinevate viiside uurimist põgusalt tundma õppima tema isiksust.
Pythagoras – algselt pärit filosoof, matemaatik, mõtleja Tänapäeval on tema elulugu väga raske eristada legendidest, mis on selle suurmehe mälestuseks välja kujunenud. Kuid nagu tema järgijate töödest järeldub, sündis Samose saarel Pythagoras Samose saarel. Tema isa oli tavaline kiviraiuja, ema aga pärines aadlisuguvõsast.
Legendi järgi otsustades ennustas Pythagorase sündi Pythia-nimeline naine, kelle auks poisile nimi pandi. Tema ennustuse kohaselt pidi sündinud poiss tooma inimkonnale palju kasu ja head. Mida ta täpselt tegigi.
Teoreemi sünd
Nooruses kolis Pythagoras Egiptusesse, et kohtuda seal kuulsate Egiptuse tarkadega. Pärast nendega kohtumist lubati tal õppida, kus ta õppis ära kõik Egiptuse filosoofia, matemaatika ja meditsiini suured saavutused.
Tõenäoliselt sai Pythagoras püramiidide majesteetlikkusest ja ilust inspiratsiooni Egiptuses ning lõi oma suurepärase teooria. See võib lugejaid šokeerida, kuid kaasaegsed ajaloolased usuvad, et Pythagoras ei tõestanud oma teooriat. Kuid ta andis oma teadmised edasi ainult oma järgijatele, kes tegid hiljem kõik vajalikud matemaatilised arvutused.
Olgu kuidas on, tänapäeval ei teata mitte üht selle teoreemi tõestamise meetodit, vaid mitut korraga. Täna võime vaid oletada, kuidas täpselt muistsed kreeklased oma arvutusi tegid, seega vaatleme siin erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks.
Pythagorase teoreem
Enne arvutuste alustamist peate välja mõtlema, millist teooriat soovite tõestada. Pythagorase teoreem kõlab järgmiselt: "Kolmnurgas, mille üks nurkadest on 90°, võrdub jalgade ruutude summa hüpotenuusi ruuduga."
Pythagorase teoreemi tõestamiseks on kokku 15 erinevat viisi. See on üsna suur arv, nii et pöörame tähelepanu neist kõige populaarsematele.
Meetod üks
Esiteks määratleme, mis meile on antud. Need andmed kehtivad ka muude Pythagorase teoreemi tõestamise meetodite puhul, seega tasub kohe meeles pidada kõiki olemasolevaid tähistusi.
Oletame, et meile antakse täisnurkne kolmnurk, mille jalad a, b ja hüpotenuus on võrdne c-ga. Esimene tõestusmeetod põhineb asjaolul, et peate joonistama ruudu täisnurksest kolmnurgast.
Selleks tuleb jala pikkusele a lisada segment, mis on võrdne jalaga b ja vastupidi. Selle tulemuseks peaks olema ruudu kaks võrdset külge. Jääb vaid tõmmata kaks paralleelset joont ja ruut ongi valmis.
Saadud joonise sees peate joonistama teise ruudu, mille külg on võrdne algse kolmnurga hüpotenuusiga. Selleks tuleb tippudest ас ja св tõmmata kaks paralleelset segmenti, mis on võrdsed с-ga. Seega saame ruudu kolm külge, millest üks on algse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Jääb vaid joonistada neljas segment.
Saadud joonise põhjal võime järeldada, et välimise ruudu pindala on (a + b) 2. Kui vaatate joonise sisse, näete, et lisaks sisemisele ruudule on neli täisnurkset kolmnurka. Iga pindala on 0,5 av.
Seetõttu on pindala võrdne: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Seega (a+c) 2 =2ab+c 2
Ja seetõttu c 2 =a 2 + b 2
Teoreem on tõestatud.
Teine meetod: sarnased kolmnurgad
See Pythagorase teoreemi tõestamise valem tuletati geomeetria lõigu väite põhjal sarnaste kolmnurkade kohta. Selles öeldakse, et täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine võrdeline selle hüpotenuusi ja 90° nurga tipust lähtuva hüpotenuusi segmendiga.
Algandmed jäävad samaks, nii et alustame kohe tõestusega. Joonistame lõigu CD, mis on risti küljega AB. Ülaltoodud väite põhjal on kolmnurkade küljed võrdsed:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Et vastata küsimusele, kuidas Pythagorase teoreemi tõestada, tuleb tõestus lõpetada mõlema võrratuse ruudustamisel.
AC 2 = AB * AD ja CB 2 = AB * DV
Nüüd peame saadud ebavõrdsused kokku liitma.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kus AD + DV = AB
Selgub, et:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Ning seetõttu:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Pythagorase teoreemi tõestamine ja selle lahendamise erinevad meetodid nõuavad selle probleemi mitmekülgset lähenemist. See valik on aga üks lihtsamaid.
Teine arvutusmeetod
Pythagorase teoreemi erinevate tõestamisviiside kirjeldused ei pruugi midagi tähendada enne, kui hakkate seda ise harjutama. Paljud tehnikad hõlmavad mitte ainult matemaatilisi arvutusi, vaid ka uute kujundite ehitamist algsest kolmnurgast.
Sel juhul on vaja küljelt BC täita veel üks täisnurkne kolmnurk VSD. Seega on nüüd kaks kolmnurka ühise jalaga BC.
Teades, et sarnaste kujundite pindaladel on nende sarnaste lineaarsete mõõtmete ruutude suhe, siis:
S avd * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs * (2–2) = a 2 * (S avd -S vsd)
2 kuni 2 =a 2
c 2 = a 2 + b 2
Kuna Pythagorase teoreemi 8. klassi erinevate tõestamismeetodite hulgast see valik vaevalt sobib, võite kasutada järgmist meetodit.
Lihtsaim viis Pythagorase teoreemi tõestamiseks. Arvustused
Ajaloolaste sõnul kasutati seda meetodit teoreemi tõestamiseks esmakordselt Vana-Kreekas. See on kõige lihtsam, kuna see ei nõua absoluutselt mingeid arvutusi. Kui joonistate pildi õigesti, on selgelt nähtav tõend väitele, et a 2 + b 2 = c 2.
Selle meetodi tingimused erinevad pisut eelmisest. Teoreemi tõestamiseks eeldame, et täisnurkne kolmnurk ABC on võrdhaarne.
Võtame hüpotenuusi AC ruudu küljeks ja joonistame selle kolm külge. Lisaks on vaja saadud ruudule tõmmata kaks diagonaaljoont. Nii et selle sees saate neli võrdkülgset kolmnurka.
Samuti tuleb jalgadele AB ja CB tõmmata ruut ning kummaski neist tõmmata üks diagonaalne sirgjoon. Esimese joone tõmbame tipust A, teise C.
Nüüd peate saadud joonist hoolikalt vaatama. Kuna hüpotenuusil AC on neli algse kolmnurka ja külgedel kaks, näitab see selle teoreemi õigsust.
Muide, tänu sellele Pythagorase teoreemi tõestamise meetodile sündis kuulus lause: "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed."
Tõestus J. Garfieldi poolt
James Garfield on Ameerika Ühendriikide kahekümnes president. Lisaks sellele, et ta jättis oma jälje ajalukku Ameerika Ühendriikide valitsejana, oli ta ka andekas autodidakt.
Oma karjääri alguses oli ta riigikoolis tavaline õpetaja, kuid peagi sai temast ühe kõrgkooli direktor. Enesearendamise soov võimaldas tal välja pakkuda uue teooria Pythagorase teoreemi tõestamiseks. Teoreem ja selle lahenduse näide on järgmised.
Kõigepealt peate paberile joonistama kaks täisnurkset kolmnurka, nii et ühe jalg oleks teise jätk. Nende kolmnurkade tipud tuleb ühendada, et lõpuks moodustada trapets.
Nagu teate, on trapetsi pindala võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega.
S=a+b/2 * (a+b)
Kui vaadelda saadud trapetsi kolmest kolmnurgast koosneva joonisena, võib selle pindala leida järgmiselt:
S = av/2 *2 + s 2 /2
Nüüd peame kaks algset väljendit võrdsustama
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 = a 2 + b 2
Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest võiks kirjutada rohkem kui ühe köite õpikuid. Kuid kas sellel on mõtet, kui neid teadmisi ei saa praktikas rakendada?
Pythagorase teoreemi praktiline rakendamine
Kahjuks näevad kaasaegsed kooliprogrammid ette selle teoreemi kasutamise ainult geomeetriliste ülesannete puhul. Lõpetajad lahkuvad peagi koolist, teadmata, kuidas nad saavad oma teadmisi ja oskusi praktikas rakendada.
Tegelikult võib igaüks Pythagorase teoreemi oma igapäevaelus kasutada. Ja mitte ainult kutsetegevuses, vaid ka tavalistes majapidamistöödes. Vaatleme mitmeid juhtumeid, mil Pythagorase teoreem ja selle tõestamise meetodid võivad olla äärmiselt vajalikud.
Teoreemi seos astronoomiaga
Näib, kuidas saab paberil tähti ja kolmnurki ühendada. Tegelikult on astronoomia teadusvaldkond, milles Pythagorase teoreemi kasutatakse laialdaselt.
Mõelge näiteks valguskiire liikumisele ruumis. On teada, et valgus liigub mõlemas suunas sama kiirusega. Nimetame trajektoori AB, mida mööda valguskiir liigub l. Ja nimetagem pool ajast, mis kulub punktist A punkti B jõudmiseks valguseks t. Ja kiire kiirus - c. Selgub, et: c*t=l
Kui vaadata seda sama kiirt teiselt tasapinnalt, näiteks kosmosevoodrilt, mis liigub kiirusega v, siis sellisel viisil kehasid vaadeldes nende kiirus muutub. Sel juhul hakkavad isegi paigalseisvad elemendid liikuma kiirusega v vastassuunas.
Oletame, et koomiline lainer sõidab paremale. Seejärel hakkavad punktid A ja B, mille vahel kiir tormab, liikuma vasakule. Pealegi, kui kiir liigub punktist A punkti B, on punktil A aega liikuda ja vastavalt sellele jõuab valgus juba uude punkti C. Et leida pool kaugusest, mille võrra punkt A on liikunud, tuleb korrutada voodri kiirus poole kiire liikumisajast (t ").
Ja selleks, et teada saada, kui kaugele valguskiir selle aja jooksul liikuda võib, tuleb pool teed tähistada uue tähega s ja saada järgmine avaldis:
Kui kujutame ette, et valguse punktid C ja B ning ruumivooder on võrdhaarse kolmnurga tipud, jagab punktist A vooderduseni kulgev lõik selle kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Seetõttu saate tänu Pythagorase teoreemile leida vahemaa, mille valguskiir võiks läbida.
See näide pole muidugi kõige edukam, sest vaid vähestel õnnestub seda praktikas proovida. Seetõttu kaalume selle teoreemi igapäevasemaid rakendusi.
Mobiilse signaali edastusulatus
Tänapäeva elu ei kujuta enam ette ilma nutitelefonide olemasoluta. Aga kui palju kasu neist oleks, kui nad ei saaks abonente mobiilside kaudu ühendada?!
Mobiilside kvaliteet sõltub otseselt mobiilsideoperaatori antenni asukoha kõrgusest. Selleks, et arvutada, kui kaugel mobiiltelefonitornist saab telefon signaali vastu võtta, saate rakendada Pythagorase teoreemi.
Oletame, et peate leidma seisva torni ligikaudse kõrguse, et see saaks signaali levitada 200 kilomeetri raadiuses.
AB (torni kõrgus) = x;
BC (signaali edastusraadius) = 200 km;
OS (maakera raadius) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Rakendades Pythagorase teoreemi, saame teada, et torni minimaalne kõrgus peaks olema 2,3 kilomeetrit.
Pythagorase teoreem igapäevaelus
Kummalisel kombel võib Pythagorase teoreem olla kasulik isegi igapäevastes asjades, näiteks garderoobi kõrguse määramisel. Esmapilgul pole selliseid keerulisi arvutusi vaja kasutada, sest saate lihtsalt mõõta mõõdulindi abil. Kuid paljud inimesed imestavad, miks tekivad monteerimisprotsessi ajal teatud probleemid, kui kõik mõõtmised tehti rohkem kui täpselt.
Fakt on see, et riidekapp pannakse kokku horisontaalasendis ja alles siis tõstetakse ja paigaldatakse vastu seina. Seetõttu peab konstruktsiooni tõstmise käigus kapi külg vabalt liikuma nii piki ruumi kõrgust kui ka diagonaalselt.
Oletame, et seal on 800 mm sügavusega riidekapp. Kaugus põrandast laeni - 2600 mm. Kogenud mööblimeister ütleb, et kapi kõrgus peaks olema 126 mm väiksem kui ruumi kõrgus. Aga miks just 126 mm? Vaatame näidet.
Ideaalsete kapimõõtmetega kontrollime Pythagorase teoreemi toimimist:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - kõik sobib.
Oletame, et kapi kõrgus ei ole 2474 mm, vaid 2505 mm. Seejärel:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Seetõttu ei sobi see kapp sellesse ruumi paigaldamiseks. Kuna selle tõstmine vertikaalasendisse võib selle keha kahjustada.
Võib-olla, olles kaalunud erinevate teadlaste erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks, võime järeldada, et see on enam kui tõsi. Nüüd saate saadud teavet oma igapäevaelus kasutada ja olla täiesti kindel, et kõik arvutused pole mitte ainult kasulikud, vaid ka õiged.
Kui alustasite ruutjuurte ja irratsionaalsete võrrandite (juuremärgi all tundmatut sisaldavate võrrandite) lahendamisega tutvumist, saite tõenäoliselt esimest korda aru nende praktilisest kasutusest. Arvude ruutjuure võtmise oskus on vajalik ka ülesannete lahendamiseks Pythagorase teoreemi abil. See teoreem seob mis tahes täisnurkse kolmnurga külgede pikkused.
Olgu täisnurkse kolmnurga jalgade pikkused (need kaks külge, mis on täisnurga all) tähistatud tähtedega ja ning hüpotenuusi (täisnurga vastas asuva kolmnurga pikim külg) pikkus tähistatakse kiri. Seejärel seostatakse vastavad pikkused järgmise seosega:
See võrrand võimaldab teil leida täisnurkse kolmnurga külje pikkuse, kui selle ülejäänud kahe külje pikkus on teada. Lisaks võimaldab see määrata, kas kõnealune kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, eeldusel, et kõigi kolme külje pikkused on ette teada.
Ülesannete lahendamine Pythagorase teoreemi abil
Materjali kinnistamiseks lahendame Pythagorase teoreemi abil järgmised ülesanded.
Niisiis, arvestades:
- Ühe jala pikkus on 48, hüpotenuus 80.
- Jala pikkus on 84, hüpotenuus on 91.
Läheme lahenduseni:
a) Andmete asendamine ülaltoodud võrrandiga annab järgmised tulemused:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 või b = -64
Kuna kolmnurga külje pikkust ei saa väljendada negatiivse arvuna, lükatakse teine variant automaatselt tagasi.
Vastus esimesele pildile: b = 64.
b) Teise kolmnurga jala pikkus leitakse samal viisil:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 või b = -35
Nagu ka eelmisel juhul, jäetakse negatiivne otsus kõrvale.
Vastus teisele pildile: b = 35
Meile antakse:
- Kolmnurga väiksemate külgede pikkused on vastavalt 45 ja 55 ning suuremate külgede pikkused on 75.
- Kolmnurga väiksemate külgede pikkused on vastavalt 28 ja 45 ning suuremate külgede pikkused on 53.
Lahendame probleemi:
a) Tuleb kontrollida, kas antud kolmnurga lühemate külgede pikkuste ruutude summa on võrdne suurema kolmnurga pikkuse ruuduga:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Seetõttu ei ole esimene kolmnurk täisnurkne kolmnurk.
b) Sama toiming tehakse:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Seetõttu on teine kolmnurk täisnurkne kolmnurk.
Kõigepealt leiame koordinaatidega (-2, -3) ja (5, -2) punktidest moodustatud suurima lõigu pikkuse. Selleks kasutame ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi punktide vahelise kauguse leidmiseks tuntud valemit:
Samamoodi leiame koordinaatidega (-2, -3) ja (2, 1) punktide vahele jääva lõigu pikkuse:
Lõpuks määrame koordinaatidega (2, 1) ja (5, -2) punktide vahelise lõigu pikkuse:
Kuna võrdsus kehtib:
siis on vastav kolmnurk täisnurkne.
Seega saame sõnastada vastuse ülesandele: kuna lühema pikkusega külgede ruutude summa on võrdne pikima pikkusega külje ruuduga, on punktideks täisnurkse kolmnurga tipud.
Alus (asub rangelt horisontaalselt), lengi (asub rangelt vertikaalselt) ja kaabel (diagonaalselt venitatud) moodustavad vastavalt täisnurkse kolmnurga, kaabli pikkuse leidmiseks saab kasutada Pythagorase teoreemi:
Seega on kaabli pikkus ligikaudu 3,6 meetrit.
Arvestades: kaugus punktist R punktini P (kolmnurga jalg) on 24, punktist R punktini Q (hüpotenuus) on 26.
Niisiis, aitame Vital probleemi lahendada. Kuna joonisel kujutatud kolmnurga küljed peaksid moodustama täisnurkse kolmnurga, saate kolmanda külje pikkuse leidmiseks kasutada Pythagorase teoreemi:
Niisiis, tiigi laius on 10 meetrit.
Sergei Valerievitš
Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose
täisnurkse kolmnurga külgede vahele.
Arvatakse, et selle tõestas Kreeka matemaatik Pythagoras, kelle järgi see nime sai.
Pythagorase teoreemi geomeetriline sõnastus.
Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne ruutude pindalade summaga,
ehitatud jalgadele.
Pythagorase teoreemi algebraline sõnastus.
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.
See tähendab, et tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a Ja b:
Mõlemad koostised Pythagorase teoreem on samaväärsed, kuid teine sõnastus on elementaarsem, aga mitte
nõuab pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida ilma piirkonnast midagi teadmata ja
mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.
Pöörane Pythagorase teoreem.
Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis
täisnurkne kolmnurk.
Või teisisõnu:
Iga positiivse arvu kolmiku kohta a, b Ja c, selline, et
on täisnurkne kolmnurk jalgadega a Ja b ja hüpotenuus c.
Pythagorase teoreem võrdhaarse kolmnurga jaoks.
Pythagorase teoreem võrdkülgse kolmnurga jaoks.
Pythagorase teoreemi tõestused.
Praegu on selle teoreemi tõestust teaduskirjanduses registreeritud 367. Ilmselt teoreem
Pythagoras on ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Selline mitmekesisus
saab seletada ainult teoreemi fundamentaalse tähtsusega geomeetria jaoks.
Mõistagi võib neid kõiki jagada vähesteks klassideks. Neist kuulsaimad:
tõend pindala meetod, aksiomaatiline Ja eksootilised tõendid(Näiteks,
kasutades diferentsiaalvõrrandid).
1. Pythagorase teoreemi tõestus sarnaste kolmnurkade abil.
Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on konstrueeritud tõestustest kõige lihtsam
otse aksioomidest. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.
Lase ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C. Joonistame kõrguse C ja tähistada
selle vundament läbi H.
Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga AB C kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC.
Märkuse sisseviimisega:
saame:
,
mis vastab -
Volditud a 2 ja b 2, saame:
või , mida oli vaja tõestada.
2. Pythagorase teoreemi tõestamine pindalameetodil.
Vaatamata näilisele lihtsusele pole alltoodud tõendid sugugi nii lihtsad. Kõik nemad
kasutada pindala omadusi, mille tõestused on keerulisemad kui Pythagorase teoreemi enda tõestus.
- Tõestus võrdse komplementaarsuse kaudu.
Korraldame neli võrdset ristkülikukujulist
kolmnurk, nagu on näidatud joonisel
paremal.
Nelinurk külgedega c- ruut,
kuna kahe teravnurga summa on 90° ja
lahtivolditud nurk - 180°.
Kogu figuuri pindala on ühelt poolt võrdne,
küljega ruudu pindala ( a+b) ja teisest küljest nelja kolmnurga pindalade summa ja
Q.E.D.
3. Pythagorase teoreemi tõestamine lõpmatuarvu meetodil.
Vaadates joonisel näidatud joonist ja
jälgides, kuidas pool muutuba, me saame
kirjuta järgmine seos jaoks lõpmatu
väike külgmised juurdekasvudKoos Ja a(kasutades sarnasust
kolmnurgad):
Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame:
Üldisem avaldis hüpotenuusi muutuse kohta mõlema poole juurdekasvu korral:
Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame:
Nii jõuame soovitud vastuseni:
Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus lineaarsuse tõttu
proportsionaalsus kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahel, samas kui summa on seotud sõltumatuga
panused erinevate jalgade juurdekasvust.
Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge tõusu
(antud juhul jalg b). Seejärel saame integreerimiskonstandi jaoks:
Pythagorase teoreem: jalgadele toetuvate ruutude pindalade summa ( a Ja b), võrdne hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga ( c).
Geomeetriline koostis:
Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:
Algebraline formuleering:
See tähendab, et tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a Ja b :
a 2 + b 2 = c 2Teoreemi mõlemad sõnastused on samaväärsed, kuid teine sõnastus on elementaarsem, see ei nõua pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida pindala kohta midagi teadmata ja mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.
Pythagorase vastupidine teoreem:
Tõestus
Hetkel on teaduskirjanduses kirja pandud 367 selle teoreemi tõestust. Tõenäoliselt on Pythagorase teoreem ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Sellist mitmekesisust saab seletada ainult teoreemi fundamentaalse tähtsusega geomeetria jaoks.
Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Tuntuimad neist: tõestused pindalameetodil, aksiomaatilised ja eksootilised tõestused (näiteks diferentsiaalvõrrandite abil).
Läbi sarnaste kolmnurkade
Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on kõige lihtsam tõestus, mis on konstrueeritud otse aksioomidest. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.
Lase ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C. Joonistame kõrguse C ja tähistage selle alust H. Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga ABC kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC. Noodi sisseviimisega
saame
Mis on samaväärne
Selle kokku liitmisel saame
Tõestused pindalameetodil
Vaatamata näilisele lihtsusele pole alltoodud tõendid sugugi nii lihtsad. Kõik nad kasutavad pindala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.
Tõestus võrdse komplementaarsuse kaudu
- Järjestame neli võrdset täisnurkset kolmnurka, nagu on näidatud joonisel 1.
- Nelinurk külgedega c on ruut, kuna kahe teravnurga summa on 90° ja sirge nurga summa on 180°.
- Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on (a + b), ja teiselt poolt nelja kolmnurga ja kahe sisemise kolmnurga pindalade summaga. ruudud.
Q.E.D.
Tõestused samaväärsuse kaudu
Elegantne tõestus permutatsiooni abil
Ühe sellise tõestuse näide on toodud parempoolsel joonisel, kus hüpotenuusile ehitatud ruut on ümber paigutatud kaheks jalgadele ehitatud ruuduks.
Eukleidese tõestus
Joonis Eukleidese tõestuseks
Illustratsioon Eukleidese tõestuseks
Eukleidese tõestuse idee on järgmine: proovime tõestada, et pool hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast võrdub jalgadele ehitatud ruutude poolte pindalade summaga ja seejärel suur ja kaks väikest ruutu on võrdsed.
Vaatame vasakpoolset joonist. Sellele konstrueerisime täisnurkse kolmnurga külgedele ruudud ja joonistasime hüpotenuusiga AB risti oleva täisnurga C tipust kiiri s, see lõikab hüpotenuusile ehitatud ruudu ABIK kaheks ristkülikuks - BHJI ja HAKJ, vastavalt. Selgub, et nende ristkülikute pindalad on täpselt võrdsed vastavatele jalgadele ehitatud ruutude pindaladega.
Proovime tõestada, et ruudu DECA pindala on võrdne ristküliku AHJK pindalaga. Selleks kasutame abivaatlust: kolmnurga pindala, mille kõrgus ja alus on sama. antud ristkülik võrdub poolega antud ristküliku pindalast. See tuleneb sellest, et kolmnurga pindala on pool aluse ja kõrguse korrutisest. Sellest tähelepanekust järeldub, et kolmnurga ACK pindala on võrdne kolmnurga AHK pindalaga (joonisel pole näidatud), mis omakorda võrdub poolega ristküliku AHJK pindalast.
Tõestame nüüd, et kolmnurga ACK pindala on samuti võrdne poolega DECA ruudu pindalast. Ainus asi, mida selleks tuleb teha, on tõestada kolmnurkade ACK ja BDA võrdsust (kuna kolmnurga BDA pindala on ülaltoodud omaduse järgi võrdne poole ruudu pindalaga). See võrdsus on ilmne, kolmnurgad on mõlemal küljel võrdsed ja nendevaheline nurk. Nimelt - AB=AK,AD=AC - nurkade CAK ja BAD võrdsust on lihtne tõestada liikumismeetodiga: pöörame kolmnurka CAK 90° vastupäeva, siis on ilmne, et kahe kolmnurga vastavad küljed küsimus langeb kokku (tänu asjaolule, et nurga ruudu tipus on 90°).
Ruudu BCFG ja ristküliku BHJI pindalade võrdsuse põhjendus on täiesti sarnane.
Seega tõestasime, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala koosneb jalgadele ehitatud ruutude pindaladest. Selle tõestuse idee on veelgi illustreeritud ülaltoodud animatsiooniga.
Leonardo da Vinci tõend
Leonardo da Vinci tõend
Tõestuse põhielemendid on sümmeetria ja liikumine.
Vaatleme joonist, nagu sümmeetriast näha, segmendiks CI lõikab ruutu ABHJ kaheks identseks osaks (kuna kolmnurgad ABC Ja JHI ehituselt võrdne). Kasutades 90 kraadi vastupäeva pööramist, näeme varjutatud kujundite võrdsust CAJI Ja GDAB . Nüüd on selge, et meie poolt varjutatud joonise pindala on võrdne poole jalgadele ehitatud ruutude pindala ja algse kolmnurga pindala summaga. Teisest küljest on see võrdne poolega hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast, millele lisandub algse kolmnurga pindala. Tõestuse viimane samm jääb lugeja teha.
Tõestus lõpmatu väikese meetodiga
Järgnev diferentsiaalvõrrandeid kasutav tõestus on sageli omistatud kuulsale inglise matemaatikule Hardyle, kes elas 20. sajandi esimesel poolel.
Vaadates joonisel näidatud joonist ja jälgides külje muutust a, saame kirjutada järgmise seose lõpmatute külgmiste juurdekasvude jaoks Koos Ja a(kasutades kolmnurga sarnasust):
Tõestus lõpmatu väikese meetodiga
Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame
Üldisem avaldis hüpotenuusi muutumise kohta mõlemapoolsete juurdekasvude korral
Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame
c 2 = a 2 + b 2 + konstant.Nii jõuame soovitud vastuseni
c 2 = a 2 + b 2 .Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahelise lineaarse proportsionaalsuse tõttu, samas kui summa on seotud erinevate jalgade juurdekasvu sõltumatute panustega.
Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei kasva (antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks
Variatsioonid ja üldistused
- Kui ruutude asemel ehitame külgedele muid sarnaseid kujundeid, siis on Pythagorase teoreemi järgmine üldistus tõene: Täisnurkses kolmnurgas on külgedele ehitatud sarnaste kujundite pindalade summa võrdne hüpotenuusile ehitatud kujundi pindalaga. Eriti:
- Jalgadele ehitatud korrapäraste kolmnurkade pindalade summa on võrdne hüpotenuusile ehitatud korrapärase kolmnurga pindalaga.
- Jalgadele ehitatud poolringide pindalade summa (nagu läbimõõdul) on võrdne hüpotenuusile ehitatud poolringi pindalaga. Seda näidet kasutatakse kahe ringikaarega piiratud ja Hippokratese lunuladeks nimetatud kujundite omaduste tõestamiseks.
Lugu
Chu-pei 500–200 eKr. Vasakul on kiri: kõrguse ja aluse pikkuste ruutude summa on hüpotenuusi pikkuse ruut.
Vana-Hiina raamat Chu-pei räägib Pythagorase kolmnurgast, mille küljed on 3, 4 ja 5: Sama raamat pakub joonist, mis langeb kokku ühe Bashara hinduistliku geomeetria joonisega.
Cantor (suurim saksa matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 3² + 4² = 5² oli egiptlastele teada juba umbes 2300 eKr. e., kuningas Amenemhet I ajal (Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi). Cantori sõnul ehitasid harpedonaptid ehk "köietõmbajad" täisnurki, kasutades täisnurkseid kolmnurki, mille küljed on 3, 4 ja 5.
Nende ehitusmeetodit on väga lihtne reprodutseerida. Võtame 12 m pikkuse köie ja seome selle külge 3 m kauguselt värvilise riba. ühest otsast ja 4 meetri kaugusel teisest. Täisnurk jääb 3–4 meetri pikkuste külgede vahele. Harpedonaptlastele võib vastu vaielda, et nende ehitusmeetod muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks puidust ruutu, mida kasutavad kõik puusepad. Tõepoolest on teada Egiptuse joonised, millelt selline tööriist on leitud, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.
Babüloonlaste seas on Pythagorase teoreemi kohta mõnevõrra rohkem teada. Ühes tekstis, mis pärineb Hammurapi ajast, see tähendab aastast 2000 eKr. st on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ligikaudne arvutus. Sellest võime järeldada, et Mesopotaamias suudeti vähemalt mõnel juhul teha arvutusi täisnurksete kolmnurkadega. Tuginedes ühelt poolt Egiptuse ja Babüloonia matemaatika teadmiste praegusele tasemele ning teiselt poolt Kreeka allikate kriitilisele uurimisele, jõudis Van der Waerden (Hollandi matemaatik) järgmisele järeldusele:
Kirjandus
Vene keeles
- Skopets Z. A. Geomeetrilised miniatuurid. M., 1990
- Elensky Shch. Pythagorase jälgedes. M., 1961
- Van der Waerden B.L.Äratusteadus. Vana-Egiptuse, Babüloni ja Kreeka matemaatika. M., 1959
- Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. M., 1982
- W. Litzman, Pythagorase teoreem, M., 1960.
- Pythagorase teoreemi käsitlev sait suure hulga tõestustega, V. Litzmanni raamatust võetud materjal, suur hulk jooniseid on esitatud eraldi graafiliste failidena.
- Pythagorase teoreem ja Pythagorase kolmikute peatükk D. V. Anosovi raamatust “Pilk matemaatikasse ja midagi sellest”
- Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest G. Glaser, Venemaa Haridusakadeemia akadeemik, Moskva
Inglise keeles
- Pythagorase teoreem WolframMathWorldis
- Cut-The-Knot, Pythagorase teoreemi osa, umbes 70 tõestust ja ulatuslikku lisateavet (inglise keeles)
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.