Selles artiklis näitame, kuidas anda nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid trigonomeetrias. Siin räägime märgetest, toome kirjete näiteid ja toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon

Vaatame, kuidas kujuneb kooli matemaatikakursusel siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi idee. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem uuritakse trigonomeetriat, mis räägib pöördenurga ja arvu siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Esitagem kõik need määratlused, tooge näiteid ja tehkem vajalikud kommentaarid.

Täisnurkse kolmnurga teravnurk

Geomeetria kursusest teame täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Anname nende sõnastused.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja– see on vastaskülje ja külgneva külje suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens- see on külgneva külje ja vastaskülje suhe.

Seal tutvustatakse ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistusi - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.

Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastaskülje BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.

Need määratlused võimaldavad teil arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste, aga ka siinuse, koosinuse, puutuja, kotangent ja ühe külje pikkus, et leida teiste külgede pikkusi. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC võrdne 3-ga ja hüpotenuus AB on võrdne 7-ga, siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse väärtuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/ AB = 3/7.

Pöörlemisnurk

Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurga suurus, erinevalt teravnurgast, ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga. Pöörlemisnurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.

Selles valguses on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte teravnurga, vaid suvalise suurusega nurga - pöördenurga - kohta. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, kuhu läheb nn alguspunkt A(1, 0) pärast selle pööramist nurga α võrra ümber punkti O – ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tanα=y/x.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga kotangentsα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y.

Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel nurga α võrra. Kuid puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb null-abstsissiga (0, 1) või (0, −1) punkti, ja see toimub nurkade 90°+180° k, k∈Z (π) korral /2+π·k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis see ei ole defineeritud nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaadiga punkti (1, 0) või (−1, 0), ja see juhtub nurkade 180° k, k ∈Z korral. (π·k rad).

Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ja kotangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definitsioonid hõlmavad meile juba teadaolevaid tähiseid sin, cos, tg ja ctg, neid kasutatakse ka pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistamiseks (mõnikord võib leida tangensile ja kotangensile vastavad tähised tan ja cot) . Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletage meelde, et nurga radiaani mõõtmise kirjutamisel jäetakse tähis "rad" sageli välja. Näiteks kolme pi rad suuruse pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3·π.

Selle punkti kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas “pöördenurk” või sõna “pööramine”. See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või veelgi lühemalt "siinus alfa". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.

Samuti ütleme, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0 kuni 90 kraadise pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. Me põhjendame seda.

Numbrid

Definitsioon.

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis võrdub vastavalt pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga t radiaanides.

Näiteks arvu 8·π koosinus on definitsiooni järgi arv, mis võrdub nurga 8·π rad koosinusega. Ja nurga 8·π rad koosinus on võrdne ühega, seetõttu on arvu 8·π koosinus võrdne 1-ga.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. See seisneb selles, et iga reaalarv t on seotud ühikringi punktiga, mille keskpunkt on ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktis, ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu. Vaatame seda üksikasjalikumalt.

Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:

• arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0);
• positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist vastupäeva ja läbime tee pikkusega t;
• negatiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist päripäeva ja kõnnime tee pikkusega |t| .

Nüüd liigume edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab punktile ringil A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).

Definitsioon.

Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaat, st sint=y.

Definitsioon.

Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks, st kulu=x.

Definitsioon.

Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, st tgt=sint/kulu.

Definitsioon.

Arvu kotangents t on arvule t vastava ühikringjoone punkti abstsissi ja ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe: ctgt=kulu/sint.

Siinkohal märgime, et just antud määratlused on kooskõlas selle lõigu alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel t radiaani nurga võrra.

Seda punkti tasub veel täpsustada. Oletame, et meil on kirje sin3. Kuidas aru saada, kas me räägime arvu 3 siinusest või 3 radiaani pöördenurga siinusest? Tavaliselt on see kontekstist selge, vastasel juhul pole see tõenäoliselt põhimõttelise tähtsusega.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Eelmises lõigus toodud definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α väga kindlale väärtusele sinα, samuti väärtusele cosα. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα väärtustele ja väärtused, mis ei ole 180°k, k∈Z (πk rad ) – väärtused of ctgα . Seetõttu on sinα, cosα, tanα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.

Sarnaselt võime rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab väga konkreetsele väärtusele sint ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k, k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k, k∈Z - väärtused ctgt.

Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt selgub kontekstist, kas tegemist on nurkargumendi või numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõtmiseks (nurkargumendiks) kui ka arvuliseks argumendiks.

Koolis õpime aga põhiliselt arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka neile vastavad funktsiooniväärtused on arvud. Seega, kui me räägime konkreetselt funktsioonidest, siis on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.

Geomeetria ja trigonomeetria definitsioonide seos

Kui arvestada pöördenurga α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. teravnurk täisnurkses kolmnurgas, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.

Kujutagem ühikringi ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy. Märgime alguspunktiks A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y). Kukkugem risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.

On hästi näha, et täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 OH võrdne pöördenurgaga α, selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdub punkti A 1 abstsissiga, see tähendab |OH |=x, nurga vastas oleva jala pikkus A 1 H võrdub punkti A 1 ordinaadiga, st |A 1 H|=y ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kui α on 0 kuni 90 kraadi.

Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.

Bibliograafia.

1. Geomeetria. 7-9 klassid: õpik üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geomeetria: õpik. 7-9 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Haridus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ja elementaarfunktsioonid: Õpik keskkooli 9. klassi õpilastele / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. M.: Haridus, 1969.
4. Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Haridus, 1990. - 272 lk. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. 2 osas 1. osa: õpik üldharidusasutustele (profiilitase) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I.: Haridus, 2010.- 368 lk.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Juhised

Video teemal

Märge

Täisnurkse kolmnurga külgede arvutamisel võivad teadmised selle omadustest mängida rolli:
1) Kui täisnurga jalg asub 30-kraadise nurga vastas, on see võrdne poole hüpotenuusiga;
2) hüpotenuus on alati pikem kui ükski jalg;
3) Kui ringjoon on ümbritsetud täisnurkse kolmnurga ümber, peab selle keskpunkt asuma hüpotenuusi keskel.

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on 90-kraadise nurga vastas. Selle pikkuse arvutamiseks piisab, kui on teada kolmnurga ühe jala pikkus ja ühe teravnurga suurus.

Juhised

Andke meile teada üks jalg ja sellega külgnev nurk. Täpsemalt olgu need külg |AB| ja nurk α. Seejärel saame kasutada külgneva jala trigonomeetrilise koosinuse ja koosinuse suhte valemit. Need. meie tähistuses cos α = |AB| / |AC|. Sellest saame hüpotenuusi pikkuse |AC| = |AB| / cos α.
Kui teame külge |BC| ja nurk α, siis kasutame nurga siinuse arvutamiseks valemit - nurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega: sin α = |BC| / |AC|. Leiame, et hüpotenuusi pikkus on |AC| = |BC| / cos α.

Selguse huvides vaatame näidet. Olgu antud jala pikkus |AB|. = 15. Ja nurk α = 60°. Saame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Vaatame, kuidas saate Pythagorase teoreemi abil oma tulemust kontrollida. Selleks peame arvutama teise jala pikkuse |BC|. Kasutades nurga tangensi valemit tan α = |BC| / |AC|, saame |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Järgmisena rakendame Pythagorase teoreemi, saame 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontroll on lõpetatud.

Abistavad nõuanded

Pärast hüpotenuusi arvutamist kontrollige, kas saadud väärtus vastab Pythagorase teoreemile.

Allikad:

• Algarvude tabel 1 kuni 10 000

Jalad on täisnurkse kolmnurga kaks lühikest külge, mis moodustavad tipu, mille suurus on 90°. Sellise kolmnurga kolmandat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Kõik need kolmnurga küljed ja nurgad on omavahel seotud teatud seostega, mis võimaldavad arvutada jala pikkust, kui on teada mitmeid muid parameetreid.

Juhised

Kasutage Pythagorase teoreemi jala (A) jaoks, kui teate täisnurkse kolmnurga ülejäänud kahe külje (B ja C) pikkust. See teoreem väidab, et jalgade ruudu pikkuste summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Sellest järeldub, et iga jala pikkus võrdub hüpotenuusi ja teise jala pikkuste ruutjuurega: A=√(C²-B²).

Kasutage teravnurga jaoks trigonomeetrilise otsefunktsiooni "siinus" määratlust, kui teate arvutatava jala vastas asuva nurga suurust (α) ja hüpotenuusi pikkust (C). See näitab, et siinus on selle teadaoleva soovitud jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhte siinus. See tähendab, et soovitud jala pikkus võrdub hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga siinuse korrutisega: A=C∗sin(α). Samade teadaolevate suuruste puhul saab kasutada ka kosekanti ja arvutada vajaliku pikkuse, jagades hüpotenuusi pikkuse teadaoleva nurga A=C/kosek(α) kosekandiga.

Kasutage otsese trigonomeetrilise koosinusfunktsiooni definitsiooni, kui lisaks hüpotenuusi pikkusele (C) on teada ka soovitud nurgaga külgneva teravnurga (β) suurus. Selle nurga koosinus on soovitud jala ja hüpotenuusi pikkuste suhe ning sellest saame järeldada, et jala pikkus võrdub hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga koosinuse korrutisega: A=C∗cos(β). Võite kasutada sekantfunktsiooni definitsiooni ja arvutada soovitud väärtuse, jagades hüpotenuusi pikkuse teadaoleva nurga A=C/sek(β) sekaaniga.

Tuletage nõutav valem sarnasest trigonomeetrilise funktsiooni puutuja tuletise definitsioonist, kui lisaks soovitud haru (A) vastas asuva teravnurga (α) väärtusele on teada ka teise haru (B) pikkus . Soovitud jala vastasnurga puutuja on selle jala pikkuse ja teise jala pikkuse suhe. See tähendab, et soovitud väärtus on võrdne teadaoleva haru pikkuse ja teadaoleva nurga puutuja korrutisega: A=B∗tg(α). Nendest samadest teadaolevatest suurustest saab tuletada teise valemi, kui kasutada kotangensi funktsiooni definitsiooni. Sel juhul on jala pikkuse arvutamiseks vaja leida teadaoleva jala pikkuse ja teadaoleva nurga kotangensi suhe: A=B/ctg(α).

Video teemal

Sõna "kathet" tuli vene keelde kreeka keelest. Täpses tõlkes tähendab see loodijoont, st maapinnaga risti. Matemaatikas on jalad need küljed, mis moodustavad täisnurkse kolmnurga täisnurga. Selle nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Mõistet "kateett" kasutatakse ka arhitektuuris ja keevitustehnoloogias.

Selle nurga sekant saadakse hüpotenuusi jagamisel külgneva jalaga, see tähendab secCAB = c/b. Tulemuseks on koosinuse pöördväärtus, st seda saab väljendada valemiga secCAB=1/cosSAB.
Koosekant võrdub hüpotenuusi jagatisega, mis on jagatud vastasküljega, ja on siinuse pöördväärtus. Seda saab arvutada valemi cosecCAB=1/sinCAB abil

Mõlemad jalad on omavahel ja kotangensiga ühendatud. Sel juhul on puutuja külje a ja külje b suhe, see tähendab külgneva külje vastaskülje suhe. Seda seost saab väljendada valemiga tgCAB=a/b. Seega on pöördsuhe kotangents: ctgCAB=b/a.

Hüpotenuusi ja mõlema jala suuruse vahelise seose määras Vana-Kreeka Pythagoras. Inimesed kasutavad endiselt teoreemi ja tema nime. See ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga, see tähendab c2 = a2 + b2. Sellest lähtuvalt on iga jalg võrdne hüpotenuusi ja teise jala ruutude erinevuse ruutjuurega. Selle valemi saab kirjutada kujul b=√(c2-a2).

Jala pikkust saab väljendada ka teile teadaolevate suhete kaudu. Siinuste ja koosinuste teoreemide kohaselt võrdub jalg hüpotenuusi ja ühe nendest funktsioonidest korrutisega. Seda saab väljendada kui ja või kotangent. Jala a võib leida näiteks valemiga a = b*tan CAB. Täpselt samamoodi, sõltuvalt antud puutujast või , määratakse teine ​​jalg.

Arhitektuuris kasutatakse ka mõistet "kateet". Seda rakendatakse joonia pealinnale ja selle selja keskosale. See tähendab, et antud juhul on see liige antud joonega risti.

Keevitustehnoloogias on "filee keevisjalg". Nagu muudel juhtudel, on see lühim vahemaa. Siin räägime pilust ühe osa vahel, mis on keevitatud teise osa pinnal asuva õmbluse piirini.

Video teemal

Allikad:

• mis on jalg ja hüpotenuus 2019. aastal

Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on suhe vastupidine jalg hüpotenuusile.
Seda tähistatakse järgmiselt: sin α.

Koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
See on tähistatud järgmiselt: cos α.

Tangent teravnurk α on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
See on tähistatud järgmiselt: tg α.

Kotangent teravnurk α on külgneva külje ja vastaskülje suhe.
See on tähistatud järgmiselt: ctg α.

Nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens sõltuvad ainult nurga suurusest.

Reeglid:

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid täisnurkses kolmnurgas:

(α – teravnurk jala vastas b ja jala kõrval a . Külg Koos - hüpotenuus. β – teine ​​teravnurk).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cos α = - c	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b tan α = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
a ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
sin α tg α = -- cos α

Teranurga suurenedessin α jatan α suurenemine jacos α väheneb.

Iga teravnurga α korral:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Näide-seletus:

Laske sisse täisnurkne kolmnurk ABC
AB = 6,
eKr = 3,
nurk A = 30º.

Leiame nurga A siinuse ja nurga B koosinuse.

Lahendus.

1) Esiteks leiame nurga B väärtuse. Siin on kõik lihtne: kuna täisnurkses kolmnurgas on teravnurkade summa 90º, siis nurk B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Arvutame patu A. Teame, et siinus võrdub vastaskülje suhtega hüpotenuusiga. Nurga A puhul on vastaskülg külg BC. Niisiis:

eKr 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nüüd arvutame cos B. Teame, et koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga B puhul on külgnev jalg sama külg BC. See tähendab, et peame jälle jagama BC AB-ga - see tähendab tegema samu toiminguid, mis nurga A siinuse arvutamisel:

eKr 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulemuseks on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Sellest järeldub, et täisnurkses kolmnurgas on ühe teravnurga siinus võrdne teise teravnurga koosinusega - ja vastupidi. See on täpselt see, mida meie kaks valemit tähendavad:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Veendume selles uuesti:

1) Olgu α = 60º. Asendades siinuse valemis α väärtuse, saame:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olgu α = 30º. Asendades α väärtuse koosinusvalemis, saame:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Lisateavet trigonomeetria kohta leiate jaotisest Algebra)

Keskmine tase

Täisnurkne kolmnurk. Täielik illustreeritud juhend (2019)

PAREM KOLMNURK. ESIMESE TASE.

Ülesannete korral pole õige nurk üldse vajalik - alumine vasak, nii et peate õppima sellel kujul täisnurkset kolmnurka ära tundma,

ja selles

ja selles

Mis on täisnurkses kolmnurgas head? Noh... esiteks on selle külgedele erilised ilusad nimed.

Tähelepanu joonisele!

Pidage meeles ja ärge ajage segadusse: on kaks jalga ja on ainult üks hüpotenuus(üks ja ainus, ainulaadne ja pikim)!

Noh, arutasime nimesid, nüüd kõige olulisemat: Pythagorase teoreemi.

Pythagorase teoreem.

See teoreem on võti paljude täisnurkse kolmnurgaga seotud probleemide lahendamiseks. Seda tõestas Pythagoras täiesti iidsetel aegadel ja sellest ajast peale on see teadjatele palju kasu toonud. Ja parim asi selle juures on see, et see on lihtne.

Niisiis, Pythagorase teoreem:

Kas mäletate nalja: "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed!"?

Joonistame need samad Pythagorase püksid ja vaatame neid.

Kas see ei näe välja nagu mingid lühikesed püksid? Noh, millistel pooltel ja kus nad on võrdsed? Miks ja kust nali tuli? Ja see nali on seotud just Pythagorase teoreemiga või täpsemalt sellega, kuidas Pythagoras ise oma teoreemi sõnastas. Ja ta sõnastas selle nii:

"Summa ruutude alad, ehitatud jalgadele, on võrdne ruudu pindala, mis on ehitatud hüpotenuusile."

Kas see kõlab tõesti natuke teistmoodi? Ja nii, kui Pythagoras oma teoreemi väite joonistas, tuli välja täpselt selline pilt.

Sellel pildil on väikeste ruutude pindalade summa võrdne suure ruudu pindalaga. Ja et lapsed mäletaksid paremini, et jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, mõtles keegi vaimukas selle Pythagorase pükste nalja.

Miks me nüüd Pythagorase teoreemi sõnastame?

Kas Pythagoras kannatas ja rääkis väljakutest?

Näete, iidsetel aegadel polnud... algebrat! Mingeid märke polnud ja nii edasi. Silte polnud. Kas te kujutate ette, kui kohutav oli vaestel iidsetel õpilastel kõike sõnadega meeles pidada??! Ja me võime rõõmustada, et meil on Pythagorase teoreemi lihtne sõnastus. Kordame seda uuesti, et paremini meelde jätta:

See peaks nüüd lihtne olema:

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

Noh, kõige olulisem teoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on arutatud. Kui teid huvitab, kuidas see tõestatakse, lugege järgmisi teooriatasemeid ja nüüd läheme kaugemale... trigonomeetria pimedasse metsa! Kohutavatele sõnadele siinus, koosinus, puutuja ja kotangent.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas.

Tegelikult pole kõik üldse nii hirmus. Muidugi tuleks artiklis vaadata siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi “päris” määratlust. Aga ma tõesti ei taha, eks? Võime rõõmustada: täisnurkse kolmnurga probleemide lahendamiseks võite lihtsalt täita järgmised lihtsad asjad:

Miks on kõik nurga taga? Kus on nurk? Selle mõistmiseks peate teadma, kuidas väiteid 1–4 sõnadega kirjutatakse. Vaata, mõista ja jäta meelde!

1.
Tegelikult kõlab see nii:

Aga nurk? Kas on jalg, mis on nurga vastas, st vastupidine (nurga jaoks) jalg? Muidugi on! See on jalg!

Aga nurk? Vaata hoolega. Milline jalg külgneb nurgaga? Muidugi, jalg. See tähendab, et nurga korral on jalg külgnev ja

Nüüd pane tähele! Vaata, mis meil on:

Vaata, kui lahe see on:

Liigume nüüd puutuja ja kotangensi juurde.

Kuidas ma saan seda nüüd sõnadega kirja panna? Mis on jalg nurga suhtes? Muidugi vastas - see "lemab" nurga vastas. Aga jalg? Kõrval nurgaga. Mis meil siis on?

Vaadake, kuidas lugeja ja nimetaja on kohad vahetanud?

Ja nüüd jälle nurgad ja vahetus tehtud:

Kokkuvõte

Paneme lühidalt kirja kõik, mida oleme õppinud.

Pythagorase teoreem:

Põhiteoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on Pythagorase teoreem.

Pythagorase teoreem

Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui mitte väga hea, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi

On täiesti võimalik, et olete Pythagorase teoreemi juba korduvalt kasutanud, kuid kas olete kunagi mõelnud, miks selline teoreem on tõene? Kuidas ma saan seda tõestada? Teeme nii nagu vanad kreeklased. Joonistame küljega ruudu.

Vaata, kui kavalalt me ​​selle küljed pikkusteks jagasime ja!

Nüüd ühendame märgitud punktid

Siin märkisime aga midagi muud, kuid te ise vaatate joonist ja mõtlete, miks see nii on.

Kui suur on suurema ruudu pindala? Õige,. Aga väiksema alaga? Kindlasti,. Nelja nurga kogupindala jääb alles. Kujutage ette, et me võtsime nad kaks korraga ja toetasime nad hüpotenuusega üksteise vastu. Mis juhtus? Kaks ristkülikut. See tähendab, et "lõigete" pindala on võrdne.

Paneme nüüd kõik kokku.

Muutame:

Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.

Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetria

Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:

Teravnurga siinus võrdub vastaskülje suhtega hüpotenuusiga

Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.

Teravnurga puutuja on võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega.

Teravnurga kotangens on võrdne külgneva külje ja vastaskülje suhtega.

Ja seda kõike veel kord tableti kujul:

See on väga mugav!

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

I. Kahel küljel

II. Jala ja hüpotenuusiga

III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi

IV. Mööda jalga ja teravnurka

a)

b)

Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid “sobivad”. Näiteks kui see läheb nii:

SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.

Vaja mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.

Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Heitke pilk teemale "ja pöörake tähelepanu sellele, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuseks peavad kolm nende elementi olema võrdsed: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja nendevaheline külg või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. Suurepärane, eks?

Ligikaudu sama on olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid

I. Mööda teravnurka

II. Kahelt poolt

III. Jala ja hüpotenuusiga

Mediaan täisnurkses kolmnurgas

Miks see nii on?

Täisnurkse kolmnurga asemel kaaluge tervet ristkülikut.

Joonistame diagonaali ja vaatleme punkti – diagonaalide lõikepunkti. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?

Ja mis sellest järeldub?

Nii selgus, et

1. - mediaan:

Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!

Veelgi üllatavam on see, et tõsi on ka vastupidine.

Mida head saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti

Vaata hoolega. Meil on: , see tähendab, et kaugused punktist kolmnurga kõigi kolme tipuni osutusid võrdseks. Kuid kolmnurgas on ainult üks punkt, mille kaugused kolmnurga kõigist kolmest tipust on võrdsed ja see on RINGRI KESK. Mis juhtus?

Nii et alustame sellest “pealegi...”.

Vaatame ja.

Kuid sarnastel kolmnurkadel on kõik võrdsed nurgad!

Sama võib öelda ja kohta

Nüüd joonistame selle koos:

Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest?

No näiteks - kaks valemit täisnurkse kolmnurga kõrguse kohta.

Paneme kirja vastavate osapoolte suhted:

Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":

Niisiis, rakendame sarnasust: .

Mis nüüd saab?

Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi:

Peate mõlemad valemid väga hästi meeles pidama ja kasutama mugavamat. Paneme need uuesti kirja

Pythagorase teoreem:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga: .

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:

• kahelt poolt:
• jala ja hüpotenuusiga: või
• piki jalga ja sellega külgnevat teravnurka: või
• piki jalga ja vastassuunas teravnurka: või
• hüpotenuusi ja teravnurga järgi: või.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid:

• üks terav nurk: või
• kahe jala proportsionaalsusest:
• jala ja hüpotenuusi proportsionaalsusest: või.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas

• Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:
• Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
• Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe:
• Täisnurkse kolmnurga teravnurga kootangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe: .

Täisnurkse kolmnurga kõrgus: või.

Täisnurkses kolmnurgas on täisnurga tipust tõmmatud mediaan võrdne poolega hüpotenuusist: .

Täisnurkse kolmnurga pindala:

• jalgade kaudu: