Olgu antud lennuk ja punkt, mis sellel ei asu:
Antud punktist antud tasapinnale langetatud rist on lõik, mis ühendab antud punkti tasapinna punktiga ja asub tasapinnaga risti asetseval sirgel;
- selle lõigu tasapinnal asuvat otsa nimetatakse risti aluseks;
- kaugus punktist tasapinnani on sellest punktist tasapinnale tõmmatud risti pikkus;
Antud punktist antud tasapinnale tõmmatud kaldjoon on mistahes lõik, mis ühendab antud punkti tasandi punktiga, mis ei ole tasapinnaga risti;
- tasapinnal asuva segmendi lõppu nimetatakse kaldaluseks;
Lõike, mis ühendab samast punktist tõmmatud risti ja kaldjoone aluseid, nimetatakse kaldprojektsiooniks.
Joonisel punktist A on tasapinnaga tõmmatud risti AB ja kaldus AC. Punkt B on risti alus, punkt C on kaldnurga alus, BC on kaldsuunalise AC projektsioon tasapinnale.
Kolm risti asetsevat teoreemi:
Kui tasapinnale tõmmatud sirgjoon läbi kaldus alus, sellega risti prognoosid, siis on see risti kaldu. Ja vastupidi: kui tasapinna sirgjoon on kaldjoonega risti, siis on see risti ja kaldus projektsioon.
Kahte lõikuvat tasapinda nimetatakse risti, kui kolmas tasapind, mis on risti nende tasandite lõikejoonega, lõikab neid mööda risti.
Näide nr 1
Läbi kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkti tõmmatakse sirgjoon, mis on risti kolmnurga tasapinnaga. Tõesta, et selle sirge kõik punktid on kolmnurga külgedest võrdsel kaugusel.
Olgu kolmnurga külgede kokkupuutepunktid ringiga A, B, C, ringi keskpunkt O ja risti punkt S. Kuna raadius OA on risti kolmnurga küljega, siis vastavalt kolme risti teoreemile on segment SA risti selle küljega ja selle pikkus on kaugus punktist S kolmnurga küljeni. Pythagorase teoreemi järgi SA=, kus r on sisse kirjutatud ringjoone raadius. Samamoodi leiame: 
, st. kõik kaugused punktist S kolmnurga külgedeni on võrdsed.
Kontrollküsimused:
- Mis on antud punktist tasapinnale langetatud risti?
- Mis on kaldus projektsioon?
Praktiline osa:
1. Antud sirge a ja tasapind. Joonistage läbi joone a tasapinnaga risti olev tasapind.
2. Tõesta, et kui sirge on tasapinnaga paralleelne, siis on kõik selle punktid tasapinnast ühel kaugusel.
3. Punktist tasapinnale tõmmatakse kaks kaldu, millest üks on teisest 20 cm suurem. Kaldprojektsioonid on 10 cm ja 30 cm Leidke kaldprojektsioonid.
4. Ruudu külje pikkus on 4 cm, kõigist ruudu tippudest võrdsel kaugusel asuv punkt on selle diagonaalide lõikepunktist 6 cm kaugusel. Leidke kaugus sellest punktist ruudu tippudeni.
5. Punktist tasapinnale tõmmatakse kaks kaldnõlva, mis on võrdsed 10 cm ja 17 cm. Nende kaldnurkade projektsioonide erinevus on 9 cm. Leidke kaldsete projektsioonid.
6. Punktist tasapinnale tõmmatakse kaks kaldnõlva, mis on võrdsed 23 cm ja 33 cm. Leidke kaugus sellest punktist tasapinnani, kui kaldte projektsioonid on vahekorras 2:3.
8. Sirge a on risti tasapinnaga ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Otsige üles MC.
9. Täisnurkse kolmnurga ABC (C = 90°) jalad on 4 cm ja 3 cm Punkt M asub kolmnurga ABC tasapinnast √6 cm kaugusel ja samal kaugusel kõigist selle tippudest. Leia kaugus punktist M kolmnurga tippudeni.
Kirjandus:
1. Matemaatika: õpik asutustele alguses. ja kolmapäeval prof. haridus / M.I. Bašmakov. –M.: Kirjastuskeskus “Akadeemia”, 2010.
Iseseisev töö nr 5.
Paigutuste arvu ja permutatsioonide loendamisega seotud ülesannete lahendamine.
Tunni eesmärk: omandada proovide arvu arvutamisega seotud probleemide lahendamise meetodid
Teoreetiline osa:
Kombinatoorika on matemaatika osa, mis on pühendatud teatud lõpliku hulga elementide valimise ja paigutamise ülesannete lahendamisele vastavalt etteantud reeglitele, s.t. kombinatoorika lahendab lõplikust hulgast elementide valimise ja nende elementide mingisse järjekorda paigutamise probleemi.
N - elementide paigutus m - elementide järgi () on kombinatsioonid, mis koosnevad antud n - elementidest m - elementide järgi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või elementide järjestuse poolest.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Näide nr 1. Mitu kolmekohalist arvu saab arvudest 1...9 teha?
N - elementide permutatsioonid on nende n - elementide paigutuste arv n - elementide kaupa.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Näide nr 2. Mitmel viisil saab 5 raamatut riiulile paigutada?
Kombinatsioonid n - elemendist m - elemendi võrra on kombinatsioonid, mis koosnevad antud n - elementidest m - elementide võrra, mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi võrra.
Näide nr 3. Rühmas on 30 õpilast. Testi läbimiseks tuleb nad jagada kolme rühma. Kui mitmel viisil saab seda teha?
Kontrollküsimused:
1. Tooge välja kombinatoorika eesmärgid.
2. Kuidas nimetatakse m-i n elemendi kombinatsioonide arvu?
3. Kuidas nimetatakse n elemendi paigutuste arvu m-sse?
4. Mida nimetatakse n elemendi permutatsiooniks?
Praktiline osa:
1. Mitmel viisil saab 25-liikmeline grupp saata 4 üliõpilast teadus- ja praktilisele konverentsile?
2. Kümme õpilast surusid kätt. Mitu käepigistust oli?
3. Mitmel viisil saab seitsmest erinevat värvi materjalist kolmevärvitriibulist lippu valmistada?
4. Mitu sõnaraamatut peab olema avaldatud, et oleks võimalik tõlkida ühestki viiest keelest mõnda neist?
5. Arvutage:
6. Arvutage:
7. Arvuta: 5! + 6!
8. Leia 4 10 elemendi paigutuste arv.
9. Arvutage:
10. Kolmkümmend õpilast vahetasid fotosid. Mitu fotot oli kokku?
11. Mitmel viisil saab kaheksa kandidaadi hulgast valida kolmele kohale kolm inimest?
12. Lahenda võrrand:
13. Arvutage avaldise väärtus:
14. Arvutage avaldise väärtus.
5. Rööpjooned
Nimetatakse kahte sirget paralleelselt, kui nad samas tasapinnas olles ei ristu.
Sirgede paralleelsust näitab märk || (näiteks AB||CD).
Teoreem. Kaks risti sama sirgega on paralleelsed.
Tõestus: Kui ristid mingis punktis lõikuvad, siis tõmmataks sellest punktist kaks risti sirgele, mis on võimatu.
Nurkade nimetused, mis saadakse, kui kaks sirget ristuvad kolmandaga
Paralleelsuse märgid.
Kui kaks sirget ristuvad kolmanda sirgega:
kõik vastavad nurgad on võrdsed,
või mõned ristnurgad on võrdsed,
või kahe sisemise või kahe välise ühepoolse nurga summa on 180 kraadi,
siis on kaks sirget paralleelsed.
Paralleelsete sirgete aksioom.
Sama punkti kaudu on võimatu tõmmata kahte erinevat joont paralleelselt sama joonega.Järeldus 1. Kui sirge lõikab üht paralleelset sirget, siis lõikub ka teisega.
Järeldus 2. Kaks kolmandaga paralleelset sirget on paralleelsed.
Nurgad, mille küljed on vastavalt paralleelsed või risti.
Teoreem. Kui ühe nurga küljed on vastavalt paralleelsed teise nurga külgedega, siis on sellised nurgad kas võrdsed või annavad kokku kaks täisnurka.
Teoreem. Kui ühe nurga küljed on vastavalt risti teise nurga külgedega, siis on sellised nurgad kas võrdsed või annavad kokku kaks täisnurka.
Kolmnurga ja hulknurga nurkade summa.
Teoreem. Kolmnurga nurkade summa on võrdne kahe täisnurgaga.
Tagajärjed
:1. Kolmnurga iga välisnurk on võrdne kahe sisenurga summaga.
2. Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on ka kolmandad nurgad võrdsed.
3. Täisnurkse kolmnurga kahe teravnurga summa on võrdne täisnurgaga.
Teoreem. Nurkade summa
n-gon on 180* (n-2) kraadid.Teoreem. Hulknurga välisnurkade summa on võrdne nelja täisnurgaga.
2. Kui on antud kaks sirget, mis ristuvad punktis C. Kas nendega samal tasapinnal asub mõni kolmas sirge, millel on mõlema sirgega ühine punkt?
3.
4. Kahe paralleelse tasapinna vaheline kaugus on 8 cm, nende vahele asetseb sirge segment, mille pikkus on 17 cm, nii et selle otsad kuuluvad tasapindadesse. Leidke selle segmendi projektsioon igale tasapinnale.
5. Õige väite tegemiseks lõpeta lause:
D) Ma ei tea
6. Sirged a ja b on risti. Punktid A ja B kuuluvad sirgele a, punktid C ja D kuuluvad sirgele b. Kas sirged AC ja BD asuvad samal tasapinnal?
7. Kuubis ABCDA1B1C1D1 on joonistatud tahkude AC ja B1D1 diagonaalid. milline on nende suhteline positsioon?
8. Kuubi ABCDA1B1C1D1 serv võrdub m-ga. Leidke sirgete AB ja CC1 vaheline kaugus.
A) 2 m B) 1/2 m C) m D) Ma ei tea
9. Tehke kindlaks, kas väide on tõene:
A) jah B) ei C) mitte alati D) ei tea
10. Leia kuubis ABCDA1B1C1D1 tasapindade BCD ja ВСС1В1 vaheline nurk.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Kas on prisma, millel on ainult üks külgpind, mis on aluse suhtes risti?
A) jah B) ei C) Ma ei tea
12. Kas ristkülikukujulise rööptahuka diagonaal võib olla väiksem kui selle külgserv?
A) jah B) ei C) Ma ei tea
13. Kui suur on 10 servaga kuubi külgpindala?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Kui suur on kuubi kogupindala, kui selle diagonaal on d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Mitu sümmeetriatasandit on tavalisel nelinurksel püramiidil?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Mis on iga korrapärase püramiidi telglõik?
A) võrdkülgne kolmnurk
B) ristkülik
B) trapetsikujuline
D) võrdhaarne kolmnurk
palun aidake mul testi lahendada1. Mitu ühist sirget võib olla kahel erineval mittekattuvas tasapinnal?
A) 1 B) 2 C) lõpmatu arv D) mitte ühtegi E) Ma ei tea
2. Antud kaks sirget, mis ristuvad punktis C. Kas nendega samal tasapinnal asub mõni kolmas sirge, millel on mõlema sirgega ühine punkt?
A) alati jah B) alati ei C) valetab, aga mitte alati D) Ma ei tea
3. Tehke kindlaks, kas väide on tõene:
Kaks tasapinda on paralleelsed, kui nad on paralleelsed sama sirgega.
A) jah B) ei C) ei tea D) mitte alati
4. Kahe paralleelse tasapinna vaheline kaugus on 8 cm Nende vahele asetseb sirge lõik, mille pikkus on 17 cm, nii et selle otsad kuuluvad tasapindadesse. Leidke selle segmendi projektsioon igale tasapinnale.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) Ma ei tea
5. Õige väite tegemiseks täitke fraas:
Kui sirgjoon, mis asub ühel kahest risti asetsevast tasapinnast, on risti nende lõikejoonega, siis...
A) paralleelselt teise tasapinnaga
B) lõikub teise tasapinnaga
B) risti teise tasapinnaga
D) Ma ei tea
6. Sirged a ja b on risti. Punktid A ja B kuuluvad sirgele a, punktid C ja D kuuluvad sirgele b. Kas sirged AC ja BD asuvad samal tasapinnal?
A) jah B) ei C) mitte alati D) ei tea
7. Kuubis ABCDA1B1C1D1 on joonistatud tahkude AC ja B1D1 diagonaalid. milline on nende suhteline positsioon?
A) lõikuma B) lõikuma C) paralleelselt D) ei tea
8. Kuubi ABCDA1B1C1D1 serv võrdub m-ga. Leidke sirgete AB ja CC1 vaheline kaugus.
A) 2 m B) B) m D) Ma ei tea
9. Tehke kindlaks, kas väide on tõene:
Kui kaks sirget moodustavad sama tasapinnaga võrdsed nurgad, siis on need paralleelsed.
A) jah B) ei C) mitte alati D) ei tea
10. Leia kuubis ABCDA1B1C1D1 tasapindade BCD ja ВСС1В1 vaheline nurk.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Kas on prisma, millel on ainult üks külgpind, mis on aluse suhtes risti?
A) jah B) ei C) Ma ei tea
12. Kas ristkülikukujulise rööptahuka diagonaal võib olla väiksem kui selle külgserv?
A) jah B) ei C) Ma ei tea
13. Kui suur on 10 servaga kuubi külgpinna pindala?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Kui suur on kuubi kogupindala, kui selle diagonaal on d?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Mitu sümmeetriatasandit on tavalisel nelinurksel püramiidil?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Milline on iga korrapärase püramiidi telglõik?
A) võrdkülgne kolmnurk
B) ristkülik
B) trapetsikujuline
D) võrdhaarne kolmnurk
punktid, mis ei asu samal sirgel?
2. Kas kahel erineval tasapinnal võib olla ainult kaks ühist punkti?
Otsene a jab ristuvad punktis M. Sirge c, mis ei läbi punkti M, lõikab sirgeid A Ja b. Kas kõik need kolm joont asuvad samal tasapinnal? Mis on joonte suhteline asukoht: 1) A 1 D Ja MN; 2) A 1 D Ja V 1C; 3) MN Ja A 1B1(joonis 1). Otsene A Ja b sirgjoonega ületatud Koos. Saab sirgelt A Ja b olla paralleelne? Kaks sirget on paralleelsed sama tasapinnaga. Kas võib öelda, et need sirged on üksteisega paralleelsed? Kui ei, siis milline on nende suhteline positsioon? Joonisel 2 on sirged jooned tüüp paralleelselt. Punktid A Ja IN kuuluvad vastavalt otsetüüpi; b asub lennukis α, a\\b. Mis on sirgete b ja c suhteline asukoht? Antud nelinurk ABCD ja lennuk α. Selle diagonaalid AC Ja BD paralleelselt tasapinnaga α. Milline on vastastikune seisukoht AB ja lennukid α? Lennukid α ja β on paralleelsed. Ristub ühes punktis M sirge A Ja b ristuvad lennukiga α vastavalt punktides IN Ja A, ja tasapind β - punktides E Ja F Leia suhtumine
10. Tasasus α läbib rööptahuka aluse diagonaali ja ülemise aluse ühe külje keskosa. Määrake sektsiooni tüüp.