punktid, mis ei asu samal sirgel? a) ristuvad; b) midagi ei saa öelda; c) ei ristu; d) langevad kokku; e) neil on kolm ühist punkti.
2. Milline järgmistest väidetest on tõene? a) Kui ringjoone kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kogu ringjoon asub sellel tasapinnal; b) kolmnurga tasapinnal asuv sirge lõikub selle kahte külge; c) kahel tasapinnal on ainult üks ühine punkt; d) tasapind läbib kahte punkti ja ainult ühte; e) sirge asub antud kolmnurga tasapinnal, kui see lõikub kahte sirget, mis sisaldavad kolmnurga külgi.
3. Kas kahel erineval tasapinnal võib olla ainult kaks ühist punkti? a) mitte kunagi; b) saan, kuid lisatingimustel; c) alati olema; d) küsimusele ei ole võimalik vastata; d) teine vastus.
4. Punktid K, L, M asuvad samal sirgel, punkt N ei asu sellel. Iga kolme punkti kaudu tõmmatakse üks tasapind. Mitu erinevat lennukit selle tulemusel tekkis? a) 1; b) 2; kell 3; d) 4; d) lõpmatult palju.
5. Valige õige väide. a) Tasapind läbib mis tahes kolme punkti ja ainult ühte; b) kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal; c) kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis nad ei ristu; d) tasapind, ja ainult üks, läbib sirget ja sellel asuvat punkti; e) tasapinda on võimatu joonistada läbi kahe ristuva sirge.
6. Nimetage tasandite PBM ja MAB ühine sirge. a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) ei ole võimalik kindlaks määrata.
7. Sirged a ja b lõikuvad punktis M. Sirge c, mis ei läbi punkti M, lõikab sirgeid a ja b. Mida saab öelda sirgete a, b ja c suhteliste asukohtade kohta? a) kõik sirged asuvad eri tasapindadel; b) sirged a ja b asuvad samal tasapinnal; c) kõik sirged asuvad samal tasapinnal; d) midagi ei saa öelda; e) sirge c ühtib ühega sirgest: kas a või b.
8. Sirged a ja b lõikuvad punktis O. A € a, B € b, Y € AB. Valige õige väide. a) punktid O ja Y ei asu samal tasapinnal; b) sirged OY ja a on paralleelsed; c) sirged a, b ja punkt Y asuvad samal tasapinnal; d) punktid O ja Y langevad kokku; e) punktid Y ja A langevad kokku.
2. võimalus.1. Mida saab öelda kahe tasandi suhtelise asukoha kohta, millel on kolm ühist punkti, mis ei asu samal sirgel?
a) ristuvad; b) midagi ei saa öelda; c) ei ristu; d) langevad kokku; e) neil on kolm ühist punkti.
2. Milline järgmistest väidetest on tõene?
a) Kui ringjoone kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kogu ringjoon asub sellel tasapinnal; b) kolmnurga tasapinnal asuv sirge lõikub selle kahte külge; c) mis tahes kahel tasapinnal on ainult üks ühine punkt; d) tasapind läbib kahte punkti ja ainult ühte; e) sirge asub antud kolmnurga tasapinnal, kui see lõikub kahte sirget, mis sisaldavad kolmnurga külgi.
3. Kas kahel erineval tasapinnal võib olla ainult kaks ühist punkti?
a) mitte kunagi; b) saan, kuid lisatingimustel; c) alati olema; d) küsimusele ei ole võimalik vastata; d) teine vastus.
4. Punktid K, L, M asuvad samal sirgel, punkt N ei asu sellel. Iga kolme punkti kaudu tõmmatakse üks tasapind. Mitu erinevat lennukit selle tulemusel tekkis?
a) 1; b) 2; kell 3; d) 4; d) lõpmatult palju.
5. Valige õige väide.
a) Tasapind läbib mis tahes kolme punkti ja ainult ühte; b) kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal; c) kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis nad ei ristu; d) tasapind, ja ainult üks, läbib sirget ja sellel asuvat punkti; e) tasapinda on võimatu joonistada läbi kahe ristuva sirge.
6. Nimetage tasandite PBM ja MAB ühine sirge.
a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) ei ole võimalik kindlaks määrata.
7. Millist loetletud tasapindadest ristub sirge RM (joonis 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8.Kaks tasapinda lõikuvad sirgjoonel c. Punkt M asub ainult ühel tasapinnal. Mida saab öelda punkti M ja sirge c suhtelise asukoha kohta?
a) Järeldusi ei saa teha; b) sirge c läbib punkti M; c) punkt M asub sirgel c; d) sirge c ei läbi punkti M; d) teine vastus.
9. Sirged a ja b lõikuvad punktis M. Sirge c, mis ei läbi punkti M, lõikab sirgeid a ja b. Mida saab öelda sirgete a, b ja c suhteliste asukohtade kohta?
a) kõik sirged asuvad eri tasapindadel; b) sirged a ja b asuvad samal tasapinnal; c) kõik sirged asuvad samal tasapinnal; d) midagi ei saa öelda; e) sirge c ühtib ühega sirgest: kas a või b.
10. Sirged a ja b lõikuvad punktis O. A € a, B € b, Y € AB. Valige õige väide.
a) punktid O ja Y ei asu samal tasapinnal; b) sirged OY ja a on paralleelsed; c) sirged a, b ja punkt Y asuvad samal tasapinnal; d) punktid O ja Y langevad kokku; e) punktid Y ja A langevad kokku.
Kas kiired AB ja AC on selle servaga risti? 2. Kas on tõsi, et lineaarnurk BAC on kahetahuline nurk, kui kiired AB ja AC asuvad kahetahulise nurga külgedel? 3. Kas on tõsi, et nurk BAC on kahetahulise nurga lineaarnurk, kui kiired AB ja AC on selle servaga risti ning punktid E ja C asuvad nurga tahkudel? 4. Dihedraalnurga lineaarnurk on 80 kraadi. Kas nurga ühes küljes on sirgjoon, mis on risti teise küljega? 5. Nurk ABC on kahetahulise nurga lineaarnurk alfa-servaga. Kas sirge alfa on ABC-tasandiga risti? Kas vastab tõele, et kõik sirged, mis on antud tasapinnaga risti ja ristuvad antud sirgega, asuvad samal tasapinnal?
Planimeetrias on tasapind üks põhifiguure, seetõttu on väga oluline sellest selge arusaam. See artikkel loodi selle teema käsitlemiseks. Esiteks antakse tasandi mõiste, selle graafiline esitus ja näidatakse tasandite tähistusi. Järgmiseks vaadeldakse tasapinda koos punkti, sirge või mõne muu tasapinnaga ning valikud tulenevad nende suhtelisest asukohast ruumis. Artikli teises ja kolmandas ja neljandas lõigus analüüsitakse kõiki kahe tasandi, sirge ja tasandi, aga ka punktide ja tasandite suhtelise asukoha valikuid, on toodud põhiaksioomid ja graafilised illustratsioonid. Kokkuvõtteks on toodud peamised meetodid tasandi määratlemiseks ruumis.
Leheküljel navigeerimine.
Lennuk – põhimõisted, sümbolid ja kujundid.
Lihtsamad ja elementaarsemad geomeetrilised kujundid kolmemõõtmelises ruumis on punkt, sirgjoon ja tasapind. Meil on juba ettekujutus punktist ja sirgest tasapinnal. Kui asetada tasapind, millel punktid ja sirged on kujutatud kolmemõõtmelises ruumis, siis saame punktid ja jooned ruumis. Idee tasapinnast ruumis võimaldab meil saada näiteks laua või seina pinda. Laual või seinal on aga lõplikud mõõtmed ja tasapind ulatub üle oma piiride lõpmatuseni.
Punkte ja jooni ruumis tähistatakse samamoodi nagu tasapinnal - vastavalt suurte ja väikeste ladina tähtedega. Näiteks punktid A ja Q, sirged a ja d. Kui on antud kaks joonel asuvat punkti, siis saab joont tähistada kahe neile punktidele vastava tähega. Näiteks sirge AB või BA läbib punkte A ja B. Tasapindu tähistatakse tavaliselt väikeste kreeka tähtedega, näiteks lennukid või.
Ülesannete lahendamisel muutub vajalikuks tasapindade kujutamine joonisel. Tasapinda kujutatakse tavaliselt rööpkülikuna või suvalise lihtsa suletud piirkonnana.
Tasapinda vaadeldakse tavaliselt koos punktide, sirgete või muude tasanditega ning nende suhteliste asukohtade kohta tekivad erinevad võimalused. Liigume edasi nende kirjelduse juurde.
Tasapinna ja punkti suhteline asukoht.
Alustame aksioomiga: igas tasapinnas on punkte. Sellest tuleneb tasandi ja punkti suhtelise asukoha esimene variant - punkt võib kuuluda tasapinnale. Teisisõnu, lennuk võib punkti läbida. Et näidata, et punkt kuulub tasapinnale, kasutatakse sümbolit “”. Näiteks kui tasapind läbib punkti A, siis saab lühidalt kirjutada .
Tuleb mõista, et antud ruumitasandil on lõpmatult palju punkte.
Järgmine aksioom näitab, mitu punkti ruumis tuleb märkida, et need määratleksid kindla tasandi: läbi kolme punkti, mis ei asu samal sirgel, läbib tasapind ja ainult üks. Kui on teada kolm tasapinnas asuvat punkti, siis saab tasapinda tähistada kolme neile punktidele vastava tähega. Näiteks kui tasapind läbib punkte A, B ja C, saab seda tähistada kui ABC.
Sõnastame veel ühe aksioomi, mis annab tasandi ja punkti suhtelise asukoha teise versiooni: on vähemalt neli punkti, mis ei asu samas tasapinnas. Seega ei pruugi ruumipunkt kuuluda tasapinnale. Tõepoolest, eelmise aksioomi kohaselt läbib tasapind kolme ruumipunkti ja neljas punkt võib sellel tasapinnal asuda, aga ei pruugi. Lühidalt kirjutades kasutage sümbolit "", mis on samaväärne fraasiga "ei kuulu".
Näiteks kui punkt A ei asu tasapinnal, siis kasuta lühikest tähistust.
Sirge joon ja tasapind ruumis.
Esiteks võib sirgjoon asuda tasapinnal. Sel juhul asuvad tasapinnal vähemalt kaks selle sirge punkti. See on kindlaks tehtud aksioomiga: kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik selle sirge punktid asuvad tasapinnal. Teatud joone kuuluvuse antud tasapinnale lühiajaliseks fikseerimiseks kasutage sümbolit "". Näiteks tähistus tähendab, et sirgjoon a asub tasapinnal.
Teiseks võib sirgjoon ristuda tasapinnaga. Sel juhul on sirgel ja tasapinnal üks ühine punkt, mida nimetatakse sirge ja tasandi lõikepunktiks. Lühidalt kirjutades tähistan ristmikku sümboliga “”. Näiteks tähistus tähendab, et sirge a lõikub tasapinnaga punktis M. Kui tasapind lõikub teatud sirgjoonega, tekib sirge ja tasandi vahelise nurga mõiste.
Eraldi tasub keskenduda sirgele, mis lõikub tasapinnaga ja on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega. Sellist sirget nimetatakse tasapinnaga risti. Perpendikulaarsuse lühiajaliseks salvestamiseks kasutage sümbolit "". Materjali põhjalikumaks uurimiseks võite viidata artiklile sirge ja tasandi risti.
Tasapinnaga seotud ülesannete lahendamisel on eriti oluline tasapinna nn normaalvektor. Tasapinna normaalvektor on mis tahes nullist erinev vektor, mis asub selle tasapinnaga risti asetseval sirgel.
Kolmandaks, sirge võib olla tasapinnaga paralleelne, see tähendab, et sellel ei pruugi olla ühiseid punkte. Samaaegsuse lühidalt kirjutamisel kasutage sümbolit "". Näiteks kui sirge a on paralleelne tasapinnaga, siis võime kirjutada . Soovitame seda juhtumit lähemalt uurida, viidates artiklile sirge ja tasandi paralleelsus.
Olgu öeldud, et tasapinnas paiknev sirgjoon jagab selle tasandi kaheks pooltasandiks. Sirget nimetatakse sel juhul pooltasapindade piiriks. Kõik kaks sama pooltasandi punkti asuvad joone samal küljel ja kaks erineva pooltasandi punkti asuvad piirjoone vastaskülgedel.
Lennukite vastastikune paigutus.
Kaks tasandit ruumis võivad kokku langeda. Sel juhul on neil vähemalt kolm ühist punkti.
Kaks tasandit ruumis võivad ristuda. Kahe tasandi ristumiskoht on sirge, mis määratakse aksioomiga: kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid.
Sel juhul tekib ristuvate tasandite vahelise nurga mõiste. Eriti huvitav on juhtum, kui tasapindade vaheline nurk on üheksakümmend kraadi. Selliseid tasapindu nimetatakse risti. Me rääkisime neist artiklis lennukite perpendikulaarsus.
Lõpuks võivad kaks ruumitasandit olla paralleelsed, st neil ei ole ühiseid punkte. Soovitame teil lugeda artiklit Tasapindade paralleelsus, et saada täielik ülevaade sellest tasandite suhtelise paigutuse võimalusest.
Tasapinna määratlemise meetodid.
Nüüd loetleme peamised viisid konkreetse ruumi määratlemiseks.
Esiteks saab tasapinna määratleda, fikseerides kolm ruumipunkti, mis ei asu samal sirgel. See meetod põhineb aksioomil: mis tahes kolme punkti kaudu, mis ei asu samal sirgel, on üks tasapind.
Kui tasand on fikseeritud ja täpsustatud kolmemõõtmelises ruumis, märkides selle kolme erineva punkti koordinaadid, mis ei asu samal sirgel, siis saame kirjutada kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandi.
Kaks järgmist tasapinna määratlemise meetodit on eelmise tagajärg. Need põhinevad kolme punkti läbiva tasapinna aksioomi tagajärgedel:
- tasapind läbib sirget ja sellel mitte asuvat punkti ning ainult ühte (vt ka sirget ja punkti läbiva tasapinna artiklivõrrandit);
- Kaht lõikuvat sirget läbib ainult üks tasapind (soovitame lugeda artiklis sisalduvat materjali: kahte ristuvat joont läbiva tasapinna võrrand).
Neljas viis tasandi määratlemiseks ruumis põhineb paralleelsete joonte määratlemisel. Tuletage meelde, et kahte ruumi sirget nimetatakse paralleelseks, kui need asuvad samal tasapinnal ega ristu. Seega, näidates ruumis kahte paralleelset sirget, määrame ainsa tasapinna, millel need sirged asuvad.
Kui ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes on antud tasand kolmemõõtmelises ruumis näidatud viisil, siis saame luua võrrandi kahte paralleelset sirget läbiva tasapinna jaoks.
Gümnaasiumi geomeetriatundides tõestatakse teoreem: läbi ruumi kindla punkti läbib üks tasapind, mis on antud sirgega risti. Seega saame tasandi defineerida, kui määrame punkti, mida see läbib, ja sellega risti oleva sirge.
Kui ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on fikseeritud kolmemõõtmelises ruumis ja tasapind on määratud viisil, siis on võimalik konstrueerida võrrand tasapinnale, mis läbib antud punkti, mis on risti antud sirgega.
Tasapinnaga risti oleva sirge asemel saab määrata ühe selle tasandi normaalvektoritest. Sel juhul on võimalik kirjutada
Stereomeetria aksioomid.
A1. Läbi mis tahes kolme punkti, mis ei asu antud sirgel, läbib tasapind ja ainult üks;
Sl.1. Läbi sirgjoone ja punkti, mis sellel ei asu, möödub tasapind ja ainult üks;
Sl.2. Tasapind läbib kahte ristuvat sirget ja ainult ühte;
Sl.3. Tasapind läbib kahte paralleelset sirget ja ainult ühte.
A2.Kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal;
A3 Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid.
Stereomeetria põhifiguurid- punktid (A, B, C...), sirge (a, b, c...), lennuk ( …) , hulktahukad ja pöörlemiskehad.
Under lõiketasand Kolmemõõtmelise kujundi all mõistetakse tasapinda, mille mõlemal küljel on selle kujundi punktid.
Taga kauguse mõõt punkti, sirge ja tasandi vahel võtame nende ühise risti pikkuse.
2. Joonte suhteline asukoht ruumis.
Ruumis saab kaks rida olema paralleelsed, lõikuvad või ristuvad.
| 1A | Def. Paralleelselt Ruumi jooned on sirged, mis asuvad samal tasapinnal ega ristu. Vastavalt järgmisele 3. Tasapind läbib kahte paralleelset sirget ja ainult ühte. | |
| 1B | T 1 (transitiivsuse kohta). Kaks kolmandaga paralleelset sirget on üksteisega paralleelsed. | |
| 2A | Vastavalt järgmisele 2. Pärast kahte ristuvad tasapind läbib sirgeid ja ainult üks | |
| 3A | Def. Nimetatakse kahte sirget ristumine, kui need ei asu samas tasapinnas. | |
| T 2 (Riistumisjoonte märk). Kui üks kahest sirgest asub teatud tasapinnal ja teine sirge lõikub selle tasandiga punktis, mis ei kuulu esimesele sirgele, siis on sellised sirged viltu. | ||
| 3B | Def. Nurk ristuvate joonte vahel nimetatakse nurgaks lõikuvate paralleelsete sirgete vahel. | |
| 3B | Def. Kahe kaldjoone ühine risti on lõik, millel on otsad nendel sirgel ja mis on nendega risti (vahemaa ristumisjoonte vahel). |
- Sirgete ja tasandite suhteline asukoht ruumis.
Ruumis võivad sirge ja tasapind olla paralleelne, ristuvad või otse võib lamada täielikult lennukis.
| 1A | Def. Otse helistas paralleelselt tasapinnaga, kui see on paralleelne mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega. | |
| 1B | T 3 (Sirge ja tasandi paralleelsuse märk). Tasapinnas mitteasuv sirge on paralleelne tasapinnaga, kui see on paralleelne mõne sellel tasapinnal asuva sirgega. | |
| 2A | Def. Sirget nimetatakse tasapinnaga risti, kui see on risti mis tahes sellel tasapinnal asuvate ristuvate joontega. | |
| 2B | T 4 (joone ja tasandi risti olemise märk) Kui tasapinda lõikuva sirge on risti mis tahes kahe sellel tasapinnal asuva lõikuva sirgega, siis on see ka risti iga kolmanda sellel tasapinnal asuva sirgega. | |
| 2B | T 5 (umbes kaks paralleelset sirget, mis on risti kolmandaga). Kui üks kahest paralleelsest sirgest on tasapinnaga risti, siis on ka teine sirge selle tasapinnaga risti. | |
| 2G | Def. Nurk sirge ja tasapinna vahel on nurk antud sirge ja selle tasapinnale projektsiooni vahel. | |
| 2D | Def. Nimetatakse mis tahes muud sirget, mis erineb ristsirgest ja ristub tasapinnaga kaldu sellele tasapinnale (vt joonist allpool). Def. Kaldtasandi projektsioon nimetatakse lõiguks, mis ühendab risti ja kaldsuuna alust. T 6 (umbes risti ja kalde pikkus). 1) risti, mis on tõmmatud tasandiga, mis on lühem kui selle tasandi suhtes kaldu; 2) Võrdsed kalded vastavad võrdsetele projektsioonidele; 3) Kahest kaldsuunalisest on suurem see, mille projektsioon on suurem. | |
| 2E | T 7 (umbes kolm risti). Sirge, mis on tõmmatud tasapinnale läbi selle projektsiooniga risti oleva kaldtasandi aluse, on samuti risti kaldpinna endaga. T 8 (tagurpidi). Kaldtasandi aluse läbival tasapinnal tõmmatud ja sellega risti olev sirgjoon on samuti risti kaldtasandi projektsiooniga sellele tasapinnale. | |
| 3A | Aksioomi 2 järgi. Kui sirge kaks punkti asuvad tasapinnal, siis kõik sirge punktid asuvad sellel tasapinnal |
- Tasapindade vastastikune paigutus ruumis.
Kosmoses võivad lennukid olla paralleelselt või rist.
| 1A | Def. Kaks lennuk kutsutakse paralleelselt, kui need ei ristu. | |
| T 9 (paralleelsete tasandite märk). Kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandi kahe sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed. | ||
| 1B | T 10 Kui kahte paralleelset tasandit lõikub kolmas tasapind, siis lõikesirged on paralleelsed (paralleeltasandite 1 omadus). | |
| 1B | T 11 Paralleelsete tasandite vahele jäävate paralleeljoonte lõigud on võrdsed (paralleeltasandite 2 omadus). | |
| 2A | Vastavalt aksioomile 3. Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine joon, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid ( tasapinnad lõikuvad sirgjoonega). | |
| 2B | T 12 (tasapindade perpendikulaarsuse märk). Kui tasapind läbib teise tasapinnaga risti olevat sirget, siis on need tasapinnad risti. | |
| 2B | Def. Dihedraalne nurk on kujund, mille moodustavad kaks ühelt sirgelt väljuvat pooltasandit. Kahe nurga servaga risti olev tasapind lõikab selle tahke piki kahte kiirt. Nende kiirte poolt moodustatud nurka nimetatakse kahetahulise nurga lineaarnurk. Taga kahetahulise nurga mõõtmine võetakse vastava lineaarnurga mõõt. |
I5 Ükskõik millised kolm punkti ei asu samal sirgel, läbib neid punkte maksimaalselt üks tasapind.
I6 Kui sirge kaks punkti A ja B asuvad tasapinnal a, siis iga joone a punkt asub tasapinnal a. (Sel juhul ütleme, et joon a asub tasapinnal a või tasapind a läbib sirget a.
I7 Kui kahel tasapinnal a ja b on ühine punkt A, siis on neil veel vähemalt üks ühine punkt B.
I8 On vähemalt neli punkti, mis ei asu samal tasapinnal.
Juba nendest 8 aksioomist on võimalik tuletada mitmeid elementaargeomeetriate teoreeme, mis on selgelt ilmsed ja seetõttu ei ole kooli geomeetria kursuses tõestatud ning sisalduvad isegi mõnikord loogilistel põhjustel ühe või teise koolkonna aksioomides. muidugi
Näiteks:
1. Kahel sirgel on maksimaalselt üks ühine punkt.
2. Kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine joon, millel asuvad nende kahe tasandi kõik ühised punktid
Tõestus: (eputamiseks):
I poolt 7 $ B, mis kuulub samuti a-le ja b-le, sest A,B "a, siis vastavalt I 6 AB "b. See tähendab, et sirge AB on kahele tasapinnale ühine.
3. Läbi sirge ja sellel mitteasetseva punkti, samuti läbi kahe ristuva sirge, läbib üks ja ainult üks tasapind.
4. Igal tasapinnal on kolm punkti, mis ei asu samal sirgel.
KOMMENTEERI: Nende aksioomide abil saate tõestada mõnda teoreemi ja enamik neist on nii lihtsad. Eelkõige on nende aksioomide põhjal võimatu tõestada, et geomeetriliste elementide hulk on lõpmatu.
II RÜHM Järjestuse aksioomid.
Kui sirgel on antud kolm punkti, siis saab ühte neist kahe teisega seostada seoses “vale vahel”, mis rahuldab järgmisi aksioome:
II1 Kui B asub A ja C vahel, siis A, B, C on sama sirge erinevad punktid ja B asub C ja A vahel.
II2 Olenemata kahest punktist A ja B, on sirgel AB vähemalt üks punkt C, nii et B asub A ja C vahel.
II3 Sirge mis tahes kolme punkti hulgas on kõige rohkem üks punkt, mis asub kahe ülejäänud punkti vahel
Hilberti järgi peame lõigu AB(BA) kohal silmas punktide A ja B paari. Punkte A ja B nimetatakse lõigu otsteks ning mis tahes punkti, mis asub punktide A ja B vahel, nimetatakse lõigu sisepunktiks. AB(BA).
KOMMENTAAR: Kuid II 1-II 3-st ei tulene veel, et igal lõigul on sisemised punktid, vaid II 2-st, Þ et lõigul on välispunktid.
II4 (Paschi aksioom) Olgu A, B, C kolm punkti, mis ei asu samal sirgel, ja olgu ABC tasandi sirge, mis ei läbi ühtegi punkti A, B, C. Kui sirge a läbib lõigu AB punkti, siis läbib see ka punkti lõigul AC või BC.
Sl.1: Olenemata punktidest A ja C, on sirgel AC, mis asub A ja C vahel, vähemalt üks punkt D.
Dokument: I 3 Þ$ ehk ei lama liinil AC
Sl.2. Kui C asub segmendil AD ja B vahel A ja C, siis B asub A ja D vahel ning C B ja D vahel.Nüüd saame tõestada kahte väidet
DC3 Väide II 4 kehtib ka siis, kui punktid A, B ja C asuvad samal sirgel.
Ja mis kõige huvitavam.
4. tase . Kahe sirge punkti vahel on lõpmatu arv muid punkte (ise).
Siiski ei saa kindlaks teha, et joone punktide hulk on loendamatu .
I ja II rühma aksioomid võimaldavad meil tutvustada selliseid olulisi mõisteid nagu pooltasand, kiir, poolruum ja nurk. Kõigepealt tõestame teoreemi.
Th1. Tasapinnal a asuv sirge a jagab selle tasandi punktide hulga, mis ei asu sirgel a kaheks mittetühjaks alamhulgaks, nii et kui punktid A ja B kuuluvad samasse alamhulka, siis lõigul AB ühist pole punktid sirgega a; kui need punktid kuuluvad erinevatesse alamhulkadesse, siis on lõigul AB ühine punkt sirgega a.
Idee: tuuakse sisse seos, nimelt A ja B Ï A on suhtes Δ, kui lõigul AB pole sirgega ühiseid punkte A või need punktid langevad kokku. Seejärel vaadeldi seose Δ ekvivalentsusklasside komplekte. On tõestatud, et neid on ainult kaks lihtsat arutluskäiku kasutades.
Odr1 Kõiki eelmise teoreemiga määratletud punktide alamhulka nimetatakse pooltasandiks, mille piir on a.
Samamoodi saame tutvustada kiir ja poolruumi mõisteid.
Ray- h, ja sirgjoon on .
Odr2 Nurk on kiirte h ja k paar, mis väljuvad samast punktist O ja ei asu samal sirgel. nii nimetatakse O-d nurga tipuks ning kiireid h ja k on nurga küljed. Tähistame seda tavalisel viisil: Ðhk.
Punkti M nimetatakse nurga hk sisepunktiks, kui punkt M ja kiir k asuvad piiriga samal pooltasandil ning punkt M ja kiir k asuvad piiriga samal pooltasandil. Kõigi sisemiste punktide kogumit nimetatakse nurga sisepiirkonnaks.
Nurga välispind on lõpmatu komplekt, sest kõik lõigu punktid, mille otsad on nurga eri külgedel, on sisemised. Metodoloogilistel põhjustel sisaldub aksioomides sageli järgmine omadus.
Omadus: Kui kiir tuleb nurga tipust ja läbib vähemalt ühe selle nurga sisepunkti, siis lõikub mis tahes lõiguga, mille otsad on nurga erinevatel külgedel. (Iseehitus)
III RÜHM. Kongruentsi aksioomid (võrdsus)
Segmentide ja nurkade komplektile võetakse sisse kongruentsuse või võrdsuse seos (tähistatakse “=”), mis vastab aksioomidele:
III 1 Kui on antud lõik AB ja punktist A / väljuv kiir, siis sellele kiirele kuuluv $ t.B /, nii et AB = A / B / .
III 2 Kui A / B / =AB ja A // B // =AB, siis A / B / =A // B // .
III 3 Olgu A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / ja BC=B / C / , siis AC=A / C /
Odr3 Kui O / on punkt, h / on sellest punktist väljuv kiir ja l / on pooltasapind piiriga , siis objektide kolmikut O / ,h / ja l / nimetatakse lipuks (O / ,h / ,l /).
III 4 Olgu antud Ðhk ja lipp (О / ,h / ,l /). Siis pooltasandil l / on punktist O / väljuv kordumatu kiir k / nii, et Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Olgu A, B ja C kolm punkti, mis ei asu samal sirgel. Kui antud juhul AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, siis ÐABC = ÐA / B / C / .
1. Punkt B/B III 1 on sellel talal ainuke (ise)
2. Segmentide kongruentsuseos on segmentide hulga ekvivalentsuhe.
3. Võrdhaarse kolmnurga aluste nurgad on võrdsed. (III 5 järgi).
4. Kolmnurkade võrdusmärgid.
5. Nurga kongruentsuse seos on nurkade hulga ekvivalentsuhe. (Aruanne)
6. Kolmnurga välisnurk on suurem kui kolmnurga iga nurk, mis ei külgne sellega.
7. Igas kolmnurgas asub suurem nurk suurema külje vastas.
8. Igal lõigul on üks ja ainult üks keskpunkt
9. Igal nurgal on üks ja ainult üks poolitaja
Sisse võib tuua järgmised mõisted:
Odr4 Nurka, mis võrdub selle külgnevaga, nimetatakse täisnurgaks.
Saate määrata vertikaalsed nurgad, risti ja kaldu jne.
^ ainulaadsust on võimalik tõestada. Saate tutvustada mõisteid > ja< для отрезков и углов:
Odr5 Kui on antud segmendid AB ja A / B / ja $ t.C, st A / -C-B / ja A / C = AB, siis A / B / >AB.
Odr6 Kui on antud kaks nurka Ðhk ja Ðh / k / ning kui sisepiirkonna Ðhk ja selle tipu kaudu saab tõmmata kiiri l nii, et Ðh / k / = Ðhl, siis Ðhk > Ðh / k / .
Ja kõige huvitavam on see, et I-III rühmade aksioomide abil saab tutvustada liikumise (superpositsiooni) mõistet.
See on tehtud midagi sellist:
Olgu antud kaks punktide hulka p ja p / Oletame, et nende hulkade punktide vahel tekib üks-ühele vastavus. Hulga p iga punktide M ja N paar määratleb lõigu MN. Olgu M / ja N / punktidele MN vastava hulga p / punktid. Leppigem kokku, et nimetame segmendile MN vastavat segmenti M / N /.
Odr7 Kui p ja p / vaheline vastavus on selline, et vastavad segmendid osutuvad alati vastastikku kongruentseks, siis komplektid p ja p / nimetatakse kongruentseks . Veelgi enam, nad ütlevad ka, et saadakse iga hulk p ja p / liikumine teisest või et ühte neist komplektidest saab asetada teise peale. Hulga p ja p / vastavaid punkte nimetatakse kattuvateks.
Heakskiit 1: Sirgel asetsevad punktid muutuvad liikumisel punktideks, mis asuvad ka teatud sirgel.
Utv2 Nurk kahe segmendi vahel, mis ühendavad hulga punkti selle kahe teise punktiga, on kongruentsed nurgaga kongruentse hulga vastavate segmentide vahel.
Saate tutvustada pöörlemise, nihke, liigutuste kompositsiooni jms mõistet.
IV RÜHM. Aksioomide järjepidevus Ja.
IV 1 (Arhimedese aksioom). Olgu AB ja CD mingid segmendid. Siis on sirgel AB punktide A 1, A 2, ..., A n lõplik hulk, mille puhul on täidetud järgmised tingimused:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-A n
IV2 (Cantori aksioom) Olgu suvalisele reale a antud lõpmatu jada segmente A1B1, A2B2,..., millest iga järgnev asub eelmise sees ja lisaks on iga lõigu CD jaoks naturaalarv n nii, et AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
