Paralleelsete joonte mõiste
Definitsioon 1
Paralleelsed jooned– sirged, mis asuvad samas tasapinnas, ei lange kokku ega kattu ühised punktid.
Kui sirgetel on ühine punkt, siis neil ristuvad.
Kui kõik punktid on sirged vaste, siis on meil sisuliselt üks sirgjoon.
Kui sirged asetsevad erinevatel tasapindadel, on nende paralleelsuse tingimused mõnevõrra suuremad.
Arvestades samal tasapinnal olevaid sirgeid, saab anda järgmise definitsiooni:
2. definitsioon
Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui need ei ristu.
Matemaatikas tähistatakse paralleelseid sirgeid tavaliselt paralleelsuse märgiga “$\parallel$”. Näiteks asjaolu, et joon $c$ on paralleelne joonega $d$, on tähistatud järgmiselt:
$c\parallel d$.
Sageli kaalutakse paralleelsete segmentide kontseptsiooni.
3. definitsioon
Neid kahte segmenti nimetatakse paralleelselt, kui need asuvad paralleelsetel joontel.
Näiteks joonisel on segmendid $AB$ ja $CD$ paralleelsed, sest need kuuluvad paralleelsetele joontele:
$AB \parallel CD$.
Samal ajal ei ole segmendid $MN$ ja $AB$ või $MN$ ja $CD$ paralleelsed. Selle fakti saab kirjutada järgmiste sümbolite abil:
$MN ∦ AB$ ja $MN ∦ CD$.
Sarnaselt määratakse sirge ja lõigu, sirge ja kiire, lõigu ja kiire või kahe kiire paralleelsus.
Ajalooline viide
KOOS kreeka keel Mõistet "parallelos" tõlgitakse kui "lähedal" või "kõrvuti hoitud". Seda terminit kasutati Pythagorase iidses koolkonnas juba enne paralleelsete joonte määratlemist. Vastavalt ajaloolised faktid Eukleides $III $ sajandil. eKr. tema teosed paljastasid sellegipoolest paralleelsete joonte mõiste tähenduse.
Iidsetel aegadel oli paralleelsete joonte tähistamise tähisel erinev välimus sellest, mida kasutame kaasaegne matemaatika. Näiteks Vana-Kreeka matemaatik Pappus $III$ sajandil. AD paralleelsust tähistati võrdusmärgiga. Need. seda, et joon $l$ on paralleelne joonega $m$, tähistati varem kui “$l=m$”. Hiljem hakati kasutama tuttavat “$\parallel$” märki joonte paralleelsuse tähistamiseks ning võrdusmärki arvude ja avaldiste võrdsuse tähistamiseks.
Paralleelsed jooned elus
Me ei märka sageli, et tavaelus ümbritseb meid tohutult palju paralleelseid jooni. Näiteks noodiraamatus ja nootidega laulukogumikus on staap tehtud paralleeljoonte abil. Samuti paralleelsed jooned leitud Muusikariistad(näiteks harfi keeled, kitarri keeled, klaveriklahvid jne).
Paralleelselt jooksevad ka elektrijuhtmed, mis paiknevad tänavate ja teede ääres. Metrooliini rööpad ja raudteed asuvad paralleelselt.
Paralleelseid jooni võib lisaks igapäevaelule leida maalikunstis, arhitektuuris ja hoonete ehitamises.
Rööpjooned arhitektuuris
Esitatud piltidel sisaldavad arhitektuursed struktuurid paralleelseid jooni. Paralleeljoonte kasutamine ehituses aitab pikendada selliste konstruktsioonide kasutusiga ning annab neile erakordse ilu, atraktiivsuse ja suursugususe. Elektriliinid on ka teadlikult paralleelselt rajatud, et vältida nende ületamist või puudutamist, mis tooks kaasa lühiseid, katkestusi ja elektrikatkestusi. Et rong saaks vabalt liikuda, tehakse ka rööpad paralleelsetes liinides.
Maalimisel kujutatakse paralleelseid jooni üheks jooneks koonduvana või selle lähedal. Seda tehnikat nimetatakse perspektiiviks, mis tuleneb nägemise illusioonist. Kui vaatate pikka aega kaugusesse, näevad paralleelsed sirged välja nagu kaks koonduvat joont.
Need ei ristu, olenemata sellest, kui kaua neid jätkatakse. Sirgete paralleelsust kirjas tähistatakse järgmiselt: AB|| KOOSE
Selliste sirgete olemasolu võimalikkust tõestab teoreem.
Teoreem.
Läbi mis tahes punkti, mis on võetud väljaspool antud sirget, saab tõmmata selle sirgega paralleelse punkti.
Lase AB see sirgjoon ja KOOS mingi punkt sellest väljapoole võetud. Seda tuleb läbi tõestada KOOS saate tõmmata sirge joone paralleelseltAB. Laseme selle alla AB punktist KOOS ristiKOOSD ja siis me dirigeerime KOOSE^ KOOSD, mis on võimalik. Otse C.E. paralleelselt AB.
Selle tõestamiseks oletagem vastupidist, st seda C.E. ristub AB mingil hetkel M. Siis punktist M sirgjoonele KOOSD meil oleks kaks erinevat risti MD Ja PRL, mis on võimatu. Tähendab, C.E. ei saa ületada AB, st. KOOSE paralleelselt AB.
Tagajärg.
Kaks risti (CEJaD.B.) ühele sirgele (CD) on paralleelsed.
Paralleelsete sirgete aksioom.
Sama punkti kaudu on võimatu tõmmata kahte erinevat joont paralleelselt sama joonega.
Niisiis, kui otse KOOSD, tõmmatud läbi punkti KOOS joonega paralleelne AB, siis igal teisel real KOOSE, tõmmatud läbi sama punkti KOOS, ei saa olla paralleelne AB, st. ta jätkab ristuvad Koos AB.
Selle mitte täiesti ilmse tõe tõestamine osutub võimatuks. Seda aktsepteeritakse ilma tõestuseta, kui vajalik eeldus (postulatum).
Tagajärjed.
1. Kui sirge(KOOSE) lõikub ühega paralleelselt(NE), siis lõikub teisega ( AB), sest sisse muidu sama punkti kaudu KOOS paralleelselt läbiks kaks erinevat sirget AB, mis on võimatu.
2. Kui kumbki kahest otsene (AJaB) on paralleelsed sama kolmanda reaga ( KOOS) , siis nad paralleelselt omavahel.
Tõepoolest, kui me seda eeldame A Ja B mingil hetkel ristuvad M, siis läbiksid selle punktiga paralleelsed kaks erinevat sirget KOOS, mis on võimatu.
Teoreem.
Kui joon on ristiühele paralleelsetest sirgest, siis on see teisega risti paralleelselt.
Lase AB || KOOSD Ja E.F. ^ AB.Seda nõutakse tõestama E.F. ^ KOOSD.
PerpendikulaarneEF, ristuvad AB, kindlasti ületab ja KOOSD. Olgu ristumispunkt H.
Oletame nüüd seda KOOSD mitte risti E.H.. Siis mingi muu sirge näiteks H.K., on sellega risti E.H. ja seega läbi sama punkti H tuleb kaks sirge paralleel AB: üks KOOSD, tingimuse ja muu H.K. nagu varem tõestatud. Kuna see on võimatu, ei saa seda eeldada NE ei olnud sellega risti E.H..
1. Kui kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed:
Kui a||c Ja b||c, See a||b.
2. Kui kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed:
Kui a⊥c Ja b⊥c, See a||b.
Ülejäänud joonte paralleelsuse tunnused põhinevad kahe sirge ristamisel kolmandaga tekkivatel nurkadel.
3. Kui sisemiste ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis on sirged paralleelsed:
Kui ∠1 + ∠2 = 180°, siis a||b.
4. Kui vastavad nurgad on võrdsed, on sirged paralleelsed:
Kui ∠2 = ∠4, siis a||b.
5. Kui sisemised ristnurgad on võrdsed, on sirged paralleelsed:
Kui ∠1 = ∠3, siis a||b.
Paralleelsete joonte omadused
Paralleelsete sirgete omadustele vastupidised väited on nende omadused. Need põhinevad nurkade omadustel, moodustatud ristmikul kaks paralleelset sirget ja kolmas sirge.
1. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende poolt moodustatud sisemiste ühekülgsete nurkade summa 180°:
Kui a||b, siis ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende poolt moodustatud vastavad nurgad võrdsed:
Kui a||b, siis ∠2 = ∠4.
3. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende moodustatud ristnurgad võrdsed:
Kui a||b, siis ∠1 = ∠3.
Järgmine omadus on iga eelmise puhul erijuhtum:
4. Kui tasapinna sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on ta risti ka teisega:
Kui a||b Ja c⊥a, See c⊥b.
Viies omadus on paralleelsete sirgete aksioom:
5. Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata ainult ühe sirge paralleelselt antud sirgega.
See artikkel käsitleb paralleelseid sirgeid ja paralleelseid sirgeid. Esmalt esitatakse paralleelsete joonte definitsioon tasapinnal ja ruumis, tutvustatakse tähistusi, tuuakse paralleeljoonte näiteid ja graafilisi illustratsioone. Järgmisena käsitletakse sirgete paralleelsuse märke ja tingimusi. Kokkuvõttes on toodud sirgete paralleelsuse tõestamise tüüpiliste ülesannete lahendused, mis on antud mõne sirge võrrandiga. ristkülikukujuline süsteem koordinaadid lennukis ja sisse kolmemõõtmeline ruum.
Leheküljel navigeerimine.
Rööpjooned – põhiteave.
Definitsioon.
Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui neil pole ühiseid punkte.
Definitsioon.
Nimetatakse kahte joont kolmemõõtmelises ruumis paralleelselt, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte.
Pange tähele, et klausel "kui need asuvad samal tasapinnal" ruumi paralleelsete joonte määratluses on väga oluline. Selgitame seda punkti: kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, millel ei ole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole paralleelsed, vaid lõikuvad.
Siin on mõned paralleelsete joonte näited. Märkmiku lehe vastasservad asuvad paralleelsetel joontel. Sirged jooned, mida mööda maja seina tasapind lõikub lae ja põranda tasapindadega, on paralleelsed. Paralleelsete joontena võib käsitleda ka raudteerööpaid tasasel maal.
Paralleelsete joonte tähistamiseks kasutage sümbolit "". See tähendab, et kui sirged a ja b on paralleelsed, saame lühidalt kirjutada a b.
Pange tähele: kui sirged a ja b on paralleelsed, siis võime öelda, et sirge a on paralleelne sirgega b ja ka sirge b paralleelne sirgega a.
Ütleme välja avalduse, mis mängib oluline roll paralleelsete sirgete uurimisel tasapinnal: punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda väidet aktsepteeritakse faktina (seda ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide põhjal) ja seda nimetatakse paralleelsete sirgete aksioomiks.
Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud paralleelsete sirgete aksioomi abil (selle tõestuse leiate 10.–11. klasside geomeetriaõpikust, mis on loetletud artikli lõpus kirjanduse loetelus).
Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi saab hõlpsasti tõestada ülaltoodud paralleelse joone aksioomi abil.
Sirgede paralleelsus - paralleelsuse märgid ja tingimused.
Märk sirgete paralleelsusest on piisav seisukord sirgete paralleelsus ehk tingimus, mille täitmine tagab sirgete paralleelsuse. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on piisav joonte paralleelsuse tuvastamiseks.
Samuti on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnal ja ruumilises ruumis.
Selgitagem fraasi "vajalik ja piisav tingimus paralleelsete joonte jaoks" tähendust.
Paralleelsete joonte piisava tingimusega oleme juba tegelenud. Ja mis on" vajalik tingimus sirgete paralleelsus"? Nimetusest “vajalik” selgub, et paralleeljoonte puhul on selle tingimuse täitmine vajalik. Ehk kui joonte paralleelsuse vajalik tingimus ei ole täidetud, siis pole sirged paralleelsed. Seega paralleelsete joonte jaoks vajalik ja piisav tingimus on tingimus, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks nii vajalik kui ka piisav. See tähendab, et ühest küljest on see joonte paralleelsuse märk ja teisest küljest on see omadus, mis paralleelsetel sirgel on.
Enne joonte paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamist on soovitav meelde tuletada mitmeid abidefinitsioone.
Sekantne joon on sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.
Kui kaks sirget ristuvad põikisuunaga, moodustub kaheksa väljakujunemata. Sirgede paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamisel kasutatakse nn risti lamades, vastav Ja ühepoolsed nurgad. Näitame neid joonisel.
Teoreem.
Kui tasapinna kahte sirget lõikub põikjoon, siis nende paralleelsuse jaoks on vajalik ja piisav, et ristumisnurgad on võrdsed või vastavad nurgad on võrdsed või ühepoolsete nurkade summa on 180 kraadid.
Näitame selle tasapinna sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse graafilise illustratsiooni.
Tõestused nende sirgete paralleelsuse tingimuste kohta leiate 7.-9.klassi geomeetriaõpikutest.
Pange tähele, et neid tingimusi saab kasutada ka kolmemõõtmelises ruumis – peaasi, et kaks sirget ja sekant asetseksid samal tasapinnal.
Siin on veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.
Teoreem.
Kui tasapinna kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestus tuleneb paralleelsete sirgete aksioomist.
Olemas sarnane seisund joonte paralleelsus kolmemõõtmelises ruumis.
Teoreem.
Kui kaks sirget ruumis on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestusest räägitakse 10. klassi geomeetriatundides.
Illustreerime esitatud teoreeme.
Esitame veel ühe teoreemi, mis võimaldab tõestada sirgete paralleelsust tasapinnal.
Teoreem.
Kui tasapinna kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed.
Sarnane teoreem on ka ruumijoonte kohta.
Teoreem.
Kui kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis on sama tasapinnaga risti, siis on nad paralleelsed.
Joonistame nendele teoreemidele vastavad pildid.
Kõik eespool sõnastatud teoreemid, kriteeriumid ning vajalikud ja piisavad tingimused sobivad suurepäraselt sirgete paralleelsuse tõestamiseks geomeetria meetoditega. See tähendab, et kahe antud sirge paralleelsuse tõestamiseks peate näitama, et need on paralleelsed kolmanda sirgega, või näitama risti asetsevate nurkade võrdsust jne. Trobikond sarnased ülesanded aastal lahendati geomeetria tundides Keskkool. Samas tuleb tähele panna, et paljudel juhtudel on mugav kasutada koordinaatmeetodit sirgete paralleelsuse tõestamiseks tasapinnal või ruumilises ruumis. Sõnastame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratud sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused.
Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.
Artikli selles lõigus sõnastame paralleelsete joonte jaoks vajalikud ja piisavad tingimused ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, olenevalt neid sirgeid määratlevate võrrandite tüübist ja esitame ka üksikasjalikud lahendused iseloomulikud ülesanded.
Alustame kahe sirge paralleelsuse tingimusega tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy. Tema tõestus põhineb sirge suunavektori definitsioonil ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonil.
Teoreem.
Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleksid tasapinnas paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid on kollineaarsed või nende sirgete normaalvektorid on kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on normaalsega risti teise rea vektor.
Ilmselt taandatakse tasapinna kahe sirge paralleelsuse tingimuseks (joonte suunavektorid või sirgete normaalvektorid) või (ühe sirge suunavektor ja teise sirge normaalvektor). Seega, kui ja on sirgete a ja b suunavektorid ja 
Ja 
on vastavalt sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutatakse sirgete a ja b paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus 
, või 
, või , kus t on mõni reaalarv. Sirgete a ja b juhikute ja (või) normaalvektorite koordinaadid omakorda leitakse teadaolevate joonte võrrandite abil.
Eelkõige siis, kui tasapinnal olev sirge a ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy määrab üldise sirgjoone võrrandi kujul 
ja sirgjoon b - 
, siis on nende sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus kirjutatakse kujul .
Kui sirgele a vastab kuju nurkkoefitsiendiga sirge võrrand ja sirgele b-, siis nende sirgete normaalvektoritel on koordinaadid ja ning nende sirgete paralleelsuse tingimus on kujul 
. Järelikult, kui sirged tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on paralleelsed ja neid saab täpsustada nurkkoefitsientidega sirgete võrranditega, siis nõlvadel sirgjooned on võrdsed. Ja vastupidi: kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevad mittekattuvad sirged saab määrata võrdsete nurkkoefitsientidega sirge võrranditega, siis on sellised sirged paralleelsed.
Kui sirge a ja sirge b ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratud vormi tasapinnal oleva sirge kanooniliste võrranditega 
Ja 
, või sirge parameetrilised võrrandid vormi tasapinnal 
Ja 
vastavalt on nende sirgete suunavektoritel koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus on kirjutatud kujul .
Vaatame mitme näite lahendusi.
Näide.
Kas jooned on paralleelsed? 
Ja ?
Lahendus.
Kirjutame sirgjoone võrrandi lõikude kaupa ümber kujul üldvõrrand otse: 
. Nüüd näeme, et see on joone normaalne vektor , a on sirge normaalvektor. Need vektorid ei ole kollineaarsed, kuna sellist pole olemas tegelik arv t mille puhul võrdsus ( 
). Järelikult ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mistõttu antud sirged ei ole paralleelsed.
Vastus:
Ei, jooned ei ole paralleelsed.
Näide.
Kas sirged ja paralleelsed?
Lahendus.
Anname kanooniline võrrand sirge nurkkoefitsiendiga sirge võrrandile: . Ilmselgelt ei ole sirgete ja võrrandid samad (sel juhul oleksid antud sirged samad) ja sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed, seega on algsed sirged paralleelsed.
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmeanalüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.