Kolmnurga sisse on kirjutatud ring. Selles artiklis olen kogunud teie jaoks ülesanded, milles teile antakse kolmnurk, millesse on sisse kirjutatud või selle ümber piiratud ring. Tingimus esitab küsimuse ringi või kolmnurga külje raadiuse leidmise kohta.
Neid ülesandeid on mugav lahendada esitatud valemite abil. Soovitan neid õppida, need on väga kasulikud mitte ainult seda tüüpi ülesannete lahendamisel. Üks valem väljendab suhet kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse ning selle külgede ja pindala vahel, teine valem kolmnurga ümber kirjutatud ringi raadiuse, samuti selle külgede ja pindala vahel:
S – kolmnurga pindala
Vaatleme ülesandeid:
27900. Külg võrdhaarne kolmnurk on võrdne 1-ga, nurk aluse vastas oleva tipu juures on 120 0. Leidke selle kolmnurga piiritletud ringi läbimõõt.
Siin on kolmnurga ümber piiratud ring.
Esimene viis:
Kui raadius on teada, leiame läbimõõdu. Kasutame kolmnurga ümber piiratud ringi raadiuse valemit:
kus a, b, c on kolmnurga küljed
S – kolmnurga pindala
Teame kahte külge (võrdhaarse kolmnurga külgmised küljed), kolmanda saame arvutada koosinusteoreemi abil:
Nüüd arvutame kolmnurga pindala:
*Kasutasime valemit (2) alates.
Arvutage raadius:
Seega on läbimõõt võrdne 2-ga.
Teine viis:
See vaimsed arvutused. Need, kellel on oskus lahendada ülesandeid ringi sisse kirjutatud kuusnurgaga, teevad nad kohe kindlaks, et kolmnurga AC ja BC küljed "kattuvad" ringi sisse kirjutatud kuusnurga külgedega (kuusnurga nurk on täpselt võrdne 120 0-ga, nagu ülesande avalduses). Ja siis, tuginedes asjaolule, et ringi sisse kirjutatud kuusnurga külg on võrdne selle ringi raadiusega, ei ole raske järeldada, et läbimõõt on võrdne 2AC, see tähendab kaks.
Kuusnurga kohta lisateabe saamiseks vaadake teavet jaotises (punkt 5).
Vastus: 2
27931. Võrdhaarsesse täisnurksesse kolmnurka kantud ringi raadius on 2. Leidke hüpotenuus Koos see kolmnurk. Palun märkige oma vastuses.
kus a, b, c on kolmnurga küljed
S – kolmnurga pindala
Me ei tea kolmnurga külgi ega selle pindala. Tähistame jalad kui x, siis on hüpotenuus võrdne:
Ja kolmnurga pindala on 0,5x2.
Tähendab
Seega on hüpotenuus võrdne:
Vastusesse peate kirjutama:
Vastus: 4
27933. Kolmnurgas ABC AC = 4, BC = 3, nurk C võrdub 90 0 . Leidke sisse kirjutatud ringi raadius.
Kasutame kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse valemit:
kus a, b, c on kolmnurga küljed
S – kolmnurga pindala
Kaks külge on teada (need on jalad), saame arvutada kolmanda (hüpotenuus) ja saame arvutada ka pindala.
Pythagorase teoreemi järgi:
Leiame piirkonna:
Seega:
Vastus: 1
27934. Küljed Võrdhaarse kolmnurga puhul on võrdne 5, alus võrdub 6-ga. Leidke sissekirjutatud ringjoone raadius.
Kasutame kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse valemit:
kus a, b, c on kolmnurga küljed
S – kolmnurga pindala
Kõik küljed on teada, arvutame pindala. Leiame selle Heroni valemi abil:
Siis
Seega:
Vastus: 1.5
27624. Kolmnurga ümbermõõt on 12 ja sisse kirjutatud ringi raadius on 1. Leidke selle kolmnurga pindala. Vaata lahendust
27932. Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga jalad on võrdsed. Leidke sellesse kolmnurka kirjutatud ringi raadius.
Lühike kokkuvõte.
Kui tingimus annab kolmnurga ja sissekirjutatud või piiritletud ringi ning me räägime külgedest, pindalast, raadiusest, siis jätke näidatud valemid kohe meelde ja proovige neid lahendamisel kasutada. Kui see ei õnnestu, otsige muid lahendusi.
See on kõik. Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
Kui ring asub nurga sees ja puudutab selle külgi, nimetatakse seda sellesse nurka sisse kirjutatud. Sellise sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitaja.
Kui see asub kumera hulknurga sees ja puudutab selle kõiki külgi, nimetatakse seda sissekirjutatuks kumer hulknurk.
Kolmnurga sisse kirjutatud ring puudutab selle kujundi mõlemat külge ainult ühes punktis. Ühte kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi.
Sellise ringi raadius sõltub järgmistest kolmnurga parameetritest:
- Kolmnurga külgede pikkused.
- Selle pindala.
- Selle ümbermõõt.
- Kolmnurga nurkade mõõtmine.
Kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadiuse arvutamiseks ei ole alati vaja teada kõiki ülaltoodud parameetreid, kuna need on omavahel seotud trigonomeetriliste funktsioonide kaudu.
Arvutamine poolperimeetri abil
- Kui kõigi külgede pikkused on teada geomeetriline kujund(tähistame neid tähtedega a, b ja c), siis peate raadiuse arvutama ekstraheerimise teel ruutjuur.
- Arvutuste alustamisel on vaja algandmetele lisada veel üks muutuja - poolperimeeter (p). Seda saab arvutada, liites kokku kõik pikkused ja jagades saadud summa 2-ga. p = (a+b+c)/2. Nii saab raadiuse leidmise valemit oluliselt lihtsustada.
- Üldiselt peaks valem sisaldama selle radikaali märki, mille alla murd asetatakse; selle murru nimetajaks on poolperimeetri p väärtus.
- Selle murru lugeja on erinevuste (p-a)*(p-b)*(p-c) korrutis.
- Seega täisvaade esitatakse valemid järgmisel viisil: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Arvutamine, võttes arvesse kolmnurga pindala
Kui me teame kolmnurga pindala ja selle kõigi külgede pikkused, see võimaldab meil leida meid huvitava ringi raadiuse ilma juurte eraldamiseta.
- Kõigepealt peate ala kahekordistama.
- Tulemus jagatakse kõigi külgede pikkuste summaga. Siis näeb valem välja selline: r = 2*S/(a+b+c).
- Kui kasutate poolperimeetri väärtust, saate täielikult lihtne valem: r = S/p.
Arvutamine trigonomeetriliste funktsioonide abil
Kui probleemipüstitus sisaldab ühe külje pikkust, siis väärtust vastasnurk ja perimeetrit, saate kasutada trigonomeetriline funktsioon- puutuja. Sel juhul on arvutusvalemil järgmine vaade:
r = (P /2- a)* tg (α/2), kus r on soovitud raadius, P on ümbermõõt, a on ühe külje pikkus, α on vastaskülje väärtus ja nurk.
Ringi raadius, mis tuleb sisestada korrapärane kolmnurk, võib leida valemiga r = a*√3/6.
Ringjoon on kirjutatud täisnurksesse kolmnurka
Saate mahtuda täisnurksesse kolmnurka ainult üks ring. Sellise ringi keskpunkt toimib samaaegselt kõigi poolitajate lõikepunktina. Sellel geomeetrilisel joonisel on mõned eristavad tunnused, mida tuleb sisse kirjutatud ringi raadiuse arvutamisel arvestada.
- Esmalt tuleb etteantud parameetritega ehitada täisnurkne kolmnurk. Sellise joonise saate koostada ühe külje suuruse ja kahe nurga väärtuste või kahe külje ja nende külgede vahelise nurga järgi. Kõik need parameetrid tuleb ülesande tingimustes täpsustada. Kolmnurka tähistatakse kui ABC, mille tipp on C. täisnurk. Jalad on tähistatud muutujatega, A Ja b ja hüpotenuus on muutuja Koos.
- Ehitamiseks klassikaline valem ja ringi raadiuse arvutamisel on vaja leida ülesandepüstituses kirjeldatud joonise kõikide külgede mõõtmed ja arvutada nende järgi poolperimeeter. Kui tingimused annavad kahe jala suurused, saate nende põhjal arvutada hüpotenuusi suuruse Pythagorase teoreemi alusel.
- Kui tingimus annab ühe jala ja ühe nurga suuruse, on vaja aru saada, kas see nurk on külgnev või vastupidine. Esimesel juhul leitakse hüpotenuus siinusteoreemi abil: c=a/sinСАВ, teisel juhul rakendatakse koosinusteoreemi c=a/cosCBA.
- Kui kõik arvutused on tehtud ja kõigi külgede väärtused on teada, leitakse poolperimeeter ülalkirjeldatud valemi abil.
- Teades poolperimeetri suurust, saate leida raadiuse. Valem on murdosa. Selle lugeja on poolperimeetri ja kummagi külje erinevuste korrutis ning nimetaja on poolperimeetri väärtus.
Tuleb märkida, et selle valemi lugeja on pindalaindikaator. Sellisel juhul on raadiuse leidmise valem palju lihtsam - piisab, kui jagada ala poolperimeetriga.
Geomeetrilise kujundi pindala on võimalik määrata ka siis, kui mõlemad pooled on teada. Hüpotenuusi leidmiseks kasutatakse nende jalgade ruutude summat, seejärel arvutatakse poolperimeeter. Pindala saate arvutada, korrutades jalgade väärtused üksteisega ja jagades tulemuse 2-ga.
Kui tingimustes on antud nii jalgade kui ka hüpotenuusi pikkused, saab raadiuse määrata väga lihtsa valemiga: selleks liidetakse jalgade pikkused ja saadud tulemusest lahutatakse hüpotenuusi pikkus. number. Tulemus tuleb jagada pooleks.
Video
Sellest videost saate teada, kuidas leida kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius.
Kas te ei saanud oma küsimusele vastust? Soovitage autoritele teemat.
Selles artiklis räägime sellest, kuidas selle ringi raadiuse kaudu väljendada hulknurga pindala, millesse saab ringi kirjutada. Tasub kohe märkida, et mitte iga hulknurk ei mahu ringiga. Kui see on aga võimalik, muutub valem, mille järgi sellise hulknurga pindala arvutatakse, väga lihtsaks. Lugege see artikkel lõpuni või vaadake lisatud videoõpetust ja saate teada, kuidas väljendada hulknurga pindala sellesse kantud ringi raadiuse järgi.
Hulknurga pindala valem sisse kirjutatud ringi raadiuse järgi
Joonistame hulknurga A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, mitte tingimata õige, kuid selline, millesse saab kirjutada ringi. Lubage mul teile meelde tuletada, et sisse kirjutatud ring on ring, mis puudutab hulknurga kõiki külgi. Pildil on see roheline ring, mille keskpunkt on punktis O:
Võtsime siin näitena 5-goni. Kuid tegelikult pole sellel märkimisväärset tähtsust, kuna edasine tõestus kehtib nii 6-goni kui ka 8-goni ja üldiselt mis tahes suvalise "goni" kohta.
Kui ühendate siseringi keskpunkti hulknurga kõigi tippudega, jagatakse see nii mitmeks kolmnurgaks, kui palju on tippe antud hulknurk. Meie puhul: 5 kolmnurga jaoks. Kui ühendame punkti O koos sisse kirjutatud ringi kõigi puutepunktidega hulknurga külgedega, siis saad 5 lõiku (alloleval joonisel on need lõigud Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 ja Oh 5), mis on võrdsed ringi raadiusega ja on risti selle hulknurga külgedega, millele need on tõmmatud. Viimane on tõsi, kuna kokkupuutepunkti raadius on puutujaga risti:
Kuidas leida meie piiritletud hulknurga pindala? Vastus on lihtne. Peate liitma kõigi saadud kolmnurkade alad:
Mõelgem, milline on kolmnurga pindala. Alloleval pildil on see kollaselt esile tõstetud:
See võrdub poolega aluse korrutisest A 1 A 2 kõrgusele Oh 1 sellele alusele joonistatud. Kuid nagu me juba avastasime, on see kõrgus võrdne sisse kirjutatud ringi raadiusega. See tähendab, et kolmnurga pindala valem on järgmine: 
, Kus r— sisse kirjutatud ringi raadius. Kõigi ülejäänud kolmnurkade pindalad leitakse sarnaselt. Selle tulemusel on hulknurga nõutav pindala võrdne:
On näha, et selle summa kõigis tingimustes on ühine kordaja, mille saab sulgudest välja võtta. Tulemuseks on järgmine väljend:
See tähendab, et see, mis jääb sulgudesse, on lihtsalt hulknurga kõigi külgede summa, see tähendab selle ümbermõõt P. Kõige sagedamini asendatakse selles valemis avaldis lihtsalt sõnaga lk ja nad kutsuvad seda tähte "poolperimeetriks". Selle tulemusena on lõplik valem järgmine:
See tähendab, et hulknurga pindala, millesse on kantud teadaoleva raadiusega ring, võrdub selle raadiuse ja hulknurga poolperimeetri korrutisega. See on tulemus, mille poole me püüdlesime.
Lõpuks märgib ta, et ringjoone saab alati kirjutada kolmnurka, mis on hulknurga erijuht. Seetõttu saab seda valemit kolmnurga puhul alati rakendada. Teiste hulknurkade puhul, millel on rohkem kui 3 külge, peate esmalt veenduma, et nendesse saab kirjutada ringi. Kui see nii on, võite seda lihtsat valemit ohutult kasutada ja selle hulknurga pindala leidmiseks kasutada.
Materjali koostas Sergei Valerievich
Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed. Seetõttu pärib see rööpküliku kõik omadused. Nimelt:
- Rombi diagonaalid on üksteisega risti.
- Rombi diagonaalid on selle sisenurkade poolitajad.
Ringi saab nelinurka kirjutada siis ja ainult siis, kui summad vastasküljed on võrdsed.
Seetõttu saab ringi kirjutada mis tahes rombi. Sissekirjutatud ringi keskpunkt langeb kokku rombi diagonaalide lõikekeskmega.
Rombi sisse kirjutatud ringi raadiust saab väljendada mitmel viisil
1 viis. Kõrgust läbiva rombikujulise sisse kirjutatud ringi raadius
Rombi kõrgus võrdub sisse kirjutatud ringi läbimõõduga. See tuleneb ristküliku omadusest, mille moodustavad sissekirjutatud ringi läbimõõt ja rombi kõrgus - ristkülik vastandlikud pooled on võrdsed.
Seetõttu on rombi sisse kirjutatud ringi raadiuse valem kõrguse järgi:
2. meetod. Sissekirjutatud ringi raadius rombis läbi diagonaalide
Rombi pindala saab väljendada sisse kirjutatud ringi raadiuse kaudu
, Kus R- rombi ümbermõõt. Teades, et ümbermõõt on nelinurga kõigi külgede summa, on meil P= 4×a. Siis
Kuid rombi pindala on samuti võrdne poolega selle diagonaalide korrutisest 
Võrdsustades pindalavalemite paremad küljed, saame järgmise võrdsuse 
Selle tulemusena saame valemi, mis võimaldab arvutada rombi sisse kirjutatud ringi raadiuse läbi diagonaalide
Näide rombi sisse kirjutatud ringi raadiuse arvutamisest, kui diagonaalid on teada
Leidke rombi sisse kirjutatud ringi raadius, kui on teada, et diagonaalide pikkused on 30 cm ja 40 cm
Lase ABCD- romb siis A.C. Ja BD selle diagonaalid. AC= 30 cm ,BD= 40 cm
Olgu punkt KOHTA– on rombiga sisse kirjutatud keskpunkt ABCD ringi, siis on see ka selle diagonaalide lõikepunkt, jagades need pooleks. 
kuna rombi diagonaalid lõikuvad täisnurga all, siis kolmnurk AOB ristkülikukujuline. Siis Pythagorase teoreemi järgi 
, asendage eelnevalt saadud väärtused valemis
AB= 25 cm
Rakendades eelnevalt tuletatud valemit rombis piiritletud ringi raadiuse jaoks, saame 
3 viis. Ringjoone raadius rombis läbi lõikude m ja n
Punkt F– ringi kokkupuutepunkt rombi küljega, mis jagab selle segmentideks A.F. Ja B.F.. Lase AF=m, BF = n.
Punkt O– rombi diagonaalide lõikekese ja sellesse kantud ringi keskpunkt.
Kolmnurk AOB– ristkülikukujuline, kuna rombi diagonaalid lõikuvad täisnurga all.
, sest on raadius, mis on tõmmatud ringi puutujapunktile. Seega OF- kolmnurga kõrgus AOB hüpotenuusile. Siis A.F. Ja BF jalgade projektsioonid hüpotenuusile.
Kõrgus sisse täisnurkne kolmnurk, hüpotenuusile langetatud on keskmine proportsionaalne jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile. 
Segmentide kaudu rombisse kantud ringi raadiuse valem on võrdne nende lõikude korrutise ruutjuurega, milleks ringi puutepunkt jagab rombi külje