Sõna "vastavus" kasutatakse vene keeles üsna sageli, see tähendab millegi vahelist suhet, mis väljendab järjepidevust, mõnes mõttes võrdsust ( Sõnastik Ožegova).
Elus kuulete sageli: „See õpik vastab sellele programmile, aga see õpik ei vasta (aga võib vastata teisele programmile); See õun vastab kõrgeimale klassile, kuid see on alles esimene. Ütleme, et see vastus eksamil vastab hindele “suurepärane”, samas kui see vastus vastab “heale” hindele. Ütleme, et sellele inimesele sobivad (sobib) suuruses 46 riided. Vastavalt juhistele peaksite seda tegema ja mitte teisiti. Numbrite vahel on vastavus päikselised päevad aastas ja saagikust.
Kui proovite neid näiteid analüüsida, märkate seda kõigil juhtudel me räägime umbes kahe objektiklassi kohta ja sama klassi objektide vahel on see loodud teatud reeglid mingi seos teise klassi objektidega. Näiteks teatud suurusele sobivate riiete puhul on üheks esemeklassiks inimesed ja teise klassi esemeteks mõni täisarvud, mängides rõivasuuruste rolli. Reegli, mille järgi vastavus tuvastatakse, saame paika panna näiteks loomuliku algoritmi abil – proovides selga konkreetset ülikonda või tehes selle sobivuse “silma järgi”.
Vaatleme vastavusi, mille objektide klassid, mille vahel vastavus luuakse, ja vastavuse tuvastamise reegel on täielikult määratletud. Koolis uuriti arvukalt näiteid sellistest kirjavahetustest. Esiteks on need muidugi funktsioonid. Iga funktsioon on vastavuse näide. Tõepoolest, mõelge näiteks funktsioonile juures = X+ 3. Kui funktsiooni määratluspiirkonna kohta pole konkreetselt öeldud, siis loetakse, et argumendi iga arvväärtus X vastab numbriline väärtus juures, mis leitakse reegli järgi: kuni X peate lisama 3. Sel juhul luuakse komplektide vahel vastavus R Ja R reaalarvud.
Pange tähele, et ühenduse loomine kahe komplekti vahel X Ja Y seotud komplekti elementidest moodustatud objektipaaride arvestamisega X ja komplekti vastavad elemendid Y.
Definitsioon. Vastavus komplektide vahel X Ja Y kutsuda mis tahes mittetühja Descartes'i toote alamhulka X ´ Y.
Trobikond X helistas väljumisala tikud, komplekt Y – saabumise piirkond vastavust.
Tavaliselt tähistatakse hulkade vahelisi vastavusi suurte tähtedega Ladina tähestik, Näiteks, R, S, T. Kui R– teatav vastavus komplektide vahel X Ja Y, siis vastavalt kirjavahetuse määratlusele, RÍ X´ Y Ja R≠ Æ. Ajaline vastavus komplektide vahel X Ja Y on Descartes'i korrutise iga alamhulk X ´ Y, st. on järjestatud paaride hulk, siis on vastavuste määramise meetodid sisuliselt samad, mis hulkade määramise meetodid. Niisiis, sobitamine R komplektide vahel X Ja Y saate määrata:
a) loetledes kõik elemendipaarid ( x, y) Î R;
b) osutades iseloomulik omadus, mis kõigil paaridel on ( x, y) komplektid R ja seda ei oma ükski paar, mis ei ole selle element.
NÄITED.
1) Vastavus R komplektide vahel X= (20, 25) ja Y= (4, 5, 6) täpsustatakse, märkides iseloomuliku omaduse: “ X mitmekordne juures»,
X Î X, juures Î Y. Siis paljud R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Vastavus R komplektide vahel X= (2, 4, 6, 8) ja
Y= (1, 3, 5), mis on antud paaride hulgaga R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Kui R– kirjavahetus kahe vahel numbrilised komplektid X Ja Y, siis kujutab kõiki vastavaid numbripaare R peal koordinaattasand, saame kujundi, mida nimetatakse vastavusgraafikuks R. Vastupidi, mis tahes punktide alamhulka koordinaattasandil loetakse arvuliste hulkade vahelise vastavuse graafikuks. X Ja Y.
Sobiv graafik
Lõplike hulkade vaheliste vastavuste visuaalseks kuvamiseks kasutatakse lisaks graafikutele ka graafikuid. (Alates Kreeka sõna“grafo” – kirjutan, võrdlen: graaf, telegraaf).
Hulkadevahelise vastavusgraafiku koostamiseks X Ja Y iga komplekti elemendid on kujutatud punktidena tasapinnal, seejärel tõmmatakse nooled X Î X To juures Î Y, kui paar ( x, y) kuulub sellesse kirjavahetusse. Tulemuseks on joonis, mis koosneb punktidest ja nooltest.
NÄIDE Kirjavahetus R komplektide vahel X= (2, 3, 4, 5) ja Y= (4, 9) saadakse paaride loetlemisel R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
Samamoodi saab kirjutada 4 R 4, 3R 9. Ja üldse, kui paar
(x, y) Î R, siis nad ütlevad, et element X Î X sobib elemendiga juures Î Y ja kirjuta üles xRу. Element 2 О X nimetatakse elemendi pöördkujutiseks
4 Î Y järgida R ja on määratud 4 R-1 2. Samamoodi võite kirjutada 4 R -1 4, 9R -1 3.
valik 1
№
Hulkade X ja Y vaheline vastavus on mis tahes _________________________________________________________________________________________________________________ X x Y .
№2. Joonistel on komplektidevahelised vastavused täpsustatud graafikute abil. Määrake sobivusgraafik, mille vaste määratluse domeen ei ühti vaste päritolukomplektiga.
№
1
) graafik, 2) graafik, 3) paaride loetelu, 4) iseloomulik omadus
A 
) b) A<
b
№4. Millisel joonisel on pöördvastavusgraafikud?
A 
) b) c) d)
№5. Hulkade M = (A, B, C, D, D) ja N = (1, 2, 3, 4, 5) vahel on antud vastavus Q: “element m läheb vene tähestikus numbri alla n " Täpsustage tõesed väited:
Komplektid M ja N on võrdse võimsusega.
Vastavuse Q määratluspiirkond langeb kokku selle väärtuste hulgaga.
№6. (Praktiline ülesanne). Hulkade A = (1, 2, 3, 4, 5) ja B = (2, 4, 6, 8, 10) vahel määratakse vastavus T: " A vähem b 2" peal
Loetlege T sobivad paarid
Määrake vastavus T -1, antud pöördväärtus, loetlege selle paarid
Koostage vastavusgraafikud T ja T -1 vahel samas koordinaatsüsteemis
Test teemal “Väljastused komplektide vahel”
2. variant
№1. Täitke lauses puuduvad sõnad:
Hulkade X ja Y vaheline vastavus on hulk _______________________________, mille esimene komponent on _____________________ hulgale X ja teine on _______________________.
№2. Joonistel on komplektidevahelised vastavused täpsustatud graafikute abil. Esitage vastegraafik, milles vaste väärtuste kogum ühtib vaste saabuvate kogumiga.
№3. Sobitage sobitusmeetodi nimi ja selle kujutis.
1), loetledes paarid 2) iseloomulik omadus, 3) graafik, 4) graafik
a) b) A<
b
c) P = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)
№4. Millisel joonisel on üks-ühele vastavusgraafik?
A ) b) c) d)
№5. Hulkade A = ( 1, 2, 3, 4, ) ja B = ( 2, 4, 6, 8, 9) vahel on määratud vastavus Q: “ A vähem b 3 korda." Palun märkige õiged väited:
Kirjavahetus on üks-ühele.
Kirjavahetus" b rohkem A 3 korda" on selle pöördväärtus.
Q sobituv domeen ei kattu selle lähtehulgaga.
№6. (Praktiline ülesanne). Hulkade M = (1, 2, 3, 4, 5) ja N = (1, 2, 4, 6, 8,10) vahel on antud vastavus T: m 2 = n
Loetlege sobivad paarid T.
Loetlege vastavuspaarid T -1 antud vastandiga, koostage selle graaf.
Koostage vastavusgraafikud T ja T -1 vahel samas koordinaatsüsteemis.
Test teemal “Väljastused komplektide vahel”
Vastuste tabel.
Valik 1.
2. variant.
Alamhulk; Descartes'i komplektide korrutis
Tellitud paarid; kuulub; komplekt Y
1d, 2a, 3c, 4b
1c, 2b, 3d, 4a
a, b
b,c
Hindamiskriteerium:
№1-2 punkti
№2-1 punkt
№3-1 punkt
№4-1 punkt
№5-3 punkti
№6-4 punkti
Kokku 12 punkti.
Märgid:
12-11 punkti – 5
10–9 punkti – 4
8-6 punkti - 3
Alla 6 punkti – 2
valik 1
№1. Täitke lauses puuduvad sõnad:
Seos hulgal X on mis tahes __________________________________________________________________________________________________________________ X x X.
№2. Hulgal A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) antud erinevad suhted:
Määrake veerud:
№
samaväärsuse seos.
tellimuse suhe
paralleelsuse seos tasapinna sirgete hulgal
№
A ) b) c) d)
№5. Võrrelge majade ja nende omadustega määratud seoseid:
"on sama arv korruseid"
"Oma rohkem kortereid"
"ehitatakse 2 aastat varem"
Refleksiivsus
Sümmeetria
Antisümmeetria
Transitiivsus
№X pole vanem juures", mis on määratletud laste komplektil. Kas see suhe on korras?
Olga 7 aastat vana
Nikolai 8-aastane
Valentin 9-aastane
Anatoli 8 aastat vana
Svetlana 7 aastat vana
Peeter 7-aastane
Test teemal "Seosed kogumite vahel"
2. variant
№1. Täitke lauses puuduvad sõnad:
Seos hulgal X on hulk ______________________________, mille mõlemad komponendid on _____________________ hulgas X.
№2. Komplektis (2, 3, 5, 7, 9) on antud erinevaid seoseid:
Määrake veerud:
№
3. Määrake graafiku abil, millised seosed on:
tellimuse suhe
seos "väiksem või võrdne" hulgal N
№4. Millisel joonisel on kujutatud hulkadevaheliste seoste graafik?
A ) b) c) d)
№5. Võrrelge klassi õpilaste hulgal määratletud seoseid ja nende omadusi:
"ela samal tänaval"
"ole 1 aasta vanem"
"ela koolile lähemal"
Refleksiivsus
Sümmeetria
Antisümmeetria
Transitiivsus
№6. (Praktiline ülesanne). Koostage suhtegraafik " X on samast soost kui juures", mis on määratletud laste komplektil. Kas see seos on ekvivalentsuhe?
Olga
Nikolai
Valentine
Anatoli
Svetlana
Peeter
Test teemal "Seosed kogumite vahel"
Vastuste tabel.
Valik 1.
2. variant.
Alamhulk; Descartes'i korrutis komplektist (Descartes'i ruut)
Tellitud paarid; kuuluma; komplekt X
1a, 2a, 3a, b, 4b, 5a, 6b, 7b
1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c
1a, 2b, 3a, d
1a,b, 2c
a – 1, 2, 4; b – 3, 4; kell 3
a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4
Hindamiskriteerium:
№1-2 punkti
№2-7 punkti
№3-3 punkti
№4-1 punkt
№5-3 punkti
№6-2 punkti
Kokku 18 punkti.
Märgid:
18-17 punkti – 5
16–13 punkti – 4
12–9 punkti – 3
Alla 9 punkti – 2
Elementide tiheda seose süsteemis määrab füüsiline, õigemini, loomulikud suhted nende vahel või süsteemi muud põhiomadused, näiteks majanduslikud, sotsiaalsed, mis iseloomustavad inimühiskonna arengut.
Selliste ühenduste sügavus sõltub süsteemi tasemest seotud süsteemide hierarhias ainevaldkond uuritava aine olemasolu keeruline objekt. Seosed hõlmavad nii üldisi suhteid süsteemi moodustavate looduse ja ühiskonna elementide vahel kui ka privaatseid suhteid, mis on seotud selle elementide teatud piiratud hulgaga. Seoses eelnevaga nimetatakse neid seoseid kas üldised seadused loodus (põhimõtteline) või privaatne, mis on seotud piiratud hulga nähtustega (empiirilised seadused) või suundumustele, mis avalduvad mingite korduste kujul sisse massinähtused ja helistas seaduspärasused.
Fundamentaalseid seoseid nimetatakse seadusteks. Õigus on filosoofiline kategooria, millel on kõigi suhtes universaalsuse omadused looduslikud objektid, nähtused, sündmused. Sellega seoses on seaduse määratlus järgmine: seadus on oluline, stabiilne, korduv seos mis tahes nähtuste vahel.
Seadus väljendab teatud seost süsteemide endi vahel, koostiselemendid esemete ja nähtuste assotsiatsioonid, samuti objektide ja nähtuste endi sees.
Mitte iga seos pole seadus. See võib olla vajalik ja juhuslik, Seadus on vajalik seos. See väljendab olemuslikku seost ruumis koos eksisteerivate asjade (materiaalsete moodustiste, üldises tähenduses) vahel.
Kõik ülaltoodu kehtib toimimise seadused(olemasolu looduskeskkond või inimese kunstlikult loodud). Samuti on olemas arengu seadused, mis väljendab sündmuste trendi, suunda või järjekorda ajas. Kõik loodusseadused- ei ole inimkäte valmistatud, nad eksisteerivad maailmas objektiivselt ja väljendavad asjade seoseid ning kajastuvad ka inimese teadvuses.
Nagu juba mainitud, jagatakse seadused üldistusastme järgi. Universaalsed seadused on filosoofilised seadused. Põhilised loodusseadused jagunevad oma üldistuses samuti kahte suurde klassi. Üldisematele, mida uurivad mitmed või isegi absoluutsed erinevad teadused (nende hulka kuuluvad näiteks energia ja teabe jäävuse seadused jne). Ja vähem üldised seadused, mis ulatuvad kuni piiratud alad, mida uurivad konkreetsed teadused (füüsika, keemia, bioloogia).
Empiirilisi seaduspärasusi uurivad eriteadused, mille alla kuuluvad kõik tehnikateadused. Näitena võib võtta materjalide tugevuse distsipliini. See uurib aineid ja süsteeme, milles kehtivad kõik põhiseadused ja empiirilised seadused, tuginedes eksperimentaalsetele andmetele, mis on seotud ainult selle distsipliini subjektidega. mehaanilised kehad, mis järgivad Hooke’i seadust: keha deformatsioon on otseselt võrdeline kehale mõjuva jõuga (ja vastupidi).
IN tehnikateadused on jaotisi, mis põhinevad konkreetsemal empiirilised seosed, aktsepteeritud aksioomidena.
Mõned seadused väljendavad ranget kvantitatiivset sõltuvust ja on fikseeritud matemaatilised valemid, samas kui teised ei ole veel vormistatavad, näidates näiteks ühte tüüpi sündmuste kohustuslikkust mõne teise sündmuse toimumise tõttu.
Mõned seadused - otsustanud, see tähendab - see tähendab, et need on kindlaks tehtud põhjusliku seose alusel - uurimisseosed täpsed kvantitatiivsed seosed, muud - statistiline, millega määratakse kindlaks sündmuse toimumise tõenäosus teatud tingimustel.
Looduses toimivad seadused spontaanse jõuna. Seadusi teades saab neid aga sihipäraselt kasutada praktiline tegevus(nagu aururõhu jõud aurumasinates, nagu surugaasi jõud sisepõlemismootorites).
Ühiskonnaajaloolised seadused ei erine palju loodusseadustest, kuid toimivad nende vahel mõtlevad inimesed. Nende seaduste tundmine aitab parem korraldus majandust ja ühiskonda.
Seega on loodus- ja ühiskonnaseaduste uurimine inimkonna esmane ülesanne. Ainult seaduste tundmine ja nende õigeks kasutamiseks vajalike meetmete väljatöötamine võib pakkuda arenevale ja kasvavale inimkonnale toitu ja kunstlikult loodud tingimuste keskkonda, milles see saab eksisteerida.
Uute tekkivate probleemide lahendamise kiirus sõltub sellest, kui palju reservi teaduslikud teadmised inimesed säästsid Sel hetkel ja kuidas seda töödeldi ja mõisteti. Teaduslike teadmiste mõistmine viib sõnastuseni teaduslik probleem, mille lahendamine võib viia teooria lõpuleviimiseni selles küsimusteringis ja rangemate järelduste kasutamiseni praktilistes küsimustes. Teaduslik probleem- mitte ainult filosoofiline kategooria kirjeldatud tähenduses, vaid ka praktiline, millest sõltub, kuidas teoreetiline teadus, samuti selle praktilist rakendamist inimeste elus.
Sellest teadusprobleemi olulisuse seletavast osast teooria terviklikkuse seisukohalt tuleneb ka selle definitsioon: teadusprobleem on vastuoluline olukord, mis ilmneb vastandlike seisukohtade kujul mis tahes nähtuste, objektide, protsesside ja nõudmiste selgitamisel. adekvaatne üksik teooria selle lahendamiseks.
Selle eduka lahenduse oluline eeldus on tema õige positsioneerimine. Vaadake saadud vastuolusid empiirilised teadmised Nendele tähelepanu pööramine ja selle vastuolu kõrvaldamise küsimuse püstitamine tähendab teadusliku probleemi lahendamise alustamist ja teaduse edasiviimist progressi suunas. Mitte ilmaasjata ei austata teaduses inimesi, kes oskavad probleeme sõnastada, isegi rohkem kui teadlasi, kes on sõnastatud probleemi konkreetselt lahendanud. Valede probleemide sõnastamine toob kaasa teaduse suure stagnatsiooni.
Kategooria “teadusprobleem” on kategooriaga otseselt seotud "hüpotees". Hüpoteese kasutatakse ennekõike teadusliku probleemi vastuolude teoreetiliseks kõrvaldamiseks. Sellised hüpoteesid (eeldused) muutuvad edukaks isegi fundamentaalseteks teooriateks (Newtoni eeldus kahe füüsilise keha vahelise tõmbejõu kohta).
Hüpoteese kasutatakse ka tehnikateadustes, kus need on oma olemuselt ja kujutavad endast uuritava objekti ja selle elementide käitumist määravate tegurite koostoime meetodi kirjeldust. Sel juhul hüpoteesi nimetatakse tööhüpotees, mis, nagu ka teaduslik probleem, saab katseandmete põhjal tõestada või tagasi lükata.
Seetõttu on hüpotees oletus mingi nähtuse, objekti, sündmuse tõenäolise (võimaliku) muutumismustri kohta, mis pole tõestatud, kuid tundub tõenäoline.
Hüpoteesi kasulikkus seisneb selles, et see mobiliseerib teadlasi probleeme sõnastama eksperimentaalne töö et tõestada püstitatud hüpoteesi õigsust. Ja kui saadakse teistsugune tulemus, võimaldab kogutud materjal hüpoteesi korrigeerida ja edasist teaduslikku uurimistööd planeerida.
Üldisemas sõnastuses seisneb modelleerimine kui teadusliku metoodika meetod üleminekus mitteametlikult sisukatelt ideedelt uuritava objekti kohta matemaatiliste mudelite kasutamisele.
Aksioomide, teoreemide tuletamise reeglite ja vastavusreeglite alusel saadud mudelite teoreetilist taset tõstetakse veelgi hüpotiko-deduktiivsete sätete alusel koos püstitatud hüpoteeside analüüsimisel saadud tagajärgede sõnastamisega. Sel juhul kasutatav matemaatiline aparaat on ainult vahend uute teadmiste saamiseks ja mitte mingil juhul lõplik eesmärk metodoloogiline analüüs.
Koostamiseks matemaatiline mudel järgneb selle kasutamine, mille eesmärk on saada infot, mis enne selle loomist puudus, s.o. saadud mudel peab olema heuristiline. Just see tegevus muudab metoodika omaks eksperimentaalne teadus, mis võimaldab selle järeldusi praktikas kontrollida.
Mudel ja selle omadused.
Formaliseerimine olemasolevaid teadmisi uuritava süsteemi kohta (mudeli koostaja poolt) loob mudeli, et saada süsteemile vajalikud omadused: järjepidevus; täielikkus; aksioomisüsteemi sõltumatus; sisu. Hea näide nende omaduste täitumine on Lobatševski, Gaussi, Bolyai 19. sajandi mitteeukleidiliste geomeetriate teooriad. Itaallane Beltrami näitas, et neid on tõelised kehad, mille pinnal on täidetud Lobatševski geomeetria seadused.
Inimteadmiste teoreetilise mõistmise koidikul kulges teooriate väljatöötamine alati konkreetsetest juhtumitest üldisele. Praeguseks on tekkinud matemaatilise mudeli struktureerimisel põhinevad meetodid objektide modelleerimiseks. Selliste teadmiste arendamise ahel läheb vastupidises järjekorras. Esiteks ilmub uuritava sündmuse (objekti) aksiomaatiline matemaatiline kirjeldus ja selle põhjal formuleeritakse kontseptuaalne mudel- paradigma. Koos sellega muutuvad ka nõuetele vastavuse põhimõtted. looduslikud protsessid Ja teoreetilised skeemid(mudelid). Mudelijärgsete arvutustulemuste lihtsa kokkulangemise asemel katsete eksperimentaalsete andmetega arvestame võrdlevad omadused nende matemaatilised algoritmid tulemuste saavutamine muudes (kaudsetes) parameetrites. Nende põhimõtete hulka kuuluvad näiteks põhimõtted lihtsus ja ilu teaduslikud teooriad . Pealegi tuuakse sel juhul mudel kasutusele uue matemaatilise aparaadiga koos interpretatsiooniga, s.o. Selle lähtepunktiks on matemaatiline formalism, mis on võimeline matemaatika keeles seletama teatud olemust, mis avaldub kogemuses. Just see samm muudab empiirilise kontrollimise keeruliseks, kuna mitte ainult kirjeldusvõrrandit, vaid ka selle tõlgendust tuleb kogemustega kontrollida.
Sisenes matemaatiline aparaat sel juhul sisaldab see mittekonstruktiivseid elemente, mis võivad hiljem viia teooria ja kogemuse lahknemiseni. Tuleb märkida, et see on just tänapäevase eripära teaduslikud uuringud. Teisest küljest ähvardab see kaasaegse teadusliku uurimistöö omadus väljapakutud paljutõotava aparaadi kõrvale heitmise võimalust. Et seda ei juhtuks, on vaja eraldi käsitleda asja seda poolt – lahknevuste kõrvaldamist eksperimendi alusel (näide oleks kvantfüüsika ja elektrodünaamika).
Vana süsteem klassikaline füüsika tõlgendusi teaduslikud faktid kujunes ligikaudse matemaatiliselt moodustatud teooria samm-sammult "loomiseks". tõeline protsess algsele mudelile. Tekib küsimus, mis sunnib uurijaid sellisele tegevusalgoritmile, s.o. Millised on tungid selliseks teoreetilise pildi kujundamise viisiks? Sellele annab teaduse metodoloogia väga kindla vastuse: tõe sisemine väärtus; uudsusväärtus.
Kõik eelnev saavutatakse järgmiste uurimispõhimõtete abil: a) plagiaadi keeld; b) põhjenduste kriitilise läbivaatamise lubatavus teaduslikud uuringud; c) kõigi (ka geeniuste) võrdsus tõe ees; d) võltsimise ja pettuse keeld
Selle näiteks on Einsteini-Lorentzi ühendus. Esimene tollase mitteametliku reitingu järgi oli tol ajal vähem autoriteetne, kuid selle relatiivsusteooria elemendid muutusid fundamentaalne teooria. .
Vaatamata arvukatele matemaatilise modelleerimise töödele on täpse kontseptsiooni sõnastamisel ilmnenud mõningaid raskusi matemaatiline modelleerimine. Need (mudelid) ja nende sisu on liiga mitmekesised. Üldiselt on selge, et mudelilt nõutakse midagi enamat kui võrdlust tegelikkusega: mudel peab tingimata andma teavet simuleeritud objektide ja nähtuste omaduste kohta. Seetõttu peaks mudeli vastuvõetav määratlus olema selline, mis ei sisalda osalist määramatust. Näiteks: antud objekti mudel on teine objekt, mida võrreldakse originaaliga, modelleeritakse ja teatud omadused mis peegeldab (salvestab) objekti valitud omadusi etteantud viisil.
Mudel peaks kajastama kõike teadaolevat (mõnikord mõnda tuntud omadused) objekti kohta ja ennustada või kujundada uut teavet tema kohta uutes eksistentsitingimustes. Modelleerimise eesmärk on Seega - funktsioon esitus (kirjeldus), kui mudelis vaadeldavatele nähtustele on seletus. Sel juhul toimib mudel teooriana. Ja vaatamata sellele on terav vastandus mudeli kui terviku matemaatilise (formaalse) ja sisulise poole vahel talumatu. Võttes arvesse mudeli kujunemise spetsiifilist külge, võime kokku võtta, et matemaatika toimib kui kõige olulisem vahend uuritava nähtuse kohta sisukate ideede arendamine kogu uuringu vältel.
Teema 8. Suhted ja vastavused
Hulga elementide vahelise binaarsuhte mõiste
Igapäevaelus räägime pidevalt kahe objekti suhetest. Näiteks x töötab juhtkonna heaks, x on isa, x ja y on sõbrad – need on inimestevahelised suhted. Numbrid rohkem numbrit m, arv jagub y-ga, arvud ja y jagamisel 3-ga annab sama jäägi – need on arvudevahelised seosed.
Iga matemaatiline teooria käsitleb teatud objektide või elementide komplekti. Ehitama matemaatiline teooria Me vajame mitte ainult elemente endid, vaid ka nendevahelisi suhteid. Arvude puhul on mõtet suhete mõiste: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
Kõik need suhted puudutavad kahte objekti. Sellepärast nimetatakse neid binaarseteks suheteks.
Kui käsitleme teatud seoseid, siis on alati tegemist järjestatud paaridega, mis on moodustatud antud hulga elementidest. Näiteks seose “arv x on 4 võrra suurem kui arv y”, mida arvestatakse hulgal X = (2, 6, 10, 14), järjestatakse need paarideks (6,2), (10) , 6), (14, 10). Need on Descartes'i toote X X alamhulk.
Definitsioon. Binaarne seos hulga X elementide vahel või seos hulgal X on Descartes'i korrutise X X mis tahes alamhulk.
Tavaliselt tähistatakse binaarsuhteid suurte tähtedega Ladina tähestik: P, T, S, R, Q jne. Seega, kui P on relatsioon hulgal X, siis P X X. Kõigi P paaride esimeste elementide hulka nimetatakse seose P määratluspiirkonnaks. Seose P väärtuste kogum on P-st pärit paaride kõigi teiste elementide kogum.
Paljudel juhtudel on seda mugav kasutada graafiline pilt binaarne seos.
Hulga X elemente kujutavad punktid ja nooled ühendavad vastavad elemendid nii, et kui esineb (x,y)P(xPy), siis tõmmatakse nool punktidest punktidesse. Saadud joonist nimetatakse relatsioonigraafikuks P ja hulga X elemente esindavaid punkte
graafiku tipud.
Näiteks seose P graafik: "arv - arvu jagaja", mis on defineeritud hulgal X = (5, 10, 20, 30,40), on näidatud joonisel fig. 54.
Graafi nooli, mille algus ja lõpp on sama punkt, nimetatakse tsükliteks. Kui relatsioonigraafikul P muuda kõigi noolte suundi
vastupidine, siis saadakse uus seos, mida nimetatakse pöördväärtuseks. Seda tähistatakse P -1. Pange tähele, et xPy yP -1 x.
Binaarsuhete täpsustamise meetodid, nende omadused
Kuna hulga X elementide vaheline seos R on hulk, mille elemendid on järjestatud paaridesse, saab seda määrata samamoodi nagu iga hulka.
Kõige sagedamini määratakse relatsioon R hulgal X, kasutades relatsioonis R olevate elemendipaaride iseloomulikku omadust. See omadus on sõnastatud kahe muutujaga lausena. Näiteks hulga X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) seoste hulgas võib arvestada järgmist: "arv vähem numbrit y on 2 korda”, “arv on arvu jagaja” jne.
Relatsiooni R hulgal X saab samuti määratleda, loetledes kõik hulgast X võetud elemendipaarid ja seotud suhtega R.
Näiteks kui kirjutame üles paaride komplekti (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,
4), seejärel võtteplatsil | X = (1, 2, 3, 4) määrame mõned |
suhtumine | |
R = ((x, y)| x X, y | X, x< y} . |
Sama seost R saab täpsustada graafiku abil (joonis). Toome esile kõige olulisemad omadused binaarsed suhted.
Definitsioon 1. Relatsiooni R hulgal X nimetatakse refleksiivseks, kui iga element hulgast X on selles suhtes iseendaga.
Lühidalt öeldes see määratlus saab kirjutada järgmiselt: R on refleksiivne X xRx suhtes mis tahes x X korral.
Ilmselgelt, kui relatsioon R hulgal X on refleksiivne, siis on seosegraafiku igas tipus silmus. Tõsi on ka vastupidine väide.
Refleksiivsete seoste näideteks on seosed: "olema võrdne tasandi kõigi kolmnurkade hulgal", "x ≤ y".
Pange tähele, et on seoseid, millel puudub refleksiivsuse omadus, näiteks joonte perpendikulaarsuse seos.
Definitsioon 2. Relatsiooni R hulgal X nimetatakse sümmeetriliseks, kui X-i mis tahes elementide puhul on täidetud järgmine tingimus: kui x ja y on relatsioonis R, siis on selles seoses ka y.
Lühidalt: R on X xRy yRx suhtes sümmeetriline.
Sümmeetrilise seose graafikul on omadus: kui on elementpaari ühendav nool, siis on tingimata teine, mis ühendab samu elemente, kuid läheb vastupidises suunas. Ka vastupidine on tõsi.
Sümmeetriliste suhete näideteks on seosed: "olema vastastikku risti kõigi tasandi sirgete hulgaga", "olema sarnane tasandi kõigi ristkülikute hulgal".
3. definitsioon. Kui hulga X ühegi elemendi ja y korral võib juhtuda, et korraga esinevad nii xRy kui ka yRx, siis hulga X seost R nimetatakse asümmeetriliseks. Näide asümmeetrilisest suhtest: “olla isa” (kui ih - isale, siis sa ei saa olla isa).
Definitsioon 4. Seost R hulgal X nimetatakse antisüm-
Näiteks seos "vähem kui" täisarvude hulgas on antisümmeetriline.
Antisümmeetrilisel relatsioonigraafikul on eripära: kui graafi kaks tippu on ühendatud noolega, siis on nool ainult üks. Tõsi on ka vastupidine väide. Asümmeetria omadus on kombinatsioon antisümmeetria omadusest ja refleksiivsuse puudumisest.
Definitsioon 5. Relatsiooni R hulgal X nimetatakse transitiivseks, kui mis tahes elementide x, y, z X korral on täidetud järgmine tingimus: kui x on relatsioonis R ja y on relatsioonis R cz, siis element x on relatsioonis R elemendiga z.
Lühidalt: R on X xRy ja yRz xRz transitiivne.
Näiteks tasapinna joonte hulgal määratletud suhe "joon x on paralleelne sirgega" on transitiivne.
Transitiivse seose graafikul on eripära: iga noolepaar, mis liigub x-st ky-ni ja oty-st z-ni, sisaldab ka noolt, mis läheb punktist x-i. Ka vastupidine on tõsi.
Pange tähele, et on suhteid, millel ei ole transitiivsuse omadust. Näiteks suhe “kõrvuti riiulil seismine” ei ole transitiivne.
Samaväärsuse seos
Olgu X inimeste hulk. Sellel hulgal defineerime binaarseose R, kasutades seadust: aRb, kui a ja b on sündinud samal aastal.
Lihtne on kontrollida, kas relatsioonil R on refleksiivsuse, sümmeetria ja transitiivsuse omadused. Seost R nimetatakse ekvivalentsusrelatsiooniks.
Definitsioon 1. Hulgi X binaarset seost R nimetatakse ekvivalentsusrelatsiooniks, kui see on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne.
Pöördugem taas tagasi seose R juurde, mis on inimeste hulgal defineeritud seadusega: aRb, kui a ja b on sündinud samal aastal.
Mõelge koos iga isikuga a inimeste hulka K a, kes on sündinud samal aastal sa. Kahel hulgal K a ja K b kas ei ole ühised elemendid või langevad täielikult kokku.
Hulk K a esindab kõigi inimeste hulga jaotust klassidesse, kuna selle konstrueerimisest järeldub, et on täidetud kaks tingimust: iga inimene kuulub mõnda klassi ja iga inimene kuulub ainult ühte klassi. Pange tähele, et iga klass koosneb samal aastal sündinud inimestest.
Seega genereerib ekvivalentsusseos R hulga X jaotuse klassideks (ekvivalentsusklassideks). Tõsi on ka vastupidine.
Teoreem. Iga hulga X ekvivalentsusseos vastab hulga X jaotusele klassidesse (ekvivalentsusklassidesse). Iga hulkade partitsioon vastab hulga X ekvivalentsusseosele.
Me aktsepteerime seda teoreemi ilma tõestuseta.
Teoreemist järeldub, et iga hulga klassideks jagamise tulemusel saadud klassi määrab ükskõik milline (üks) selle esindajatest, mis võimaldab antud hulga kõigi elementide uurimise asemel uurida ainult kogumit. üksikud esindajad iga klass.
Tellimuse suhe
Kasutame pidevalt tellimussuhteid Igapäevane elu. Definitsioon 1. Iga antisümmeetriline ja transitiivne seos R on
mõnda hulka X nimetatakse järjestusrelatsiooniks.
Hulk X, millel on antud järjestusseos, nimetatakse järjestatuks.
Võtame hulga X = (2, 4, 10, 24). See on järjestatud seosega “x on suurem” (joonis 63).
Vaatleme nüüd teist seost järku “x jagab
y" (joonis 64).
Selle ülevaate tulemus võib tunduda kummaline. Seosed “x on suurem” ja “x jagab” järjestavad hulga X erinevalt. Suhe x-suurem võimaldab teil võrrelda mis tahes kahte numbrit
komplekt X. Mis puudutab seost “x jagab”, siis sellel sellist omadust pole. Seega pole numbrite paar 10 ja 24 selle seosega seotud.
Definitsioon 2. Järjestusrelatsiooni R mingil hulgal X nimetatakse relatsiooniks lineaarne järjekord, kui sellel on järgmine omadus: mis tahes elementide puhul u
komplekt X on kas xRy või yRx.
Hulka X, millel on antud lineaarse järjestuse seos, nimetatakse lineaarseks järjestatuks.
Lineaarselt järjestatud komplektidel on mitmeid omadusi. Olgu a, b, c hulga X elemendid, millel on määratud lineaarse järjestuse seos R. Kui aRb ja bRc, siis me ütleme, et element b asub elementide a ja vahel.
Lineaarselt järjestatud hulka X nimetatakse diskreetseks, kui selle mis tahes kahe elemendi vahel on ainult piiratud hulk elemente.
Kui mõnele kahele erinevaid elemente lineaarselt järjestatud hulk X nende vahel asub hulga element, siis hulka X nimetatakse tihedaks.
Hulkadevahelise vastavuse mõiste. Meetodid vastavuste täpsustamiseks
Olgu antud kaks hulka X ja Y. Kui iga elemendi jaoks on x X määratud elemendile Y, millega see sobitatakse, siis väidetakse, et komplektide X ja Y vahel on vastavus loodud.
Teisisõnu, vastavus hulkade X ja Y elementide vahel on nende hulkade Descartes'i korrutise X ja Y mis tahes alamhulk G: G X Y .
Kuna vaste on hulk, saab seda määrata samamoodi nagu iga komplekti: loetledes kõik paarid (x, y), kus
Kui hulgad X ja Y on lõplikud, siis saab elementide vahelise vastavuse määrata tabelis, kus vasakpoolsesse veergu on kirjas hulga X elemendid, ülemisse ritta aga hulga Y elemendid. Elementide paarid, mis vastavad G-le, asuvad vastavate veergude ja ridade ristumiskohas.
Kahe lõpliku hulga vastavust saab näidata ka graafiku abil. Hulgad X ja Y on kujutatud ovaalidena, komplektide X ja Y elemendid on tähistatud punktidega ning vastavad elemendid on ühendatud nooltega nii, et kui esineb (x,y) G, siis tõmmatakse nool punktidest punktidesse. punktid.
Näiteks joonisel fig. 16, seab kirjavahetuse "Kirjanik x kirjutas töö."
Kui hulgad ja Y on arvulised, siis on võimalik koostada koordinaattasandil G vastavusgraafik.
Vastavus on antud pöördväärtus. Üks-ühele kirjavahetused
Olgu R vastavus “Arv on viis korda väiksem kui arv” hulkade X = (1, 2, 4, 5, 6) elementide vahel
Y = (10, 5, 20, 13, 25).
Selle kirjavahetuse graafik on nagu joonisel fig. 23. Kui muudate selle graafiku noolte suuna järgmiseks
vastupidi, siis saame graafiku (joonis 22) uuest vastavusest “Arv y on viis korda suurem kui arv x”,
komplektide Y ja X vahel.
Seda vastavust nimetatakse pöördvastavuseks
vastavus R-le ja on tähistatud R -1-ga. | ||
Definitsioon. Lase | R - vastavus | |
hulkade X ja Y elemendid. Vastavus R-1 | ||
hulkade Y ja X elemente nimetatakse antud hulga pöördväärtusteks, |
||
kui (y, x) R -1 siis ja ainult siis, kui (x, | y) R. |
|
Vastavust R ja R -1 nimetatakse vastastikku pöördvõrdeliseks. | ||
Kui hulgad X ja Y on arvulised, siis graafik | ||
vastavus R -1 , vastavuse R pöördväärtus, koosneb | ||
punktid, sümmeetrilised punktid R sobiv graafika | ||
esimese poolitaja suhtes ja | kolmandaks | |
koordinaatnurgad.
Kujutagem ette olukorda: auditooriumis on igal istmel pealtvaataja ja igale vaatajale on oma koht. Sel juhul öeldakse, et komplekti vahel
istekohti auditooriumis ja pealtvaatajate rohkus on loonud üks-ühele kirjavahetuse.
Definitsioon. Olgu antud kaks hulka X ja Y. Hulkade X ja Y elementide vahelist vastavust, milles iga hulga X element vastab hulga Y üksikule elemendile ja hulga Y iga element vastab ainult ühele hulga X elemendile, nimetatakse üks-ühele.
Vaatame näiteid üks-ühele vastavusest. Näide 1. Igas koolis, igas klassis
vastab lahedale ajakirjale. See kirjavahetus on üks-ühele.
Näide 2. Antud kolmnurk ABC (joonis 25).A 1 C 1 kolmnurga keskjoon. Olgu X punktide hulk lõigul A 1 C 1, Y punktide hulk lõigul AC.
Ühendame lõigu A 1 C 1 suvalise punkti x kolmnurga tipuga B sirge lõiguga ja
Jätkame seda seni, kuni see ristub AC-ga teravalt. Ühendagem punktid sel viisil konstrueeritud punktiga. Sel juhul luuakse komplektide X ja Y vahel üks-ühele vastavus.
Definitsioon. Hulgi X ja Y nimetatakse samaväärseteks või sama võimsateks, kui nende vahel saab mingil viisil luua üks-ühele vastavuse. Kahe hulga samaväärsust tähistatakse järgmiselt: X ~ Y.
Võimu mõiste on kvantiteedi mõiste üldistus. See on kvantiteedi mõiste laiendus lõpmatutele hulkadele.
Matemaatilise teooria koostamiseks vajate mitte ainult elemente endid, vaid ka nendevahelisi seoseid. Arvude puhul on võrdsuse mõiste mõttekas: a = b. Kui numbrid a ja b on erinevad, mis? b, siis on võimalik kas a > b või a
Kaks sirget tasapinda võivad olla risti, paralleelsed või ristuvad teatud nurga all.
Kõik need suhted puudutavad kahte objekti. Sellepärast nimetatakse neid binaarseteks suheteks.
Objektidevaheliste suhete uurimiseks matemaatikas loodi binaarsuhete teooria.
Kui käsitleme teatud seoseid, siis on alati tegemist järjestatud paaridega, mis on moodustatud antud hulga elementidest. Näiteks seose “4 võrra suurem”, mida arvestatakse hulgal X = (2, 6, 10, 14), järjestatakse need paarideks (2, 6), (6, 10), (10, 14) ja "jagatud" suhete jaoks - (6, 2), (10, 2), (14, 2).
Võib märkida, et paaride kogum, mis defineerib seoseid "suurem kui 4", "jagutav", on Descartes'i korrutise alamhulgad.
X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).
Definitsioon 1. Hulga X elementide vaheline binaarseos või hulga X relatsioon on Descartes'i korrutise X ´ X mis tahes alamhulk.
Binaarsuhteid tähistatakse tavaliselt ladina tähestiku suurtähtedega: P, T, S, R, Q jne. Seega, kui P on relatsioon hulgal X, siis P Ì X ´ X. Sageli kasutatakse erinevaid erisümboleid. seoste kirjutamiseks, näiteks , =, >, ~, ½½, ^ jne. P-st pärinevate paaride kõigi esimeste elementide hulka nimetatakse relatsiooni P määratluspiirkonnaks. Relatsiooni P väärtuste kogum on kõigi P paaride teiste elementide kogum.
Selguse huvides on binaarsuhted kujutatud graafiliselt, kasutades spetsiaalset graafikujoonist. Hulga X elemendid on tähistatud punktidega. Kui (x, y) Î Р(хРу) kehtib, siis tõmmatakse nool punktist x punkti y. Sellist joonist nimetatakse relatsioonigraafikuks P ja hulga X elemente esindavad punktid on graafi tipud. nooled graafiku servadena.
Näide. Olgu seos P: “arv x on arvu y jagaja” hulgal antud
X = (5, 10, 20, 30, 40), näidatud joonisel 25.
Graafi nooli, mille algus ja lõpp on sama punkt, nimetatakse tsükliteks. Kui muudate relatsioonigraafikul P kõigi noolte suunad vastupidiseks, saate uue seose, mida nimetatakse P jaoks pöördvõrdeliseks. Seda tähistatakse P–1. Pange tähele, et xРу Û уР–1х.
Binaarsete määramise meetodid.
Kuna hulga X elementide vaheline seos R on hulk, mille elemendid on järjestatud paaridesse, saab seda määrata samamoodi nagu iga hulka.
1. Kõige sagedamini määratakse relatsioon R hulgal X, kasutades relatsioonis R olevate elemendipaaride iseloomulikku omadust. See omadus formuleeritakse kahe muutujaga lause kujul.
Näiteks hulga X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) seoste hulgas võime arvestada järgmist: "arv x on 2 korda väiksem kui arv y”, “arv x on arvude y jagaja”, “arv x on suurem kui arv y” ja teised.
2. Relatsiooni R hulgal X saab defineerida ka nii, et loetleda kõik hulga X elementide paarid, mis on seotud seosega R.
Näiteks kui kirjutame üles paaride komplekti (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), siis hulk X = (1, 2, 3, 4) defineerime mingi seose R. Sama seose R võib anda ka
3. graafiku kasutamine (joonis 26).
Binaarsete suhete omadused.
Definitsioon 2. Relatsiooni R hulgal X nimetatakse refleksiivseks, kui iga element hulgast X on selles suhtes iseendaga.
Lühidalt: R on refleksiivne X Û xRx mis tahes x О X korral.
või mis on sama: relatsioonigraafiku igas tipus on silmus. Tõsi on ka vastupidi: kui relatsioonigraafiku igas tipus ei ole silmust, siis on tegemist refleksiivse seosega.
Näide. Refleksiivsed seosed: "olema tasandi kõigi kolmnurkade hulgal võrdsed", "? ja £ kõigi reaalarvude hulgal."
Pange tähele, et on seoseid, millel pole refleksiivsuse omadust (tooke näide "x on suurem kui y")
Definitsioon 3. Binaarset seost R hulgal X nimetatakse antirefleksiivseks X-is, kui iga x jaoks alates X (x, x) Ï R, s.o. X-i iga x puhul ei ole tingimus xRx täidetud.
Kui seos R on refleksivastane, siis ühelgi selle graafi tipul pole silmust. Ja vastupidi: kui ühelgi graafi tipul pole silmust, siis kujutab graaf refleksivastast seost.
Näiteid refleksivastastest suhetest: “olla vanem”, “olla väiksem”, “olla tütar” jne.
Definitsioon 4. Seotust R hulgal X nimetatakse sümmeetriliseks, kui mis tahes elemendi x korral 
Î X on täidetud tingimus: kui x ja y on relatsioonis R, siis on selles seoses ka y ja x.
Lühidalt: R on X Û xRу Û yRx suhtes sümmeetriline.
Sümmeetrilise seose graafikul on omadus: kui on elementpaari ühendav nool, siis on tingimata teine, mis ühendab samu elemente, kuid läheb vastupidises suunas. Ka vastupidine on tõsi.
Sümmeetriliste suhete näideteks on seosed: "olema vastastikku risti kõigi tasandi sirgete hulgaga", "olema sarnane tasandi kõigi ristkülikute hulgal".
Definitsioon 5. Kui hulga X ühegi elemendi x ja y puhul ei saa juhtuda, et nii xRy kui ka yRx esinevad samaaegselt, siis hulga X seost R nimetatakse asümmeetriliseks.
Asümmeetrilise seose näide: “olla isa” (kui x on y isa, siis y ei saa olla x-i isa).
Definitsioon 6. Seost R hulgal X nimetatakse antisümmeetriliseks kui jaoks erinevaid elemente x, y О X Sellest, et element x on suhtes R elemendiga y, järeldub, et element y ei ole elemendiga x suhtes R.
Lühidalt: R on X Û xRу ja x suhtes antisümmeetriline? y? .
Näiteks seos "vähem kui" täisarvude hulgas on antisümmeetriline.
Antisümmeetrilisel relatsioonigraafikul on eripära: kui graafi kaks tippu on ühendatud noolega, siis on nool ainult üks. Tõsi on ka vastupidine väide.
Pange tähele, et on seoseid, millel pole ei sümmeetria ega antisümmeetria omadust.
Definitsioon7. Seost R hulgal X nimetatakse transitiivseks, kui mis tahes elementide x, y, z О X korral on täidetud järgmine tingimus: kui x on relatsioonis R y-ga ja y on relatsioonis R z-ga, siis element x on suhtes R elemendiga z.
Lühidalt: R on X Û xRу ja уRz transitiivne? xRz.
Näiteks tasapinna joonte hulgal määratletud seos “joon x on paralleelne sirgega y” on transitiivne.
Transitiivse seose graafiku eripära on see, et iga noolepaari puhul, mis liigub punktist x punktini y ja y-st z-ni, sisaldab see ka x-st z-ni kulgevat noolt. Ka vastupidine on tõsi.
Pange tähele, et on suhteid, millel ei ole transitiivsuse omadust. Näiteks suhe “kõrvuti riiulil seismine” ei ole transitiivne.
Kõik üldised omadused suhted võib jagada kolme rühma:
refleksiivsus (iga suhe on refleksiivne või antirefleksiivne),
sümmeetria (suhe on alati kas sümmeetriline, asümmeetriline või antisümmeetriline),
transitiivsus (iga seos on transitiivne või mittetransitiivne). Suhted, mis on teatud komplekt omadustele antakse erinimed.