Lõpuks sain ma selle ulatusliku ja kauaoodatud teema kätte. analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast... Kindlasti meenub teile nüüd kooli geomeetriakursus, kus on palju teoreeme, nende tõestusi, jooniseid jne. Mis seal salata, olulise osa õpilaste jaoks armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks klišeelist matemaatilist fraasi: "graafiline lahendusmeetod" ja "analüütiline lahendusmeetod". Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute ja jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist peamiselt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite hoolikast rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa me seda teha ilma joonisteta ja pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks neid tsiteerida.
Äsja avatud geomeetria tundide kursus ei pretendeeri teoreetilisele täielikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajaotise osas põhjalikumat abi, soovitan järgmist üsna ligipääsetavat kirjandust:
1) Asi, millega pole naljalt tuttav mitu põlvkonda: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on läbinud juba 20 (!) kordustrükki, mis muidugi pole piir.
2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on keskkooli kirjandus, vajate esimene köide. Harva ettetulevad ülesanded võivad mu silmist kaduda ja õpetusest on hindamatu abi.
Mõlemat raamatut saab Internetist tasuta alla laadida. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla näited kõrgemast matemaatikast.
Tööriistade hulgas pakun taas välja enda arendamise - tarkvarapakett analüütilises geomeetrias, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.
Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajatele)
Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Soovitan edasi lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, ja ka Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne - selles osas segmendi jagamine - ei ole samuti üleliigne. Ülaltoodud teabe põhjal saate meisterdada tasapinna sirge võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetriaülesandeid. Kasulikud on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirge võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal, muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.
Vektori kontseptsioon. Tasuta vektor
Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:
Sel juhul on lõigu algus punkt, lõigu lõpp punkt. Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui liigutate noole segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba olemas täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav samastada füüsilise keha liikumisega: tuleb nõustuda, instituudi ustest sisenemine või instituudi ustest väljumine on täiesti erinevad asjad.
Tasapinna või ruumi üksikuid punkte on mugav käsitleda nn nullvektor. Sellise vektori puhul langevad lõpp ja algus kokku.
!!! Märge: Siin ja edasi võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et nad asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.
Nimetused: Paljud märkasid kohe pulka, mille tähises ei olnud noolt, ja ütlesid, et üleval on ka nool! Tõsi, võite selle kirjutada noolega: , kuid see on ka võimalik kirje, mida ma edaspidi kasutan. Miks? Ilmselt tekkis see harjumus praktilistel põhjustel, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga erineva suurusega ja karvasteks. Õppekirjanduses ei vaevuta nad mõnikord üldse kiilkirjaga, vaid toovad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.
See oli stilistika ja nüüd vektorite kirjutamise viiside kohta:
1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega: 
ja nii edasi. Sel juhul esimene täht Tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine täht tähistab vektori lõpp-punkti.
2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega.
Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiline.
Vektori pikkust näitab moodulmärk: ,
Vektori pikkuse leidmist (või kordame seda, olenevalt kellest) õpime veidi hiljem.
See oli põhiteave vektorite kohta, mis oli tuttav kõigile koolilastele. Analüütilises geomeetrias on nn vaba vektor.
Lihtsamalt öeldes - vektorit saab joonistada mis tahes punktist:
Oleme harjunud selliseid vektoreid nimetama võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtmatemaatilisest vaatenurgast on need SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saate selle või teise "kooli" vektori "kinnitada" MIS TAHES vajaliku tasapinna või ruumi punkti. See on väga lahe funktsioon! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga suunatud segmenti - seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilaste ütlus: Iga õppejõud annab vektori peale. Lõppude lõpuks pole see lihtsalt vaimukas riim, kõik on peaaegu õige - sinna saab lisada ka suunatud segmendi. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, sageli kannatavad õpilased ise =)
Niisiis, vaba vektor- See trobikond identsed suunatud segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks..." viitab spetsiifiline antud hulgast võetud suunatud lõik, mis on seotud tasapinna või ruumi kindla punktiga.
Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja rakenduspunkt loeb. Tõepoolest, sama jõu otsene löök nina või otsaesisele, millest piisab minu lolli eeskuju väljatöötamiseks, toob kaasa erinevaid tagajärgi. Kuid, vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).
Tegevused vektoritega. Vektorite kollineaarsus
Kooli geomeetria kursus hõlmab mitmeid toiminguid ja reegleid vektoritega: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektori erinevusreegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Alustuseks kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.
Kolmnurga reegli abil vektorite lisamise reegel
Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja : 
Peate leidma nende vektorite summa. Kuna kõiki vektoreid peetakse vabaks, jätame vektori kõrvale lõpp vektor: 
Vektorite summa on vektor. Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav lisada sellele füüsiline tähendus: lasta mõnel kehal liikuda mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit . Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mille algus on lähtepunktis ja lõpp saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha liikuda väga kaldu mööda siksakit või võib-olla autopiloodil - piki saadud summavektorit.
Muide, kui vektor lükatakse edasi alanud vektor, siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.
Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nende suhtes kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".
Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaasrežissöör. Kui nooled näitavad eri suundades, siis vektorid on vastassuunas.
Nimetused: vektorite kollineaarsus kirjutatakse tavalise paralleelsuse tähisega: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on vastassuunalised).
Töö nullist erinev vektor arvul on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .
Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildi abil lihtsam mõista: 
Vaatame seda üksikasjalikumalt:
1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.
2) Pikkus. Kui kordaja sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus pool vektori pikkusest. Kui kordaja moodul on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.
3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teise kaudu, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Seega: kui korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaali suhtes) vektor.
4) Vektorid on ühiselt suunatud. Vektorid ja on ka kaasrežissöör. Iga esimese rühma vektor on teise rühma mis tahes vektori suhtes vastupidises suunas.
Millised vektorid on võrdsed?
Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samas suunas ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuunalisus tähendab vektorite kollineaarsust. Määratlus oleks ebatäpne (ülearune), kui ütleksime: "Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on kollineaarsed, kaassuunalised ja on sama pikkusega."
Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid samad vektorid, nagu oli kirjeldatud eelmises lõigus.
Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis
Esimene punkt on arvestada vektoreid tasapinnal. Kujutame Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatide süsteemi ja joonistame selle koordinaatide alguspunktist vallaline vektorid ja:
Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame sõnu vastavalt kollineaarsus Ja ortogonaalsus.
Määramine: Vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise perpendikulaarsuse sümboliga, näiteks: .
Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. See, mis on alus, on minu arvates paljudele intuitiivselt selge, täpsemat teavet leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi - see on omamoodi alus, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.
Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: “orto” - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna “normaliseeritud” ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.
Määramine: sulgudes kirjutatakse tavaliselt alus, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatudümber paigutama.
Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt: 
, Kus - numbrid mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Ja väljend ise 
helistas vektori laguneminealusel .
Serveeritud õhtusöök:
Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori baasiks lammutamisel kasutatakse äsja käsitletuid:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .
Nüüd joonistage vektor vaimselt tasandi mis tahes teisest punktist. On üsna ilmne, et tema lagunemine "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus - vektor kannab kõike endaga kaasas. See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas on see, et baas(vaba) vektoreid endid ei pea joonistama alguspunktist, ühe saab joonistada näiteks all vasakule ja teise üleval paremale ja midagi ei muutu! Tõsi, te ei pea seda tegema, kuna õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "krediiti".
Vektorid illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on põhivektoriga kaassuunaline, vektor on suunatud baasvektorile vastupidises suunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga; saate selle täpselt kirjutada järgmiselt:
Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).
Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Seega on vektorite “de” ja “e” laiendused kergesti kirjutatavad summana: , 
. Järgige joonist, et näha, kui selgelt töötab nendes olukordades vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi.
Vormi vaadeldav lagunemine 
mida mõnikord nimetatakse vektordekompositsiooniks ort süsteemis(st ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:
Või võrdusmärgiga:
Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja
See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme tähistusvõimalust.
Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber korraldada. Rangelt esikohal paneme kirja ühikvektorile vastava koordinaadi, rangelt teisel kohal paneme kirja ühikvektorile vastava koordinaadi. Tõepoolest, ja on kaks erinevat vektorit.
Leidsime lennuki koordinaadid. Vaatame nüüd vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on peaaegu kõik sama! See lisab veel ühe koordinaadi. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teha, seega piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides jätan lähtekoha kõrvale: 
Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalsel alusel: 
, kus on selle aluse vektori (arvu) koordinaadid.
Näide pildilt: 
. Vaatame, kuidas vektorireeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (vaarika nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab algsest lähtepunktist (vektori algusest) ja lõpeb lõpp-punktis (vektori lõpus).
Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad; proovige vektor mõnest muust punktist mõttes kõrvale jätta ja saate aru, et selle lagunemine "jääb sellega".
Sarnane lame korpusega, lisaks kirjutamine 
laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .
Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, asetatakse nende asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt 
) – kirjutame ;
vektor (täpsemalt 
) – kirjutame ;
vektor (täpsemalt 
) – kirjutame .
Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:
Võib-olla on see kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Termineid ja definitsioone võib olla palju, seega soovitan teekannudel see teave uuesti läbi lugeda ja sellest aru saada. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks omandamiseks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid hakatakse tulevikus sageli kasutama. Märgin, et saidil olevatest materjalidest ei piisa geomeetria teoreetilise testi või kollokviumi läbimiseks, kuna krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (ja ilma tõenditeta) - teadusliku esitusstiili kahjuks, kuid see on pluss teie arusaamisele teema. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks kummardage professor Atanasyani ees.
Ja liigume edasi praktilise osa juurde:
Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides
Väga soovitatav on õppida lahendama ülesandeid, mida käsitletakse täielikult automaatselt, ja valemeid meelde jätta, te ei pea seda isegi meelega meeles pidama, nad jätavad selle ise meelde =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. . Särgi ülemisi nööpe pole vaja kinnitada, paljud asjad on sulle kooliajast tuttavad.
Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid... näete ise.
Kuidas leida vektorit kahest punktist?
Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid: 
Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:
See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.
Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.
Näide 1
Arvestades kaks punkti lennuk ja . Otsige vektori koordinaadid
Lahendus: vastavalt vastavale valemile:
Teise võimalusena võib kasutada järgmist kirjet:
Esteetid otsustavad selle:
Isiklikult olen salvestuse esimese versiooniga harjunud.
Vastus:
Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist konstrueerida (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et selgitada mannekeenide jaoks mõnda punkti, ei ole ma laisk: 
Peate kindlasti aru saama erinevus punktikoordinaatide ja vektorkoordinaatide vahel:
Punktide koordinaadid– need on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik oskavad 5.-6.klassist punkte koordinaattasandile joonistada. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.
Vektori koordinaadid– see on antud juhul selle laiendamine alusel. Iga vektor on vaba, nii et soovi või vajaduse korral saame selle hõlpsalt mõnest teisest tasapinna punktist eemale nihutada. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei pea üldse telgi ega ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi ehitama, vaid on vaja ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.
Punktide koordinaatide ja vektorite koordinaatide kirjed näivad olevat sarnased: , ja koordinaatide tähendus absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.
Daamid ja härrad, täidame oma käed:
Näide 2
a) Punkte ja antakse. Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse 
Ja . Leia vektorid ja .
c) Punkte ja antakse. Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid 
.
Võib-olla sellest piisab. Need on näited teie enda otsustamiseks, proovige neid mitte unarusse jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid pole vaja teha. Lahendused ja vastused tunni lõpus.
Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku viga “kaks pluss kaks võrdub null”. Vabandan kohe, kui kuskil vea tegin =)
Kuidas leida lõigu pikkust?
Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.
Kui on antud kaks tasandi punkti ja , siis saab segmendi pikkuse arvutada valemiga
Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab segmendi pikkuse arvutada valemi abil
Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem
Näide 3
Lahendus: vastavalt vastavale valemile:
Vastus: 
Selguse huvides teen joonise 
Joonelõik – see ei ole vektor, ja loomulikult ei saa te seda kuhugi liigutada. Lisaks, kui joonistate mõõtkavas: 1 ühik. = 1 cm (kaks märkmiku lahtrit), siis saab saadud vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes vahetult lõigu pikkust.
Jah, lahendus on lühike, kuid selles on veel paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:
Esiteks paneme vastusesse mõõtme: "ühikud". Seisundis pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu oleks matemaatiliselt õige lahendus üldine sõnastus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".
Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult vaadeldava ülesande jaoks:
pööra tähelepanu oluline tehnika – kordaja eemaldamine juure alt. Arvutuste tulemusena saame tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri eemaldamist juure alt (kui võimalik). Täpsemalt näeb protsess välja selline: 
. Vastuse jätmine niisama poleks muidugi viga – aga kindlasti oleks see puudujääk ja kaalukas argument õpetaja näägutamiseks.
Siin on muud levinud juhtumid: 
Sageli toodab juur üsna suure arvu, näiteks . Mida sellistel juhtudel teha? Kalkulaatori abil kontrollime, kas arv jagub 4-ga: . Jah, see oli täielikult jagatud, nii: 
. Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Seega: 
. Arvu viimane number on paaritu, seega kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt ei toimi. Proovime jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.
Järeldus: kui juure alla saame arvu, mida ei saa tervikuna välja võtta, siis proovime teguri juure alt eemaldada - kalkulaatori abil kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 jne.
Erinevate probleemide lahendamisel puututakse sageli kokku juurtega, püüdke alati juure alt välja tuua tegurid, et vältida madalama hinde saamist ja tarbetuid probleeme oma lahenduste viimistlemisel õpetaja kommentaaride põhjal.
Kordame ka juurte ruudustamist ja muid võimeid: 
Üldvormis astmetega opereerimise reeglid leiab koolialgebraõpikust, aga arvan, et toodud näidete põhjal on kõik või peaaegu kõik juba selge.
Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:
Näide 4
Punkte ja antakse. Leidke lõigu pikkus.
Lahendus ja vastus on tunni lõpus.
Kuidas leida vektori pikkust?
Kui on antud tasapinnaline vektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.
Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga 
.
Leiame vektori pikkuse selle koordinaatide (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis), vektori algus- ja lõpp-punkti koordinaatide ning koosinusteoreemi järgi (antud 2 vektorit ja nendevaheline nurk).
Vektor on suunatud sirge segment. Selle segmendi pikkus määrab vektori arvväärtuse ja seda kutsutakse vektori pikkus või vektori moodul.
1. Vektori pikkuse arvutamine selle koordinaatide järgi
Kui vektorkoordinaadid on antud lamedas (kahemõõtmelises) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, s.o. a x ja a y on teada, siis saab vektori pikkuse leida valemi abil
Ruumivektori puhul lisandub kolmas koordinaat
MS EXCELi avaldises =JUUR(SUMKV(B8:B9)) võimaldab arvutada vektori moodulit (eeldatakse, et vektori koordinaatorid on sisestatud lahtritesse B8:B9, vaata näidisfaili).
Funktsioon SUMMQ() tagastab argumentide ruutude summa, st. sel juhul on see samaväärne valemiga =B8*B8+B9*B9.
Näidisfail arvutab ka vektori pikkuse ruumis.
Alternatiivne valem on =JUUR(SUMMA(B8:B9,B8:B9)).
2. Vektori pikkuse leidmine punktide koordinaatide kaudu
Kui vektor antud selle algus- ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu, siis on valem erinev =JUUR(SUMVARE(C28:C29,B28:B29))
Valem eeldab, et algus- ja lõpp-punkti koordinaadid on vahemikku sisestatud C28:C29 Ja B28:B29 vastavalt.
Funktsioon SUMMQDIFFERENCE() tolli Tagastab kahe massiivi vastavate väärtuste erinevuste ruudu summa.
Põhimõtteliselt arvutab valem esmalt välja vektori koordinaadid (punktide vastavate koordinaatide vahe), seejärel arvutab nende ruutude summa.
3. Vektori pikkuse leidmine koosinusteoreemi abil
Kui on vaja koosinusteoreemi abil leida vektori pikkus, siis tavaliselt antakse 2 vektorit (nende moodulid ja nendevaheline nurk).
Leiame valemi abil vektori c pikkuse =JUUR(SUM(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))
Rakkudes B43:B43 sisaldab vektorite a ja b pikkusi ning lahtrit B45 - nendevaheline nurk radiaanides (PI() murdosades).
Kui nurk on määratud kraadides, on valem veidi erinev =JUUR(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))
Märge: selguse huvides võib lahtris, mille nurga väärtus on kraadides, kasutada , vaata näiteks artiklit
Iseloomustab suurusjärk ja suund. Näiteks geomeetrias ja loodusteadustes on vektor eukleidilise ruumi (või tasapinna) sirge suunatud lõik.
See on üks lineaarse algebra põhimõisteid. Kõige üldisema definitsiooni kasutamisel on peaaegu kõik lineaaralgebras uuritavad objektid vektorid, sealhulgas maatriksid, tensorid, kuid kui need objektid on ümbritsevas kontekstis olemas, mõistetakse vektorit vastavalt rea- või veeruvektorina, esimese järgu tensor. Vektorarvutuses uuritakse tehte omadusi vektoritega.
Nimetused [ | ]
Vektorit esindab hulk n (\displaystyle n) elemendid (komponent) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n)) määratud järgmistel viisidel:
⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (\displaystyle \langle a_(1),a_(2), \lpunktid ,a_(n)\,\nurk ,\ \vasak(a_(1),a_(2),\lpunktid ,a_(n)\,\parem),\(a_(1),a_(2) ,\ldots ,a_(n)\,\)).Rõhutamaks, et tegemist on vektoriga (ja mitte skalaariga), kasutage üleriba, noolt või paksu või gooti kirjatüüpi:
a ¯ , a → , a , A , a . (\displaystyle (\bar (a)),\ (\vec (a)),\mathbf (a) ,(\mathfrak (A)),\ (\mathfrak (a)).)Vektorite liitmist tähistab peaaegu alati plussmärk:
a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))).Arvuga korrutamine kirjutatakse lihtsalt selle kõrvale, ilma erimärgita, näiteks:
k b → (\displaystyle k(\vec (b))),Pealegi kirjutatakse number tavaliselt vasakule.
Üldtunnustatud vektorsümbolid puuduvad, kasutatakse paksu kirjatüüpi, joont või noolt tähe kohal, gooti tähestikku jne.
Geomeetrias [ | ]
Geomeetrias tähendavad vektorid suunatud segmente. Seda tõlgendust kasutatakse sageli arvutigraafikas pinnanormaalide abil valguskaartide koostamiseks. Samuti saab vektorite abil leida erinevate kujundite pindalasid, näiteks kolmnurki ja rööpkülikuid, aga ka kehade ruumalasid: tetraeedrit ja rööptahukat.
Mõnikord identifitseeritakse suund vektoriga.
Vektorit geomeetrias võrreldakse loomulikult tõlkega (paralleeltõlge), mis ilmselgelt selgitab selle nime päritolu (lat. vektor, vedaja). Tõepoolest, iga suunatud segment määratleb üheselt mingi tasandi või ruumi paralleeltõlke ja vastupidi, paralleeltõlge määratleb üheselt ühe suunatud segmendi (üheselt - kui pidada kõiki samasuunalisi ja sama pikkusega segmente võrdseteks - see tähendab, et pidada neid vabadeks vektoriteks) .
Vektori tõlgendamine ülekandena võimaldab vektorite liitmise operatsiooni tutvustada loomulikul ja intuitiivselt ilmselgelt – kahe (või mitme) ülekande kompositsioonina (järjestikulise rakendusena); sama kehtib ka vektori arvuga korrutamise operatsiooni kohta.
Lineaaralgebras[ | ]
Üldine määratlus[ | ]
Vektori kõige üldisem määratlus antakse üldalgebra abil:
- Tähistame F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(gooti F) mõni väli paljude elementidega F (\displaystyle F), lisaoperatsioon + (\displaystyle +), korrutav tehe ∗ (\displaystyle *), ja vastavad neutraalsed elemendid: liitühik ja korrutusühik 1 (\displaystyle 1).
- Tähistame V (\displaystyle (\mathfrak (V)))(gooti V) mingi Abeli rühm, milles on palju elemente V (\displaystyle V), lisaoperatsioon + (\displaystyle +) ja vastavalt lisaaineühikuga 0 (\displaystyle \mathbf (0) ).
Teisisõnu, lase F = ⟨ F ; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle ) Ja V = ⟨ V ; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle ).
Kui on operatsioon F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), nii et kellelegi a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F) ja mis tahes jaoks x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in V) kehtivad järgmised suhted:
Vektor kui jada[ | ]
Vektor- homogeensete elementide (jada, korteež). See on kõige üldisem määratlus selles mõttes, et tavapäraseid vektortehteid ei pruugi üldse olla, neid võib olla vähem või need ei pruugi rahuldada tavalisi lineaarruumi aksioome. Just sellisel kujul mõistetakse vektorit programmeerimises, kus reeglina tähistatakse seda identifikaatori nimega nurksulgudega (näiteks objektiks). Atribuutide loend modelleerib seda, milles aktsepteeritakse
Vektormoodul leiame, kui me seda teame projektsioonid koordinaattelgedele.
lennukis antud vektor A(joonis 15).
Kujutagem ristid vektori algusest ja lõpust koordinaattelgedele, et leida selle projektsioonid. Vastavalt Pythagorase teoreemile
. Siit
.
Peate teadma seda valemit PEAST.
Pea meeles!
Leidma vektormoodul selle projektsioonide ruutude summast on vaja eraldada ruutjuur.
Te juba teate, et vektori projektsioon teljele on leitav, kui lahutada vektori lõpp-punkti koordinaadist selle alguspunkti koordinaat. Siis meie vektori jaoks, kui see on antud tasapinnal, ja x = x k − x n,
ja y = y k − y n. Seega vektormoodul saab leida valemi abil
.
Pole raske ette kujutada, milline valem välja näeb, kui vektor antud ruumis.
Pöörake tähelepanu ka sellele. Pealegi vektormoodul on kahe punkti vahele jääva lõigu pikkus: vektori alguspunkt ja lõpp-punkt. Ja see pole midagi muud kui nende kahe punkti vaheline kaugus. Seetõttu peate kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks arvutama vektormoodul neid punkte ühendades.
vektormoodul- vektori suurusjärk - [L.G. Sumenko. Inglise-vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: Riigiettevõte TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogia üldiselt Sünonüümid vektorväärtus EN vektori absoluutväärtus ...
vektormoodul- vektoriaus modulis statusas T ala fizika vastavusmenys: engl. vektori absoluutväärtus vok. Vektorbetrag, m rus. vektori pikkus, f; vektori moodul, m pranc. module d'un vecteur, m ... Fizikos terminų žodynas
- (ladina keelest modulus “väike mõõt”): Vikisõnaraamatus on artikkel “moodul” Mo ... Wikipedia
Moodul (ladina keelest modulus “väike mõõt”) on lahutamatu osa, mis on eraldatav või vähemalt vaimselt eristatav üldisest. Modulaarseks nimetatakse tavaliselt asja, mis koosneb selgelt määratletud osadest, mida saab sageli eemaldada või lisada asja hävitamata... ... Wikipedia
Reaal- või kompleksarvu x absoluutväärtus või moodul on kaugus x-st lähtepunktini. Täpsemalt: reaalarvu x absoluutväärtus on mittenegatiivne arv, mida tähistatakse |x|-ga ja defineeritud järgmiselt: ... ... Vikipeedia
lainevektori moodul- - [L.G. Sumenko. Inglise-vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: Riigiettevõte TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogia üldiselt EN levivektori suurus ... Tehniline tõlkija juhend
ümbriku koodivektori konvolvermoodul- - [L.G. Sumenko. Inglise-vene infotehnoloogia sõnaraamat. M.: Riigiettevõte TsNIIS, 2003.] Teemad infotehnoloogia üldiselt EN kujukoodektor konvolutsioonimoodul ... Tehniline tõlkija juhend
Kompleksarvu moodul on sellele arvule vastava vektori pikkus: . Kompleksarvu z moodulit tähistatakse tavaliselt | z | või r. Olgu reaalarvud sellised, et kompleksarv (tavaline tähistus). Siis Numbrid... Vikipeedia
Moodul matemaatikas, 1) Kompleksarvu z = x + iy M. (või absoluutväärtus) on arv ═ (juur võetakse plussmärgiga). Kompleksarvu z esitamisel trigonomeetrilisel kujul z = r(cos j + i sin j), on reaalarv r võrdne... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia
Abeli rühm operaatorite ringiga. M on (lineaarse) vektorruumi üldistus väljal K juhul, kui K on asendatud mõne ringiga. Olgu antud ring A. Lisand Abeli rühm Mnaz. vasakule Moodul, kui see on määratletud ... ... Matemaatiline entsüklopeedia