Mis on nurga siinus, koosinus, puutuja, kotangens, aitab teil mõista täisnurkset kolmnurka.

Kuidas nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgi? See on õige, hüpotenuus ja jalad: hüpotenuus on külg, mis asub täisnurga vastas (meie näites on see külg \(AC\)); jalad on kaks ülejäänud külge \(AB\) ja \(BC\) (need, mis külgnevad täisnurgaga) ja kui arvestada jalgu nurga \(BC\) suhtes, siis jalg \(AB\) on külgnev jalg ja jalg \(BC\) on vastas. Niisiis, vastame nüüd küsimusele: mis on nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangent?

Nurga siinus– see on vastupidise (kauge) jala ja hüpotenuusi suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Nurga koosinus– see on külgneva (lähedase) jala ja hüpotenuusi suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Nurga puutuja– see on vastaskülje (kauge) ja külgneva (lähedase) suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Nurga kotangents– see on külgneva (lähedase) jala ja vastupidise (kauge) suhe.

Meie kolmnurgas:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Need määratlused on vajalikud mäleta! Et oleks lihtsam meeles pidada, milline jalg milleks jagada, peate sellest selgelt aru saama puutuja Ja kotangent istuvad ainult jalad ja hüpotenuus ilmub ainult sisse sinus Ja koosinus. Ja siis saab välja mõelda assotsiatsioonide ahela. Näiteks see:

Koosinus→puudutus→puudutus→külgnev;

Kotangent → puudutus → puudutus → külgnev.

Kõigepealt tuleb meeles pidada, et siinus, koosinus, puutuja ja kotangens kui kolmnurga külgede suhted ei sõltu nende külgede pikkustest (sama nurga all). Ei usu? Seejärel veenduge pilti vaadates:

Vaatleme näiteks nurga \(\beta \) koosinust. Definitsiooni järgi kolmnurgast \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), kuid nurga \(\beta \) koosinuse saame arvutada kolmnurgast \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Näete, külgede pikkused on erinevad, kuid ühe nurga koosinuse väärtus on sama. Seega sõltuvad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ainult nurga suurusest.

Kui saate definitsioonidest aru, siis jätkake ja kinnitage need!

Alloleval joonisel näidatud kolmnurga \(ABC \) jaoks leiame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(massiiv)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(massiivi) \)

Noh, kas sa said aru? Seejärel proovige ise: arvutage sama nurga \(\beta \) jaoks.

Vastused: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Ühik (trigonomeetriline) ring

Mõistes kraadide ja radiaanide mõisteid, käsitlesime ringi, mille raadius on võrdne \(1\) . Sellist ringi nimetatakse vallaline. See on trigonomeetria õppimisel väga kasulik. Seetõttu vaatame seda veidi üksikasjalikumalt.

Nagu näete, on see ring konstrueeritud Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ringjoone raadius on võrdne ühega, samal ajal kui ringi keskpunkt asub koordinaatide alguspunktis, on raadiuse vektori algpositsioon fikseeritud piki \(x\) telje positiivset suunda (meie näites on see on raadius \(AB\)).

Iga punkt ringil vastab kahele numbrile: koordinaat piki telge \(x\) ja koordinaat piki telge \(y\). Mis need koordinaatide numbrid on? Ja üleüldse, mis on neil selle teemaga pistmist? Selleks peame meeles pidama vaadeldavat täisnurkset kolmnurka. Ülaltoodud joonisel näete kahte tervet täisnurkset kolmnurka. Vaatleme kolmnurka \(ACG\) . See on ristkülikukujuline, kuna \(CG\) on risti teljega \(x\).

Mis on \(\cos \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? See on õige \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Lisaks teame, et \(AC\) on ühikuringi raadius, mis tähendab \(AC=1\) . Asendame selle väärtuse koosinuse valemis. See juhtub järgmiselt.

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Millega võrdub \(\sin \ \alpha \) kolmnurgast \(ACG \)? No muidugi, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Asendage selle valemiga raadiuse väärtus \(AC\) ja saate:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Niisiis, kas saate öelda, millised koordinaadid on ringile kuuluval punktil \(C\)? No mitte kuidagi? Mis siis, kui mõistate, et \(\cos \ \alpha \) ja \(\sin \alpha \) on vaid numbrid? Millisele koordinaadile vastab \(\cos \alpha \)? Muidugi, koordinaat \(x\)! Ja millisele koordinaadile vastab \(\sin \alpha \)? Täpselt nii, koordinaat \(y\)! Nii et point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Millega on siis \(tg \alpha \) ja \(ctg \alpha \) võrdsed? See on õige, kasutame puutuja ja kotangensi vastavaid definitsioone ja saame selle \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Mis siis, kui nurk on suurem? Näiteks nagu sellel pildil:

Mis on selles näites muutunud? Selgitame välja. Selleks pöördume uuesti täisnurkse kolmnurga poole. Vaatleme täisnurkset kolmnurka \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : nurk (külgneb nurgaga \(\beta \) ). Mis on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus nurga jaoks \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? See on õige, me järgime vastavaid trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi:

\(\begin(massiivi)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\nurk ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\nurk ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(massiivi) \)

No nagu näha, siis nurga siinuse väärtus vastab ikkagi koordinaadile \(y\) ; nurga koosinuse väärtus - koordinaat \(x\) ; ning puutuja ja kotangensi väärtused vastavatele suhetele. Seega kehtivad need seosed raadiusvektori mis tahes pööramise kohta.

Juba mainitud, et raadiusvektori algpositsioon on piki telje \(x\) positiivset suunda. Siiani oleme seda vektorit pööranud vastupäeva, aga mis juhtub, kui pöörame seda päripäeva? Ei midagi erakordset, saate ka teatud väärtusega nurga, kuid ainult see on negatiivne. Seega raadiusvektorit vastupäeva pöörates saame positiivsed nurgad ja päripäeva pöörates – negatiivne.

Seega teame, et kogu raadiusvektori pööre ümber ringi on \(360()^\circ \) või \(2\pi \) . Kas raadiuse vektorit on võimalik pöörata \(390()^\circ \) või \(-1140()^\circ \) võrra? No muidugi saab! Esimesel juhul \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), seega teeb raadiuse vektor ühe täispöörde ja peatub positsioonis \(30()^\circ \) või \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Teisel juhul \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), see tähendab, et raadiuse vektor teeb kolm täispööret ja peatub asendis \(-60()^\circ \) või \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Seega võime ülaltoodud näidete põhjal järeldada, et nurgad, mis erinevad \(360()^\circ \cdot m \) või \(2\pi \cdot m \) võrra (kus \(m \) on mis tahes täisarv ), vastavad raadiusvektori samale asukohale.

Allolev joonis näitab nurka \(\beta =-60()^\circ \) . Sama pilt vastab nurgale \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) jne. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Kõik need nurgad saab kirjutada üldvalemiga \(\beta +360()^\circ \cdot m\) või \(\beta +2\pi \cdot m \) (kus \(m \) on mis tahes täisarv)

\(\begin(massiiv)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(massiivi) \)

Nüüd, teades põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja kasutades ühikuringi, proovige vastata, millised on väärtused:

\(\begin(massiivi)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(massiiv) \)

Siin on ühikuring, mis aitab teid:

Kas teil on raskusi? Siis mõtleme välja. Nii et me teame, et:

\(\begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(massiiv)\)

Siit määrame teatud nurgamõõtudele vastavate punktide koordinaadid. Noh, alustame järjekorras: nurk sisse \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) vastab punktile koordinaatidega \(\left(0;1 \right) \) , seega:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 90()^\circ \)- ei eksisteeri;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Lisaks saame samast loogikast kinni pidades teada, et nurgad on sees \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) vastavad koordinaatidega punktidele \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \paremal) \), vastavalt. Seda teades on lihtne määrata trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi vastavates punktides. Proovige kõigepealt ise ja seejärel kontrollige vastuseid.

Vastused:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ \pi \)- ei eksisteeri

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 270()^\circ \)- ei eksisteeri

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(ctg)\ 2\pi \)- ei eksisteeri

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Paremnool \text(tg)\ 450()^\circ \)- ei eksisteeri

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Seega saame teha järgmise tabeli:

Kõiki neid väärtusi pole vaja meeles pidada. Piisab meeles pidada vastavust ühikuringi punktide koordinaatide ja trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste vahel:

\(\left. \begin(massiiv)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(massiiv) \right\)\ \text(Peate seda meeles pidama või suutma seda kuvada!! \) !}

Kuid nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ja \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) allolevas tabelis toodud, peate meeles pidama:

Ärge kartke, nüüd näitame teile ühte näidet vastavate väärtuste üsna lihtsast meeldejätmisest:

Selle meetodi kasutamiseks on oluline meeles pidada kõigi kolme nurga mõõtmise siinusväärtusi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samuti nurga puutuja väärtus \(30()^\circ \) . Teades neid \(4\) väärtusi, on kogu tabeli taastamine üsna lihtne - koosinusväärtused kantakse üle noolte järgi, see tähendab:

\(\begin(massiivi)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(massiiv) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), saate seda teades väärtused taastada \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Lugeja "\(1 \)" vastab \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ja nimetaja "\(\sqrt(\text(3)) \)" vastab \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentide väärtused kantakse üle vastavalt joonisel näidatud nooltele. Kui mõistate seda ja mäletate nooltega diagrammi, piisab, kui mäletate tabelist ainult \(4\) väärtusi.

Ringjoone punkti koordinaadid

Kas ringil on võimalik leida punkti (selle koordinaate), teades ringi keskpunkti koordinaate, raadiust ja pöördenurka? No muidugi saab! Tuletame punkti koordinaatide leidmiseks üldvalemi. Näiteks siin on meie ees ring:

See punkt on meile antud \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ringi keskpunkt. Ringi raadius on \(1,5\) . On vaja leida punkti \(P\) koordinaadid, mis saadakse punkti \(O\) pööramisel \(\delta \) kraadi võrra.

Nagu jooniselt näha, vastab punkti \(P\) koordinaat \(x\) lõigu pikkusele \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lõigu \(UK\) pikkus vastab ringi keskpunkti koordinaadile \(x\), see tähendab, et see on võrdne \(3\) . Lõigu \(KQ\) pikkust saab väljendada koosinuse definitsiooniga:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Paremnool KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Siis on meil see punkti \(P\) koordinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Sama loogikat kasutades leiame punkti \(P\) y-koordinaadi väärtuse. Seega

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Nii et üldiselt määratakse punktide koordinaadid valemitega:

\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(massiiv) \), Kus

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - ringi keskpunkti koordinaadid,

\(r\) - ringi raadius,

\(\delta \) - vektori raadiuse pöördenurk.

Nagu näete, on vaadeldava ühikuringi puhul need valemid märkimisväärselt vähenenud, kuna keskpunkti koordinaadid on võrdsed nulliga ja raadius on võrdne ühega:

\(\begin(massiiv)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(massiivi) \)

Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peate lubama ActiveX-juhtelemendid!

Keskmine tase

Täisnurkne kolmnurk. Täielik illustreeritud juhend (2019)

PAREM KOLMNURK. ESIMESE TASE.

Ülesannete korral pole õige nurk üldse vajalik - alumine vasak, nii et peate õppima sellel kujul täisnurkset kolmnurka ära tundma,

ja selles

ja selles

Mis on täisnurkses kolmnurgas head? Noh... esiteks on selle külgedele erilised ilusad nimed.

Tähelepanu joonisele!

Pidage meeles ja ärge ajage segadusse: on kaks jalga ja on ainult üks hüpotenuus(üks ja ainus, ainulaadne ja pikim)!

Noh, arutasime nimesid, nüüd kõige olulisemat: Pythagorase teoreemi.

Pythagorase teoreem.

See teoreem on võti paljude täisnurkse kolmnurgaga seotud probleemide lahendamiseks. Seda tõestas Pythagoras täiesti iidsetel aegadel ja sellest ajast peale on see teadjatele palju kasu toonud. Ja parim asi selle juures on see, et see on lihtne.

Niisiis, Pythagorase teoreem:

Kas mäletate nalja: "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed!"?

Joonistame need samad Pythagorase püksid ja vaatame neid.

Kas see ei näe välja nagu mingid lühikesed püksid? Noh, millistel pooltel ja kus nad on võrdsed? Miks ja kust nali tuli? Ja see nali on seotud just Pythagorase teoreemiga või täpsemalt sellega, kuidas Pythagoras ise oma teoreemi sõnastas. Ja ta sõnastas selle nii:

"Summa ruutude alad, ehitatud jalgadele, on võrdne ruudu pindala, mis on ehitatud hüpotenuusile."

Kas see kõlab tõesti natuke teistmoodi? Ja nii, kui Pythagoras oma teoreemi väite joonistas, tuli välja täpselt selline pilt.

Sellel pildil on väikeste ruutude pindalade summa võrdne suure ruudu pindalaga. Ja et lapsed mäletaksid paremini, et jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, mõtles keegi vaimukas selle Pythagorase pükste nalja.

Miks me nüüd Pythagorase teoreemi sõnastame?

Kas Pythagoras kannatas ja rääkis väljakutest?

Näete, iidsetel aegadel polnud... algebrat! Mingeid märke polnud ja nii edasi. Silte polnud. Kas te kujutate ette, kui kohutav oli vaestel iidsetel õpilastel kõike sõnadega meeles pidada??! Ja me võime rõõmustada, et meil on Pythagorase teoreemi lihtne sõnastus. Kordame seda uuesti, et paremini meelde jätta:

See peaks nüüd lihtne olema:

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

Noh, kõige olulisem teoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on arutatud. Kui teid huvitab, kuidas see tõestatakse, lugege järgmisi teooriatasemeid ja nüüd läheme kaugemale... trigonomeetria pimedasse metsa! Kohutavatele sõnadele siinus, koosinus, puutuja ja kotangent.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas.

Tegelikult pole kõik üldse nii hirmus. Muidugi tuleks artiklis vaadata siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi “päris” määratlust. Aga ma tõesti ei taha, eks? Võime rõõmustada: täisnurkse kolmnurga probleemide lahendamiseks võite lihtsalt täita järgmised lihtsad asjad:

Miks on kõik nurga taga? Kus on nurk? Selle mõistmiseks peate teadma, kuidas väiteid 1–4 sõnadega kirjutatakse. Vaata, mõista ja jäta meelde!

1.
Tegelikult kõlab see nii:

Aga nurk? Kas on jalg, mis on nurga vastas, st vastupidine (nurga jaoks) jalg? Muidugi on! See on jalg!

Aga nurk? Vaata hoolega. Milline jalg külgneb nurgaga? Muidugi, jalg. See tähendab, et nurga korral on jalg külgnev ja

Nüüd pane tähele! Vaata, mis meil on:

Vaata, kui lahe see on:

Liigume nüüd puutuja ja kotangensi juurde.

Kuidas ma saan seda nüüd sõnadega kirja panna? Mis on jalg nurga suhtes? Muidugi vastas - see "lemab" nurga vastas. Aga jalg? Kõrval nurgaga. Mis meil siis on?

Vaata, kuidas lugeja ja nimetaja on kohad vahetanud?

Ja nüüd jälle nurgad ja vahetus tehtud:

Kokkuvõte

Paneme lühidalt kirja kõik, mida oleme õppinud.

Pythagorase teoreem:

Põhiteoreem täisnurksete kolmnurkade kohta on Pythagorase teoreem.

Pythagorase teoreem

Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui mitte väga hea, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi

On täiesti võimalik, et olete Pythagorase teoreemi juba korduvalt kasutanud, kuid kas olete kunagi mõelnud, miks selline teoreem on tõene? Kuidas ma saan seda tõestada? Teeme nii nagu vanad kreeklased. Joonistame küljega ruudu.

Vaata, kui nutikalt me ​​selle küljed pikkusteks jagasime ja!

Nüüd ühendame märgitud punktid

Siin märkisime aga midagi muud, kuid te ise vaatate joonist ja mõtlete, miks see nii on.

Kui suur on suurema ruudu pindala? Õige,. Aga väiksema alaga? Kindlasti,. Nelja nurga kogupindala jääb alles. Kujutage ette, et me võtsime nad kaks korraga ja toetasime nad hüpotenuusega üksteise vastu. Mis juhtus? Kaks ristkülikut. See tähendab, et "lõigete" pindala on võrdne.

Paneme nüüd kõik kokku.

Muutame:

Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.

Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetria

Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:

Teravnurga siinus võrdub vastaskülje suhtega hüpotenuusiga

Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.

Teravnurga puutuja on võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega.

Teravnurga kotangens on võrdne külgneva külje ja vastaskülje suhtega.

Ja seda kõike veel kord tableti kujul:

See on väga mugav!

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

I. Kahel küljel

II. Jala ja hüpotenuusiga

III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi

IV. Mööda jalga ja teravnurka

a)

b)

Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid “sobivad”. Näiteks kui see läheb nii:

SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.

Vaja mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.

Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Vaadake teemat "ja pöörake tähelepanu sellele, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuseks peavad kolm nende elementi olema võrdsed: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja nendevaheline külg või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. Suurepärane, eks?

Ligikaudu sama on olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid

I. Mööda teravnurka

II. Kahelt poolt

III. Jala ja hüpotenuusiga

Mediaan täisnurkses kolmnurgas

Miks see nii on?

Täisnurkse kolmnurga asemel kaaluge tervet ristkülikut.

Joonistame diagonaali ja vaatleme punkti – diagonaalide lõikepunkti. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?

Ja mis sellest järeldub?

Nii selgus, et

1. - mediaan:

Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!

Veelgi üllatavam on see, et tõsi on ka vastupidine.

Mida head saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti

Vaata hoolega. Meil on: , see tähendab, et kaugused punktist kolmnurga kõigi kolme tipuni osutusid võrdseks. Kuid kolmnurgas on ainult üks punkt, mille kaugused kolmnurga kõigist kolmest tipust on võrdsed ja see on RINGRI KESK. Mis juhtus?

Nii et alustame sellest “pealegi...”.

Vaatame ja.

Kuid sarnastel kolmnurkadel on kõik võrdsed nurgad!

Sama võib öelda ja kohta

Nüüd joonistame selle koos:

Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest?

No näiteks - kaks valemit täisnurkse kolmnurga kõrguse kohta.

Paneme kirja vastavate osapoolte suhted:

Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":

Niisiis, rakendame sarnasust: .

Mis nüüd saab?

Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi:

Peate mõlemad valemid väga hästi meeles pidama ja kasutama mugavamat. Paneme need uuesti kirja

Pythagorase teoreem:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga: .

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:

• kahelt poolt:
• jala ja hüpotenuusiga: või
• piki jalga ja sellega külgnevat teravnurka: või
• piki jalga ja vastassuunas teravnurka: või
• hüpotenuusi ja teravnurga järgi: või.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid:

• üks terav nurk: või
• kahe jala proportsionaalsusest:
• jala ja hüpotenuusi proportsionaalsusest: või.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas

• Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:
• Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
• Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe:
• Täisnurkse kolmnurga teravnurga kootangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe: .

Täisnurkse kolmnurga kõrgus: või.

Täisnurkses kolmnurgas on täisnurga tipust tõmmatud mediaan võrdne poolega hüpotenuusist: .

Täisnurkse kolmnurga pindala:

• jalgade kaudu:

Elus peame sageli tegelema matemaatiliste probleemidega: koolis, ülikoolis ja seejärel lapse abistamisel kodutööde tegemisel. Teatud elukutsete esindajad puutuvad matemaatikaga iga päev kokku. Seetõttu on kasulik matemaatilisi reegleid pähe õppida või meelde tuletada. Selles artiklis vaatleme ühte neist: täisnurkse kolmnurga külje leidmist.

Mis on täisnurkne kolmnurk

Kõigepealt tuletagem meelde, mis on täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest segmendist, mis ühendavad punkte, mis ei asu samal sirgel, ja selle kujundi üks nurkadest on 90 kraadi. Täisnurga moodustavaid külgi nimetatakse jalgadeks ja täisnurga vastas asuvat külge nimetatakse hüpotenuusiks.

Täisnurkse kolmnurga jala leidmine

Jala pikkuse väljaselgitamiseks on mitu võimalust. Tahaksin neid üksikasjalikumalt käsitleda.

Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga külje leidmiseks

Kui teame hüpotenuusi ja jalga, saame Pythagorase teoreemi abil leida tundmatu jala pikkuse. See kõlab järgmiselt: "Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga." Valem: c²=a²+b², kus c on hüpotenuus, a ja b on jalad. Teisendame valemi ja saame: a²=c²-b².

Näide. Hüpotenuus on 5 cm ja jalg on 3 cm. Teisendame valemi: c²=a²+b² → a²=c²-b². Järgmisena lahendame: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonomeetrilised suhted täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Samuti võite leida tundmatu jala, kui on teada täisnurkse kolmnurga mõni teine ​​külg ja teravnurk. Jala leidmiseks trigonomeetriliste funktsioonide abil on neli võimalust: siinus, koosinus, puutuja, kotangens. Allolev tabel aitab meil probleeme lahendada. Vaatleme neid võimalusi.

Leidke siinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga siinus (sin) on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe. Valem: sin=a/c, kus a on antud nurga vastas olev jalg ja c hüpotenuus. Järgmiseks teisendame valemi ja saame: a=sin*c.

Näide. Hüpotenuus on 10 cm, nurk A on 30 kraadi. Tabeli abil arvutame nurga A siinuse, see on võrdne 1/2-ga. Seejärel lahendame teisendatud valemi abil: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Otsige koosinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga koosinus (cos) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Valem: cos=b/c, kus b on antud nurgaga külgnev jalg ja c on hüpotenuus. Teisendame valemi ja saame: b=cos*c.

Näide. Nurk A võrdub 60 kraadi, hüpotenuus on võrdne 10 cm Tabeli abil arvutame nurga A koosinuse, see võrdub 1/2. Järgmisena lahendame: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Leidke puutuja abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga puutuja (tg) on ​​vastaskülje ja külgneva külje suhe. Valem: tg=a/b, kus a on nurga vastaskülg ja b külgnev külg. Teisendame valemi ja saame: a=tg*b.

Näide. Nurk A võrdub 45 kraadi, hüpotenuus on võrdne 10 cm Tabeli abil arvutame nurga A puutuja, see on võrdne Lahenda: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Otsige kotangensi abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga kotangent (ctg) on ​​külgneva külje ja vastaskülje suhe. Valem: ctg=b/a, kus b on nurgaga külgnev jalg ja vastupidine jalg. Teisisõnu, kotangent on "pööratud puutuja". Saame: b=ctg*a.

Näide. Nurk A on 30 kraadi, vastasjalg on 5 cm. Nurga A puutuja on tabeli järgi √3. Arvutame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Nüüd teate, kuidas leida jalg täisnurksest kolmnurgast. Nagu näete, pole see nii keeruline, peamine on valemeid meeles pidada.

Trigonomeetria on matemaatikateaduse haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetria areng algas Vana-Kreekas. Keskajal andsid Lähis-Ida ja India teadlased selle teaduse arengusse olulise panuse.

See artikkel on pühendatud trigonomeetria põhimõistetele ja määratlustele. Selles käsitletakse trigonomeetriliste põhifunktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Nende tähendust selgitatakse ja illustreeritakse geomeetria kontekstis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Esialgu väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, täisnurkse kolmnurga külgede suhtena.

Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid

Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.

Nurga koosinus (cos α) - külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Nurga puutuja (t g α) - vastaskülje ja külgneva külje suhe.

Nurga kotangent (c t g α) - külgneva külje ja vastaskülje suhe.

Need definitsioonid on antud täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta!

Toome näite.

Täisnurgaga C kolmnurgas ABC on nurga A siinus võrdne jala BC ja hüpotenuusi AB suhtega.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused võimaldavad teil arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.

Oluline meeles pidada!

Siinuse ja koosinuse väärtuste vahemik on -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja kotangensi väärtuste vahemik on kogu arvurida, see tähendab, et need funktsioonid võivad omandada mis tahes väärtused.

Ülaltoodud määratlused kehtivad teravnurkade kohta. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtus erinevalt teravnurgast ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadi Pöörlemisnurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga vahemikus - ∞ kuni + ∞ .

Selles kontekstis saame defineerida suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutagem ette ühikringi, mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi algpunktis.

Algpunkt A koordinaatidega (1, 0) pöörleb ümber ühikuringi keskpunkti teatud nurga α kaudu ja läheb punkti A 1. Määratlus on antud punkti A 1 (x, y) koordinaatidena.

Pöörlemisnurga siinus (sinus).

Pöördenurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sin α = y

Pöörlemisnurga koosinus (cos).

Pöördenurga α koosinus on punkti A abstsiss 1 (x, y). cos α = x

Pöördenurga puutuja (tg).

Pöörlemisnurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x

Pöördenurga kotangent (ctg).

Pöördenurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi suhe selle ordinaadiga. c t g α = x y

Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest punkti abstsissi ja ordinaati saab pärast pöörlemist määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutuja on määratlemata, kui punkt pärast pööramist läheb punkti, mille abstsiss on null (0, 1) ja (0, - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat läheb nulli.

Oluline meeles pidada!

Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.

Puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kootangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Praktiliste näidete lahendamisel ära ütle “pöördenurga α siinus”. Sõnad "pöördenurk" on lihtsalt välja jäetud, mis viitab sellele, et kontekstist on juba selge, millest arutatakse.

Numbrid

Aga arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon, mitte pöördenurk?

Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.

Näiteks arvu 10 siinus π võrdub pöördenurga siinusega 10 π rad.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. Vaatame seda lähemalt.

Mis tahes reaalarv tühikringi punkt on seotud ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu.

Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1, 0).

Positiivne number t

Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu lähtepunkt läheb, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läbib tee t.

Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, liigume edasi siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni juurde.

Siinus (patt) t-st

Arvu siinus t- numbrile vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y

Koosinus (cos) t-st

Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x

t puutuja (tg).

Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe t. t g t = y x = sin t cos t

Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva lõigu alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt numbrile vastaval ringil t, langeb kokku punktiga, kuhu lähtepunkt läheb pärast nurga võrra pööramist t radiaan.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Nurga α iga väärtus vastab selle nurga siinuse ja koosinuse teatud väärtusele. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° k, vastavad k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) teatud puutuja väärtusele. Nagu eespool öeldud, on kotangent defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Võime öelda, et sin α, cos α, t g α, c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi saame rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist kui arvulise argumendi funktsioonidest. Iga reaalne arv t vastab arvu siinuse või koosinuse teatud väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k, k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Samamoodi on kotangent defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k, k ∈ Z.

Trigonomeetria põhifunktsioonid

Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt on kontekstist selge, millise trigonomeetrilise funktsiooni argumendiga (nurkargumendiga või numbriargumendiga) tegemist on.

Tuleme tagasi alguses antud definitsioonide ja alfanurga juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi trigonomeetrilised määratlused on täielikult kooskõlas täisnurkse kolmnurga kuvasuhetega antud geomeetriliste definitsioonidega. Näitame seda.

Võtame ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis keskpunktiga ühikringi. Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) abstsissteljega risti. Saadud täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 O H võrdne pöördenurgaga α, jala pikkus O H võrdub punkti A 1 (x, y) abstsissiga. Nurga vastas oleva jala pikkus võrdub punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.

Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastaskülje ja hüpotenuusi suhtega.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Alustame trigonomeetria uurimist täisnurkse kolmnurgaga. Määratleme, mis on siinus ja koosinus, samuti teravnurga puutuja ja kotangens. See on trigonomeetria põhitõed.

Tuletame teile seda meelde täisnurk on nurk 90 kraadi. Ehk siis pool pöördenurka.

Terav nurk- vähem kui 90 kraadi.

Nürinurk- üle 90 kraadi. Seoses sellise nurgaga pole "nüri" solvang, vaid matemaatiline termin :-)

Joonistame täisnurkse kolmnurga. Täisnurka tähistatakse tavaliselt tähisega . Pange tähele, et nurga vastaskülg on tähistatud sama tähega, ainult väikese tähega. Seega on vastasnurk A tähistatud .

Nurka tähistatakse vastava kreeka tähega.

Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga külg on täisnurga vastaskülg.

Jalad- teravnurkade vastas olevad küljed.

Nurga vastas asetsevat jalga nimetatakse vastupidine(nurga suhtes). Teist jalga, mis asub nurga ühel küljel, nimetatakse külgnevad.

Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:

Koosinus täisnurkse kolmnurga teravnurk - külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:

Tangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - vastaskülje ja külgneva külje suhe:

Teine (ekvivalentne) määratlus: teravnurga puutuja on nurga siinuse ja koosinuse suhe:

Kotangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - külgneva külje ja vastaskülje suhe (või, mis on sama, koosinuse ja siinuse suhe):

Märkige allpool siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi põhiseosed. Need on meile probleemide lahendamisel kasulikud.

Tõestame mõnda neist.

Olgu, oleme andnud definitsioonid ja kirja pannud valemid. Aga miks on meil ikkagi vaja siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti?

Me teame seda mis tahes kolmnurga nurkade summa on võrdne.

Me teame omavahelist suhet peod täisnurkne kolmnurk. See on Pythagorase teoreem: .

Selgub, et teades kolmnurga kahte nurka, võite leida kolmanda. Teades täisnurkse kolmnurga kahte külge, saate leida kolmanda. See tähendab, et nurkadel on oma suhe ja külgedel oma. Aga mida teha, kui täisnurksel kolmnurgal on teada üks nurk (v.a täisnurk) ja üks külg, kuid on vaja leida teised küljed?

Seda kohtasid inimesed minevikus piirkonna ja tähistaeva kaarte koostades. Lõppude lõpuks ei ole alati võimalik kolmnurga kõiki külgi otse mõõta.

Siinus, koosinus ja puutuja – neid nimetatakse ka trigonomeetrilised nurgafunktsioonid- anda vahelisi suhteid peod Ja nurgad kolmnurk. Nurka teades leiate spetsiaalsete tabelite abil kõik selle trigonomeetrilised funktsioonid. Ja teades kolmnurga ja selle ühe külje nurkade siinusi, koosinusi ja puutujaid, leiate ka ülejäänud.

Samuti koostame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste tabeli "heade" nurkade jaoks alates kuni.

Pange tähele kahte punast kriipsu tabelis. Sobivate nurgaväärtuste korral puutujat ja kotangenti ei eksisteeri.

Vaatame mitmeid FIPI Task Banki trigonomeetriaülesandeid.

1. Kolmnurga nurk on , . Leia .

Probleem lahendatakse nelja sekundiga.

Kuna , .

2. Kolmnurgas on nurk , , . Leia .

Leiame selle Pythagorase teoreemi abil.

Probleem on lahendatud.

Sageli on ülesannetes kolmnurgad nurkade ja või nurkadega ja. Pea meeles nende põhisuhted peast!

Nurkadega kolmnurga ja nurga vastas olev jalg on võrdne pool hüpotenuusist.

Nurkadega kolmnurk, mis on võrdhaarne. Selles on hüpotenuus korda suurem kui jalg.

Vaatlesime ülesandeid täisnurksete kolmnurkade lahendamisel – ehk siis tundmatute külgede või nurkade leidmisel. Kuid see pole veel kõik! Matemaatika ühtsel riigieksamil on palju probleeme, mis hõlmavad kolmnurga välisnurga siinust, koosinust, puutujat või kotangenti. Lisateavet selle kohta järgmises artiklis.