Valla eelarveline õppeasutus
keskmine üldhariduslik kool №13
"Tükkide kaupa funktsioonid"
Sapogova Valentina ja
Donskaja Aleksandra
Peakonsultant:
Berdsk
1. Peamiste eesmärkide ja eesmärkide kindlaksmääramine.
2. Küsimustik.
2.1. Töö asjakohasuse määramine
2.2. Praktiline tähtsus.
3. Funktsioonide ajalugu.
4. Üldised omadused.
5. Funktsioonide määramise meetodid.
6. Ehitusalgoritm.
8. Kasutatud kirjandus.
1. Peamiste eesmärkide ja eesmärkide kindlaksmääramine.
Sihtmärk:
Leia viis, kuidas lahendada tükikaupa funktsioone ja selle põhjal koostada nende ehitamise algoritm.
Ülesanded:
Tundma õppima üldine kontseptsioon tükkhaaval funktsioonidest;
Uurige välja mõiste "funktsioon" ajalugu;
Viia läbi küsitlus;
Tuvastage viisid, kuidas määrata osade kaupa funktsioone;
Loo nende ehitamiseks algoritm;
2. Küsimustik.
Gümnaasiumiõpilaste seas viidi läbi küsitlus nende oskuste kohta konstrueerida tükipõhiseid funktsioone. Vastajaid oli kokku 54 inimest. Neist 6% lõpetas töö täielikult. 28% said töö valmis, kuid teatud vigadega. 62% ei suutnud tööd lõpetada, kuigi nad tegid mõned katsed ja ülejäänud 4% ei alustanud üldse tööd.
Sellest küsitlusest võime järeldada, et meie kooli õpilastel, kes programmis osalevad, puudub piisav teadmistebaas, kuna antud autor ei pööra tähelepanu erilist tähelepanu sedalaadi ülesannete jaoks. Sellest tuleneb asjakohasus ja praktiline tähtsus meie töö.
2.1. Töö asjakohasuse määramine.
Asjakohasus:
Tükkide kaupa funktsioone leidub nii GIA-s kui ka ühtsel riigieksamil; seda tüüpi funktsioone sisaldavad ülesanded saavad 2 või enama punkti. Seetõttu võib teie hinnang sõltuda nende otsusest.
2.2. Praktiline tähtsus.
Meie töö tulemuseks on tükkhaaval funktsioonide lahendamise algoritm, mis aitab mõista nende konstruktsiooni. Ja see suurendab teie võimalusi saada eksamil soovitud hinne.
3. Funktsioonide ajalugu.
“Algebra 9. klass” jne;
Tükkide kaupa määratletud funktsioonide järjepidevus ja graafik – keeruline teema. Graafikute koostamist on parem õppida otse praktilises tunnis. See on peamiselt järjepidevusuuring.
On teada, et elementaarne funktsioon(vt lk 16) on pidev kõigis punktides, kus see on määratletud. Seetõttu katkestus sisse elementaarsed funktsioonid võimalik ainult kahte tüüpi punktides:
a) kohtades, kus funktsioon on "uuesti määratletud";
b) punktides, kus funktsiooni ei eksisteeri.
Sellest lähtuvalt kontrollitakse uuringu käigus ainult selliste punktide järjepidevust, nagu on näidatud näidetes.
Mitteelementaarfunktsioonide puhul on uuring keerulisem. Näiteks funktsioon (arvu täisarvuline osa) on määratletud tervel arvureal, kuid igal täisarvul on katkestus x. Sellised küsimused ei kuulu käsiraamatu reguleerimisalasse.
Enne materjaliga tutvumist tuleks loengust või õpikust üle korrata, millised (millised) vahepunktid seal on.
Tükkide kaupa defineeritud järjepidevuse funktsioonide uurimine
Funktsioonide komplekt tükkhaaval kui ta on sisse lülitatud erinevad valdkonnad määratluspiirkond on antud erinevad valemid.
Peamine mõte selliste funktsioonide uurimisel on välja selgitada, kas ja kuidas funktsioon on määratletud punktides, kus see uuesti defineeritakse. Seejärel kontrollib see, kas sellistest punktidest vasakul ja paremal asuvad funktsiooni väärtused on samad.
Näide 1. Näitame, et funktsioon 
pidev.
Funktsioon 
on elementaarne ja seetõttu pidev punktides, kus see on määratletud. Kuid ilmselgelt on see kõigis punktides määratletud. Järelikult on see pidev kõigis punktides, sealhulgas kell 
, nagu tingimus nõuab.
Sama kehtib ka funktsiooni kohta 
, ja kell 
see on pidev.
Sellistel juhtudel võib järjepidevuse katkeda ainult siis, kui funktsioon on tühistatud. Meie näites on see punkt 
. Kontrollime seda, mille jaoks leiame piirangud vasakult ja paremalt:
Piirangud vasakul ja paremal on samad. Jääb üle oodata:
a) kas funktsioon on defineeritud punktis endas? 
;
b) kui jah, kas see sobib 
piirväärtustega vasakul ja paremal.
Tingimusel, kui 
, See 
. Sellepärast 
.
Näeme seda (kõik on võrdsed arvuga 2). See tähendab, et hetkel 
funktsioon on pidev. Seega on funktsioon pidev piki kogu telge, sealhulgas punkti 
.
Kommentaarid otsuse kohta
a) see ei mänginud arvutustes rolli, asendaja meil on konkreetne arvuvalem 
või 
. See on tavaliselt oluline lõpmatu väikese arvuga jagamisel, kuna see mõjutab lõpmatuse märki. Siin samas 
Ja 
vastutavad ainult funktsioonide valik;
b) reeglina tähistused 
Ja 
on võrdsed, kehtib sama ka nimetuste kohta 
Ja 
(ja kehtib iga punkti jaoks, mitte ainult 
). Allpool kasutame lühiduse huvides vormi tähistust 
;
c) kui piirangud vasakul ja paremal on võrdsed, jääb järjepidevuse kontrollimiseks üle vaadata, kas üks ebavõrdsustest on mitte range. Näites osutus see 2. võrratuseks.
Näide 2. Uurime funktsiooni järjepidevuse jaoks 
.
Samadel põhjustel nagu näites 1 saab järjepidevust katkestada ainult punktis 
. Kontrollime:
Piirid vasakul ja paremal on võrdsed, kuid samas punktis 
funktsioon ei ole defineeritud (ebavõrdsused on ranged). See tähendab et 
- punkt parandatav vahe.
"Eemaldatav vahe" tähendab, et piisab, kui muuta mõni ebavõrdsus mitterangeks või leiutada see eraldi punkti jaoks 
funktsioon, mille väärtus on 
võrdub –5 või lihtsalt osutage sellele 
nii et kogu funktsioon 
muutus pidevaks.
Vastus: punkt 
– eemaldatav katkestuspunkt.
Märkus 1. Kirjanduses käsitletakse eemaldatavat pilu tavaliselt 1. tüüpi pilu erijuhtumina, kuid õpilased mõistavad seda sagedamini kui eraldi tüüp rebend. Lahknevuste vältimiseks järgime 1. seisukohta ja sätestame spetsiaalselt 1. tüüpi "eemaldamatu" vahe.
Näide 3. Kontrollime, kas funktsioon on pidev 
Punktis 
Vasakul ja paremal olevad piirangud on erinevad: 
. Olenemata sellest, kas funktsioon on defineeritud aadressil 
(jah) ja kui jah, siis millega see on võrdne (võrdne 2-ga), punkt 
–1. tüüpi eemaldamatu katkestuse punkt.
Punktis 
juhtub viimane hüpe(1 kuni 2).
Vastus: punkt 
Märkus 2. Selle asemel 
Ja 
tavaliselt kirjutada 
Ja 
vastavalt.
Saadaval küsimus: kuidas funktsioonid erinevad
Ja 
,
ja ka nende graafikud? Õige vastus:
a) 2. funktsioon ei ole punktis määratletud 
;
b) 1. funktsioonipunkti graafikul 
"varjutatud", 2. graafikul - mitte ("punkteeritud punkt").
Punkt 
, kus graafik katkeb 
, ei ole mõlemal graafikul varjutatud.
Erinevalt defineeritud funktsioone on keerulisem uurida kolm alad.
Näide 4. Kas funktsioon on pidev? 
?
Nii nagu näidetes 1–3, kõik funktsioonid 
,
Ja 
on pidev piki kogu arvtelge, kaasa arvatud ala, kus see on määratud. Katkestamine on võimalik ainult punktis 
ja/või punktis 
, kus funktsioon on tühistatud.
Ülesanne on jagatud 2 alamülesandeks: uurige funktsiooni järjepidevust
Ja 
,
ja periood 
ei paku funktsioonile huvi 
, ja punkt 
- funktsiooni jaoks 
.
1. samm. Punkti kontrollimine 
ja funktsioon 
(me ei kirjuta indeksit):
Piirid on samad. Tingimuste järgi, 
(kui vasakul ja paremal olevad piirid on võrdsed, siis tegelikult on funktsioon pidev, kui üks ebavõrdsustest ei ole range). Niisiis, punktis 
funktsioon on pidev.
2. samm. Punkti kontrollimine 
ja funktsioon 
:
Kuna 
, punkt 
– esimest tüüpi katkestuspunkt ja väärtus 
(ja kas see on üldse olemas) ei mängi enam rolli.
Vastus: funktsioon on pidev kõigis punktides peale punkti 
, kus esineb esimest tüüpi eemaldamatu katkestus – hüpe 6-lt 4-le.
Näide 5. Otsige funktsiooni murdepunkte 
.
Jätkame sama skeemi järgi nagu näites 4.
1. samm. Punkti kontrollimine 
:
A) 
, kuna vasakul 
funktsioon on konstantne ja võrdne 0-ga;
b) ( 
– ühtlane funktsioon).
Piirid on samad, aga millal 
funktsiooni ei määratle tingimus ja selgub, et see 
– eemaldatav katkestuspunkt.
2. samm. Punkti kontrollimine 
:
A) 
;
b) 
– funktsiooni väärtus ei sõltu muutujast.
Piirangud on erinevad: 
, punkt 
– 1. tüüpi eemaldamatu katkestuse punkt.
Vastus:
- eemaldatav katkestuspunkt, 
on 1. tüüpi eemaldamatu katkestuse punkt, teistes punktides on funktsioon pidev.
Näide 6. Kas funktsioon on pidev? 
?
Funktsioon 
määratud kl 
, seega tingimus 
muutub tingimuseks 
.
Teisest küljest funktsioon 
määratud kl 
, st. juures 
. Seega tingimus 
muutub tingimuseks 
.
Selgub, et tingimus peab olema täidetud 
, ja kogu funktsiooni määratluspiirkond on segment 
.
Funktsioonid ise 
Ja 
on elementaarsed ja seetõttu pidevad kõigis punktides, kus nad on määratletud – eelkõige ja punktides 
.
Jääb üle kontrollida, mis hetkel toimub 
:
A) 
;
Kuna 
, vaadake, kas funktsioon on punktis määratletud 
. Jah, 1. ebavõrdsus on suhteliselt nõrk 
, ja sellest piisab.
Vastus: funktsioon on määratletud intervallil 
ja on sellel pidev.
Keerulisemad juhud, kui üks komponendi funktsioon ei ole elementaarne või pole selle segmendi üheski punktis määratletud, ei kuulu juhendi reguleerimisalasse.
NF1. Funktsioonide graafikute koostamine. Pange tähele, kas funktsioon on määratletud hetkel, kus seda uuesti määratletakse, ja kui jah, siis mis on funktsiooni väärtus (sõna " Kui" jäetakse funktsiooni määratlusest lühiduse huvides välja):
1) a) 
b) 
V) 
G) 
2) a) 
b) 
V) 
G) 
3) a) 
b) 
V) 
G) 
4) a) 
b) 
V) 
G) 
Näide 7. Lase 
. Siis kohapeal 
ehitada horisontaalne joon 
, ja saidil 
ehitada horisontaalne joon 
. Sel juhul punkt koordinaatidega 
"torgatud" ja punkt 
"üle värvitud". Punktis 
saadakse esimest tüüpi katkestus (“hüpe”) ja 
.
NF2. Uurige 3 intervallil erinevalt defineeritud funktsioonide järjepidevust. Joonistage graafikud:
1) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
2) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
3) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
Näide 8. Lase 
. Asukoht sisse lülitatud 
ehitada sirgjoont 
, miks me leiame 
Ja 
. Punktide ühendamine 
Ja 
segment. Me ei lisa punkte ise, sest millal 
Ja 
funktsioon ei ole tingimusega määratletud.
Asukoht sisse lülitatud 
Ja 
ring ümber OX-telje (sellel 
), aga punktid 
Ja 
"välja kaevatud." Punktis 
saame eemaldatava pilu ja punktis 
– 1. tüüpi katkestus (“hüpe”).
NF3. Joonistage funktsioonid ja veenduge, et need on pidevad:
1) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
2) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
NF4. Veenduge, et funktsioonid oleksid pidevad ja joonistage need graafikule:
1) a) 
b) 
V) 
2 a) 
b) 
V) 
3) a) 
b) 
V) 
NF5. Funktsioonide graafikute koostamine. Pange tähele järjepidevust:
1) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
2) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
3) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
4) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
5) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
NF6. Ehitage katkendlike funktsioonide graafikud. Märkige üles funktsiooni väärtus kohas, kus funktsioon alistatakse (ja kas see on olemas):
1) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
2) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
3) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
4) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
5) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
NF7. Sama ülesanne mis NF6-s:
1) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
2) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
3) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
4) a) 
b) 
V) 
G) 
d) 
e) 
Diagrammid tükikaupa antud funktsioonid
Murzalieva T.A. õpetaja matemaatikud MBOU"Bori keskkool" Boksitogorski rajoon Leningradi piirkond
Sihtmärk:
- valdama lineaarse splaini meetodit moodulit sisaldavate graafikute koostamiseks;
- õppida seda lihtsates olukordades rakendama.
Under splain(inglise splainist - plank, rail) mõistetakse tavaliselt tükikaupa etteantud funktsioonina.
Sellised funktsioonid on matemaatikutele teada olnud pikka aega, alustades Eulerist (1707-1783, Šveitsi, Saksa ja Vene matemaatik), aga nende intensiivne õpe sai alguse tegelikult alles 20. sajandi keskel.
1946. aastal Isaac Schoenberg (1903-1990, Rumeenia ja Ameerika matemaatik) kasutate seda terminit esimest korda. Alates 1960. aastast koos arendusega arvutitehnoloogia aastal hakkas splaine kasutama arvutigraafika ja modelleerimine.
1 . Sissejuhatus
2. Lineaarse splaini definitsioon
3. Mooduli definitsioon
4. Graafiku tegemine
Funktsioonide üks peamisi eesmärke on kirjeldamine reaalsed protsessid looduses esinev.
Kuid pikka aega on teadlased - filosoofid ja loodusteadlased - tuvastanud kahte tüüpi protsesse: järkjärguline ( pidev ) Ja spasmiline.
Kui keha kukub maapinnale, tekib see kõigepealt pidev kasv sõidukiirus , ja maapinnaga kokkupõrke hetkel kiirus muutub järsult , saamine võrdne nulliga või suuna (märgi) muutmine, kui keha “põrkab” maapinnast (näiteks kui keha on pall).
Kuid kuna on katkendlikke protsesse, siis on vaja vahendeid nende kirjeldamiseks. Selleks tutvustatakse funktsioone, millel on rebendid .
a - valemiga y = h(x) ja eeldame, et kõik funktsioonid g(x) ja h(x) on defineeritud kõigi x väärtuste jaoks ja neil pole katkestusi. Siis, kui g(a) = h(a), siis funktsioonil f(x) on hüpe x=a; kui g(a) = h(a) = f(a), siis "kombineeritud" funktsioonil f ei ole katkestusi. Kui mõlemad funktsioonid g ja h on elementaarfunktsioonid, nimetatakse f-i tükipõhiselt elementaarseks. "laius = 640" - Üks võimalus selliste katkestuste sisseviimiseks on järgmine:
Lase funktsiooni y = f(x)
juures x on määratletud valemiga y = g(x),
ja millal xa - valem y = h(x), ja me kaalume et iga funktsioon g(x) Ja h(x) on määratletud kõigi x väärtuste jaoks ja sellel pole katkestusi.
Siis , Kui g(a) = h(a), siis funktsioon f(x) on kell x=a hüpata;
kui g(a) = h(a) = f(a), siis funktsioon "kombineeritud". f pause pole. Kui mõlemad funktsioonid g Ja h elementaarne, See f nimetatakse tükikaupa elementaarne.
Diagrammid pidevad funktsioonid
Joonistage funktsiooni graafik:
Y = |X-1| + 1
X=1 – valemi muutmise punkt
Sõna "moodul" tuli Ladina sõna"moodul", mis tähendab "mõõta".
Arvude moodul A helistas vahemaa (üksikutes segmentides) lähtepunktist punkti A ( A) .
See määratlus paljastab geomeetriline tähendus moodul.
Moodul (absoluutväärtus ) reaalarv A helistatakse samale numbrile A≥ 0 ja vastupidine number -A, kui a
0 või x=0 y = -3x -2 x "laius = 640" juures Joonistage funktsiooni graafik y = 3|x|-2.
Mooduli definitsiooni järgi on meil: 3x – 2 x0 või x=0 juures
-3x -2 x juures
x n) "laius = 640" . Olgu antud x 1 X 2 X n – valemite muutumise punktid tükikaupa elementaarfunktsioonides.
Kõigi x jaoks määratletud funktsiooni f nimetatakse tükikaupa lineaarseks, kui see on lineaarne igal intervallil
ja pealegi on täidetud koordinatsioonitingimused ehk valemite muutmise punktides funktsioon ei kannata katkemist.
Pidev tükkhaaval lineaarne funktsioon helistas lineaarne splain . Tema ajakava Seal on polüline kahe lõpmatusega äärmuslikud lingid – vasakule (vastab väärtustele x n ) ja õige ( vastavad väärtused x x n )
Tükkide kaupa elementaarfunktsiooni saab defineerida rohkem kui kahe valemiga
Ajakava – katkendlik joon kahe lõpmatu äärmusliku lüliga - vasak (x1).
Y=|x| - |x – 1|
Valemi muutmise punktid: x=0 ja x=1.
Y(0) = -1, y (1) = 1.
Mugav on joonistada tükkhaaval lineaarse funktsiooni graafik, osutades peal koordinaattasand katkendjoone tipud.
Lisaks ehitamisele n tipud peaksid ehitada Samuti kaks punkti : üks tipust vasakul A 1 ( x 1; y ( x 1)), teine - ülaosast paremal An ( xn ; y ( xn )).
Pange tähele, et katkendlikku tükkhaaval lineaarset funktsiooni ei saa esitada binoommoodulite lineaarse kombinatsioonina .
Joonistage funktsiooni graafik y = x+ |x -2| - |X|.
Pidevat tükkhaaval lineaarset funktsiooni nimetatakse lineaarseks splainiks
1. Valemite muutmise punktid: X-2=0, X=2 ; X = 0
2. Teeme tabeli:
U( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;
y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;
juures (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;
y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .
Koostage funktsiooni y = |x+1| graafik +|x| – |x -2|.
1 .Punktid valemite muutmiseks:
x+1=0, x=-1 ;
x=0 ; x-2 = 0, x=2.
2 . Teeme tabeli:
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
|x – 1| = |x + 3|
Lahenda võrrand:
Lahendus. Vaatleme funktsiooni y = |x -1| - |x +3|
Koostame funktsiooni graafiku /kasutades lineaarse splaini meetodit/
- Valemi muutmise punktid:
x-1 = 0, x = 1; x + 3 =0, x = -3.
2. Teeme tabeli:
y(- 4) =|- 4-1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1 = 4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;
y(-1) = 0.
y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = – 4.
Vastus: -1.
1. Koostage lineaarse splaini meetodi abil tükikaupa lineaarsete funktsioonide graafikud:
y = |x – 3| + |x|;
1). Valemi muutmise punktid:
2). Teeme tabeli:
2. Koostada funktsioonide graafikud kasutades õppevahendit “Elav matemaatika” »
A) y = |2x – 4| + |x +1|
1) Valemi muutmise punktid:
2) y() =
B) Koostage funktsioonigraafikud, looge muster :
a) y = |x – 4| b) y = |x| +1
y = |x + 3| y = |x| - 3
y = |x – 3| y = |x| - 5
y = |x + 4| y = |x| + 4
Kasutage tööriistariba tööriistu Punkt, joon ja nool.
1. Menüü "Diagrammid".
2. Vahekaart „Graafiku koostamine”.
.3. Seadistage aknas "Kalkulaator" valem.
Joonistage funktsiooni graafik:
1) Y = 2x + 4
1. Kozina M.E. Matemaatika. 8-9 klassid: kollektsioon valikkursused. – Volgograd: Õpetaja, 2006.
2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Algebra: õpik. 7. klassi jaoks. Üldharidus asutused / toim. S. A. Teljakovski. – 17. väljaanne. – M.: Haridus, 2011
3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Algebra: õpik. 8. klassi jaoks. Üldharidus asutused / toim. S. A. Teljakovski. – 17. väljaanne. – M.: Haridus, 2011
4. Vikipeedia, vaba entsüklopeedia
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.
Õpik: Algebra 8. klass, toimetanud A. G. Mordkovich.
Tunni tüüp: Uute teadmiste avastamine.
Eesmärgid:
õpetaja jaoks eesmärgid fikseeritakse igas tunni etapis;
õpilase jaoks:
Isiklikud eesmärgid:
- Õppige selgelt, täpselt, asjatundlikult väljendama oma mõtteid verbaalselt ja kirjutamine, mõista ülesande tähendust;
- Õppida rakendama omandatud teadmisi ja oskusi uute probleemide lahendamisel;
- Õppida kontrollima oma tegevuse protsessi ja tulemusi;
Meta-aine eesmärgid:
Kognitiivses tegevuses:
- Areng loogiline mõtlemine ja kõne, oskus oma hinnanguid loogiliselt põhjendada ja lihtsaid süstematiseerimisi läbi viia;
- Õppige püstitama hüpoteese, millal probleemi lahendamine, mõistab nende kontrollimise vajadust;
- Rakendada teadmisi standardsituatsioonis, õppida iseseisvalt ülesandeid täitma;
- Kanna teadmisi muutunud olukorda, näe ülesannet probleemsituatsiooni kontekstis;
Teabe- ja kommunikatsioonitegevuses:
- Õppida dialoogi pidama, tunnustama õigust teistsugusele arvamusele;
Peegeldustegevuses:
- Õppige ette nägema võimalikud tagajärjed teie tegevused;
- Õppige kõrvaldama raskuste põhjuseid.
Õppeaine eesmärgid:
- Uurige, mis on tükipõhine funktsioon;
- Õppige defineerima osade kaupa antud funktsiooni analüütiliselt selle graafikust;
Tundide ajal
1. Enesemääramine haridustegevus
Lava eesmärk:
- kaasata õpilasi õppetegevustesse;
- määrake tunni sisu: jätkame arvuliste funktsioonide teema kordamist.
Organisatsioon haridusprotsess etapis 1:
T: Mida me eelmistes tundides tegime?
D: Kordasime numbriliste funktsioonide teemat.
U: Täna jätkame eelmiste tundide teema kordamist ja täna peame välja selgitama, mida uut selles teemas õppida saame.
2. Teadmiste uuendamine ja tegevustes esinevate raskuste fikseerimine
Lava eesmärk:
- värskendada hariv sisu, vajalik ja piisav uue materjali tajumiseks: jäta meelde valemid numbrilised funktsioonid, nende omadused ja ehitusviisid;
- värskendada vaimsed operatsioonid, vajalik ja piisav uue materjali tajumiseks: võrdlus, analüüs, üldistus;
- fikseerige individuaalne raskus tegevuses, mis seda isiklikult demonstreerib märkimisväärsel tasemel olemasolevate teadmiste puudulikkus: tükikaupa antud funktsiooni analüütiline täpsustamine, samuti selle graafiku koostamine.
Haridusprotsessi korraldamine etapis 2:
T: Slaid näitab viit numbrilist funktsiooni. Määrake nende tüüp.
1) murd-ratsionaalne;
2) ruutkeskmine;
3) irratsionaalne;
4) funktsioon koos mooduliga;
5) rahusti.
T: Nimetage neile vastavad valemid.
3) 
;
4) 
;
U: Arutame, millist rolli mängib iga koefitsient nendes valemites?
D: Muutujad "l" ja "m" vastutavad nende funktsioonide graafikute nihutamise eest vastavalt vasakule - paremale ja üles - alla, koefitsient "k" esimeses funktsioonis määrab hüperbooli harude asukoha: k> 0 - oksad on I ja III kvartalis, k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - oksad on suunatud ülespoole ja< 0 - вниз).
2. Slaid 2
U: Määratlege analüütiliselt funktsioonid, mille graafikud on näidatud joonistel. (arvestades, et nad liiguvad y=x2). Õpetaja kirjutab vastused tahvlile.
D: 1) 
);
2)
;
3. Slaid 3
U: Määratlege analüütiliselt funktsioonid, mille graafikud on näidatud joonistel. (arvestades, et nad liiguvad). Õpetaja kirjutab vastused tahvlile.
4. Slaid 4
U: Kasutades eelmisi tulemusi, defineerige analüütiliselt funktsioonid, mille graafikud on joonistel näidatud.
3. Raskuste põhjuste väljaselgitamine ja tegevusele eesmärkide seadmine
Lava eesmärk:
- korraldada suhtlust, mille käigus eristav omadusõppetegevuses raskusi põhjustanud ülesanne;
- leppida kokku tunni eesmärk ja teema.
Haridusprotsessi korraldamine etapis 3:
T: Mis sulle raskusi tekitab?
D: Ekraanil kuvatakse graafikutükid.
T: Mis on meie tunni eesmärk?
D: õppige funktsioonide osi analüütiliselt määratlema.
T: Sõnastage tunni teema. (Lapsed püüavad teemat iseseisvalt sõnastada. Õpetaja teeb selgeks. Teema: Tükkide kaupa antud funktsioon.)
4. Projekti koostamine raskusest väljumiseks
Lava eesmärk:
- organiseerima kommunikatiivset suhtlust uue loomiseks toimeviis, tuvastatud raskuse põhjuse kõrvaldamine;
- parandada uus viis tegevused.
Haridusprotsessi korraldamine etapis 4:
T: Loeme ülesande uuesti hoolikalt läbi. Milliseid tulemusi palutakse abina kasutada?
D: Eelmised, st. need, mis on tahvlile kirjutatud.
U: Võib-olla on need valemid juba selle ülesande vastus?
D: Ei, sest need valemid määratlevad ruut- ja ratsionaalne funktsioon, ja slaidil kuvatakse nende osad.
U: Arutame, millised x-telje intervallid vastavad esimese funktsiooni tükkidele?
U: Siis analüütiline meetod esimese funktsiooni määramine näeb välja järgmine: kui
T: Mida on vaja teha sarnase ülesande täitmiseks?
D: Kirjutage valem üles ja määrake, millised abstsisstelje intervallid vastavad selle funktsiooni osadele.
5. Esmane konsolideerumine väliskõnes
Lava eesmärk:
- fikseerima õpitud õppesisu väliskõnes.
Haridusprotsessi korraldamine etapis 5:
7. Teadmiste süsteemi kaasamine ja kordamine
Lava eesmärk:
- koolitada oskusi uue sisu kasutamiseks koos varem õpitud sisuga.
Haridusprotsessi korraldamine etapis 7:
U: defineerige analüütiliselt funktsioon, mille graafik on näidatud joonisel.
8. Tegevuste refleksioon tunnis
Lava eesmärk:
- jäädvustada tunnis õpitud uut sisu;
- hinnata oma tegevust tunnis;
- tänada oma klassikaaslasi, kes aitasid tunni tulemusi saada;
- fikseerige lahendamata raskused tulevaste õppetegevuste suunistena;
- arutage ja kirjutage kodutööd üles.
Haridusprotsessi korraldamine etapis 8:
T: Mida me täna tunnis õppisime?
D: Tükkide kaupa antud funktsiooniga.
T: Mis tööd me täna tegema õppisime?
D: Küsi seda tüüpi toimib analüütiliselt.
T: Tõstke käsi, kes sai tänase tunni teemast aru? (Arutage tekkinud probleeme teiste lastega).
Kodutöö
- nr 21.12(a, c);
- nr 21.13(a, c);
- №22.41;
- №22.44.
Looduses toimuvaid reaalseid protsesse saab kirjeldada funktsioonide abil. Seega võime eristada kahte peamist protsesside tüüpi, mis on üksteisele vastandlikud - need on järkjärguline või pidev Ja spasmiline(näiteks pall, mis langeb ja põrkab). Aga kui on katkendlikke protsesse, siis neid on erilised vahendid nende kirjeldamiseks. Selleks tutvustatakse funktsioone, millel on katkestusi ja hüppeid, st arvurea erinevates osades käitub funktsioon erinevate seaduste järgi ja vastavalt sellele on määratud erinevate valemitega. Tutvustatakse katkestuspunktide ja eemaldatava katkestuse mõisteid.
Kindlasti olete juba kohanud funktsioone, mis on määratletud mitme valemiga, sõltuvalt argumendi väärtustest, näiteks:
y = (x – 3, kui x > -3;
(-(x – 3), punktis x< -3.
Selliseid funktsioone nimetatakse tükkhaaval või tükkhaaval täpsustatud. Numbrirea lõigud koos erinevaid valemeidülesanded, nimetagem neid komponendid domeeni. Kõikide komponentide liit on tükipõhise funktsiooni määratluspiirkond. Nimetatakse neid punkte, mis jagavad funktsiooni määratluspiirkonna komponentideks piiripunktid. Nimetatakse valemeid, mis defineerivad definitsioonipiirkonna iga komponendi osade kaupa funktsiooni sissetulevad funktsioonid. Tükkide kaupa antud funktsioonide graafikud saadakse iga partitsiooniintervalli kohta koostatud graafikute osade kombineerimisel.
Harjutused.
Koostage tükkhaaval funktsioonide graafikud:
1)
(-3, -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, kui x = 0,
(1, kell 0< x ≤ 5.
Esimese funktsiooni graafik on punkti y = -3 läbiv sirge. See pärineb punktist koordinaatidega (-4; -3), kulgeb paralleelselt x-teljega punktini, mille koordinaadid (0; -3). Teise funktsiooni graafik on punkt koordinaatidega (0; 0). Kolmas graafik on sarnane esimesega - see on sirgjoon, mis läbib punkti y = 1, kuid juba piirkonnas 0 kuni 5 piki Ox telge.
Vastus: Joonis 1.
2)
(3 kui x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, kui -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2, kui x > 4.
Vaatleme iga funktsiooni eraldi ja koostame selle graafiku.
Niisiis, f(x) = 3 on sirgjoon, teljega paralleelne Oh, aga peate seda kujutama ainult piirkonnas, kus x ≤ -4.
Funktsiooni f(x) = |x 2 – 4|x| graafik + 3| võib saada paraboolist y = x 2 – 4x + 3. Pärast selle graafiku koostamist tuleb jätta muutmata joonise see osa, mis asub Ox-teljest kõrgemal, ning abstsisstelje all olev osa tuleb kuvada sümmeetriliselt suhteliselt härja teljele. Seejärel kuvage sümmeetriliselt graafiku osa, kus
x ≥ 0 Oy telje suhtes negatiivse x korral. Jätame kõigi teisenduste tulemusel saadud graafiku ainult abstsisstellje vahemikku -4 kuni 4.
Kolmanda funktsiooni graafik on parabool, mille harud on suunatud allapoole ja tipp on koordinaatidega (4; 3) punktis. Joonist kujutame ainult piirkonnas, kus x > 4.
Vastus: Joonis 2.
3)
(8 – (x + 6) 2, kui x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, kui -6 ≤ x< 5,
(3, kui x ≥ 5.
Kavandatava ehitus tükkhaaval määratud funktsioon sarnaselt eelmine punkt. Siin saadakse parabooli teisendustest kahe esimese funktsiooni graafikud ja kolmanda graafik on Ox-iga paralleelne sirge.
Vastus: Joonis 3.
4) Joonistage funktsioon y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .
Lahendus. Selle funktsiooni ulatus on kõik reaalarvud, välja arvatud null. Laiendame moodulit. Selleks kaaluge kahte juhtumit:
1) Kui x > 0 saame y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.
2) x juures< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .
Seega on meil tükkhaaval määratletud funktsioon:
y = ((x – 2) 2, kui x > 0;
( x 2 + 2x, x< 0.
Mõlema funktsiooni graafikud on paraboolid, mille harud on suunatud ülespoole.
Vastus: Joonis 4.
5) Joonistage funktsiooni y = (x + |x|/x – 1) graafik 2.
Lahendus.
On lihtne näha, et funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud peale nulli. Pärast mooduli laiendamist saame osade kaupa antud funktsiooni:
1) Kui x > 0 saame y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .
2) x juures< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
Kirjutame ümber.
y = (x 2, kui x > 0;
((x – 2) 2 , punktis x< 0.
Nende funktsioonide graafikud on paraboolid.
Vastus: Joonis 5.
6) Kas on funktsioon, mille graafik koordinaattasandil on ühine punkt mingist sirgjoonest?
Lahendus.
Jah, see on olemas.
Näiteks võiks olla funktsioon f(x) = x 3 . Tõepoolest, kuupparabooli graafik lõikub vertikaaljoonega x = a punktis (a; a 3). Olgu nüüd sirge antud võrrandiga y = kx + b. Siis võrrand
x 3 – kx – b = 0 on päris juur x 0 (kuna paaritu astmega polünoomil on alati vähemalt üks reaaljuur). Järelikult lõikub funktsiooni graafik sirgega y = kx + b näiteks punktis (x 0; x 0 3).
veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.