Logaritmiline diferentseerimine

Elementaarfunktsioonide tuletised

Eristamise põhireeglid

Funktsioonide diferentsiaal

Funktsiooni juurdekasvu põhiline lineaarne osa A D x funktsiooni diferentseeritavuse määramisel

D f=f(x)-f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0

nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks f(x) punktis x 0 ja on tähistatud

df(x 0)=f¢(x 0)D x=A D x.

Erinevus sõltub punktist x 0 ja juurdekasvust D x. D peal x samal ajal vaatavad nad seda kui sõltumatut muutujat, nii et igas punktis on diferentsiaal inkremendi D lineaarfunktsioon x.

Kui käsitleme funktsioonina f(x)=x, siis saame dx= D x,dy=Adx. See on kooskõlas Leibnizi tähistusega

Diferentsiaali geomeetriline tõlgendamine puutuja ordinaadi juurdekasvuna.

Riis. 4.3

1) f= konst , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Tagajärg. (vrd(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 ja tuletis on siis olemas f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Lühiduse mõttes tähistame u=u(x), u 0 =u(x 0), siis

D-s piirini ületamine x® 0 saame vajaliku võrdsuse.

5) Kompleksfunktsiooni tuletis.

Teoreem. Kui on f¢(x 0), g¢(x 0)ja x 0 =g(t 0), siis mõnes naabruses t 0 kompleksfunktsioon f on defineeritud(g(t)), on see punktis t diferentseeruv 0 Ja

Tõestus.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a( g(t))(g(t)- g(t 0)).

Jagame selle võrdsuse mõlemad pooled ( t - t 0) ja lähme piirini kell t®t 0 .

6) Pöördfunktsiooni tuletise arvutamine.

Teoreem. Olgu f pidev ja rangelt monotoonne sees[a,b]. Laske punktis x 0 Î( a,b)seal on f¢(x 0)¹ 0 , siis pöördfunktsioon x=f -1 (y)on punktis y 0 tuletis võrdne

Tõestus. Me loeme f siis rangelt monotoonselt kasvav f -1 (y) on pidev, suureneb monotoonselt [ f(a),f(b)]. Paneme y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,

y - y 0 =D y. Pöördfunktsiooni D pidevuse tõttu y® 0 Þ D x®0, meil on

Piirini üle minnes saame nõutava võrdsuse.

7) Paarisfunktsiooni tuletis on paaritu, paaritu funktsiooni tuletis on paaritu.

Tõepoolest, kui x® - x 0 , See - x® x 0 , Sellepärast

Paarisfunktsiooni jaoks paaritu funktsiooni jaoks

1) f= konst, f¢(x)=0.

2) f(x)=x,f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(a x)¢ = kirves ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x,

Tagajärg. (paarisfunktsiooni tuletis on paaritu)

7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (patt x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- patt x,(cos x)¢= (patt( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/patt 2 x.

16)sh x, ptk x.

f(x),, millest järeldub, et f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Sama valemi võib saada erinevalt f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Näide. Arvutage funktsiooni tuletis f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).

Punktide geomeetriline asukoht tasapinnal

nimetame seda funktsiooni graafikuks, antud parameetriliselt. Samuti räägitakse funktsiooni parameetrilisest spetsifikatsioonist.

Märkus 1. Kui x, y pidev jaoks [a,b] Ja x(t) segmendil rangelt monotoonne (näiteks rangelt monotoonselt suureneb), siis [ a,b], a=x(a) , b=x(b) funktsioon määratletud f(x)=y(t(x)), kus t(x) – funktsioon pöördväärtusega x(t). Selle funktsiooni graafik langeb kokku funktsiooni graafikuga

Kui määratluspiirkond parameetriliselt antud funktsiooni saab jagada lõplikuks arvuks segmentideks ,k= 1,2,...,n, millest igaühel on funktsioon x(t) on rangelt monotoonne, siis parameetriliselt määratletud funktsioon laguneb lõplikuks arvuks tavafunktsioonideks fk(x)=y(t -1 (x)) domeenidega [ x(a k), x(b k)] sektsioonide suurendamiseks x(t) ja domeenidega [ x(b k), x(a k)] väheneva funktsiooniga piirkondade jaoks x(t). Sel viisil saadud funktsioone nimetatakse parameetriliselt määratletud funktsiooni üheväärtuslikeks harudeks.

Joonisel on kujutatud parameetriliselt määratletud funktsiooni graafik

Valitud parameetritega määratlusala on jagatud viieks funktsiooni sin(2 t), täpselt: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ja vastavalt sellele jaguneb graafik viieks üheselt mõistetavaks haruks, mis vastavad nendele jaotistele.

Riis. 4.4

Riis. 4.5

Saate valida sama punktide geomeetrilise asukoha jaoks erineva parameetri

Sel juhul on selliseid harusid ainult neli. Need vastavad range monotoonsusega piirkondadele tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funktsioonid patt (2 t).

Riis. 4.6

Funktsiooni sin(2.) monotoonsuse neli osa t) pikal lõigul.

Riis. 4.7

Mõlema graafiku kujutamine ühel joonisel võimaldab ligikaudselt kujutada parameetriliselt määratud funktsiooni graafikut, kasutades mõlema funktsiooni monotoonsusalasid.

Vaatleme näitena esimest segmendile vastavat haru tÎ . Selle jaotise lõpus on funktsioon x= patt (2 t) võtab väärtused -1 ja 1 , nii et see haru määratletakse [-1,1] . Pärast seda peate vaatama teise funktsiooni monotoonsuse piirkondi y= cos( t), on tal peal kaks osa monotoonsust . See võimaldab meil öelda, et esimesel harul on kaks monotoonsuse osa. Olles leidnud graafiku lõpp-punktid, saate need ühendada sirgjoontega, et näidata graafiku monotoonsuse olemust. Olles seda iga haruga teinud, saame graafiku ühemõtteliste harude monotoonsuse alad (joonisel on need punasega esile tõstetud)

Riis. 4.8

Esimene üheväärtuslik haru f 1 (x)=y(t(x)) , mis vastab saidile jaoks määratakse kindlaks xО[-1,1] . Esimene üheväärtuslik haru tÎ , xО[-1,1].

Kõigil ülejäänud kolmel harul on ka määratluspiirkond [-1,1] .

Riis. 4.9

Teine haru tÎ xО[-1,1].

Riis. 4.10

Kolmas haru tÎ xО[-1,1]

Riis. 4.11

Neljas haru tÎ xО[-1,1]

Riis. 4.12

Kommenteeri 2. Samal funktsioonil võivad olla erinevad parameetrilised seadistused. Erinevused võivad puudutada mõlemat funktsiooni x(t), y(t) , ja määratlusvaldkond need funktsioonid.

Erinevate parameetriliste määrangute näide sama funktsiooni jaoks

Ja tО[-1, 1] .

Märkus 3. Kui x,y on pidevad sisse lülitatud , x(t)- segmendil rangelt monotoonne ja seal on tuletised y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, siis on olemas f¢(x 0)= .

Tõesti,.

Viimane väide kehtib ka parameetriliselt määratletud funktsiooni üheväärtuslike harude kohta.

4.2 Kõrgema järgu tuletisväärtpaberid ja diferentsiaalid

Kõrgemad tuletised ja diferentsiaalid. Parameetriliselt määratud funktsioonide eristamine. Leibnizi valem.

Kaudselt määratud funktsiooni tuletis.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Selles artiklis vaatleme kahte tüüpilisemat ülesannet, mida kõrgema matemaatika testides sageli leidub. Materjali edukaks valdamiseks peab suutma leida tuletisi vähemalt kesktasemel. Tuletiste leidmist saab õppida praktiliselt nullist kahes põhitunnis ja Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui teie eristamisoskused on korras, siis lähme.

Kaudselt määratud funktsiooni tuletis

Või lühidalt kaudse funktsiooni tuletis. Mis on kaudne funktsioon? Meenutagem kõigepealt ühe muutuja funktsiooni määratlust:

Ühe muutujaga funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele.

Muutujat nimetatakse sõltumatu muutuja või argument.
Muutujat nimetatakse sõltuv muutuja või funktsiooni .

Siiani oleme vaadanud jaotises määratletud funktsioone selgesõnaline vormi. Mida see tähendab? Teeme arutelu konkreetsete näidete abil.

Mõelge funktsioonile

Näeme, et vasakul on meil üksik "mängija" ja paremal - ainult "X". See tähendab, funktsioon selgesõnaliselt väljendatakse sõltumatu muutuja kaudu.

Vaatame veel ühte funktsiooni:

Siin on muutujad segamini. enamgi veel mis tahes viisil võimatu väljendage "Y" ainult "X" kaudu. Mis need meetodid on? Märgivahetusega osalt osale terminite ülekandmine, sulgudest väljaviimine, tegurite viskamine proportsioonireegli järgi jne. Kirjuta võrdsus ümber ja proovi y-d selgesõnaliselt väljendada: . Saate võrrandit tunde väänata ja keerata, kuid see ei õnnestu.

Lubage mul teile tutvustada: – näide kaudne funktsioon.

Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et kaudne funktsioon on olemas(aga mitte alati) on sellel graafik (täpselt nagu "tavalisel" funktsioonil). Kaudne funktsioon on täpselt sama on olemas esimene tuletis, teine ​​tuletis jne. Nagu öeldakse, austatakse kõiki seksuaalvähemuste õigusi.

Ja selles õppetükis õpime, kuidas leida kaudselt määratud funktsiooni tuletist. See polegi nii raske! Kõik diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel jäävad kehtima. Erinevus on ühes omapärases hetkes, mida me praegu vaatame.

Jah, ja ma ütlen teile hea uudise - allpool käsitletavad ülesanded täidetakse üsna range ja selge algoritmi järgi, ilma kivita kolme raja ees.

Näide 1

1) Esimeses etapis kinnitame mõlemale osale löögid:

2) Kasutame tuletise lineaarsuse reegleid (tunni kaks esimest reeglit Kuidas tuletist leida? Näited lahendustest):

3) Otsene eristamine.
Kuidas eristada, on täiesti selge. Mida teha seal, kus löökide all on “mängud”?

- kuni häbitundeni, funktsiooni tuletis on võrdne selle tuletisega: .

Kuidas eristada
Siin meil on keeruline funktsioon. Miks? Tundub, et siinuse all on ainult üks täht “Y”. Kuid tõsiasi on see, et seal on ainult üks täht "y" - ON ISE FUNKTSIOON(vt definitsiooni tunni alguses). Seega on siinus väline funktsioon ja sisemine funktsioon. Keerulise funktsiooni eristamiseks kasutame reeglit :

Eristame toodet tavapärase reegli järgi :

Pange tähele, et see on ka keeruline funktsioon, mis tahes "mäng kellade ja viledega" on keeruline funktsioon:

Lahendus ise peaks välja nägema umbes selline:


Kui sulgudes on, laiendage neid:

4) Vasakusse serva kogume terminid, mis sisaldavad "Y" algarvuga. Liigutage kõik muu paremale poole:

5) Vasakul küljel võtame sulgudest tuletise välja:

6) Ja vastavalt proportsioonireeglile kukutame need sulud parema külje nimetajasse:

Tuletis on leitud. Valmis.

Huvitav on märkida, et iga funktsiooni saab kaudselt ümber kirjutada. Näiteks funktsioon saab ümber kirjutada nii: . Ja eristage seda äsja arutatud algoritmi abil. Tegelikult erinevad fraasid "kaudne funktsioon" ja "implitsiitne funktsioon" ühe semantilise nüansi poolest. Väljend "kaudselt määratud funktsioon" on üldisem ja õigem, - see funktsioon on määratud kaudselt, kuid siin saate väljendada "mängu" ja esitada funktsiooni selgesõnaliselt. Väljend "kaudne funktsioon" viitab "klassikalisele" kaudsele funktsioonile, kui "y"-d ei saa väljendada.

Teine lahendus

Tähelepanu! Teise meetodiga saate tutvuda ainult siis, kui teate, kuidas enesekindlalt leida osatuletised. Calculus algajad ja mannekeenid, palun ära loe ja jäta see punkt vahele, muidu läheb pea täitsa sassi.

Leiame teise meetodi abil kaudse funktsiooni tuletise.

Viime kõik terminid vasakule poole:

Ja kaaluge kahe muutuja funktsiooni:

Siis saab meie tuletise leida valemi abil
Leiame osatuletised:

Seega:

Teine lahendus võimaldab teil kontrollida. Kuid ülesande lõppversiooni pole neil soovitav välja kirjutada, kuna osatuletisi omandatakse hiljem ja teemat “Ühe muutuja funktsiooni tuletis” õppiv õpilane ei peaks veel osatuletisi teadma.

Vaatame veel paar näidet.

Näide 2

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Lisage mõlemale osale kriipsud:

Kasutame lineaarsuse reegleid:

Tuletisinstrumentide leidmine:

Kõigi sulgude avamine:

Liigume kõik terminid vasakule poole, ülejäänud paremale poole:

Lõplik vastus:

Näide 3

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Täislahendus ja näidiskujundus tunni lõpus.

Pole haruldane, et pärast eristamist tekivad murded. Sellistel juhtudel peate murdosadest lahti saama. Vaatame veel kahte näidet.

Näide 4

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Märgistame mõlemad osad tõmmetega ja kasutame lineaarsusreeglit:

Eristage keeruka funktsiooni eristamise reegli abil ja jagatiste diferentseerimise reegel :

Sulgude laiendamine:

Nüüd peame murdosast lahti saama. Seda saab teha hiljem, kuid ratsionaalsem on seda teha kohe. Murru nimetaja sisaldab . Korrutada peal . Üksikasjalikult näeb see välja järgmine:

Mõnikord pärast diferentseerumist ilmub 2-3 fraktsiooni. Kui meil oleks näiteks teine ​​murdosa, siis oleks vaja toimingut korrata – korrutada iga osa iga termin peal

Vasakul küljel paneme selle sulgudest välja:

Lõplik vastus:

Näide 5

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

See on näide, mille saate ise lahendada. Ainus asi on see, et enne murdosast vabanemist peate kõigepealt vabanema murdosa enda kolmekorruselisest struktuurist. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Ärgem rõhutagem, kõik selles lõigus on samuti üsna lihtne. Parameetriliselt defineeritud funktsiooni üldvalemi saab kirja panna, aga et see oleks selge, panen kohe kirja konkreetse näite. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandid kirja sulgudes, vaid järjestikku: , .

Muutujat nimetatakse parameetriks ja võib võtta väärtusi "miinus lõpmatusest" kuni "pluss lõpmatuseni". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult öeldes: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub “tavalisse” funktsiooni, siis parameetriliselt määratletud funktsiooni Ameerika indiaanlaste jaoks austatakse ka kõiki õigusi: saate koostada graafiku, leida tuletisi jne. Muide, kui teil on vaja joonistada parameetriliselt määratletud funktsiooni graafik, võite kasutada minu programmi.

Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: - ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.

"Raskematel" juhtudel see trikk ei tööta. Kuid see pole oluline, sest parameetrilise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas valem:

Leiame "mängu muutuja te suhtes" tuletise:

Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "X" tähega "Te".

Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:

Nüüd jääb üle vaid asendada leitud tuletised meie valemiga:

Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist.

Mis puutub tähistesse, siis selle valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on "tavaline" tuletis "X suhtes". Kuid kirjanduses on alati võimalus, nii et ma ei kaldu standardist kõrvale.

Näide 6

Me kasutame valemit

Sel juhul:

Seega:

Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise eripäraks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Seega avasin vaadeldavas näites selle leidmisel juure all olevad sulud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et valemisse asendamisel väheneb palju asju hästi. Kuigi muidugi on kohmakate vastustega näiteid.

Näide 7

Leia parameetriliselt määratud funktsiooni tuletis

See on näide, mille saate ise lahendada.

Artiklis Lihtsamad tüüpilised probleemid tuletistega vaatasime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine ​​tuletis. Parameetriliselt määratletud funktsiooni jaoks võite leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemi abil: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.

Näide 8

Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine ​​tuletis

Kõigepealt leiame esimese tuletise.
Me kasutame valemit

Sel juhul:

Asendame leitud tuletised valemiga. Lihtsustamise eesmärgil kasutame trigonomeetrilist valemit:

Ärgem rõhutagem, kõik selles lõigus on samuti üsna lihtne. Parameetriliselt defineeritud funktsiooni üldvalemi saab kirja panna, aga et see oleks selge, panen kohe kirja konkreetse näite. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandid kirja sulgudes, vaid järjestikku: , .

Muutujat nimetatakse parameetriks ja see võib võtta väärtusi vahemikus "miinus lõpmatus" kuni "pluss lõpmatus". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult öeldes: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub “tavalisse” funktsiooni, siis parameetriliselt määratletud funktsiooni Ameerika indiaanlaste jaoks austatakse ka kõiki õigusi: saate koostada graafiku, leida tuletisi jne. Muide, kui teil on vaja joonistada parameetriliselt määratud funktsiooni graafik, laadige lehelt alla minu geomeetriline programm Matemaatilised valemid ja tabelid.

Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: - ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.

"Raskematel" juhtudel see trikk ei tööta. Kuid see pole oluline, sest parameetrilise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas valem:

Leiame "mängu muutuja te suhtes" tuletise:

Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "X" tähega "Te".

Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:

Nüüd jääb üle vaid asendada leitud tuletised meie valemiga:

Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist.

Mis puutub tähistesse, siis selle valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on "tavaline" tuletis "X suhtes". Kuid kirjanduses on alati võimalus, nii et ma ei kaldu standardist kõrvale.

Näide 6

Me kasutame valemit

Sel juhul:

Seega:

Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise eripäraks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Seega avasin vaadeldavas näites selle leidmisel juure all olevad sulud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et valemisse asendamisel väheneb palju asju hästi. Kuigi muidugi on kohmakate vastustega näiteid.

Näide 7

Leia parameetriliselt määratud funktsiooni tuletis

See on näide, mille saate ise lahendada.

Artiklis Lihtsamad tüüpilised probleemid tuletistega vaatasime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine ​​tuletis. Parameetriliselt määratletud funktsiooni jaoks võite leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemi abil: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.

Näide 8

Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine ​​tuletis

Kõigepealt leiame esimese tuletise.
Me kasutame valemit

Sel juhul:

Asendab leitud tuletised valemis. Lihtsustamise eesmärgil kasutame trigonomeetrilist valemit:

Märkasin, et parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise ülesandes tuleb üsna sageli lihtsustamise eesmärgil kasutada trigonomeetrilised valemid . Pidage need meeles või hoidke käepärast ning ärge jätke kasutamata võimalust iga vahetulemust ja vastust lihtsustada. Milleks? Nüüd peame võtma tuletise ja see on selgelt parem kui tuletise leidmine.

Leiame teise tuletise.
Kasutame valemit:.

Vaatame oma valemit. Nimetaja on juba eelmises etapis leitud. Jääb alles leida lugeja - esimese tuletise tuletis muutuja "te" suhtes:

Jääb üle kasutada valemit:

Materjali tugevdamiseks pakun teile veel paar näidet, mida saate ise lahendada.

Näide 9

Näide 10

Leia ja parameetriliselt määratud funktsiooni jaoks

Soovin teile edu!

Loodan, et see õppetund oli kasulik ja nüüd saate hõlpsalt leida kaudselt ja parameetrilistest funktsioonidest määratud funktsioonide tuletisi

Lahendused ja vastused:

Näide 3: Lahendus:






Seega:

Kaaluge sirge määratlemist tasapinnal, kus muutujad x, y on kolmanda muutuja t funktsioonid (nimetatakse parameetriks):

Iga väärtuse jaoks t alates teatud intervallist vastavad teatud väärtused x Ja y, a, seega tasandi teatud punkt M (x, y). Millal t läbib kõik väärtused antud intervallist, seejärel punktist M (x, y) kirjeldab mõnda rida L. Võrrandeid (2.2) nimetatakse parameetrilisteks joonvõrranditeks L.

Kui funktsioonil x = φ(t) on pöördväärtus t = Ф(x), siis asendades selle avaldise võrrandiga y = g(t), saame y = g(Ф(x)), mis määrab y funktsioonina x. Sel juhul ütleme, et võrrandid (2.2) defineerivad funktsiooni y parameetriliselt.

Näide 1. Lase M(x,y)– suvaline punkt raadiusega ringil R ja tsentreeritud lähtepunktile. Lase t– telgedevaheline nurk Ox ja raadius OM(vt joonis 2.3). Siis x, y väljendatakse läbi t:

Võrrandid (2.3) on ringi parameetrilised võrrandid. Jätame parameetri t võrranditest (2.3) välja. Selleks paneme iga võrrandi ruutuks ja liidame selle, saame: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) või x 2 + y 2 = R 2 – ringjoone võrrand Descartes'i keeles koordinaatsüsteem. See määratleb kaks funktsiooni: Kõik need funktsioonid on antud parameetriliste võrranditega (2.3), kuid esimese funktsiooni jaoks ja teise jaoks.

Näide 2. Parameetrilised võrrandid

defineerida pooltelgedega ellips a, b(joonis 2.4). Parameetri väljajätmine võrranditest t, saame ellipsi kanoonilise võrrandi:

Näide 3. Tsükloid on joon, mida kirjeldab ringjoonel asuv punkt, kui see ring veereb libisemata sirgjooneliselt (joonis 2.5). Tutvustame tsükloidi parameetrilisi võrrandeid. Olgu veereringi raadius a, punkt M, mis kirjeldab tsükloidi, langes liikumise alguses kokku koordinaatide alguspunktiga.

Määrame koordinaadid x, y punkti M pärast seda, kui ring on nurga all pööratud t
(joonis 2.5), t = ÐMCB. Kaare pikkus M.B. võrdne segmendi pikkusega O.B. kuna ring veereb libisemata, seega

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – maksumus).

Seega saadakse tsükloidi parameetrilised võrrandid:

Parameetri muutmisel t 0 kuni 2π ring pöörleb ühe pöörde ja punkt M kirjeldab ühte tsükloidi kaaret. Võrrandid (2.5) annavad y funktsioonina x. Kuigi funktsioon x = a(t – sint) omab pöördfunktsiooni, kuid seda ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, seega funktsioon y = f(x) ei väljendu elementaarfunktsioonide kaudu.

Vaatleme parameetriliselt võrranditega (2.2) määratletud funktsiooni diferentseerumist. Funktsioonil x = φ(t) teatud muutuste intervallil t on pöördfunktsioon t = Ф(x), Siis y = g(Ф(x)). Lase x = φ(t), y = g(t) neil on tuletised ja x"t≠0. Vastavalt keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglile y"x=y"t × t"x. Lähtudes pöördfunktsiooni eristamise reeglist, siis:

Saadud valem (2.6) võimaldab leida parameetriliselt määratud funktsiooni tuletise.

Näide 4. Olgu funktsioon y, oleneb x, määratakse parameetriliselt:

Lahendus. .
Näide 5. Leidke kalle k tsükloidi puutuja punktis M 0, mis vastab parameetri väärtusele.
Lahendus. Tsükloidvõrranditest: y" t = asint, x" t = a(1 – maksumus), Sellepärast

Punkti puutuja kalle M0 võrdne väärtusega at t 0 = π/4:

DIFERENTSIAALFUNKTSIOON

Olgu funktsioon punktis x 0 on tuletis. A-prioor:
seega vastavalt piirmäära omadustele (punkt 1.8), kus a– lõpmatult väike juures Δx → 0. Siit

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)

Kuna Δx → 0, on võrdsuse (2.7) teine ​​liige kõrgemat järku lõpmatult väike, võrreldes , seega on Δy ja f " (x 0) × Δx samaväärsed, lõpmatult väikesed (f "(x 0) ≠ 0 korral).

Seega koosneb funktsiooni Δy juurdekasv kahest liikmest, millest esimene f "(x 0) × Δx on põhiosa juurdekasv Δy, lineaarne Δx suhtes (f "(x 0)≠ 0 korral).

Diferentsiaal Funktsiooni f(x) punktis x 0 nimetatakse funktsiooni juurdekasvu põhiosaks ja tähistatakse: dy või df(x0). Seega

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2,8)

Näide 1. Leia funktsiooni diferentsiaal dy ja funktsiooni Δy juurdekasvu funktsiooni y = x 2 korral:
1) meelevaldne x ja Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Lahendus

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Kui x 0 = 20, Δx = 0,1, siis Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Kirjutame võrdsuse (2.7) kujul:

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

Kasv Δy erineb diferentsiaalist dyΔx-ga võrreldes kõrgemat järku lõpmatuseni, seetõttu kasutatakse ligikaudsetes arvutustes ligikaudset võrdsust Δy ≈ dy, kui Δx on piisavalt väike.

Arvestades, et Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), saame ligikaudse valemi:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Näide 2. Arvutage ligikaudu.

Lahendus. Kaaluge:

Kasutades valemit (2.10) saame:

Niisiis, ≈ 2,025.

Vaatleme diferentsiaali geomeetrilist tähendust df(x 0)(joonis 2.6).

Joonistame funktsiooni y = f(x) graafikule puutuja punktis M 0 (x0, f(x 0)), olgu φ puutuja KM0 ja Ox-telje vaheline nurk, siis f"( x 0) = tanφ alates ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Kuid PN on puutuja ordinaadi juurdekasv, kui x muutub x 0-lt x 0 + Δx.

Järelikult on funktsiooni f(x) diferentsiaal punktis x 0 võrdne puutuja ordinaadi juurdekasvuga.

Leiame funktsiooni diferentsiaali
y = x. Kuna (x)" = 1, siis dx = 1×Δx = Δx. Eeldame, et sõltumatu muutuja x diferentsiaal on võrdne selle juurdekasvuga, st dx = Δx.

Kui x on suvaline arv, siis võrrandist (2.8) saame df(x) = f "(x)dx, kust .
Seega on funktsiooni y = f(x) tuletis võrdne selle diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali suhtega.

Vaatleme funktsiooni diferentsiaali omadusi.

Kui u(x), v(x) on diferentseeruvad funktsioonid, kehtivad järgmised valemid:

Nende valemite tõestamiseks kasutatakse funktsiooni summa, korrutise ja jagatise tuletisvalemeid. Tõestame näiteks valemit (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Vaatleme kompleksfunktsiooni diferentsiaali: y = f(x), x = φ(t), s.o. y = f(φ(t)).

Siis dy = y"t dt, aga y"t = y"x ×x"t, seega dy =y"xx"t dt. Arvestades,

et x" t = dx, saame dy = y" x dx =f "(x)dx.

Seega on kompleksfunktsiooni diferentsiaal y = f(x), kus x =φ(t), kujul dy = f "(x)dx, sama mis juhul, kui x on sõltumatu muutuja. See omadus kutsutakse diferentsiaali kuju muutumatus A.

Seni oleme arvestanud tasapinna sirge võrrandeid, mis ühendavad otseselt nende sirgete punktide praeguseid koordinaate. Tihti kasutatakse aga joone määratlemiseks teist meetodit, mille puhul praeguseid koordinaate käsitletakse kolmanda muutuja funktsioonidena.

Olgu antud muutuja kaks funktsiooni

arvestatakse samade t väärtustega. Siis vastab ükskõik milline neist t väärtustest teatud väärtusele ja y teatud väärtusele ning seega ka teatud punktile. Kui muutuja t läbib kõik funktsioonide määratluspiirkonna väärtused (73), siis punkt kirjeldab tasapinnal teatud sirget C. Võrrandeid (73) nimetatakse selle rea parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat parameeter.

Oletame, et funktsioonil on pöördfunktsioon. Asendades selle funktsiooni teise võrrandiga (73), saame võrrandi

y väljendamine funktsioonina

Lepime kokku, et see funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (73). Üleminekut nendelt võrranditelt võrrandile (74) nimetatakse parameetrite elimineerimiseks. Arvestades parameetriliselt määratletud funktsioone, pole parameetri väljajätmine mitte ainult vajalik, vaid ka mitte alati praktiliselt võimalik.

Paljudel juhtudel on parameetri erinevaid väärtusi arvestades palju mugavam arvutada seejärel valemite (73) abil argumendi ja funktsiooni y vastavad väärtused.

Vaatame näiteid.

Näide 1. Olgu suvaline punkt ringil, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadiusega R. Selle punkti Descartes'i koordinaate x ja y väljendatakse selle polaarraadiuse ja polaarnurga kaudu, mida tähistame siin t-ga järgmiselt ( vaata I peatüki § 3 lõiget 3):

Võrrandeid (75) nimetatakse ringi parameetrilisteks võrranditeks. Parameeter neis on polaarnurk, mis varieerub vahemikus 0 kuni .

Kui võrrandid (75) ruudustatakse liikme kaupa ja liidetakse, siis identsuse tõttu parameeter elimineeritakse ja saadakse ringjoone võrrand Descartes'i koordinaatsüsteemis, mis defineerib kaks elementaarfunktsiooni:

Kõik need funktsioonid on parameetriliselt määratud võrranditega (75), kuid nende funktsioonide parameetrite vahemikud on erinevad. Esimesele neist; Selle funktsiooni graafik on ülemine poolring. Teise funktsiooni puhul on selle graafik alumine poolring.

Näide 2. Vaatleme samaaegselt ellipsi

ja ring, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius a (joonis 138).

Iga ellipsi punktiga M seostame ringi punkti N, millel on sama abstsiss kui punktil M ja mis asub temaga samal pool Ox-telge. Punkti N ja seega punkti M asukoht on täielikult määratud punkti polaarnurga t abil. Sel juhul saame nende ühise abstsissi jaoks järgmise avaldise: x = a. Leiame ellipsi võrrandist punktis M oleva ordinaadi:

Märk valiti seetõttu, et punkti M ordinaat ja punkti N ordinaat peavad olema samade märkidega.

Seega saadakse ellipsi jaoks järgmised parameetrilised võrrandid:

Siin varieerub parameeter t vahemikus 0 kuni .

Näide 3. Vaatleme ringi, mille keskpunkt on punktis a) ja raadius a, mis ilmselgelt puudutab lähtepunktis x-telge (joonis 139). Oletame, et see ring veereb mööda x-telge libisemata. Seejärel kirjeldab ringjoone punkt M, mis alghetkel langes kokku koordinaatide alguspunktiga, sirget, mida nimetatakse tsükloidiks.

Tuletame tsükloidi parameetrilised võrrandid, võttes parameetriks t ringi pöördenurga MSV selle fikseeritud punkti nihutamisel positsioonist O asendisse M. Seejärel saame punkti M koordinaatide ja y jaoks järgmised avaldised:

Tänu sellele, et ring veereb mööda telge libisemata, on lõigu OB pikkus võrdne kaare BM pikkusega. Kuna kaare BM pikkus võrdub raadiuse a ja kesknurga t korrutisega, siis . Sellepärast . Kuid seetõttu,

Need võrrandid on tsükloidi parameetrilised võrrandid. Kui parameeter t muutub nullist ringiks, teeb see ühe täispöörde. Punkt M kirjeldab tsükloidi üht kaarejoont.

Parameetri t väljajätmine siin toob kaasa tülikaid avaldisi ja on praktiliselt ebapraktiline.

Eriti sageli kasutatakse joonte parameetrilist määratlust mehaanikas ja parameetri rolli mängib aeg.

Näide 4. Määrame püssist välja lastud mürsu trajektoori algkiirusega horisontaali suhtes nurga a all. Jätame tähelepanuta õhutakistuse ja mürsu mõõtmed, pidades seda materiaalseks punktiks.

Valime koordinaatsüsteemi. Koordinaatide alguspunktiks võtame mürsu lähtepunkti koonust. Suuname Ox telje horisontaalselt ja Oy telje vertikaalselt, asetades need püssitoruga samale tasapinnale. Kui gravitatsioonijõudu poleks, siis mürsk liiguks sirgjooneliselt, moodustades nurga a Hrja teljega ja aja t järgi oleks mürsu koordinaadid ajahetkel t vastavalt võrdsed kellele: . Raskusjõu tõttu peab mürsk selleks hetkeks vertikaalselt laskuma. Seetõttu määratakse tegelikkuses ajal t mürsu koordinaadid valemitega:

Need võrrandid sisaldavad konstantseid koguseid. Kui t muutub, muutuvad ka mürsu trajektoori punkti koordinaadid. Võrrandid on mürsu trajektoori parameetrilised võrrandid, milles parameetriks on aeg

Väljendades esimesest võrrandist ja asendades selle võrrandiga

teine ​​võrrand, saame mürsu trajektoori võrrandi kujul See on parabooli võrrand.