Funktsiooni tuletis on üks rasked teemad V kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.
See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.
Meenutagem määratlust:
Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.
Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb teie arvates kasvab kiiremini?
Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.
Siin on veel üks näide.
Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:
Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.
Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?
See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt on sees sama funktsioon erinevad punktid võib olla erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.
Funktsiooni tuletist tähistatakse .
Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.
Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik ülespoole tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.
Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.
Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.
Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainult üks ühine punkt graafikuga ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.
Otsime üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne suhtega vastaspool külgnevale. Kolmnurgast:
Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.
On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand
Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.
.
Me saame sellest aru
Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.
Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.
Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.
Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.
Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb, teistes väheneb ja koos erinevatel kiirustel. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.
Ühel hetkel funktsioon suureneb. Moodustub punktis joonistatud graafiku puutuja terav nurk; positiivse telje suunaga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.
Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Alates puutujast nürinurk on negatiivne, punktis on tuletis negatiivne.
See juhtub järgmiselt.
Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.
Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.
Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu puutuja nurga puutuja nendes punktides võrdne nulliga, ja tuletis on samuti null.
Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".
Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".
Järeldus: tuletise abil saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.
Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.
Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.
Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.
Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.
Kirjutame need järeldused tabeli kujul:
| suureneb | maksimaalne punkt | väheneb | miinimumpunkt | suureneb | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.
Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :
Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.
Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.
Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib
Ülesanne.
Funktsioon y=f(x) on defineeritud intervallil (-5; 6). Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik. Leia punktide x 1, x 2, ..., x 7 hulgast need punktid, kus funktsiooni f(x) tuletis on võrdne nulliga. Vastuseks kirjutage leitud punktide arv.
Lahendus:
Selle probleemi lahendamise põhimõte on järgmine: neid on kolm võimalik käitumine funktsioonid sellel intervallil:
1) kui funktsioon suureneb (tuletis on suurem kui null)
2) kui funktsioon on kahanev (kui tuletis on väiksem kui null)
3) kui funktsioon ei suurene ega vähene (kus tuletis on kas null või seda ei ole olemas)
Oleme huvitatud kolmandast võimalusest.
Tuletis on võrdne nulliga, kui funktsioon on sujuv ja seda murdepunktides ei eksisteeri. Vaatame kõiki neid punkte.
x 1 - funktsioon suureneb, mis tähendab tuletist f′(x) >0
x 2 - funktsioon võtab miinimumi ja on sujuv, mis tähendab tuletist f ′(x) = 0
x 3 - funktsioon võtab maksimumi, kuid sellel hetkel on paus, mis tähendab tuletis f '(x) ei eksisteeri
x 4 - funktsioon võtab maksimumi, kuid sellel hetkel on paus, mis tähendab tuletis f '(x) ei eksisteeri
x 5 – tuletis f ′(x) = 0
x 6 - funktsioon suureneb, mis tähendab tuletist f′(x) >0
x 7 - funktsioon võtab minimaalselt ja on sujuv, mis tähendab tuletis f ′(x) = 0
Näeme, et f ′(x) = 0 punktides x 2, x 5 ja x 7, kokku 3 punkti.
Funktsiooni uurimine selle tuletise abil. Selles artiklis analüüsime mõnda funktsiooni graafiku uurimisega seotud ülesannet. Selliste ülesannete puhul esitatakse funktsiooni y = f (x) graafik ja püstitatakse küsimused, mis on seotud punktide arvu määramisega, kus funktsiooni tuletis on positiivne (või negatiivne), ja ka teisi. Need on klassifitseeritud ülesanneteks funktsioonide uurimisel tuletiste rakendamisel.
Selliste probleemide ja üldiselt uurimistööga seotud probleemide lahendamine on võimalik ainult funktsioonide ja tuletise graafikute uurimise tuletise omaduste täieliku mõistmisega. Seetõttu soovitan tungivalt vastavat teooriat uurida. Saate uurida ja ka vaadata (aga see sisaldab lühikest kokkuvõtet).
Kaalume tulevastes artiklites ka probleeme, kus tuletisgraafik on toodud, ärge jätke seda mööda! Niisiis, ülesanded:
Joonisel on kujutatud intervallil (−6; 8) defineeritud funktsiooni y = f (x) graafik. Määratlege:
1. Täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni tuletis on negatiivne;
2. Punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = 2;
1. Funktsiooni tuletis on negatiivne intervallidel, millel funktsioon väheneb, st intervallidel (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Need sisaldavad täisarvu punkte −5, −4, 1, 2, 3, 4 ja 7. Saame 7 punkti.
2. Otsene y= 2 paralleelne teljegaOhy= 2 ainult äärmuslikes punktides (punktides, kus graafik muudab oma käitumist kasvavast kahanevasse või vastupidi). Selliseid punkte on neli: –3; 0; 4,2; 6.9
Otsustage ise:
Määrake täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni tuletis on positiivne.
Joonisel on kujutatud intervallil (−5; 5) defineeritud funktsiooni y = f (x) graafik. Määratlege:
2. Täisarvuliste punktide arv, mille juures funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = 3;
3. Punktide arv, kus tuletis on null;
1. Funktsiooni tuletise omadustest on teada, et see on positiivne intervallidel, millel funktsioon suureneb, st intervallidel (1,4; 2,5) ja (4,4; 5). Need sisaldavad ainult ühte kogu point x = 2.
2. Otsene y= 3 paralleelne teljegaOh. Puutuja on joonega paralleelney= 3 ainult äärmuslikes punktides (punktides, kus graafik muudab oma käitumist suurenevalt kahanevalt või vastupidi).
Selliseid punkte on neli: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4
3. Tuletis on null at neli punkti(äärmuslikel punktidel), oleme need juba märkinud.
Otsustage ise:
Määrake täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni f(x) tuletis on negatiivne.
Joonisel on kujutatud intervallil (−2; 12) defineeritud funktsiooni y = f (x) graafik. Leia:
1. Täisarvu punktide arv, mille juures funktsiooni tuletis on positiivne;
2. Täisarvuliste punktide arv, mille juures funktsiooni tuletis on negatiivne;
3. Täisarvuliste punktide arv, mille juures funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = 2;
4. Punktide arv, kus tuletis on null.
1. Funktsiooni tuletise omadustest on teada, et see on positiivne intervallidel, millel funktsioon suureneb, st intervallidel (–2; 1), (2; 4), (7; 9) ja ( 10; 11). Need sisaldavad täisarvu punkte: –1, 0, 3, 8. Kokku on neid neli.
2. Funktsiooni tuletis on negatiivne intervallidel, millel funktsioon väheneb, see tähendab intervallidel (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Need sisaldavad täisarvu punkte 5 ja 6. Saame 2 punkti.
3. Otsene y= 2 paralleelne teljegaOh. Puutuja on joonega paralleelney= 2 ainult äärmuslikes punktides (punktides, kus graafik muudab oma käitumist kasvavast kahanevasse või vastupidi). Selliseid punkte on seitse: 1; 2; 4; 7; 9; 10; üksteist.
4. Tuletis on seitsmes punktis (äärmuspunktides) võrdne nulliga, oleme need juba ära märkinud.
Otsustades erinevaid ülesandeid geomeetria, mehaanika, füüsika ja muud teadmiste harud muutusid vajalikuks, kasutades selle funktsiooni sama analüütilist protsessi y=f(x) saada uus funktsioon mida nimetatakse tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis) antud funktsioonist f(x) ja on tähistatud sümboliga
Protsess, mille käigus antud funktsioonist f(x) hankige uus funktsioon f" (x), kutsus eristamist ja see koosneb järgmisest kolmest etapist: 1) esitage argument x juurdekasv
x ja määrake funktsiooni vastav juurdekasv
y = f(x+
x) -f(x); 2) luua suhe 
3) loendamine x pidev ja
x0, leiame 
, mida me tähistame f" (x), justkui rõhutades, et tulemuseks olev funktsioon sõltub ainult väärtusest x, mille juures jõuame piirini. Definitsioon:
Tuletis y " =f " (x)
antud funktsioon y=f(x)
antud x jaoks nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null, kui see piir muidugi on olemas, s.t. lõplik. Seega 
, või 
Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks x, näiteks millal x=a, suhtumine 
juures
x0 ei kipu lõplik piir, siis sel juhul öeldakse, et funktsioon f(x) juures x=a(või punktis x=a) ei oma tuletist või ei ole punktis diferentseeritav x=a.
2. Tuletise geomeetriline tähendus.
Vaatleme funktsiooni y = f (x) graafikut, mis on diferentseeruv punkti x 0 läheduses
f(x)
Vaatleme suvalist sirget, mis läbib funktsiooni graafikul olevat punkti - punkt A(x 0, f (x 0)) ja lõikub graafikuga mingis punktis B(x;f(x)). Sellist sirget (AB) nimetatakse sekantiks. Alates ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Kuna AC || Ox, siis ALO = BAC = β (vastavalt paralleelile). Kuid ALO on sekandi AB kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes. See tähendab tanβ = k - kalle sirge AB.
Nüüd vähendame ∆x, st. ∆х→ 0. Sel juhul läheneb punkt B vastavalt graafikule punktile A ja sekant AB pöörleb. Sekandi AB piirasend punktis ∆x → 0 on sirge (a), mida nimetatakse funktsiooni y = f (x) graafiku puutujaks punktis A.
Kui läheme võrrandis tgβ =∆y/∆x piirini ∆x → 0, saame 
ortg =f "(x 0), kuna 
-Ox-telje positiivse suuna puutuja kaldenurk 
, tuletise määratluse järgi. Kuid tg = k on puutuja nurkkoefitsient, mis tähendab, et k = tg = f "(x 0).
Seega on tuletise geomeetriline tähendus järgmine:
Funktsiooni tuletis punktis x 0 võrdne abstsissiga x punktis joonistatud funktsiooni graafiku puutuja kaldega 0 .
3. Tuletise füüsiline tähendus.
Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu antud punkti koordinaat igal ajahetkel x(t). Teada on (füüsikakursusest), et keskmine kiirus teatud aja jooksul võrdub selle ajaperioodi jooksul läbitud vahemaa suhtega aega, s.o.
Vav = ∆x/∆t. Liigume viimase võrdsuse piirini ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - hetkeline kiirus ajahetkel t 0, ∆t → 0.
ja lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (tuletise definitsiooni järgi).
Niisiis, (t) =x"(t).
Tuletise füüsikaline tähendus on järgmine: funktsiooni tuletisy = f(x) punktisx 0 on funktsiooni muutumise kiirusf(x) punktisx 0
Tuletist kasutatakse füüsikas kiiruse leidmiseks teadaolevast koordinaatide ja aja funktsioonist, kiirenduse leidmiseks kiiruse ja aja teadaolevast funktsioonist.
(t) = x"(t) – kiirus,
a(f) = "(t) - kiirendus või
Kui on teada ringjoone ainelise punkti liikumisseadus, siis võib leida nurkkiiruse ja nurkkiirendus pöörleva liikumise ajal:
φ = φ(t) – nurga muutus ajas,
ω = φ"(t) - nurkkiirus,
ε = φ"(t) – nurkiirendus või ε = φ"(t).
Kui on teada ebahomogeense varda massijaotuse seadus, siis saab leida ebahomogeense varda joontiheduse:
m = m(x) – mass,
x , l - varda pikkus,
p = m"(x) - lineaarne tihedus.
Tuletise abil lahendatakse ülesandeid elastsuse ja harmooniliste vibratsioonide teooriast. Niisiis, vastavalt Hooke'i seadusele
F = -kx, x – muutuv koordinaat, k – vedru elastsuse koefitsient. Kui panna ω 2 =k/m, saame vedrupendli diferentsiaalvõrrandi x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
kus ω = √k/√m võnkesagedus (l/c), k - vedru jäikus (H/m).
Võrrandit kujul y" + ω 2 y = 0 nimetatakse harmooniliste (mehaaniliste, elektriliste, elektromagnetiliste) võnkumiste võrrandiks. Selliste võrrandite lahendus on funktsioon
y = Asin(ωt + φ 0) või y = Acos(ωt + φ 0), kus
A - võnkumiste amplituud, ω - tsükliline sagedus,
φ 0 - algfaas.
Näidates seost tuletise märgi ja funktsiooni monotoonsuse olemuse vahel.
Palun olge järgneva suhtes äärmiselt ettevaatlik. Vaata, MIS sulle antakse ajakava! Funktsioon või selle tuletis
Kui on antud tuletise graafik, siis huvitavad meid ainult funktsioonimärgid ja nullid. Meid ei huvita põhimõtteliselt mingid “künkad” ega “lohud”!
Ülesanne 1.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Määrake täisarvuliste punktide arv, mille korral funktsiooni tuletis on negatiivne.
Lahendus:
Joonisel on kahaneva funktsiooni alad värviliselt esile tõstetud:
Need funktsiooni kahanevad piirkonnad sisaldavad 4 täisarvu.
2. ülesanne.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leidke punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on joonega paralleelne või ühtib sellega.
Lahendus:
Kui funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne (või langeb kokku) sirgega (või mis on sama), millel on kalle , võrdne nulliga, siis puutujal on ka nurgategur.
See omakorda tähendab, et puutuja on teljega paralleelne, kuna kalle on puutuja kaldenurga puutuja telje suhtes.
Seetõttu leiame graafikult äärmuspunktid (maksimaalsed ja miinimumpunktid) – just nendes punktides on graafiku puutuja funktsioonid teljega paralleelsed.
Selliseid punkte on 4.
3. ülesanne.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leidke punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on joonega paralleelne või ühtib sellega.
Lahendus:
Kuna funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne (või langeb kokku) sirgega, millel on kalle, siis on ka puutujal kalle.
See omakorda tähendab, et puutepunktides.
Seetõttu vaatame, kui paljude graafiku punktide ordinaat on võrdne .
Nagu näete, on selliseid punkte neli.
4. ülesanne.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leidke punktide arv, kus funktsiooni tuletis on 0.
Lahendus:
Tuletis on äärmuspunktides võrdne nulliga. Meil on neid 4:
5. ülesanne.
Joonisel on kujutatud funktsiooni ja üheteistkümne punkti graafik x-teljel:. Mitmes neist punktidest on funktsiooni tuletis negatiivne?
Lahendus:
Väheneva funktsiooni intervallidel võetakse selle tuletis negatiivsed väärtused. Ja funktsioon väheneb punktides. Selliseid punkte on 4.
6. ülesanne.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni graafik. Leia funktsiooni äärmuspunktide summa.
Lahendus:
Äärmuslikud punktid– need on maksimumpunktid (-3, -1, 1) ja miinimumpunktid (-2, 0, 3).
Ekstreemumipunktide summa: -3-1+1-2+0+3=-2.
Ülesanne 7.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia funktsiooni suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.
Lahendus:
Joonisel on esile tõstetud intervallid, kus funktsiooni tuletis on mittenegatiivne.
Väikesel suureneval intervallil ei ole täisarvupunkte, kasvaval intervallil on neli täisarvu väärtust: , , ja .
Nende summa:
Ülesanne 8.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Leia funktsiooni suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.
Lahendus:
Joonisel on kõik intervallid, millel tuletis on positiivne, värviliselt esile tõstetud, mis tähendab, et funktsioon ise suureneb nendel intervallidel.
Neist suurima pikkus on 6.
Ülesanne 9.
Joonisel on näidatud intervallil defineeritud funktsiooni tuletise graafik. Millises segmendi punktis omandab see suurima väärtuse?
Lahendus:
Vaatame, kuidas graafik sellel segmendil käitub, mis meid huvitab ainult tuletise märk .
Tuletise märk on miinus, kuna sellel lõigul olev graafik on telje all.