− Õpetaja Dumbadze V.A.
koolist 162 Peterburi Kirovi rajooni koolist.

Meie VKontakte grupp
Mobiilirakendused:

(Kus x t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest). Leia selle kiirus (m/s) ajahetkel t= 9 s.

Kell t= 9 s, meil on:

Miks me jätame esialgsest võrrandist välja arvu 17?

leida algfunktsiooni tuletis.

tuletis ei ole arvu 17

Miks leida tuletis?

Kiirus on koordinaadi tuletis aja suhtes.

Probleem palub teil leida kiiruse

x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest). Leia selle kiirus (m/s) ajahetkel t= 6 s.

Leiame kiiruse muutumise seaduse:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, mitte 20

pidage meeles protseduuri

Mis ajast on liitmine lahutamisele eelistatum?

Korrutamine on ülimuslik liitmise ja lahutamise ees. Pidage meeles laste oma kooli eeskuju: 2 + 2 · 2. Tuletan teile meelde, et siin selgub, et mitte 8, nagu mõned arvavad, vaid 6.

Sa ei saanud külalise vastusest aru.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Nii et kõik on õige, arvutage ise.

2) korrutamine/jagamine (sõltub järjestusest võrrandis; esimesena lahendatakse see, mis on enne);

3) liitmine/lahutamine (samamoodi oleneb järjestusest näites).

Korrutamine = jagamine, liitmine = lahutamine =>

Mitte 54 – (36+2), vaid 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Esiteks teile - Sergei Batkovitš. Teiseks, kas sa said aru, mida sa öelda tahtsid ja kellele? Ma ei saanud sinust aru.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele (kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest). Leia selle kiirus (m/s) ajahetkel s.

Leiame kiiruse muutumise seaduse: m/s. Kui meil on:

Tund teemal: “Eristamise reeglid”, 11. klass

Sektsioonid: Matemaatika

Tunni tüüp: teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine.

Tunni eesmärgid:

• hariv:
  • üldistada ja süstematiseerida tuletise leidmise teemalist materjali;
  • kinnistada eristamise reegleid;
  • avada õpilastele teema polütehniline ja rakenduslik tähendus;
• arendamine:
  • teostada kontrolli teadmiste ja oskuste omandamise üle;
  • arendada ja parandada oskust rakendada teadmisi muutunud olukorras;
  • arendada kõnekultuuri ning järelduste tegemise ja üldistusvõimet;
• hariv:
  • arendada kognitiivset protsessi;
  • Sisestada õpilastesse disaini täpsust ja sihikindlust.

Varustus:

• grafoprojektor, ekraan;
• kaardid;
• arvutid;
• laud;
• diferentseeritud ülesanded multimeedia esitluste vormis.

I. Kodutööde kontrollimine.

1. Kuulake õpilaste ettekandeid tuletisinstrumentide kasutamise näidetest.

2. Kaaluge näiteid tuletiste kasutamisest füüsikas, keemias, inseneriteaduses ja teistes õpilaste pakutud valdkondades.

II. Teadmiste värskendamine.

Õpetaja:

1. Määratlege funktsiooni tuletis.
2. Millist operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks?
3. Milliseid diferentseerimisreegleid kasutatakse tuletise arvutamisel? (Otsitavad õpilased on oodatud juhatusse).
   • summa tuletis;
   • töö tuletis;
   • konstantset tegurit sisaldav tuletis;
   • jagatise tuletis;
   • kompleksfunktsiooni tuletis;
4. Too näiteid rakendatud probleemid, mis viib tuletise mõisteni.

Mitmed konkreetsed probleemid erinevaid valdkondi Sci.

Ülesanne nr 1. Keha liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t). Kirjutage üles valem keha kiiruse ja kiirenduse leidmiseks ajahetkel t.

Ülesanne nr 2. Ringjoone R raadius varieerub vastavalt seadusele R = 4 + 2t 2. Määrake selle pindala muutumise kiirus V hetk t = 2 s. Ringi raadiust mõõdetakse sentimeetrites. Vastus: 603 cm 2 /s.

Ülesanne nr 3. Materiaalne punkt massiga 5 kg liigub seaduse järgi sirgjooneliselt

S(t) = 2t+ , kus S— kaugus meetrites, t– aeg sekundites. Leia hetkel punktile mõjuv jõud t = 4 s.

Vastus: N.

Ülesanne nr 4. Hooratas, mida hoiab pidur, keerab taha t s nurga all 3t - 0,1t 2 (rad). Leia:

a) hooratta pöörlemise nurkkiirus hetkel t = 7 Koos;
b) millisel ajahetkel hooratas peatub.

Vastus: a) 2,86; b) 150 s.

Tuletisinstrumentide kasutamise näited võivad hõlmata ka leidmise probleeme: erisoojusvõimsus ained antud keha, keha lineaartihedus ja kineetiline energia jne.

III. Esitus diferentseeritud ülesanded.

Need, kes soovivad A-taseme ülesandeid täita, istuvad arvuti taha ja sooritavad programmeeritud vastusega testi. ( Rakendus. )

1. Leia funktsiooni tuletise väärtus punktis x 0 = 3.

2. Leia funktsiooni y = xe x tuletise väärtus punktis x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Lahendage võrrand f / (x) = 0, kui f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Arvutage f/(1), kui f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Leidke funktsiooni f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) tuletise väärtus punktis t0 = 1.

6. Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele: S(t) = t 3 – 3t 2. Valige valem, mis määrab selle punkti liikumiskiiruse ajahetkel t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Tuletiste rakendamine füüsikas, tehnoloogias, bioloogias, elus

Tunni esitlus

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.

Tunni tüüp: integreeritud.

Tunni eesmärk: uurida tuletisinstrumentide rakendamise mõningaid aspekte erinevates füüsika, keemia ja bioloogia valdkondades.

Ülesanded: silmaringi laiendamine ja kognitiivne tegevusõpilased, areng loogiline mõtlemine ja oskus oma teadmisi rakendada.

Tehniline abi: interaktiivne tahvel; arvuti ja ketas.

I. Organisatsioonimoment

II. Tunni eesmärgi seadmine

– Tahaksin läbi viia õppetunni Nõukogude matemaatiku ja laevaehitaja Aleksei Nikolajevitš Krylovi moto all: "Teooria ilma praktikata on surnud või kasutu, praktika ilma teooriata on võimatu või kahjulik."

– Vaatame üle põhimõisted ja vastame küsimustele:

– Öelge mulle tuletise põhimääratlus?
– Mida teate tuletisest (omadused, teoreemid)?
– Kas teate näiteid tuletiste kasutamise probleemidest füüsikas, matemaatikas ja bioloogias?

Tuletise põhimääratluse ja selle põhjenduse kaalumine (vastus esimesele küsimusele):

Tuletis – üks matemaatika põhimõisteid. Nõuab oskust lahendada probleeme tuletisinstrumentide abil head teadmised teoreetiline materjal, võime viia läbi uuringuid erinevates olukordades.

Seetõttu koondame ja süstematiseerime tänases tunnis saadud teadmisi, arvestame ja hindame iga rühma tööd ning näitame mõne ülesande näitel, kuidas tuletise ja tuletise abil lahendada teisi ülesandeid. mittestandardsed ülesanded tuletisinstrumente kasutades.

III. Uue materjali selgitus

1. Hetkeline võimsus on töö tuletis aja suhtes:

W = piir ΔA/Δt ΔA – töökoha vahetus.

2. Kui keha pöörleb ümber telje, siis on pöördenurk aja funktsioon t
Siis nurkkiirus on võrdne:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Voolutugevus on tuletis Ι = piir Δg/Δt = g′, Kus g– aja jooksul läbi juhi ristlõike kantud positiivne elektrilaeng Δt.

4. Lase ΔQ– temperatuuri muutmiseks vajalik soojushulk Δt aeg siis lim ΔQ/Δt = Q′ = C – erisoojus.

5. Ülesanne keemilise reaktsiooni kiirusest

m(t) – m(t0) – aine kogus, mis aja jooksul reageerib t0 enne t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Olgu m mass radioaktiivne aine. Radioaktiivse lagunemise kiirus: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Diferentseeritud kujul on radioaktiivse lagunemise seadus järgmine: dN/dt = – λN, Kus N– tuumade arv, mis ei ole aja jooksul lagunenud t.

Selle avaldise integreerimisel saame: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = konst juures t = 0 radioaktiivsete tuumade arv N = NO, siit on meil: ln N0 = konstant, seega

n N = – λt + ln N0.

Seda väljendit võimendades saame:

– radioaktiivse lagunemise seadus, kus N0– südamike arv korraga t0 = 0, N– tuumade arv, mis ei ole aja jooksul lagunenud t.

7. Newtoni soojusülekande võrrandi järgi soojuse voolukiirus dQ/dt on otseselt võrdeline akna pindalaga S ning sise- ja välisklaasi vahelise temperatuuri erinevusega ΔT ning pöördvõrdeline selle paksusega d:

dQ/dt = A S/d ΔT

8. Difusiooninähtus on tasakaalujaotuse loomise protsess

Kontsentratsioonifaasis. Difusioon läheb küljele, tasandades kontsentratsioone.

m = D Δc/Δx c – kontsentratsioon
m = D c׳x x – koordineerida, D – difusioonikoefitsient

9. Oli teada, et elektriväli ergastab kas elektrilaengud, või magnetväli, millel on üks allikas – elektrivool. James Clark Maxwell tutvustas üht enne teda avastatud elektromagnetismi seaduste muudatust: magnetväli tekib ka siis, kui muutus elektriväli. Näiliselt väikesel muudatusel olid tohutud tagajärjed: täiesti uus füüsiline objekt – elektromagnetlaine. Maxwell tuletas meisterlikult, erinevalt Faradayst, kes pidas selle olemasolu võimalikuks, elektrivälja võrrandi:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = konst t

Elektrivälja muutus põhjustab välimuse magnetväli mis tahes ruumipunktis ehk teisisõnu määrab elektrivälja muutumise kiirus magnetvälja suuruse. Suure all elektri-šokk- suurem magnetväli.

IV. Õpitu kinnistamine

– Teie ja mina uurisime tuletist ja selle omadusi. Tahaks lugeda filosoofiline avaldus Gilbert: "Igal inimesel on teatud väljavaade. Kui see horisont kitseneb lõpmatult väikeseks, muutub see punktiks. Siis inimene ütleb, et see on tema seisukoht.
Proovime mõõta vaatenurka tuletise rakendamisel!

"Lehe" süžee(tuletise kasutamine bioloogias, füüsikas, elus)

Arvestage sügist kui ebaühtlane liikumine ajast sõltuv.

Niisiis: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teoreetiline küsitlus: mehaaniline tunne tuletis).

1. Probleemi lahendamine

Lahendage probleemid ise.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Paneme kirja Portoni II seaduse ja tuletise mehaanilist tähendust arvestades kirjutame selle ümber kujul: F = mV′ F = mS″

Süžee "Hundid, gophers"

Pöördume tagasi võrrandite juurde: Vaatleme eksponentsiaalse kasvu ja vähenemise diferentsiaalvõrrandeid: F = ma F = mV’ F = mS"
Paljude füüsikaülesannete lahendamine, tehniline bioloogia Ja sotsiaalteadused taandatakse funktsioonide leidmise probleemile f"(x) = kf(x), diferentsiaalvõrrandi rahuldamine, kus k = konst .

Inimese valem

Inimene on aatomist sama mitu korda suurem kui tähest väiksem:

Sellest järeldub
See on valem, mis määrab inimese koha universumis. Selle kohaselt tähistab inimese suurus tähe ja aatomi keskmist proportsionaalsust.

Tahaksin õppetunni lõpetada Lobatševski sõnadega: "Ei ole ühtegi matemaatika valdkonda, ükskõik kui abstraktne see ka poleks, mis kunagi ei oleks reaalse maailma nähtuste jaoks rakendatav."

V. Kollektsiooni numbrite lahendus:

Iseseisev probleemide lahendamine tahvlil, probleemilahenduste kollektiivne analüüs:

№ 1 Leidke liikumiskiirus materiaalne punkt 3. sekundi lõpus, kui punkti liikumine on antud võrrandiga s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s = 6t – t^2. Mis hetkel on selle kiirus võrdne nulliga?

№ 3 Kaks keha liiguvad sirgjooneliselt: üks vastavalt seadusele s = t^3 – t^2 – 27t, teine ​​vastavalt seadusele s = t^2 + 1. Määrake hetk, mil nende kehade kiirused osutuvad võrdseks .

№ 4 Kiirusega 30 m/s liikuva auto puhul määratakse pidurdusteekond valemiga s(t) = 30t-16t^2, kus s(t) on vahemaa meetrites, t on pidurdusaeg sekundites . Kui kaua kulub pidurdamiseks, kuni auto täielikult seiskub? Milline vahemaa läheb auto pidurdamise algusest kuni täieliku seiskumiseni?

№5 Keha massiga 8 kg liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s = 2t^2+ 3t – 1. Leia kineetiline energia keha (mv^2/2) 3 sekundit pärast liikumise algust.

Lahendus: Leiame kiiruse keha liigutused igal ajal:
V = ds / dt = 4t + 3
Arvutame keha kiiruse ajahetkel t = 3:
Vt = 3 = 4 * 3 + 3 = 15 (m/s).
Määrame keha kineetilise energia ajahetkel t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Leidke keha kineetiline energia 4 s pärast liikumise algust, kui selle mass on 25 kg ja liikumisseadus on kujul s = 3t^2- 1.

№7 Keha, mille mass on 30 kg, liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s = 4t^2 + t. Tõesta, et keha liikumine toimub toimel pidev jõud.
Lahendus: Meil ​​on s’ = 8t + 1, s” = 8. Seetõttu a(t) = 8 (m/s^2), st selle liikumisseadusega liigub keha koos pidev kiirendus 8 m/s^2. Lisaks, kuna keha mass on konstantne (30 kg), siis Newtoni teise seaduse kohaselt on sellele mõjuv jõud F = ma = 30 * 8 = 240 (H) samuti konstantne väärtus.

№8 3 kg kaaluv keha liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Leia kehale mõjuv jõud ajahetkel t = 4s.

№9 Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Leidke selle kiirendus 3. sekundi lõpus.

VI. Tuletise rakendamine matemaatikas:

Tuletis matemaatikas näitab numbriline avaldis samas punktis asuva suuruse muutumise määr erinevate tingimuste mõjul.

Tuletisvalem pärineb 15. sajandist. Suur itaalia matemaatik Tartagli, mõeldes ja arendades küsimust, kui palju sõltub mürsu lennukaugus püssi kaldest, rakendab seda oma töödes.

Tuletisvalemit leidub sageli teostes kuulsad matemaatikud 17. sajandil. Seda kasutasid Newton ja Leibniz.

Kuulus teadlane Galileo Galilei pühendab terve traktaadi tuletiste rollist matemaatikas. Seejärel hakati tuletist ja erinevaid esitlusi koos selle rakendusega leidma Descartes'i, prantsuse matemaatiku Robervali ja inglase Gregory töödes. Suure panuse tuletise uurimisse andsid sellised mõtted nagu L'Hopital, Bernoulli, Langrange jt.

1. Joonistage graafik ja uurige funktsiooni:

Lahendus sellele probleemile:

Lõõgastuse hetk

VII. Tuletise rakendamine füüsikas:

Teatud protsesside ja nähtuste uurimisel tekib sageli ülesanne määrata nende protsesside kiirus. Selle lahendus viib tuletise mõisteni, mis on põhimõiste diferentsiaalarvutus.

Diferentsiaalarvutuse meetod loodi 17. ja 18. sajandil. Selle meetodi tekkimisega on seotud kahe suure matemaatiku – I. Newtoni ja G.V. nimed. Leibniz.

Newton jõudis diferentsiaalarvutuse avastamiseni, kui lahendas ülesandeid materiaalse punkti liikumiskiiruse kohta. Sel hetkel aeg (hetkkiirus).

Füüsikas kasutatakse tuletist peamiselt suurima või madalaimad väärtused mis tahes koguseid.

№1 Potentsiaalne energia U osakese väli, milles on teine, täpselt sama osake, on kujul: U = a/r 2 – b/r, Kus a Ja b- positiivsed konstandid, r- osakeste vaheline kaugus. Leia: a) väärtus r0 mis vastab osakese tasakaaluasendile; b) välja selgitada, kas see olukord on stabiilne; V) Fmax tõmbejõu väärtus; d) kujutama näidisgraafikud sõltuvused U(r) Ja F(r).

Selle probleemi lahendus: kindlaks teha r0 mis vastab uuritava osakese tasakaaluasendile f = U(r)äärmuseni.

Kasutades seost välja potentsiaalse energia vahel

U Ja F, Siis F = – dU/dr, saame F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; kus r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Säästev või ebastabiilne tasakaal teise tuletise märgiga määrame:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Mõelge juhtumile, kui täidetud platvormilt valgub välja liiv.
Impulsi muutus lühikese aja jooksul:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Tähtaeg Δ µtu on platvormilt aja Δ jooksul väljavalatud liiva koguse impulss t. Seejärel:
Δ p = MΔ u – µtΔ sina – Δ µtΔ u = FΔ t
Jagage Δ-ga t ja liikuda edasi piirini Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Või a1 = du/dt = F/(M – µt)

Vastus: a = FM / (M + µt) 2, a1 = F/(M – µt)

VIII. Iseseisev töö:

Leia funktsioonide tuletised:

Sirge y = 2x on funktsiooni puutuja: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Leidke puutepunkti abstsiss.

IX. Õppetunni kokkuvõtteks:

– Millistele küsimustele õppetund oli pühendatud?
– Mida sa tunnis õppisid?
– Milliseid teoreetilisi fakte tunnis kokku võeti?
– Millised ülesanded osutusid kõige raskemateks? Miks?

Bibliograafia:

1. Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Matemaatilised mudelid ja diferentsiaalvõrrandid. – Minsk: lõpetanud kool, 1982. – 272 lk.
2. Amelkin V.V. Diferentsiaalvõrrandid rakendustes. M.: Teadus. Füüsikalise ja matemaatikakirjanduse peatoimetus, 1987. – 160 lk.
3. Erugin N.P. Raamat lugemiseks üldkursus diferentsiaalvõrrandid. – Minsk: Teadus ja tehnoloogia, 1979. – 744 lk.
4. .Ajakiri "Potentsiaal" november 2007 nr 11
5. “Algebra ja analüüsi põhimõtted” 11. klass S.M. Nikolsky, M.K. Potapov ja teised.
6. "Algebra ja matemaatiline analüüs" N.Ya. Vilenkin jt.
7. "Matemaatika" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveicchik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Tuletise füüsiline tähendus. Ülesanded!

Füüsiline tähendus tuletis. Matemaatika ühtne riigieksam sisaldab ülesannete rühma, mille lahendamiseks on vaja teadmisi ja arusaamist tuletise füüsikalisest tähendusest. Eelkõige on probleeme, kus on antud teatud punkti (objekti) liikumisseadus, väljendatakse võrrandiga ja peate leidma selle kiiruse teatud liikumishetkel või aja, mille möödudes objekt omandab teatud kiiruse. Ülesanded on väga lihtsad, neid saab lahendada ühe toiminguga. Niisiis:

Laske materiaalse punkti x (t) liikumisseadus mööda koordinaatide telg, kus x on liikuva punkti koordinaat, t on aeg.

Kiirus teatud ajahetkel on koordinaadi tuletis aja suhtes. See on tuletise mehaaniline tähendus.

Samuti on kiirendus kiiruse tuletis aja suhtes:

Seega on tuletise füüsikaline tähendus kiirus. See võib olla liikumiskiirus, protsessi muutumise kiirus (näiteks bakterite paljunemine), töö kiirus (ja nii edasi, rakendusprobleeme on palju).

Lisaks pead teadma tuletistabelit (seda pead teadma täpselt nagu korrutustabelit) ja diferentseerimise reegleid. Nimetatud probleemide lahendamiseks on vaja teadmisi esimese kuue tuletise kohta (vt tabelit):

x (t) = t 2 – 7t – 20

kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 5 s.

Tuletise füüsikaline tähendus on kiirus (liikumiskiirus, protsessi muutumise kiirus, töö kiirus jne).

Leiame kiiruse muutumise seaduse: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) = 6t 2 – 48t + 17, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 9 s.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 6 s.

Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt

x (t) = –t 4 + 6 t 3 + 5 t + 23

Kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 3 s.

Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus 6 m/s?

Leiame kiiruse muutumise seaduse:

Et teada saada, mis ajahetkel t kiirus oli 3 m/s, on vaja lahendada võrrand:

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) = t 2 – 13t + 23, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus 3 m/s?

Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt

x (t) = (1/3) t 3 – 3 t 2 – 5 t + 3

Kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 2 m/s?

Tahaksin märkida, et te ei tohiks ühtse riigieksami puhul keskenduda ainult seda tüüpi ülesannetele. Need võivad täiesti ootamatult tuua esile probleeme, mis on vastupidised esitatutele. Kui kiiruse muutumise seadus on antud ja küsimus on liikumisseaduse leidmises.

Vihje: sel juhul tuleb leida kiirusfunktsiooni integraal (see on samuti üheastmeline probleem). Kui teil on vaja leida teatud ajahetkel läbitud vahemaa, peate saadud võrrandisse asendama aja ja arvutama vahemaa. Kuid me analüüsime ka selliseid probleeme, ärge jätke seda mööda! Soovin teile edu!

matematikalegko.ru

Algebra ja algus matemaatiline analüüs, 11. klass (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Lehekülg nr 094.

Õpik:

Õpiku lehe OCR-versioon (ülal asuva lehe tekst):

Selle lõigu alguses käsitletud probleemide põhjal on tõesed järgmised väited:

1. Kui kl sirge liikumine punktiga läbitav tee s on aja t funktsioon, st s = f(t), siis punkti kiirus on tee tuletis aja suhtes, st v(t) =

See asjaolu väljendab tuletise mehaanilist tähendust.

2. Kui punktis x 0 tõmmatakse funktsiooni y = f (jc) graafikule puutuja, siis on arv f"(xo) nurga a puutuja selle puutuja ja Ox-telje positiivse suuna vahel. , st /"(x 0) =

Tga. Seda nurka nimetatakse puutujanurgaks.

See asjaolu väljendab geomeetriline tähendus tuletis.

NÄIDE 3. Leiame funktsiooni y = 0,5jc 2 - 2x + 4 graafiku puutuja kaldenurga puutuja punktis, mille abstsiss on x = 0.

Leiame funktsiooni f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 tuletise mis tahes punktis x, kasutades võrdust (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Arvutame selle tuletise väärtuse punktis x = 0:

Seetõttu tga = -2. Funktsiooni y = /(jc) x-graafik ja selle graafiku puutuja punktis, mille abstsiss on jc = 0, on näidatud joonisel 95.

4.1 Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s = t 2. Leia:

a) ajakasv D£ ajavahemikul t x = 1 kuni £ 2 - 2;

b) tee As juurdekasv ajavahemikul t x = 1 kuni t 2 = 2;

V) keskmine kiirus ajavahemikul t x = 1 kuni t 2 = 2.

4.2 Ülesandes 4.1 leidke:

b) keskmine kiirus ajavahemikul t kuni t + At;

V) hetkeline kiirus ajal t;

d) hetkkiirus ajahetkel t = 1.

4.3 Laske punktil liikuda sirgjooneliselt vastavalt seadusele:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) tee As juurdekasv ajavahemikul t kuni t + At;

Õpik: Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 11. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [S. M. Nikolski, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Ševkin]. - 8. väljaanne - M.: Haridus, 2009. - 464 lk.: ill.

Punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt S = t 4 + 2 t (S - meetrites, t- sekundites). Leidke selle keskmine kiirendus hetkedevahelises intervallis t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, samuti selle tegelik kiirendus hetkel t 3 = 6 s.

Lahendus.

1. Leia punkti kiirus tee S tuletis aja suhtes t, need.

2. Asendades t asemel selle väärtused t 1 = 5 s ja t 2 = 7 s, leiame kiirused:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Määrake kiiruse juurdekasv ΔV ajal Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Seega on punkti keskmine kiirendus võrdne

5. Punkti kiirenduse tegeliku väärtuse määramiseks võtame kiiruse tuletise aja suhtes:

6. Selle asemel asendamine t väärtus t 3 = 6 s, saame sellel ajahetkel kiirenduse

av = 12-6 3 = 432 m/s2.

Kurviline liikumine. Kell kõverjooneline liikumine punkti kiirus muutub suurusjärgus ja suunas.

Kujutagem ette punkti M, mis aja jooksul Δt liikudes mööda mõnda kõverjooneline trajektoor, liigutatud asendisse M 1(joonis 6).

Kiiruse juurdekasvu (muutuse) vektor ΔV tahe

Sest vektori ΔV leidmiseks liigutage vektor V 1 punkti M ja konstrueerida kiiruskolmnurk. Määrame keskmise kiirenduse vektori:

Vektor a kolmapäev on paralleelne vektoriga ΔV, kuna jagades vektori arvuga skalaarne suurus vektori suund ei muutu. Tõeline kiirendusvektor on piir, milleni kiirusvektori suhe vastavasse ajavahemikku Δt kaldub nulli, s.o.

Seda piiri nimetatakse vektori tuletiseks.

Seega punkti tegelik kiirendus kõverjoonelise liikumise ajal on võrdne vektori tuletisega kiiruse suhtes.

Jooniselt fig. 6 on selge, et kõverjoonelise liikumise kiirendusvektor on alati suunatud trajektoori nõgususe poole.

Arvutuste mugavuse huvides jagatakse kiirendus liikumistrajektoori järgi kaheks komponendiks: piki puutujat, mida nimetatakse tangentsiaalseks (tangentsiaalseks) kiirenduseks. A, ja piki normaalset, mida nimetatakse normaalkiirenduseks a n (joonis 7).

Sel juhul on kogukiirendus võrdne

Tangentsiaalne kiirendus langeb suunalt kokku punkti kiirusega või on sellele vastupidine. See iseloomustab kiiruse muutust ja määratakse vastavalt valemiga

Tavaline kiirendus on risti punkti kiiruse suunaga ja numbriline väärtus see määratakse valemiga

kus r - trajektoori kõverusraadius vaadeldavas punktis.

Kuna tangentsiaalne ja normaalkiirendus on üksteisega risti, määratakse kogukiirenduse väärtus valemiga

ja selle suund

Kui , siis on tangentsiaalse kiirenduse ja kiiruse vektorid suunatud ühes suunas ja liikumine kiireneb.

Kui , siis on tangentsiaalse kiirenduse vektor suunatud küljele, vektori vastas kiirus ja liikumine on aeglane.

Vektor normaalne kiirendus alati suunatud kumeruskeskme poole, mistõttu seda nimetatakse tsentripetaalseks.

Tuletise füüsiline tähendus. Matemaatika ühtne riigieksam sisaldab ülesannete rühma, mille lahendamiseks on vaja teadmisi ja arusaamist tuletise füüsikalisest tähendusest. Eelkõige on probleeme, kus teatud punkti (objekti) liikumisseadus on antud, väljendatuna võrrandiga ja see peab leidma selle kiiruse teatud liikumishetkel või aja, mille möödudes objekt omandab teatud etteantud kiiruse.Ülesanded on väga lihtsad, neid saab lahendada ühe toiminguga. Niisiis:

Olgu antud materiaalse punkti x (t) piki koordinaattelge liikumise seadus, kus x on liikuva punkti koordinaat, t on aeg.

Kiirus teatud ajahetkel on koordinaadi tuletis aja suhtes. See on tuletise mehaaniline tähendus.

Samuti on kiirendus kiiruse tuletis aja suhtes:

Seega on tuletise füüsikaline tähendus kiirus. See võib olla liikumiskiirus, protsessi muutumise kiirus (näiteks bakterite paljunemine), töö kiirus (ja nii edasi, rakendusprobleeme on palju).

Lisaks pead teadma tuletistabelit (seda pead teadma täpselt nagu korrutustabelit) ja diferentseerimise reegleid. Nimetatud probleemide lahendamiseks on vaja teadmisi esimese kuue tuletise kohta (vt tabelit):

Vaatleme ülesandeid:

x (t) = t 2 – 7t – 20

kus x t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 5 s.

Tuletise füüsikaline tähendus on kiirus (liikumiskiirus, protsessi muutumise kiirus, töö kiirus jne).

Leiame kiiruse muutumise seaduse: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Kui t = 5 on meil:

Vastus: 3

Otsustage ise:

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) = 6t 2 – 48t + 17, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 9 s.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kus xt- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 6 s.

Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt

x (t) = –t 4 + 6 t 3 + 5 t + 23

Kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites,t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Leidke selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t = 3 s.

Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus 6 m/s?

Leiame kiiruse muutumise seaduse:

Et teada saada, mis ajahetkeltkiirus oli 3 m/s, on vaja lahendada võrrand:

Vastus: 3

Otsustage ise:

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t) = t 2 – 13t + 23, kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus 3 m/s?

Materiaalne punkt liigub vastavalt seadusele sirgjooneliselt

x (t) = (1/3) t 3 – 3 t 2 – 5 t + 3

Kus x- kaugus võrdluspunktist meetrites, t- aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 2 m/s?

Tahaksin märkida, et te ei tohiks ühtse riigieksami puhul keskenduda ainult seda tüüpi ülesannetele. Need võivad täiesti ootamatult tuua esile probleeme, mis on vastupidised esitatutele. Kui kiiruse muutumise seadus on antud ja küsimus on liikumisseaduse leidmises.

Vihje: sel juhul tuleb leida kiirusfunktsiooni integraal (see on samuti üheastmeline probleem). Kui teil on vaja leida teatud ajahetkel läbitud vahemaa, peate saadud võrrandisse asendama aja ja arvutama vahemaa. Kuid me analüüsime ka selliseid probleeme, ärge jätke seda mööda!Soovin teile edu!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.