Teie kui lapsevanemad puutute oma lapse harimise käigus rohkem kui korra kokku abivajadusega matemaatika, algebra ja geomeetria koduülesannete lahendamisel. Ja üks põhioskusi, mida peate õppima, on väljendi tähenduse leidmine. Paljud inimesed on ummikus, sest mitu aastat on möödunud sellest, kui me 3-5 klassis õppisime? Palju on juba unustatud ja osa on jäänud õppimata. Reeglid ise matemaatilised tehted- on lihtsad ja neid on lihtne meeles pidada. Alustame matemaatilise avaldise põhitõdedest.

Väljend Definitsioon

Matemaatiline avaldis on arvude, tegevusmärkide (=, +, -, *, /), sulgude ja muutujate komplekt. Lühidalt öeldes on see valem, mille väärtus tuleb leida. Selliseid valemeid leidub matemaatikakursustel koolist saati ja need kummitavad seejärel õpilasi, kes on valinud erialaga seotud erialad. täppisteadused. Matemaatilised avaldised jagunevad trigonomeetrilisteks, algebralisteks ja nii edasi, ärgem laskugem väga "metsikusse".

1. Tehke kõik arvutused esmalt mustandil ja seejärel kirjutage need uuesti sisse töövihik. Nii väldid tarbetuid ülekäike ja mustust;
2. Arvutage ümber avaldises sooritatavate matemaatiliste toimingute koguarv. Pange tähele, et reeglite kohaselt tehakse esmalt sulgudes olevad tehted, seejärel jagamine ja korrutamine ning kõige lõpus lahutamine ja liitmine. Soovitame kõik toimingud pliiatsiga esile tõsta ja tegevuste kohale paigutada numbrid nende sooritamise järjekorras. Sel juhul on nii teil kui ka teie lapsel lihtsam navigeerida;
3. Alustage arvutuste tegemist rangelt toimingute järjekorda järgides. Laske lapsel, kui arvutus on lihtne, proovige seda oma peas sooritada, aga kui see on raske, siis pange pliiatsi sisse avaldise järjekorranumbrile vastav arv ja teostage arvutus kirjalikult valemi all;
4. Tavaliselt leidke väärtus lihtne väljend ei ole raske, kui kõik arvutused tehakse vastavalt reeglitele ja õiges järjekorras. Enamik inimesi puutub probleemiga täpselt kokku selles etapis väljendi tähenduse leidmine, seega olge ettevaatlik ja ärge tehke vigu;
5. Keelake kalkulaator. saami matemaatilised valemid ja ülesanded teie lapse elus ei pruugi olla kasulikud, kuid see pole aine õppimise eesmärk. Peamine on areng loogiline mõtlemine. Kui kasutate kalkulaatoreid, läheb kõige tähendus kaotsi;
6. Sinu kui lapsevanema ülesanne ei ole oma lapse eest probleeme lahendada, vaid teda selles aidata, suunata. Las ta teeb kõik arvutused ise ja veenduge, et ta ei eksiks, selgitage, miks ta peab seda tegema nii ja mitte teisiti.
7. Kui avaldise vastus on leitud, kirjuta see pärast märgi “=” üles;
8. Avatud viimane lehekülg matemaatika õpik. Tavaliselt on raamatus vastused igale harjutusele. Ei tee paha kontrollida, kas kõik on õigesti arvutatud.

Väljendi tähenduse leidmine on ühest küljest lihtne protseduur, peamine on meeles pidada põhireegleid, mille läbisime koolikursus matemaatika. Kuid teisest küljest, kui teil on vaja aidata oma lapsel valemitega toime tulla ja probleeme lahendada, muutub probleem keerulisemaks. Lõppude lõpuks pole te nüüd mitte õpilane, vaid õpetaja ja tulevase Einsteini haridus lasub teie õlul.

Loodame, et meie artikkel aitas teil leida vastuse küsimusele, kuidas leida väljendi tähendust, ja saate hõlpsalt välja mõelda mis tahes valemi!

Valem

Liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine - aritmeetilised tehted (või aritmeetilised tehted ). Need aritmeetilised toimingud vastavad märkidele aritmeetilised tehted:

+ (loe" pluss") - liitmistoimingu märk,

- (loe" miinus") - märk lahutamise tehted,

∙ (loe" korrutada") - märk korrutamisoperatsioonid,

: (loe" jagama") on jagamise märk.

Kutsutakse kirjet, mis koosneb aritmeetiliste märkide abil omavahel ühendatud numbritest numbriline avaldis. Numbriline avaldis võib sisaldada ka sulgusid. Näiteks kirje 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) on numbriline avaldis.

Kutsutakse numbrite avaldises arvudega tehtud toimingute tulemust arvavaldise väärtus. Nende toimingute sooritamist nimetatakse arvavaldise väärtuse arvutamiseks. Enne arvavaldise väärtuse kirjutamist pane võrdusmärk"=". Tabelis 1 on toodud numbriliste avaldiste ja nende tähenduste näited.

Kirje, mis koosneb numbritest ja väikestest tähtedest Ladina tähestik, mis on omavahel ühendatud aritmeetiliste tehete märkidega, nimetatakse sõnasõnaline väljendus. See kirje võib sisaldada sulgusid. Näiteks salvestada a+b - 3 ∙c on sõnasõnaline väljend. Kirjade asemel sõnasõnaline väljendus saab asendada erinevad numbrid. Sel juhul võib tähtede tähendus muutuda, mistõttu kutsutakse ka täheväljendis olevaid tähti muutujad.

Asendades sõnasõnalises avaldises tähtede asemel numbreid ja arvutades saadud arvulise avaldise väärtuse, leiavad nad sõnasõnalise avaldise tähendus etteantud täheväärtuste jaoks(muutujate antud väärtuste jaoks). Tabelis 2 on toodud täheväljendite näited.

Literaalsel avaldisel ei pruugi olla tähendust, kui tähtede väärtuste asendamisel saadakse numbriline avaldis, mille väärtus naturaalarvud ei ole leitav. Seda arvulist avaldist nimetatakse vale naturaalarvude jaoks. Samuti öeldakse, et sellise väljendi tähendus on " määratlemata" naturaalarvude jaoks ja avaldis ise "pole mõtet". Näiteks sõnasõnaline väljend a-b ei oma tähtsust, kui a = 10 ja b = 17. Tõepoolest, naturaalarvude puhul ei saa minu lõpp olla väiksem kui alamosa. Näiteks kui teil on ainult 10 õuna (a = 10), ei saa te neist 17 ära anda (b = 17)!

Tabelis 2 (veerg 2) on toodud näide sõnasõnalisest avaldisest. Analoogia põhjal täitke tabel täielikult.

Naturaalarvude puhul on avaldis 10–17 vale (pole mõtet), st. erinevust 10 -17 ei saa väljendada naturaalarvuna. Teine näide: nulliga jagada ei saa, seega iga naturaalarvu b korral jagatis b: 0 määratlemata.

Matemaatilised seadused, omadused, mõned reeglid ja seosed on sageli kirjutatud sõnasõnalises vormis (st sõnasõnalise väljendi kujul). Nendel juhtudel nimetatakse sõnasõnalist väljendit valem. Näiteks kui seitsenurga küljed on võrdsed a,b,c,d,e,f,g, seejärel selle perimeetri arvutamiseks valem (sõnasõnaline avaldis). lk on kujul:

p =a+b+c +d+e+f+g

Kui a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, on seitsenurga ümbermõõt p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Kui a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, siis teise seitsenurga ümbermõõt p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Plokk 1. Sõnavara

Koostage lõigust uute terminite ja definitsioonide sõnastik. Selleks kirjutage tühjadesse lahtritesse sõnad allolevast terminite loendist. Märkige tabelis (ploki lõpus) ​​terminite numbrid vastavalt raamide numbritele. Enne sõnaraamatu lahtrite täitmist on soovitatav lõik uuesti hoolikalt üle vaadata.

1. Tehted: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine.

2. Märgid “+” (pluss), “-” (miinus), “∙” (korruta, “ : " (jaga).

3. Kirje, mis koosneb arvudest, mis on omavahel seotud aritmeetiliste tehtemärkidega ja mis võivad sisaldada ka sulgusid.

4. Numbritega tehtud toimingute tulemus arvavaldises.

5. Arvulise avaldise väärtusele eelnev märk.

6. Kirje, mis koosneb ladina tähestiku numbritest ja väikestest tähtedest, mis on omavahel ühendatud aritmeetiliste tehtemärkidega (võivad olla ka sulud).

7. Üldnimetus tähed otseses väljenduses.

8. Numbriavaldise väärtus, mis saadakse muutujate asendamisel literaalavaldisega.

9. Numbriline avaldis, mille väärtust naturaalarvudele ei leita.

10. Arvuline avaldis, mille väärtus naturaalarvude jaoks on leitav.

11. Matemaatilised seadused, omadused, mõned reeglid ja seosed, kirjalikult kirjas.

12. Tähestik, mille väikeseid tähti kasutatakse tähestikuliste väljendite kirjutamiseks.

Plokk 2. Matš

Ühendage vasakpoolses veerus olev ülesanne parempoolse lahendusega. Kirjuta oma vastus vormile: 1a, 2d, 3b...

Plokk 3. Facet test. Numbrilised ja tähestikulised avaldised

Fasettestid asendavad matemaatika ülesannete kogusid, kuid erinevad neist soodsalt selle poolest, et neid saab lahendada arvutis, lahendusi saab kontrollida ja töö tulemust saab kohe teada. See test sisaldab 70 ülesannet. Kuid saate probleeme lahendada valikuliselt, selleks on olemas hindamistabel, mis näitab lihtsaid ülesandeid ja raskem. Allpool on test.

1. Antud kolmnurk külgedega c,d,m, väljendatud cm-des
2. Antud külgedega nelinurk b,c,d,m, väljendatuna m
3. Auto kiirus km/h on b, reisiaeg tundides on d
4. Turisti läbitud vahemaa m tundi on Koos km
5. Kiirusega liikuva turisti läbitud vahemaa m km/h on b km
6. Kahe arvu summa on teisest arvust 15 võrra suurem
7. Erinevus on väiksem kui see, mida vähendatakse 7 võrra
8. Reisilaeval on kaks tekki sama arvu reisijatekohtadega. Igas teki reas m istmed, read tekil n rohkem kui istekohti reas
9. Petya on m-aastane, Maša on n-aastane ja Katya on k aastat noorem kui Petya ja Maša koos
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Selle väljendi tähendus
2. Perimeetri sõnasõnaline avaldis on
3. Ümbermõõt on väljendatud sentimeetrites
4. Autoga läbitud vahemaa valem
5. Kiiruse v valem, turistide liikumine
6. Aja t valem, turistide liikumine
7. Autoga läbitud vahemaa kilomeetrites
8. Turisti kiirus kilomeetrites tunnis
9. Turistide reisiaeg tundides
10. Esimene number on...
11. Alamlahend on võrdne...
12. Väljend jaoks suurim arv reisijad, kes saavad liinilaeva transportida k lennud
13. Nai suur kogus reisijad, kes saavad liinilaeva transportida k lennud
14. Katya vanuse täheväljendus
15. Katya vanus
16. Punkti B koordinaat, kui punkti C koordinaat on t
17. Punkti D koordinaat, kui punkti C koordinaat on t
18. Punkti A koordinaat, kui punkti C koordinaat on t
19. Lõigu BD pikkus numbritel
20. Lõigu CA pikkus arvteljel
21. Lõigu DA pikkus arvujoonel

Esimene tase

Avaldiste teisendamine. Üksikasjalik teooria (2019)

Avaldiste teisendamine

Seda kuuleme sageli ebameeldiv lause: "lihtsustage väljendit." Tavaliselt näeme sellist koletist:

"See on palju lihtsam," ütleme me, kuid selline vastus tavaliselt ei tööta.

Nüüd ma õpetan sind mitte midagi kartma sarnased ülesanded. Veelgi enam, õppetunni lõpus lihtsustate te ise selle näite (lihtsalt!) tavaliseks numbriks (jah, paganama nende tähtedega).

Kuid enne selle õppetüki alustamist peate suutma käsitleda murde ja faktoripolünoome. Seetõttu, kui te pole seda varem teinud, mõistke kindlasti teemad "" ja "".

Kas olete seda lugenud? Kui jah, siis olete nüüd valmis.

Põhilised lihtsustustoimingud

Nüüd vaatame põhitehnikaid, mida kasutatakse väljendite lihtsustamiseks.

Lihtsaim on

1. Sarnase toomine

Mis on sarnased? Võtsite selle kasutusele 7. klassis, kui matemaatikas ilmusid esimest korda numbrite asemel tähed. Sarnased on sama täheosaga terminid (monoomid). Näiteks kokku sarnased terminid- see olen mina.

Kas sa mäletad?

Sarnaste toomine tähendab mitme sarnase termini liitmist ja ühe termini saamist.

Kuidas me saame tähed kokku panna? - te küsite.

Seda on väga lihtne mõista, kui kujutate ette, et tähed on mingid objektid. Näiteks kiri on tool. Millega siis väljend võrdub? Kaks tooli pluss kolm tooli, mitu tooli tuleb? Täpselt nii, toolid: .

Proovige nüüd seda väljendit: .

Segaduste vältimiseks laske erinevad tähed esindavad erinevaid objekte. Näiteks - on (nagu tavaliselt) tool ja - on laud. Seejärel:

toolid lauad toolid lauad toolid toolid lauad

Nimetatakse numbreid, millega sellistes terminites tähed korrutatakse koefitsiendid. Näiteks monomialis on koefitsient võrdne. Ja selles on võrdne.

Niisiis, sarnaste toomise reegel on järgmine:

Näited:

Andke sarnased:

Vastused:

2. (ja sarnased, kuna seetõttu on neil terminitel sama täheosa).

2. Faktoriseerimine

See on tavaliselt kõige rohkem oluline osa väljendite lihtsustamisel. Pärast sarnaste andmist tuleb saadud avaldis enamasti faktoriseerida, st esitada tootena. See on eriti oluline murdude puhul: selleks, et oleks võimalik murda vähendada, tuleb lugeja ja nimetaja esitada korrutisena.

Avaldiste faktooringu meetodeid uurisite üksikasjalikult teemas "", nii et siin peate lihtsalt õpitut meeles pidama. Selleks otsustage mõned näiteid(tuleb faktoriseerida):

Lahendused:

3. Murru vähendamine.

Noh, mis saaks olla meeldivam kui osa lugejast ja nimetajast maha kriipsutada ja need oma elust välja visata?

See on vähendamise ilu.

See on lihtne:

Kui lugeja ja nimetaja sisaldavad samu tegureid, saab neid vähendada, st eemaldada murdosast.

See reegel tuleneb murdosa põhiomadusest:

See tähendab, et redutseerimisoperatsiooni olemus seisneb selles Jagame murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga (või sama avaldisega).

Murdosa vähendamiseks vajate:

1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima

2) kui lugeja ja nimetaja sisaldavad ühised tegurid, saab need läbi kriipsutada.

Põhimõte on minu arvates selge?

Tahaksin juhtida teie tähelepanu ühele asjale tüüpiline viga lepingu sõlmimisel. Kuigi see teema on lihtne, teevad paljud inimesed kõike valesti, mõistmata seda vähendada- see tähendab jagama lugeja ja nimetaja on samad numbrid.

Lühendeid ei kasutata, kui lugeja või nimetaja on summa.

Näiteks: me peame lihtsustama.

Mõned inimesed teevad seda: mis on täiesti vale.

Teine näide: vähendada.

"Targeim" teeb seda: .

Ütle mulle, mis siin valesti on? Näib: - see on kordaja, mis tähendab, et seda saab vähendada.

Aga ei: - see on lugejas ainult ühe liikme tegur, kuid lugejat ennast tervikuna ei faktoriseerita.

Siin on veel üks näide: .

See avaldis on faktoriseeritud, mis tähendab, et saate seda vähendada, st jagada lugeja ja nimetaja järgmisega ja seejärel järgmisega:

Saate selle kohe jagada:

Selliste vigade vältimiseks pidage meeles lihtne viis kuidas teha kindlaks, kas avaldis on faktoriseeritud:

Avaldise väärtuse arvutamisel viimasena sooritatav aritmeetiline tehe on “peatehe”. See tähendab, et kui asendate tähtede asemel mõned (mis tahes) numbrid ja proovite arvutada avaldise väärtust, viimane tegevus toimub korrutis - mis tähendab, et meil on korrutis (avaldis on faktoriseeritud). Kui viimane toiming on liitmine või lahutamine, tähendab see, et avaldist ei ole faktoriseeritud (ja seetõttu ei saa seda redutseerida).

Konsolideerimiseks lahendage mõned ise näiteid:

Vastused:

1. Loodan, et sa kohe lõikama ei tormanud ja? Ikka ei piisanud selliste ühikute "vähendamiseks":

Esimene samm peaks olema faktoriseerimine:

4. Murdude liitmine ja lahutamine. Murdude taandamine ühisele nimetajale.

Liitmine ja lahutamine tavalised murrud- tehe on hästi teada: otsime ühisnimetaja, korrutame iga murdosa puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad. Tuletame meelde:

Vastused:

1. Nimetajad ja on suhteliselt esmased, st neil ei ole ühiseid tegureid. Seetõttu on nende arvude LCM võrdne nende korrutisega. Sellest saab ühine nimetaja:

2. Siin on ühine nimetaja:

3. Esimene asi siin segafraktsioonid muudame need valedeks ja järgime siis tavalist mustrit:

Täiesti teine ​​asi on see, kui murrud sisaldavad näiteks tähti:

Alustame millegi lihtsaga:

a) Nimetajad ei sisalda tähti

Siin on kõik sama, mis tavaliste arvuliste murdude puhul: leiame ühise nimetaja, korrutame iga murdosa puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad:

Nüüd saate lugejas anda sarnased, kui need on olemas, ja arvutada need:

Proovige ise:

b) Nimetajad sisaldavad tähti

Meenutagem põhimõtet leida tähtedeta ühisosa:

· kõigepealt määrame kindlaks ühised tegurid;

· siis kirjutame ükshaaval välja kõik levinud tegurid;

· ja korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.

Nimetajate ühistegurite määramiseks seame need esmalt algteguriteks:

Rõhutame ühiseid tegureid:

Nüüd kirjutame levinumad tegurid ükshaaval välja ja lisame neile kõik ebatavalised (joonimata):

See on ühine nimetaja.

Tuleme tagasi kirjade juurde. Nimetajad antakse täpselt samal viisil:

· faktori nimetajaid;

· määrata kindlaks ühised (identsed) tegurid;

· kõik levinud tegurid üks kord välja kirjutada;

· korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.

Niisiis, järjekorras:

1) arvutage nimetajad:

2) määrake kindlaks ühised (identsed) tegurid:

3) kirjutage üks kord välja kõik levinumad tegurid ja korrutage need kõigi muude (allajoonimata) teguritega:

Nii et siin on ühine nimetaja. Esimene murdosa tuleb korrutada, teine ​​- arvuga:

Muide, on üks nipp:

Näiteks: .

Nimetajates näeme samu tegureid, ainult et kõik koos erinevad näitajad. Ühine nimetaja saab olema:

mingil määral

mingil määral

mingil määral

mingil määral.

Teeme ülesande keerulisemaks:

Kuidas teha murdudel sama nimetaja?

Meenutagem murdosa põhiomadust:

Kusagil pole öeldud, et sama arvu saab lahutada (või liita) murdosa lugejast ja nimetajast. Sest see pole tõsi!

Vaadake ise: võtke näiteks suvaline murd ja lisage lugejale ja nimetajale mõni arv, näiteks . Mida sa õppisid?

Niisiis, veel üks kõigutamatu reegel:

Kui vähendate murde ühine nimetaja, kasutage ainult korrutustehte!

Aga millega on vaja korrutada, et saada?

Nii et korrutage sellega. Ja korrutage arvuga:

Avaldisi, mida ei saa faktoriseerida, nimetame elementaarseteks teguriteks. Näiteks - see on elementaarne tegur. - Sama. Aga ei: seda saab faktoriseerida.

Aga väljend? Kas see on elementaarne?

Ei, sest seda saab faktoriseerida:

(faktoriseerimise kohta lugesite juba teemas "").

Niisiis, elementaarsed tegurid, millesse te avaldist tähtedega laiendate, on analoog peamised tegurid, milleks arvud lagundate. Ja me tegeleme nendega samamoodi.

Näeme, et mõlemal nimetajal on kordaja. See läheb ühise nimetaja juurde kraadini (mäletate miks?).

Tegur on elementaarne ja neil pole ühist tegurit, mis tähendab, et esimene murdosa tuleb sellega lihtsalt korrutada:

Veel üks näide:

Lahendus:

Enne kui neid nimetajaid paaniliselt korrutate, peate mõtlema, kuidas neid arvesse võtta? Nad mõlemad esindavad:

Suurepärane! Seejärel:

Veel üks näide:

Lahendus:

Tavapäraselt faktoreerime nimetajad. Esimeses nimetajas paneme selle lihtsalt sulgudest välja; teises - ruutude erinevus:

Näib, et ühiseid tegureid pole. Kuid kui te vaatate tähelepanelikult, on nad sarnased ... Ja see on tõsi:

Nii et kirjutame:

See tähendab, et see kujunes nii: sulu sees vahetasime termineid ja samal ajal muutus murru ees olev märk vastupidiseks. Võtke teadmiseks, et peate seda sageli tegema.

Toome selle nüüd ühise nimetaja juurde:

Sain aru? Kontrollime seda kohe.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Vastused:

Siin peame meeles pidama veel üht asja - kuubikute erinevust:

Pange tähele, et teise murru nimetaja ei sisalda valemit “summa ruut”! Summa ruut näeks välja selline: .

A on summa nn mittetäielik ruut: selle teine ​​liige on esimese ja viimase korrutis, mitte nende topeltkorrutis. Summa osaline ruut on üks kuubikute erinevuse suurenemise tegureid:

Mida teha, kui murdosa on juba kolm?

Jah, sama asi! Kõigepealt veendume selles maksimaalne summa tegurid nimetajates olid samad:

Pange tähele: kui muudate ühe sulu sees olevaid märke, muutub murru ees olev märk vastupidiseks. Kui me muudame teises sulus olevaid märke, muutub murru ees olev märk taas vastupidiseks. Sellest tulenevalt pole see (märk murru ees) muutunud.

Kirjutame kogu esimese nimetaja välja ühiseks nimetajaks ja lisame sellele kõik veel kirjutamata tegurid, alates teisest ja seejärel kolmandast (ja nii edasi, kui murde on rohkem). See tähendab, et see selgub järgmiselt:

Hmm... On selge, mida murdudega teha. Aga kuidas on lood nende kahega?

See on lihtne: teate, kuidas murde lisada, eks? Niisiis, me peame muutma kaheks murdosa! Pidagem meeles: murd on jagamistehte (lugeja jagatakse nimetajaga, juhuks kui unustasite). Ja pole midagi lihtsamat kui arvu jagada. Sel juhul arv ise ei muutu, vaid muutub murdarvuks:

Täpselt see, mida vaja!

5. Murdude korrutamine ja jagamine.

Noh, kõige raskem osa on nüüd läbi. Ja meie ees on kõige lihtsam, kuid samal ajal kõige olulisem:

Menetlus

Milline on arvavaldise arvutamise protseduur? Pidage meeles, arvutades selle väljendi tähenduse:

Kas sa lugesid?

See peaks toimima.

Niisiis, lubage mul teile meelde tuletada.

Esimene samm on kraadi arvutamine.

Teine on korrutamine ja jagamine. Kui korraga on mitu korrutamist ja jagamist, saab neid teha mis tahes järjekorras.

Ja lõpuks teeme liitmise ja lahutamise. Jällegi suvalises järjekorras.

Aga: sulgudes olevat avaldist hinnatakse järjekorraväliselt!

Kui mitu sulgu korrutatakse või jagatakse üksteisega, arvutame esmalt igas sulgudes oleva avaldise ja seejärel korrutame või jagame need.

Mis siis, kui sulgudes on rohkem sulgusid? Noh, mõelgem: sulgude sisse on kirjutatud mõni väljend. Mida peaksite avaldise arvutamisel kõigepealt tegema? See on õige, arvutage sulud. Noh, me mõtlesime selle välja: kõigepealt arvutame sisemised sulgud, seejärel kõik muu.

Seega on ülaltoodud avaldise protseduur järgmine (praegune toiming on punasega esile tõstetud, see tähendab toiming, mida ma praegu teen):

Olgu, kõik on lihtne.

Kuid see pole sama, mis tähtedega väljend?

Ei, see on sama! Ainult aritmeetiliste toimingute asemel peate tegema algebralisi, st eelmises jaotises kirjeldatud toiminguid: sarnast toomine, fraktsioonide lisamine, murdude vähendamine jne. Ainus erinevus on polünoomide faktooringu toimimine (kasutame seda sageli murdarvudega töötamisel). Kõige sagedamini peate faktoriseerimiseks kasutama I või lihtsalt välja võtma ühine kordaja sulgudest välja.

Tavaliselt on meie eesmärk esitada väljendit toote või jagatisena.

Näiteks:

Lihtsustame väljendit.

1) Esiteks lihtsustame sulgudes olevat väljendit. Seal on meil murdude erinevus ja meie eesmärk on esitada see korrutise või jagatisena. Niisiis, viime murrud ühise nimetaja juurde ja lisame:

Seda väljendit on võimatu veelgi lihtsustada, kõik tegurid on siin elementaarsed (kas mäletate veel, mida see tähendab?).

2) Saame:

Murdude korrutamine: mis võiks olla lihtsam.

3) Nüüd saate lühendada:

OK, nüüd on kõik läbi. Pole midagi keerulist, eks?

Veel üks näide:

Lihtsustage väljendit.

Esmalt proovige see ise lahendada ja alles siis vaadake lahendust.

Kõigepealt määrame toimingute järjekorra. Esmalt lisame sulgudes olevad murded, nii et kahe murru asemel saame ühe. Seejärel teeme murdude jagamise. Noh, lisame tulemuse viimase murdosaga. Nummerdan sammud skemaatiliselt:

Nüüd näitan teile protsessi, toonides praeguse toimingu punaseks:

Lõpuks annan teile kaks kasulikku nõuannet:

1. Kui on sarnaseid, tuleb need kohe ära tuua. Millal iganes sarnased meie riigis tekivad, on soovitatav need kohe üles tuua.

2. Sama kehtib ka taandavate fraktsioonide kohta: niipea, kui tekib taandamise võimalus, tuleb see ära kasutada. Erandiks on murrud, mille lisate või lahutate: kui neil nüüd on samad nimetajad, siis tuleks vähendamine jätta hilisemaks.

Siin on mõned ülesanded, mida saate ise lahendada:

Ja mis kohe alguses lubati:

Lahendused (lühidalt):

Kui oled vähemalt kolme esimese näitega hakkama saanud, siis oled teema valdanud.

Nüüd õppimise juurde!

Avaldiste teisendamine. KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Põhilised lihtsustustoimingud:

• Sarnase toomine: sarnaste terminite lisamiseks (vähendamiseks) tuleb lisada nende koefitsiendid ja määrata täheosa.
• Faktoreerimine:ühisteguri sulgudest välja panemine, rakendamine jne.
• Murdosa vähendamine: Murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga, mis ei muuda murru väärtust.
  1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima
  2) kui lugejal ja nimetajal on ühised tegurid, võib need läbi kriipsutada.

  TÄHTIS: vähendada saab ainult kordajaid!

• Murdude liitmine ja lahutamine:
  ;
• Murdude korrutamine ja jagamine:
  ;

Nüüd, kui oleme õppinud üksikuid murde liitma ja korrutama, saame vaadata rohkem keerukad kujundused. Näiteks kui sama probleem hõlmab murdude liitmist, lahutamist ja korrutamist?

Kõigepealt peate teisendama kõik murrud ebaõigeteks. Seejärel teostame nõutavad toimingud järjestikku - samas järjekorras kui jaoks tavalised numbrid. Nimelt:

1. Esmalt tehakse astendamine – vabaneda kõigist eksponente sisaldavatest avaldistest;
2. Siis - jagamine ja korrutamine;
3. Viimane samm on liitmine ja lahutamine.

Muidugi, kui avaldises on sulgud, siis toimingute järjekord muutub - kõigepealt tuleb üle lugeda kõik, mis sulgudes on. Ja pidage meeles valede murdude kohta: peate kogu osa esile tõstma alles siis, kui kõik muud toimingud on juba tehtud.

Teisendame kõik esimese avaldise murrud ebaõigeteks ja seejärel toimime järgmiselt.

Nüüd leiame teise avaldise väärtuse. Siin murrud koos terve osa ei, aga seal on sulud, seega teeme kõigepealt liitmise ja alles siis jagamise. Pange tähele, et 14 = 7 · 2. Seejärel:

Lõpuks kaaluge kolmandat näidet. Siin on sulgud ja kraad - parem on need eraldi lugeda. Arvestades, et 9 = 3 3, on meil:

Pöörake tähelepanu viimasele näitele. Murru tõstmiseks astmeni peate eraldi tõstma lugeja selle astmeni ja eraldi nimetaja.

Saate otsustada teisiti. Kui meenutada kraadi määratlust, väheneb probleem tavaline korrutis fraktsioonid:

Mitmekorruselised murded

Siiani oleme arvestanud ainult "puhtaid" murde, kui lugeja ja nimetaja on tavalised numbrid. See on üsna kooskõlas esimeses õppetunnis antud arvumurru definitsiooniga.

Aga mis siis, kui lugeja või nimetaja sisaldab rohkem kui keeruline objekt? Näiteks teine arvuline murd? Selliseid konstruktsioone tekib üsna sageli, eriti pikkade väljenditega töötades. Siin on paar näidet:

Mitmetasandiliste murdudega töötamiseks on ainult üks reegel: peate neist kohe lahti saama. Lisapõrandate eemaldamine on üsna lihtne, kui mäletate, et kaldkriips tähendab tavalist jagamisoperatsiooni. Seetõttu saab iga murdosa ümber kirjutada järgmisel viisil:

Seda fakti kasutades ja protseduuri järgides saame hõlpsalt taandada mis tahes mitmekorruselise murdosa tavaliseks. Heitke pilk näidetele:

Ülesanne. Teisendage mitmekorruselised murded tavalisteks:

Igal juhul kirjutame põhimurru ümber, asendades eraldusjoone jagamismärgiga. Samuti pidage meeles, et iga täisarvu saab esitada murdena, mille nimetaja on 1. See tähendab 12 = 12/1; 3 = 3/1. Saame:

IN viimane näide murrud tühistati enne viimast korrutamist.

Mitmetasandiliste murdudega töötamise eripära

Mitmetasandilistes murdudes on üks peensus, mida tuleb alati meeles pidada, vastasel juhul võite saada vale vastuse, isegi kui kõik arvutused olid õiged. Vaata:

1. Lugeja sisaldab üksikarvu 7 ja nimetaja sisaldab murdosa 12/5;
2. Lugeja sisaldab murdarvu 7/12 ja nimetaja sisaldab eraldi numbrit 5.

Niisiis, ühe sissekande eest saime täiesti kaks erinevad tõlgendused. Kui loendate, on ka vastused erinevad:

Tagamaks, et kirjet loetaks alati ühemõtteliselt, kasutage lihtsat reeglit: põhimurdu eraldusjoon peab olema pikem kui pesastatud murru rida. Soovitavalt mitu korda.

Kui järgite seda reeglit, tuleks ülaltoodud murrud kirjutada järgmiselt:

Jah, see on ilmselt inetu ja võtab liiga palju ruumi. Aga sa arvutad õigesti. Lõpetuseks paar näidet, kus tegelikult tekivad mitmekorruselised murded:

Ülesanne. Otsige välja väljendite tähendused:

Niisiis, töötame esimese näitega. Teisendame kõik murrud ebaõigeteks ning seejärel teostame liitmis- ja jagamistoimingud:

Teeme sama teise näitega. Teisendame kõik murrud ebaõigeteks ja sooritame vajalikud toimingud. Et lugejat mitte tüüdata, jätan mõned ilmselged arvutused tegemata. Meil on:

Kuna põhimurdude lugeja ja nimetaja sisaldavad summasid, järgitakse automaatselt mitmekorruseliste murdude kirjutamise reeglit. Samuti jätsime viimases näites jagamise teostamiseks tahtlikult 46/1 murdosa kujule.

Märgin ka ära, et mõlemas näites asendab murruriba tegelikult sulud: esiteks leidsime summa ja alles seejärel jagatise.

Mõni ütleks, et üleminek ebaõiged murded teises näites oli selgelt üleliigne. Võib-olla on see tõsi. Kuid seda tehes kindlustame end vigade eest, sest järgmine kord võib näide palju keerulisemaks osutuda. Valige ise, mis on tähtsam: kiirus või töökindlus.

(34∙10+(489–296)∙8): 4–410. Määrake tegevussuund. Sooritage esimene toiming sisesulgudes 489–296=193. Seejärel korrutage 193∙8=1544 ja 34∙10=340. Järgmine tegevus: 340+1544=1884. Järgmisena jagage 1884:4 = 461 ja seejärel lahutage 461–410 = 60. Olete leidnud selle väljendi tähenduse.

Näide. Leidke avaldise 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º väärtus. Lihtsustama see väljend. Selleks kasutage valemit tg α∙ctg α=1. Hangi: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. On teada, et sin 30º=1/2 ja cos 30º=√3/2. Seetõttu 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Olete leidnud selle väljendi tähenduse.

Algebralise avaldise väärtus alates . Muutujate alusel algebralise avaldise väärtuse leidmiseks lihtsustage avaldist. Muutujate asendamine teatud väärtused. Tehke vajalikud sammud. Selle tulemusena saate arvu, mis on antud muutujate algebralise avaldise väärtus.

Näide. Leidke avaldise 7(a+y)–3(2a+3y) väärtus, kus a=21 ja y=10. Lihtsusta seda avaldist ja saad: a–2a. Asendage muutujate vastavad väärtused ja arvutage: a–2y=21–2∙10=1. See on avaldise 7(a+y)–3(2a+3y) väärtus, mille a=21 ja y=10.

Märge

Olemas algebralised avaldised, millel pole mõne muutujate väärtuse puhul mõtet. Näiteks avaldisel x/(7–a) pole mõtet, kui a=7, sest sel juhul muutub murdosa nimetaja nulliks.

Allikad:

• leida väikseim väärtus asju
• Leia c 14 avaldiste tähendused

Matemaatika avaldiste lihtsustamise õppimine on lihtsalt vajalik ülesannete õigeks ja kiireks lahendamiseks, erinevaid võrrandeid. Avaldise lihtsustamine hõlmab sammude arvu vähendamist, mis muudab arvutused lihtsamaks ja säästab aega.

Juhised

Õppige arvutama c astmeid. Astmete c korrutamisel saadakse arv, mille alus on sama ja astendajad liidetakse b^m+b^n=b^(m+n). Kraadide jagamisel samadel alustel nad saavad arvu astme, mille alus jääb samaks, ja astendajad lahutatakse ja jagaja b^m astendaja lahutatakse dividendi astendajast: b^n=b^(m-n). Astvuse tõstmisel astmele saadakse arvu aste, mille alus jääb samaks ja astendajad korrutatakse (b^m)^n=b^(mn) Tõstmisel astmeni iga tegur tõstetakse sellele astmele (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Tegurpolünoomid, s.o. kujutlege neid mitme teguri – ja monomialide – produktina. Võtke ühine tegur sulgudest välja. Õppige ära lühendatud korrutamise põhivalemid: ruutude vahe, ruudu vahe, summa, kuubikute vahe, summa ja vahe kuup. Näiteks m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Need valemid on lihtsustamisel peamised. Kasutage valikumeetodit täisruut trinoomil kujul ax^2+bx+c.

Lühendage murde nii sageli kui võimalik. Näiteks (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Kuid pidage meeles, et saate kordajaid ainult vähendada. Kui lugeja ja nimetaja algebraline murd korrutatuna sama arvuga, mis ei ole null, siis murdosa väärtus ei muutu. Avaldisi saab teisendada kahel viisil: aheldatud ja tegevuste kaupa. Teine meetod on eelistatavam, kuna vahetoimingute tulemusi on lihtsam kontrollida.

Sageli on vaja avaldistest välja võtta juured. Isegi juured ekstraheeritakse ainult mittenegatiivsetest avaldistest või arvudest. Paarituid juuri saab eraldada mis tahes väljendist.

Allikad:

• volitustega väljendite lihtsustamine

Trigonomeetrilised funktsioonid tekkisid esmalt abstraktsete tööriistadena. matemaatilised arvutused koguste sõltuvused teravad nurgad V täisnurkne kolmnurk selle külgede pikkustest. Nüüd kasutatakse neid väga laialdaselt nii teaduses kui ka tehnikas. inimtegevus. Praktilisteks arvutusteks trigonomeetrilised funktsioonid Sõltuvalt etteantud argumentidest saate kasutada erinevaid tööriistu – allpool kirjeldatakse mitmeid kõige kättesaadavamaid.

Juhised

Kasutage näiteks seda, mis on vaikimisi installitud operatsioonisüsteem kalkulaatori programm. See avaneb, valides jaotises "Kõik programmid" alamjaotises "Standard" kaustas "Utiliidid" üksuse "Kalkulaator". Selle jaotise saab avada, klõpsates põhimenüüsse nuppu "Start". Kui kasutate Windowsi versioon 7, siis võite lihtsalt peamenüü väljale "Otsi programme ja faile" sisestada "Kalkulaator" ja seejärel klõpsata otsingutulemustes vastavat linki.

Arvestage kogus vajalikud toimingud ja mõelge, millises järjekorras neid tuleks teha. Kui teil on raske see küsimus, pange tähele, et esmalt sooritatakse sulgudes olevad tehted, seejärel jagamine ja korrutamine; ja lahutamine tehakse sisse viimase abinõuna. Tehtud toimingute algoritmi meeldejätmise hõlbustamiseks kirjutage iga toimingu operaatori märgi (+,-,*,:) kohal olevasse avaldisesse peenikese pliiatsiga üles toimingute sooritamisele vastavad numbrid.

Jätkake esimese sammuga, järgides kehtestatud järjekorda. Arvestage oma peas, kas toiminguid on verbaalselt lihtne sooritada. Kui arvutused on vajalikud (veergu), kirjutage need avaldise alla, näidates seerianumber tegevused.

Jälgige selgelt tehtud toimingute jada, hinnake, mida millest tuleb lahutada, milleks jagada jne. Väga sageli on selles etapis tehtud vigade tõttu väljendis olev vastus vale.

Iseloomulik omadus avaldis on matemaatiliste tehete olemasolu. Seda tähistavad teatud märgid (korrutamine, jagamine, lahutamine või liitmine). Matemaatiliste tehete sooritamise järjekorda korrigeeritakse vajadusel sulgudega. Sooritada matemaatilisi tehteid tähendab leida .

Mis ei ole väljend

Mitte iga matemaatilist tähistust ei saa liigitada avaldiseks.

Võrdsused ei ole väljendid. See, kas võrdsuses on matemaatilised tehted olemas või mitte, ei oma tähtsust. Näiteks a=5 on võrdsus, mitte avaldis, kuid 8+6*2=20 ei saa samuti lugeda avaldiseks, kuigi see sisaldab korrutamist. Ka see näide kuulub võrdsuste kategooriasse.

Väljenduse ja võrdsuse mõisted ei välista teineteist; Võrdsusmärk ühendab kahte väljendit:
5+7=24:2

Seda võrrandit saab lihtsustada:
5+7=12

Avaldis eeldab alati, et selles kujutatud matemaatilisi tehteid saab sooritada. 9+:-7 ei ole väljend, kuigi siin on märke matemaatiliste tehtetest, sest neid toiminguid on võimatu sooritada.

On ka matemaatilisi, mis on formaalselt väljendid, kuid millel pole tähendust. Sellise väljendi näide:
46:(5-2-3)

Arv 46 tuleb jagada sulgudes olevate toimingute tulemusega ja see võrdne nulliga. Te ei saa nulliga jagada; toimingut peetakse keelatud.

Numbrilised ja algebralised avaldised

On kahte tüüpi matemaatilisi avaldisi.

Kui avaldis sisaldab ainult numbreid ja matemaatiliste tehete sümboleid, nimetatakse sellist avaldist numbriliseks. Kui avaldises on koos numbritega ka tähtedega tähistatud muutujaid või numbreid pole üldse, siis koosneb avaldis ainult muutujatest ja matemaatiliste tehte sümbolitest, nimetatakse seda algebraliseks.

Põhiline erinevus arvväärtuse ja algebralise väärtuse vahel seisneb selles, et numbrilisel avaldisel on ainult üks väärtus. Näiteks arvavaldise 56–2*3 väärtus on alati võrdne 50-ga. Algebralisel avaldisel võib olla palju väärtusi, kuna asendada saab iga arvu. Seega, kui avaldises b–7 asendame b väärtusega 9, on avaldise väärtus 2 ja kui 200, on see 193.

Allikad:

• Numbrilised ja algebralised avaldised