Sõna "koonus" tähtede erinevate permutatsioonide koguarv, milles tähed on. a) Sündmus on usaldusväärne, kuna vene keeles pole ainult kaashäälikutest koosnevaid nimisõnu

Kombinatoorikas uuritakse küsimusi, kui palju saab antud objektidest (elementidest) teha teatud tüüpi kombinatsioone.

Kombinatoorika kui haru sünd on seotud B. Pascali ja P. Fermat teooriateemaliste töödega hasartmängud. Suure panuse kombinatoorsete meetodite arendamisse andis G.V. Leibniz, J. Bernoulli ja L. Euler.

Prantsuse filosoof, kirjanik, matemaatik ja füüsik Blaise Pascal (1623–1662) näitas oma silmapaistvat matemaatika oskused. Pascali matemaatiliste huvide ring oli väga mitmekesine. Pascal tõestas üht
projektiivse geomeetria põhiteoreemidest (Pascali teoreem), konstrueeris summeerimismasina (Pascali liitmismasin), andis meetodi binoomkoefitsientide arvutamiseks (Pascali kolmnurk), oli esimene, kes defineeris ja rakendas meetodit tõestuseks. matemaatiline induktsioon, tegi olulise sammu lõpmatu väikese analüüsi arendamisel, mängis oluline roll tõenäosusteooria päritolu. Hüdrostaatikas kehtestas Pascal oma põhiseaduse (Pascali seaduse). Pascali “Kirjad provintsiaalile” oli prantsuse klassikalise proosa meistriteos.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) oli saksa filosoof, matemaatik, füüsik ja leiutaja, jurist, ajaloolane ja keeleteadlane. Matemaatikas töötas ta koos I. Newtoniga välja diferentsiaal- ja integraalarvutus. Oluline panus aitas kaasa kombinatoorikale. Tema nime seostatakse eelkõige arvuteoreetiliste probleemidega.

Gottfried Wilhelm Leibnizil oli vähe muljetavaldav välimus ja seetõttu jättis ta üsna lihtsa välimusega inimese mulje. Ühel päeval Pariisis ta sisenes raamatupood lootuses osta oma filosoofist sõbra raamat. Kui külastaja küsis selle raamatu kohta, ütles raamatumüüja teda pealaest jalatallani uurinud pilkavalt: “Milleks sul seda vaja on? Kas sa oled tõesti võimeline selliseid raamatuid lugema? Enne kui teadlane jõudis vastata, sisenes poodi raamatu autor ise sõnadega: "Tervitused ja lugupidamine Suurele Leibnizile!" Müüja ei saanud aru, et see oli tõesti kuulus Leibniz, kelle raamatud teadlaste seas väga nõudsid.

Tulevikus mängib olulist rolli järgmine

Lemma. Laske sisse elementide komplekt ja komplektis - elemendid. Siis kõigi erinevate paaride arv, kus on võrdne .

Tõestus. Tõepoolest, ühe elemendiga hulgast saame teha nii erinevaid paare ja kokku elementide komplektina.

Paigutused, permutatsioonid, kombinatsioonid

Olgu meil kolmest elemendist koosnev komplekt. Kuidas saame neist elementidest kaks valida? .

Definitsioon. Paljude paigutused erinevaid elemente By element on kombinatsioonid, mis koosnevad antud elementidest > elementidega ja erinevad kas elementide endi või elementide järjestuse poolest.

Elementide komplekti kõigi paigutuste arv elementide kaupa tähistatakse (alates algustäht Prantsuse sõna“korraldus”, mis tähendab paigutust), kus ja .

Teoreem. Elementide komplekti paigutuste arv elementide kaupa on võrdne

Tõestus. Oletame, et meil on elemente. Olgu võimalikud paigutused. Ehitame need paigutused järjestikku. Esmalt määratleme esimese paigutuse elemendi. Antud elementide hulgast saab selle valida erinevatel viisidel. Peale esimese elemendi valimist on veel võimalusi teise elemendi valimiseks jne. Kuna iga selline valik annab uue paigutuse, saab kõiki neid valikuid omavahel vabalt kombineerida. Seetõttu on meil:

Näide. Kui mitmel viisil saab lippu koostada kolmest horisontaalsest triibust? erinevaid värve, kui on viit värvi materjali?

Lahendus. Vajalik arv kolmeribalisi lippe:

Definitsioon. Elementide hulga permutatsioon on elementide paigutus kindlas järjekorras.

Seega on kolmest elemendist koosneva hulga kõik erinevad permutatsioonid

Märgitakse kõigi elementide permutatsioonide arv (prantsuse sõna "permutation" algustähest, mis tähendab "permutatsiooni", "liikumist"). Seega kõigi arv mitmesugused permutatsioonid arvutatakse valemiga

Näide. Kui mitmel viisil saab vankrit malelauale asetada, et nad üksteist ei ründaks?

Lahendus. Vajalik arv vankrit

A-prioor!

Definitsioon. Erinevate elementide kombinatsioonid elementide kaupa on kombinatsioonid, mis koosnevad etteantud elementidest elementide kaupa ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest (teisisõnu antud elementide komplekti -element alamhulgad).

Nagu näete, ei võeta kombinatsioonides erinevalt paigutustest arvesse elementide järjekorda. Märgitakse kõigi elementide kombinatsioonide arv, igas elemendis (alates prantsuskeelse sõna "kombinatsioon", mis tähendab "kombinatsioon" algustähest).

Numbrid

Kõik kahe komplekti kombinatsioonid on .

Arvude (\sf C)_n^k omadused

Tõepoolest, antud elementide hulga iga -element alamhulk vastab sama hulga ühele ja ainult ühele -elemendi alamhulgale.

Tõepoolest, me saame valida elementide alamhulki järgmisel viisil: ühe elemendi parandamine; seda elementi sisaldavate elementide alamhulkade arv on võrdne ; elementide alamhulkade arv, mis seda elementi ei sisalda, on võrdne .

Pascali kolmnurk

Selles kolmnurgas on iga rea ​​äärmuslikud arvud võrdsed 1-ga ja iga mitteäärmuslik arv on võrdne kahe eelmisest reast kõrgemal oleva arvu summaga. Seega võimaldab see kolmnurk arvutada numbreid.

Teoreem.

Tõestus. Vaatleme elementide komplekti ja lahendame järgmise ülesande kahel viisil: mitu jada saab antud elemendi elementidest teha
komplektid, millest igaühes ei esine ükski element kaks korda?

1 viis. Valime jada esimese liikme, seejärel teise, kolmanda jne. liige

2. meetod. Valime esmalt antud komplektist elemendid ja siis järjestame need mingis järjekorras

Korrutage selle murru lugeja ja nimetaja arvuga:

Näide. Mitmel viisil saate mängus “Sportloto” valida 5 numbrit 36-st?

Nõutav arv viise

Ülesanded.

1. Auto numbrimärgid koosnevad 3 vene tähestiku tähest (33 tähte) ja 4 numbrist. Mitu erinevat numbrimärki on?
2. Klaveril on 88 klahvi. Kui mitmel viisil saate tekitada 6 heli järjest?
3. Mitu kuuekohalist arvu, mis jaguvad 5-ga?
4. Mitmel viisil saab kolme taskusse panna 7 erinevat münti?
5. Mitu viiekohalist numbrit saate sisestada kümnendmärk milline number 5 esineb vähemalt korra?
6. Kui mitmel viisil saab 20 inimest istuda? ümarlaud, pidades meetodeid samaks, kui neid saab ringiliikudes üksteiselt kätte?
7. Mitu viiekohalist arvu, mis jagatakse 5-ga, on kirja panemata? identsed numbrid?
8. Peal ruuduline paber 1 cm lahtri küljega joonistatakse 100 cm raadiusega ring, mis ei läbi lahtrite tippe ega puuduta lahtrite külgi. Mitu rakku saab see ring ristuda?
9. Mitmel viisil saab numbreid järjestada nii, et need oleksid kõrvuti ja kasvavas järjekorras?
10. Mitu viiekohalist arvu saab numbritest teha, kui iga numbrit saab kasutada ainult üks kord?
11. Sõnast ROT saab tähti ümber paigutades järgmised sõnad: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Neid nimetatakse anagrammideks. Mitu anagrammi saate teha sõnast LOGARITM?
12. Helistame poolitamine naturaalarvu esitus summana naturaalarvud. Siin on näiteks kõik numbri partitsioonid:

Sektsioonid loetakse erinevateks, kui need erinevad kas arvult või terminite järjestuse poolest.

Mitu erinevat arvu jaotust terminiteks on?
13. Kui palju on olemas kolmekohalised numbrid numbrite mittekasvava järjekorraga?
14. Mitu neljakohalist numbrit on mittekasvava numbrijärjekorraga?
15. Mitmel viisil saab 17 inimest järjest istuda nii, et nad lõpuks kõrvuti jääksid?
16. tüdrukud ja poisid istuvad juhuslikult istmereas. Kui mitmel viisil saab neid istutada nii, et kaks tüdrukut ei istuks kõrvuti?
17. tüdrukud ja poisid istuvad juhuslikult istmereas. Kui mitmel viisil saab neid istutada nii, et kõik tüdrukud istuvad kõrvuti?

Näide. k, o, n kas nad seisavad kõrvuti?

• Näide. Kui palju on sõna "koonus" tähtede permutatsioone, milles tähed on k, o, n kas nad seisavad kõrvuti?

• Lahendus.

• Antud on 5 tähte, millest kolm peavad olema kõrvuti.

• Kolm tähte k, o, n võib seista ühe = 3 kõrval! = 6 viisi.

• Iga tähtede "liimimise" meetodi jaoks k, o, n saame = 3! = 6 viisi

• Tähtede ümberpaigutamine, "liimimine" u, s.

• Sõna "koonus" tähtede erinevate permutatsioonide koguarv, milles tähed

• k, o, n Seista üksteise kõrval võrdub 6 · 6 = 36 permutatsiooni - anagrammid.

• Vastus: 36 anagrammi.

Näide.

• Näide. Loendage, kui palju tähtede A, B, C, D, D, E, F, Z, I, K kujutistel on tähti, millel on: 1) vertikaalne sümmeetriatelg; 2) horisontaalne sümmeetriatelg.

• Lahendus.

• 1) Vertikaalse sümmeetriateljega tähed: A, D, F – 3 tähte (parempoolsete A, D tähtede mõne elemendi paksenemist me ei arvesta).

• 2) Horisontaalse sümmeetriateljega tähed: V, E, ZH, Z, K – 5 tähte.

• Vastus: 1) 3 tähte, 2) 5 tähte.

Näide.

• Näide. Planeedi XO elanikel on tähestikus kolm tähte: A, O, X. Keele sõnad koosnevad mitte rohkem kui kolmest tähest (sõnas olevat tähte saab korrata). Kui suur on suurim arv sõnu selle planeedi elanike sõnavaras?

• Lahendus. Sõnad võivad olla ühetähelised, kahetähelised või kolmetähelised.

• Ühetähelised sõnad: A, O, X – 3 sõna.

• Kahetähelised sõnad: AO, AH, AA, OO, OA, OX, XX, HA, XO – 9 sõna (3·3=9, valik kahest tähest koos kordustega).

• Kolmetähelised sõnad: 3·9=27 sõna (valik kolmest kolmest koos kordustega, esimese tähe valik - kolm võimalust; lisa igale esimesele tähele kõik 9 võimalikust kahetähelisest sõnast).

• Seega võib planeedi XO elanike sõnastikus olla maksimaalselt 3 + 9 + +27 = 39 sõna.

• Vastus: 39 sõna.

Näide nr 1.

• Näide nr 1. Kõik kirjanduse eksami piletid on kirjutatud kahekohaliste numbritega kaartidele. Petya valis juhuslikult ühe kaardi. Kirjeldage järgmisi sündmusi kui kindlaid, võimatuid või juhuslikke:

• Sündmus A – valitud kaardil on algarv;

• Sündmus B – kaardil on liitnumber;

• Sündmus C – kaardil on number, mis ei ole alg- ega liitnumber;

• Sündmus D – kaardil on paaris või paaritu arv.

• Lahendus.

• Sündmused A ja B on juhuslikud, kuna need võivad juhtuda või mitte.

• Sündmus C on võimatu: pidage meeles alg- ja liitarvude määratlust.

• Sündmus D on kindel, kuna iga kahekohaline arv on paaris või paaritu.

• Avasite raamatu suvalisele lehele ja lugesite esimest nimisõna, mis teile ette tuli. Selgus, et: a) valitud sõna kirjapilt sisaldab vokaali; b) valitud sõna kirjapilt sisaldab tähte “o”; c) valitud sõna kirjapildis pole täishäälikuid; d) valitud sõna kirjapildis on pehme märk.

• Lahendus.

• a) Sündmus on usaldusväärne, kuna vene keeles pole ainult kaashäälikutest koosnevaid nimisõnu.

• b) Sündmus on juhuslik.

• c) Võimatu sündmus (vt punkt a).

• d) Sündmus on juhuslik.

Näide.

• Näide. Kirjeldage järgmiste kokkusobimatute sündmuste summat.

• "Kuninganna sünnitas öösel kas poja (sündmus A) või tütre (sündmus B) ..."

• Lahendus.

• Kuninganna sünnitas poja või tütre (A B).

• Vastus: 4 keerulist sündmust, mis on kahe kokkusobimatu sündmuse summa.

Näide. o, t, k, r.

• Näide. Tähed on kirjutatud neljale kaardile o, t, k, r. Kaardid keerati ümber ja segati. Seejärel avasid nad need kaardid juhuslikult üksteise järel ja panid ritta. Kui suur on tõenäosus, et sõna "mutt" välja tuleb?

• Lahendus. Tulemused on nelja elemendi kõik võimalikud permutatsioonid ( o, t, k, r); tulemuste koguarv on n = = 4! = 24.

• Sündmus A – “pärast kaartide avamist saadakse sõna “mutt”; = 1 (ainult üks võimalus tähtede paigutuseks - "mool"; = .

• Vastus:

Näide O, Teisel T, kolmandal koos, neljandal P.

• Näide. Võtsime neli kaarti. Nad kirjutasid esimesele kirja O, Teisel T, kolmandal koos, neljandal P. Kaardid keerati ümber ja segati. Seejärel avasid nad juhuslikult ühe kaardi teise järel ja asetasid selle kõrvale. Kui suur on tõenäosus, et tulemuseks oli sõna "peatus" või sõna "postitus"?

• Lahendus. Tulemused – kõik võimalikud 4 tähe permutatsioonid; tulemuste koguarv

• n = = 4! = 24.

• Sündmus A – “välja tuli sõna “peatus” või “postitus”; soodsate tulemuste arv = 1 ("peatus") + 1 ("postitus") = 2 (vastavalt üksteist välistavate tulemuste summa reeglile).

• Tõenäosus = .

• Vastus: 1/12.

• Näide nr 1. Mõõtsime sõnade pikkust (tähtede arvu) allolevas väljavõttes A. S. Puškini luuletusest “Pronksratsutaja”. Vajalik on konstrueerida korduste ja sageduste jaotuse histogrammid, valides diskreetimisvõimaluseks intervallid 1-3, 4-6, 7-9.

• “...Ta on ümbritsevas pimeduses kohutav! 6, 2, 1, 9, 4

• Milline mõte kulmul! 5, 4, 2, 4

• Milline vägi on temas peidus ja milline tuli on selles hobuses! 5, 4, 1, 3, 7

• Kus sa ratsutad, uhke hobune, 1, 1, 3, 4, 5, 5

• Ja kuhu sa oma kabjad paned?..." 1, 3, 8, 2, 6

• Tekstist paremale kirjutatakse sõnade asemel ridade kaupa üles nende pikkused. Pärast arvutusi koostame tabeli.

Näide.

• Näide. 70 venekeelse töö kontrollimisel märgiti õpilaste tehtud õigekirjavigade arv. Saadud andmeread esitati sagedustabeli kujul:

• Mis on suurim erinevus tehtud vigade arvus? Kui suur vigade arv on selle õpilaste rühma jaoks tüüpiline? Märkige, milliseid statistilisi tunnuseid kasutati esitatud küsimustele vastamiseks.

• Lahendus.

• Suurim erinevus vigade arvus: 6 – 0 = 6.

• Tüüpiline vigade arv: 3 (esineb 26 korral 70-st).

• Kasutatakse mastaapi ja moodi.

• Vastus: 6; 3.

Statistilised uuringud sagedustabelid keel.

• Statistilised uuringud suure hulga kirjanduslike tekstide puhul näitasid need, et teatud tähe (või sõnadevahelise ruumi) esinemissagedused kalduvad teksti mahu suurenedes teatud kindlatele konstantidele. Kutsutakse tabeleid, mis sisaldavad konkreetse keele tähti ja vastavaid konstante sagedustabelid keel.

• Igal autoril on oma tähtede, sõnade, konkreetsete kirjanduslike väljendite jms kasutamise sagedustabel. Seda sagedustabelit kasutades saate autori määrata umbes sama täpselt kui sõrmejälgede abil.

Näiteks, enne täna Vaidlused autorsuse üle jätkuvad" Vaikne Don" Paljud inimesed usuvad, et 23-aastaselt on M. A. Šolohhov nii sügav ja tõeline suurepärane raamat ma lihtsalt ei osanud kirjutada. Esitatud on erinevaid argumente ja erinevaid kandidaate. Eriti tulised olid vaidlused M.A. Šolohhovi autasustamise ajal Nobeli preemia kirjanduses (1965). Statistiline analüüs romaan ja selle võrdlus tekstidega, mille autorsuses M. A. Šolohhov ei kahtle, kinnitas siiski hüpoteesi M. A. Šolohhovist kui “Vaikse Doni” tõelisest autorist.

Näide nr 1.

• Näide nr 1. Näidis koosneb kõigist paaris sisalduvatest tähtedest

• “...See puu on mänd,

• Ja männi saatus on selge..."

• Kirjutage üles rida näidisandmeid.

• Leidke valimi suurus.

• Määrake "o" valikute kordsus ja sagedus.

• Mis on valimivaliku kõrgeim protsentuaalne sagedus?

• Lahendus

• 1). Andmeseeria näidis (väärtuste valik):

• a, b, c, d, f, i, n, o, r, s, t, y, b, s, e, i.

• 2). Valimi suurus on paaris olevate tähtede koguarv: n = 30.

• 3). Valikute “o” kordsus on 4, optsioonide sagedus on võrdne.

• 4). Valik “c” on kõige kõrgema sagedusega: selle kordsus on 6, sagedus

• , protsentuaalne sagedus 20%.

• Vastus: 1). 16 tähte; 2). kolmkümmend; 3). 4 ja 0,133; 4). 20%.

Näide nr 1 (jätkub). Näidis koosneb kõigist paaris sisalduvatest tähtedest

• Näide nr 1 (jätkub). Näidis koosneb kõigist paaris sisalduvatest tähtedest

• “...See puu on mänd,

• Ja männi saatus on selge..."

• Tähestik on jagatud järjekorras kolmeks identseks osaks: nr 1 alates “a” kuni “th”, nr 2 alates “k” kuni “u”, nr 3 alates “f” kuni “z”.

• 1).Leia lõigu nr 3 kordsus ja (protsentuaalne) sagedus.

• 2).Koosta lõikude sagedusjaotuse tabel.

• 3) Märkige kõrgeima sagedusega ala.

• 4).Koostage valitud jaotusega sagedushistogramm osadeks.

• Lahendus. Esiteks märgime, et kui vene tähestikus on 33 tähte, siis kolm identset jaotist on 11 tähest koosnevad jaotised. Tähtede arv paaris: n = 30.

• Sagedus- ja kordustabel:

Näide.

Näide. Lugemiskiirust (sõnade arv lugemise minutis) testiti 60 üheksandikul. Saadud andmed koondati viide valdkonda: nr 1- (91;100); nr 2 (101;110); nr 3 (111;120); nr 4 (121;130); nr 5 (131;140). Tulemuseks on korduste histogramm (vt joonist). Ligikaudne hinnang: valimi ulatus, moodus, aritmeetiline keskmine, selgitage, miks vastused on ainult ligikaudsed.

Vahemik A = 140-91 = 49

• Vahemik A = 140-91 = 49

• Mood.

• Keskmine väärtus.

• Saadud väärtused on ainult ligikaudsed, kuna tegelike väärtuste asemel kasutati arvutustes tingimuslikke väärtusi - osaliste intervallide piire ja keskpunkte, st väärtusi, mida katseliselt ei täheldatud, kuid mille me mugavuse huvides aktsepteerisime. andmete esitamisest.

• Vastus: 49; 125,5; 117,17.

• A.G. Mordkovitš, P.V. Semenov. Sündmused. Tõenäosused. Statistiliste andmete töötlemine: Täiendav. Algebrakursuse lõigud 7 – 9 hinded. Üldharidus institutsioonid / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. 4. väljaanne – M.: Mnemosyne, 2006.-112 lk.

• Makarychev Yu.N. Algebra: statistika ja kombinatoorika ning tõenäosusteooria elemendid: õpik. Käsiraamat 7.-9. klassi õpilastele. Üldharidus institutsioonid / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk; toimetanud S. A. Teljakovski – 2. väljaanne. – M.: Haridus, 2004.-78 lk.

• M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova. Statistika ja tõenäosuse elemendid: Õpik üldhariduse 7.-9. institutsioonid. – M.: Haridus, 2004.-112 lk.

Ümberkorraldused. Permutatsioonide arvu valem

Permutatsioonid alates n elemendid

Laske komplekti X sisaldab n elemendid.

Definitsioon. Paigutus ilma kordamiseta alatesn komplekti elemendidX Kõrval n helistas permutatsioon alates n elemendid.

Pange tähele, et iga permutatsioon hõlmab kõiki komplekti elementeX , ja täpselt üks kord. See tähendab, et permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest ja neid saab üksteisest elementide permutatsiooni teel (sellest ka nimi).

Kõigi permutatsioonide arv alatesn elemendid on tähistatud sümboliga .

Kuna permutatsioonid on erijuhtum paigutused ilma kordusteta kl , siis arvu leidmise valem saame valemist (2), asendades sellega :

Seega

(3)

Näide. Mitmel viisil saab 5 raamatut riiulile paigutada?

Lahendus. Raamatute riiulile paigutamiseks on sama palju viise kui viie elemendi erinevaid permutatsioone: viise.

Kommenteeri. Valemeid (1)-(3) ei pea pähe õppima: nende rakendamisega seotud probleeme saab alati lahendada tootereegli abil. Kui õpilastel on probleeme ülesannete kombinatoorsete mudelite loomisega, on parem kasutatavate valemite ja reeglite komplekti kitsendada (et oleks vähem vigu). Tõsi, ülesanded, milles kasutatakse permutatsioone ja valemit (3), lahendatakse tavaliselt probleemideta.

Ülesanded

1. F. Mitmel viisil võivad nad piletikassas järjekorda seada: 1) 3 inimest; 2) 5 inimest?

Lahendus.

Erinevad valikud Järjekorras olevad n inimese paigutused erinevad üksteisest ainult inimeste paigutamise järjekorra poolest, st need on n elemendi erinevad permutatsioonid.

Kolm inimest saavad järjekorda panna P3 = 3! = 6 erinevat viisi.

Vastus: 1) 6 viisi; 2) 120 viisi.

2. T. Mitmel viisil mahub neljakohalisele pingile 4 inimest?

Lahendus.

Inimeste arv võrdub pingil olevate istekohtade arvuga, seega on paigutusvõimaluste arv võrdne 4 elemendi permutatsioonide arvuga: P4 = 4! = 24.

Arutleda saab tootereegli järgi: esimesele inimesele saad valida ükskõik millise 4 kohast, teisele - ükskõik millise 3 allesjäänud kohast, kolmandale - ükskõik millise 2 allesjäänud kohast, viimane saab 1 allesjäänud koha ; seal on kõike = 24 erinevat võimalust 4 inimese istutamiseks neljakohalisele pingile.

Vastus: 24 viisi.

3. M. Vova’s lõunaks - esimene, teine, kolmas käik ja kook. Kindlasti alustab ta koogist ja ülejäänud sööb suvalises järjekorras. Leidke number võimalikud variandid lõunasöök.

M-ülesanded õpikust. A.G. Mordkovitši käsiraamatud

T - toim. S.A.Telyakovski

F- M.V. Tkatšova

Lahendus.

Pärast kooki saab Vova valida ükskõik millise kolmest roast, seejärel kaks ja lõpetada ülejäänud toiduga. Võimalike lõunasöökide koguarv: =6.

Vastus: 6.

4. F. Kui palju erinevaid õigeid (vene keele seisukohalt) fraase saab teha sõnade järjekorda muutes lauses: 1) “Läksin jalutama”; 2) “Kass kõnnib õues”?

Lahendus.

Teises lauses peab eessõna "in" alati esinema nimisõna "õue" ees, millele see viitab. Seega, lugedes paari "hoovis" ühe sõnana, saate leida kolme erinevate permutatsioonide arvu tingimuslikud sõnad: P3 = 3! = 6. Seega saab antud juhul teha 6 õiget lauset.

Vastus: 1) 6; 2) 6.

5. Mitmel viisil saab nelinurga tippude tähistamiseks kasutada tähti K, L, M, H?

Lahendus.

Eeldame, et nelinurga tipud on nummerdatud, millest igaühel on konstantne arv. Seejärel taandub probleem 4 tähe 4 kohta (tippude) paigutamise erinevate viiside loendamisele, st erinevate permutatsioonide loendamisele: P4 = 4! = 24 viisi.

Vastus: 24 viisi.

6. F. Kinopiletid ostsid neli sõpra: 1. ja 2. istekohale esimeses reas ning 1. ja 2. istekohale teises reas. Kui mitmel viisil saavad sõbrad need 4 kohta kinos ära võtta?

Lahendus.

Neli sõpra võivad võtta 4 erinevad kohad P4 = 4! = 24 erinevat viisi.

Vastus: 24 viisi.

7. T. Kuller peab toimetama pakid 7 erinevasse asutusse. Mitu marsruuti saab ta valida?

Lahendus.

Marsruuti tuleks mõista kui kulleri asutuste külastamise järjekorda. Nummerdame asutused 1-st 7-ni, siis esitatakse marsruut 7-st numbrist koosneva jadana, mille järjestus võib muutuda. Marsruutide arv võrdub 7 elemendi permutatsioonide arvuga: P7= 7! = 5040.

Vastus: 5040 marsruuti.

8. T. Mitu avaldist on identsed võrdne tootega abcde, mis sellest tegurite ümberkorraldamise teel saadakse?

Lahendus.

Antud on viie erineva teguri korrutis abcde, mille järjekord võib muutuda (tegurite ümberpaigutamisel korrutis ei muutu).

Kokku on P5 = 5! = 120 erinevat viisi viie kordaja paigutamiseks; Ühte neist (abcde) loeme algseks, ülejäänud 119 avaldist on sellega identsed.

Vastus: 119 väljendit.

9. T. Olga mäletab, et sõbranna telefoninumber lõpeb numbritega 5, 7, 8, kuid ta unustas, mis järjekorras need numbrid ilmuvad. Märkige suurim arv võimalusi, mida ta peab läbima, et sõbraga suhelda.

Lahendus.

Viimased kolm numbrit Telefoninumber võib asuda ühes P3 =3! =6 võimalikku tellimust, millest ainult üks on õige. Olga oskab kohe õige valiku trükkida, kolmandana jne. Suurim arv valikud, mida ta peab valima õige variant jääb viimaseks, s.o kuuendaks.

Vastus: 6 võimalust.

10. T. Mitu kuuekohalist arvu (ilma korduvate arvudeta) saab arvudest teha: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Lahendus.

a) Antud on 6 numbrit: 1, 2, 5, 6, 7, 8, neist saab moodustada erinevaid kuuekohalisi arve ainult neid numbreid ümber paigutades. Erinevate kuuekohaliste arvude arv võrdub P6 = 6! = 720.

b) Arvestades 6 numbrit: 0, 2, 5, 6, 7, 8, peate nendest moodustama erinevaid kuuekohalisi arve. Vastupidiselt sellele eelmine ülesanne et null ei saa olla esimene.

Saate tootereeglit otse rakendada: esimese koha jaoks saate valida mis tahes 5 numbrit (v.a null); teisel kohal - ükskõik milline viiest järelejäänud numbrist (4 on "mitte-null" ja nüüd loeme nulli); kolmandale kohale - ükskõik milline neljast numbrist, mis on jäänud pärast kahte esimest valikut jne. Valikute koguarv on: = 600.

Võite kasutada mittevajalike valikute kõrvaldamise meetodit. 6 numbrit saab ümber paigutada P6 = 6! = 720 erinevat viisi. Nende meetodite hulgas on selliseid, kus esikoht on null, mis on vastuvõetamatu. Loendame nende kehtetute valikute arvu. Kui esikohal on null (see on fikseeritud), siis järgmised viis kohta võivad sisaldada suvalises järjekorras nullist erinevaid numbreid 2, 5, 6, 7, 8. Erinevate viiside arv, kuidas 5 numbrit saab paigutada 5 kohta võrdub P5 = 5! = 120, st nullist algavate arvude permutatsioonide arv on 120. Erinevate kuuekohaliste arvude vajalik arv on sel juhul võrdne: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.

Vastus: a) 720; b) 600 numbrit.

11. T. Kui palju neljakohalistest (ilma korduvate arvudeta) arvudest 3, 5, 7, 9 on neid, mis: a) algavad arvuga 3;

b) on 15 kordsed?

Lahendus.

a) Arvudest 3, 5, 7, 9 moodustame neljakohalised arvud, mis algavad numbriga 3.

Fikseerime esmalt numbri 3; siis ülejäänud kolmelnumbreid 5, 7 9 saab paigutada suvalises järjekorras suvalises järjekorras. Nende asukoha valikute koguarv on võrdne P-ga 3 = 3!=6. Seal on nii palju erinevaid neljakohalisi numbreidantud numbrid ja alustades numbriga 3.

b) Pange tähele, et nende numbrite summa 3 + 5 + 7 + 9 = 24 jagub 3-ga, seega jagub iga nendest numbritest koosnev neljakohaline arv 3-ga. 15-ks on vajalik, et need lõppeksid numbriga 5.

Kinnitame numbri 5 viimane koht; ülejäänud 3 numbrit saab paigutada kolme kohta 5 Рз = 3 ette! = 6 erinevat viisi. Nendest numbritest koosnevad nii palju erinevaid neljakohalisi numbreid, mis jaguvad 15-ga.

Vastus: a) 6 numbrit; b) 6 numbrit.

12. T. Leia kõigi neljakohaliste arvude numbrite summa, mida saab teha arvudest 1, 3, 5, 7 (neid kordamata).

Lahendus.

Igal neljakohalisel numbril, mis koosneb numbritest 1, 3, 5, 7 (ilma kordumiseta), on numbrite summa, mis on võrdne 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Nendest arvudest saad teha P4 = 4! = 24 erinevad numbrid, mis erinevad ainult numbrite järjestuse poolest. Kõigi nende arvude numbrite summa on võrdne

16 = 384.

Vastus: 384.

13. T. Seitse poissi, kelle hulka kuuluvad Oleg ja Igor, seisavad rivis. Leidke number võimalikud kombinatsioonid, Kui:

a) Oleg peaks olema rea ​​lõpus;

b) Oleg peaks olema rea ​​alguses ja Igor peaks olema rea ​​lõpus;

c) Oleg ja Igor peaksid seisma kõrvuti.
Lahendus.

a) 7 kohas on ainult 7 poissi, kuid üks element on fikseeritud ja seda ei saa ümber paigutada (Oleg on rea lõpus). Võimalike kombinatsioonide arv on võrdne Olegi ees seisva 6 poisi permutatsioonide arvuga: P6=6!=720.

paar nagu üksik element, mis on ümber paigutatud ülejäänud viie elemendiga. Võimalike kombinatsioonide arv on siis P6 = 6! = 720.

Nüüd las Oleg ja Igor seisavad IO järjekorras kõrvuti. Siis saame teise P6 = 6! = 720 muud kombinatsiooni.

Kombinatsioonide koguarv, milles Oleg ja Igor seisavad kõrvuti (mis tahes järjekorras), on 720 + 720 = 1440.

Vastus: a) 720; b) 120; c) 1440 kombinatsiooni.

14. M. Üksteist jalgpallurit rivistuvad enne mängu algust. Esimene on kapten, teine ​​on väravavaht ja ülejäänud on juhuslikult. Mitu ehitusmeetodit on olemas?

Lahendus.

Kapteni ja väravavahi järel saab kolmas mängija valida ükskõik millise 9 allesjäänud kohast, järgmise 8 hulgast jne. Tootereeglit kasutavate ehitusmeetodite koguarv on võrdne:

1 = 362 880 või P 9 = 9! = 362 880.

Vastus: 362 880.

15. M. Mitmel viisil saab kuubi tippe tähistada tähtedega A, B, C, D, E, F, G, K?

Lahendus.

Esimese tipu jaoks saate valida ükskõik millise 8 tähest, teise jaoks - mis tahes ülejäänud 7-st jne. Korduvuse reegli järgi on viiside koguarv=40 320 või P8 = 8!

Vastus: 40 320.

16. T. Esmaspäeva tunniplaanis on kuus tundi: algebra, geomeetria, bioloogia, ajalugu, kehaline kasvatus, keemia. Mitmel viisil saab selle päeva tunniplaani koostada nii, et kaks matemaatikatundi oleksid kõrvuti?

Lahendus.

Kokku on 6 tundi, millest kaks matemaatikatundi peaksid olema kõrvuti.

“Liimime” kaks elementi (algebra ja geomeetria) esmalt järjekorras AG, seejärel järjekorras GA. Iga “liimimise” variandi puhul saame P5 = 5! = 120 ajakava valikut. Ajakava koostamise võimaluste koguarv on 120 (AG) + 120 (GA) = 240.

Vastus: 240 viisi.

17. T. Mitu sõna “koonus” tähtede permutatsioone, milles tähed K, O, N on kõrvuti?

Lahendus.

Antud on 5 tähte, millest kolm peavad olema kõrvuti. Kolm tähte K, O, N võivad seista ühe P3 = 3 kõrval! = 6 viisi. Iga tähtede K, O, N “liimimise” meetodi puhul saame P3 = 3! = 6 tähtede permuteerimise võimalust, “liimimine”, U, S. Sõna “koonus” tähtede erinevate permutatsioonide koguarv, milles tähed K, O, N on kõrvuti, on 6 6 = 36 permutatsioonid – anagrammid.

Vastus: 36 anagrammi.

18. T. Kui mitmel viisil saavad 5 poissi ja 5 tüdrukut teatris samas reas 1-10 kohta? Kui mitmel viisil saavad nad seda teha, kui poisid istuvad paaritu numbriga kohtadel ja tüdrukud paaris numbritega kohtadel?

Lahendus.

Iga poiste paigutust saab kombineerida iga tüdrukute paigutusega, seega vastavalt tootereeglile koguarv Sel juhul on laste istutamiseks 120 võimalust. 20= 14400.

Vastus: 3 628 800 viisi; 14 400 viisi.

19. T. Viis poissi ja neli tüdrukut tahavad istuda üheksakohalisele pingile nii, et iga tüdruk istub kahe poisi vahele. Kui mitmel viisil saavad nad seda teha?

Lahendus.

Vastavalt ülesande tingimustele peavad poisid ja tüdrukud vahelduma ehk tüdrukud saavad istuda vaid paarisarvulistel kohtadel, poistel aga paaritutel kohtadel. Seetõttu saavad tüdrukud kohta vahetada ainult tüdrukutega ja poisid ainult poistega. Neli tüdrukut mahub istuma neljale tasasele kohale P4 = 4! = 24 teed ja viis poissi viiel paaritul kohal P5 = 5! = 120 viisi.

Tüdrukute iga paigutusviisi saab kombineerida iga poiste paigutusviisiga, seetõttu on tootereegli kohaselt viiside koguarv: P420 = 2880 viisi.

Vastus: 2880 viisi.

20. F. Korrutage arvud 30 ja 210 algteguriteks. Mitmel viisil saab arvu kirjutada lihttegurite korrutisena: 1) 30; 2) 210?

Lahendus.

Kombineerime need arvud algteguriteks:

30 = 2 ; 210 = 2 .

Arvu 30 saab kirjutada algtegurite korrutisena

R 3 = 3! = 6 erinevatel viisidel(tegurite ümberkorraldamine).

Arvu 210 saab kirjutada algarvude korrutisena
kordajadR 4 = 4! = 24 erinevat viisi.

Vastus: 1) 6 viisi; 2) 24 viisi.

21. F. Mitu erinevat paaris neljakohalist mittekorduvate numbritega arvu saab kirjutada kasutades numbreid 1, 2, 3, 5?

Lahendus.

Selleks, et arv oleks paaris, peab see lõppema paariskohaga, st 2. Fikseerime need kaks viimasele kohale, ülejäänud kolm numbrit peavad suvalises järjekorras selle ette ilmuma. Erinevate 3-kohaliste permutatsioonide arv on P3 = 3! = 6; seetõttu on ka 6 erinevat paaris neljakohalist arvu (number 2 lisatakse igale kolmekohalisele permutatsioonile).

Vastus: 6 numbrit.

22. F. Mitu erinevat paaritu viiekohalist arvu, millel pole identseid numbreid, saab kirjutada numbrite 1,2, 4, 6, 8 abil?

Lahendus.

Et koostatud arv oleks paaritu, peab see lõppema paaritu numbriga, st ühega. Ülejäänud 4 numbrit saab ümber paigutada, asetades iga ümberpaigutamise seadme ette.

Paaritute viiekohaliste arvude koguarv võrdub permutatsioonide arvuga: P4 = 4! =24.

23. F. Mitu erinevat kuuekohalist mittekorduvate numbritega arvu saab kirjutada kasutades numbreid 1; 2 3, 4, 5, 6, kui: 1) number peab algama 56-ga; 2) kas numbrid 5 ja 6 peaksid olema kõrvuti?

Lahendus.

Fikseerime numbri algusesse kaks numbrit 5 ja 6 ning lisame neile ülejäänud neljast numbrist erinevad permutatsioonid; erinevate kuuekohaliste arvude arv võrdub: P4 = 4! = 24.

Erinevate kuuekohaliste arvude koguarv, milles numbrid 5 ja 6 on kõrvuti (mis tahes järjekorras), on 120 + 120 = 240 numbrit. (Valikud 56 ja 65 ei ühildu ja neid ei saa üheaegselt realiseerida; rakendame kombinatoorse summa reeglit.)

Vastus: 1) 24.; 2) 240 numbrit.

24. F. Mitu erinevat paaris neljakohalist arvu, millel pole ühesuguseid numbreid, saab arvudest 1,2,3,4 teha?

Lahendus.

Paarisarv peab lõppema paarisarvuga. Fikseerime numbri 2 viimasele kohale, siis saab 3 eelmist numbrit ümber paigutada P3 = 3! = 6 erinevat viisi; saame 6 numbrit, mille lõpus on kaks. Fikseerime numbri 4 viimasele kohale, saame P3 = 3! = 6 erinevat kolme eelneva numbri permutatsiooni ja 6 numbrit, mis lõpevad 4-ga.

Paaris neljakohaliste arvude koguarv on 6 + 6 = 12 erinevat numbrit.

Vastus: 12 numbrit.

Kommenteeri. Valikute koguarvu leiame kombinatoorse summa reegli abil (6 võimalust kahega lõppevate arvude jaoks, 6 valikut neljaga lõppevate arvude jaoks; meetodid arvude koostamiseks kahega ja lõpus neljaga on üksteist välistavad, kokkusobimatud, seetõttu võrdub optsioonide koguarv optsioonide arvu summaga, mille lõpus on kaks, ja optsioonide arvu summaga, mille lõpus on 4). Kirje 6 + 6 = 12 peegeldab paremini meie tegevuse põhjuseid kui kirje P.

25. F. Mitmel viisil saab arvu 1) 12 kirjutada algtegurite korrutisena? 2) 24; 3) 120?

Lahendus.

Selle probleemi eripära on see, et kõigi nende arvude laienemisel on identsed korduvad tegurid. Teguritest erinevate permutatsioonide moodustamisel ei saa me uut permutatsiooni, kui vahetame kaks identset tegurit.

1) Arv 12 jagatakse kolmeks peamised tegurid, millest kaks on samad: 12 = .

Kui kõik tegurid oleksid erinevad, siis saaks neid korrutis P3 = 3 ümber paigutada! = 6 erinevat viisi. Nende meetodite loetlemiseks eristame tinglikult kahte kahte ja rõhutame ühte neist: 12 = 2.

Siis on võimalikud järgmised 6 elanikeks lagunemise varianti:

Kuid tegelikult pole numbrite allajoonimisel matemaatikas mingit tähendust, nii et saadud 6 permutatsiooni tavalises tähistuses näevad välja järgmised:

st tegelikult saime erinevat permutatsiooni mitte 6, vaid 3. Permutatsioonide arv vähenes poole võrra tänu sellele, et me ei pea arvestama kahe kahe omavahelisi permutatsioone.

Tähistame P x kolme elemendi, sealhulgas kahe identse elemendi nõutav arv permutatsioone; siis saab saadud tulemuse kirjutada järgmiselt: Рз = Р X Kuid 2 on kahe elemendi erinevate permutatsioonide arv, st 2 == 2! = P 2, seega P3, = P x P 2, seega P x = . (see on kordustega permutatsioonide arvu valem).

Arutleda võib erinevalt, lähtudes ainult kombinatoorse korrutise reeglist.

Kolme teguri korrutise loomiseks valige esmalt teguri 3 koht; seda saab teha ühel kolmest viisist. Pärast seda täidame mõlemad ülejäänud ruumid kahega; seda saab teha ühel viisil. Vastavalt tootereeglile on viiside koguarv: 3-1 =3., Р x =20.

Teine viis. Viie teguri korrutise koostamisel valime kõigepealt koha viiele (5 teed), seejärel kolmele (4 teed) ja täidame ülejäänud 3 kohta kahega (1 viis); vastavalt tootereeglile 5 4 1 = 20.

Vastus: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. F. Mitmel viisil saab 6 lahtrit värvida nii, et 3 lahtrit on punased ja ülejäänud 3 värvitakse (igaüks oma värviga) valgeks, mustaks või roheliseks?

Lahendus.

6 elemendi permutatsioonid, millest kolm on identsed:

Vastasel juhul: valge värviga värvimiseks saate valida ühe 6 lahtri hulgast, must - 5-st, roheline - 4-st; Ülejäänud kolm lahtrit värvitakse punaseks. Võimaluste koguarv: 6 5 4 1 = 120.

Vastus: 120 viisi.

27.T. Jalakäija peab kõndima ühe kvartali põhja ja kolm kvartalit läände. Kirjutage üles kõik võimalikud jalakäijate teed.= 4.

Vastus: 4 marsruuti.

28. M. a) Nelja identse kabineti ustele on vaja riputada sildid nelja asedirektori nimega. Kui mitmel viisil saab seda teha?

b) Kolmapäeval on 9 “A” klassis 5 tundi: algebra, geomeetria, kehaline kasvatus, vene keel, inglise keel. Kui palju ajakavavalikuid saate selle päeva jaoks luua?

c) Mitmel viisil saavad neli varast ükshaaval laiali paiskuda kõigis neljas suunas?

d) Adjutant peab viiele rügemendile toimetama viis koopiat kindrali käskkirjast. Kui mitmel viisil saab ta valida tellimuse koopiate tarneteed?

Lahendus.

a) Esimese plaadi jaoks saate valida ühe neljast kapist,
Teise jaoks - ükskõik milline kolmest järelejäänud, kolmanda jaoks - ükskõik milline kahest järelejäänud, neljanda jaoks - üks järelejäänud; reegli järgi
toote puhul on viiside koguarv: 4 3 2 1 = 24 või P4 = 4! = 24.= 120 või P5 = 5! = 120.

Vastus: a) 24; b) 120; c) 24; d) 120.

Kirjandus

Afanasjev V.V. Tõenäosusteooria näidetes ja probleemides, Jaroslavl: Jaroslavli Riiklik Pedagoogikaülikool, 1994.

Bavrin I. I. Kõrgem matemaatika: Õpik pedagoogikaülikoolide keemia- ja matemaatikaerialade üliõpilastele - 2. trükk, täiendatud. - M.: Haridus, 1993.

Bunimovitš E. A., Bulõtšev V. A. Tõenäosus ja statistika. 5.-9. klass: Üldõpetuse käsiraamat õppeasutused, - M.: Bustard, 2005.

Vilenkin N. Ya. ja teised. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile: Õpetus koolide ja klasside õpilastele süvaõpe matemaatika. - M.: Haridus, 1992.

Vilenkin N. Ya. ja teised. Algebra ja matemaatiline analüüs 11. klassile: matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilaste õpik - M.: Prosveshchenie, 1990.

Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis: 9-10 klass. Käsiraamat õpetajatele. - M.: Haridus 1983.

Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. 9. matemaatika: algebra. Funktsioonid. Andmete analüüs - M.: Bustard, 2000.

Kolyagin ja teised. Algebra ja analüüsi algus hinne 11. Matemaatika koolis - 2002 - nr 4 - lk 43,44,46.

Lyupshkas V.S. Valikkursused matemaatikas: tõenäosusteooria: Õpik 9-11 klassile - M., 1991.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Statistika ja tõenäosusteooria elemendid: õpik 7.–9. klassi õpilastele - M.: Prosveštšenia, 2005.

Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra ja analüüsi algus 10. klass: Õpik for õppeasutused (profiili tase) – M.: Mnemosyne, 2005.

Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Statistika ja tõenäosuse elemendid: Õpik 7.–9. klassi õpilastele - M.: Prosveštšenia, 2005.