Mis on kolmnurga nurga poolitaja? Sellele küsimusele vastates tuleb mõne inimese suust välja kuulus rott, kes jookseb mööda nurka ja jagab nurga pooleks." Kui vastus peaks olema "humoorikas", siis võib-olla on see õige. Aga koos teaduslik punkt Perspektiivist vaadatuna peaks vastus sellele küsimusele kõlama umbes nii: alustades nurga tipust ja jagades viimase kaheks võrdseks osaks." Geomeetrias tajutakse seda kujundit ka poolitaja segmendina enne selle lõikumist kolmnurga vastaskülg See ei ole ekslik arvamus. Aga mida Mida veel nurga poolitaja kohta peale selle definitsiooni teatakse?
Nagu keegi teine lookus punktid, sellel on oma märgid. Esimene neist pole pigem isegi mitte märk, vaid teoreem, mida saab lühidalt väljendada järgmiselt: "Kui tema vastaskülg on poolitajaga jagatud kaheks osaks, siis vastab nende suhe suure kolmnurga küljed."
Teine omadus, mis sellel on: kõigi nurkade poolitajate lõikepunkti nimetatakse tsentriks.
Kolmas märk: kolmnurga ühe sise- ja kahe välisnurga poolitajad lõikuvad ühe kolmest sisse kirjutatud ringist keskpunktis.
Kolmnurga nurgapoolitaja neljas omadus on see, et kui mõlemad on võrdsed, siis viimane on võrdhaarne.
Viies märk kehtib ka võrdhaarne kolmnurk ja on peamiseks juhiseks selle äratundmiseks joonisel poolitajate järgi, nimelt: võrdhaarses kolmnurgas toimib see samaaegselt nii mediaanina kui ka kõrgusena.
Nurgapoolitaja saab konstrueerida kompassi ja joonlaua abil:
Kuues reegel ütleb, et viimast kasutades on võimatu konstrueerida kolmnurka ainult olemasolevate poolitajatega, nagu on võimatu konstrueerida sel viisil kuubi kahekordistamist, ringi nelinurkstamist ja nurga kolmikut. Rangelt võttes on need kõik kolmnurga nurgapoolitaja omadused.
Kui lugesite hoolikalt eelmist lõiku, siis võib-olla huvitas teid üks fraas. "Mis on nurga kolmiklõik?" - ilmselt küsite. Trisector on veidi sarnane poolitajaga, kuid kui joonistada viimane, jagatakse nurk kaheks võrdseks osaks ja kolmilõike koostamisel kolmeks. Nurga poolitaja jääb loomulikult kergemini meelde, sest koolis trisektsiooni ei õpetata. Kuid täielikkuse huvides räägin teile ka sellest.
Trisektorit, nagu ma juba ütlesin, ei saa konstrueerida ainult kompassi ja joonlauaga, vaid seda saab luua Fujita reeglite ja mõningate kõverate abil: Pascali teod, kvadratriksid, Nicomedese konchoidid, koonilised lõigud,
Nurga kolmelõike ülesanded lahendatakse üsna lihtsalt nevsise abil.
Geomeetrias on teoreem nurgatrisektorite kohta. Seda nimetatakse Morley teoreemiks. Ta väidab, et iga keskel asuva nurga kolmisektori lõikepunktid on tipud
Väike must kolmnurk suure sees on alati võrdkülgne. Selle teoreemi avastas Briti teadlane Frank Morley 1904. aastal.
Nurga jagamise kohta saate teada järgmiselt: Nurga kolmi- ja poolitaja nõuavad alati üksikasjalikke selgitusi. Kuid siin anti palju definitsioone, mida ma polnud veel avalikustanud: Pascali tigu, Nicomedese konchoid jne. Võite olla kindlad, nendest on veel palju kirjutada.
Leidke (cm2) joonisel näidatud joonise pindala S ruuduline paber lahtri suurusega 1 cm 1 cm (vt joonist). Kirjutage see oma vastusesse. 11 Leiame rõngast moodustavate ringide raadiused. Valisin need segmendid, sest... nende jaoks on täisnurksed kolmnurgad, mille jalad on täisarvud. R r R 2 = R 2 = 17 1 cm r 2 = r 2 = 2 S = (R 2 – r 2) S = (17 – 2) S = 15 3 x 1 0 x B Jaga vastus punktiga Rakenda Pythagorase teoreem.
Leidke (cm 2) ruudulisel paberil, mille lahtri suurus on 1 cm 1 cm, kujutatud joonise pindala S (vt joonist). Kirjutage see oma vastusesse. 22 Leiame rõnga moodustavate ringide raadiused. r = 2. Leidke kolmnurgast R. R r R 2 = R 2 = 10 1 cm S = (R 2 – r 2) S = (10 – 2 2) S = 6 3 x 1 0 x B 3 6 Jaga vastus Pythagorase teoreemi rakendamisega.
Leidke (cm 2) ruudulisel paberil, mille lahtri suurus on 1 cm 1 cm, kujutatud joonise pindala S (vt joonist). Kirjutage see oma vastusesse. 33 Leiame rõngast moodustavate ringide raadiused. Valisin need segmendid, sest... nende jaoks on täisnurksed kolmnurgad, mille jalad on täisarvud. R r R 2 = R 2 = 17 1 cm r 2 = r 2 = 10 S = (R 2 – r 2) S = (17 – 10) S = 7 3 x 1 0 x B 3 7 Jagage vastus valikuga Rakenda teoreem Pythagoras.
Leidke (cm 2) ruudulisel paberil, mille lahtri suurus on 1 cm 1 cm, kujutatud joonise pindala S (vt joonist). Kirjutage see oma vastusesse. 44 Leiame rõngast moodustavate ringide raadiused. r = 3. Leiame kolmnurgast R. R r R 2 = R 2 = 13 1 cm S = (R 2 – r 2) S = (13 – 3 2) S = 4 3 x 1 0 x B 3 4 Jaga vastus Pythagorase teoreemi rakendamisega.
Leidke (cm 2) ruudulisel paberil, mille lahtri suurus on 1 cm 1 cm, kujutatud joonise pindala S (vt joonist). Kirjutage see oma vastusesse. 55 Leiame rõnga moodustavate ringide raadiused. r = 2. Leidke kolmnurgast R. R r R 2 = R 2 = 5 1 cm S = (R 2 – r 2) S = (5 – 2 2) S = 1 3 x 1 0 x B 3 1 Jaga vastus Pythagorase teoreemi rakendamisega.
Tere, sõbrad!Kaasatud matemaatika ühtse riigieksami hulkasisaldab ülesandeid, mis on seotud ringi või selle osade (sektorite, rõnga elementide) pindala leidmisega. Kuju asetatakse paberilehele ruudulise mustriga. Mõnes ülesandes on lahtri mõõtkavaks antud 1 × 1 sentimeeter, teistes pole seda täpsustatud - antakse ringi elemendi või ringi enda pindala.
Ülesanded on madalad, peate meeles pidama ringi pindala valemit, suutma visuaalselt (lahtrite järgi) määrata ringi raadiuse, millise osa ringist on valitud sektor. Muide, sektori valdkonna blogis. Selle sisul pole midagi pistmist allpool esitatud probleemide lahendamisega, kuid neile, kes soovivad meeles pidada ringi pindala ja sektori pindala valemit, on see väga kasulik. Mõelge ülesannetele (võetud avatud ülesannete pangast):
Leia (cm 2) ruudulisel paberil, mille lahtri suurus on 1 cm x 1 cm, kujutatud joonise pindala S. Kirjuta vastusesse S/l.
Figuuri (rõnga) pindala saamiseks on vaja raadiusega 1 ringi pindala lahutada raadiusega 2 ringi pindalast. ring on:
Tähendab,
Jagage tulemus Pi-ga ja kirjutage vastus üles.
Vastus: 3
Ruudulisele paberile joonistatakse kaks ringi. Ruut sisemine ring on võrdne 51. Leidke varjutatud joonise pindala.
Varjutatud joonise pindala leiate pindala erinevuse arvutamise teel suurem ring ja väiksem ala. Teeme kindlaks, mitu korda erineb suurema pindala väiksema pindalast. Olgu väiksema raadius võrdne R-ga, siis selle pindala on võrdne:
Suurema ringi raadius on kaks korda suurem (lahtritele nähtav). Seega on selle pindala võrdne:
Leidsime, et selle pindala on 4 korda suurem.
Seetõttu on see võrdne 51∙4 = 204 cm 2
Seega on varjutatud joonise pindala 204–51 = 153 cm 2.
*Teine meetod. Võimalik oli arvutada väikese ringi raadius, seejärel määrata suurema raadius. Järgmisena leidke suurema pindala ja arvutage soovitud kujundi pindala.
Ruudulisele paberile joonistatakse kaks ringi. Sisemise ringi pindala on 1. Leidke varjutatud joonise pindala.
See ülesanne ei erine oma lahenduselt praktiliselt eelmisest, ainus erinevus on see, et ringidel on erinevad keskpunktid.
Vaatamata sellele, et on selge, et suurema ringi raadius on 2 korda suurem suurem kui raadius väiksem, soovitan teil määrata lahtri suuruse muutujaga x (x).
Nagu ka sisse eelmine ülesanne, teeme kindlaks, mitu korda erineb suurema pindala väiksema pindalast. Avaldame väiksema ringi pindala, kuna selle raadius on 3x:
Avaldame suurema ringi pindala, kuna selle raadius on 6x:
Nagu näete, on suurema ringi pindala 4 korda suurem.
Seetõttu on see võrdne 1,4 = 4 cm 2
Seega on varjutatud joonise pindala 4–1 = 3 cm 2.
Vastus: 3
Ruudulisele paberile joonistatakse kaks ringi. Sisemise ringi pindala on 9. Leidke varjutatud joonise pindala.
Tähistame lahtri suurust muutujaga x (x).
Teeme kindlaks, mitu korda erineb suurema ringi pindala väiksema ringi pindalast. Avaldame väiksema ringi pindala. Kuna selle raadius on 3∙ x siis
Avaldame suurema ringi pindala. Kuna selle raadius on 4∙ x siis
Jagage suurema pindala väiksema pindalaga:
See tähendab, et suurema ringi pindala on 16/9 korda rohkem ala vähem, seega on see võrdne:
Seega on varjutatud joonise pindala 16–9 = 7 cm 2.
*Teine meetod.
Arvutame väiksema ringi raadiuse. Selle pindala on 9, mis tähendab
Leiame lahtri suuruse ja siis saame määrata suurema ringi raadiuse. Lahtri suurus on:
Kuna suurema ringi raadius vastab 4 lahtrile, on selle raadius võrdne:
Määrake suurema ringi pindala:
Leidke erinevus: 16–9 = 7 cm 2
Vastus: 7
Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 48. Leia varjutatud sektori pindala.
Selles ülesandes on ilmne, et varjutatud osa on pool kogu ringi pindalast, st võrdne 24-ga.
Vastus: 24
Lühike kokkuvõte.
Ringi sektori pindalaga seotud probleemide puhul peate suutma kindlaks teha, millise osakaalu see ringi pindalast moodustab. Seda pole raske teha, kuna sarnased ülesanded kesknurk sektor on 30 või 45 kordne.
Rõngaelementide alade leidmisega seotud probleemides on erinevatel viisidel lahendamiseks on mõlemad näidatud lahendatud ülesannetes. Universaalsem on meetod, kus lahtri suurust näidatakse läbi muutuja x ja seejärel määratakse raadiused.
Kuid kõige tähtsam on mitte neid meetodeid pähe õppida. Võite leida kolmanda ja neljanda lahenduse. Peaasi on teada ringi pindala valemit ja osata loogiliselt arutleda.
See on kõik. Edu sulle!
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.