Fichtenholtzi diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus. Fikhtengolts G.M.

Raamatud. Laadige tasuta alla DJVU raamatud, PDF. Tasuta digitaalne raamatukogu
G.M. Fichtengolts, Diferentsiaal- ja integraalarvutus(1. köide)

Saate (programm märgib kollane)
Näete kõrgemat matemaatikat käsitlevate raamatute loendit, mis on sorteeritud tähestikulises järjekorras.
Näete kõrgemat füüsikat käsitlevate raamatute loendit, mis on sorteeritud tähestikulises järjekorras.

Daamid ja härrad!! Elektrooniliste väljaannete failide ilma tõrgeteta allalaadimiseks klõpsake faili juures allajoonitud linki PAREM hiirenupp, valige käsk "Salvesta sihtmärk kui..." ("Salvesta objekt kui...") ja salvestage elektrooniline väljaande fail kohalikku arvutisse. Elektroonilised väljaanded tavaliselt esitatakse Adobe PDF- ja DJVU-vormingus.

SISSEJUHATUS PÄRISNUMBRID

§ 1. Ratsionaalarvude domeen
1. Sissejuhatavad märkused
2. Ratsionaalarvude domeeni järjestamine
3. Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine
4. Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine
5. Archimedese aksioom

§ 2. Irratsionaalarvude kasutuselevõtt. Reaalarvude domeeni järjestamine
6. Irratsionaalarvu definitsioon
7. Reaalarvude domeeni järjestamine
8. Toetavad ettepanekud
9. Reaalarvu esitamine lõpmatu kümnendmurruna
10. Reaalarvude valdkonna pidevus
11. Arvhulkade piirid

§ 3. Aritmeetilised tehtedüle reaalarvude
12. Reaalarvude summa määramine
13. Lisamise omadused
14. Reaalarvude korrutise definitsioon
15. Korrutamise omadused
16. Järeldus
17. Absoluutväärtused

§ 4. Reaalarvude edasised omadused ja rakendused
18. Juure olemasolu. Kraad c ratsionaalne näitaja
19. Võimsus mis tahes reaalastendajaga
20. Logaritmid
21. Segmentide mõõtmine

ESIMENE PEATÜKK. PIIRIDE TEOORIA

§ 1. Variatsioon ja selle piir
22. Muutuv väärtus, valik
23. Piiramisvõimalused
24. Lõpmatult väikesed suurused
25. Näited
26. Mõned teoreemid variandi kohta, millel on piir
27. Lõpmatult suured kogused

§ 2. Piiriteoreemid, mis hõlbustavad piiride leidmist
28. Piira võrdsuse ja ebavõrdsuse läbimist
29. Lemmad lõpmatute väikeste kohta
30. Aritmeetilised tehted muutujate üle
31. Ebamäärased väljendid
32. Näited piiride leidmiseks
33. Stolzi teoreem ja selle rakendused

§ 3. Monotoonne variant
34. Monotoonsete valikute piirang
35. Näited
36. Arv e
31. Arvu e ligikaudne arvutamine
38. Lemma pesastatud intervallide kohta

§ 4. Konvergentsi põhimõte. Osalised piirangud
39. Konvergentsi põhimõte
40. Osajärjed ja osalised piirid
41. Bolzano-Weierstrassi Lemma
42. Suurim ja väikseim piirmäär

TEINE PEATÜKK. ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOONID

§ 1. Funktsiooni mõiste
43. Muutuja ja selle muutmise ulatus
44. Funktsionaalne sõltuvus muutujate vahel. Näited
45. Funktsiooni mõiste definitsioon
46. Funktsiooni määramise analüütiline meetod
47. Funktsiooni graafik
48. Olulisemad funktsioonide klassid
49. Pöördfunktsiooni mõiste
50. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid
51. Funktsioonide superpositsioon. Lõppsõna

§ 2. Funktsiooni piirmäär
52. Funktsiooni piiri määramine
53. Juhtumivalikute vähendamine
54. Näited
55. Piiriteooria levik
56. Näited
57. Piirang monotoonne funktsioon
58. Üldine märk Bolzano-Cauchy
59. Funktsiooni suurim ja väikseim piir

§ 3. Lõpmatult väikeste ja lõpmata suurte koguste liigitus
60. Lõpmatute väikeste arvude võrdlus
61. Lõpmatu väike skaala
62. Ekvivalentsed infinitesimaalid
63. Põhiosa valimine
64. Ülesanded
65. Lõpmatult suurte klassifikatsioon

§ 4. Funktsioonide järjepidevus (ja katkestused).
66. Funktsiooni pidevuse määramine punktis
67. Aritmeetilised tehted pidevatel funktsioonidel
68. Näited pidevatest funktsioonidest
69. Ühesuunaline järjepidevus. Rebendite klassifikatsioon
70. Näited katkendlike funktsioonide kohta
71. Monotoonse funktsiooni järjepidevus ja katkestused
72. Elementaarfunktsioonide järjepidevus
73. Pidevate funktsioonide superpositsioon
74. Ühe funktsionaalvõrrandi lahendamine
75. Eksponent-, logaritm- ja astmefunktsioonide funktsionaalsed omadused
76. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete koosinuste funktsionaalsed omadused
77. Funktsioonide pidevuse kasutamine piirväärtuste arvutamiseks
78. Astmeeksponentsiaalsed avaldised

§ 5. Pidevate funktsioonide omadused
80. Funktsiooni kadumise teoreem
81. Rakendus võrrandite lahendamisel
82. Vaheväärtuste teoreem
83. Pöördfunktsiooni olemasolu
84. Funktsiooni piirituse teoreem
85. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused
86. Ühtse järjepidevuse mõiste
87. Kantori teoreem
88. Boreli lemma
89. Peamiste teoreemide uued tõestused

KOLMAS PEATÜKK. DERIVAADID JA DIFERENTSIAALID

§ 1. Tuletis ja selle arvutamine
90. Liikuva punkti kiiruse arvutamise ülesanne
91. Kõvera puutuja joonistamise probleem
92. Tuletise definitsioon
93. Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest
94. Pöördfunktsiooni tuletis
95. Tuletiste valemite kokkuvõte
96. Funktsiooni suurendamise valem
97. Tuletisinstrumentide arvutamise lihtsaimad reeglid
98. Kompleksfunktsiooni tuletis
99. Näited
100. Ühepoolsed tuletised
101. Lõpmatud tuletised
102. Täiendavad näited erilistel puhkudel

§ 2. Diferentsiaal
103. Diferentsiaali definitsioon
104. Seos eristatavuse ja tuletise olemasolu vahel
105. Põhivalemid ja eristamise reeglid
106. Diferentsiaali kuju muutumatus
107. Diferentsiaalid ligikaudsete valemite allikana
108. Diferentsiaalide rakendamine vigade hindamisel

§ 3. Peamised teoreemid diferentsiaalarvutus
109. Fermat' teoreem
110. Darboux’ teoreem
111. Rolle teoreem
112. Lagrange'i valem
113. Tuletise limiit
114. Cauchy valem

§ 4. Kõrgema järgu tuletis- ja diferentsiaalid
115. Kõrgemat järku tuletisinstrumentide määramine
116. Üldvalemid mis tahes järku tuletistele
117. Leibnizi valem
118. Näited
119. Kõrgema järgu erinevused
120. Kõrgema järgu diferentsiaalide vormimuutuse rikkumine
121. Parameetriline diferentseerimine
122. Lõplikud erinevused

§ 5. Taylori valem
123. Polünoomi Taylori valem
124. Lagunemine suvaline funktsioon; lisatermin Peano kujul
125. Näited
126. Muud lisaliikme vormid
127. Ligikaudsed valemid

§ 6. Interpoleerimine
128. Lihtsaim ülesanne interpoleerimine. Lagrange'i valem
129. Lagrange'i valemi lisatermin
130. Interpoleerimine mitme sõlmega. Hermiidi valem

NELJAS PEATÜKK. FUNKTSIOONI UURIMINE DERIVAATIDE KASUTAMISEGA

§ 1. Funktsiooni muutuste käigu uurimine
131. Funktsiooni püsivuse tingimus
132. Tingimus, et funktsioon oleks monotoonne
133. Ebavõrdsuse tõestus
134. Tõusud ja mõõnad; vajalikud tingimused
135. Piisavad tingimused. Esimene reegel
136. Näited
137. Teine reegel
138. Kõrgemate tuletisinstrumentide kasutamine
139. Suurimate ja väiksemate väärtuste leidmine
140. Ülesanded

§ 2. Kumerad (ja nõgusad) funktsioonid
141. Kumera (nõgusa) funktsiooni definitsioon
142. Lihtsamad laused kumerfunktsioonide kohta
143. Funktsiooni kumeruse tingimused
144. Jenseni ebavõrdsus ja selle rakendused
145. Käändepunktid

§ 3. Funktsioonide graafikute konstrueerimine
146. Probleemi avaldus
147. Graafi koostamise skeem. Näited
148. Lõputud vahed, lõputu vahe. Asümptoodid
149. Näited

§ 4. Ebamäärasuste avalikustamine
150. Vormi määramatus 0/0
151. Oo/oo tüüpi määramatus
152. Muud tüüpi määramatused

§ 5. Võrrandi ligikaudne lahend
153. Sissejuhatavad märkused
154. Proportsionaalsete osade reegel (akordide meetod)
155. Newtoni reegel (tangensi meetod)
156. Näited ja harjutused
157. Kombineeritud meetod
158. Näited ja harjutused

VIIES PEATÜKK. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

§ 1. Põhimõisted
159. Funktsionaalne sõltuvus muutujate vahel. Näited
160. Kahe muutuja funktsioonid ja nende definitsioonipiirkonnad
161. Aritmeetiline n-mõõtmeline ruum
162. Näited piirkondadest n-mõõtmelises ruumis
163. Üldine määratlus avatud ja suletud ala
164. N muutuja funktsioonid
165. Mitme muutuja funktsiooni piir
166. Juhtumivalikute vähendamine
167. Näited
168. Korduvad piirid

§ 2. Pidevad funktsioonid
169. Mitme muutuja funktsioonide järjepidevus ja katkestused
170. Toimingud pidevatel funktsioonidel
171. Piirkonnas pidevad funktsioonid. Bolzano-Cauchy teoreemid
172. Bolzano-Weierstrass Lemma
173. Weierstrassi teoreemid
174. Ühtlane järjepidevus
175. Boreli lemma
176. Peamiste teoreemide uued tõestused. Mitme muutuja funktsioonide tuletised ja diferentsiaalid
177. Osatuletised ja osadiferentsiaalid
178. Funktsiooni täispikk
179. Täisdiferentsiaal
180. Geomeetriline tõlgendus kahe muutuja funktsiooni korral
181. Keeruliste funktsioonide tuletised
182. Näited
183. Lõplike sammude valem
184. Tuletis etteantud suunas
185. (Esimese) diferentsiaali kuju muutumatus
186. Kogudiferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes
187. Homogeensed funktsioonid
188. Euleri valem

§ 4. Tuletisväärtpaberid kõrgema järgu diferentsiaalideks
189. Kõrgemate tellimuste tuletised
190. Segatuletiste teoreem
191. Üldistus
192. Kompleksfunktsiooni kõrgemat järku tuletised
193. Kõrgemate tellimuste erinevused
194. Keeruliste funktsioonide diferentsiaalid
195. Taylori valem

§ 5. Ekstreemsed, suurimad ja väikseimad väärtused
196. Mitme muutuja funktsiooni äärmus. Vajalikud tingimused
197. Piisavad tingimused (kahe muutuja funktsiooni juhtum)
198. Piisavad tingimused (üldjuhul)
199. Ekstreemumi puudumise tingimused
200. Funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused. Näited
201.Ülesanded

KUUES PEATÜKK. FUNKTSIONAALSED DETERMINANTID; NENDE RAKENDUSED

§ 1. Funktsionaalsete determinantide formaalsed omadused
202. Funktsionaalsete determinantide määramine (Jacobians)
203. Jakobilaste korrutamine
204. Funktsionaalsete maatriksite korrutamine (Jacobi maatriksid)

§ 2. Kaudsed funktsioonid
205. Ühe muutuja kaudse funktsiooni mõiste
206. Kaudse funktsiooni olemasolu
207. Kaudse funktsiooni eristatavus
208. Mitme muutuja kaudsed funktsioonid
209. Implitsiitsete funktsioonide tuletiste arvutamine
210. Näited

§ 3. Mõned implitsiitsete funktsioonide teooria rakendused
211. Suhtelised äärmused
212. Lagrange'i määramata kordajate meetod
213. Suhtelise ekstreemumi piisavad tingimused
214. Näited ja ülesanded
215. Funktsioonide sõltumatuse mõiste
216. Jacobi maatriksi aste

§ 4. Muutujate muutmine
217. Ühe muutuja funktsioonid
218. Näited
219. Mitme muutuja funktsioonid. Sõltumatute muutujate asendamine
220. Diferentsiaalide arvutamise meetod
221. Üldine juhtum muutujate asendused
222. Näited

SEITSMES PEATÜKK. DIFERENTSIAALKALVETUSE RAKENDUSED GEOMEETRIAS

§ 1. Kurvide ja pindade analüütiline kujutamine
223. Kõverad tasapinnal (ristkülikukujulistes koordinaatides)
224. Näited
225. Kurvid mehaaniline päritolu
226. Kõverad tasapinnal (polaarkoordinaatides). Näited
227. Pinnad ja kõverused ruumis
228. Parameetriline esitus
229. Näited

§ 2. Puutuja ja puutuja tasand
230. Tasapinna kõvera puutuja ristkülikukujulistes koordinaatides
231. Näited
232. Puutuja polaarkoordinaatides
233. Näited
234. Ruumikõvera puutuja. Pinna puutuja tasapind
235. Näited
236. Tasapinnakõverate singulaarpunktid
237. Kõvera parameetrilise defineerimise juhtum

§ 3. Üksteise kõverate puudutamine
238. Kurviperekonna ümbrik
239. Näited
240. Iseloomulikud punktid
241. Kahe kõvera puutuja järjekord
242. Ühe kõvera kaudse täpsustamise juhtum
243. Hõivamiskõver
244. Teine lähenemine kõverate oskulatsioonile

§ 4. Tasapinna kõvera pikkus
245. Lemmas
246. Suund kõveral
247. Kurvi pikkus. Kaare pikkuse liitmine
248. Piisavad tingimused parandatavuse tagamiseks. Kaardiferentsiaal
249. Kaar kui parameeter. Positiivne puutuja suund

§ 5. Tasapinnalise kõvera kõverus
250. Kumeruse mõiste
251. Kumerusring ja kõverusraadius
252. Näited
253. Kumeruskeskme koordinaadid
254. evolutsiooni ja involutiivse definitsioon; evolutsiooniline otsing
255. Evoluutide ja involuutide omadused
256. Involuutide leidmine

LISAKS. FUNKTSIOONIDE JAOTAMISE PROBLEEM
257. Ühe muutuja funktsiooni juhtum
258. Kahemõõtmelise juhtumi ülesande avaldus
259. Abilaused
260. Levitamise põhiteoreem

Köide 1. SISUKORD
TUTVUSTUS REAALSED NUMBRID
§ 1. Ratsionaalarvude piirkond 11
1. Sissejuhatavad märkused 11
2. Ratsionaalarvude domeeni 12 järjestamine
3. Ratsionaalarvude 12 liitmine ja lahutamine
4. Ratsionaalarvude 14 korrutamine ja jagamine
5. Archimedese 16 aksioom
§ 2. Irratsionaalarvude kasutuselevõtt. Reaalarvude domeeni järjestamine
6. Irratsionaalarvu 17 definitsioon
7. Reaalarvude domeeni järjestamine 19
8. Toetavad ettepanekud 21
9. Reaalarvu esitamine lõpmatu kümnendmurruga 22
10. Reaalarvude valdkonna 24 pidevus
11. Arvhulkade piirid 25

§ 3. Aritmeetilised tehted reaalarvudega 28
12. Reaalarvude summa 28 määramine
13. Lisamise omadused 29
14. Reaalarvude korrutise 31 definitsioon
15. Korrutamise omadused 3 2
16. Järeldus 34
17. Absoluutsuurused 34 § 4. Reaalarvude 35 edasised omadused ja rakendused
18. Juure olemasolu. Võimsus ratsionaalse astendajaga 35
19. Positsioon mis tahes reaalastendajaga 37
20. Logaritmid 39
21. Segmendi mõõtmine 40

ESIMENE PEATÜKK. PIIRIDE TEOORIA
§ 1. Muutus ja selle piir 43
22. Muutuv väärtus, valik 43
23. Limiitvalikud 46
24. Lõpmatult väikesed kogused 47
25. Näited 48
26. Mõned teoreemid variandi kohta, mille piirväärtus on 52
27. Lõpmatult suured kogused 54

§ 2. Teoreemid piiride kohta, mis hõlbustavad piiride leidmist 56
28. Üleminek võrdsuse ja ebavõrdsuse piirini 56
29. Lemmad infinitesimaalide kohta 57
30. Aritmeetilised tehted muutujatega 58
31. Ebamäärased väljendid 60
32. Näited piiride leidmiseks 62
33. Stolzi teoreem ja selle rakendused 67

§ 3. Monotoonne versioon 70
34. Monotoonsete valikute piirang 70
35. Näited 72
36. Number e 77
31. Arvu e 79 ligikaudne arvutamine
38. Lemma pesastatud intervallidel 82

§ 4. Konvergentsi põhimõte. Osalised piirangud 83
39. Lähenemise põhimõte 83
40. Osalised jadad ja osalised piirid 85
41. Bolzano-Weierstrass Lemma 87
42. Suurim ja väikseim piirmäär 89

TEINE PEATÜKK. ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOONID
§ 1. Funktsiooni mõiste 93
43. Muutuja ja selle ulatus 93
44. Funktsionaalne sõltuvus muutujate vahel. Näited 94
45. Funktsiooni mõiste definitsioon 95
46. Funktsiooni määramise analüütiline meetod 98
47. Funktsiooni 100 graafik
48. Olulisemad funktsioonide klassid 102
49. Pöördfunktsiooni mõiste 108
50. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid 110
51. Funktsioonide superpositsioon. Lõppmärkus 114

§ 2. Funktsiooni piirmäär 115
52. Funktsiooni piiri määramine 115
53. Juhtumivalikute vähendamine 117
54. Näited 120
55. Piiriteooria levitamine 128
56. Näited 130
57. Monotoonse funktsiooni piir 133
58. Kindral Bolzano-Cauchy märk 134
59. Funktsiooni 135 suurim ja väikseim piir

§ 3. Lõpmatult väikeste ja lõpmata suurte koguste liigitamine 136
60. Infinitesimaalide 136 võrdlus
61. Lõpmatu väike skaala 137
62. Ekvivalentsed infinitesimaalid 139
63. Põhiosa valimine 141
64. Ülesanded 143
65. Lõpmatult suurte 145 klassifikatsioon

§ 4. Funktsioonide järjepidevus (ja katkestused) 146
66. Funktsiooni pidevuse määramine punktis 146
67. Aritmeetilised tehted pidevatel funktsioonidel 148
68. Näited pidevatest funktsioonidest 148
69. Ühesuunaline järjepidevus. Rebendite klassifikatsioon 150
70. Näited katkendlike funktsioonide kohta 151
71. Monotoonse funktsiooni järjepidevus ja katkestused 154
72. Elementaarfunktsioonide järjepidevus 155
73. Pidevate funktsioonide superpositsioon 156
74. Ühe funktsionaalvõrrandi 157 lahendus
75. Eksponent-, logaritm- ja astmefunktsioonide funktsionaalsed omadused
76. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete koosinuste funktsionaalsed omadused
77. Funktsioonide pidevuse kasutamine piirväärtuste arvutamiseks 162
78. Astmeeksponentsiaalsed avaldised 165
79. Näited 166

§ 5. Pidevate funktsioonide omadused 168
80. Teoreem funktsiooni 168 kadumise kohta
81. Rakendus võrrandite 170 lahendamisel
82. Vaheväärtuste teoreem 171
83. Pöördfunktsiooni olemasolu 172
84. Teoreem funktsiooni 174 piirituse kohta
85. Funktsiooni 175 suurim ja väikseim väärtus
86. Ühtse järjepidevuse mõiste 178
87. Kantori teoreem 179

88. Borel Lemma 180
89. Peamiste teoreemide uued tõestused 182
KOLMAS PEATÜKK. DERIVAADID JA DIFERENTSIAALID
§ 1. Tuletis ja selle arvutamine 186
90. Liikuva punkti kiiruse arvutamise ülesanne 186
91. Kõvera puutuja joonistamise probleem 187
92. Tuletise 189 definitsioon
93. Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest 193
94. Pöördfunktsiooni 196 tuletis
95. Tuletiste valemite kokkuvõte 198
96. Funktsiooni 198 suurendamise valem
97. Tuletisinstrumentide arvutamise lihtsaimad reeglid 199
98. Kompleksfunktsiooni 202 tuletis
99. Näited 203
100. Ühepoolsed tuletised 209
101. Lõpmatud tuletised 209
102. Täiendavad näited erijuhtudest 211

§ 2. Diferentsiaal 211
103. Diferentsiaali 211 definitsioon
104. Diferentseeritavuse ja _ 1. tuletise olemasolu vaheline seos
105. Põhivalemid ja eristamise reeglid 215
106. Diferentsiaali 216 kuju muutumatus
107. Diferentsiaalid ligikaudsete valemite allikana 218
108. Diferentsiaalide rakendamine veahinnangus 220

§ 3. Diferentsiaalarvutuse põhiteoreemid 223
109. Fermat' teoreem 223
110. Darboux' teoreem 224
111. Rolle teoreem 225
112. Lagrange'i valem 226
113. Tuletislimiit 228
114. Cauchy valem 229

§ 4. Kõrgema järgu tuletis- ja diferentsiaalid 231
115. Kõrgemat järku tuletisinstrumentide määramine 231
116. Üldvalemid mis tahes järku tuletistele 232
117. Leibnizi valem 236
118. Näited 238
119. Kõrgemate tellimuste erinevused 241
120. Vormimuutuse rikkumine kõrgema _ ._ järgu diferentsiaalide puhul
121. Parameetriline diferentseerimine 243
122. Lõplikud erinevused 244

§ 5. Taylori valem 246
123. Taylori valem polünoomi 246 jaoks
124. Suvalise funktsiooni laiendamine; lisatermin Peano kujul
125. Näited 251
126. Muud lisaliikme vormid 254
127. Ligikaudsed valemid 257

§ 6. Interpoleerimine 263
128. Lihtsaim interpolatsiooniülesanne. Lagrange'i vormel 263
129. Lagrange'i valemi 264 lisatermin
130. Interpoleerimine mitme sõlmega. Hermiidi valem 265
NELJAS PEATÜKK. FUNKTSIOONI UURIMINE DERIVAATIDE KASUTAMISEGA
§ 1. Funktsiooni muutuste käigu uurimine 268
131. Funktsiooni 268 püsivuse tingimus
132. Funktsiooni 270 monotoonsuse tingimus
133. Ebavõrdsuse tõestus 273
134. Tõusud ja mõõnad; vajalikud tingimused 276
135. Piisavad tingimused. Esimene reegel 278
136. Näited 280
137. Teine reegel 284
138. Kõrgemate tuletiste kasutamine 286
139. Suurima ja väikseima väärtuse leidmine 288
140. Ülesanded 290

§ 2. Kumerad (ja nõgusad) funktsioonid 294
141. Kumera (nõgusa) funktsiooni definitsioon 294
142. Lihtsamad laused kumerfunktsioonide kohta 296
143. Funktsiooni kumeruse tingimused 298
144. Jenseni ebavõrdsus ja selle rakendused 301
145. Käändepunktid 303

§ 3. Funktsioonide graafikute konstrueerimine 305
146. Probleemi 305 avaldus
147. Graafi koostamise skeem. Näited 306
148. Lõputud vahed, lõputu vahe. Asümptoodid 308
149. Näited 311

§ 4. Ebamäärasuste avalikustamine 314
150. Vormi määramatus 0/0 314
151. O / oo tüüpi määramatus 320
152. Muud tüüpi määramatused 322

§ 5. Võrrandi 324 ligikaudne lahend
153. Sissejuhatavad märkused 3 24
154. Proportsionaalsete osade reegel (akordide meetod) 325
155. Newtoni reegel (tangensi meetod) 328
156. Näited ja harjutused 331
157. Kombineeritud meetod 335
158. Näited ja harjutused 336

VIIES PEATÜKK. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID
§ 1. Põhimõisted 340
159. Funktsionaalne sõltuvus muutujate vahel. Näited 340
160. Kahe muutuja funktsioonid ja nende definitsioonipiirkonnad 341
161. Aritmeetiline n-mõõtmeline ruum 345
162. Näiteid aladest n-mõõtmelises ruumis 348
163. Avatud ja suletud ala ülddefinitsioon 350
164. N muutuja funktsioonid 352
165. Mitme muutuja funktsiooni piir 354
166. Taandamine juhtumivalikutele 356
167. Näited 358
168. Korduslimiidid 360
§ 2. Pidevad funktsioonid 362
169. Mitme muutuja funktsioonide järjepidevus ja katkestused 362
170. Toimingud pidevatel funktsioonidel 364
171. Piirkonnas pidevad funktsioonid. Bolzano-Cauchy teoreemid 365
172. Bolzano-Weierstrass Lemma 367
173. Weierstrassi teoreemid 369
174. Ühtlane järjepidevus 370
175. Borel Lemma 372
176. Peamiste teoreemide uued tõestused 373
176. Mitme muutuja funktsioonide tuletised ja diferentsiaalid 373
177. Osatuletised ja osadiferentsiaalid 375
178. Funktsiooni 378 täiskasv
179. Täisdiferentsiaal 381
180. Geomeetriline tõlgendus kahe _ R_ muutuja funktsiooni puhul
181. Keeruliste funktsioonide tuletised 386
182. Näited 388
183. Lõpliku juurdekasvu valem 390
184. Tuletis etteantud suunas 391
185. (Esimese) diferentsiaali kuju muutumatus 394
186. Summaarse diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes 396
187. Homogeensed funktsioonid 399
188. Euleri valem 400

§ 4. Tuletisväärtpaberid kõrgema järgu diferentsiaalideks 402
189. Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid 402
190. Teoreem segatuletistest 404
191. Üldistus 407
192. Kompleksfunktsiooni 408 kõrgemat järku tuletised
193. Kõrgemate tellimuste erinevused 410
194. Kompleksfunktsioonide diferentsiaalid 413
195. Taylori valem 414

§ 5. Ekstreemsed, suurimad ja väikseimad väärtused 417
196. Mitme muutuja funktsiooni äärmus. Vajalik. 17 tingimust
197. Piisavad tingimused (kahe muutuja funktsiooni juhtum) 419
198. Piisavad tingimused (üldjuhul) 422
199. Ekstreemumi puudumise tingimused 425
200. Funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused. Näited 427
201. Ülesanded 431
KUUES PEATÜKK. FUNKTSIONAALSED DETERMINANTID; NENDE RAKENDUSED
§ 1. Funktsionaalsete determinantide formaalsed omadused 441
202. Funktsionaalsete determinantide määramine (Jacobians) 441
203. Jakobilaste korrutis 442
204. Funktsionaalmaatriksite korrutamine (Jacobi maatriksid) 444

§ 2. Kaudsed funktsioonid 447
205. Ühe muutuja kaudse funktsiooni mõiste 447
206. Implitsiitse funktsiooni olemasolu 449
207. Implitsiitse funktsiooni diferentseeritavus 451
208. Mitme muutuja kaudsed funktsioonid 453
209. Implitsiitsete funktsioonide tuletiste arvutamine 460
210. Näited 463

§ 3. Mõned implitsiitsete funktsioonide teooria rakendused 467
211. Suhtelised äärmused 467
212. Lagrange'i määramata kordajate meetod 470
213. Suhtelise ekstreemumi piisavad tingimused 472
214. Näited ja ülesanded 473
215. Funktsioonide sõltumatuse mõiste 477
216. Jakobi maatriksi aste 479

§ 4. Muutujate muutmine 483
217. Ühe muutuja 483 funktsioonid
218. Näited 485
219. Mitme muutuja funktsioonid. Sõltumatute muutujate asendamine
220. Diferentsiaalide arvutamise meetod 489
221. Muutujate muutumise üldjuhtum 491
222. Näited 493
SEITSMES PEATÜKK. DIFERENTSIAALKALVETUSE RAKENDUSED GEOMEETRIAS
§ 1. Kurvide ja pindade analüütiline kujutamine 503
223. Kõverad tasapinnal (ristkülikukujulistes koordinaatides) 503
224. Näited 505
225. Mehaanilise päritolu kõverad 508
226. Kõverad tasapinnal (polaarkoordinaatides). Näited 511
227. Pinnad ja kõverad ruumis 516
228. Parameetriline esitus 518
229. Näited 520

§ 2. Puutuja ja puutuja tasapind 523
230. Tasapinna kõvera puutuja ristkülikukujulistes koordinaatides 523
231. Näited 525
232. Puutuja polaarkoordinaatides 528
233. Näited 529
234. Ruumikõvera puutuja. Pinna puutuja tasapind
235. Näited 534
236. Tasapinnakõverate singulaarpunktid 535
237. Kõvera 540 parameetrilise spetsifikatsiooni juhtum

§ 3. Üksteist puudutavad kurvid 542
238. Kurviperekonna ümbrik 542
239. Näited 545
240. Iseloomulikud punktid 549
241. Kahe kõvera puutuja järjekord 551
242. Ühe kõvera kaudse täpsustamise juhtum 553
243. Puudutav kõver 554
244. Teine lähenemine kõverate oskuleerimisele 556

§ 4. Tasapinna kõvera pikkus 557
245. Lemmas 557
246. Suund kõveral 558
247. Kurvi pikkus. Kaare pikkuse liitevõime 560
248. Piisavad tingimused parandatavuse tagamiseks. Kaardiferentsiaal 562
249. Kaar kui parameeter. Positiivse puutuja suund 565

§ 5. Tasapinnalise kõvera kõverus 568
250. Kumeruse mõiste 568
251. Kumerusring ja kõverusraadius 571
252. Näited 573
253. Kumeruskeskme koordinaadid
254. evolutsiooni ja involutiivse definitsioon; evolutsiooniline otsing
255. Evoluutide ja involuutide omadused
256. Involuutide leidmine
LISAKS. FUNKTSIOONIDE JAOTAMISE PROBLEEM
257. Ühe muutuja funktsiooni juhtum
258. Kahemõõtmelise juhtumi ülesande avaldus
259. Abilaused
260. Levitamise põhiteoreem
261. Üldistus
262. Lõppmärkused

Tähestikuline indeks 600

Köide 2. SISUKORD
KAheksandas peatükis. LOOMA FUNKTSIOON (DEFINITE INTEGRAL)
§ 1. Mitte kindel integraal ja selle arvutamise lihtsaimad meetodid 11
263. Antiderivatiivse funktsiooni (ja määramatu integraali) mõiste 11
264. 14. pindala määramise integraal ja ülesanne
265. Põhiintegraalide tabel 17
266. Kõige lihtsamad lõimingureeglid 18
267. Näited 19
268. Integreerimine muutuja 23 muutmisega
269. Näited 27
270. Integreerimine osade kaupa 31
271. Näited 32

§ 2. Ratsionaalsete väljendite integreerimine 36
272. Lõimumisprobleemi avaldus lõplikul kujul 36
273. Lihtmurrud ja nende integreerimine 37
274. Lagunemine õiged murded lihtsaks 38
275. Koefitsientide määramine. Õigete murdude integreerimine 42
276. Integraali 43 ratsionaalse osa eraldamine
277. Näited 47
§ 3. Mõnede radikaale sisaldavate väljendite integreerimine 50
278. Vormi R .ух + 8 avaldiste integreerimine
279. Binoomdiferentsiaalide integreerimine. Näited 51
280. Taandusvalemid 54
281. Vormi K\x,l1ax2 + bx + c avaldiste integreerimine. Asendused -^ Euler
282. Euleri asenduste geomeetriline tõlgendamine 59
283. Näited 60
284. Muud arvutustehnikad 66
285. Näited 72
§ 4. Trigonomeetrilisi ja eksponentsiaalfunktsioone sisaldavate avaldiste integreerimine 74
286. Diferentsiaalide integreerimine i?(sin x, cos x) dx 74
287. Avaldiste integreerimine sinv xcosto 76
288. Näited 78
289. Teiste juhtumite läbivaatamine 83 § 5. Elliptilised integraalid 84
290. Üldised märkused ja mõisted 84
291. Abiteisendused 86
292. Taandamine kanooniliseks vormiks 88
293. 1., 2. ja 3. tüüpi elliptilised integraalid 90

Üheksanda peatükk. KINDEL INTEGRAAL
§ 1. Kindla integraali mõiste ja olemasolu tingimused 94
294. Teine lähenemine piirkonnaprobleemile 94
295. Definitsioon 96
296. Darboux summad 97
297. Integraali 100 olemasolu tingimus
298. Integreeritavate funktsioonide klassid 101
299. Integreeritavate funktsioonide omadused 103
300. Näited ja täiendused 105
301. Alumine ja ülemised integraalid nagu piirid 106

§ 2. Kindlate integraalide omadused 108
302. Integraal üle orienteeritud intervalli 108
303. Võrdsustega väljendatud omadused 109
304. Ebavõrdsustega 110 väljendatud omadused
305. Määratud integraal ülempiiri 115 funktsioonina
306. Teise keskmise väärtuse teoreem 117

§ 3. Kindlate integraalide arvutamine ja teisendamine 120
307. Arvutamine integraalsummade 120 abil
308. Integraalarvutuse 123 põhivalem
309. Näited 125
310. Teine tuletis põhivalemist 128
311. Taandusvalemid 130
312. Näited 131
313. Muutuja muutmise valem kindlas integraalis 134
314. Näited 135
315. Gaussi valem. Landeni ümberkujundamine 141
316. Teine tuletis muutuja asendusvalemist 143

§ 4. Mõned kindlate integraalide rakendused 145
317. Wallise valem 145
318. Taylori valem koos lisaterminiga 146
319. Arvu e 146 ületamine
320. Legendre polünoomid 148
321. Integraalvõrratused 151

§ 5. Integraalide ligikaudne arvutamine 153
322. Probleemi avaldus. Ristkülikute ja trapetside valemid 153
323. Paraboolne interpolatsioon 156
324. Integreerimisintervalli 158 jagamine
325. Ristküliku valemi 159 lisaliige
326. Trapetsikujulise valemi 161 lisaliige
327. Simpsoni valemi 162 lisaliige
328. Näited 164
KÜMNES PEATÜKK. INTEGRAALARVETUSE RAKENDUSED GEOMEETRIAS, MEHAANIKAS JA FÜÜSIKAS
§ 1. Kõvera pikkus 169
329. Kõvera pikkuse arvutamine 169
330. Teine lähenemine kõvera pikkuse mõiste määratlemisele ja selle arvutamisele
331. Näited 174
332. Looduslik võrrand tasane kõver 180
333. Näited 183
334. Ruumikõvera kaare pikkus 185

§ 2. Pindalad ja mahud 186
335. Pindala mõiste definitsioon. Liitvusomadus 186
336. Pindala piirina 188
337. Ruutpindade klassid 190
338. Pindala väljendamine integraaliga 192
339. Näited 195
340. Mahu mõiste definitsioon. Selle omadused 202
341. Mahuliste kehade klassid 204
342. Helitugevuse väljendamine integraaliga 205
343. Näited 208
344. Pöörlemispind 214
345. Näited 217
346. Piirkond silindriline pind 220
347. Näited 222

§ 3. Arvestus mehaaniliste ja füüsikalised kogused 225
348. Kindla integraali 225 rakendamise skeem
349. Staatiliste momentide ja kõvera raskuskeskme leidmine 228
350. Näited 229
351. Tasapinnalise kujundi staatiliste momentide ja raskuskeskme leidmine
352. Näited 232
353. Mehaaniline töö 233
354. Näited 235
355. Hõõrdejõu töö tasasel kannal 237
356. Probleemid, mis on seotud lõpmatute elementide liitmisega 239

§ 4. Lihtsamad diferentsiaalvõrrandid 244
357. Põhimõisted. Esimest järku võrrandid 244
358. Esimese astme võrrandid tuletise suhtes. Muutujate eraldamine
359. Ülesanded 247
360. Märkused koostamise kohta diferentsiaalvõrrandid 253
361. Ülesanded 254
ÜKSteistkümnes PEATÜKK. LÕPMATUD PÜLILIIKMETEGA RIIGID
§ 1. Sissejuhatus 257
362. Põhimõisted 257
363. Näited 258
364. Põhiteoreemid 260

§ 2. Positiivsete ridade 262 lähenemine
365. Konvergentsi tingimus positiivne seeria 262
366. Teoreemid seeria 264 võrdlemiseks
367. Näited 266
368. Cauchy ja D'Alemberti märgid 270
369. Raabe märk 272
370. Näited 274
371. Kummeri märk 277
372. Gaussi test 279
373. Maclaurin-Cauchy integraaltest 281
374. Ermakovi märk 285
375. Täiendused 287

§ 3. Suvaliste ridade koondumine 293
376. Üldine seisund seeria 293 lähenemine
377. Absoluutne lähenemine 294
378. Näited 296
379. Astumusrida, selle lähenemisintervall 298
380. Lähenemisraadiuse väljendamine koefitsientide 300 kaudu
381. Vahelduv seeria 3 02
382. Näited 303
383. Abeli teisendus 305
384. Abeli ja Dirichlet' testid 307
385. Näited 308

§ 4. Konvergentsete ridade 313 omadused
386. Sobiv omadus 313
3 87. Absoluutselt koonduva jada 315 kommutatiivne omadus
388. Mitteabsoluutselt koonduvate ridade juhtum 316
389. Ridade korrutamine 320-ga
390. Näited 323
391. Üldteoreem piiriteooriast 325
392. Edasised teoreemid seeria 327 korrutamise kohta

§ 5. Korduv ja topeltrida 329
393. Korda ridu 329
394. Topeltrida 333
395. Näited 338
396. Kahe muutujaga astmerida; lähenemispiirkond 346
397. Näited 348
398. Mitu rida 350

§ 6. Lõpmatud korrutised 350
399. Põhimõisted 350
400. Näited 351
401. Põhiteoreemid. Ühendus ridadega 353
402. Näited 356

§ 7. Elementaarfunktsioonide laiendused 364
403. Funktsiooni laiendamine astmereaks; Taylori seeria 364
404. Eksponentsiaalsete, põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide jne seerialaiendus.
405. Logaritmiline jada 368
406. Sterlingi valem 369
407. Binoomjada 371
408. Siinuse ja koosinuse lagundamine lõpmatuteks korrutisteks 374

§ 8. Ligikaudsed arvutused seeriate abil. Seeria 378 teisendamine
409. Üldised märkused 378
410. Arvu arvutamine 379-ni
411. Logaritmide arvutamine 381
412. Juurte arvutamine 383
413. Seeriate teisendus Euleri 3 järgi 84
414. Näited 386
415. Kummeri teisendus 388
416. Markovi teisendus 392

§ 9. Lahknevate ridade summeerimine 394
417. Sissejuhatus 394
418. Võimseeria 396 meetod
419.Tauberi teoreem 398
420. Aritmeetiliste keskmiste meetod 401
421. Poisson-Abeli ja Cesaro meetodi seos 403
422. Hardy-Landau teoreem 405
423. Üldistatud liitmise rakendamine seeria 407 korrutamisel
424. Muud seeria 408 üldistatud liitmise meetodid
425. Näited 413
426. Üldklass lineaarsed regulaarsed liitmismeetodid 416
KAKSteistkümnes PEATÜKK. FUNKTSIONAALSED JÄRJANDUSED JA SARJAD
§ 1. Ühtne lähenemine 419
427. Sissejuhatavad märkused 419
428. Ühtlane ja ebaühtlane lähenemine 421
429. Ühtlase lähenemise tingimus 425
430. Rea 427 ühtlase lähenemise tunnused

§ 2. Seeria 430 summa funktsionaalsed omadused
431. Seeria 430 summa järjepidevus
432. Märkus kvaasiühtlase lähenemise kohta 432
433. Tähtaegade kaupa läbimine piirini 434
434. Seeria 436 termini haaval integreerimine
435. Seeria 438 terminite kaupa eristamine
436. Jada vaatepunkt 441
437. Astumusrea 444 summa pidevus
438. Võimseeriate 447 integreerimine ja diferentseerimine

§ 3. Avaldused 450
439. Näited rea summa järjepidevuse ja terminite kaupa piirini jõudmise kohta
440. Näited seeria 457 terminite kaupa integreerimiseks
441. Näited seeria 468 terminite kaupa eristamiseks
442. Järjestikuste lähenduste meetod implitsiitsete funktsioonide teoorias 474
443. Analüütiline määratlus trigonomeetrilised funktsioonid 477
444. Näide pidev funktsioon ilma tuletiseta 479

§ 4. Täiendav teave võimsussarja 481 kohta
445. Toimingud võimsusseeriale 481
446. Sarja asendamine seeriaga 485
447. Näited 487
448. Võimseeria 492 jaotus
449. Bernoulli arvud ja laiendused, milles need esinevad 494
450. Võrrandite lahendamine seerias 498
451. Astumuseeria 502 ümberpööramine
452. Lagrange seeria 505

§ 5. Elementaarsed funktsioonid kompleksne muutuja 508
453. Keerulised numbrid 508
454. Kompleksvariant ja selle piir 511
455. Kompleksmuutuja 513 funktsioonid
456. Jõuseeria 515
457. Eksponentfunktsioon 518
458. Logaritmiline funktsioon 520
459. Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördväärtused 522
460. Toitefunktsioon 526
461. Näited 527

§ 6. Ümbritsev ja asümptootiline seeria. Euleri-Maclaurini valem 531
462. Näited 531
463. Mõisted 533
464. Asümptootiliste laienduste põhiomadused 536
465. Euleri-Maclaurini valemi 540 tuletamine
466. Lisaliikme uurimine 542
467. Näited arvutustest, kasutades Euleri-Maclaurini valemit 544
468. Teist tüüpi Euleri-Maclaurini valem 547
469. Valem ja Sterling seeria 550

KOLMETEISTPEATÜKK. VALED INTEGRAALID
§ 1. Valed integraalid deemonitega piiratud piirid 552
470. Lõpmatute piiridega integraalide definitsioon 552
471. Integraalarvutuse põhivalemi 554 rakendamine
472. Näited 555
473. Analoogia seeriatega. Lihtsamad teoreemid 558
474. Integraali konvergents juhul positiivne funktsioon 559
475. Integraali koondumine üldjuhul 561
476. Abeli ja Dirichlet' testid 563
477. Vale integraali taandamine lõpmatuks jadaks 566
478. Näited 569

§ 2. Piiramata funktsioonide ebakohased integraalid 577
479. Piiramata funktsioonide integraalide definitsioon 577
480. Märkus ainsuse punktide 581 kohta
481. Integraalarvutuse põhivalemi rakendamine. Näited
482. Integraali 584 olemasolu tingimused ja märgid
483. Näited 587
484. Sobimatute integraalide põhiväärtused 590
485. Märkus lahknevate integraalide üldistatud väärtuste kohta 595

§ 3. Valeintegraali omadused ja teisendus 597
486. Lihtsamad omadused 597
487. Keskmise väärtuse teoreemid 600
488. Osade kaupa integreerimine valede integraalide korral 602
489. Näited 602
490. Muutujate muutmine ebaõigetes integraalides 604
491. Näited 605

§ 4. Erilised käigud valede integraalide arvutused 611
492. Mõned tähelepanuväärsed integraalid 611
493. Ebaõigete integraalide arvutamine integraalsummade abil. Lõplike piiridega integraalide juhtum
494. Integraalide juhtum koos lõpmatu piir 617
495. Frullani integraalid 621
496. Ratsionaalfunktsioonide integraalid lõpmatute piiride vahel
497. Segatud näited ja harjutused 629

§ 5. Valeintegraalide ligikaudne arvutamine 641
498. Lõplike piiridega integraalid; funktsioonide esiletõstmine 641
499. Näited 642
500. Märkus õigete integraalide ligikaudse arvutamise kohta
501. Lõpmatu piiriga ebaõigete integraalide ligikaudne arvutamine
502. Asümptootiliste laienduste kasutamine 650
NELJteistkümnes PEATÜKK. INTEGRAALID SÕLTUVAD PARAMEETRIIST
§ 1. Elementaarne teooria 654
503. Probleemi püstitus 654
504. Ühtlane kalduvus piirava funktsiooni poole 654
505. Kahe piirilõigu permutatsioon 657
506. Läbipääs integraalmärgi 659 all oleva piirini
507. Eristamine integraalimärgi 661 all
508. Integraalmärgi 663 alla integreerimine
509. Juhtum, mil parameetrist 665 sõltuvad ka integraali piirid
510. Ainult x 668-st sõltuva kordaja kasutuselevõtt
511. Näited 669
512. Algebra 680 fundamentaalteoreemi Gaussi tõestus
§ 2. Integraalide ühtlane lähenemine 682
513. Integraalide ühtlase konvergentsi määramine 682
514. Tingimus ühtlaseks konvergentsiks. Ühendus ridadega 684
515. Piisavad kriteeriumid ühtlaseks lähenemiseks 684
516. Veel üks ühtse lähenemise juhtum 687
517. Näited 689

§ 3. Integraalide ühtse konvergentsi kasutamine 694
518. Läbipääs integraalmärgi 694 all oleva piirini
519. Näited 697
520. Integraali pidevus ja diferentseeritavus parameetri 710 suhtes
521. Integraali integreerimine üle parameetri 714
522. Rakendus mõne integraali arvutamisel 717
523. Näiteid eristamise kohta integraalmärgi 723 all
524. Integraalimärgi 733 alla integreerimise näited

§ 4. Täiendused 743
525. Arzela Lemma 743
526. Läbipääs integraalmärgi 745 all oleva piirini
527. Eristamine integraalimärgi 748 all
528. Integraalmärgi 749 alla integreerimine

§ 5. Euleri integraalid 750
529. Euleri esimest tüüpi integraal 750
530. Teist tüüpi Euleri integraal 753
531. Funktsiooni Г 754 lihtsamad omadused
532. Funktsiooni Г üheselt mõistetav defineerimine selle omaduste järgi 760
533. Muu funktsionaalne omadus funktsioonid G 762
534. Näited 764
535. Funktsiooni Г 770 logaritmiline tuletis
536. Funktsiooni Г 772 korrutusteoreem
537. Mõned seeria laiendused ja tooted 774
538. Näited ja täiendused 775
539. Mõne kindla integraali arvutamine 782
540. Sterlingi valem 789
541. Euleri konstandi 792 arvutamine
542. Funktsiooni Г 793 kümnendlogaritmide tabeli koostamine
Tähestikuline register 795
Tähestikuline register

Põhiline matemaatilise analüüsi õpik, mis on läbinud palju trükke ja tõlgitud mitmesse võõrkeeled, eristub ühelt poolt esituse süstemaatilisuse ja ranguse poolest ning teisest küljest lihtsas keeles, üksikasjalikud selgitused ja arvukad teooriat illustreerivad näited.
"Kursus..." on mõeldud kõrgkoolide üliõpilastele, pedagoogilisele ja tehnikaülikoolid ja seda on pikka aega kasutatud erinevates õppeasutustes ühe peamise õppevahendina. See võimaldab õpilasel mitte ainult omandada teoreetilist materjali, vaid omandada ka kõige olulisemad praktilised oskused. “Kursus...” on matemaatikute poolt kõrgelt hinnatud kui ainulaadne kogum erinevatest analüüsifakidest, millest mõnda teistest venekeelsetest raamatutest ei leia.

Peatükk 7. Diferentsiaalarvutuse rakendused geomeetrias

2. köide

“Kursuse...” teine köide on pühendatud ühe reaalmuutuja funktsiooni integraali teooriale ja seeriateooriale ning on mõeldud eelkõige mittehumanitaarse õppe esimese kahe aasta õpilastele. ülikoolid. Esitlus on erakordselt detailne, terviklik ja rohkete näidetega, sealhulgas sellised klassikalised analüüsilõiked nagu määramatu integraal ja selle arvutamise meetodid, kindel Riemanni integraal, valeintegraal, arv- ja funktsionaalrida, parameetrist sõltuvad integraalid jne. Üksikasjalikult on välja toodud mõned neist, mis on halvasti või üldse esitamata. algõpikud teemad: lõpmatud korrutised, Euleri-Maclaurini liitmisvalem ja selle rakendused, asümptootilised laiendused, liitmisteooria ja ligikaudsed arvutused divergentsete jadate abil jne. Olles üks parimaid integraalarvutuse süstemaatilisi õpikuid ja samal ajal ainulaadne kogu konkreetsed faktid seotud seeriate ja integraalidega, see raamat on kindlasti kasulik nii õpilastele kui ka õpetajatele kõrgem matemaatika, samuti erinevate valdkondade spetsialistid, kes kasutavad matemaatikat oma töös, sh matemaatikud, füüsikud ja insenerid.
Esimene trükk ilmus 1948. aastal.

Peatükk 8. Antiderivatiivne funktsioon (määramata integraal)
Peatükk 10. Integraalarvutuse rakendused geomeetrias, mehaanikas ja füüsikas

3. köide

Kolmas ja viimane köide sisaldab üksikasjalik avaldus sellised diferentsiaal- ja integraalarvutuse lõigud nagu mitmik-, kõverjooneliste ja pindintegraalide teooria, vektoranalüüsi elemendid, piiratud variatsioonifunktsioonide teooria ja Stieltjesi integraal, Fourier' jada ja integraalid. Lihtsa geomeetrilise keele kasutamine muudab teksti palju paremini mõistetavaks; samas on paljud keerulised teoreetilised küsimused esitatud põhjalikumalt kui üheski teises õppeväljaandes. Erilist tähelepanu keskendunud rakendustele üldine teooria: suur hulk konkreetseid valemeid ja fakte, näiteid ja puhtmatemaatilisi ja rakenduslikke ülesandeid muudab “Kursuse...” ainulaadseks õpikuks, mis on kasulik ka mittehumanitaarsete ülikoolide üliõpilastele, kellele see on otseselt mõeldud. matemaatikud, füüsikud, insenerid ja teised spetsialistid, kes kasutavad matemaatikat oma töös.
Esimene trükk ilmus 1949. aastal.

Fikhtengolts G.M.Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus. 3 köites T. I / Prev. ja u. A.A. Florinsky. - 8. väljaanne - M.: FIZMATLIT, 2003. - 680 lk. - ISBN 5-9221-0156-0.

Matemaatilise analüüsi põhiõpik, mis on läbinud palju trükke ja tõlgitud paljudesse võõrkeeltesse, eristub ühelt poolt süstemaatilise ja range esitusviisi ning teiselt poolt lihtsa keelekasutuse, üksikasjalike selgituste ja arvukalt teooriat illustreerivaid näiteid.

Kursus on mõeldud ülikoolide, pedagoogika- ja tehnikaülikoolide üliõpilastele ning on olnud pikka aega kasutusel erinevates õppeasutustes ühe peamise õppevahendina. See võimaldab õpilasel mitte ainult omandada teoreetilist materjali, vaid omandada ka kõige olulisemad praktilised oskused. Matemaatikud hindavad kursust kõrgelt kui ainulaadset kogumit, mis sisaldab erinevaid analüüsifakte, millest mõnda teistest venekeelsetest raamatutest ei leia.

Esimene trükk ilmus 1948. aastal.

TOIMETAJA EESSÕNA

Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus Grigori Mihhailovitš Fikhtengolts on silmapaistev teadusliku ja pedagoogilise kirjanduse teos, mis on läbinud palju trükke ja tõlgitud paljudesse võõrkeeltesse. Kursusel pole võrdset läbitud faktimaterjali mahu ja erinevate avalduste arvu poolest üldised teoreemid geomeetrias, algebras, mehaanikas, füüsikas ja tehnoloogias. Paljud kuulsad kaasaegsed matemaatikud pange tähele, et see oli G. M. Fikhtengoltsi kursus, mis neile sisendas üliõpilasaastad maitse ja armastus matemaatilise analüüsi vastu andsid sellest teemast esimese selge arusaama.

Kursuse esimese väljaande ilmumisest möödunud 50 aasta jooksul pole selle tekst praktiliselt vananenud ja praegu saab siiani kasutada ja on kasutusel nii ülikoolide üliõpilaste kui ka erinevate tehniliste ja pedagoogilised ülikoolid kui üks peamisi matemaatilise analüüsi ja kõrgema matemaatika kursuste õpikuid. Pealegi, hoolimata uute heade õpikute ilmumisest, on G. M. Fikhtengoltsi kursuse lugejaskond selle eksisteerimise ajal ainult laienenud ja hõlmab nüüd õpilasi paljudest füüsika- ja matemaatikalütseumidest, edasijõudnute kursuste õpilasi. matemaatiline kvalifikatsioon insenerid.

Kõrge tase Nõudlus Kursuse järele on seletatav selle ainulaadsete omadustega. Põhiline teoreetiline materjal Kursuses sisalduv on tänapäevase klassikaline osa matemaatiline analüüs, mis kujunes lõplikult välja 20. sajandi alguseks (ei sisalda mõõduteooriat ja üldist hulgateooriat). Seda analüüsiosa õpetatakse ülikoolide kahel esimesel õppeaastal ja see sisaldub (täielikult või suures osas) kõigi tehnika- ja pedagoogikaülikoolide programmides. Kursuse I köide sisaldab ühe ja mitme reaalmuutuja diferentsiaalarvutust ja selle peamisi rakendusi, II köide on pühendatud Riemanni integraali teooriale ja seeriateooriale, III köide- mitmik-, kõverjoonelised ja pindintegraalid, Stieltjesi integraal, jada- ja Fourier' teisendus.

Suur hulk näiteid ja rakendusi, tavaliselt väga huvitavaid, millest mõnda muust venekeelsest kirjandusest ei leia, on üks ülalmainitud kursuse põhijooni.

Märkimisväärne omadus on ka materjali kättesaadavus, detailsus ja põhjalikkus. Kursuse märkimisväärne maht ei saa takistuseks selle läbimisel. Vastupidi, see võimaldab autoril pöörata piisavalt tähelepanu uute definitsioonide ja probleemipüstituste motiveerimisele, põhiteoreemide üksikasjalikele ja põhjalikele tõestustele ning paljudele muudele aspektidele, mis hõlbustavad lugejal teemast arusaamist. Üldiselt on esituse selguse ja ranguse ühendamise probleem (viimase puudumine põhjustab lihtsalt moonutusi matemaatika faktid) on kõigile õpetajatele hästi teada. Tohutu pedagoogiline oskus Grigori Mihhailovitš lubab tal kogu kursuse jooksul tuua palju näiteid selle probleemi lahendamiseks; Koos muude asjaoludega muudab see Kursuse asendamatuks mudeliks alustavale õppejõule ja uurimisobjektiks kõrgema matemaatika õpetamismeetodite spetsialistidele.

Kursuse teiseks tunnuseks on hulgateooria elementide (sealhulgas märkimise) väga vähene kasutamine. Samal ajal säilitatakse esitluse täielik rangus; üldiselt, nagu 50 aastat tagasi, teeb selline lähenemine olulisel osal lugejaskonnast selle teema esmase valdamise lihtsamaks.

G. M. Fikhtengoltsi kursuse uues väljaandes, millele lugeja tähelepanu juhime, on kõrvaldatud mitmetes varasemates väljaannetes leitud kirjavead. Lisaks on väljaanne varustatud lühikesed kommentaarid, mis on seotud teksti nende kohtadega (väga vähe), millega töötades võib lugeja kogeda teatud ebamugavusi; märkmeid tehakse eelkõige juhtudel, kui autori kasutatud termin või kõnekujund erineb millegi poolest praegu levinuimast. Märkmete sisu eest vastutab täielikult väljaande toimetaja.

Toimetaja on sügavalt tänulik professor B. M. Makarovile, kes luges läbi kõigi märkmete tekstid ja esitas hulga väärtuslikke arvamusi. Samuti soovin tänada kõiki Peterburi matemaatika-mehaanikateaduskonna matemaatilise analüüsi osakonna töötajaid riigiülikool, kes arutas nende ridade autoriga erinevaid eelmiste väljaannete tekstide ja Kursuse uue väljaande ideega seotud küsimusi.

Toimetus tänab juba ette kõiki lugejaid, kes soovivad oma kommentaaridega kaasa aidata väljaande kvaliteedi edasisele parandamisele.

A. A. Florinsky

Fikhtengolts G.M. (2003) Diferentsiaal- ja integraalarvutuse kursus. T.1.

G. M. Fikhtengolts
DIFERENTSIAAL- JA INTEGRAALKARVUTUSE KURSUS
1. KÖÖTE
Sisu
SISSEJUHATUS
PÄRISNUMBRID
§ 1. Ratsionaalarvude valdkond 11 1. Sissejuhatavad märkused 11 2. Ratsionaalarvude domeeni järjestamine 12 3. Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine 12 4. Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine 14 5. Archimedese aksioom 16
§ 2. Irratsionaalarvude kasutuselevõtt. Reaalarvude domeeni järjestamine
17 6. Irratsionaalarvu definitsioon 17 7. Reaalarvude domeeni järjestamine 19 8. Abilaused 21 9. Reaalarvu esitamine lõpmatu kümnendmurruga 22 10. Reaalarvude valdkonna pidevus 24 11. Piirid numbrilised komplektid 25
§ 3. Aritmeetilised tehted reaalarvudega 28 12. Reaalarvude summa määramine 28 13. Liitmise omadused 29 14. Reaalarvude korrutise määramine 31 15. Korrutamise omadused 32 16. Järeldus 34 17. Absoluutsed suurused 34
§ 4. Reaalarvude edasised omadused ja rakendused 35 18. Juure olemasolu. Võimsus ratsionaalse astendajaga 35 19. Võimsus mis tahes reaalastendajaga 37 20. Logaritmid 39 21. Lõikude mõõtmine 40
ESIMENE PEATÜKK. PIIRIDE TEOORIA
§ 1. Variant ja selle piir 43 22. Muutuja väärtus, variant 43 23. Piirvariant 46

24. Lõpmatult väikesed suurused 47 25. Näited 48 26. Mõned teoreemid variandi kohta, millel on piir 52 27. Lõpmatult suured kogused 54
§ 2. Piiriteoreemid, mis hõlbustavad piiride leidmist 56 28. Piirile üleminek võrdsuses ja ebavõrdsuses 56 29. Lemmad lõpmatute väikeste kohta 57 30. Aritmeetilised tehted muutujatega 58 31. Määramata avaldised 60 32. Näited 62 3 limiidi leidmiseks Stolzi teoreem ja selle rakendused 67
§ 3. Monotoonne variant 70 34. Monotoonse variandi piir 70 35. Näited 72 36. Arv e 77 37. Arvu e ligikaudne arvutamine 79 38. Lemma pesastatud intervallidel 82
§ 4. Konvergentsi põhimõte. Osalised piirid 83 39. Konvergentsi põhimõte 83 40. Osalised jadad ja osalised piirid 85 41. Bolzano-Weierstrassi lemma 87 42. Suurim ja väikseim piir 89
TEINE PEATÜKK. ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOONID
§ 1. Funktsiooni mõiste 93 43. Muutuja ja selle muutumise ala 93 44. Funktsionaalne sõltuvus muutujate vahel. Näited 94 45. Funktsiooni mõiste definitsioon 95 46. Funktsiooni defineerimise analüütiline meetod 98 47. Funktsiooni graafik 100 48. Olulisemad funktsioonide klassid 102 49. Pöördfunktsiooni mõiste 108 50. Pöördfunktsiooni defineerimine 108 50. funktsioonid 110 51. Funktsioonide superpositsioon. Lõppmärkus 114
§ 2. Funktsiooni piirmäär 115 52. Funktsiooni piiri määramine 115

53. Taandamine käändevariantidele 117 54. Näited 120 55. Piiride teooria laiendamine 128 56. Näited 130 57. Monotoonse funktsiooni piir 133 58. Üldine Bolzano-Cauchy test 134 59. Funktsiooni suurim ja väikseim piir 135
§ 3. Lõpmatult väikeste ja lõpmata suurte suuruste klassifikatsioon 136 60. Lõpmatute väikeste suuruste võrdlus 136 61. Lõpmatute väikeste suuruste skaala 137 62. Ekvivalentsed lõpmata väikesed 139 63. Põhiosa identifitseerimine 141 64. Ülesanded 6551 Suurte klassifikatsioon43.
§ 4. Funktsioonide pidevus (ja katkestused) 146 66. Funktsiooni pidevuse määramine punktis 146 67. Aritmeetilised tehted pidevatele funktsioonidele 148 68. Pidevate funktsioonide näited 148 69. Ühepoolne pidevus. Katkestuste klassifikatsioon 150 70. Näited katkendlike funktsioonide kohta 151 71. Monotoonse funktsiooni pidevus ja katkestused 154 72. Elementaarfunktsioonide pidevus 155 73. Pidevate funktsioonide superpositsioon 156 74. Ühe funktsionaalvõrrandi75 15 funktsionaalse võrrandi lahendus. logaritm- ja astmefunktsioonid
158 76. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete koosinuste funktsionaalsed omadused
160 77. Funktsioonide pidevuse kasutamine piirväärtuste arvutamiseks 162 78. Astmeeksponentsiaalsed avaldised 165 79. Näited 166
§ 5. Pidevate funktsioonide omadused 168 80. Teoreem funktsiooni kadumise kohta 168 81. Rakendus võrrandite lahendamisel 170 82. Teoreem vaheväärtuse kohta 171

83. Pöördfunktsiooni olemasolu 172 84. Funktsiooni piirituse teoreem 174 85. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused 175 86. Ühtlase pidevuse mõiste 178 87. Cantori teoreem 179 88. Boreli lemma91808 Peamiste teoreemide uued tõestused 182
KOLMAS PEATÜKK. DERIVAADID JA DIFERENTSIAALID
§ 1. Tuletis ja selle arvutamine 186 90. Liikuva punkti kiiruse arvutamise probleem 186 91. Kõvera puutuja joonistamise probleem 187 92. Tuletise definitsioon 189 93. Tuletise arvutamise näited 193 94. Tuletis pöördfunktsioonist 196 95. Tuletisi valemite kokkuvõte 198 96. Funktsiooni juurdekasvu valem 198 97. Lihtsamad tuletiste arvutamise reeglid 199 98. Kompleksfunktsiooni tuletis 202 99. Näited 203 Ühepoolsed tuletised 100. 209 101. Lõpmatud tuletised 209 102. Täiendavad näited erijuhtudest 211
§ 2. Diferentsiaal 211 103. Diferentsiaali mõiste 211 104. Seos diferentseeritavuse ja tuletise olemasolu vahel
213 105. Põhivalemid ja diferentseerimise reeglid 215 106. Diferentsiaali kuju muutumatus 216 107. Diferentsiaalid ligikaudsete valemite allikana 218 108. Diferentsiaalide rakendamine vigade hindamisel 220
§ 3. Diferentsiaalarvutuse põhiteoreemid 223 109. Fermat’ teoreem 223 110. Darboux’ teoreem 224 111. Rolle’i teoreem 225 112. Lagrange’i valem 226

113. Tuletise 228 limiit 114. Cauchy valem 229
§ 4. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid 231 115. Kõrgemat järku tuletiste määratlus 231 116. Mis tahes järku tuletiste üldvalemid 232 117. Leibnizi valem 236 118. Näited 238 119. 0241 kõrgema järgu tuletiste diferentsiaalid2. invariantsus kõrgema järgu erinevuste puhul
242 121. Parameetriline diferentseerimine 243 122. Lõplikud erinevused 244
§ 5. Taylori valem 246 123. Taylori valem polünoomi jaoks 246 124. Suvalise funktsiooni laiendamine; täiendav liige vormis
Peano
248 125. Näited 251 126. Täiendava termini muud vormid 254 127. Ligikaudsed valemid 257
§ 6. Interpoleerimine 263 128. Lihtsaim interpolatsiooniülesanne. Lagrange'i valem 263 129. Lagrange'i valemi lisatermin 264 130. Interpolatsioon mitme sõlmega. Hermiidi valem 265
NELJAS PEATÜKK. FUNKTSIOONI UURIMINE KASUTAMINE
DERIVAADID
§ 1. Funktsiooni muutuste käigu uuring 268 131. Funktsiooni püsivuse tingimus 268 132. Funktsiooni monotoonsuse tingimus 270 133. Võrratuste tõendamine 273 134. Maksimum ja miinimum; vajalikud tingimused 276 135. Piisavad tingimused. Esimene reegel 278 136. Näited 280 137. Teine reegel 284 138. Kõrgemate tuletisinstrumentide kasutamine 286 139. Suurima ja väikseima väärtuse leidmine 288

140. Ülesanded 290
§ 2. Kumerad (ja nõgusad) funktsioonid 294 141. Kumera (nõgusa) funktsiooni definitsioon 294 142. Lihtsamad laused kumerfunktsioonide kohta 296 143. Funktsiooni kumeruse tingimused 298 144. Jenseni ebavõrdsus01 ja selle14 rakendused. Käändepunktid 303
§ 3. Funktsioonide graafikute konstrueerimine 305 146. Ülesande püstitamine 305 147. Graafi koostamise skeem. Näited 306 148. Lõpmatu vahe, lõpmatu vahe. Asümptoodid 308 149. Näited 311
§ 4. Määramatuste avalikustamine 314 150. Vormi määramatus 0/0 314 151. Vormi määramatus
∞
∞ /
320 152. Muud tüüpi määramatused 322
§ 5. Võrrandi 324 153. umbkaudne lahend ja harjutused 336
VIIES PEATÜKK. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID
§ 1. Põhimõisted 340 159. Funktsionaalne sõltuvus muutujate vahel. Näited 340 160. Kahe muutuja funktsioonid ja nende definitsioonipiirkonnad 341 161. Aritmeetiline n-mõõtmeline ruum 345 162. Domeenide näited n-mõõtmelises ruumis 348 163. Avatud ja suletud domeeni ülddefinitsioon 350 164n Funktsionaalsed muutujad. 352 165. Mitme muutuja funktsiooni piirmäär 354 166. Taandamine tõstuvalikuteks 356 167. Näited 358 168. Korduvad piirid 360

§ 2. Pidevad funktsioonid 362 169. Mitme muutuja funktsioonide pidevus ja katkestused 362 170. Tehted pidevatel funktsioonidel 364 171. Piirkonnas pidevad funktsioonid. Bolzano-Cauchy teoreemid 365 172. Bolzano-Weierstrassi lemma 367 173. Weierstrassi teoreemid 369 174. Ühtlane järjepidevus 370 175. Boreli lemma 372 176. Mitmete peamiste funktsioonide 3 tõestuste1 ja 7 peamiste funktsioonide7 uued tõestused. muutujad 373 177. Üksikasjad tuletised ja osadiferentsiaalid 375 178. Funktsiooni kogukasv 378 179. Kogudiferentsiaal 381 180. Geomeetriline tõlgendus kahe muutuja funktsiooni korral
383 181. Keeruliste funktsioonide tuletised 386 182. Näited 388 183. Lõplike juurdekasvude valem 390 184. Tuletis antud suunas 391 185. Vormi (esimene) diferentsiaali invariant 394 186. Täieliku diferentsiaali lähedase rakendamine 396 187. Ühtlased funktsioonid 399 188. Euleri valem 400
§ 4. Kõrgemat järku diferentsiaalide tuletised 402 189. Kõrgemat järku tuletised 402 190. Teoreem segatuletistest 404 191. Üldistus 407 192. Kompleksfunktsiooni kõrgemat järku tuletised 408 193. Kõrgemat järku diferentsiaalid 410 kompleksfunktsioonide diferentsiaalid113. 95. Vormel Taylor 414
§ 5. Ekstreem, suurim ja väikseim väärtus 417 196. Mitme muutuja funktsiooni äärmus. Vajalikud tingimused
417 197. Piisavad tingimused (kahe muutuja funktsiooni juhtum) 419

198. Piisavad tingimused (üldjuhtum) 422 199. Ekstreemumi puudumise tingimused 425 200. Funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused. Näited 427 201. Ülesanded 431
KUUES PEATÜKK. FUNKTSIONAALSED DETERMINANTID; NENDE
RAKENDUSED
§ 1. Funktsionaalsete determinantide formaalsed omadused 441 202. Funktsionaalsete determinantide määratlus (Jakobi maatriksid) 441 203. Jakobilaste korrutis 442 204. Funktsionaalmaatriksite korrutamine (Jacobi maatriksid) 444
§ 2. Implitsiitsed funktsioonid 447 205. Ühe muutuja kaudse funktsiooni mõiste 447 206. Implitsiitse funktsiooni olemasolu 449 207. Implitsiitse funktsiooni diferentseeritavus 451 208. Mitme muutuja kaudsed funktsioonid 453 209 kaudse tuletise arvutamine. funktsioonid 460 210. Näited 463
§ 3. Implitsiitsete funktsioonide teooria mõned rakendused 467 211. Suhtelised ekstreemumid 467 212. Lagrange'i määramatute kordajate meetod 470 213. Suhtelise ekstreemumi piisavad tingimused 472 214. Näited ja probleemid 473 215 funktsiooni sõltumatuse mõiste 71 215. Jacobi maatriksi aste 479
§ 4. Muutujate asendamine 483 217. Ühe muutuja funktsioonid 483 218. Näited 485 219. Mitme muutuja funktsioonid. Sõltumatute muutujate asendamine
488 220. Diferentsiaalide arvutamise meetod 489 221. Muutuvate muutujate üldjuhtum 491 222. Näited 493
SEITSMES PEATÜKK. DIFERENTSIAALKASUTUSED
ARVESTUS GEOMEETRIALE
§ 1. Kurvide ja pindade analüütiline kujutamine 503

223. Kõverad tasapinnal (ristkülikukujulistes koordinaatides) 503 224. Näited 505 225. Mehaanilise päritoluga kõverad 508 226. Kõverad tasapinnal (polaarkoordinaatides). Näited 511 227. Pinnad ja kõverad ruumis 516 228. Parameetriline esitus 518 229. Näited 520
§ 2. Puutuja ja puutuja tasapind 523 230. Tasapinna kõvera puutuja ristkülikukujulistes koordinaatides 523 231. Näited 525 232. Puutuja polaarkoordinaatides 528 233. Näited 529 234. Ruumikõvera puutuja. Pinna puutuja tasapind
530 235. Näited 534 236. Tasapinnakõverate singulaarpunktid 535 237. Kõvera parameetrilise määratluse juhtum 540
§ 3. Kõverate puudutamine üksteisega 542 238. Kõverate perekonna mähisjoon 542 239. Näited 545 240. Iseloomulikud punktid 549 241. Kahe kõvera puutuja järjekord 551 242. Ühe kõvera kaudse täpsustamise juhtum 2453 Hõivamine kõver 554 244. Teine lähenemine kõverate 556 puudutamisele
§ 4. Tasapinna kõvera pikkus 557 245. Lemmad 557 246. Suund kõveral 558 247. Kõvera pikkus. Kaare pikkuse liitivus 560 248. Piisavad tingimused alaldatavusele. Kaardiferentsiaal 562 249. Kaar kui parameeter. Positiivse puutuja suund 565
§ 5. Tasajoone kõverus 568 250. Kumeruse mõiste 568 251. Kumerusring ja kõverusraadius 571 252. Näited 573

253. Kumeruskeskme koordinaadid 577 254. Areneva ja involutiivse definitsioon; evolutsiooni leidmine 578 255. Evoluutide ja involuutide omadused 581 256. Evoluutide leidmine 585
LISAKS. FUNKTSIOONIDE JAOTAMISE PROBLEEM
257. Ühe muutuja funktsiooni juhtum 587 258. Ülesande püstitus kahemõõtmelisel juhul 588 259. Abilaused 590 260. Peamine leviteoreem 594 261. Üldistus 595 262. Lõppmärkused 597
Tähestikuline indeks 600
Tähestikuline register
Absoluutväärtus 14, 31, 34
Absoluutne äärmus 469
Algebraline funktsioon 448
Analüütiline meetod funktsioonide 97, 98 määramiseks
Analüütiline väljendus funktsioonid
98
- kõverate 503, 517 esitamine
-- pinnad 517
Anomaalia (ekstsentriline) planeet
174
Funktsiooni argument 95, 341
Juure aritmeetiline väärtus
(radikaal) 36, 103
- ruum 345
Arksiin, arkosiin jne 110
Archimedes 64
Archimedese aksioom 16, 34
Archimedese spiraal 512, 529
Asümptoot 309
Asümptootiline punkt 513, 514
Astroid 506, 511, 526, 546, 573, 583
Baromeetriline valem 95
Bernoulli, John 206, 314
- Jakovi 38
- lemniskaat 515, 530, 575, 577
Lõpmatu kümnend 22
- tuletis 209
Lõputult suur väärtus 54,
117
- - - klassifikatsioon 145
- - - tellimus 145
- väike väärtus 47, 117
- - - kõrgemat järku [nimetus
O(
α)] 136, 137
- - - klassifikatsioon 136
-- - Lemmas 57
- - - tellimus 137
- - - samaväärsus 139
Lõpmatus
,
−∞
+∞
26, 55
Lõpmatu ulatus 94, 308
- vahe 309
Boyle-Marriotti seadus 94
Bolzano 84
Bolzano meetod 88
Bolzano-Weierstrasse Lemma 87,
367
Bolzano-Cauchy teoreemid 1. ja 2
168, 171, 182, 366
- - seisund 84, 134
Borel Lemma 181, 372
Variant 44, 344
- kasvav (mitte kahanev) 70
- mille limiit on 52
- ikooni 96 funktsioonina

Monotoonne 70
- piiratud 53
- kahanev (mitte suurenev) 70
Weierstrass-Bolzano Lemma 87,
367
- teoreemid 1 ja 2 175, 176, 183,
369, 370, 373
Vertikaalne asümptoot 309
Ülemine piir numbrikomplekt 26
- - - - täpne 26
Reaalarvud 19
- - lahutamine 31
-- jaotus 34
- - kümnendlähendus 22
- - ala 24 järjepidevus
- - tihedus (suurendatud) ala 21
-- võrdsus 19
-- lisa 28
- - korrutamine 31
- - tellimisala 19
Viviani kõver 521, 535
Helix 521, 534
- pind 523, 535
Pesastatud intervallid, Lemma 83
Sisemine punkt komplektid 350
Nõgusad (kumerad ülespoole) funktsioonid või kõverad 295
- - - - nõgusustingimused 298
Tagasipöördumispunkt 539, 541
Kasvav valik 70
- funktsioon 133
Pöörlemispind 522
Kumerad (allakumerad) funktsioonid või kõverad 294
- - - - kumerustingimused 298
- rangelt funktsioonid või kõverad 298
Kõrgemat järku infinitesimaalid
[määramine o(
α)] 136, 137
- - diferentsiaalid 241
- - - mitme muutuja funktsioonid
410
- - tuletised 231, 232
245
--- era 402
Harmooniline võnkumine 208
Gauss 74 439
Hölder-Cauchy ebavõrdsus 275,
302
Geograafilised koordinaadid 522
Diferentsiaali 214 geomeetriline tõlgendus
-- täisdiferentsiaal 386
-- tuletis 190
Hüperbool 506, 575, 580
- võrdkülgne 102, 103
Hüperboolne spiraal 529
Hüperboolne siinus, koosinus jne 107
- funktsioonid, järjepidevus 149
- - tagurpidi 108-109
-- tuletised 205
Hüpotsükloid 509
Arkosiini, arkosiini jne põhiharu (põhiväärtus).
110, 114
- osa ( põhiliige) lõpmata väike 141
Sujuv kõver 594
Horisontaalne asümptoot 309
Gradiendi funktsioon 394
Piirkonna piir 351
- numbriline komplekt (ülemine, alumine) 25-28
--- täpne 26
Funktsiooni 100 graafik
-- ehitus 305
- - ruumiline 343
Huygensi valem 260
Darboux teoreem 224
Liikumise võrrand 187
Topeltkõvera punkt 538
Double limit 360 funktsioon
Kahe muutujaga funktsioon 341
Dedekind 17
Dedekindi põhiteoreem 25

Reaalarvud, cm.
Reaalarvud
Descartes'i leht 507, 538
Reaalarvu 22 kümnendlähendus
Kümnendlogaritmid 79
Punktikomplekti läbimõõt 371
Dirichlet funktsioon 99, 102, 153
Diskriminantkõver 545, 550
Diferentsiaal 211, 215
- järjekord, 1., 2., n 241
- geomeetriline tõlgendus 214
- kaared 562, 567
- vormi muutumatus 216
- täis 382
- - järjekord, 1., 2., n 410
- - geomeetriline tõlgendus 386
- - vormimuutus 394
- - arvutusmeetod (muutujate asendamisel) 489
- ligikaudsete arvutuste 218, 220, 396 rakendamine
- eratelefon 378, 411
Diferentseerimine 215
- parameetriline 243
- reeglid 215, 395
Diferentseeritav funktsioon 212, 382
Kaudse funktsiooni diferentseeritavus 451
Segmentide pikkus 40
- tasane kõver 560
- - - liitivus 560
- ruumiline kõver 567
Valemi lisatermin
Taylor 249, 257, 415
-- Lagrange 263
-- - Ermita 266
Murdosaline ratsionaalne funktsioon 103
- - - järjepidevus 148
- - - mitu muutujat 353
e(number) 78, 148
- irratsionaalsus 82
- ligikaudne arvutus 81
Üksus 14, 32
Sõltuvad funktsioonid 478
Muutujate 483 asendamine
Suletud ala 351
- kera 351
Suletud komplekt 351
Suletud rööptahukas 351
Suletud vahe 93
- simpleks 351
Terituspunkt 539
Summutatud võnkumine 208, 282
Märgireegel (korrutamiseks) 16,
32
Jensen 295
Jenseni ebavõrdsus 301
Mõõtesegmendid 40
Eraldatud kõvera punkt 536, 539
Diferentsiaali kuju muutumatus 216, 394
Interpolatsioon 263
Interpolatsioonisõlmed 263
- - 266 kordne
Interpolatsiooni valem
Lagrange 263
-- Ermita 266
Irratsionaalsed arvud 19
Cantori teoreem 179, 184, 370, 374
Kardioid 510, 515, 530
Puudutavad kõverad 542
- - tellida 551
puutuja 188, 210, 386, 523, 530,
533, 555
- ühepoolne 209
- segment 524
-- polaarne 528
- lennuk 384, 532
- positiivne suund 567
puutuja teisendus 485,
487, 493, 500
Tangensmeetod (võrrandite ligikaudne lahendus) 328
Cassini ovaal 515
Ruutkuju 423

Suurim ja madalaim väärtus 476
-- määratlemata 425
- - määratletud 423
- - poolkindel 427
Kepleri võrrand 174
Clapeyroni valem 340, 377
Sileda kurvi klass 594
Lõpmatult suurte klassifikatsioon
145
- - väike 136
Funktsiooniklassid 102
Harmooniline võnkumine 208
- summutatud 208, 282
- funktsioonid 177, 370
Kombineeritud meetod
(võrrandite ligikaudne lahendus) 335
Kompressor 433
Lõplikud erinevused 244
Lõpliku juurdekasvu valem 227,
390
Käibikoonus, tellimus, 2, 535
Koordinaatjooned (pinnad)
520
Koordinaadid n-mõõtepunkt 345
Reaalarvu juur, 35 olemasolu
- võrrandid (funktsioonid), olemasolu 170
- - ligikaudne arvutus 170,
324
Koosinus 103
- funktsionaalsed omadused
160
- hüperboolne 107
160
Cosekant 103
Kotangens 103
- hüperboolne 107
Cauchy 67, 69, 84, 192
Cauchy-Bolzano teoreemid 1 ja 2
168, 171, 182, 366
- - seisund 84, 134
- lisaliikme vorm 257
- valem 229
Mitme kõvera punktid 505, 519, 538,
540
Kumerus 568
- ring 571
- raadius 571
- keskmine 568
- keskus 571
Kõverad, vt vastavat pealkirja
- ruumis 517, 518
- V n-mõõtmeline ruum 347
- lennukis 503, 508, 511
- üleminek 576
Kronecker 99
Kuubik n- mõõtmetega 348
Tükkide kaupa sile kõver 595
Lagrange 192, 257, 470
Lagrange'i interpolatsiooni valem 263
- - - lisaliige 265
- teoreem, valem 226, 227
- lisaliikme vorm 257,
415
Lebesgue 181
Legendre polünoomid 240
Legendre teisendus 487, 499,
500
Leibniz 192, 215, 241
Leibnizi valem 238, 241
Bernoulli Lemniscate 515, 530, 575,
577
Logaritm, olemasolu 39
- koma 50, 79
- loomulik (või neper) 78
-- muutke kümnendkohaks 79
Logaritmiline spiraal 514, 529,
574, 581
- funktsioon 103
- - järjepidevus 155, 174
- - tuletis 195, 197

Funktsionaalsed omadused
159
Katkestatud joon (sisse n-mõõtmeline ruum)
347
Hopitali reegel 314, 320
Maclaurin valem 247, 251
Maksimaalne, vt Extreme
Funktsionaalne maatriks (Jacobi)
444, 478
-- koht 468, 471, 479
Korrutusmaatriksid 444
Ainult 44
Minimaalne, vt Extreme
Minkowski ebavõrdsus 276
Mitme väärtusega funktsioon 96, 109, 341,
447, 453
Suletud punktide kogum 351
- - piiratud 352
- numbriline, piiratud ülal, alla 26
Määramata kordajad, meetod
470
Moodul naturaallogaritmide kümnendarvudeks teisendamiseks 79
Monotoonne variant 70
- funktsioon 133
- - järjepidevus, katkestused 154
Funktsiooni tingimuse 270 monotoonsus
n muutuv funktsioon 352
n-mitme kõvera punkt 540
n-mitmekordne limiit 360
n-mõõtmeline kera 349, 351
n-mõõtmeline ruum 345
n-mõõtmeline rööptahukas 348, 351
n-mõõtmeline simpleks 349, 351
Funktsiooni suurim väärtus on 176,
286
Kõrgeima limiidi valikud 89
-- funktsioonid 136
Funktsiooni väikseim väärtus on 176,
289
- - - mitu muutujat 427
Madalaima limiidi valikud 89
-- funktsioonid 136
Vähim ruudud meetod 438
Kaldus asümptoot 310
Funktsiooni ülekate 114
Suund kõveral 558
Naturaalne logaritm 78
Funktsioonide sõltumatus 478
Sõltumatud muutujad 94, 341,
352
Määramatuse avalikustamine 62, 314
- tüüp 0/0 60, 314
- -
∞
∞ / 61, 320
- -
∞
⋅
0 61, 322
- -
∞
−
∞
62, 323
- -
0 0
,
0
,
1
∞
∞
166, 323
Ebakindlad kordajad, meetod
470
Neper, Neper logaritmid 78
Reaalarvude valdkonna 24 pidevus
- sirge 42
- toimib 365 alal
- - intervallis 148
- - punktis 146, 362
- - ühepoolne 150
-- vormiriietus 178, 370
Pidevad funktsioonid, toimingud nendega 148, 364
- - kinnistud 168-185, 365-374
- - superpositsioon 114, 364
Ebavõrdsused, tõestus 122,
273, 302
Cauchy ebavõrdsus 275, 346
- Cauchy-Helder 275, 302
- Jensen 301
- Minkowski 276
Valed numbrid (punktid) 26, 55,
355
Kaudsed funktsioonid 447, 453
- - tuletisinstrumentide arvutamine 460
- - olemasolu ja omadused 449,
451, 453

Alumine joon numbrikomplekt 26
- - - - täpne 26
Tavaline kuni kõver 523
- - - segment 524
- - - - polaarne 528
Tavaline pinna 532, 534 suhtes
Newtoni meetod (võrrandite ligikaudne lahendus) 328
Suhteline äärmus 467
Joonelõik, mõõde 40
- puutuja, tavaline 524
- - - polaarne 528
Vea hinnang 220, 396
Piirkond sisse n-mõõtmeline ruum
350
- muutuvad muutused
(muutujad) 95, 341
- suletud 351
- funktsioonide määratlused 95, 341
- avatud 350
- side 352
Pöördfunktsioon 108
- - järjepidevus 172
-- tuletis 196
- - olemasolu 172
Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid 110
- - - järjepidevus 156, 174
- - - tuletised 197
Tavaline punkt(kõver või pind) 504, 505, 520
Cassini 515 ovaalid
Kurvipere ümbrik 543
Piiratud variant 53
Piiratud komplekt kohapeal
352
-- numbriline 26
Pideva funktsiooni piirid, teoreemid 175, 183,
369, 373
Ühe väärtusega funktsioon 96, 341
Homogeenne funktsioon 399
Funktsiooni 150 ühepoolsed järjepidevused ja katkestused
Ühesuunaline puutuja 209
- tuletis 209
- - kõrgem järjekord 232
Punkti 115 naabruskond
- -n- mõõtmed 348, 349
Determinant, tuletis 388
- funktsionaalne (Jacobi) 441
Ainus punkt(kõver või pind) 504, 505, 517, 518,
519, 531, 533, 535, 537
- - isoleeritud 536
- - kahekordne 538
- - 505, 519, 538, 540 kordne
Ostrogradski 442
Avatud ala 350
- kera 349, 350
Avatud vahemik 93
- rööptahukas 348, 350
- simpleks 349, 350
Suhteline viga 140, 218,
397
Parabool 64, 103, 525, 546, 575, 579
Revolutsiooni paraboloid 344
Parallelepiped n- mõõtmetega 348
Parameeter 217, 504
Parameetriline diferentseerimine 243
- kõvera esitus 217, 504, 512
- - - ruumis 518
-- pinnad 519
Peano lisapeenise vorm
249
Käändepunkt 303
Muutuja 43, 93
- sõltumatu 94, 341, 352
Muutuv asendus 483
Kommutatiivne omadus liitmise, korrutamise 12, 14,
29, 32
Diferentseerumise ümberkorraldamine
405, 407
- piirake lõike 361, 406

Üleminekukõverad 576
Perioodiline kümnendmurd 24
Pind 343, 517, 519
- pöörlemine 522
Mitme muutuja funktsiooni korduv piirmäär 360
Podcastnaja 207 524
- polaarne 528
Ebanormaalne 524
- polaarne 528
Järjekord 85
Piiripunkt 351
Absoluutne, suhteline viga 139, 140, 218,
221, 397
Eksponentfunktsioon 103
- - järjepidevus 149, 155
-- tuletis 194
- - funktsionaalne omadus
158
Funktsiooni täispikk 378
Täisdiferentsiaal 381, 396
- - kõrgem järjekord 410, 413
- - geomeetriline tõlgendus 386
- - vormimuutus 394
- - rakendused ligikaudsete arvutuste tegemiseks 396
Poolkuubikuline parabool 506, 540,
548, 579
Poolavatud vahe 93
Polaarne subtangent, alanormaalne 528
Polaarkõvera võrrand 511
Polaarkoordinaadid 493, 495, 512
Polaarne puutuja segment, tavaline 528
Järjekord on lõputu suur suurus 145
- - väike suurus 137
- diferentsiaal 241
- puudutades kõveraid 551
- tuletis 231
Jada 44
Funktsiooni püsivuse tingimus 268
Reegel, vt vastavat pealkirja
Limiitvalikud 46, 48
-- lõputu 55
-- unikaalsus 54
- monotoonne 71
- - suurim, väikseim 89
-- osaline 86
- suhted 59
- töötab 59
- tuletis 228
- erinevused 59
- summad 59
- funktsioonid 115, 117
- - monotoonne 139
- - suurim, väikseim 135
- - mitu muutujat 354, 357
- - - - kordas 360
- - osaline 135
Üleminek võrdsuse piirini, ebavõrdsuses 56
Legendre teisendus 487, 499,
500
- punkt (tasand, ruum)
485, 493
Võrrandi ligikaudne lahendus
324
Ligikaudsed arvutused, diferentsiaali rakendamine
218, 220, 396
Ligikaudsed valemid 140, 143,
218, 257-263
Muutuv juurdekasv 147
- funktsioonid, valem 199
- mitu muutujat on täidetud, valem 379
- - - - era 375
Kasvu lõplik valem 227,
390
Tootevariant, limiit 59, 61
- funktsioonid, limiit 129, 130
- - järjepidevus 148, 364
216, 236, 241, 395

Numbrite 14, 31 korrutis
Tuletis vt ka, nimi, funktsioonid, 189
- lõputu 209
- kõrgem järjekord 231
- - - seos lõplike erinevustega
245
- geomeetriline tõlgendus 190
- olematus 211
- ühepoolne 209
- antud suunas 391
- arvutusreeglid 199
- vahe 211
- era 375
- - kõrgem järjekord 402
Vahe 82
- suletud, poolavatud, avatud, lõplik, lõpmatu 93, 94
Vaheväärtus, teoreem
171
Proportsionaalsete osade reegel
325
Lihtne punkt(kõver või pind) 505, 520
Funktsiooni ruumiline graafik
343
Kosmos n-mõõtmeline
(aritmeetiline) 345
Otse aadressile n-mõõtmeline ruum 347
Funktsiooni 178, 370 ühtlane järjepidevus
radikaalne, aritmeetiline väärtus
36, 103
Kumerusraadius 571
Erinevusvõimalus jne, vt Summa
- numbrid 13, 31
Tuletise katkestus 211
- funktsioonid 146
- - monotoonne 154
- - tavaline, lahke, mine ja, mine, 1, 2,
151
- - mitu muutujat 362
Maatriksi edetabel 468, 471, 479
Ebakindluse lahtiharutamine 62,
314
Korrutamise 15, 34 jaotusomadus
Funktsiooni paljundamine 587
Punktide vaheline kaugus sisse n- mõõtmete ruum 345
Ratsionaalne funktsioon 102
- - järjepidevus 148
- - mitu muutujat 353
- - - - järjepidevus 358, 563
Ratsionaalarvud, lahutamine 13
Ratsionaalarvude jaotus 15
- - tihedus 12
-- lisa 12
-- korrutamine 14
- - tellimine 12
Riemann 154
Rolle teoreem 225
Rocha ja Schlemilha lisaliikme vorm 257
Seoste võrrand 467
Sideala 352
Kondensatsioonipunkt 115, 116, 117, 351
Sekans 103
Kõverate perekond 542
Jaotis numbripiirkonnas 17, 24
Signum (funktsioon) 29
Voolutugevus 192
Sylvester 423
Lihtne n- mõõtmed 349, 351
Siinus 103
- hüperboolne 107
- kaare suhte piir 122
Siinuslaine 106, 304
Punkti liikumise kiirus 186
- V Sel hetkel 187, 190
- keskmine 186
Kompleksne funktsioon 115, 353
- - järjepidevus 156, 365
- - tuletised ja diferentsiaalid
202, 216, 242, 386, 395, 413, 414
Segatuletised, teoreem
404

Asutajate kõver 554
- otse 555
Puudutades ringi 555, 571
Liitmise, korrutamise 13, 14, 29, 32 kombineeritud omadus
Lõpmatute väikeste arvude võrdlus 136
Aritmeetiline-harmooniline keskmine
74
- - - geomeetriline 74
- aritmeetika 275, 430
- harmooniline 74, 303
- geomeetriline 74, 275, 303, 430
- väärtus, teoreem 227
- - üldistatud teoreem 230
Keskmine kumerus 568
- kiirus 186, 190
Statsionaarne punkt 277, 418
Toitefunktsioon 103
- - järjepidevus 156
-- tuletis 194
- - funktsionaalne omadus
158
Võimsuse eksponentsiaalne funktsioon
(kaks muutujat) 353
Võimsuse eksponentsiaalse funktsiooni piirang 358, 359
- - - - järjepidevus 363
- - - - eristamine 376
Võimsuse eksponentsiaalne avaldis, piir 165
- - - - tuletis 206, 388
Võimsus koos reaalastendajaga 37
Summa valik, limiit 59, 62
- funktsioonid, limiit 129, 130
- funktsioonid, järjepidevus 148, 364
-- tuletis ja diferentsiaal 200,
216, 233, 395
- numbrid 12, 28
Funktsioonide 114, 353, 364 superpositsioon
Kera 344
-n- mõõtmed 349, 350
Sfäärilised koordinaadid 495
Lähenemispõhimõte 84, 134
Tabelimeetod funktsioonide ülesanded
97
Tangent 103
- hüperboolne 107
Geomeetriline keha 345
Soojusvõimsus 191
Periood, vt vastavat pealkirja
Funktsioonipunktid 352
Täpne piir (ülemine, alumine) 26
Trigonomeetrilised funktsioonid 103
- - järjepidevus 149
-- tuletised 195
Kolmikpunkt 540
Kolmekordne limiit 360
Taylori valem 246, 249, 257, 415
Kahanev valik 70
- funktsioon 133
Nurga punkt 209
Interpolatsioonisõlmed 263
- - 266 kordne
Whitney 590
Tigu 514, 529
Kõverõrrand 100, 230, 503, 511,
518
- pinnad 343, 517, 519
- ligikaudne lahendus 170, 324
- juurte olemasolu 170
Kiirendus 191, 231
Fermat' teoreem 223
Ruutkuju 423
Valem vt ka, vastav, nimi, 97,
98
Funktsionaalne sõltuvus 94, 340
- maatriks 444, 478
Funktsionaalne võrrand 157, 158,
160
Funktsionaalne determinant 441
Funktsioon vt ka, nimi, funktsioonid, 95
- uuring 268
- mitu muutujat 341, 352
- funktsioonist (või funktsioonidest) 115,
353

Iseloomulik punkt kõveral
539
Hestins 590
Funktsiooni muutmise edenemine 268
Akordimeetod võrrandite 325 ligikaudseks lahendamiseks
Kogu ratsionaalne funktsioon 102
- - - järjepidevus 149
- - - mitu muutujat 353
- - - - - järjepidevus 358, 363
- osa numbrist [ E(R)] 48
Kumeruskese 571, 577
ketiliin 207, 505, 573
Tsükloid 508, 526, 574, 581
Väljaulatuv silinder 518
Osaline jada 85
Osalise limiidi valikud 86
-- funktsioonid 135
Osatuletis 375
- - kõrgem järjekord 402
Konkreetne valik, limiit 59, 60
- funktsiooni väärtus 96
- juurdekasv 375
- funktsioonid, limiit 129, 130
- - järjepidevus 148, 364
-- tuletis ja diferentsiaal 201,
216, 395
- numbrid 15
Osaline diferentsiaal 378, 411
Tšebõševi valem 262
Numbrid, vt Ratsionaalne,
irratsionaalne,
Reaalarvud
Numbritelg 42
- jada 44
Schwartz 407
Schlemilha ja Rosha lisaliikme vorm 257
Stolzi teoreem 67
Involute 578, 582-583, 585
- ringid 511, 527, 574
Evolute 579, 582, 583, 585
Euler 78
Euleri valem 401
Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused (märk) 139
Äärmuslik (maksimaalne, minimaalne) 277
- otsingureeglid 277, 278, 284,
287
- oma, sobimatu 277
- mitme muutuja funktsioonid
417
- - - - absoluutne 469
- - - - suhteline 467
Elektrivõrk 436, 474
Algfunktsioonid 102
- - järjepidevus 155
- - tuletised 193, 197, 233
Ellips 448, 506, 525, 547, 575, 579
Ellipsoid 535
Hermite interpolatsiooni valem
266
- - - lisaliige 267
Epitsükloid 509, 527
Jacobi 376
- maatriks 444, 478
- determinant (Jacobian) 441