Integraalide lahendamise protsessi teaduses, mida nimetatakse matemaatikaks, nimetatakse integreerimiseks. Integratsiooni kasutades leiame mõned füüsikalised kogused: pindala, maht, kehade mass ja palju muud.
Integraalid võivad olla määramata või kindlad. Vaatleme kindla integraali kuju ja proovime seda mõista füüsiline tähendus. See on esitatud järgmisel kujul: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Iseloomulik omadus määramata integraali kindla integraali kirjutamine on see, et a ja b integreerimisel on piirid. Nüüd saame teada, miks neid vaja on ja mida see tegelikult tähendab. kindel integraal. IN geomeetriline tunne selline integraal võrdne pindalaga joonis, mida piiravad kõver f(x), sirged a ja b ning Ox telg.
Jooniselt 1 on näha, et kindel integraal on sama ala, mis on varjutatud hall. Kontrollime seda lihtsa näitega. Leiame alloleval pildil oleva joonise ala, kasutades integreerimist, ja seejärel arvutame selle tavapärasel viisil, korrutades pikkuse laiusega.
Jooniselt 2 on selge, et $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Nüüd asendame need integraali definitsioonis, saame, et $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(ühikud)^2 $$ Teeme kontrolli tavapärasel viisil. Meie puhul pikkus = 3, joonise laius = 1. $$ S = \tekst(pikkus) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(ühikut)^2 $$ Nagu saate vaata, kõik sobib ideaalselt.
Tekib küsimus: kuidas lahendada ebamääraseid integraale ja mis on nende tähendus? Selliste integraalide lahendamine on antiderivatiivsete funktsioonide leidmine. See protsess olemise vastand tuletis. Antiderivaadi leidmiseks võite kasutada meie abi matemaatika ülesannete lahendamisel või peate iseseisvalt meelde jätma integraalide omadused ja kõige lihtsamate integreerimise tabeli elementaarsed funktsioonid. Leid näeb välja selline: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kus) F(x) $ on $ f(x) antiderivaat, C = const $.
Integraali lahendamiseks tuleb integreerida funktsioon $ f(x) $ üle muutuja. Kui funktsioon on tabel, kirjutatakse vastus sobival kujul. Kui ei, taandub protsess hankimisele tabeli funktsioon funktsioonist $ f(x) $ keeruliste matemaatiliste teisenduste kaudu. Selle jaoks on olemas erinevaid meetodeid ja omadused, mida me edasi kaalume.
Niisiis, loome nüüd algoritmi mannekeenide integraalide lahendamiseks?
Integraalide arvutamise algoritm
- Uurime välja kindla integraali või mitte.
- Kui pole määratletud, siis peate leidma antiderivatiivne funktsioon$ F(x) $ integrandist $ f(x) $, kasutades matemaatilisi teisendusi, mis viivad funktsiooni $ f(x) $ tabelikujule.
- Kui see on määratletud, peate sooritama 2. sammu ja seejärel asendama piirangud $ a $ ja $ b $ antiderivatiivfunktsiooniga $ F(x) $. Millist valemit selleks kasutada, saate teada artiklist “Newtoni-Leibnizi valem”.
Näited lahendustest
Niisiis, olete õppinud mannekeenide integraale lahendama, on välja sorteeritud integraalide lahendamise näited. Õppisime nende füüsilist ja geomeetrilist tähendust. Lahendusmeetodeid kirjeldatakse teistes artiklites.
Varem meie antud funktsioon, juhindudes erinevaid valemeid ja reeglid, leidis selle tuletise. Tuletisel on palju kasutusvõimalusi: see on liikumiskiirus (või üldisemalt mis tahes protsessi kiirus); kalle funktsiooni graafiku puutuja; tuletise abil saate uurida funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse osas; see aitab lahendada optimeerimisprobleeme.
Kuid koos teadaoleva liikumisseaduse järgi kiiruse leidmise probleemiga on olemas ka pöördprobleem- teadaolevalt kiiruselt liikumisseaduse taastamise probleem. Vaatleme ühte neist probleemidest.
Näide 1. Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt, selle kiirus ajahetkel t on antud valemiga v=gt. Leidke liikumisseadus.
Lahendus. Olgu s = s(t) soovitud liikumisseadus. On teada, et s"(t) = v(t). See tähendab, et ülesande lahendamiseks tuleb valida funktsioon s = s(t), mille tuletis on võrdne gt-ga. Pole raske ära arvata et \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \). Tegelikult
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Vastus: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Märgime kohe, et näide on lahendatud õigesti, kuid mittetäielikult. Saime \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Tegelikult on probleemil lõpmata palju lahendusi: mis tahes funktsioon kujul \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kus C on suvaline konstant, võib toimida seadusena liikumine, kuna \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Probleemi täpsemaks muutmiseks tuli fikseerida lähteolukord: näidata liikuva punkti koordinaat mingil ajahetkel, näiteks t = 0. Kui näiteks s(0) = s 0, siis alates võrdus s(t) = (gt 2)/2 + C saame: s(0) = 0 + C, st C = s 0. Nüüd on liikumisseadus üheselt defineeritud: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Matemaatikas omistatakse vastastikused tehted erinevad nimed, mõtle välja spetsiaalsed tähistused, näiteks: ruut (x 2) ja ruutjuur (\(\sqrt(x)\)), siinus (sin x) ja arcsinus (arcsin x) jne. Tuletise leidmise protsess antud funktsiooni suhtes nimetatakse eristamist, ja pöördtehte, st antud tuletisest funktsiooni leidmise protsess, on integratsiooni.
Mõistet "tuletis" saab õigustada "igapäevaelus": funktsioon y = f(x) "toodab" uus funktsioon y" = f"(x). Funktsioon y = f(x) toimib "vanemana", kuid matemaatikud ei nimeta seda loomulikult "vanemaks" või "tootjaks", vaid ütlevad, et see on funktsiooni y" = f"( x) , põhikujutis või primitiivne.
Definitsioon. Funktsiooni y = F(x) nimetatakse antituletiseks funktsiooni y = f(x) jaoks intervallis X, kui võrdus F"(x) = f(x) kehtib \(x \in X\)
Praktikas intervalli X tavaliselt ei täpsustata, vaid see on kaudne (funktsiooni definitsiooni loomuliku domeenina).
Toome näiteid.
1) Funktsioon y = x 2 on funktsiooni y = 2x antituletis, kuna iga x korral on võrdus (x 2)" = 2x tõene
2) Funktsioon y = x 3 on funktsiooni y = 3x 2 antituletis, kuna iga x korral on võrdus (x 3)" = 3x 2 tõene
3) Funktsioon y = sin(x) on funktsiooni y = cos(x) antituletis, kuna iga x korral on võrdus (sin(x))" = cos(x) tõene
Antiderivaatide ja ka derivaatide leidmisel ei kasutata mitte ainult valemeid, vaid ka mõningaid reegleid. Need on otseselt seotud vastavate tuletisinstrumentide arvutamise reeglitega.
Teame, et summa tuletis on võrdne selle tuletiste summaga. See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.
1. reegel. Summa antiderivaat on võrdne antiderivatiivide summaga.
Me teame seda konstantne tegur saab tuletismärgist välja võtta. See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.
2. reegel. Kui F(x) on f(x) antiderivaat, siis kF(x) on kf(x) antiderivaat.
1. teoreem. Kui y = F(x) on funktsiooni y = f(x) antituletis, siis funktsiooni y = f(kx + m) antituletiseks on funktsioon \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
2. teoreem. Kui y = F(x) on funktsiooni y = f(x) antituletis vahemikus X, siis funktsioonil y = f(x) on lõpmatult palju antituletisi ja need kõik on kujul y = F(x) + C.
Integratsioonimeetodid
Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)
Asenduse teel integreerimise meetod hõlmab uue integratsioonimuutuja (st asendamise) sisseviimist. Sel juhul taandatakse antud integraal uueks integraaliks, mis on tabelikujuline või sellele taandatav. Levinud meetodid asenduste valikut ei ole. Oskus asendust õigesti määrata omandatakse harjutades.
Olgu vaja arvutada integraal \(\textstyle \int F(x)dx \). Teeme asendus \(x= \varphi(t) \), kus \(\varphi(t) \) on funktsioon, millel on pidev tuletis.
Seejärel \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ja määramata integraali integreerimisvalemi muutumatuse omaduse põhjal saame asendamise teel integreerimisvalemi:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Vormi \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) avaldiste integreerimine
Kui m on paaritu, m > 0, siis on mugavam teha asendus sin x = t.
Kui n on paaritu, n > 0, siis on mugavam teha asendus cos x = t.
Kui n ja m on paarisarvulised, siis on mugavam teha asendus tg x = t.
Integreerimine osade kaupa
Integreerimine osade kaupa – rakendades integreerimiseks järgmist valemit:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
või:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Mõnede funktsioonide määramata integraalide (antiderivaatide) tabel
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$Määramatu integraali (antiderivaatide või “antiderivaatide komplekt”) leidmine tähendab funktsiooni rekonstrueerimist selle funktsiooni teadaolevast tuletisest. Taastatud antiderivaatide komplekt F(x) + KOOS funktsiooni jaoks f(x) võtab arvesse integreerimiskonstanti C. Liikumiskiiruse järgi materiaalne punkt(tuletise) selle punkti liikumisseadust (antituletist) saab taastada; vastavalt punkti liikumise kiirendusele – selle kiirusele ja liikumisseadusele. Nagu näete, on integratsioon füüsika Sherlock Holmesi tegevuse jaoks lai valdkond. Ja majandusteaduses on paljud mõisted esindatud funktsioonide ja nende tuletiste kaudu ning seetõttu on võimalik näiteks teatud ajahetkel tööviljakust kasutades taastada vastaval ajal toodetud toodete maht (tuletis).
Määramata integraali leidmiseks on vaja üsna väikest arvu põhilisi integreerimisvalemeid. Kuid selle leidmise protsess on palju keerulisem kui lihtsalt nende valemite rakendamine. Kogu keerukus ei ole seotud integreerimisega, vaid integreeritava avaldise viimisega vormile, mis võimaldab ülalmainitud põhivalemite abil leida määramatu integraali. See tähendab, et lõimumispraktika alustamiseks peate aktiveerima õpitu Keskkool väljenduse teisendamise oskus.
Õpime leidma integraale kasutades atribuudid ja määramata integraalide tabelõppetunnist selle teema põhimõistete kohta (avaneb uues aknas).
Integraali leidmiseks on mitu meetodit, millest muutuv asendusmeetod Ja integreerimine osade meetodil- kohustuslik härrasmeeste komplekt kõigile, kes on edukalt läbinud kõrgema matemaatika. Kasulikum ja mõnusam on aga hakata integreerimist valdama laiendusmeetodil, lähtudes kahest järgnevast ebamäärase integraali omaduste teoreemist, mida siinkohal mugavuse huvides kordame.
3. teoreem. Integrandi konstantteguri võib ebamäärase integraali märgist välja võtta, s.t.
4. teoreem. Algebralise summa määramatu integraal lõplik arv funktsioonid on võrdsed algebraline summa nende funktsioonide määramata integraalid, s.o.
(2)
Lisaks võib integreerimisel olla kasulik järgmine reegel: kui integrandi avaldis sisaldab konstantset tegurit, siis antiderivaadi avaldis korrutatakse konstantse teguri pöördväärtusega, st.
(3)
Kuna see tund on integratsiooniprobleemide lahendamise sissejuhatuseks, on oluline märkida kaks asja, mis kas juba esialgne etapp, või veidi hiljem võivad nad teid üllatada. Üllatus tuleneb sellest, et integratsioon on diferentseerimise pöördoperatsioon ja määramatut integraali võib õigusega nimetada “antiderivatiiviks”.
Esimene asi, mille üle integreerimisel ei tasu imestada. Integraalide tabelis tuletistabelis valemite hulgas on valemeid, millel pole analooge . See järgmised valemid:
Küll aga saab veenduda, et nende valemite paremal küljel olevate avaldiste tuletised langevad kokku vastavate integrandidega.
Teine asi, mis ei tohiks integreerimisel üllatada. Kuigi mis tahes elementaarfunktsiooni tuletis on ka elementaarfunktsioon, mõne elementaarfunktsiooni määramatud integraalid ei ole enam elementaarfunktsioonid . Selliste integraalide näited võivad olla järgmised:
Integreerimistehnikate arendamiseks tulevad kasuks järgmised oskused: murdude vähendamine, murdu lugejas oleva polünoomi jagamine nimetajas oleva monoomiga (määramatute integraalide summa saamiseks), juurte teisendamine astmeteks, monoomi korrutamine polünoom, astmeni tõstmine. Neid oskusi on vaja integrandi teisendusteks, mille tulemuseks peaks olema integraalide tabelis olevate integraalide summa.
Määramatute integraalide koos leidmine
Näide 1. Leidke määramatu integraal
.
Lahendus. Integrandi nimetajas näeme polünoomi, milles x on ruudus. See on peaaegu kindel märk, et saate rakendada tabeliintegraali 21 (mille tulemuseks on arktangens). Nimetajast võtame välja teguri kaks (seal on selline integraali omadus - konstantse teguri saab välja võtta integraali märgist kaugemale; seda mainiti eespool kui teoreem 3). Selle kõige tulemus:
Nüüd on nimetajaks ruutude summa, mis tähendab, et saame rakendada mainitud tabeliintegraali. Lõpuks saame vastuse:
.
Näide 2. Leidke määramatu integraal
Lahendus. Rakendame taas teoreemi 3 - integraali omadust, mille alusel saab integraali märgist välja võtta konstantse teguri:
Rakendame integraali funktsioonile integraalide tabelist valemit 7 (muutuja astmeni):
.
Vähendame saadud murde ja saame lõpliku vastuse:
Näide 3. Leidke määramatu integraal
Lahendus. Rakendades omadustele kõigepealt teoreemi 4 ja seejärel teoreemi 3, leiame selle integraali kolme integraali summana:
Kõik kolm saadud integraali on tabelikujulised. Kasutame integraalide tabelist valemit (7). n = 1/2, n= 2 ja n= 1/5 ja siis
ühendab kõik kolm suvalist konstanti, mis sisestati kolme integraali leidmisel. Seetõttu tuleks sarnastes olukordades sisestada ainult üks suvaline integreerimiskonstant.
Näide 4. Leidke määramatu integraal
Lahendus. Kui integrandi nimetaja sisaldab monoomi, saame jagada lugeja nimetajaga liikme kaupa. Algne integraal muudeti kahe integraali summaks:
.
Tabeliintegraali rakendamiseks teisendame juured võimsusteks ja siin on lõplik vastus:
Jätkame koos määramata integraalide leidmist
Näide 7. Leidke määramatu integraal
Lahendus. Kui teisendame integrandi binoom ruuduga ja jagame lugeja nimetajaga liikmega, siis saab algsest integraalist kolme integraali summa.
Esitatakse ebamääraste integraalide arvutamise meetodite ülevaade. Vaadeldakse peamisi integreerimise meetodeid, milleks on summa ja vahe integreerimine, konstandi paigutamine integraalimärgist väljapoole, muutuja asendamine ja osade kaupa integreerimine. Samuti peetakse silmas spetsiaalsed meetodid ja tehnikaid murdude, juurte, trigonomeetriliste ja eksponentsiaalsed funktsioonid.
Antiderivatiivne ja määramatu integraal
Funktsiooni f(x) antiderivatiiv F(x) on funktsioon, mille tuletis on võrdne f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Kus Δ
- ajavahemik, mille jooksul seda tehakse antud võrrand.
Kõigi antiderivaatide kogumit nimetatakse määramata integraaliks:
,
kus C on muutujast x sõltumatu konstant.
Integreerimise põhivalemid ja meetodid
Integraalide tabel
Lõplik eesmärk määramatute integraalide arvutamine - teisenduste abil taandada etteantud integraal avaldisesse, mis sisaldab lihtsamaid või tabelilisi integraale.
Vaata integraalide tabelit >>>
Summade (erinevuste) integreerimise reegel
Konstandi liigutamine väljaspool integraalimärki
Olgu c x-st sõltumatu konstant. Siis saab selle integraalmärgist välja võtta:
Muutuv asendus
Olgu x muutuja t funktsioon, x = φ(t), siis
.
Või vastupidi, t = φ(x) ,
.
Muutuja muutmise abil saate mitte ainult arvutada lihtsaid integraale, vaid ka lihtsustada keerukamate arvutamist.
Integreerimine osade reegli järgi
Murdude integreerimine (ratsionaalfunktsioonid)
Tutvustame tähistust. Olgu P k (x), Q m (x), R n (x) muutuja x suhtes polünoome, mille astmed on vastavalt k, m, n.
Vaatleme integraali, mis koosneb polünoomide murdosast (nn ratsionaalne funktsioon):
Kui k ≥ n, peate esmalt valima kogu murdosa:
.
Polünoomi S k-n (x) integraal arvutatakse integraalide tabeli abil.
Integraal jääb:
, kus m< n
.
Selle arvutamiseks tuleb integrand lagundada lihtmurdudeks.
Selleks peate leidma võrrandi juured:
Qn (x) = 0.
Saadud juuri kasutades peate esitama nimetaja tegurite korrutisena:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Siin s on koefitsient x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
Pärast seda jagage murdosa lihtsaimaks vormiks:
Integreerides saame avaldise, mis koosneb enamast lihtsad integraalid.
Vormi integraalid
taandatakse tabeli asenduseks t = x - a.
Mõelge integraalile:
Teisendame lugeja:
.
Asendades integrandi, saame avaldise, mis sisaldab kahte integraali:
,
.
Esimene, asendades t = x 2 + ex + f, taandatakse tabeliks.
Teiseks, vastavalt redutseerimisvalemile:
taandatakse integraaliks
Vähendame selle nimetaja ruutude summaks:
.
Seejärel asendamise teel integraal
on samuti tabelina toodud.
Irratsionaalsete funktsioonide integreerimine
Tutvustame tähistust. Olgu R(u 1, u 2, ..., u n) muutujate u 1, u 2, ..., u n ratsionaalne funktsioon. See on
,
kus P, Q on polünoomid muutujates u 1, u 2, ..., u n.
Murdline lineaarne irratsionaalsus
Vaatleme vormi integraale:
,
Kus - ratsionaalsed arvud, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - täisarvud.
Olgu n - ühine nimetaja arvud r 1, ..., r s.
Seejärel taandatakse integraal asendamise teel ratsionaalsete funktsioonide integraaliks:
.
Integraalid diferentsiaalbinoomidest
Mõelge integraalile:
,
kus m, n, p on ratsionaalarvud, a, b - reaalarvud.
Sellised integraalid taanduvad kolmel juhul ratsionaalsete funktsioonide integraalideks.
1) Kui p on täisarv. Asendus x = t N, kus N on murdude m ja n ühisnimetaja.
2) Kui - täisarv. Asendus a x n + b = t M, kus M on arvu p nimetaja.
3) Kui - täisarv. Asendus a + b x - n = t M, kus M on arvu p nimetaja.
Kui ükski kolmest arvust ei ole täisarv, siis Tšebõševi teoreemi kohaselt ei saa seda tüüpi integraale väljendada elementaarfunktsioonide lõpliku kombinatsiooniga.
Mõnel juhul on kõigepealt kasulik integraal taandada mugavamatele väärtustele m ja p. Seda saab teha redutseerimisvalemite abil:
;
.
Ruuttrinoomi ruutjuurt sisaldavad integraalid
Siin käsitleme vormi integraale:
,
Euleri asendused
Selliseid integraale saab taandada kolmest Euleri asendusest ühe ratsionaalsete funktsioonide integraalideks:
, kui a > 0;
, kui c > 0;
, kus x 1 on võrrandi a x 2 + b x + c = 0 juur. Kui sellel võrrandil on tõelised juured.
Trigonomeetrilised ja hüperboolsed asendused
Otsesed meetodid
Enamikul juhtudel annavad Euleri asendused pikemad arvutused kui otsesed meetodid. Otseste meetodite abil taandatakse integraal ühele allpool loetletud vormidest.
I tüüp
Vormi integraal:
,
kus P n (x) on n-astme polünoom.
Sellised integraalid leitakse meetodiga ebakindlad koefitsiendid, kasutades identiteeti:
Diferentseerides seda võrrandit ja võrdsustades vasaku ja parema külje, leiame koefitsiendid A i.
II tüüp
Vormi integraal:
,
kus P m (x) on polünoom astmega m.
Asendus t = (x - α) -1 see integraal taandatakse eelmisele tüübile. Kui m ≥ n, siis peaks murd olema täisarvuline osa.
III tüüp
Kolmas ja kõige keerulisem tüüp:
.
Siin tuleb teha asendus:
.
Pärast seda võtab integraal järgmisel kujul:
.
Järgmiseks tuleb konstandid α, β valida sellised, et t koefitsiendid muutuksid nulliks:
B = 0, B 1 = 0.
Seejärel laguneb integraal kahte tüüpi integraalide summaks:
;
,
mis on integreeritud vastavalt asendustega:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.
Üldine juhtum
Transtsendentaalsete (trigonomeetriliste ja eksponentsiaalsete) funktsioonide integreerimine
Märgime eelnevalt, et need meetodid, mis on kohaldatavad trigonomeetrilised funktsioonid, kehtib ka hüperboolsed funktsioonid. Sel põhjusel ei käsitle me hüperboolsete funktsioonide integreerimist eraldi.
Cos x ja sin x ratsionaalsete trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine
Vaatleme vormi trigonomeetriliste funktsioonide integraale:
,
kus R on ratsionaalne funktsioon. See võib hõlmata ka puutujaid ja kootangente, mis tuleks teisendada siinuste ja koosinuste abil.
Selliste funktsioonide integreerimisel on kasulik meeles pidada kolme reeglit:
1) kui R( cos x, sin x) korrutatuna -1-ga ühele suurusele eelnevast märgimuutusest cos x või sin x, siis on kasulik teine neist tähistada t-ga.
2) kui R( cos x, sin x) ei muutu seoses märgi muutumisega samal ajal varem cos x Ja sin x, siis on kasulik panna tg x = t või võrevoodi x = t.
3) asendamine viib kõigil juhtudel integraalini ratsionaalne murdosa. Kahjuks põhjustab see asendamine vajaduse korral pikemaid arvutusi kui eelmised.
Cos x ja sin x võimsusfunktsioonide korrutis
Vaatleme vormi integraale:
Kui m ja n on ratsionaalarvud, siis üks asendustest t = sin x või t = cos x integraal taandatakse diferentsiaalbinoomi integraaliks.
Kui m ja n on täisarvud, arvutatakse integraalid osade kaupa integreerimise teel. See annab järgmised redutseerimisvalemid:
;
;
;
.
Integreerimine osade kaupa
Euleri valemi rakendamine
Kui integrand on ühe funktsiooni suhtes lineaarne
cos kirves või sinax, siis on mugav rakendada Euleri valemit:
e iax = cos ax + isin ax(kus i 2 = - 1
),
asendades selle funktsiooni funktsiooniga e iax ja tegeliku esiletõstmine (asendamisel cos kirves) või mõtteline osa (vahetamisel sinax) saadud tulemusest.
Viited:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Probleemide kogu kõrgem matemaatika, "Lan", 2003.
Integraalide lahendamine - lihtne ülesanne, kuid ainult mõne valitud jaoks. See artikkel on mõeldud neile, kes soovivad õppida integraalidest aru saama, kuid ei tea neist midagi või peaaegu mitte midagi. Integraalne... Milleks seda vaja on? Kuidas seda arvutada? Mis on kindel ja määramatu integraal s? Kui ainuke integraali kasutusvõimalus on integraali ikooni kujuline heegelnõel, et raskesti ligipääsetavatest kohtadest midagi kasulikku välja tuua, siis tere tulemast! Siit saate teada, kuidas integraale lahendada ja miks ilma selleta hakkama ei saa.
Uurime mõistet "integraal"
Integratsioonist teati juba aastal Iidne Egiptus. Muidugi mitte sisse kaasaegne vorm, aga siiski. Sellest ajast peale on matemaatikud sellel teemal palju raamatuid kirjutanud. Eriti silma paistnud Newton Ja Leibniz , kuid asjade olemus pole muutunud. Kuidas integraalidest nullist aru saada? Pole võimalik! Selle teema mõistmiseks on teil ikkagi vaja põhiteadmised põhitõed matemaatiline analüüs. Just selle põhiteabe leiate meie blogist.
Määramatu integraal
Olgu meil mingi funktsioon f(x) .
Määramatu integraalfunktsioon f(x) seda funktsiooni nimetatakse F(x) , mille tuletis on võrdne funktsiooniga f(x) .
Teisisõnu, integraal on pöördtuletis või antiderivaat. Muide, lugege meie artiklist, kuidas.
Antiderivaat on olemas kõigi jaoks pidevad funktsioonid. Samuti lisatakse antiderivaadile sageli konstantmärk, kuna konstandi võrra erinevate funktsioonide tuletised langevad kokku. Integraali leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks.
Lihtne näide:
Et mitte arvutada pidevalt elementaarfunktsioonide antiderivaate, on mugav need tabelisse kokku võtta ja kasutada valmisväärtusi:
Kindel integraal
Integraali mõiste käsitlemisel on tegemist lõpmata väikeste suurustega. Integraal aitab arvutada joonise pindala, ebahomogeense keha massi, läbitud vahemaa ebaühtlane liikumine tee ja palju muud. Tuleb meeles pidada, et integraal on lõpmatu summa suur kogus lõpmata väikesed terminid.
Kujutage näiteks ette mõne funktsiooni graafikut. Kuidas leida figuuri pindala, ajakavaga piiratud funktsioonid?
Integraali kasutamine! Teeme selle laiali kaarjas trapets, mida piiravad koordinaatteljed ja funktsiooni graafik, lõpmatult väikesteks segmentideks. Nii jagatakse joonis õhukesteks veergudeks. Veergude pindalade summa on trapetsi pindala. Kuid pidage meeles, et selline arvutus annab ligikaudne tulemus. Kuid mida väiksemad ja kitsamad segmendid, seda täpsem on arvutus. Kui me vähendame neid nii palju, et pikkus kipub nulli, siis segmentide pindalade summa kaldub joonise pindalale. See on kindel integraal, mis on kirjutatud järgmiselt:
Punkte a ja b nimetatakse integratsiooni piirideks.
Bari Alibasov ja rühm "Integral"
Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus
Mannekeenide integraalide arvutamise reeglid
Määramata integraali omadused
Kuidas lahendada määramata integraali? Siin vaatleme määramatu integraali omadusi, mis on kasulikud näidete lahendamisel.
- Integraali tuletis on võrdne integrandiga:
- Konstandi saab integraalimärgi alt välja võtta:
- Summa integraal võrdne summaga integraalid. See kehtib ka erinevuse kohta:
Kindla integraali omadused
- Lineaarsus:
- Integraali märk muutub, kui integreerimise piire vahetatakse:
- Kell ükskõik milline punktid a, b Ja Koos:
Oleme juba teada saanud, et kindel integraal on summa piir. Aga kuidas saada konkreetne tähendus näite lahendamisel? Selleks on Newtoni-Leibnizi valem:
Integraalide lahendamise näited
Allpool vaatleme mitmeid näiteid määramata integraalide leidmisest. Kutsume teid lahenduse keerukusest ise välja mõtlema ja kui midagi jääb ebaselgeks, esitage kommentaarides küsimusi.
Materjali tugevdamiseks vaadake videot, kuidas integraale praktikas lahendatakse. Ärge heitke meelt, kui integraali kohe ei anta. Küsige ja nad räägivad teile kõike, mida nad integraalide arvutamise kohta teavad. Meie abiga saab iga kolmekordse või rea integraal suletud pinnal saate seda teha.