Iga murdosa avaldis (klausel 48) võib olla kirjutatud kujul , kus P ja Q on ratsionaalsed avaldised ning Q sisaldab tingimata muutujaid. Sellist murdu nimetatakse ratsionaalseks murruks.
Ratsionaalsete murdude näited:
Murru põhiomadust väljendab siinsetes tingimustes kehtiv identiteet - tervik ratsionaalne väljendus. See tähendab, et ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga, mono- või polünoomiga.
Näiteks saab murdosa omadust kasutada murdosa liikmete märkide muutmiseks. Kui murdu lugeja ja nimetaja korrutada -1-ga, saame Seega murdu väärtus ei muutu, kui lugeja ja nimetaja märke samaaegselt muuta. Kui muudate ainult lugeja või ainult nimetaja märki, muudab murdosa märki:
Näiteks,
60. Ratsionaalsete murdude taandamine.
Murru vähendamine tähendab murdosa lugeja ja nimetaja jagamist ühise teguriga. Sellise vähendamise võimalus on tingitud murdosa põhiomadusest.
Ratsionaalse murdosa vähendamiseks peate arvestama lugeja ja nimetaja. Kui selgub, et lugejal ja nimetajal on ühised tegurid, saab murdosa vähendada. Kui ühiseid tegureid pole, on murdosa teisendamine redutseerimise teel võimatu.
Näide. Vähendage fraktsiooni
Lahendus. Meil on
Murdosa redutseerimine toimub tingimusel .
61. Ratsionaalsete murdude taandamine ühisele nimetajale.
Mitme ratsionaalse murru ühisnimetajaks on terve ratsionaalne avaldis, mis jagatakse iga murru nimetajaga (vt lõik 54).
Näiteks murdude ühisnimetaja on polünoom, kuna see jagub mõlemaga ja polünoomiga ja polünoomi ja polünoomiga jne. Tavaliselt on neil selline ühisnimetaja, et mis tahes muu ühisnimetaja on Echoseniga jagatav. Seda lihtsaimat nimetajat nimetatakse mõnikord ka väikseimaks ühisnimetajaks.
Eespool käsitletud näites on ühiseks nimetajaks Meil on
Antud murdude taandamine väärtuseks ühine nimetaja mis saavutatakse esimese murru lugeja ja nimetaja korrutamisel 2-ga ning teise murru lugeja ja nimetaja polünoomidega, mida nimetatakse vastavalt esimese ja teise murru lisateguriteks. Antud murru lisategur on võrdne jagatisega, mis jagatakse ühisnimetaja antud murru nimetajaga.
Mitme ratsionaalse murru taandamiseks ühise nimetajani on vaja:
1) korda iga murdosa nimetaja;
2) luua ühisnimetaja, kaasates teguriteks kõik sammus 1) saadud laienduste tegurid; kui teatud tegur esineb mitmes laienduses, siis võetakse see eksponendiga, mis on võrdne saadaolevatest suurimaga;
3) leida igale murrule lisategurid (selleks jagatakse ühisnimetaja murru nimetajaga);
4) korrutades iga murru lugeja ja nimetaja lisateguriga, viia murd ühisesse nimetajasse.
Näide. Vähendage murdosa ühise nimetajani
Lahendus. Faktoriseerime nimetajad:
Ühisnimetajasse tuleb lisada järgmised tegurid: ja arvude 12, 18, 24 vähim ühiskordne, s.o. See tähendab, et ühisel nimetajal on vorm
Täiendavad tegurid: esimese murdosa jaoks teise jaoks kolmanda jaoks. Seega saame:
62. Ratsionaalsete murdude liitmine ja lahutamine.
Kahe summa (ja üldiselt ükskõik milline lõplik arv) ratsionaalsed murded koos samad nimetajad on identselt võrdne murdosaga, millel on sama nimetaja ja lugeja, võrdne summaga lisatud murdude lugejad:
Sarnane on olukord sarnaste nimetajatega murdude lahutamisel:
Näide 1: avaldise lihtsustamine
Lahendus.
Ratsionaalsete murdude liitmiseks või lahutamiseks erinevad nimetajad Esmalt tuleb murded taandada ühise nimetajani ja seejärel teha samade nimetajatega saadud murdudega toiminguid.
Näide 2: avaldise lihtsustamine
Lahendus. Meil on
63. Ratsionaalsete murdude korrutamine ja jagamine.
Kahe (ja üldiselt iga lõpliku arvu) ratsionaalse murru korrutis on identselt võrdne murruga, mille lugeja on võrdne tootega lugejad ja nimetaja - korrutatud murdude nimetajate korrutis:
Kahe ratsionaalse murru jagamise jagatis on identselt võrdne murruga, mille lugeja on võrdne esimese murru lugeja ja teise murru nimetaja korrutisega ning nimetaja on esimese murru nimetaja korrutis. teise murru lugeja:
Sõnastatud korrutamise ja jagamise reeglid kehtivad ka polünoomiga korrutamise või jagamise korral: piisab, kui kirjutada see polünoomi murdosa kujul, mille nimetaja on 1.
Arvestades võimalust ratsionaalsete murdude korrutamise või jagamise tulemusena saadud ratsionaalset murdu vähendada, püüavad nad tavaliselt enne nende toimingute sooritamist algsete murdude lugejaid ja nimetajaid faktoriseerida.
Näide 1: Korrutage
Lahendus. Meil on
Kasutades murdude korrutamise reeglit, saame:
Näide 2: viige läbi jagamine
Lahendus. Meil on
Jagamisreeglit kasutades saame:
64. Ratsionaalse murru tõstmine täisastmeks.
Ratsionaalse murdosa tõstmiseks - kuni loomulik kraad, peate murru lugeja ja nimetaja selle astmeni eraldi tõstma; esimene avaldis on lugeja ja teine avaldis on tulemuse nimetaja:
Näide 1: teisendage võimsuse murdosaks 3.
Lahendus Lahendus.
Murru tõstmisel täisarvuks negatiivne aste kasutatakse identiteeti, mis kehtib kõigi muutujate väärtuste jaoks, mille puhul .
Näide 2: avaldise teisendamine murdarvuks
65. Ratsionaalsete väljendite teisendamine.
Mis tahes ratsionaalse avaldise teisendamine taandub ratsionaalsete murdude liitmisele, lahutamisele, korrutamisele ja jagamisele, samuti murdosa suurendamisele loomuliku astmeni. Iga ratsionaalse avaldise saab teisendada murdarvuks, mille lugejaks ja nimetajaks on terved ratsionaalavaldised; See on reeglina ratsionaalsete väljendite identsete teisenduste eesmärk.
Näide. Väljendi lihtsustamine
66. Aritmeetiliste juurte (radikaalide) lihtsaimad teisendused.
Aritmeetiliste koriade teisendamisel kasutatakse nende omadusi (vt lõik 35).
Vaatame mõnda näidet omaduste kasutamisest aritmeetilised juured radikaalide kõige lihtsamate teisenduste jaoks. Sel juhul arvestame, et kõik muutujad võtavad ainult mittenegatiivseid väärtusi.
Näide 1. Ekstraheerige toote juur
Lahendus. Rakendades omadust 1°, saame:
Näide 2. Eemalda juuremärgi alt kordaja
Lahendus.
Seda teisendust nimetatakse teguri eemaldamiseks juurmärgi alt. Teisenduse eesmärk on radikaalse väljenduse lihtsustamine.
Näide 3: lihtsusta.
Lahendus. 3° omaduse järgi on meil tavaliselt püütud radikaalset väljendit lihtsustada, mille puhul võetakse tegurid koriummärgist välja. Meil on
Näide 4: lihtsusta
Lahendus. Teisendame avaldise, lisades juuremärgi alla teguri: Omaduse 4° järgi on meil olemas
Näide 5: lihtsusta
Lahendus. 5° omadusega on meil õigus jagada juure ja radikaalavaldise astendaja samaks asjaks naturaalarv. Kui vaadeldavas näites jagame näidatud näitajad 3-ga, saame .
Näide 6. Avaldiste lihtsustamine:
Lahendus, a) Omaduse 1° abil leiame, et sama astme juurte korrutamiseks piisab radikaalavaldiste korrutamisest ja saadud tulemusest sama astme juure eraldamisest. Tähendab,
b) Kõigepealt peame taandama radikaalid ühe näitajani. Vastavalt 5° omadusele saame korrutada juure astendaja ja radikaalavaldise eksponendi sama naturaalarvuga. Seetõttu saame järgmises tulemuses jagades juure eksponendid ja radikaalavaldise astme 3-ga.
Kirjutage tunni teema vihikusse
Mis see on?
Need on algebralised avaldised, mis sisaldavad jagamist muutujatega avaldisega.
Näiteks:
- murdosa avaldis.
Täisarv, sest see on võrdne , st terve avaldis ratsionaalsete kordajatega.
Terve ja murdosa avaldised nimetatakse ratsionaalseteks väljenditeks.
Nendega peame edaspidi koostööd tegema!
Kogu avaldis on loogiline muutujate mis tahes väärtuste jaoks, kuid murdosavaldist... ei saa jagada 0-ga!
Näiteks:
defineeritud muutuja a kõikide väärtuste ja kõigi b väärtuste jaoks, välja arvatud b=3.
Milliste muutuja väärtuste jaoks avaldis töötab
?
Pidage meeles:
Mis tahes a, b ja c väärtuste puhul, kus ja , on võrdsus tõene
Kui korrutame murdosa arvuga (st korrutame murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga), saame võrdne murdosa, kuid erineva nimetajaga.
Kui jagame lugeja ja nimetaja sama arvuga, vähendame murdosa.
Näiteks:
1) Vähendame murdosa murduks, mille nimetaja on 35у3.
Kõigepealt jagame uus nimetaja 35y3 vanale 7a ja saame lisakordaja 5y2.
Ja seejärel korrutage lugeja ja nimetaja selle lisateguriga:
.
2) Vähendame murdosa.
Lahendus:
Pidage meeles:
Murru vähendamiseks peate arvutama lugeja ja nimetaja ning seejärel jagama need võrdse teguriga, st. vähendada.
Avaldise faktoriseerimiseks on mitu meetodit.
Oleme neist siiani tuttavad kahega:
1 meetod
Bracketing ühine kordaja.
2. meetod
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine.
Esimene ja lihtsaim viis faktoriseerimiseks on
jättes ühisteguri sulgudest välja.
Ac + bc = (a + b)c
Näide 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)
Reegel:
Kui polünoomi kõigil liikmetel on ühine tegur (või mitu ühist tegurit), siis võib selle teguri (need tegurid) sulust välja võtta,
sel juhul jagame iga termini avaldisega, mille paneme sulgudesse: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 ja lõpuks 15a3bc2: 5abc = 3a2c (jälgige märke!!!)
Ja me peame meeles pidama, et madalama indeksiga kraad võetakse sulgudest välja.
Üksinda:
Võtke ühine tegur sulgudest välja
Kontrollima:
Mõnikord kõik liikmed algebraline avaldis Mul ei ole ühist tegurit, kuid eraldi terminirühmades on üks, näiteks
ah + ay + bx + by.
Seda polünoomi saab faktoriseerida, ühendades selle tingimused eraldi rühmad
(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).
Näide:
Kasutades terminite rühmitamise meetodit, faktoristage avaldis
3x + xy2 - x2y - 3y
Lahendus:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).
Harjutame veel:
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x .
Lahendus:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).
Ja nüüd 2. meetodist.
Kui algebralise avaldise liikmetel pole korduvaid tegureid, siis võite proovida rakendada lühendatud korrutusvalemeid...
Näited
a) Ruudude erinevus:
0,49 x 4 - 121 a 2 = (0,7 x 2) 2 - (11 a) 2 = (0,7 x 2 - 11 a) (0,7 x 2 + 11 a),
B) Kuubikute erinevus:
1 - 27 s3 = 13 - (3 s) 3 = (1 - 3 s) (1 + 3 s + 9 s2),
B) Ruudu vahe:
4a2 – 12ab + 9b2 = (2a)2 – 22a 3b + (3b)2 = (2a – 3b)2 või (2a – 3b) (2a – 3b),
D) Erinevuskuubik:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 või (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. kolm võrdset kordajat!
Algoritm:
- kõigepealt "kohandame" välimus avaldised" võimaliku valemi all...
- kui see töötab, jätkame nii, nagu see (valem) nõuab...
- kui see ei õnnestu, hakkame teist valemit "proovima" ...
- ja nii edasi, kuni saate avaldise lagundada tegurite korrutiseks!
Algebra kursusest kooli õppekava Asume üksikasjadesse. Selles artiklis uurime üksikasjalikult eriline liik ratsionaalsed väljendid - ratsionaalsed murded ja kaaluge ka, milline omadus on identne ratsionaalsete murdude teisendamine aset leidma.
Märgime kohe, et ratsionaalseid murde selles tähenduses, milles me neid allpool defineerime, nimetatakse mõnes algebraõpikus algebralisteks murdudeks. See tähendab, et selles artiklis mõistame ratsionaalseid ja algebralisi murde ühe ja sama asjana.
Nagu tavaliselt, alustame määratluse ja näidetega. Järgmisena räägime ratsionaalse murru viimisest uude nimetajasse ja murru liikmete märkide muutmisest. Pärast seda vaatame, kuidas murdosasid vähendada. Lõpuks vaatleme ratsionaalse murru esitamist mitme murru summana. Esitame kogu teabe koos näidetega üksikasjalikud kirjeldused otsuseid.
Leheküljel navigeerimine.
Ratsionaalsete murdude definitsioon ja näited
Ratsionaalmurde õpitakse 8. klassi algebra tundides. Kasutame ratsionaalse murru definitsiooni, mis on antud Yu. N. Makarychevi jt algebraõpikus 8. klassile.
IN see määratlus pole täpsustatud, kas ratsionaalse murru lugejas ja nimetajas olevad polünoomid peavad olema polünoomid standardvaade või mitte. Seetõttu eeldame, et ratsionaalsete murdude tähised võivad sisaldada nii standardseid kui ka mittestandardseid polünoome.
Siin on mõned näiteid ratsionaalsetest murdudest. Niisiis, x/8 ja 
- ratsionaalsed murded. Ja murrud 
ja ei sobi välja toodud ratsionaalse murru definitsiooniga, kuna esimeses neist lugeja ei sisalda polünoomi ja teises sisaldavad nii lugeja kui ka nimetaja avaldisi, mis ei ole polünoomid.
Ratsionaalmurru lugeja ja nimetaja teisendamine
Iga murru lugeja ja nimetaja on isemajandavad matemaatilised avaldised, ratsionaalsete murdude puhul on need polünoomid, konkreetsel juhul monomiaalid ja arvud. Seetõttu saab identseid teisendusi läbi viia ratsionaalse murru lugeja ja nimetajaga, nagu iga avaldise puhul. Teisisõnu, ratsionaalse murru lugejas oleva avaldise saab asendada identselt võrdse avaldisega, nagu ka nimetaja.
Saate teha identseid teisendusi ratsionaalse murru lugejas ja nimetajas. Näiteks saate lugejas rühmitada ja vähendada sarnased terminid, ja nimetajas asendage mitme arvu korrutis selle väärtusega. Ja kuna ratsionaalse murru lugejaks ja nimetajaks on polünoomid, siis on nendega võimalik teha polünoomidele iseloomulikke teisendusi, näiteks taandada standardkujule või esitada korrutise kujul.
Selguse huvides kaalume mitme näite lahendusi.
Näide.
Teisenda ratsionaalne murd 
nii et lugeja sisaldab standardkuju polünoomi ja nimetaja sisaldab polünoomide korrutist.
Lahendus.
Ratsionaalsete murdude taandada uuele nimetajale kasutatakse peamiselt ratsionaalsete murdude liitmisel ja lahutamisel.
Märkide muutmine murdu ees, samuti selle lugejas ja nimetajas
Murru põhiomaduse abil saab muuta murru liikmete märke. Tõepoolest, ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja korrutamine -1-ga võrdub nende märkide muutmisega ja tulemuseks on murdosa, mis on identselt võrdne antud murruga. Seda teisendust tuleb ratsionaalsete murdudega töötamisel üsna sageli kasutada.
Seega, kui muudate samaaegselt murru lugeja ja nimetaja märke, saate algse murdosaga võrdse murdosa. Sellele väitele vastab võrdsus.
Toome näite. Ratsionaalse murdosa saab asendada identselt võrdse murdosaga, millel on vormi lugeja ja nimetaja muudetud märgid.
Murdudega saate teha veel üht asja: identiteedi transformatsioon, milles muutub kas lugeja või nimetaja märk. Toome välja vastava reegli. Kui asendate murru märgi koos lugeja või nimetaja märgiga, saate murru, mis on identne algse märgiga. Kirjalik avaldus vastab võrdsustele ja .
Nende võrdsuste tõestamine pole keeruline. Tõestus põhineb arvude korrutamise omadustel. Tõestame neist esimest: . Sarnaste teisenduste abil on võrdsus tõestatud.
Näiteks võib murdosa asendada avaldisega või.
Selle punkti lõpetuseks esitame veel kaks kasulikku võrdsust ja . See tähendab, et kui muudate ainult lugeja või ainult nimetaja märki, muudab murd oma märki. Näiteks, 
Ja 
.
Murruliste ratsionaalavaldiste teisendamisel kasutatakse sageli vaadeldavaid teisendusi, mis võimaldavad muuta murdosa liikmete märki.
Ratsionaalsete murdude vähendamine
Järgnev ratsionaalsete murdude teisendus, mida nimetatakse ratsionaalsete murdude redutseerimiseks, põhineb murru samal põhiomadusel. See teisendus vastab võrdsusele , kus a, b ja c on mõned polünoomid ning b ja c on nullist erinevad.
Ülaltoodud võrdsusest selgub, et ratsionaalse murru vähendamine tähendab selle lugeja ja nimetaja ühistegurist vabanemist.
Näide.
Tühista ratsionaalne murd.
Lahendus.
Ühistegur 2 on kohe nähtav, teeme selle võrra vähendamise (kirjutamisel on mugav maha kriipsutada ühised tegurid, mille võrra vähendatakse). Meil on 
. Kuna x 2 =x x ja y 7 =y 3 y 4 (vaadake vajadusel), on selge, et x on saadud murru lugeja ja nimetaja ühine tegur, nagu ka y 3. Vähendame järgmiste teguritega: 
. See viib vähendamise lõpule.
Ülalpool teostasime ratsionaalsete murdude taandamise järjestikku. Või oli võimalik redutseerida ühe sammuga, vähendades kohe murdosa 2 x y 3 võrra. Sel juhul näeks lahendus välja järgmine: 
.
Vastus:
.
Ratsionaalsete murdude vähendamisel on põhiprobleemiks see, et lugeja ja nimetaja ühistegur pole alati nähtav. Pealegi pole see alati olemas. Ühise teguri leidmiseks või selle puudumise kontrollimiseks peate arvestama ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja. Kui ühistegurit pole, ei pea algset ratsionaalset murdarvu vähendama muidu- vähendamine toimub.
Ratsionaalsete murdude vähendamise protsessis võib tekkida mitmesuguseid nüansse. Peamisi peensusi käsitletakse algebraliste murdude vähendamise artiklis näidete abil ja üksikasjalikult.
Ratsionaalsete murdude vähendamise vestlust lõpetades märgime, et see teisendus on identne ja selle rakendamise peamine raskus seisneb polünoomide arvestamises lugejas ja nimetajas.
Ratsionaalse murru esitamine murdude summana
Üsna spetsiifiline, kuid mõnel juhul väga kasulik on ratsionaalse murru teisendus, mis seisneb selle esitamises mitme murru summana ehk terve avaldise ja murru summana.
Ratsionaalmurdu, mille lugeja sisaldab mitme monoomi summat esindavat polünoomi, saab alati kirjutada samade nimetajatega murdude summana, mille lugejad sisaldavad vastavaid monoomi. Näiteks, 
. Seda esitust selgitab sarnaste nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegel.
Üldiselt saab mis tahes ratsionaalset murdu esitada murdude summana mitmel erineval viisil. Näiteks võib murdosa a/b kujutada kahe murru summana – suvalise murdosa c/d ja murdosa, mis on võrdne murdude a/b ja c/d vahega. See väide on tõsi, kuna võrdsus kehtib 
. Näiteks saab ratsionaalset murdosa esitada murdude summana erinevatel viisidel: Kujutagem ette algset murdu täisarvulise avaldise ja murru summana. Jagades lugeja veeruga nimetajaga, saame võrdsuse 
. Avaldise n 3 +4 väärtus mis tahes täisarvu n korral on täisarv. Ja murdosa väärtus on täisarv siis ja ainult siis, kui selle nimetaja on 1, −1, 3 või −3. Need väärtused vastavad vastavalt väärtustele n=3, n=1, n=5 ja n=−1.
Vastus:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Bibliograafia.
- Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 13. väljaanne, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Ta näeb välja nagu
kus P(x) ja Q(x) on mõned polünoomid.
Analoogiliselt tavamurdudega eristage õigeid ja ebaõigeid ratsionaalseid murde arvmurrud. Ratsionaalmurdu nimetatakse õigeks, kui nimetaja järjekord on rohkem tellimust lugeja ja vale, kui vastupidi.
Iga ebaõige ratsionaalmurru saab teisendada mõne polünoomi ja õige ratsionaalse murru summaks
Reaalkoefitsientidega polünoomide mis tahes ratsionaalset murdosa saab esitada ratsionaalsete murdude summana, mille nimetajateks on avaldised (x − a) k (a on Q(x) reaaljuur) või (x 2 + lkx + q) k (Kus x 2 + lkx + q ei oma tõelised juured) ja aste k ei ole suurem kui kordsus vastavad juured polünoomis Q(x). Selle väite põhjal põhineb teoreem ratsionaalsete murdude integreeritavuse kohta. Selle järgi saab integreerida mis tahes ratsionaalse murdosa elementaarsed funktsioonid, mis muudab ratsionaalsete murdude klassi matemaatilises analüüsis väga oluliseks.
Vaata ka
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "ratsionaalne murd" teistes sõnaraamatutes:
Ratsionaalfunktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja on polünoomid. Sellel on vorm kus, polünoomid suvalises arvus muutujates. Erijuhtum on ühe muutuja ratsionaalsed funktsioonid: , kus... ... Vikipeedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Murd. 8 / 13 lugeja lugeja nimetaja nimetaja Kaks sama murdosa kirjet Murd on matemaatikas arv, mis koosneb ühest või mitmest osast... ... Wikipedia
Vikisõnaraamatus on kirje "murd" Sümboli nimi "⁄" (teine, levinud enamasti inglise keel, soliidsümboli nimi (inglise keeles) või kaldkriips, näiteks majanumbrites. Nii et maja number "5/17" on "viis... ... Wikipedia
1) R.f. funktsioon w=R(z), kus R(z) on z ratsionaalne avaldis, st sõltumatust muutujast z ja teatud lõplikust arvude hulgast (reaal- või kompleksarvust) saadud avaldis lõpliku arvu aritmeetika abil . tegevused. R. f...... Matemaatiline entsüklopeedia
Kvartalid Ratsionaalarv(lat. suhtarv, jagamine, murd) arv esindatud harilik murd, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Sel juhul nimetatakse arvu m lugejaks ja arvu n murru nimetajaks. Taku ... Vikipeedia
Veerandid Ratsionaalarv (lat. suhtarv, jagamine, murd) on arv, mida esindab harilik murd, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Sel juhul nimetatakse arvu m lugejaks ja arvu n murru nimetajaks. Taku ... Vikipeedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Murd. Lihtsaim murd oh kraadi kutsutakse ratsionaalne funktsioon selline, kuhu ta viib loodusväärtused, ja punktid, mis on funktsiooni poolused, ei pruugi olla geomeetriliselt erinevad.... ... Wikipedia
Ratsionaalmurruna väljendatud arv. Formaalne teooria Reaalarv konstrueeritakse täisarvude paaride abil. Ratsionaalmurdu nimetatakse. järjestatud paar (a, b) täisarvudest a ja b, lõigatud b#0. Kaks ratsionaalset murdu ja kutsutakse. e k v i v a l e n ... Matemaatiline entsüklopeedia
Veerandid Ratsionaalarv (lat. suhtarv, jagamine, murd) on arv, mida esindab harilik murd, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Sel juhul nimetatakse arvu m lugejaks ja arvu n murru nimetajaks. Taku ... Vikipeedia
Alustame mõne definitsiooniga. Polünoom n aste(või n-ndat järku) kutsume välja avaldise kujul $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Näiteks avaldis $4x^(14)+87x^2+4x-11$ on polünoom, mille aste on $14$. Seda saab tähistada järgmiselt: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Kahe polünoomi suhet $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nimetatakse ratsionaalne funktsioon või ratsionaalne murdosa. Täpsemalt on see ühe muutuja (st muutuja $x$) ratsionaalne funktsioon.
Ratsionaalmurdu nimetatakse õige, kui $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, vähem kraadi nimetajas polünoom. Vastasel juhul (kui $n ≥ m$) nimetatakse murdosa vale.
Näide nr 1
Märkige, millised järgmistest murdudest on ratsionaalsed. Kui murd on ratsionaalne, siis uuri, kas see on õige või mitte.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) See murdosa ei ole ratsionaalne, kuna sisaldab $\sin x$. Ratsionaalne murdosa seda ei võimalda.
2) Meil on kahe polünoomi suhe: $5x^2+3x-8$ ja $11x^9+25x^2-4$. Seetõttu on definitsiooni järgi avaldis $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ ratsionaalne murd. Kuna polünoomi aste lugejas on võrdne $2$ ja polünoomi aste nimetajas on võrdne $9$, siis antud murdosa on õige (sest 2 dollarit< 9$).
3) Selle murru nii lugeja kui ka nimetaja sisaldavad polünoome (faktoreeritud). Meile pole üldse oluline, millisel kujul lugeja ja nimetaja polünoomid esitatakse: kas need on faktoriseeritud või mitte. Kuna meil on kahe polünoomi suhe, siis definitsiooni järgi avaldis $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ on ratsionaalne murd.
Et vastata küsimusele, kas antud murd on õige, tuleb määrata polünoomide astmed lugejas ja nimetajas. Alustame lugejast, st. avaldisest $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Selle polünoomi astme määramiseks võite loomulikult avada sulud. Siiski on palju lihtsam tegutseda ratsionaalselt, sest meid huvitab ainult suurim aste muutuja $x$. Igast suust valime suurimal määral muutuja $x$. Sulust $(2x^3+8x+4)$ võtame $x^3$, sulust $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ võtame $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$ ja sulust $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ valime $x^7$. Seejärel, pärast sulgude avamist, on muutuja $x$ suurim võimsus järgmine:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Lugejas asuva polünoomi aste on 46 $. Nüüd pöördume nimetaja poole, st. avaldisele $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Selle polünoomi aste määratakse samamoodi nagu lugeja puhul, s.t.
$$ x\cpunkt (x^2)^(15)\cpunkt x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Nimetaja sisaldab 41. astme polünoomi. Kuna polünoomi aste lugejas (st 46) ei ole väiksem kui polünoomi aste nimetajas (st 41), siis on ratsionaalne murd $\frac((2x^3+8x+4)(8x ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ on vale.
4) Murru $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ lugeja sisaldab arvu $3$, s.o. polünoom null kraadi. Formaalselt saab lugeja kirjutada järgmiselt: $3x^0=3\cdot1=3$. Nimetajas on meil polünoom, mille aste on võrdne $6\cdot 4=24$. Kahe polünoomi suhe on ratsionaalne murd. Alates 0 dollarist< 24$, то данная дробь является правильной.
Vastus: 1) murd ei ole ratsionaalne; 2) ratsionaalne murd (oma); 3) ratsionaalne murd (ebakorrapärane); 4) ratsionaalne murd (oma).
Liigume nüüd edasi elementaarmurdude (neid nimetatakse ka kõige lihtsamateks ratsionaalseteks murdudeks) mõiste juurde. Elementaarseid ratsionaalseid murde on nelja tüüpi:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Märkus (soovitav teksti täielikumaks mõistmiseks): näita\peida
Miks on vaja tingimust $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим ruutvõrrand$x^2+px+q=0$. Selle võrrandi diskriminant on $D=p^2-4q$. Sisuliselt tingimus $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Näiteks avaldise $x^2+5x+10$ jaoks saame: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kuna $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Muide, selle kontrolli jaoks pole üldse vajalik, et koefitsient enne $x^2$ oleks võrdne 1-ga. Näiteks $5x^2+7x-3=0$ korral saame: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Kuna $D > 0$, on avaldis $5x^2+7x-3$ faktoriseeritav.
Ülesanne on järgmine: antud õige kujutavad ratsionaalset murdu elementaarsete ratsionaalsete murdude summana. Sellel lehel esitatud materjal on pühendatud selle probleemi lahendamisele. Kõigepealt peate veenduma, et olete lõpetanud järgmine tingimus: õige ratsionaalse murru nimetaja polünoom faktoriseeritakse nii, et see laiend sisaldab ainult sulud kujul $(x-a)^n$ või $(x^2+px+q)^n$ ($p ^ 2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Iga nimetajas paiknev vormi $(x-a)$ sulg vastab murdarvule $\frac(A)(x-a)$.
- Iga sulg kujul $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), mis asub nimetajas, vastab $n$ murdude summale: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- Iga sulg kujul $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Iga sulg kujul $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Kui murdosa on vale, siis enne ülaltoodud skeemi rakendamist tuleks see jagada täisarvu (polünoomi) ja õige ratsionaalse murru summaks. Kuidas seda täpselt tehakse, vaatame edasi (vt näide nr 2, punkt 3). Paar sõna tähemärkidest lugejates (st $A$, $A_1$, $C_2$ jms). Võite kasutada mis tahes tähti vastavalt oma maitsele. On ainult oluline, et need tähed oleksid mitmesugused kõigis elementaarmurdudes. Nende parameetrite väärtuste leidmiseks kasutage meetodit ebakindlad koefitsiendid või osaväärtuste asendamise meetod (vt näited nr 3, nr 4 ja nr 5).
Näide nr 2
Jagage etteantud ratsionaalsed murrud elementaarseteks (parameetreid leidmata):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Meil on ratsionaalne murd. Selle murru lugeja sisaldab 4. astme polünoomi ja nimetaja polünoomi, mille aste on võrdne $17$ (kuidas seda kraadi määrata, on üksikasjalikult selgitatud näite nr 1 lõigus nr 3). Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, on see murd õige. Pöördume selle murru nimetaja juurde. Alustame sulgudega $(x-5)$ ja $(x+2)^4$, mis langevad täielikult vormi $(x-a)^n$ alla. Lisaks on veel sulud $(x^2+3x+10)$ ja $(x^2+11)^5$. Avaldis $(x^2+3x+10)$ on kujul $(x^2+px+q)^n$, kus $p=3$; $q=10$, $n=1$. Kuna $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем järgmine väljund: nimetajas olev polünoom faktoriseeritakse nii, et see faktorijaotus sisaldab ainult sulud kujul $(x-a)^n$ või $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Tulemuse saab kirjutada järgmiselt:
$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
Seejärel saab murdosa $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ esitada muul kujul:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
Murd $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ on õige ratsionaalne murd, kuna polünoomi aste lugejas (st 2) on väiksem kui polünoomi aste nimetajas ( st 3). Vaatame nüüd selle murdosa nimetajat. Nimetaja sisaldab polünoomi, mis tuleb faktoriseerida. Mõnikord on Horneri skeem kasulik faktoriseerimiseks, kuid meie puhul on lihtsam hakkama saada terminite rühmitamise standardmeetodiga “kooli”:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x) -2)\cdot(x^2+4)) $$
Kasutades samu meetodeid nagu punktis eelmised lõigud, saame:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
Niisiis, lõpuks on meil:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
See teema jätkub teises osas.