) ja nimetaja nimetaja kaupa (saame korrutise nimetaja).
Murdude korrutamise valem:
Näiteks:
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist peate kontrollima, kas murdosa saab vähendada. Kui saate murdosa vähendada, on teil lihtsam edasisi arvutusi teha.
Hariliku murru jagamine murruga.
Naturaalarvudega murdude jagamine.
See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on üks. Näiteks:
Segamurdude korrutamine.
Murdude (segatud) korrutamise reeglid:
- teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
- murdude lugejate ja nimetajate korrutamine;
- vähendada murdosa;
- Kui saate valemurru, teisendame valemurru segamurruks.
Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt teisendama valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt korrutamisreeglile tavalised murrud.
Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.
Võib-olla on mugavam kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.
Märge! Murru korrutamiseks naturaalarv Murru nimetaja tuleb jagada selle arvuga ja lugeja jätta muutmata.
Ülaltoodud näitest on selge, et seda võimalust on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.
Mitmekorruselised murded.
Keskkoolis kohtab sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:
Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutage jagamist kahe punktiga:
Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.
Märge, Näiteks:
Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult ümberpööratud:
Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:
1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on kirjutada oma mustandisse paar lisarida, kui eksida peastesse arvutustesse.
2. Erinevat tüüpi murrudega ülesannetes minge harilike murdude tüübi juurde.
3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.
4. Mitmekorruseline murdosa avaldised viime need tavalisele kujule, kasutades jagamist läbi 2 punkti.
5. Jagage ühik oma peas murdosaga, keerates lihtsalt murdosa ümber.
Tavalised murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja käsitleda või kasutada objekti mitte tervikuna, vaid eraldi tükkidena. Alusta selle teema uurimist – jagab. Aktsiad on võrdsed osad, milleks see või teine objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvestada tuleks mõne mõõdu osade või murdosadega. Tegusõnast "lõhestama" moodustatud - osadeks jagama ja araabia juurtega sõna "fraktsioon" tekkis vene keeles 8. sajandil.
Murdväljendid kaua aega peetakse matemaatika kõige raskemaks haruks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, nimetati neid "katkenenud numbriteks", millest oli inimestel väga raske aru saada.
Moodne välimus lihtsad murdjäägid, mille osad on täpselt eraldatud horisontaaljoon, tegi esmakordselt kaastööd Fibonaccile – Leonardo Pisast. Tema teosed on dateeritud aastasse 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt selgitada lugejale, kuidas segamurrudega korrutatakse erinevad nimetajad.
Erinevate nimetajatega murdude korrutamine
Esialgu tasub kindlaks teha murdude tüübid:
- õige;
- vale;
- segatud.
Järgmiseks peate meeles pidama, kuidas murdarvudega korrutatakse samad nimetajad. Selle protsessi reeglit pole keeruline iseseisvalt sõnastada: identsete nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab sisuliselt uus nimetaja seal on ruut üks algselt olemasolevatest.
Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Ainus erinevus seisneb selles moodustatud number murdjoone all on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ühe ruut numbriline avaldis seda on võimatu nimetada.
Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Näidetes kasutatakse murdavaldiste vähendamise meetodeid. Lugeja numbreid saab vähendada ainult siis, kui nimetaja numbrid on kõrvuti väärt kordajaid Te ei saa murdosarea kohal ega all lühendada.
Koos lihtsaga murdarvud, on olemas segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kuidas korrutamine toimib?
Kaalumiseks on toodud mitu näidet.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saab selle toimingu reegli kirjutada järgmiselt:
a* b/c = a*b /c.
Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. Erijuhtum:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Arvu korrutamiseks murdosa jäägiga on veel üks lahendus. Peate lihtsalt nimetaja selle arvuga jagama:
d* e/f = e/f: d.
Seda tehnikat on kasulik kasutada, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täisarvuga.
Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
See näide hõlmab esitusmeetodit segafraktsioon valesti võib seda esitada ka kujul üldine valem:
a bc = a*b+ c/c, kus on nimetaja uus murdosa moodustatakse kogu osa korrutamisel nimetajaga ja liitmisel algse murdjäägi lugejaga ning nimetaja jääb samaks.
See protsess toimib ka tagakülg. Terve osa ja murdosa eraldamiseks peate lugeja jagama vale murd selle nimetaja juurde “nurgaga”.
Vale murdude korrutamine toodetud üldtunnustatud viisil. Ühe murdrea alla kirjutades tuleb murde vastavalt vajadusele vähendada, et seda meetodit kasutades numbreid vähendada ja tulemuse arvutamist hõlbustada.
Internetis on palju abilisi ka keeruliste probleemide lahendamiseks. matemaatika ülesandeid erinevates programmide variatsioonides. Piisav hulk selliseid teenuseid pakub oma abi murdarvude korrutamise loendamisel erinevad numbrid nimetajates - nn online-kalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult paljunema, vaid ka tootma kõike muud kõige lihtsamat aritmeetilised tehted tavaliste murdude ja segaarvudega. Sellega on lihtne töötada, täitke saidi lehel vastavad väljad ja valite märgi matemaatiline tehe ja klõpsake nuppu "Arvuta". Programm arvutab automaatselt.
Murdudega aritmeetiliste tehete teema on aktuaalne kogu kesk- ja gümnaasiumiõpilaste haridustee vältel. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. Hästi õppinud põhiteadmised annab täielikku enesekindlust edukas otsus enamus keerulised ülesanded.
Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Nikolajevitš Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - tema teeneid -, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust enda kohta ja selle vähenemisega läheneda oma täiuslikkusele.
Murdudega saab teha kõike, ka jagamist. See artikkel näitab harilike murdude jagamist. Antakse definitsioonid ja arutletakse näidete üle. Vaatleme üksikasjalikumalt murdude jagamist naturaalarvudega ja vastupidi. Arutatakse hariliku murru jagamist segaarvuga.
Murrude jagamine
Jaotus on korrutamise pöördvõrdeline. Jagamisel tundmatu kordaja asub aadressil kuulus teos ja veel üks tegur, kus seda hoitakse antud tähendus tavaliste murdudega.
Kui on vaja jagada harilik murd a b arvuga c d, siis sellise arvu määramiseks peate korrutama jagajaga c d, see annab lõpuks dividendi a b. Leiame arvu ja kirjutame selle a b · d c , kus d c on c d arvu pöördväärtus. Võrdused saab kirjutada korrutamise omaduste abil, nimelt: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kus avaldis a b · d c on a b jagamise jagatis c d-ga.
Siit saame ja sõnastame harilike murdude jagamise reegli:
Definitsioon 1
Hariliku murru a b jagamiseks c d-ga peate dividendi korrutama jagaja pöördarvuga.
Kirjutame reegli avaldise kujul: a b: c d = a b · d c
Jagamise reeglid taanduvad korrutamisele. Sellest kinnipidamiseks peate murdude korrutamisest hästi aru saama.
Liigume edasi harilike murdude jagamise kaalumisele.
Näide 1
Jagage 9 7 5 3-ga. Kirjutage tulemus murdarvuna.
Lahendus
Arv 5 3 on pöördmurd 3 5. On vaja kasutada harilike murdude jagamise reeglit. Kirjutame selle avaldise järgmiselt: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Vastus: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Murdude vähendamisel eraldage kogu osa, kui lugeja on nimetajast suurem.
Näide 2
Jagage 8 15: 24 65. Kirjuta vastus murruna.
Lahendus
Lahendamiseks tuleb liikuda jagamiselt korrutamisele. Kirjutame selle järgmisel kujul: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Vähendada on vaja ja seda ka tehakse järgmisel viisil: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Valige kogu osa ja saate 13 9 = 1 4 9.
Vastus: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Erakorralise murru jagamine naturaalarvuga
Murru naturaalarvuga jagamiseks kasutame reeglit: a b jagamiseks naturaalarvuga n on vaja ainult nimetaja n-ga korrutada. Siit saame avaldise: a b: n = a b · n.
Jagamisreegel on korrutamisreegli tagajärg. Seetõttu annab naturaalarvu esitamine murruna seda tüüpi võrdsuse: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Mõelge sellele murdosa jagamisele arvuga.
Näide 3
Jagage murd 16 45 arvuga 12.
Lahendus
Rakendame murdosa arvuga jagamise reeglit. Saame avaldise kujul 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Vähendame murdosa. Saame 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Vastus: 16 45: 12 = 4 135 .
Naturaalarvu jagamine murdosaga
Jagamise reegel on sarnane O naturaalarvu jagamise reegel hariliku murruga: naturaalarvu n jagamiseks hariliku murruga a b, peate arvu n korrutama pöördmurd a b .
Reegli alusel on meil n: a b = n · b a ja tänu naturaalarvu hariliku murruga korrutamise reeglile saame oma avaldise kujul n: a b = n · b a. Seda jaotust on vaja vaadelda näitega.
Näide 4
Jagage 25 15-ga 28.
Lahendus
Peame liikuma jagamiselt korrutamisele. Kirjutame selle avaldise 25 kujul: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Vähendame murdu ja saame tulemuseks murdosa 46 2 3 kujul.
Vastus: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Murru jagamine segaarvuga
Hariliku murru jagamisel segaarvuga saate hõlpsalt hakata harilikke murde jagama. Vaja teha ülekanne seganumber valesse murdossa.
Näide 5
Jagage murd 35 16 3 1 8-ga.
Lahendus
Kuna 3 1 8 on segaarv, esitame selle valemurruna. Siis saame 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Nüüd jagame murde. Saame 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Vastus: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Segaarvu jagamine toimub samamoodi nagu tavaarvud.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Murd on üks või mitu terviku osa, mida tavaliselt peetakse üheks (1). Nagu naturaalarvude puhul, saab ka murdarvudega sooritada kõiki põhilisi aritmeetilisi toiminguid (liitmine, lahutamine, jagamine, korrutamine), selleks peate teadma murdudega töötamise tunnuseid ja eristama nende tüüpe. Murrud on mitut tüüpi: kümnend- ja tavalised ehk lihtmurrud. Igal murdutüübil on oma eripära, kuid kui olete põhjalikult aru saanud, kuidas neid käsitleda, saate murdude abil lahendada mis tahes näiteid, kuna teate täitmise põhiprintsiipe aritmeetilised arvutused murdosadega. Vaatame näiteid, kuidas jagada murdosa täisarvuga kasutades erinevad tüübid murrud.
Kuidas jagada lihtmurdu naturaalarvuga?Tavalised või lihtmurrud on murrud, mis on kirjutatud arvude suhte kujul, milles murdosa ülaosas on näidatud dividend (lugeja) ja allosas on näidatud murdosa jagaja (nimetaja). Kuidas jagada sellist murdosa täisarvuga? Vaatame näidet! Oletame, et peame 8/12 jagama 2-ga.
Selleks peame tegema mitmeid toiminguid:
Seega, kui seisame silmitsi ülesandega jagada murdosa täisarvuga, näeb lahendusskeem välja umbes selline: 
Sarnasel viisil saate jagada mis tahes tavalise (liht)murru täisarvuga.
Kuidas jagada koma täisarvuga?
Kümnend on murd, mis saadakse ühiku jagamisel kümneks, tuhandeks ja nii edasi. Aritmeetilised tehted kümnendmurdudega on üsna lihtsad.
Vaatame näidet, kuidas jagada murdosa täisarvuga. Oletame, et peame jagama kümnendmurru 0,925 naturaalarvuga 5.
Kokkuvõtteks peatume kahel põhipunktil, mis on olulised kümnendmurdude täisarvuga jagamisel: - eraldamiseks kümnend Naturaalarvu puhul kasutatakse veergude jagamist;
- Jagatisesse pannakse koma, kui dividendi kogu osa jagamine on lõppenud.
IN viimane kordÕppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetundi “Murdude liitmine ja lahutamine”). Enamik raske hetk nendes tegevustes oli murdude vähendamine kuni ühine nimetaja.
Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Head uudised on see, et need toimingud on isegi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Esiteks vaatame kõige lihtsam juhtum kui neid on kaks positiivsed murded ilma valitud terve osata.
Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine on nimetaja.
Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.
Määramine:
Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandub korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetunni jooksul peamiselt korrutamist.
Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekib) taandatav murd – seda tuleb loomulikult vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutub murdosa valeks, tuleks kogu osa esile tõsta. Mida aga korrutamisega kindlasti ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, suurimaid tegureid ja väikseimaid ühiseid kordusi.
Definitsiooni järgi on meil:
Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega
Kui murrud sisaldavad täisarvu, tuleb need teisendada sobimatuteks osadeks ja alles seejärel korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.
Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:
- Pluss miinusega annab miinuse;
- Kaks negatiivset teevad jaatava.
Seni on neid reegleid kohanud vaid liitmisel ja lahutamisel. negatiivsed murrud kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:
- Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
- Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame sellega, mis üle jääb normaalsed reeglid. Saame:
Tuletan teile veel kord meelde, et miinusmärk, mis ilmub esiletõstetud murru ette terve osa, viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).
Pange tähele ka negatiivsed arvud: Korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.
Murdude vähendamine lennult
Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin olevad numbrid osutuvad üsna suurteks ja probleemi lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Definitsiooni järgi on meil:
Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.
Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Nende asemele jäävad üksused, mida üldiselt ei pea kirjutama. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.
Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:
Sa ei saa seda teha!
Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Seetõttu on murdosa peamist omadust võimatu rakendada, kuna selles omaduses me räägime konkreetselt arvude korrutamise kohta.
Muid põhjusi murdude vähendamiseks lihtsalt pole, nii et õige lahendus eelmine ülesanne näeb välja selline:
Õige lahendus:
Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.