Mis on aritmeetiline keskmine
Mitme suuruse aritmeetiline keskmine on nende suuruste summa ja nende arvu suhe.
Teatud arvude jada aritmeetiline keskmine on kõigi nende arvude summa jagatud liikmete arvuga. Seega on aritmeetiline keskmine arvurea keskmine väärtus.
Mis on mitme arvu aritmeetiline keskmine? Ja need on võrdsed nende arvude summaga, mis jagatakse selles summas olevate liikmete arvuga.
Kuidas leida aritmeetiline keskmine
Mitme arvu aritmeetilise keskmise arvutamises või leidmises pole midagi keerulist, piisab, kui liita kõik esitatud arvud ja jagada saadud summa liikmete arvuga. Saadud tulemus on nende arvude aritmeetiline keskmine.
Vaatame seda protsessi üksikasjalikumalt. Mida me peame tegema, et arvutada aritmeetiline keskmine ja saada selle arvu lõpptulemus.
Esiteks peate selle arvutamiseks määrama arvude komplekti või nende arvu. See komplekt võib sisaldada suuri ja väikeseid numbreid ning nende arv võib olla ükskõik milline.
Teiseks tuleb kõik need arvud liita ja saadakse nende summa. Loomulikult, kui arvud on lihtsad ja neid on vähe, saab arvutusi teha käsitsi kirjutades. Kuid kui numbrite komplekt on muljetavaldav, on parem kasutada kalkulaatorit või arvutustabelit.
Ja neljandaks tuleb liitmisel saadud summa jagada numbrite arvuga. Selle tulemusena saame tulemuse, mis on selle seeria aritmeetiline keskmine.
Miks vajate aritmeetilist keskmist?
Aritmeetiline keskmine võib olla kasulik mitte ainult matemaatikatundide näidete ja ülesannete lahendamisel, vaid ka muudel inimese igapäevaelus vajalikel eesmärkidel. Sellisteks eesmärkideks võib olla aritmeetilise keskmise arvutamine, et arvutada välja keskmine rahaline kulu kuus või arvutada teel veedetud aeg, ka selleks, et välja selgitada külastatavus, tootlikkus, liikumiskiirus, tootlus ja palju muud.
Seega proovime näiteks välja arvutada, kui palju aega kulub sul koolireisile. Kooli minnes või koju naastes veedad teel iga kord erinevat aega, sest kui on kiire, siis kõnnid kiiremini ning seetõttu kulub teele vähem aega. Koju naastes saab aga aeglaselt kõndida, klassikaaslastega suheldes, loodust imetledes ja seetõttu võtab teekond rohkem aega.
Seetõttu ei saa te täpselt kindlaks määrata teel veedetud aega, kuid tänu aritmeetilisele keskmisele saate ligikaudu teada teel veedetud aja.
Oletame, et esimesel päeval pärast nädalavahetust veetsite teel kodust kooli viisteist minutit, teisel päeval võttis teie teekond kakskümmend minutit, kolmapäeval läbisite distantsi kahekümne viie minutiga ja teie teekond kestis sama palju neljapäeval palju aega ja reedel ei olnud sul kiiret ja naasid tervelt pooleks tunniks.
Leiame kõigi viie päeva aritmeetilise keskmise, lisades aja. Niisiis,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Nüüd jagage see summa päevade arvuga
Tänu sellele meetodile õppisite, et teekond kodust kooli võtab teie ajast umbes kakskümmend kolm minutit.
Kodutöö
1. Leidke lihtsate arvutuste abil oma klassi õpilaste nädala aritmeetiline keskmine.
2. Leidke aritmeetiline keskmine:
3. Lahendage probleem:
) ja valimi keskmine(d).
Entsüklopeediline YouTube
-
1 / 5
Tähistame andmete kogumit X = (x 1 , x 2 , …, x n), siis valimi keskmist tähistatakse tavaliselt horisontaalse ribaga muutuja kohal (hääldatakse " x joonega").
Kreeka tähte μ kasutatakse kogu populatsiooni aritmeetilise keskmise tähistamiseks. Juhusliku muutuja puhul, mille keskmine väärtus on määratud, on μ tõenäosuslik keskmine või juhusliku suuruse matemaatiline ootus. Kui komplekt X on juhuslike arvude kogum, mille tõenäosuslik keskmine on μ, siis mis tahes valimi jaoks x i sellest hulgast μ = E( x i) on selle valimi matemaatiline ootus.
Praktikas on erinevus μ ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) on see, et μ on tüüpiline muutuja, kuna näete pigem valimit kui kogu populatsiooni. Seega, kui valim on juhuslik (tõenäosusteooria mõttes), siis x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(kuid mitte μ) võib käsitleda juhusliku muutujana, millel on tõenäosusjaotus valimi ulatuses (keskmise tõenäosusjaotus).
Mõlemad kogused arvutatakse samal viisil:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1) (n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1) (n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).Näited
- Kolme numbri jaoks peate need liitma ja jagama 3-ga:
- Nelja numbri jaoks peate need liitma ja jagama 4-ga:
Või lihtsam 5+5=10, 10:2. Kuna me liidasime 2 numbrit, mis tähendab, mitu numbrit me liidame, jagame selle arvuga.
Pidev juhuslik muutuja
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)Mõned keskmise kasutamise probleemid
Tugevuse puudumine
Kuigi aritmeetilisi keskmisi kasutatakse sageli keskmiste või keskmiste tendentsidena, ei ole see mõiste usaldusväärne statistika, mis tähendab, et aritmeetilist keskmist mõjutavad tugevalt "suured kõrvalekalded". Tähelepanuväärne on see, et suure kaldsuse koefitsiendiga jaotuste puhul ei pruugi aritmeetiline keskmine vastata mõistele "keskmine" ja keskmise väärtused usaldusväärsest statistikast (näiteks mediaan) võivad keskmist paremini kirjeldada. kalduvus.
Klassikaline näide on keskmise sissetuleku arvutamine. Aritmeetilist keskmist võib mediaanina valesti tõlgendada, millest võib järeldada, et suurema sissetulekuga inimesi on rohkem kui tegelikult. "Keskmist" sissetulekut tõlgendatakse nii, et enamikul inimestel on sissetulek umbes sama. See "keskmine" (aritmeetilise keskmise tähenduses) sissetulek on suurem kui enamiku inimeste sissetulekud, kuna kõrge sissetulek suure kõrvalekaldega keskmisest muudab aritmeetilise keskmise väga viltu (seevastu keskmine sissetulek mediaanil "vastupanu" sellisele kalduvusele). See "keskmine" sissetulek ei ütle aga midagi keskmise sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta (ega ei ütle midagi modaalse sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta). Kui aga võtta mõisteid “keskmine” ja “enamik inimesi” kergelt, võib teha vale järelduse, et enamiku inimeste sissetulek on tegelikust suurem. Näiteks Washingtoni osariigi Medina "keskmise" netosissetuleku aruanne, mis arvutatakse elanike kõigi aastaste netosissetulekute aritmeetilise keskmisena, annaks Bill Gatesi tõttu üllatavalt suure arvu. Vaatleme näidist (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeetiline keskmine on 3,17, kuid viis väärtust kuuest on sellest keskmisest madalamad.
Liitintress
Kui numbrid korrutada, kuid mitte voltida, peate kasutama geomeetrilist, mitte aritmeetilist keskmist. Enamasti juhtub see juhtum finantsinvesteeringute tasuvuse arvutamisel.
Näiteks kui aktsia langes esimesel aastal 10% ja tõusis teisel aastal 30%, siis on vale arvutada nende kahe aasta “keskmist” kasvu aritmeetilise keskmisena (−10% + 30%) / 2 = 10%; õige keskmise annab sel juhul liit-aastane kasvumäär, mis annab aastaseks kasvumääraks vaid umbes 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Põhjus on selles, et protsentidel on iga kord uus lähtepunkt: 30% on 30%. numbrist, mis on väiksem kui esimese aasta alguses: kui aktsia algas 30 dollarilt ja langes 10%, on selle väärtus teise aasta alguses 27 dollarit. Kui aktsia tõuseks 30%, oleks selle väärtus teise aasta lõpus 35,1 dollarit. Selle kasvu aritmeetiline keskmine on 10%, kuid kuna aktsia on 2 aastaga tõusnud vaid 5,1 dollari võrra, annab keskmine kasv 8,2% lõpptulemuseks 35,1 dollarit:
[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Kui kasutame samamoodi aritmeetilist keskmist 10%, siis tegelikku väärtust me ei saa: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Liitintress 2 aasta lõpus: 90% * 130% = 117%, see tähendab, et kogukasv on 17% ja aasta keskmine liitintress 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\umbes 108,2\%), see tähendab, et aasta keskmine kasv on 8,2%.See arv on vale kahel põhjusel.
Ülaltoodud valemi abil arvutatud tsüklilise muutuja keskmist väärtust nihutatakse kunstlikult tegeliku keskmise suhtes arvulise vahemiku keskkoha suunas. Seetõttu arvutatakse keskmist teistmoodi, nimelt valitakse keskmiseks väärtuseks väikseima dispersiooniga arv (keskpunkt). Samuti kasutatakse lahutamise asemel modulaarset kaugust (st ümbermõõdu kaugust). Näiteks mooduli vahekaugus 1° ja 359° vahel on 2°, mitte 358° (ringil 359° ja 360° vahel ==0° - üks kraad, 0° ja 1° vahel - samuti 1°, kokku -2 °).
- esmalt lisa need numbrid (1+3+5+7) ja saad 16
- Peame saadud tulemuse jagama 4-ga (kogus): 16/4 ja saama tulemuseks 4.
- otsime kõigi õunte kogumassi (kõikide näitajate summa) - see on 1080 grammi,
- jagage kogumass õunte arvuga 1080:5 = 216 grammi. See on aritmeetiline keskmine.
Aritmeetiline keskmine on arvude summa jagatud samade arvude arvuga. Ja aritmeetilise keskmise leidmine on väga lihtne.
Nagu definitsioonist järeldub, peame võtma numbrid, liitma need ja jagama nende arvuga.
Toome näite: meile on antud arvud 1, 3, 5, 7 ja me peame leidma nende arvude aritmeetilise keskmise.
Seega on arvude 1, 3, 5 ja 7 aritmeetiline keskmine 4.
Aritmeetiline keskmine - antud näitajate keskmine väärtus.
See leitakse, jagades kõigi näitajate summa nende arvuga.
Näiteks mul on 5 õuna kaaluga 200, 250, 180, 220 ja 230 grammi.
Leiame 1 õuna keskmise kaalu järgmiselt:
See on statistikas kõige sagedamini kasutatav näitaja.
Aritmeetiline keskmine on arvud, mis liidetakse kokku ja jagatakse nende arvuga, saadud vastuseks on aritmeetiline keskmine.
Näiteks: Katya pani hoiupõrsasse 50 rubla, Maxim 100 rubla ja Saša pani hoiupõrsasse 150 rubla. 50 + 100 + 150 = 300 rubla hoiupõrsas, nüüd jagame selle summa kolmega (kolm inimest panid raha sisse). Seega 300: 3 = 100 rubla. Need 100 rubla on aritmeetiliselt keskmine, igaüks neist pange hoiupõrsasse.
Seal on selline lihtne näide: üks inimene sööb liha, teine kapsast ja aritmeetiliselt keskmiselt söövad nad mõlemad kapsarulle.
Keskmist palka arvestatakse samamoodi...
Aritmeetiline keskmine on kõigi väärtuste summa ja jagatud nende arvuga.
Näiteks numbrid 2, 3, 5, 6. Peate need kokku liitma 2+ 3+ 5 + 6 = 16
Jagame 16 4-ga ja saame vastuseks 4.
4 on nende arvude aritmeetiline keskmine.
Mitme arvu aritmeetiline keskmine on nende arvude summa jagatud nende arvuga.
x keskmine aritmeetiline keskmine
S arvude summa
n arvude arv.
Näiteks peame leidma arvude 3, 4, 5 ja 6 aritmeetilise keskmise.
Selleks peame need liitma ja saadud summa jagama 4-ga:
(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.
Mäletan, et tegin matemaatikas lõpueksami
Nii et seal oli vaja leida aritmeetiline keskmine.
Hea, et lahked inimesed soovitasid, mida teha, muidu oleks jama.
Näiteks on meil 4 numbrit.
Liitke numbrid ja jagage nende arvuga (antud juhul 4)
Näiteks numbrid 2,6,1,1. Lisage 2+6+1+1 ja jagage 4-ga = 2,5
Nagu näete, pole midagi keerulist. Seega on aritmeetiline keskmine kõigi arvude keskmine.
Teame seda koolist. Igaüks, kellel oli hea matemaatikaõpetaja, mäletas seda lihtsat tegevust esimest korda.
Aritmeetilise keskmise leidmisel peate liitma kõik saadaolevad arvud ja jagama nende arvuga.
Näiteks ostsin poest 1 kg õunu, 2 kg banaane, 3 kg apelsine ja 1 kg kiivi. Mitu kilogrammi puuvilju ma keskmiselt ostsin?
7/4 = 1,8 kilogrammi. Sellest saab aritmeetiline keskmine.
Aritmeetiline keskmine on keskmine arv mitme arvu vahel.
Näiteks numbrite 2 ja 4 vahel on keskmine arv 3.
Aritmeetilise keskmise leidmise valem on järgmine:
Peate kõik numbrid kokku liitma ja jagama nende arvudega:
Näiteks on meil 3 numbrit: 2, 5 ja 8.
Aritmeetilise keskmise leidmine:
X=(2+5+8)/3=15/3=5
Aritmeetilise keskmise kasutusala on üsna lai.
Näiteks teades lõigu kahe punkti koordinaate, saate leida selle lõigu keskkoha koordinaadid.
Näiteks lõigu koordinaadid: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).
Tähistame selle lõigu keskpunkti koordinaatidega X3,Y3,Z3.
Leiame iga koordinaadi keskpunkti eraldi:
Aritmeetiline keskmine on antud...
Need. Meil on lihtsalt palju erineva pikkusega pulkasid ja tahame teada nende keskmist väärtust.
On loogiline, et selleks viime need kokku, saades pika pulga ja seejärel jagame selle vajalikuks arvuks osadeks.
Siit tuleb aritmeetiline keskmine...
Valem tuletatakse järgmiselt: Sa=(S(1)+..S(n))/n..
Aritmeetikat peetakse matemaatika kõige elementaarsemaks haruks ja see uurib lihtsaid tehteid arvudega. Seetõttu on ka aritmeetiline keskmine väga lihtne leida. Alustame määratlusega. Aritmeetiline keskmine on väärtus, mis näitab, milline arv on pärast mitut järjestikust sama tüüpi tehtet tõele kõige lähemal. Näiteks sada meetrit joostes näitab inimene iga kord erinevat aega, kuid keskmine väärtus jääb näiteks 12 sekundi piiresse. Sel viisil aritmeetilise keskmise leidmine taandub teatud seeria (võistluste tulemused) kõigi arvude järjestikusele summeerimisele ja selle summa jagamisele nende võistluste (katsete, numbrite) arvuga. Valemi kujul näeb see välja järgmine:
Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n
Matemaatikuna olen huvitatud selleteemalistest küsimustest.
Alustan probleemi ajaloost. Keskmiste väärtuste peale on mõelnud iidsetest aegadest peale. Aritmeetiline keskmine, geomeetriline keskmine, harmooniline keskmine. Need kontseptsioonid pakkusid välja Vana-Kreekas Pythagoreanid.
Ja nüüd küsimus, mis meid huvitab. Mida mõeldakse all mitme arvu aritmeetiline keskmine:
Niisiis, arvude aritmeetilise keskmise leidmiseks peate liitma kõik arvud ja jagama saadud summa liikmete arvuga.
Valem on:
Näide. Leidke arvude 100, 175, 325 aritmeetiline keskmine.
Kasutame kolme arvu aritmeetilise keskmise leidmiseks valemit (see tähendab, et n asemel on 3; peate liitma kõik 3 arvu ja jagama saadud summa nende arvuga, st 3-ga). Meil on: x=(100+175+325)/3=600/3=200.
Excelis keskmise väärtuse leidmiseks (ükskõik, kas see on arv, tekst, protsent või muu väärtus) on palju funktsioone. Ja igal neist on oma omadused ja eelised. Tõepoolest, selles ülesandes võib seada teatud tingimused.
Näiteks arvutatakse Exceli arvuseeria keskmised väärtused statistiliste funktsioonide abil. Samuti saate oma valemi käsitsi sisestada. Vaatleme erinevaid võimalusi.
Kuidas leida arvude aritmeetilist keskmist?
Aritmeetilise keskmise leidmiseks tuleb kõik komplektis olevad arvud kokku liita ja summa jagada kogusega. Näiteks õpilase hinded informaatikas: 3, 4, 3, 5, 5. Mis veerandisse jääb: 4. Aritmeetilise keskmise leidsime valemi abil: =(3+4+3+5+5) /5.
Kuidas seda kiiresti Exceli funktsioonide abil teha? Võtame näiteks juhuslike arvude jada stringis:
Või: tehke aktiivne lahter ja sisestage lihtsalt valem käsitsi: = AVERAGE(A1:A8).
Nüüd vaatame, mida funktsioon AVERAGE veel suudab.
Leiame kahe esimese ja kolme viimase arvu aritmeetilise keskmise. Valem: =KESKMINE(A1:B1,F1:H1). Tulemus:
Seisukord keskmine
Aritmeetilise keskmise leidmise tingimuseks võib olla numbriline või tekstiline kriteerium. Kasutame funktsiooni: =AVERAGEIF().
Leidke 10-st suuremate või sellega võrdsete arvude aritmeetiline keskmine.
Funktsioon: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
Funktsiooni AVERAGEIF kasutamise tulemus tingimusel ">=10": Kolmas argument – „keskmine vahemik” – jäetakse välja. Esiteks pole see nõutav. Teiseks sisaldab programmi analüüsitav vahemik AINULT arvväärtusi. Esimeses argumendis määratud lahtreid otsitakse vastavalt teises argumendis määratud tingimusele.
Tähelepanu! Lahtris saab määrata otsingukriteeriumi. Ja tee sellele valemis link.
Leiame tekstikriteeriumi abil arvude keskmise väärtuse. Näiteks toote "tabelid" keskmine müük.
Funktsioon näeb välja selline: = AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Vahemik – veerg tootenimetustega. Otsingukriteeriumiks on link lahtrile sõnaga "tabelid" (lingi A7 asemel võite sisestada sõna "tabelid"). Keskmistamisvahemik – need lahtrid, millest võetakse andmeid keskmise väärtuse arvutamiseks.
Funktsiooni arvutamise tulemusena saame järgmise väärtuse:
Tähelepanu! Tekstikriteeriumi (tingimuse) jaoks tuleb määrata keskmistamisvahemik.
Kuidas arvutada Excelis kaalutud keskmist hinda?
Kuidas saime teada kaalutud keskmise hinna?
Valem: =SUMMA(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
SUMPRODUCT valemi abil saame teada kogutulu pärast kogu kaubakoguse müümist. Ja funktsioon SUM summeerib kauba koguse. Jagades kaupade müügist saadud kogutulu kaubaühikute koguarvuga, saime kaalutud keskmise hinna. See indikaator võtab arvesse iga hinna "kaalu". Selle osa väärtuste kogumassist.
Standardhälve: valem Excelis
Üldkogumi ja valimi jaoks on standardhälbed. Esimesel juhul on see üldise dispersiooni juur. Teises valimi dispersioonist.
Selle statistilise näitaja arvutamiseks koostatakse dispersioonivalem. Sellest ekstraheeritakse juur. Kuid Excelis on standardhälbe leidmiseks valmis funktsioon.
Standardhälve on seotud lähteandmete skaalaga. Sellest ei piisa analüüsitud vahemiku varieerumise kujundlikuks esitamiseks. Andmete hajumise suhtelise taseme saamiseks arvutatakse variatsioonikordaja:
standardhälve / aritmeetiline keskmine
Exceli valem näeb välja selline:
STDEV (väärtuste vahemik) / AVERAGE (väärtuste vahemik).
Variatsioonikoefitsient arvutatakse protsentides. Seetõttu määrame lahtris protsendivormingu.
Aritmeetilise keskmise ja geomeetrilise keskmise teema on matemaatika programmis 6.-7.klassile. Kuna lõigust on üsna lihtne aru saada, läheb see kiiresti üle ja õppeaasta lõpuks on õpilastel see meelest läinud. Kuid ühtse riigieksami ja ka rahvusvaheliste SAT-eksamite sooritamiseks on vaja teadmisi põhistatistikast. Ja igapäevaeluks ei tee arenenud analüütiline mõtlemine kunagi paha.
Kuidas arvutada arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist
Oletame, et on arvude jada: 11, 4 ja 3. Aritmeetiline keskmine on kõigi arvude summa jagatud antud arvude arvuga. See tähendab, et numbrite 11, 4, 3 puhul on vastuseks 6. Kuidas saada 6?
Lahendus: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Nimetaja peab sisaldama arvu, mis on võrdne arvude arvuga, mille keskmine on vaja leida. Summa jagub 3-ga, kuna liikmeid on kolm.
Nüüd peame välja mõtlema geomeetrilise keskmise. Oletame, et on arvude jada: 4, 2 ja 8.
Arvude geomeetriline keskmine on kõigi antud arvude korrutis, mis asub juure all astmega, mis on võrdne antud arvude arvuga.See tähendab, et arvude 4, 2 ja 8 puhul on vastus 4. selgus:
Lahendus: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Mõlema variandi puhul saime terved vastused, kuna näitena võeti spetsiaalsed numbrid. Seda ei juhtu alati. Enamikul juhtudel tuleb vastus ümardada või jätta juure. Näiteks arvude 11, 7 ja 20 aritmeetiline keskmine on ≈ 12,67 ja geomeetriline keskmine on ∛1540. Ja numbrite 6 ja 5 puhul on vastused vastavalt 5,5 ja √30.
Kas võib juhtuda, et aritmeetiline keskmine saab võrdseks geomeetrilise keskmisega?
Muidugi saab. Kuid ainult kahel juhul. Kui on arvude jada, mis koosneb ainult ühtedest või nullidest. Tähelepanuväärne on ka see, et vastus ei sõltu nende arvust.
Tõestus ühikutega: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeetiline keskmine).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geomeetriline keskmine).
Tõestus nullidega: (0 + 0) / 2=0 (aritmeetiline keskmine).
√(0 × 0) = 0 (geomeetriline keskmine).
Muud võimalust ei ole ega saagi olla.