- Võrdsust muutujaga nimetatakse võrrandiks.
- Võrrandi lahendamine tähendab selle paljude juurte leidmist. Võrrandil võib olla üks, kaks, mitu, mitu juurt või üldse mitte.
- Iga muutuja väärtus, mille juures antud võrrand muutub tõeliseks võrdsuseks, mida nimetatakse võrrandi juureks.
- Võrrandeid, millel on samad juured, nimetatakse ekvivalentvõrranditeks.
- Võrrandi mis tahes liikme saab üle kanda võrdsuse ühest osast teise, muutes samal ajal liikme märki vastupidiseks.
- Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Näited. Lahenda võrrand.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Võrdsuse vasakule küljele kogusime muutujat sisaldavad terminid ja võrdsuse paremale poolele vabad terminid. Sel juhul kasutati järgmist atribuuti:
1,2x = -6. Toodud sarnased terminid reegli järgi:
x = -6 : 1.2. Võrdsuse mõlemad pooled jagati muutuja koefitsiendiga, kuna
x = -5. Jagatud vastavalt kümnendmurru jagamise reeglile kümnend:
Arvu kümnendmurruga jagamiseks peate nihutama dividendi- ja jagamiskoha koma paremale, kui palju on jagajas pärast koma, ning seejärel jagama naturaalarvuga:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Vastus: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Avasime sulud, kasutades lahutamise suhtes korrutamise jaotusseadust: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6x-4x = -16+27. Võrdsuse vasakule küljele kogusime muutujat sisaldavad terminid ja võrdsuse paremale poolele vabad terminid. Sel juhul kasutati järgmist atribuuti: võrrandi mis tahes liiget saab üle kanda võrdsuse ühest osast teise, muutes seeläbi liikme märgi vastupidiseks.
2x = 11. Sarnased terminid anti reegli järgi: sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende koefitsiendid ja saadud tulemus korrutada nende ühise täheosaga (s.t. saadud tulemusele lisada nende ühise täheosa).
x = 11 : 2. Võrdsuse mõlemad pooled jagati muutuja koefitsiendiga, kuna Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Vastus: 5,5.
3. 7x- (3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Avasime sulgud vastavalt sulgude avamise reeglile, millele eelneb märk “-”: kui sulgude ees on märk “-”, siis eemalda sulud ja “-” märk ning kirjuta terminid vastasmärkidega sulgudesse.
7x-2x-x = -9+3. Võrdsuse vasakule küljele kogusime muutujat sisaldavad terminid ja võrdsuse paremale poolele vabad terminid. Sel juhul kasutati järgmist atribuuti: võrrandi mis tahes liiget saab üle kanda võrdsuse ühest osast teise, muutes seeläbi liikme märgi vastupidiseks.
4x = -6. Sarnased terminid anti vastavalt reeglile: sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende koefitsiendid ja saadud tulemus korrutada nende ühise täheosaga (s.t. saadud tulemusele lisada nende ühise täheosa).
x = -6 : 4. Võrdsuse mõlemad pooled jagati muutuja koefitsiendiga, kuna Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Vastus: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Korrutage võrrandi mõlemad pooled 12-ga - väikseima ühine nimetaja nende murdude nimetajate jaoks.
3x-15 = 84-8x+44. Avasime sulud, kasutades lahutamise suhtes korrutamise jaotusseadust: Kahe arvu vahe korrutamiseks kolmanda arvuga saab eraldi korrutada minuendi ja eraldi lahutada kolmanda arvuga ning seejärel lahutada esimesest tulemusest teise tulemuse, s.t.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3x+8x = 84+44+15. Võrdsuse vasakule küljele kogusime muutujat sisaldavad terminid ja võrdsuse paremale poolele vabad terminid. Sel juhul kasutati järgmist atribuuti: võrrandi mis tahes liiget saab üle kanda võrdsuse ühest osast teise, muutes seeläbi liikme märgi vastupidiseks.
11x = 143. Sarnased terminid anti reegli järgi: sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende koefitsiendid ja saadud tulemus korrutada nende ühise täheosaga (s.t. saadud tulemusele lisada nende ühise täheosa).
x = 143 : 11. Võrdsuse mõlemad pooled jagati muutuja koefitsiendiga, kuna Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.
Vastus: 13.
5. Lahendage võrrandid ise:
A) 3-2,6x = 5x+1,48;
b) 1,6 · (x+5) = 4 · (4,5-0,6x);
V) 9x- (6x+2,5) = - (x-5,5);
5a) 0,2; 5 B) 2,5; 5c) 2; 5 g) -1.
Võttes arvesse siinusfunktsiooni perioodilisust, kirjutame argumendi väärtuste jaoks topelt ebavõrdsuse t, rahuldades viimast ebavõrdsust. Pöördume tagasi algse muutuja juurde. Teisendame saadud topeltvõrratust ja väljendame muutujat X. Kirjutame vastuse intervalli kujul.
Lahendame teise ebavõrdsuse:
Teise võrratuse lahendamisel tuli teisendada vasak pool antud ebavõrdsus siinuse valemi abil kahekordne argument vormi ebavõrdsuse saamiseks: sint≥a. Järgmisena järgisime algoritmi.
Lahendame kolmanda ebavõrdsuse:
Kallid lõpetajad ja kandideerijad! Pidage meeles, et sellised trigonomeetriliste ebavõrduste lahendamise meetodid nagu ülaltoodud graafiline meetod ja ilmselt teile teadaolevalt ka lahendusmeetod singli abil trigonomeetriline ring(trigonomeetriline ring) on rakendatavad ainult trigonomeetria osa "Trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamine" õppimise esimestel etappidel. Ma arvan, et mäletate seda kõige lihtsamat trigonomeetrilised võrrandid lahendasite esmalt graafikute või ringi abil. Nüüd aga ei tuleks pähegi trigonomeetrilisi võrrandeid sel viisil lahendada. Kuidas te neid lahendate? Täpselt nii, valemite järgi. See on trigonomeetrilised ebavõrdsused tuleks lahendada valemite abil, eriti testimise ajal, millal iga minut on kallis. Niisiis, lahendage selle õppetunni kolm ebavõrdsust sobiva valemi abil.
Kui sint>a, kus -1≤ a≤1, siis arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Õppige valemeid!
Tundmatu arvuga võrdust nimetatakse võrrandiks.
Näiteks: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12-dg = 48;45:x=3.
Võrrandi lahendamine tähendab tundmatu arvu sellise väärtuse leidmist, et võrdsus oleks tõene.
Seda arvu nimetatakse võrrandi juureks.
Näiteks:
x+ 23 = 45; x = 22, kuna 22 + 23 = 45.
Seega määrab see definitsioon ka võrrandi testimise viisi: tundmatu arvu leitud väärtuse asendamine avaldisega, selle väärtuse arvutamine ja tulemuse võrdlemine etteantud arvuga (vastusega).
Kui tundmatu arvu väärtus on leitud õigesti, siis saadakse õige võrdsus.
Võrrandite lahendamise meetodid.
Kõige lihtsamate võrrandite ja nende lahendamise meetodite uurimine on matemaatilise algõppe süsteemis kindlalt kinnistunud. Võrrandid on üks uuritavate tegelikkuse fragmentide modelleerimise vahendeid ja nende tundmine on matemaatilise hariduse oluline osa. Samas valmistab algkooliõpilastele võrrandite tutvustamine ette matemaatika õppimiseks algklassides.
Matemaatikas mõistetakse võrrandit tavaliselt kui "argumentide väärtuste leidmise probleemi analüütilist esitust, mille jaoks antud kahe funktsiooni väärtused on võrdsed. Kutsutakse välja argumendid, millest need funktsioonid sõltuvad teadmata, ja tundmatute väärtused, mille juures funktsioonide väärtused on võrdsed, on lahendused - võrrandi juured." See tähendab, et võrrandi mõiste on esiteks seotud analüütiline väljendus(meie puhul aritmeetikaga) ja teiseks, - Koos muutuja mõiste, mis võtab väärtused teatud hulgast.
Põhikoolis räägitakse kahest võrrandi lahendamise viisist.
Valikumeetod
Tundmatu arvu sobiv väärtus valitakse kummagi hulgast seadke väärtused või suvalisest arvude komplektist.
Valitud arv peaks avaldisesse asendamisel muutma selle tõeliseks võrdsuseks. Näiteks:
Valige numbrite 7, 10, 5, 4, 1, 3 hulgast iga võrrandi jaoks x väärtus, mis annab õige võrdsuse: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b
Iga väljapakutud numbrit kontrollitakse, asendades avaldisega ja võrreldes saadud väärtust vastusega.
Suure hulga pakutud väärtuste korral võtab see meetod palju aega ja vaeva. Iseseisvalt väljendite tähendusi valides ei pruugi laps iseseisvalt leida võimalikku tundmatu tähendust.
Tegevuskomponentide vahelise suhte kasutamise viis.
Kasutatakse tegevuskomponentide ühendamise reegleid.
Näiteks:
Lahenda võrrand: 9 + x=14
Termin on teadmata. Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva liikme. See tähendab x = 14 - 9; x = 5.
Lahendage võrrand: 7 -x=2
Alaosa teadmata. Tundmatu alamosa leidmiseks peate lahutama erinevuse minuendist. See tähendab x = 1 - 2; x = 5.
Lahendage võrrand: x-1 = 9
Tundmatu minuend. Tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa. Seega x = 9 + 1; x = 10.
Korrutamise ja jagamise tehtega võrrandite lahendamiseks kasutatakse korrutamise ja jagamise komponentide sõltuvusreegleid.
Näiteks:
Lahendage võrrand: 96:x=24
Jagaja teadmata. Leidma tundmatu jagaja, peate dividendi jagatisega jagama. See tähendab x = 96:24; x = 4. Kontrollime lahendust: 24 4 = 96.
Lahendage võrrand: x:23 = 4
Dividend teadmata. Tundmatu dividendi leidmiseks peate jagaja korrutama jagatisega. See tähendab x = 23 4; x = 92. Kontrollime lahendust: 92: 23 = 4.
Lahendage võrrand: o:- 14 = 84
Kordaja teadmata. Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga. See tähendab x = 84:14; x = 6. Kontrollime lahendust: x 14 = 84.
Nende reeglite kasutamine võimaldab võrrandeid kiiremini lahendada. Raskus seisneb selles, et paljud lapsed ajavad segi tegevuskomponentide seose reeglid ja komponentide nimetused (peate hästi teadma 6 reeglit ja 10 komponendi nimetusi).
Keerulisemate võrrandite jaoks kasutatakse sobitusmeetodit, näiteks:
35 + x + x + x = 35 - on ilmne, et tundmatu saab võtta ainult nullväärtuse;
78-x-x = 76 - ilmselt x = 1, kuna 78 - 1 - 1 = 76.
Võrrandite puhul, mille sulgudes on kuju (6 + x) - 5 = 38, kasutatakse tegevuskomponentide seose reeglit. Võrrandi vasakut poolt peetakse esmalt erinevuseks, arvestades sulgudes olevat avaldist üksikuks tundmatuks komponendiks. See üksainus tundmatu komponent on muinsus. Tundmatu minuendi leidmiseks peate erinevusele lisama alamlahendi:
Seega võtab võrrand oma tavapärase kuju. Selles võrrandis peate leidma tundmatu termini: x = 43-6; x = 37.
Kontrollime lahendust (asendame leitud tundmatu väärtus algse avaldisega): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Mitmed algklassidele mõeldud alternatiivsed matemaatikaõpikud tutvustavad lastele keerulisemaid võrrandeid (I.I. Arginskaja, L.G. Peterson), mille lahendamiseks soovitatakse korduvalt kasutada tegevuskomponentide seose reegleid.
Näiteks:
Lahendage võrrand: (y-3)-5-875 = 210
Vaatame võrrandi vasakut poolt ja määrame toimingute järjekorra.
(y-3) - 5 -875 = 210
Vasakpoolse avaldise tüübi määrab viimane tegevus: viimane tegevus on lahutamine, mis tähendab, et hakkame avaldist pidama erinevuseks.
Minuend (y - 3) 5, lahuta 875, erinevuse väärtus 210.
Tundmatu sisaldub redutseeritud. Leiame minutilõpu (me käsitleme kogu seda avaldist üheks minutilõpuks): tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa.
(y-3)-5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: y
Määrame uuesti protseduuri: (y - 3) 5 = 1085.
Viimase toimingu põhjal loeme vasakpoolset väljendit tooteks. Esimene tegur on (y - 3), teine tegur on 5, korrutise väärtus on 1085. Tundmatu sisaldub esimeses teguris. Leiame selle (peame kogu avaldist y - 3 tundmatuks). Leidma tundmatu kordaja, peate toote jagama teadaoleva teguriga.
y - 3 = 1085:5;
Oleme saanud võrrandi, milles minuend on tundmatu. Otsime selle üles:
Kontrollime lahendust, asendades algsesse võrrandisse tundmatu leitud väärtuse:
(218-3)-5-875 = 210.
Olles arvutanud vasaku külje väärtuse, oleme veendunud, et on saadud õige võrdsus. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.
Ülaltoodud lahendusmeetodi analüüs näitab, et tegemist on pika ja töömahuka protsessiga, mis eeldab lapselt kõigi reeglite selget tundmist, kõrget analüüsitaset ja võimet tajuda muutuja keerulist struktuuri, mis saadakse samm-sammult lahendus ühtse tervikuna (kõrge sünteesi ja abstraktsiooni tase).
Täiskasvanu tuttav universaalne meetod keskkoolis kasutatud sarnaste võrrandite lahendamisel (sulgude avamine, võrrandi komponentide liigutamine vasakult paremale) näeb selgelt selle meetodi ebatäiuslikkust ja liigset keerukust. Sellega seoses väljendavad mitmed metoodikud õigustatult kahtlust sellise keeruka struktuuriga võrrandite aktiivse kasutuselevõtmise otstarbekuses algkooli matemaatikakursustesse. See lahendusmeetod on matemaatilisest seisukohast irratsionaalne ning unustatakse ja heidetakse kõrvale niipea, kui 5.–7. klassi matemaatikaõpetaja tutvustab lapsele seda tüüpi võrrandite lahendamise üldisi võtteid.
Ma tean koolimatemaatika, kuuleb laps mõistet "võrrand" esimest korda. Mis see on, proovime selle koos välja mõelda. Selles artiklis vaatleme lahenduste tüüpe ja meetodeid.
Matemaatika. Võrrandid
Alustuseks soovitame teil mõista kontseptsiooni ennast, mis see on? Nagu paljud matemaatikaõpikud ütlevad, on võrrand mõned avaldised, mille vahel peab olema võrdusmärk. Need avaldised sisaldavad tähti, nn muutujaid, mille väärtus tuleb leida.
See on süsteemiatribuut, mis muudab selle väärtust. Selge näide muutujad on:
- õhutemperatuur;
- lapse kõrgus;
- kaal ja nii edasi.
Matemaatikas tähistatakse neid tähtedega, näiteks x, a, b, c... Tavaliselt kõlab matemaatikaülesanne järgmisel viisil: leidke võrrandi väärtus. See tähendab, et on vaja leida nende muutujate väärtus.
Sordid
Võrrand (mis see on, analüüsisime seda eelmine lõik) võib olla järgmisel kujul:
- lineaarne;
- ruut;
- kuupmeetrit;
- algebraline;
- transtsendentaalne.
Kõigi tüüpidega üksikasjalikumaks tutvumiseks käsitleme igat liiki eraldi.
Lineaarvõrrand
See on esimene liik, mida koolilapsed tutvustavad. Need lahendatakse üsna kiiresti ja lihtsalt. Niisiis, mis on lineaarvõrrand? See on vormi avaldis: ah=c. See pole eriti selge, seega toome mõned näited: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Vaatame võrrandite näiteid. Selleks peame ühele poole koguma kõik teadaolevad andmed ja teisele poole tundmatud: x=26/2; x = 40/5; x = 6/1,2. Siin kasutati matemaatika elementaarreegleid: a*c=e, sellest c=e/a; a=e/c. Võrrandi lahendamise lõpuleviimiseks sooritame ühe toimingu (meie puhul jagamise) x = 13; x = 8; x=5. Need olid näited korrutamisest, nüüd vaatame lahutamist ja liitmist: x+3=9; 10x-5=15. Edastame teadaolevad andmed ühes suunas: x=9-3; x = 20/10. Tehke viimane toiming: x=6; x=2.
Võimalikud on ka valikud lineaarvõrrandid, kus kasutatakse rohkem kui ühte muutujat: 2x-2y=4. Lahendamiseks on vaja igale osale lisada 2y, saame 2x-2y + 2y = 4-2y, nagu märkasime, vasakul pool võrdusmärki -2y ja +2y tühistatakse, jättes meile : 2x = 4 -2у. Viimane samm on jagada iga osa kahega, saame vastuse: x on võrdne kahega miinus y.
Probleeme võrranditega leidub isegi Ahmesi papüürustel. Siin on üks probleem: arv ja selle neljas osa annavad kokku 15. Selle lahendamiseks kirjutame järgmise võrrandi: x pluss üks neljandik x võrdub viieteistkümnega. Lahenduse tulemuse põhjal näeme teist näidet, saame vastuseks: x=12. Kuid seda probleemi saab lahendada ka muul viisil, nimelt egiptuse või, nagu seda teisiti nimetatakse, oletusmeetodil. Papüürus kasutab järgmist lahendust: võtke sellest neli ja neljandik, see tähendab üks. Need annavad kokku viis, nüüd tuleb viisteist jagada kogusummaga, saame kolm, viimane tegevus korrutage kolm neljaga. Saame vastuse: 12. Miks me jagame lahenduses viisteist viiega? Nii saame teada, mitu korda viisteist, see tähendab, et tulemus on väiksem kui viis. Sel viisil lahendati probleeme keskajal, see sai tuntuks kui valepositsiooni meetod.
Ruutvõrrandid
Lisaks eelnevalt käsitletud näidetele on ka teisi. Millised täpselt? Ruutvõrrand, mis see on? Need näevad välja nagu ax 2 +bx+c=0. Nende lahendamiseks peate tutvuma mõne mõiste ja reegliga.
Esiteks peate leidma diskriminandi, kasutades valemit: b 2 -4ac. Otsusel on kolm võimalikku tulemust:
- diskriminant on suurem kui null;
- vähem kui null;
- võrdne nulliga.
Esimeses variandis saame vastuse kahest juurest, mis leitakse valemi järgi: -b+-diskriminandi juur jagatud kahekordse esimese koefitsiendiga ehk 2a.
Teisel juhul pole võrrandil juuri. Kolmandal juhul leitakse juur valemi abil: -b/2a.
Vaatame näidet ruutvõrrandüksikasjalikuma sissejuhatuse jaoks: kolm x ruudus miinus neliteist x miinus viis võrdub nulliga. Alustuseks, nagu varem kirjutatud, otsime diskriminanti, meie puhul on see võrdne 256-ga. Pange tähele, et saadud arv on suurem kui null, seega peaksime saama vastuse, mis koosneb kahest juurtest. Asendame saadud diskriminandi juurte leidmise valemis. Selle tulemusena on meil: x on viis ja miinus üks kolmandik.
Erijuhud ruutvõrrandites
Need on näited, kus mõned väärtused on null (a, b või c) ja võib-olla rohkem kui üks.
Näiteks võtame järgmise võrrandi, mis on ruut: kaks x ruudus võrdub nulliga, siin näeme, et b ja c on võrdsed nulliga. Proovime seda lahendada, selleks jagame võrrandi mõlemad pooled kahega, saame: x 2 =0. Selle tulemusena saame x=0.
Teine juhtum on 16x 2 -9=0. Siin ainult b=0. Lahendame võrrandi, kanname vaba koefitsiendi paremale poole: 16x 2 = 9, nüüd jagame iga osa kuueteistkümnega: x 2 = üheksa kuueteistkümnendikku. Kuna meil on x ruudus, võib 9/16 juur olla kas negatiivne või positiivne. Kirjutame vastuse järgmiselt: x võrdub pluss/miinus kolmveerand.
Teine võimalik vastus on see, et võrrandil pole üldse juuri. Vaatame seda näidet: 5x 2 +80=0, siin b=0. Lahendamiseks visake vabaliige sisse parem pool, pärast neid toiminguid saame: 5x 2 = -80, nüüd jagame iga osa viiega: x 2 = miinus kuusteist. Kui suvaline arv on ruudus, siis negatiivne tähendus me ei saa seda. Seetõttu on meie vastus: võrrandil pole juuri.
Trinoomi laienemine
Ruutvõrrandite ülesanne võib kõlada ka järgmiselt: laiendage ruuttrinoom kordajate järgi. Seda saab teha kasutades järgmine valem: a(x-x 1)(x-x 2). Selleks, nagu ka ülesande teises versioonis, on vaja leida diskrimineerija.
Vaatleme järgmist näidet: 3x 2 -14x-5, koefitsege kolmik. Diskriminandi leiame meile juba teadaoleva valemi abil, mis osutub võrdseks 256-ga. Märgime kohe, et 256 on suurem kui null, seega on võrrandil kaks juurt. Leiame need, nagu ka eelmises lõigus: x = viis ja miinus üks kolmandik. Kasutame trinoomi faktoriseerimiseks valemit: 3(x-5)(x+1/3). Teises sulus saime võrdusmärgi, kuna valem sisaldab miinusmärki ja juur on samuti negatiivne, kasutades põhiteadmised matemaatika, kokku on meil plussmärk. Lihtsustuse huvides korrutame võrrandi esimese ja kolmanda liikme, et murdosast lahti saada: (x-5)(x+1).
Ruutarvuks taandavad võrrandid
Selles jaotises õpime lahendama keerukamaid võrrandeid. Alustame kohe näitega:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Võime märgata korduvaid elemente: (x 2 - 2x), selle lahendamiseks on meil mugav asendada see mõne muu muutujaga ja siis lahendage kohe tavaline ruutvõrrand. Märgime, et sellises ülesandes saame neli juurt, see ei tohiks teid hirmutada. Tähistame muutuja a kordumist. Saame: a 2 -2a-3=0. Meie järgmine samm on uue võrrandi diskriminandi leidmine. Saame 16, leiame kaks juurt: miinus üks ja kolm. Mäletame, et tegime asendamise, asendame need väärtused, mille tulemusena saame võrrandid: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x = 3. Lahendame need esimeses vastuses: x võrdne ühega, teises: x võrdne miinusegaüks ja kolm. Vastuse kirjutame järgmiselt: pluss/miinus üks ja kolm. Reeglina kirjutatakse vastus kasvavas järjekorras.
Kuupvõrrandid
Mõelgem veel ühele võimalikule variandile. See on umbes O kuupvõrrandid. Need näevad välja sellised: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Vaatame allpool võrrandite näiteid, kuid kõigepealt natuke teooriat. Neil võib olla kolm juurt ja kuupvõrrandi diskriminandi leidmiseks on olemas ka valem.
Vaatame näidet: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Kuidas seda lahendada? Selleks paneme x lihtsalt sulgudest välja: x(3x 2 +4x+2)=0. Peame vaid arvutama sulgudes oleva võrrandi juured. Ruutvõrrandi diskriminant sulgudes on väiksem kui null, selle põhjal on avaldisel juur: x=0.
Algebra. Võrrandid
Liigume edasi järgmine vaade. Vaatame nüüd lühidalt algebralised võrrandid. Üks ülesannetest on järgmine: tegur 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Kõige mugavam oleks järgmine rühmitamine: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Pange tähele, et me esindasime 8x 2 esimesest avaldisest 3x 2 ja 5x 2 summana. Nüüd võtame igast klambrist välja ühine kordaja 3x2 (x2+1)+2x(x2+1)+5(x2+1). Näeme, et meil on ühine tegur: x ruudus pluss üks, võtame selle sulgudest välja: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Edasine laiendamine ei ole võimalik, kuna mõlemal võrrandil on negatiivne diskriminant.
Transtsendentaalsed võrrandid
Soovitame teil tegeleda järgmise tüübiga. Need on võrrandid, mis sisaldavad transtsendentaalseid funktsioone, nimelt logaritmilisi, trigonomeetrilisi või eksponentsiaalseid funktsioone. Näited: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 ja nii edasi. Kuidas neid lahendatakse, saad teada trigonomeetria kursusel.
Funktsioon
Viimane samm on funktsiooni võrrandi kontseptsiooni käsitlemine. Erinevalt eelmistest valikutest, seda tüüpi ei lahendata, vaid selle põhjal koostatakse ajakava. Selleks tuleks võrrandit hästi analüüsida, kõik üles leida vajalikud punktid ehitada, arvutada miinimum- ja maksimumpunktid.
Olles saanud üldise ettekujutuse võrdsustest ja tutvunud ühe nende tüübiga - numbriliste võrdustega, võite hakata rääkima teist tüüpi võrdsustest, mis on praktilisest seisukohast väga olulised - võrranditest. Selles artiklis vaatleme mis on võrrand, ja mida nimetatakse võrrandi juureks. Siin anname vastavad määratlused ja esitame ka erinevaid näiteid võrrandid ja nende juured.
Leheküljel navigeerimine.
Mis on võrrand?
Sihipärane sissejuhatus võrranditesse algab tavaliselt 2. klassi matemaatikatundides. Sel ajal antakse järgmine võrrandi definitsioon:
Definitsioon.
Võrrand on võrdsus, mis sisaldab tundmatut arvu, mis tuleb leida.
Tundmatuid arve võrrandites tähistatakse tavaliselt väikeste numbritega. Ladina tähed, näiteks p, t, u jne, kuid kõige sagedamini kasutatavad tähed on x, y ja z.
Seega on võrrand määratud kirjavormi seisukohalt. Teisisõnu, võrdsus on võrrand, kui see kuuletub täpsustatud reeglid kirjed – sisaldab tähte, mille väärtust on vaja leida.
Toome näiteid kõige esimesest ja kõige enamast lihtsad võrrandid. Alustame võrranditest kujul x=8, y=3 jne. Võrrandid, mis sisaldavad märke koos numbrite ja tähtedega, näevad välja veidi keerulisemad aritmeetilised tehted, näiteks x+2=3, z−2=5, 3·t=9, 8:x=2.
Võrrandite mitmekesisus suureneb pärast tundmaõppimist - hakkavad ilmnema sulgudega võrrandid, näiteks 2·(x−1)=18 ja x+3·(x+2·(x−2))=3. Tundmatu täht võrrandis võib esineda mitu korda, näiteks x+3+3·x−2−x=9, samuti võivad tähed olla võrrandi vasakul, paremal või mõlemal pool. võrrand, näiteks x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 või 3·x−4=2·(x+12) .
Edasi pärast õppimist naturaalarvud toimub tutvumine täisarvude, ratsionaalsete, reaalarvudega, õpitakse juurde uusi matemaatilised objektid: astmed, juured, logaritmid jne, samas ilmub üha rohkem uut tüüpi võrrandeid, mis sisaldavad neid asju. Nende näiteid näete artiklis võrrandite põhitüübid koolis õppides.
7. klassis koos tähtedega, mis tähendavad mõnda konkreetsed numbrid, hakake kaaluma tähti, mis võivad kesta erinevad tähendused, nimetatakse neid muutujateks (vt artiklit). Samal ajal lisatakse võrrandi definitsiooni sõna "muutuja" ja see muutub selliseks:
Definitsioon.
Võrrand nimetatakse võrduseks, mis sisaldab muutujat, mille väärtus tuleb leida.
Näiteks võrrand x+3=6·x+7 on võrrand muutujaga x ja 3·z−1+z=0 on võrrand muutujaga z.
Sama 7. klassi algebratundides kohtame võrrandeid, mis sisaldavad mitte ühte, vaid kahte erinevat tundmatut muutujat. Neid nimetatakse kahe muutuja võrranditeks. Edaspidi on võrrandites lubatud kolme või enama muutuja olemasolu.
Definitsioon.
Võrrandid ühe, kahe, kolmega jne. muutujad– need on võrrandid, mis sisaldavad vastavalt ühte, kahte, kolme, ... tundmatut muutujat.
Näiteks võrrand 3,2 x+0,5=1 on võrrand ühe muutujaga x, võrrand kujul x−y=3 on võrrand kahe muutujaga x ja y. Ja veel üks näide: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. On selge, et selline võrrand on võrrand kolme tundmatu muutujaga x, y ja z.
Mis on võrrandi juur?
Võrrandi definitsioon on otseselt seotud selle võrrandi juure määratlusega. Teeme mõned arutluskäigud, mis aitavad meil mõista, mis on võrrandi juur.
Oletame, et meil on ühe tähega (muutuja) võrrand. Kui selle võrrandi kirjes sisalduva tähe asemel asendame teatud arvu, muutub võrrand numbriline võrdsus. Veelgi enam, saadud võrdsus võib olla kas tõene või väär. Näiteks kui asendate võrrandis a+1=5 tähe a asemel numbri 2, saate vale numbrilise võrrandi 2+1=5. Kui asendame selles võrrandis a asemel arvu 4, saame õigeks võrrandiks 4+1=5.
Praktikas on valdav enamus juhtudel huvi muutuja nende väärtuste vastu, mille asendamine võrrandiga annab õige võrdsuse; neid väärtusi nimetatakse selle võrrandi juurteks või lahenditeks.
Definitsioon.
Võrrandi juur- see on tähe (muutuja) väärtus, mille asendamisel võrrand muutub õigeks numbriliseks võrrandiks.
Pange tähele, et võrrandi juurt ühes muutujas nimetatakse ka võrrandi lahendiks. Teisisõnu, võrrandi lahend ja võrrandi juur on sama asi.
Selgitame seda määratlust näitega. Selleks pöördume tagasi võrrandi juurde, mis on kirjutatud ülalpool a+1=5. Vastavalt toodud võrrandi juure definitsioonile on selle võrrandi juur arv 4, kuna selle arvu asendamisel tähe a asemel saame õigeks võrrandiks 4+1=5 ja arv 2 ei ole selle väärtus. juur, kuna see vastab valele võrdsusele kujul 2+1= 5 .
Siinkohal tekivad mitmed loomulikud küsimused: "Kas igal võrrandil on juur ja mitu juurt sellel on?" antud võrrand"? Me vastame neile.
On nii võrrandeid, millel on juured, kui ka võrrandeid, millel pole juuri. Näiteks võrrandil x+1=5 on juur 4, aga võrrandil 0 x=5 pole juuri, kuna ükskõik millise arvu me selles võrrandis muutuja x asemel asendame, saame vale võrrandi 0=5 .
Mis puutub võrrandi juurte arvu, siis need eksisteerivad võrranditena, millel on mõned lõplik number juured (üks, kaks, kolm jne) ja võrrandid, millel on lõpmata palju juuri. Näiteks võrrandil x−2=4 on üks juur 6, võrrandi x 2 =9 juurteks on kaks arvu −3 ja 3, võrrandil x·(x−1)·(x−2)=0 on kolm juurt 0, 1 ja 2 ning võrrandi x=x lahend on suvaline arv, see tähendab, et sellel on lõpmatu arv juuri.
Mõni sõna tuleks öelda võrrandi juurte aktsepteeritud tähistuse kohta. Kui võrrandil pole juuri, kirjutatakse tavaliselt "võrrandil pole juuri" või kasutatakse märki tühi komplekt∅. Kui võrrandil on juured, kirjutatakse need komadega eraldatuna või kui komplekti elemendid lokkis sulgudes. Näiteks kui võrrandi juurteks on arvud −1, 2 ja 4, siis kirjuta −1, 2, 4 või (−1, 2, 4). Samuti on lubatud võrrandi juured lihtsate võrrandite kujul üles kirjutada. Näiteks kui võrrand sisaldab tähte x ja selle võrrandi juurteks on numbrid 3 ja 5, siis saab kirjutada x=3, x=5 ja sageli lisatakse alamindeksid x 1 =3, x 2 =5 muutujale, näidates justkui võrrandi arvujuuri. Lõpmatu komplekt võrrandi juured kirjutatakse tavaliselt kujul, võimalusel kasutatakse ka naturaalarvude hulga N, täisarvude Z ja reaalarvude R tähistust. Näiteks kui muutujaga x võrrandi juur on suvaline täisarv, siis kirjuta , ja kui muutujaga y võrrandi juured on suvalised tegelik arv 1 kuni 9 (kaasa arvatud), siis kirjutage .
Võrranditele kaks, kolm ja suur summa Muutujate puhul reeglina terminit "võrrandi juur" ei kasutata, nendel juhtudel öeldakse "võrrandi lahendus". Mida nimetatakse mitme muutujaga võrrandite lahendamiseks? Anname vastava määratluse.
Definitsioon.
Võrrandi lahendamine kahe, kolmega jne. muutujad nimetatakse paariks, kolmeks jne. muutujate väärtused, muutes selle võrrandi õigeks arvuliseks võrduseks.
Toome välja selgitavad näited. Vaatleme võrrandit kahe muutujaga x+y=7. Asendame x asemel arvu 1 ja y asemel arvu 2 ning saame võrdsuse 1+2=7. Ilmselgelt on see vale, seetõttu ei ole väärtuste paar x=1, y=2 kirjutatud võrrandi lahendus. Kui võtame väärtuste paari x=4, y=3, siis pärast võrrandisse asendust jõuame tõeline võrdsus 4+3=7, seega on see muutuja väärtuste paar definitsiooni järgi võrrandi x+y=7 lahendus.
Mitme muutujaga võrranditel, nagu ka ühe muutujaga võrranditel, ei pruugi olla juuri, neil võib olla piiratud arv juuri või lõpmatu arv juuri.
Paarid, kolmikud, neljased jne. Muutujate väärtused kirjutatakse sageli lühidalt, loetledes nende väärtused komadega eraldatuna sulgudes. Sel juhul vastavad sulgudes olevad numbrid sises olevatele muutujatele tähestikuline järjekord. Selgitame seda punkti, pöördudes tagasi eelmise võrrandi x+y=7 juurde. Selle võrrandi lahenduse x=4, y=3 saab lühidalt kirjutada kui (4, 3).
Suurim tähelepanu koolikursus matemaatika, algebra ja analüüsi algus on pühendatud võrrandite juurte leidmisele ühes muutujas. Artiklis käsitleme selle protsessi reegleid väga üksikasjalikult. võrrandite lahendamine.
Bibliograafia.
- Matemaatika. 2 klassi Õpik üldhariduse jaoks institutsioonid koos adj. elektroni kohta vedaja. Kell 14.00 1. osa / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltjukova jne] – 3. väljaanne. - M.: Haridus, 2012. - 96 lk.: ill. - (Venemaa kool). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Algebra:õpik 7. klassi jaoks Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: 9. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2009. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Üldiselt on mis tahes võrrand matemaatiline mudel aastal leiutatud tassikaalud (hoob, võrdne käsi, jalas - nimesid on palju). iidne Babülon 7000 aastat tagasi või isegi varem. Veelgi enam, arvan isegi, et võrrandite prototüübiks said kõige iidsemates basaarides kasutatud tassikaalud. Ja kui vaadata mis tahes võrrandit mitte kui arusaamatut kahe paralleelse pulgaga ühendatud numbrite ja tähtede komplekti, vaid nagu skaalat, siis pole kõige muuga probleeme:
Iga võrrand on nagu tasakaalustatud skaalad
Juhtub nii, et meie elus on iga päevaga üha rohkem võrrandeid, kuid järjest vähem mõistetakse, mis on võrrand ja mis on selle tähendus. Igal juhul selline mulje jäi mulle, kui üritasin oma vanemale tütrele kõige lihtsama tähendust selgitada matemaatiline võrrand tüüp:
x + 2 = 8 (500.1)
Need. koolis muidugi seletatakse, et sellistel puhkudel selleks, et leida X, peate paremast küljest lahutama 2:
x = 8-2 (500.3)
See on muidugi absoluutselt õige tegevus, aga miks on vaja lahutada ja mitte näiteks liita või jagada kooliõpikud seletust pole. On ainult reegel, mida peate lihtsalt õppima:
Kui võrrandi liige viiakse ühest osast teise, muutub selle märk vastupidiseks.
Kuidas peaks 10-aastane koolilaps sellest reeglist aru saama ja mis on selle tähendus, see on teie enda mõelda ja otsustada. Veelgi enam, selgus, et ka minu lähisugulased ei saanud kunagi võrrandite tähendusest aru, vaid jätsid nõutava lihtsalt meelde (ja eriti ülaltoodud reegli) ja rakendasid seda alles siis, nagu jumalale meeldis. Mulle see asjade seis ei meeldinud, nii et otsustasin kirjutada see artikkel(noorim on kasvamas, mõne aasta pärast peab ta seda uuesti selgitama ja see võib olla kasulik ka minu saidi vähestele lugejatele).
Tahan kohe öelda, et kuigi õppisin koolis 10 aastat, ei ole sellega seotud reegleid ega määratlusi. tehnilised distsipliinid, pole kunagi õpetanud. Need. kui miski on selge, siis see jääb meelde, aga kui miski pole selge, siis mis mõtet on seda toppida ilma tähendusest aru saamata, kui see nagunii ununeb? Ja pealegi, kui ma millestki aru ei saa, tähendab see, et ma ei vaja seda (sain alles hiljuti aru, et kui ma koolis millestki aru ei saanud, ei olnud see minu süü, vaid õpetajate, õpikute ja haridussüsteemid üldiselt).
Selline lähenemine andis mulle palju vaba aega, millest lapsepõlves kõikvõimalike mängude ja meelelahutuse jaoks nii puudus. Samal ajal osalesin erinevatel füüsika- ja keemiaolümpiaadidel ning võitsin isegi ühe matemaatika piirkondliku võistluse. Kuid aeg läks, distsipliinide arv tegutses abstraktsed mõisted, ainult tõusis ja vastavalt mu hinded langesid. Instituudi esimesel kursusel oli abstraktsete mõistetega opereerivaid erialasid absoluutne enamus ja loomulikult olin täielik C tudeng. Aga siis, kui mitmel põhjusel pidin materjalide tugevusega tegelema ilma loengute ja konspektide abita ja ma sellest justkui aru sain, läks asi libedalt ja lõppes aukirjaga. Asi pole aga praegu selles, vaid selles, et tulenevalt täpsustatud spetsiifikast võivad minu mõisted ja definitsioonid oluliselt erineda koolis õpetatutest.
Nüüd jätkame
Lihtsamad võrrandid, analoogia skaaladega
Tegelikult õpetatakse lapsi võrdlema erinevaid esemeid ka sisse koolieelne vanus kui nad ikka veel ei tea, kuidas rääkida. Tavaliselt algavad need geomeetriliste võrdlustega. Näiteks näidatakse lapsele kahte kuubikut ja laps peab määrama, milline kuubik on suurem ja milline väiksem. Ja kui need on samad, on see suuruselt võrdne. Siis läheb ülesanne keerulisemaks, lapsele näidatakse esemeid erinevaid vorme, erinevaid värve ja vali identsed esemed Lapse jaoks muutub see üha raskemaks. Kuid me ei muuda ülesannet nii palju keerulisemaks, vaid keskendume ainult ühele võrdsuse tüübile - rahalisele kaalule.
Kui kaalud on samal horisontaaltasandil (joonisel 500.1 näidatud skaala nooled on oranžid ja sinine, langevad kokku, horisontaaltasapind on näidatud musta paksu joonega), see tähendab, et kaalu paremal pannil on sama palju raskust kui vasakul. Lihtsamal juhul võivad need olla 1 kg kaaluvad raskused:
Joonis 500.1.
Ja siis saame kõige lihtsama võrrandi 1 = 1. See võrrand on aga ainult minu jaoks, matemaatikas sarnased väljendid Nad nimetavad seda võrdsuseks, kuid see ei muuda olemust. Kui eemaldame kaalu vasakpoolselt pannilt raskuse ja paneme sellele midagi, isegi õunu, isegi naelu, isegi punast kaaviari ja samal ajal on kaalud samal horisontaaltasapinnal, siis see tähendab ikkagi, et 1 kg mis tahes näidatud tootest, mis on võrdne 1 kg kaaluga, mis jääb kaalu paremale küljele. Jääb üle vaid selle kilogrammi eest tasuda müüja määratud hinna järgi. Teine asi on see, et teile ei pruugi hind meeldida või teil on kahtlusi skaala täpsuses - aga need on majandus- ja õigussuhete küsimused, millel pole matemaatikaga otsest seost.
Muidugi oli neil kaugetel aegadel, kui topsikaalud ilmusid, kõik palju lihtsam. Esiteks ei olnud sellist kaalumõõtu nagu kilogramm, küll aga olid rahaühikud, mis vastasid kaalumõõtudele, näiteks talendid, seekelid, naelad, grivnad jne (muide, olen juba ammu üllatunud, et on olemas nael - valuutaühik ja nael on kaalu mõõt, seal on grivna - rahaühik ja kunagi oli grivna kaalu mõõt ja alles hiljuti, kui sain teada, et talent ei ole ainult iidsete juutide rahaühik, mainiti Vana Testament, aga ka iidses Babülonis kasutusele võetud kaalumõõt, langes kõik paika).
Täpsemalt, algul olid kaalumõõdud, tavaliselt teravilja terad, ja alles siis ilmus nendele kaalumõõtudele vastav raha. Näiteks ühele seeklile vastas 60 tera, ühele minale 60 seeklit ja ühele talendile 60 seeklit. Seetõttu hakati esialgu kaalude abil kontrollima, kas pakutav raha on võltsitud, ja alles siis ilmusid raha, kaalude ja arvutuste ekvivalendiks kaalud, elektrooniline tasakaal ja plastkaardid, aga asja olemust see ei muuda.
Neil kaugetel aegadel ei olnud müüjal vaja pikalt ja üksikasjalikult selgitada, kui palju konkreetne toode maksab. Piisas müüdava toote asetamisest ühele kaalukausile ja ostja pani raha teisele - see on väga lihtne ja selge ning isegi kohaliku murde tundmine pole vajalik, kaubelda saate kõikjal maailmas. Aga tuleme tagasi võrrandite juurde.
Kui vaadelda võrrandit (500.1) kaalude asukohast, siis see tähendab, et kaalu vasakpoolsel pannil on teadmata arv kilogramme ja veel 2 kilogrammi ning paremal pannil 8 kilogrammi:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Märge: IN sel juhul Allajoonitud joon sümboliseerib skaala põhja, paberil arvutades võib see joon rohkem sarnaneda skaala põhjaga. Veelgi enam, matemaatikud on juba ammu välja mõelnud spetsiaalsed sümbolid - sulgud ja seega võib iga sulgu pidada skaala külgedeks, vähemalt võrrandite tähenduse mõistmise esimeses etapis. Sellegipoolest jätan suurema selguse huvides alakriipsuse.
Niisiis, mida me peame tegema, et teada saada tundmatu kilogrammide arv? Õige! Eemaldage kaalu vasakult ja paremalt küljelt 2 kilogrammi, siis jäävad kaalud samale horisontaaltasapinnale, st meil on endiselt võrdsus:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
Vastavalt
x = 8–2 kg, (500.3.2)
x = 6 kg, (500.4.2)
Joonis 500.2.
Sageli opereerib matemaatika mitte kilogrammide, vaid mõne abstraktse mõõtmeteta ühikuga ja siis näeb võrrandi (500.1) lahendi kirjutamine näiteks mustandis välja selline:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Mis kajastub joonisel 500.2.
Märge: Formaalselt, veelgi paremaks mõistmiseks, peaks võrrandile (500.2) järgnema veel üks vormi võrrand: x + 2 - 2, = 8 - 2, mis tähendab, et tegevus on lõppenud ja meil on jälle tegemist tasakaaluliste kaalukaussidega. Sellist täiesti täielikku otsuse jäädvustamist minu hinnangul aga vaja pole.
Puhas paberites kasutatakse tavaliselt võrrandi lahendi lühendatud tähistust, mitte ainult minu arvates väga vajalikke. esialgne etapp võrrandite, skaalade sümbolite, aga isegi tervete võrrandite uurimine. Seega näeb võrrandi (500.1) lahenduse lühendatud versioon puhtas versioonis vastavalt õpikutes toodud näidetele välja järgmine:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Selle tulemusena koostasime skaaladega analoogiat kasutades lisavõrrandi (500,2) võrrelduna õpikutes pakutuga, kas lahendusmeetodi või selle lahenduse kirjutamise vormi järgi. Minu meelest on see võrrand, pealegi umbes sellisel kujul kirja pandud, st. skaala sümboolse tähisega - see on puuduv lüli, mis on oluline võrrandite tähenduse mõistmiseks.
Need. Võrrandite lahendamisel ei kanna me midagi vastupidise märgiga kuhugi, vaid sooritame samad matemaatilised tehted võrrandi vasaku ja parema poolega.
Lihtsalt praegu on tavaks kirjutada võrrandite lahendus ülaltoodud lühendatud kujul. Võrrandile (500.1.1) järgneb kohe võrrand (500.3.1), siit ka pöördmärkide reegel, mida on aga paljudel lihtsam meeles pidada, kui võrrandite tähendusse süveneda.
Märge: Mul pole midagi lindistamise lühendatud vormi vastu, pealegi. Kogenud kasutajad saavad seda vormi veelgi lühendada, kuid seda tuleks teha alles pärast seda üldine tähendus võrrandid on juba selgelt arusaadavad.
Ja laiendatud märge võimaldab teil mõista võrrandite lahendamise peamisi reegleid:
1. Kui sooritame samad matemaatilised tehted võrrandite vasaku ja parema poolega, siis võrdsus säilib.
2. Pole vahet, milline osa vaadeldavast võrrandist on vasak ja milline parem, saame neid vabalt vahetada.
Need matemaatilised tehted võivad olla ükskõik millised. Saame lahutada sama arvu vasakust ja paremast küljest, nagu ülal näidatud. Võrrandi vasakule ja paremale küljele saame lisada sama arvu, näiteks:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Mõlemad pooled saame jagada või korrutada sama arvuga, näiteks:
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Saame mõlemad osad integreerida või eristada. Vasaku ja parema osaga võime teha mida tahame, aga kui need toimingud on vasaku ja parema osa puhul samad, siis jääb võrdsus alles (kaalud jäävad samale horisontaaltasandile).
Loomulikult peate valima toimingud, mis võimaldavad teil võimalikult kiiresti ja lihtsalt määrata teadmata koguse.
Sellest vaatenurgast tundub klassikaline pöördtegevuse meetod lihtsam, kuid mida teha, kui laps pole veel õppinud negatiivsed arvud? Samal ajal on koostatud võrrandil järgmine vorm:
5 – x = 3 (500.8)
Need. selle võrrandi lahendamisel klassikalise meetodi abil, üks võimalikud variandid Lahendus, mis annab lühima tähise, on järgmine:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Ja mis kõige tähtsam, kuidas saate lapsele selgitada, miks võrrand (500.8.3) on identne võrrandiga (500.8.4)?
See tähendab, et antud juhul isegi kasutamisel klassikaline meetod kirjutamisel pole mõtet kokku hoida ja esmalt tuleb lahti saada vasakpoolsest tundmatust väärtusest, millel on negatiivne märk.
5 – x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5-3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Täielik sissekanne näeb välja selline:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5 = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x = 5-3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Lisan uuesti. Lahenduse täielikku kirjet pole vaja õpetajatele, vaid võrrandite lahendamise meetodi paremaks mõistmiseks. Ja kui me vahetame võrrandi vasaku ja parema külje, siis me muudame justkui skaala vaadet ostja vaatenurgast müüja vaatepunktile, kuid võrdsus jääb samaks.
Kahjuks ei saanud ma oma tütart kunagi isegi mustandites lahendust täielikult kirja panema. Tal on raudne argument: "Meid ei õpetatud nii." Samal ajal suureneb koostatavate võrrandite keerukus, väheneb äraarvamise protsent, milliseid toiminguid on vaja teha tundmatu suuruse määramiseks, ja hinded langevad. Ma ei tea, mida sellega peale hakata...
Märge: V kaasaegne matemaatika On tavaks teha vahet võrdustel ja võrranditel, s.t. 1 = 1 on lihtsalt arvuline võrrand ja kui võrdsuse ühes osas on tundmatu, mis tuleb leida, siis on see juba võrrand. Minu jaoks pole sellisel eristamisel mingit tähendust on palju mõtet, kuid ainult raskendab materjali tajumist. Usun, et iga võrdsust võib nimetada võrrandiks ja iga võrrandi aluseks on võrdsus. Ja pealegi tekib küsimus: x = 6, kas see on juba võrdsus või on see ikkagi võrrand?
Kõige lihtsamad võrrandid, analoogia ajaga
Muidugi pole analoogia skaaladega võrrandite lahendamisel kaugeltki ainus. Näiteks võrrandite lahendamist võib käsitleda ka ajaperspektiivist. Siis kõlab võrrandiga (500.1) kirjeldatud tingimus järgmiselt:
Pärast seda, kui oleme lisanud teadmata kogusele X Veel 2 ühikut, meil on nüüd 8 ühikut (praegu). Kuid ühel või teisel põhjusel ei huvita meid mitte see, kui palju neid on, vaid pigem see, kui palju neid oli minevikuvormis. Sellest tulenevalt peame tootma selleks, et teada saada, kui palju neid samu ühikuid meil oli vastupidine tegevus, st. lahutage 8-st 2 (võrrand 500.3). See lähenemine vastab täpselt õpikutes esitatule, kuid minu arvates pole see nii selge kui analoogia skaaladega. Arvamused selles küsimuses võivad aga erineda.
Näide võrrandi lahendamisest sulgudega
Kirjutasin selle artikli suvel, kui mu tütar lõpetas 4. klassi, kuid vähem kui poole aasta pärast paluti neil koolis lahendada järgmise kujuga võrrandid:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Keegi klassist ei suutnud seda võrrandit lahendada ja ometi pole minu pakutud meetodi kasutamisel selle lahendamises midagi keerulist, kuid tähise täisvorm võtab liiga palju ruumi:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50–5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50–5x), = 100–97, (500.10.6)
75: (50–5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50–5x), (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50–5x, (500.10.11)
25 = 50–5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x = 50–25, (500.10.16)
5x = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Siiski edasi selles etapis sellises täielik vorm salvestamist pole vaja. Kuna jõudsime topeltsulgudeni, pole see vajalik matemaatilised tehted moodustage vasakul ja paremal küljel eraldi võrrand, nii et lahenduse kirjutamine mustandisse võib välja näha järgmine:
97 + 75: (50–5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50–5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50–5x), – 97 = 100–97, (500.10.5)
75: (50–5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50–5x), (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50–5x), : 3 (500.10.10)
25 = 50–5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Kokku oli selles etapis algse lahendamiseks vaja kirja panna 14 võrrandit.
Sel juhul võib võrrandi lahendi kirjutamine puhtasse koopiasse välja näha järgmine:
97 + 75: (50–5x) = 300:3 (500.10.3)
97 + 75: (50–5x) = 100 (500.10.4)
75: (50–5x) = 100–97 (500.10.6)
75: (50–5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50–5x) (500.10.9)
75: 3 = 50–5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50–25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Need. lühendatud tähistusvormiga peame ikkagi looma 12 võrrandit. Salvestamise sääst on minimaalne, kuid viienda klassi õpilasel võib tegelikult tekkida probleeme nõutavate toimingute mõistmisega.
P.S. Alles topeltsulgude puhul hakkas mu tütar huvi tundma minu poolt pakutud võrrandite lahendamise meetodi vastu, kuid samas on tema kirjutamisvormis, isegi mustandis, võrrandeid ikka 2 korda vähem, sest ta jätab lõpu vahele. võrrandid nagu (500.10.4), (500.10.7) jms ning salvestamisel jätab kohe ruumi ka järgmisele matemaatiline tehe. Selle tulemusel nägi kanne tema mustandis välja umbes selline:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50–5x), – 97 = 100, – 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50–5x), : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Selle tulemusena saime ainult 8 võrrandit, mis on isegi vähem kui lühendatud lahenduse jaoks. Põhimõtteliselt ma ei pahanda, aga see oleks kasulik.
See on tegelikult kõik, mida ma tahtsin öelda kõige lihtsamate võrrandite lahendamise kohta, mis sisaldavad ühte tundmatut suurust. Kahte tundmatut suurust sisaldavate võrrandite lahendamiseks vajate