Munitsipaal riiklik õppeasutus
Popovskaja keskkool
sai nime Nõukogude Liidu kangelase N.K. Gorbaneva
Avalik tund
matemaatika õpetajad
Voronina Vera Vladimirovna,
matemaatikas 9. klassis
teemal: “Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks”
Tunni tüüp:õppetund uue materjali õppimiseks.
2017/2018 õppeaasta
Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks. 9. klass
Vera Vladimirovna Voronina, matemaatikaõpetaja.
õppetund:
didaktiline:
avastage koos õpilastega uus viis võrrandisüsteemide lahendamiseks;
tuletada algoritmi võrrandisüsteemide graafiliseks lahendamiseks;
oskama määrata, mitu lahendit võrrandisüsteemil on;
õppida võrrandisüsteemile graafiliselt lahendusi leidma;
korrata elementaarfunktsioonide graafikute koostamist;
luua tingimused õpilaste kontrollimiseks (enesekontrolliks):
hariv:
vastutustundliku töösse suhtumise kujundamine,
arvestuse pidamise täpsus.
Tundide ajal.
I. Organisatsioonimoment.
Mis on funktsioon? (slaid 3-11)
Mis on funktsiooni graafik?
Mis tüüpi funktsioone te teate?
Milline valem määratleb lineaarfunktsiooni? Mis on lineaarfunktsiooni graafik?
Milline valem annab otsese proportsionaalsuse? Mis on tema ajakava?
Mis on pöördproportsionaalsuse valem? Mis on tema ajakava?
Mis on ruutfunktsiooni valem? Mis on tema ajakava?
Milline võrrand annab ringi võrrandi?
Mida nimetatakse kahe muutuja võrrandi graafikuks; (slaid 12)
Korraldatakse sissejuhatus kõrgemas matemaatikas kasutatavatesse võrranditesse ja nende graafikutesse (strofoid, Bernoulli lemniskaat, astroid, kardioid). (slaid 13-16)
Õpetaja jutuga kaasneb nende graafikutega slaidiesitlus.
Väljendage muutuja y muutuja x kaudu:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12
Kas arvupaar (1; 0) on võrrandi lahend
a) x² +y = 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.
Mis on kahe muutuja võrrandisüsteemi lahendus?
Milline arvupaar on võrrandisüsteemi lahendus
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
kell 21)
d) (3; 0)
Milliste võrrandite abil saab luua võrrandisüsteemi, mille lahendiks on arvupaar (2; 1)
a) 2x - y = 3
b) 3x - 2a = 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2
III. Õpilaste teadmiste täiendamine õpitava materjali kohta. (slaid 20, 21)
Täna kordame ja tugevdame üht võrrandisüsteemide lahendamise viisi. Uuritud materjali konsolideerimine toimub visuaalse taju abil (slaidil on võrrandisüsteemi graafiline lahendus):
Kahe muutujaga võrrandi graafik on punktide kogum koordinaattasandil, mille koordinaadid muudavad võrrandi tõeliseks võrrandiks. Kahe tundmatuga võrrandite graafikud on väga mitmekesised.
Küsimused selle slaidi kohta:
Mis on võrrandi x² + y²=25 graafik?
Milline on võrrandi y = - x² +2x +5 graafik?
Ringjoone mis tahes punkti koordinaadid vastavad võrrandile x² + y²=25, parabooli mis tahes punkti koordinaadid rahuldavad võrrandit y = - x² +2x +5.
Milliste punktide koordinaadid vastavad nii esimesele kui ka teisele võrrandile?
Mitu lõikepunkti neil graafikutel on?
Mitu lahendust sellel süsteemil on?
Mis need lahendused on?
Mida on vaja teha kahe muutuja võrrandisüsteemi graafiliseks lahendamiseks?
Esitatakse slaid, mis näitab kahe tundmatuga võrrandisüsteemide graafilise lahendamise algoritmi.
Graafiline meetod kasutatav mis tahes süsteemi lahendamisel, kuid võrrandigraafikute abil saate süsteemile ligikaudselt lahendusi leida. Täpseks võivad osutuda vaid mõned süsteemile leitud lahendused. Seda saab kontrollida, asendades nende koordinaadid süsteemi võrranditesse.
IV. Õpitud meetodi rakendamine võrrandisüsteemide lahendamisel.
1. Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine (slaid 23)
Mis on võrrandi xy = 3 graafik?
Mis on võrrandi 3x - y =0 graafik?
2. Kirjutage üles nende võrranditega määratletud süsteem ja selle lahendus. (slaid 24)
Suunavate küsimuste esitamine:
Kirjutage üles nende võrranditega määratletud süsteem?
Mitu lõikepunkti neil graafikutel on?
Mitu lahendit sellel võrrandisüsteemil on?
Millised on selle võrrandisüsteemi lahendused?
3. Ülesande täitmine Riigiinspektsioonist (slaid 25).
4. Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine (slaid 26)
Ülesande täidavad õpilased vihikutes. Lahendust kontrollitakse.
V. Tunni kokkuvõte.
Mida nimetatakse kahe muutuja võrrandisüsteemi lahendamiseks?
Millise kahe muutuja võrrandisüsteemide lahendamise meetodiga tutvusite?
Mis on selle olemus?
Kas see meetod annab täpseid tulemusi?
Millisel juhul pole võrrandisüsteemil lahendusi?
VI. Kodutöö.
Lk 18, nr 420 (237), 425 (240)
Selles õppetükis vaatleme kahe muutujaga kahe võrrandi süsteemide lahendamist. Kõigepealt vaatame kahe lineaarvõrrandi süsteemi graafilist lahendust ja nende graafikute komplekti eripära. Järgmisena lahendame graafilisel meetodil mitu süsteemi.
Teema: võrrandisüsteemid
Tund: Graafiline meetod võrrandisüsteemi lahendamiseks
Mõelge süsteemile
Arvupaari, mis on samaaegselt nii süsteemi esimese kui ka teise võrrandi lahendus, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendamine.
Võrrandisüsteemi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või selle kindlakstegemist, et lahendusi pole. Oleme vaadanud põhivõrrandite graafikuid, liigume edasi süsteemide arvestamise juurde.
Näide 1. Lahendage süsteem 
Lahendus:
Need on lineaarvõrrandid, millest igaühe graafik on sirgjoon. Esimese võrrandi graafik läbib punkte (0; 1) ja (-1; 0). Teise võrrandi graafik läbib punkte (0; -1) ja (-1; 0). Sirged lõikuvad punktis (-1; 0), see on võrrandisüsteemi lahend ( Riis. 1).
Süsteemi lahenduseks on arvupaar.Asendades selle arvupaari igas võrrandis, saame õige võrdsuse.
Oleme saanud lineaarsele süsteemile ainulaadse lahenduse.
Tuletage meelde, et lineaarse süsteemi lahendamisel on võimalikud järgmised juhtumid:
süsteemil on ainulaadne lahendus – jooned ristuvad,
süsteemil pole lahendusi - jooned on paralleelsed,
süsteemil on lõpmatu arv lahendeid – sirged langevad kokku.
Vaatlesime süsteemi erijuhtu, kui p(x; y) ja q(x; y) on x ja y lineaarsed avaldised.
Näide 2. Lahenda võrrandisüsteem 
Lahendus:
Esimese võrrandi graafik on sirgjoon, teise võrrandi graafik on ring. Ehitame esimese graafiku punktide kaupa (joonis 2).
Ringjoone keskpunkt on punktis O(0; 0), raadius on 1.
Graafikud lõikuvad punktis A(0; 1) ja punktis B(-1; 0).
Näide 3. Lahendage süsteem graafiliselt
Lahendus: Koostame esimese võrrandi graafiku - see on ring, mille keskpunkt on t.O(0; 0) ja raadius 2. Teise võrrandi graafik on parabool. Seda nihutatakse algpunkti suhtes 2 võrra ülespoole, st. selle tipp on punkt (0; 2) (joon. 3).
Graafikutel on üks ühine punkt – st A(0; 2). See on süsteemi lahendus. Ühendame võrrandisse paar numbrit, et kontrollida, kas see on õige.
Näide 4. Lahendage süsteem
Lahendus: Koostame esimese võrrandi graafiku – see on ring, mille keskpunkt on t.O(0; 0) ja raadius 1 (joonis 4).
Joonistame funktsiooni See on katkendlik joon (joonis 5).
Nüüd liigutame seda piki oy-telge 1 võrra allapoole. See on funktsiooni graafik
Asetame mõlemad graafikud samasse koordinaatsüsteemi (joonis 6).
Saame kolm lõikepunkti - punkt A(1; 0), punkt B(-1; 0), punkt C(0; -1).
Vaatasime süsteemide lahendamise graafilist meetodit. Kui saate iga võrrandi graafiku joonistada ja leida lõikepunktide koordinaadid, on see meetod täiesti piisav.
Kuid sageli võimaldab graafiline meetod leida süsteemile ainult ligikaudse lahenduse või vastata küsimusele lahenduste arvu kohta. Seetõttu on vaja muid, täpsemaid meetodeid ja me käsitleme neid järgmistes tundides.
1. Mordkovich A.G. jt.Algebra 9. klass: Õpik. Üldhariduse jaoks Asutused.- 4. väljaanne. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 lk.: ill.
2. Mordkovich A.G. jt Algebra 9. klass: Ülesannete raamat üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina jt - 4. tr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lk.: ill.
3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. klass: hariv. üldhariduskoolide õpilastele. institutsioonid / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. väljaanne, rev. ja täiendav - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. klass. 16. väljaanne - M., 2011. - 287 lk.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. väljaanne, kustutatud. - M.: 2010. - 224 lk.: ill.
6. Algebra. 9. klass. 2 osas Osa 2. Probleemiraamat üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina jt; Ed. A. G. Mordkovitš. — 12. väljaanne, rev. - M.: 2010.-223 lk.: ill.
1. College.ru matemaatika sektsioon ().
2. Internetiprojekt “Tasks” ().
3. Haridusportaal “LAHENDAN ühtse riigieksami” ().
1. Mordkovich A.G. jt Algebra 9. klass: Ülesannete raamat üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina jt - 4. tr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 lk.: ill. nr 105, 107, 114, 115.
ALGEBRA 9. KLASS
Graafiline meetod
võrrandisüsteemide lahendamine
1. Leidke graafikult:
a) funktsiooni nullid;
b) funktsiooni väärtuste vahemik;
c) funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid;
c) intervallid, milles y ≤0, y≥0.
d ) funktsiooni väikseim väärtus.
1. Valige pakutud valemitest valem, mis
mis määratleb graafikul kujutatud funktsiooni
A ) y = - 3x+1; b) y = 2x+1;
c) y = 3x+1 .
Antud valemite hulgast vali valem, mis
määrab graafikul kujutatud funktsiooni
b) y = - 2x 2 ; c) y = x 2 +1.
a) y = x 2 ;
Valige pakutud valemitest valem, mis määratleb graafikul esitatud funktsiooni.
b) y = 2 x 3; c) y = x 3
a) y = 0,5x3;
Valige pakutud valemitest valem, mis määratleb graafikul esitatud funktsiooni
a) y = 4/x; b) y = -4/x;
Lineaarvõrrand koos
üks muutuja
kirves=b
- Lineaarvõrrand koos
kaks muutujat
Võrrand kahe muutujaga
Kahe muutujaga võrrandi graafik on punktide kogum koordinaattasandil, mille koordinaadid muudavad võrrandi tõeliseks võrrandiks
Võrrand
Väljendage y kuni x
3x+2a=6
2u-x 2 =0
Selle valemi annab ......
Toimib ajakavana
2x+y=0
hüperbool
ruutkeskne
funktsiooni
y = -1,5x+3
Lineaarne
funktsiooni
sirge
y = 0,5 x 2
tagurpidi
proportsionaalsus
y = -2x
parabool
otse, õige
läbi alguse koordin.
sirge
proportsionaalsus
Ellips
X 2 y = 4 (2-y),
y=8/(x 2 +4)
Võrrandisüsteem ja selle lahendus
Definitsioonid
- Võrrandisüsteem on hulk võrrandeid, mis on ühendatud lokkis suludega. Lokkis sulg tähendab, et kõik võrrandid tuleb täita üheaegselt
- Kahe muutujaga võrrandisüsteemi lahendus on muutujate väärtuste paar, mis muudab süsteemi iga võrrandi tõeliseks võrduseks
- Võrrandisüsteemi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või nende puudumise kindlakstegemist
Tee
asendused
Tee
lisamine
Võrrandisüsteemide lahendamise meetodid
Tee
asendused
Tee
lisamine
Graafiline meetod
võrrandisüsteemide lahendamine
1. Väljendage y igas võrrandis x-ga.
2. Koostage graafik ühes koordinaatsüsteemis
iga võrrand.
3. Väljendage y igas võrrandis x-ga.
4. Koostage graafik ühes koordinaatsüsteemis
iga võrrand
5. Määrake lõikepunkti koordinaadid
graafikud.
6.Pane kirja vastus: x=...; y=... või (x; y)
Süsteemne lahendus graafiliselt
Väljendagem y
Koostame graafiku
esimene võrrand
Joonistame teise
võrrandid - ring koos
keskpunkt punktis O(0;0) ja
raadius 2.
Süsteemne lahendus graafiliselt
Väljendagem y
Koostame graafiku
esimene võrrand
Joonistame teise
võrrandid - ring koos
keskpunkt punktis O(0;0) ja
raadius 2.
X 2 +y 2 =4*
Süsteemil on 2 lahendused:
Vastus: (0;2), (-2;0)
1. Alustame laadimist,
Sirutame käed,
Sirutame selga, õlad,
Et meil oleks lihtsam istuda
2. Me keerame ja keerame oma pead.
Sirutame kaela, lõpetame!
Üks, kaks, kolm - kallutage paremale,
Üks, kaks, kolm – nüüd pöörake vasakule.
3. Nüüd lõpeta!
Tõstke käed kõrgemale
Hingake sisse ja välja. Hingame sügavamalt.
Nüüd istume oma töölaudade taha.
Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene kasutas võrrandeid iidsetel aegadel ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Võrrandisüsteem on matemaatiliste võrrandite kogum, millest igaühel on teatud arv muutujaid. Tavapäraselt tähistatakse süsteemi lokkis sulguga ja kõik selle sulu all on süsteemi liikmed. Seda tüüpi süsteemide lahendamiseks kasutatakse palju erinevaid meetodeid.
Võrrandisüsteemi lahendamine tähendab selle kõigi võimalike juurte leidmist või nende puudumise tõestamist. Kahe muutujaga võrrandisüsteemide lahendamiseks kasutatakse tavaliselt järgmisi meetodeid: graafiline meetod, asendusmeetod ja liitmismeetod.
Oletame, et meile antakse süsteem, mis tuleb graafiliselt lahendada järgmise meetodi abil:
\[ \left\(\begin(maatriks) x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end(maatriks)\parem.\]
Võrrandisüsteemi graafiliseks lahendamiseks vajate:
* koostada võrrandite graafikud ühte koordinaatsüsteemi;
* määrata nende graafikute lõikepunktide koordinaadid, mis on süsteemi lahendus;
Valides täielikud ruudud, saame:
Selle põhjal saame:
\[\left\(\begin(maatriks)(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end(maatriks)\parem.\]
Esimese võrrandi graafik \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] on ring, mille keskpunkt \ ja raadius 5. Võrrandite graafikud on toodud joonisel 6.
Teise võrrandi graafik \ on punkte \ ja \ läbiva sirge võrrand. Ehitame raadiusega 5 ringi, mille keskpunkt on punktis \ ja joonestame läbi punktide \ ja \ Need sirged lõikuvad kahes punktis \ ja \
Selle põhjal on süsteemi lahendus: \
Vastus: \[(1;3); (-3;-5);\]
Kust saab võrrandisüsteemi võrgus graafiliselt lahendada?
Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https://site. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil mõne sekundiga lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandid. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Meie veebisaidil saate vaadata ka videojuhiseid ja õppida võrrandit lahendama. Ja kui teil on veel küsimusi, võite neid esitada meie VKontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.
Mõelge järgmistele võrranditele:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Kõik ülaltoodud võrrandid on kahe muutujaga võrrandid. Koordinaatide tasandi punktide hulka, mille koordinaadid muudavad võrrandi õigeks arvuliseks võrdsuseks nimetatakse võrrandi graafik kahes tundmatus.
Võrrandi joonistamine kahes muutujas
Kahe muutujaga võrranditel on palju erinevaid graafikuid. Näiteks võrrandi 2*x + 3*y = 15 korral on graafik sirge, võrrandi x 2 + y 2 = 4 korral on graafik raadiusega 2 ringjoon, võrrandi y* graafik x = 1 on hüperbool jne.
Kahe muutujaga tervetel võrranditel on ka selline mõiste nagu aste. See aste määratakse samamoodi nagu terve ühe muutujaga võrrandi puhul. Selleks viige võrrand kujule, kus vasak pool on standardvormi polünoom ja parem külg on null. Seda tehakse samaväärsete teisenduste kaudu.
Graafiline meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks
Mõelgem välja, kuidas lahendada võrrandisüsteeme, mis koosnevad kahest kahe muutujaga võrrandist. Vaatleme selliste süsteemide lahendamise graafilist meetodit.
Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Koostame esimese ja teise võrrandi graafikud samas koordinaatsüsteemis. Esimese võrrandi graafik on ring, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius 5. Teise võrrandi graafik on allapoole suunduvate harudega parabool.
Kõik graafikute punktid vastavad oma võrrandile. Peame leidma punktid, mis rahuldavad nii esimest kui teist võrrandit. Ilmselgelt on need punktid, kus need kaks graafikut ristuvad.
Meie joonist kasutades leiame nende punktide ristumispunktide koordinaatide ligikaudsed väärtused. Saame järgmised tulemused:
A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).
See tähendab, et meie võrrandisüsteemil on neli lahendit.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4, y4 ≈ -3.
Kui asendame need väärtused oma süsteemi võrrandites, näeme, et esimene ja kolmas lahendus on ligikaudsed ning teine ja neljas on täpsed. Sageli kasutatakse juurte arvu ja nende ligikaudsete piiride hindamiseks graafilist meetodit. Lahendused on sageli pigem ligikaudsed kui täpsed.