See meetod on mõttekas, kui polünoomi aste ei ole madalam kui kaks. Sel juhul võib ühine tegur olla mitte ainult esimese astme, vaid ka kõrgemate astmete binoom.
Ühise leidmiseks faktor polünoomi osas on vaja teha mitmeid teisendusi. Lihtsaim binoom või monoom, mille saab sulgudest välja võtta, on üks polünoomi juurtest. Ilmselt juhul, kui polünoomil pole vaba liiget, on esimeses astmes tundmatu - polünoom, mis võrdub 0-ga.
Raskem leida ühine kordaja on juhul, kui vabaliige ei ole võrdne nulliga. Siis on rakendatavad lihtsa valiku või rühmitamise meetodid. Näiteks olgu kõik polünoomi juured ratsionaalsed ja kõik polünoomi koefitsiendid on täisarvud: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.
Kirjutage üles kõik vaba liikme täisarvu jagajad. Kui polünoomil on ratsionaalsed juured, siis on nad nende hulgas. Valiku tulemusena saadakse juured 2 ja -3. See tähendab, et selle polünoomi ühised tegurid on binoomid (y - 2) ja (y + 3).
Ühine faktooringumeetod on faktoriseerimise üks komponente. Eespool kirjeldatud meetod on rakendatav, kui koefitsient at vanem kraad on võrdne 1-ga. Kui see nii ei ole, tuleb esmalt sooritada rida teisendusi. Näiteks: 2 a³ + 19 a² + 41 a + 15.
Tehke asendus kujul t = 2³·y³. Selleks korrutage kõik polünoomi koefitsiendid 4-ga: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Pärast asendamist: t³ + 19·t² + 82·t + 60. ühise teguri leidmiseks rakendame ülaltoodud meetodit .
Pealegi, tõhus meetodÜhise teguri leidmine on polünoomi elemendid. See on eriti kasulik siis, kui esimene meetod seda ei tee, st. polünoomil pole ratsionaalsed juured. Kuid rühmitused ei ole alati ilmsed. Näiteks: polünoomil y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 pole täisarvujuuri.
Kasutage rühmitamist: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 a) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1) Selle polünoomi elementide ühistegur on (y² - 2).
Korrutamine ja jagamine, nagu liitmine ja lahutamine, on põhilised aritmeetilised tehted. Õppimata lahendama korrutamise ja jagamise näiteid, tekib inimesel palju raskusi mitte ainult keerukamate matemaatikaharude õppimisel, vaid isegi kõige tavalisemates igapäevastes asjades. Korrutamine ja jagamine on omavahel tihedalt seotud ning ühte neist tehtetest hõlmavate näidete ja probleemide tundmatud komponendid arvutatakse teise tehte abil. Samas on vaja selgelt aru saada, et näidete lahendamisel pole absoluutselt vahet, milliseid objekte jagad või korrutad.
Sa vajad
- - korrutustabel;
- - kalkulaator või paberileht ja pliiats.
Juhised
Kirjutage vajalik näide üles. Märgistage tundmatu faktor kui X. Näide võib välja näha selline: a*x=b. Näites oleva teguri a ja korrutise b asemel võivad olla suvalised numbrid või numbrid. Pidage meeles korrutamise põhiprintsiipi: tegurite kohtade muutmine ei muuda korrutist. Nii tundmatu faktor x saab paigutada absoluutselt kõikjale.
Et leida tundmatut faktor näites, kus on ainult kaks tegurit, peate lihtsalt jagama toote teadaolevaga faktor. See tähendab, et see on tehtud järgmisel viisil: x=b/a. Kui teil on abstraktsete suurustega opereerimine keeruline, proovige seda probleemi vormil esitada konkreetsed esemed. Sina, sul on ainult õunad ja kui palju sa neid sööd, aga sa ei tea, kui palju õunu kõik saavad. Näiteks teil on 5 pereliiget ja õunu on 15. Märkige iga jaoks mõeldud õunte arv x-ga. Siis näeb võrrand välja selline: 5(õunad)*x=15(õunad). Tundmatu faktor leitakse samamoodi nagu tähtedega võrrandis ehk jaga viie pereliikme vahel 15 õuna, lõpuks selgub, et igaüks sõi 3 õuna.
Samamoodi leitakse tundmatu faktor tegurite arvuga. Näiteks näeb näide välja selline: a*b*c*x*=d. Teoreetiliselt leia koos faktor see on võimalik samamoodi nagu hilisemas näites: x=d/a*b*c. Kuid võrrandit saab taandada rohkemaks lihtne vaade, mis tähistab teadaolevate tegurite korrutist teise tähega - näiteks m. Korrutades leia, mis m võrdub numbrid a,b ja c: m=a*b*c. Siis saab kogu näite esitada kujul m*x=d ja tundmatu suurus võrdub x=d/m.
Kui on teada faktor ja korrutis on murd, näide lahendatakse täpselt samamoodi nagu . Kuid sel juhul peate toiminguid meeles pidama. Murdude korrutamisel korrutatakse nende lugejad ja nimetajad. Murdude jagamisel korrutatakse dividendi lugeja jagaja nimetajaga ning dividendi nimetaja jagaja lugejaga. See tähendab, et antud juhul näeb näide välja selline: a/b*x=c/d. Tundmatu koguse leidmiseks tuleb toode teadaolevaga jagada faktor. See tähendab, et x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Video teemal
Märge
Murdudega näidete lahendamisel saab teadaoleva teguri murdosa lihtsalt ümber pöörata ja toimingu sooritada murdude korrutamisena.
Polünoom on monomialide summa. Monoom on mitme teguri korrutis, milleks on arv või täht. Kraad teadmata on see, mitu korda see korrutatakse iseendaga.
Juhised
Esitage see, kui seda pole veel tehtud. Sarnased monomiaalid on sama tüüpi monomiaalid, st samade tundmatutega monooomid samal määral.
Võtke näiteks polünoom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Sellel polünoomil on kaks tundmatut – x ja y.
Ühendage sarnased monomid. Monoomid y teise ja x kolmanda astmega saavad kujule y²*x³ ning y neljanda astmega monomiaalid tühistavad. Selgub, et y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Võtke y peamise tundmatu tähena. Leidke tundmatu y maksimaalne aste. See on monoom y²*x³ ja vastavalt aste 2.
Tehke järeldus. Kraad polünoom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² x-is võrdub kolmega ja y-s on võrdne kahega.
Leidke kraad polünoom√x+5*y y võrra. See on võrdne maksimaalne aste y, see tähendab üks.
Leidke kraad polünoom√x+5*y x-is. Tundmatu x asub, mis tähendab, et selle aste on murdosa. Kuna juur on ruutjuur, on x võimsus 1/2.
Tehke järeldus. Sest polünoom√x+5*y x võimsus on 1/2 ja y võimsus on 1.
Video teemal
Lihtsustamine algebralised avaldised nõutav paljudes matemaatika valdkondades, sealhulgas võrrandite lahendamises kõrgemad kraadid, diferentseerimine ja integreerimine. Kasutatakse mitmeid meetodeid, sealhulgas faktoriseerimist. Selle meetodi rakendamiseks peate leidma ja tegema üldise faktor taga sulgudes.
Algselt tahtsin lisada murdude liitmise ja lahutamise jaotisesse ühisnimetaja tehnikad. Kuid teavet oli nii palju ja selle tähtsus oli nii suur (lõppude lõpuks mitte ainult arvmurrud), et parem on seda teemat eraldi uurida.
Oletame, et meil on kaks murdu erinevad nimetajad. Ja me tahame tagada, et nimetajad muutuksid samaks. Appi tuleb murdosa põhiomadus, mis, tuletan meelde, kõlab järgmiselt:
Murd ei muutu, kui selle lugeja ja nimetaja korrutatakse sama arvuga, mis ei ole null.
Seega, kui valite tegurid õigesti, muutuvad murdude nimetajad võrdseks - seda protsessi nimetatakse ühiseks nimetajaks taandamiseks. Ja vajalikke numbreid, nimetajaid “ühtlustada”, nimetatakse lisateguriteks.
Miks on vaja murde taandada ühiseks nimetajaks? Siin on vaid mõned põhjused.
- Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine. Selle toimingu tegemiseks pole muud võimalust;
- Murdude võrdlemine. Mõnikord lihtsustab ühisnimetaja taandamine seda ülesannet oluliselt;
- Murrude ja protsentidega seotud ülesannete lahendamine. Protsendid on tegelikult tavalised avaldised, mis sisaldavad murde.
On mitmeid viise, kuidas leida numbreid, mis nendega korrutades muudavad murdude nimetajad võrdseks. Vaatleme neist ainult kolme - keerukuse ja teatud mõttes tõhususe suurenemise järjekorras.
Ristkorrutis
Kõige lihtsam ja usaldusväärne viis, mis garanteeritult võrdsustab nimetajaid. Tegutseme "ülepeakaela": korrutame esimese murru teise murru nimetajaga ja teise esimese murru nimetajaga. Selle tulemusel saavad mõlema murru nimetajad võrdne tootega algsed nimetajad. Vaata:
Täiendavate teguritena võtke arvesse naabermurdude nimetajaid. Saame:
Jah, see on nii lihtne. Kui alles alustate murdude uurimist, on parem kasutada seda meetodit – nii kindlustate end paljude vigade vastu ja tulemuseni jõudmine on garanteeritud.
Ainus puudus seda meetodit- peate palju lugema, sest nimetajad korrutatakse "läbi" ja tulemus võib olla väga suured numbrid. See on hind, mida tuleb usaldusväärsuse eest maksta.
Ühine jagamise meetod
See tehnika aitab arvutusi märkimisväärselt vähendada, kuid kahjuks kasutatakse seda üsna harva. Meetod on järgmine:
- Enne kui lähete otse edasi (st kasutate ristimeetodit), vaadake nimetajaid. Võib-olla on üks neist (see, mis on suurem) teiseks jagatud.
- Sellest jagamisest tulenev arv on väiksema nimetajaga murru lisategur.
- Sel juhul ei pea suure nimetajaga murdosa üldse millegagi korrutama – siin peitubki sääst. Samal ajal väheneb järsult vea tõenäosus.
Ülesanne. Otsige välja väljendite tähendused:
Pange tähele, et 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Kuna mõlemal juhul jagatakse üks nimetaja ilma jäägita teisega, kasutame ühistegurite meetodit. Meil on:
Pange tähele, et teist murru ei korrutatud üldse mitte millegagi. Tegelikult vähendasime arvutusmahtu poole võrra!
Muide, ma ei võtnud selle näite murde juhuslikult. Kui olete huvitatud, proovige need üles lugeda ristimeetodil. Pärast vähendamist on vastused samad, kuid tööd on palju rohkem.
See on meetodi tugevus ühised jagajad, kuid kordan, seda saab kasutada ainult juhul, kui üks nimetajatest jagatakse teisega ilma jäägita. Mida juhtub üsna harva.
Kõige vähem levinud mitmekordne meetod
Kui taandame murde ühise nimetajani, püüame sisuliselt leida arvu, mis jagub iga nimetajaga. Seejärel toome selle arvuni mõlema murru nimetajad.
Selliseid numbreid on palju ja väikseim neist ei pruugi olla võrdne otsene toode algsete murdude nimetajad, nagu eeldatakse ristlõike meetodis.
Näiteks nimetajate 8 ja 12 jaoks on arv 24 üsna sobiv, kuna 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. See arv on palju vähem toodet 8 12 = 96.
Nai väiksem arv, mis jagub iga nimetajaga, nimetatakse nende vähimaks ühiskordseks (LCM).
Tähistus: a ja b vähim ühiskordne on tähistatud LCM(a ; b) . Näiteks LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.
Kui teil õnnestub selline arv leida, on arvutuste kogusumma minimaalne. Vaadake näiteid:
Ülesanne. Otsige välja väljendite tähendused:
Pange tähele, et 234 = 117 2; 351 = 117 3. Tegurid 2 ja 3 on koprime (ei ole muid ühiseid tegureid peale 1) ja tegur 117 on ühine. Seetõttu LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Samamoodi 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Tegurid 3 ja 4 on koaprime ja tegur 5 on tavaline. Seetõttu LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Toome nüüd murrud ühisnimetajateni:
Pange tähele, kui kasulik oli algsed nimetajad faktoriseerida:
- Olles avastanud identsed tegurid, jõudsime kohe vähima ühiskordseni, mis üldiselt on mittetriviaalne probleem;
- Saadud laiendusest saate teada, millised tegurid on igas murdosas "puuduvad". Näiteks 234 · 3 = 702, seega on esimese murru lisategur 3.
Et mõista, kui palju erinevust teeb kõige vähem levinud mitmekordne meetod, proovige neid samu näiteid arvutada ristimeetodi abil. Muidugi ilma kalkulaatorita. Arvan, et pärast seda on kommentaarid tarbetud.
Ärge arvake, et selliseid on kompleksmurrud päris näidetes nii ei ole. Nad kohtuvad kogu aeg ja ülaltoodud ülesanded pole piiriks!
Ainus probleem on selles, kuidas seda NOC-i leida. Mõnikord leitakse kõik mõne sekundiga, sõna otseses mõttes "silma järgi", kuid üldiselt on see keeruline arvutusülesanne, mis nõuab eraldi kaalumist. Me ei puuduta seda siin.
Chichaeva Darina 8. klass
Töös kirjeldas 8. klassi õpilane polünoomi faktoriseerimise reeglit, jättes ühisteguri sulgudest välja, koos üksikasjaliku protseduuriga paljude selleteemaliste näidete lahendamiseks. Iga käsitletud näite jaoks pakutakse 2 näidet sõltumatu otsus, millele on vastused. Töö aitab teil õppida see teema need õpilased, kes seda mingil põhjusel 7. klassi programmimaterjali läbides ja (või) pärast suvevaheaega 8. klassi algebrakursust kordades ei õppinud.
Lae alla:
Eelvaade:
Valla eelarveline õppeasutus
keskmine üldhariduslik kool №32
"UNESCO assotsieerunud kool "Eureka arendus"
Volžski, Volgogradi piirkond
Töö lõpetatud:
8B klassi õpilane
Chichaeva Darina
Volžski
2014
Ühise teguri väljavõtmine sulgudest
- - Üks võimalus polünoomi faktoriseerimiseks onühisteguri sulgudest välja panemine;
- - Üldkordaja sulgudest välja võtmisel rakendatakse sedajaotusvara;
- - Kui polünoomi kõik liikmed sisaldavadühine tegur siis selle teguri võib sulgudest välja võtta.
Võrrandite lahendamisel, arvutustes ja paljudes muudes ülesannetes võib olla kasulik asendada polünoomi mitme polünoomi korrutisega (mis võib sisaldada monoomi). Polünoomi esitamist kahe või enama polünoomi korrutisena nimetatakse polünoomi faktoriseerimiseks.
Mõelge polünoomile 6a 2 b+15b 2 . Iga selle terminit saab asendada kahe teguri korrutisega, millest üks on võrdne 3b: →6a 2 b = 3b*2a2, + 15b 2 = 3b*5b →sellest saame: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.
Saadud avaldis põhineb jaotusomadused korrutamist saab esitada kahe teguri korrutisena. Üks neist on tavaline kordaja 3b , ja teine on summa 2a 2 ja 5b → 3b*2a 2 +3b*5b=3b (2a 2 +5b) → Seega laiendasime polünoomi: 6a 2 b+15b 2 teguriteks, esitades seda monomiaali korrutisena 3b ja polünoom 2a 2 +5b. See meetod polünoomi faktoriseerimist nimetatakse ühisteguri sulgudest välja võtmiseks.
Näited:
Arvestage seda:
A) kx-px.
kordaja x x paneme selle sulgudest välja.
kx:x=k; px:x=p.
Saame: kx-px=x*(k-p).
b) 4a-4b.
kordaja 4 eksisteerib nii 1. kui ka 2. ametiajal. Sellepärast 4 paneme selle sulgudest välja.
4a:4=a; 4b:4=b.
Saame: 4a-4b=4*(a-b).
c) -9m-27n.
9m ja -27n jaguvad -9-ga . Seetõttu võtame numbrilise teguri sulgudest välja-9.
9 m: (-9) = m; -27n: (-9) = 3n.
Meil on: -9m-27n=-9*(m+3n).
d) 5a 2-15 a.
5 ja 15 jaguvad 5-ga; y 2 ja y on jagatud y-ga.
Seetõttu võtame ühisteguri sulgudest välja 5у.
5y2: 5y=y; -15 a: 5 a = -3.
Niisiis: 5a 2 -15a=5a*(y-3).
Kommentaar: Kahe kraadiga koos samal alusel võtame astme välja madalama astendajaga.
e) 16у 3 + 12у 2.
16 ja 12 jaguvad 4-ga; y 3 ja y 2 jagatakse y 2-ga.
Nii et ühine tegur 4a 2 .
16 a 3 : 4 a 2 = 4 a; 12a 2: 4a 2 =3.
Selle tulemusena saame: 16 a 3 + 12 a 2 = 4 a 2 * (4 a + 3).
f) Polünoomi kordamine 8b(7y+a)+n(7y+a).
IN see väljend näeme, et sama tegur on olemas(7a+a) , mille saab sulgudest välja võtta. Niisiis, saame:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).
g) a(b-c)+d(c-b).
Avaldised b-c ja c-b on vastandlikud. Seetõttu, et muuta need samaks, enne d muutke "+" märgiks "-":
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).
Sõltumatute lahenduste näited:
- mx+minu;
- ah+ai;
- 5x+5y ;
- 12x+48 a;
- 7ax+7bx;
- 14x+21 a;
- –ma-a;
- 8mn-4m2;
- -12 a 4 -16 a;
- 15a 3 -30a 2;
- 5c(y-2c)+y2 (y-2c);
- 8m(a-3)+n(a-3);
- x(y-5)-y(5-y);
- 3a(2x-7)+5b(7-2x);
Vastused.
1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12 (x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7 (2x+3 a); 7) -а(m+1); 8) 4m (2n-m);
9) -4a (3a 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c) (5c+y 2); 12) (a-3) (8m+n); 13) (y-5) (x+y); 14) (2x-7) (3a-5b).
Murdude vähendamiseks väikseima ühisnimetajani peate: 1) leidma antud murdude nimetajate väikseima ühiskordse, see on väikseim ühisnimetaja. 2) leida igale murrule lisategur, miks jagada uus nimetaja iga murru nimetajani. 3) korrutada iga murru lugeja ja nimetaja selle lisateguriga.
Näited. Vähendage järgmised murded nende väikseima ühisnimetajani.
Leiame nimetajate väikseima ühiskordse: LCM(5; 4) = 20, kuna 20 on väikseim arv, mis jagub nii 5 kui ka 4-ga. Leidke 1. murru jaoks lisategur 4 (20 : 5=4). Teise murru puhul on lisategur 5 (20 : 4=5). Korrutame 1. murru lugeja ja nimetaja 4-ga ning 2. murru lugeja ja nimetaja 5-ga. Oleme need murrud taandanud väikseima ühisnimetajani ( 20 ).
Nende murdude väikseim ühisnimetaja on arv 8, kuna 8 jagub 4-ga ja iseendaga. Esimesele murdarvule (või võib öelda, et see) lisategurit ei lisandu võrdne ühega), on 2. murru lisategur 2 (8 : 4=2). Korrutame 2. murru lugeja ja nimetaja 2-ga. Oleme need murrud taandanud väikseima ühisnimetajani ( 8 ).
Need fraktsioonid ei ole taandamatud.
Vähendame esimest murru 4 võrra ja teist murru 2 võrra. ( vaata näiteid lühendite kohta tavalised murrud: Saidikaart → 5.4.2. Näited harilike murdude vähendamisest). Leidke LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. 1. murru lisakordaja on 5 (80 : 16=5). 2. murru lisategur on 4 (80 : 20=4). Korrutame 1. murru lugeja ja nimetaja 5-ga ning 2. murru lugeja ja nimetaja 4-ga. Oleme need murded taandanud väikseima ühisnimetajani ( 80 ).
Leiame väikseima ühisnimetaja NCD(5 ; 6 ja 15)=NOK(5 ; 6 ja 15) = 30. 1. murru lisategur on 6 (30 : 5=6), on 2. murru lisategur 5 (30 : 6=5), on 3. murru lisategur 2 (30 : 15=2). Korrutame 1. murru lugeja ja nimetaja 6-ga, 2. murru lugeja ja nimetaja 5-ga, 3. murru lugeja ja nimetaja 2-ga. Oleme need murrud taandanud väikseima ühisnimetajani ( 30 ).
Lehekülg 1/1 1
\(5x+xy\) saab esitada kui \(x(5+y)\). See on tegelikult identsed väljendid, saame seda kontrollida, kui avame sulud: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Nagu näete, saame selle tulemusel algse väljendi. See tähendab, et \(5x+xy\) on tõepoolest võrdne \(x(5+y)\). Muide, see on usaldusväärne viis ühistegurite õigsuse kontrollimiseks – avage saadud sulg ja võrrelge tulemust algse avaldisega.
Klambrite põhireegel:
Näiteks avaldises \(3ab+5bc-abc\) saab sulust välja võtta ainult \(b\), kuna see on ainus, mis esineb kõigis kolmes terminis. Tavaliste tegurite sulgudest eemaldamise protsess on näidatud alloleval diagrammil:
Sulgude reeglid
Matemaatikas on kombeks kõik levinud tegurid korraga välja võtta.
Näide:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Pange tähele, et siin saame laiendada nii: \(3(xy-xz)\) või järgmiselt: \(x(3y-3z)\). Need oleksid aga mittetäielikud lagunemised. Nii C kui ka X tuleb välja võtta.
Mõnikord pole ühised liikmed kohe näha.
Näide:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Sel juhul oli levinud termin (viis) peidetud. Kuid kui oleme laiendanud \(10\) kui \(2\) korrutatuna \(5\) ja \(15\) kui \(3\) korrutatuna \(5\) -ga, tõmbasime viis Jumala valgus”, misjärel nad said selle hõlpsasti sulgudest välja võtta.
Kui monoom täielikult eemaldada, jääb üks sellest alles.
Näide: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Panime \(x\) sulgudest välja ja kolmas monoom koosneb ainult x-ist. Miks keegi sellest alles jääb? Sest kui suvaline avaldis korrutada ühega, siis see ei muutu. See tähendab, et seda sama \(x\) saab esitada kui \(1\cdot x\). Siis on meil järgmine teisenduste ahel:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Pealegi on see ainus Õige tee eemaldamine, sest kui me ühte ei jäta, siis sulud avades ei naase me algse väljendi juurde. Tõepoolest, kui teeme ekstraheerimise nii \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), siis laiendamisel saame \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Kolmas liige on puudu. See tähendab, et selline väide on vale.
Suludest väljapoole saab asetada miinusmärgi ja sulgudes olevate terminite märgid on vastupidised.
Näide:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Sisuliselt paneme siin välja "miinus ühe", mida saab "valida" mis tahes monomiaali ees, isegi kui selle ees polnud miinust. Kasutame siin tõsiasja, et ühe saab kirjutada kujul \((-1) \cdot (-1)\). Siin on sama näide, mida on üksikasjalikult kirjeldatud:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Tavaliseks teguriks võib olla ka sulg.
Näide:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Sellise olukorraga (sulgudest sulgude eemaldamine) puutume kokku kõige sagedamini faktoriseerimisel rühmitusmeetodi või