Veebileht “Professionaalne matemaatika juhendaja” jätkab õpetamise teemaliste metoodiliste artiklite sarja. Avaldan oma töö meetodite kirjeldused kõige keerulisemate ja probleemsed teemad kooli õppekava. See materjal on kasulikud 8.-11. klassi õpilastega töötavatele matemaatikaõpetajatele ja juhendajatele tavaline programm, ja matemaatikatundide programmi järgi.
Matemaatikaõpetaja ei suuda alati õpikus halvasti esitatud materjali seletada. Paraku tuleb selliseid teemasid aina juurde ja massiliselt tehakse käsiraamatute autoreid järgivaid esitlusvigu. See kehtib mitte ainult alustavate matemaatikajuhendajate ja osalise tööajaga juhendajate kohta (tuutoriteks on üliõpilased ja ülikoolide juhendajad), vaid ka kogenud õpetajate, professionaalsete juhendajate, kogemuste ja kvalifikatsiooniga juhendajate kohta. Pädeva kareduse korrigeerija talent kooliõpikud Kõigil matemaatikaõpetajatel seda pole. Kõik ei saa ka aru, et need parandused (või täiendused) on vajalikud. Vähesed lapsed on kaasatud materjali kohandamisse, et lapsed seda kvalitatiivselt tajuksid. Paraku on möödas aeg, mil matemaatikaõpetajad koos metoodikute ja publikatsioonide autoritega massiliselt arutlesid õpiku iga tähe üle. Varem, enne õpiku koolidesse ilmumist, tehti tõsiseid õpitulemuste analüüse ja uuringuid. Kätte on jõudnud amatööride aeg, kes püüavad muuta õpikud universaalseks, kohandades neid tugevate matemaatikatundide standarditele.
Võidujooks teabe hulga suurendamise pärast toob kaasa ainult selle assimilatsiooni kvaliteedi languse ja sellest tulenevalt teabe taseme languse. tõelised teadmised matemaatika. Kuid keegi ei pööra sellele tähelepanu. Ja meie lapsed on sunnitud juba 8. klassis õppima seda, mida me instituudis õppisime: tõenäosusteooriat, võrrandite lahendamist. kõrged kraadid ja veel midagi. Raamatute materjali kohandamine lapse täielikuks tajumiseks jätab soovida ja matemaatikaõpetaja on sunnitud sellega kuidagi toime tulema.
Räägime metoodikast sellise konkreetse teema õpetamiseks nagu „polünoomi jagamine polünoomiga nurgaga”, mida täiskasvanute matemaatikas tuntakse paremini kui „Bezouti teoreemi ja Horneri skeemi”. Veel paar aastat tagasi polnud küsimus matemaatikaõpetaja jaoks nii pakiline, sest see ei kuulunud kooli õppekava. Nüüd on Teljakovski toimetatud õpiku lugupeetud autorid teinud minu arvates parima õpiku viimases väljaandes muudatusi ja, olles selle täielikult ära rikkunud, lisasid juhendajale vaid asjatut muret. Matemaatika staatust mitteomavate koolide ja klasside õpetajad, kes keskendusid autorite uuendustele, hakkasid oma tundidesse sagedamini lisama lisalõike ning uudishimulikud lapsed, vaadates oma matemaatikaõpiku ilusaid lehti, küsivad üha enam juhendaja: “Mis see nurga järgi jaotus on? Kas me elame selle läbi? Kuidas nurka jagada? Nii otseste küsimuste eest ei peitu enam. Juhendaja peab lapsele midagi ütlema.
Aga? Tõenäoliselt poleks ma teemaga töötamise meetodit kirjeldanud, kui see oleks õpikutes asjatundlikult esitatud. Kuidas meil kõik läheb? Õpikud tuleb trükkida ja müüa. Ja selleks tuleb neid regulaarselt värskendada. Kas ülikooli õppejõud kurdavad, et lapsed tulevad nende juurde tühja peaga, teadmiste ja oskusteta? Nõuded, et matemaatilisi teadmisi kasvab? Suurepärane! Eemaldame mõned harjutused ja lisame selle asemel teemad, mida muudes programmides õpitakse. Miks on meie õpik halvem? Lülitame mõned sisse täiendavad peatükid. Koolilapsed ei tea nurgaga jagamise reeglit? Sama elementaarne matemaatika. See lõik tuleks muuta vabatahtlikuks, pealkirjaga „neile, kes soovivad rohkem teada”. Kas juhendajad on selle vastu? Miks me üldiselt juhendajatest hoolime? Selle vastu on ka metoodikud ja kooliõpetajad? Me ei tee materjali keeruliseks ja kaalume selle kõige lihtsamat osa.
Ja siit see algab. Teema lihtsus ja selle assimilatsiooni kvaliteet seisneb ennekõike selle loogika mõistmises, mitte aga teatud toimingute komplekti sooritamises vastavalt õpiku autorite juhistele, mis ei ole üksteisega selgelt seotud. . Vastasel juhul on õpilase peas udu. Kui autorite arvutused põhinevad suhteliselt tugevad õpilased(aga tavaprogrammis õppides), siis ei tohiks teemat käsuvormis esitada. Mida me õpikus näeme? Lapsed, me peame selle reegli järgi jagama. Hankige polünoom nurga all. Seega algpolünoom faktoriseeritakse. Samas jääb arusaamatuks, miks nurga all olevad terminid on just nii valitud, miks tuleb need nurga kohal oleva polünoomiga korrutada ja siis praegusest jäägist lahutada. Ja mis kõige tähtsam, pole selge, miks tuleb valitud monoomid lõpuks lisada ja miks on saadud sulud algse polünoomi laiendus. Iga pädev matemaatik paneb julge märk küsimus üle õpikus antud selgituste.
Toon juhendajate ja matemaatikaõpetajate ette oma ülesande lahenduse, mis teeb õpilasele praktiliselt kõik õpikus kirjas oleva ilmselgeks. Tegelikult tõestame Bezouti teoreemi: kui arv a on polünoomi juur, siis saab selle polünoomi lagundada teguriteks, millest üks on x-a ja teine saadakse algsest kolmel viisil: lineaarse teguri isoleerimisega teisenduste, nurgaga jagamise või Horneri skeemi abil. Just selle sõnastusega on matemaatikaõpetajal lihtsam töötada.
Mis on õpetamise metoodika? Esiteks on see selge järjekord selgituste ja näidete jadas, mille põhjal tehakse matemaatilised järeldused. See teema pole erand. Matemaatikaõpetajal on väga oluline tutvustada lapsele Bezouti teoreemi enne nurgaga jagamist. See on väga tähtis! Parim viis mõistmise saavutamiseks on konkreetne näide. Võtame mõne valitud juurega polünoomi ja näitame selle teguriks arvestamise tehnikat koolilastele juba 7. klassist tuttaval meetodil. identiteedi transformatsioonid. Matemaatika juhendaja asjakohaste selgituste, rõhuasetuste ja näpunäidetega on materjali edasiandmine täiesti võimalik ilma üldiste matemaatiliste arvutusteta, suvaliste koefitsientide ja kraadideta.
Oluline nõuanne matemaatikaõpetajale- järgige juhiseid algusest lõpuni ja ärge muutke seda järjestust.
Niisiis, oletame, et meil on polünoom. Kui asendame selle X asemel arvu 1, võrdub polünoomi väärtus nulliga. Seetõttu on x=1 selle juur. Proovime jagada kaheks terminiks nii, et üks neist oleks korrutis lineaarne avaldis ja mõni monomial ning teisel oleks kraad ühe võrra väiksem kui . See tähendab, et kujutame seda vormis
Valime punase välja jaoks monomiaali nii, et kui korrutada juhtliikmega, langeb see täielikult kokku algse polünoomi juhtliikmega. Kui õpilane ei ole kõige nõrgem, suudab ta matemaatikaõpetajale öelda nõutava väljendi: . Kohe tuleb paluda juhendajal see punasele väljale sisestada ja näidata, mis nende avamisel juhtub. See virtuaalne ajutine polünoom on kõige parem allkirjastada noolte all (väikese foto all), tuues selle esile mõne värviga, näiteks sinisega. See aitab teil valida punase välja jaoks termini, mida nimetatakse valiku ülejäänud osaks. Soovitaksin juhendajatel siinkohal märkida, et selle jäägi saab leida lahutamise teel. Selle toimingu sooritamisel saame:
Matemaatika juhendaja peaks juhtima õpilase tähelepanu asjaolule, et asendades selle võrdusse ühe, saame garanteeritult selle vasakule küljele nulli (kuna 1 on algse polünoomi juur) ja paremal poolel on loomulikult nullib ka esimese ametiaja. See tähendab, et ilma igasuguse kontrollita võime öelda, et üks on "rohelise jäägi" juur.
Käsitleme seda samamoodi nagu algse polünoomiga, eraldades sellest sama lineaarse teguri. Matemaatika juhendaja joonistab õpilase ette kaks raami ja palub täita vasakult paremale.
Üliõpilane valib juhendajale punase välja monomiaali, nii et korrutatuna lineaaravaldise juhtliikmega saadakse laieneva polünoomi juhtliikmeks. Paigaldame selle raami, avame kohe sulg ja tõstame sinisega esile avaldise, mis tuleb kokkupandavast avaldisest lahutada. Selle toimingu sooritamisel saame
Ja lõpuks, tehes sama viimase jäägiga
lõpuks saame selle kätte
Nüüd võtame avaldise sulust välja ja näeme algse polünoomi lagunemist teguriteks, millest üks on "x miinus valitud juur".
Et õpilane ei mõtleks, et viimane "roheline jääk" lagunes kogemata vajalikeks teguriteks, peaks matemaatika juhendaja tähelepanu juhtima oluline vara kõigist rohelistest jääkidest - igaühel neist on juur 1. Kuna nende jääkide astmed vähenevad, siis mis tahes algpolünoomi aste meile antakse, saame varem või hiljem lineaarse "rohelise jäägi" juurega 1 ja seetõttu laguneb see paratamatult korrutiseks mingi arvu ja avaldise.
Pärast seda ettevalmistustööd Matemaatikaõpetajal ei ole raske õpilasele selgitada, mis juhtub nurgaga jagamisel. See on sama protsess, ainult lühemal ja kompaktsemal kujul, ilma võrdusmärkideta ja ilma samu esiletõstetud termineid ümber kirjutamata. Polünoom, millest lineaartegur eraldatakse, kirjutatakse nurgast vasakule, valitud punased monoomid kogutakse nurga all (nüüd saab selgeks, miks need peaksid kokku liitma), et saada "sinised polünoomid", "punane". ” ühed tuleb korrutada x-1-ga ja seejärel lahutada hetkel valitud väärtusest, kuidas seda tehakse, kui tavaline jaotus numbrid veerus (siin on analoogia varem uurituga). Saadud "rohelised jäägid" alluvad uuele isoleerimisele ja "punaste monomialide" valikule. Ja nii edasi, kuni saavutate "rohelise tasakaalu" nulli. Kõige tähtsam on, et õpilane mõistaks edasine saatus kirjalikud polünoomid nurga kohal ja all. Ilmselgelt on need sulud, mille korrutis on võrdne algse polünoomiga.
Matemaatikaõpetaja töö järgmine etapp on Bezouti teoreemi sõnastamine. Tegelikult muutub selle formuleerimine juhendaja sellise lähenemisviisiga ilmseks: kui arv a on polünoomi juur, siis saab selle faktoriseerida, millest üks on , ja teine saadakse algsest ühel kolmest viisist. :
- otsene lagunemine (analoogselt rühmitusmeetodile)
- nurgaga jagamine (veerus)
- Horneri vooluringi kaudu
Peab ütlema, et mitte kõik matemaatikajuhendajad ei näita õpilastele sarveskeemi ja mitte kõik kooli õpetajad(tuutorite endi õnneks) lähevad nad tundides nii sügavale teemasse. Küll aga õpilasele matemaatika tund Ma ei näe põhjust peatuda pika jagamise juures. Pealegi on kõige mugavam ja kiire Lagundamise tehnika põhineb täpselt Horneri skeemil. Selleks, et lapsele selgitada, kust see pärineb, piisab, kui nurgaga jagamise näitel jälgida rohelistes jääkides suuremate koefitsientide ilmumist. Selgeks saab, et algpolünoomi juhtiv koefitsient kantakse esimese "punase monoomi" koefitsiendisse ja kaugemal praeguse ülemise polünoomi teisest koefitsiendist maha arvata"punase monoomi" voolukoefitsiendi korrutamise tulemus. Seetõttu on see võimalik lisama-ga korrutamise tulemus. Pärast õpilase tähelepanu koondamist koefitsientidega toimingute spetsiifikale saab matemaatikajuhendaja näidata, kuidas neid toiminguid tavaliselt tehakse ilma muutujaid endid salvestamata. Selleks on mugav järgmisesse tabelisse sisestada algpolünoomi juur ja koefitsiendid paremusjärjestuses:
Kui polünoomil puudub mõni aste, sunnitakse selle nullkoefitsient tabelisse. "Punaste polünoomide" koefitsiendid kirjutatakse alumisele reale vastavalt "konksu" reeglile: 
Juur korrutatakse viimase punase koefitsiendiga, lisatakse ülemise rea järgmisele koefitsiendile ja tulemus kirjutatakse alumisele reale. Viimases veerus saame garanteeritult viimase “rohelise jäägi” kõrgeima koefitsiendi, see tähendab nulli. Pärast protsessi lõppu numbrid sobitatud juure ja nulljäägi vahele osutuvad teise (mittelineaarse) teguri koefitsientideks.
Kuna juur a annab alumise rea lõpus nulli, saab Horneri skeemi kasutada polünoomi juure pealkirja arvude kontrollimiseks. Kui eriteoreem ratsionaalse juure valiku kohta. Kõik selle abiga saadud tiitlikandidaadid sisestatakse lihtsalt vasakult kordamööda Horneri diagrammi. Niipea kui saame nulli, on testitud arv juur ja samal ajal saame selle reale algse polünoomi faktoriseerimise koefitsiendid. Väga mugav.
Kokkuvõtteks tahan märkida, et nii Horneri skeemi täpseks tutvustamiseks kui ka teema praktiliseks kinnistamiseks peab matemaatika juhendaja käsutuses olema piisav arv tunde. “Kord nädalas” režiimiga töötav juhendaja ei tohiks tegeleda nurgajaotusega. Matemaatika ühtse riigieksami ja riikliku matemaatika matemaatika akadeemia kohta on ebatõenäoline, et esimeses osas kohtate kunagi kolmanda astme võrrandit, mida saab selliste vahenditega lahendada. Kui juhendaja valmistab last Moskva Riiklikus Ülikoolis matemaatikaeksamiks ette, muutub teema õppimine kohustuslikuks. Erinevalt ühtse riigieksami koostajatest meeldib ülikooli õppejõududele väga proovile panna taotleja teadmiste sügavus.
Kolpakov Aleksander Nikolajevitš, matemaatikaõpetaja Moskva, Strogino
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.
Tunni tüüp: Õppetund esmaste teadmiste valdamiseks ja kinnistamiseks.
Tunni eesmärk:
- Tutvustage õpilastele polünoomi juurte mõistet ja õpetage neid leidma. Täiendage Horneri skeemi kasutamise oskusi polünoomi astmetega laiendamiseks ja polünoomi binoomiga jagamiseks.
- Õppige Horneri skeemi abil võrrandi juuri leidma.
- Arendage abstraktset mõtlemist.
- Edendada arvutikultuuri.
- Interdistsiplinaarsete sidemete arendamine.
Tundide ajal
1. Organisatsioonimoment.
Teavita tunni teemat, sõnasta eesmärgid.
2. Kodutööde kontrollimine.
3. Uue materjali õppimine.
Olgu Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n-astmega polünoom x jaoks, kus a 0, a 1,...,a n on antud arvud ja a 0 ei võrdu 0-ga. Kui polünoom F n (x) jagatakse jäägiga binoom x-a, siis jagatis (mittetäielik jagatis) on polünoom Q n-1 (x) astmega n-1, jääk R on arv ja võrdsus on tõene F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) +R. Polünoom F n (x) jagub binoomiga (x-a) ainult juhul, kui R=0.
Bezouti teoreem: Jääk R polünoomi F n (x) jagamisel binoomiga (x-a) võrdub polünoomi F n (x) väärtusega x=a, s.o. R = Pn(a).
Natuke ajalugu. Vaatamata näilisele lihtsusele ja ilmsusele on Bezouti teoreem üks fundamentaalsed teoreemid polünoomiteooria. See teoreem seob polünoomide algebralisi omadusi (mis võimaldavad meil töötada polünoomidega täisarvudena) nende omadustega. funktsionaalsed omadused(mis võimaldavad polünoome käsitleda funktsioonidena). Üks võimalus kõrgema astme võrrandite lahendamiseks on võrrandi vasakul küljel oleva polünoomi koefitsient. Polünoomi ja jäägi koefitsientide arvutamine on kirjutatud tabeli kujul, mida nimetatakse Horneri skeemiks.
Horneri skeem on polünoomide jagamise algoritm, mis on kirjutatud erijuhuks, kui jagatis on võrdne binoomiga x–a.
Horner William George (1786 - 1837), inglise matemaatik. Põhiuuringud on seotud teooriaga algebralised võrrandid. Töötas välja meetodi mis tahes astme võrrandite ligikaudseks lahendamiseks. Aastal 1819 võttis ta kasutusele olulise meetodi polünoomi jagamiseks binoomsüsteemiga x - a (Horneri skeem).
Järeldus üldine valem Horneri skeemi jaoks.
Polünoomi f(x) jagamine jäägiga binoomiga (x-c) tähendab polünoomi q(x) ja arvu r leidmist nii, et f(x)=(x-c)q(x)+r
Kirjutame selle võrdsuse üksikasjalikult:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Võrdlustame koefitsiendid samadel kraadidel:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Horneri ringraja demonstreerimine näitel.
1. harjutus. Kasutades Horneri skeemi, jagame polünoomi f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 jäägiga binoomiga x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6) -4, kus g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 jääk.
Polünoomi laiendamine binoomi astmetes.
Kasutades Horneri skeemi, laiendame polünoomi f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 binoom (x+2) astmetes.
Selle tulemusena peaksime saama laienduse f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3-3( x+2) 2 -2(x+2)+12
Horneri skeemi kasutatakse sageli kolmanda, neljanda ja kõrgema astme võrrandite lahendamisel, kui polünoomi on mugav laiendada binoomseks x-a. Number a helistas polünoomi juur F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, kui x=a polünoomi F n (x) väärtus võrdub nulliga: F n (a)=0, s.o. kui polünoom jagub binoomiga x-a.
Näiteks arv 2 on polünoomi F 3 (x)=3x 3 -2x-20 juur, kuna F 3 (2)=0. see tähendab. Et selle polünoomi faktorisatsioon sisaldab tegurit x-2.
F 3 (x)=3x3 -2x-20=(x-2)(3x2 +6x+10).
Mis tahes astme polünoom F n(x). n 1 ei saa rohkem olla n tõelised juured.
Ükskõik milline terve juur Täisarvu koefitsientidega võrrand on selle vaba liikme jagaja.
Kui võrrandi juhtkoefitsient on 1, on kõik võrrandi ratsionaalsed juured, kui need on olemas, täisarvud.
Õpitud materjali koondamine.
Uue materjali kinnistamiseks kutsutakse õpilasi täitma numbreid õpikust 2.41 ja 2.42 (lk 65).
(2 õpilast lahendavad tahvli juures ja ülejäänud, olles otsustanud, kontrollivad ülesandeid vihikust koos vastustega tahvlil).
Kokkuvõtteid tehes.
Olles mõistnud Horneri skeemi ülesehitust ja tööpõhimõtet, saab seda kasutada ka informaatikatundides, kui vaadeldakse täisarvude teisendamist kümnendarvusüsteemist kahendsüsteemi ja vastupidi. Ühest arvusüsteemist teise ülemineku aluseks on järgmine üldteoreem
Teoreem. Täisarvu teisendamiseks Ap alates lk-arvarvusüsteemist põhiarvusüsteemini d vajalik Ap järjestikku jagage jäägiga arvuga d, kirjutatud samas lk-aarsüsteem, kuni saadud jagatis on võrdne nulliga. Ülejäänud jaotusest saavad d- numbrilised numbrid Reklaam, alustades noorimast kategooriast kuni kõige vanemani. Kõik toimingud tuleb läbi viia lk-ararvude süsteem. Inimese jaoks on see reegel mugav ainult siis, kui lk= 10, s.o. tõlkimisel alates kümnendsüsteem. Mis puutub arvutisse, siis vastupidi, selles on "mugavam" arvutusi teha kahendsüsteem. Seetõttu kasutatakse "2-ks 10" teisendamiseks kahendsüsteemis kümnega järjestikust jagamist ja "10 kuni 2" on kümne astme liitmine. Protseduuri “10 in 2” arvutuste optimeerimiseks kasutab arvuti Horneri ökonoomset arvutusskeemi.
Kodutöö. Tehakse ettepanek täita kaks ülesannet.
1. Kasutades Horneri skeemi, jagage polünoom f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 binoomiga (x-3).
2. Leidke polünoomi f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 täisarvu juured (arvestades, et iga täisarvulise koefitsiendiga võrrandi juur on selle vaba liikme jagaja)
Kirjandus.
- Kurosh A.G. "Kõrgema algebra kursus."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. ja teised 10. klass “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus”.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Slaid 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) – inglise matemaatik. Sündis Bristolis. Ta õppis ja töötas seal, seejärel Bathi koolides. Algebra põhitööd. Aastal 1819 avaldas polünoomi tegelike juurte ligikaudse arvutamise meetodi, mida nüüd nimetatakse Ruffini-Horneri meetodiks (hiinlased teadsid seda meetodit juba 13. sajandil Skeemi polünoomi jagamiseks binoomiga x-a nimetatakse). pärast Hornerit.
Slaid 4
HORNER SKEEM
Jagamise meetod n-s polünoom aste lineaarsel binoomil - a, mis põhineb asjaolul, et mittetäieliku jagatise ja jäägi koefitsiendid on seotud jagatava polünoomi kordajatega ja valemitega:
Slaid 5
Arvutused Horneri skeemi järgi on paigutatud tabelisse:
Näide 1. Jagamine Osajagatis on x3-x2+3x - 13 ja jääk on 42=f(-3).
Slaid 6
Selle meetodi peamiseks eeliseks on salvestamise kompaktsus ja võimalus kiire jagunemine polünoomist binoomseks. Tegelikult on Horneri skeem veel üks rühmitusmeetodi salvestamise vorm, kuigi erinevalt viimasest on see täiesti mittevisuaalne. Vastus (faktoriseerimine) saadakse siin iseenesest ja me ei näe selle saamise protsessi. Me ei tegele Horneri skeemi range põhjendamisega, vaid näitame ainult, kuidas see töötab.
Slaid 7
Näide 2.
Tõestame, et polünoom P(x)=x4-6x3+7x-392 jagub x-7-ga, ja leiame jagamise jagatise. Lahendus. Horneri skeemi kasutades leiame P(7): Siit saame P(7)=0, s.o. jääk polünoomi jagamisel x-7-ga võrdne nulliga ja seetõttu on polünoom P(x) arvu (x-7) kordne. seega P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Slaid 8
Polünoomi kordamine x3 – 5x2 – 2x + 16.
Sellel polünoomil on täisarvu koefitsiendid. Kui täisarv on selle polünoomi juur, siis on see arvu 16 jagaja. Seega, kui y antud polünoom on terved juured, siis saavad need olla ainult arvud ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Otsese kontrolliga oleme veendunud, et arv 2 on selle polünoomi juur, st x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kus Q(x) on teise astme polünoom
Slaid 9
Saadud arvud 1, −3, −8 on polünoomi koefitsiendid, mis saadakse algse polünoomi jagamisel x – 2-ga. See tähendab, et jagamise tulemus on: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Jagamisel saadud polünoomi aste on alati 1 võrra väiksem kui algse aste. Niisiis: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).
Horneri skeem – polünoomi jagamise meetod
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
binoomsel $x-a$. Peate töötama tabeliga, mille esimene rida sisaldab antud polünoomi koefitsiente. Teise rea esimene element on arv $a$, mis on võetud binoomist $x-a$:
Pärast n-nda astme polünoomi jagamist binoomiga $x-a$ saame polünoomi, mille aste on algsest ühe võrra väiksem, s.t. on võrdne $n-1$. Horneri skeemi otsest rakendamist on kõige lihtsam näidetega demonstreerida.
Näide nr 1
Jagage $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$-ga, kasutades Horneri skeemi.
Teeme kaherealise tabeli: esimesele reale kirjutame üles polünoomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ koefitsiendid, mis on järjestatud muutuja $x$ astmete kahanevas järjekorras. Pange tähele, et see polünoom ei sisalda $x$ esimesel astmel, st. koefitsient $x$ esimese astmega on 0. Kuna jagame $x-1$-ga, kirjutame teisele reale ühe:
Alustame teise rea tühjade lahtrite täitmist. Kirjutage teise rea teise lahtrisse number $5$, liigutades selle lihtsalt esimese rea vastavast lahtrist:
Täidame järgmise lahtri vastavalt sellele põhimõttele: $1\cdot 5+5=10$:
Täidame samamoodi teise rea neljanda lahtri: $1\cdot 10+1=11$:
Viienda lahtri jaoks saame: $1\cdot 11+0=11$:
Ja lõpuks, viimase, kuuenda lahtri jaoks on meil: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Probleem on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna:
Nagu näete, on teisel real asuvad arvud (ühe ja nulli vahel) polünoomi koefitsiendid, mis saadakse pärast $5x^4+5x^3+x^2-11$ jagamist $x-1$-ga. Loomulikult, kuna algse polünoomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ aste oli võrdne neljaga, on saadud polünoomi $5x^3+10x^2+11x+11$ aste üks vähem, st. võrdub kolmega. Teise rea viimane arv (null) tähendab jääki polünoomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ jagamisel $x-1$-ga. Meie puhul on jääk null, st. polünoomid jaguvad ühtlaselt. Seda tulemust saab iseloomustada ka järgmiselt: polünoomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ väärtus $x=1$ korral on võrdne nulliga.
Järelduse võib sõnastada ka sellisel kujul: kuna polünoomi $5x^4+5x^3+x^2-11$ väärtus $x=1$ võrdub nulliga, siis on ühtsus polünoomi juur. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Näide nr 2
Jagage polünoom $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ arvuga $x+3$, kasutades Horneri skeemi.
Sätleme kohe, et avaldis $x+3$ tuleb esitada kujul $x-(-3)$. Horneri skeem hõlmab täpselt -3 dollarit. Kuna algse polünoomi $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ aste võrdub neljaga, siis saame jagamise tulemusena kolmanda astme polünoomi:
Tulemus tähendab seda
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Selles olukorras on ülejäänud osa $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ jagamisel $x+3$-ga $4$. Või, mis on sama, polünoomi $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ väärtus $x=-3$ puhul on võrdne $4$. Muide, seda on lihtne kontrollida, kui asendada $x=-3$ antud polünoomiga:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cpunkt (-3)-47=4.$$
Need. Horneri skeemi saab kasutada, kui on vaja leida polünoomi väärtus at seatud väärtus muutuv. Kui meie eesmärk on leida polünoomi kõik juured, siis saab Horneri skeemi rakendada mitu korda järjest, kuni oleme kõik juured ammendanud, nagu on kirjeldatud näites nr 3.
Näide nr 3
Leia Horneri skeemi abil kõik polünoomi $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ täisarvu juured.
Vaadeldava polünoomi koefitsiendid on täisarvud ja koefitsient enne vanem kraad muutuja (st enne $x^6$) võrdne ühega. Sel juhul tuleb vaba liikme jagajate hulgast otsida polünoomi täisarvulisi juuri, s.t. arvu jagajate hulgas 45. Antud polünoomi puhul võivad sellisteks juurteks olla numbrid $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ ja -45 $; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 $. Kontrollime näiteks numbrit $1$:
Nagu näete, on polünoomi $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ väärtus $x=1$ väärtusega $192$ (viimane number teisel real), mitte $0 $, seega pole ühtsus selle polünoomi juur. Kuna ühe kontrollimine ebaõnnestus, kontrollime väärtust $x=-1$. Uus laud Sel eesmärgil me tabelit ei koosta, vaid jätkame selle kasutamist. nr 1, lisades sellele uue (kolmanda) rea. Teine rida, kus kontrolliti $1 $ väärtust, on punasega esile tõstetud ja seda ei kasutata edasistes aruteludes.
Muidugi saab tabeli lihtsalt uuesti ümber kirjutada, kuid selle käsitsi täitmine võtab palju aega. Lisaks võib olla mitu numbrit, mille kontrollimine ebaõnnestub, ja iga kord on raske uut tabelit kirjutada. “Paberil” arvutamisel saab punased jooned lihtsalt läbi kriipsutada.
Seega on polünoomi $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ väärtus $x=-1$ juures võrdne nulliga, st. arv $-1$ on selle polünoomi juur. Pärast polünoomi $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ jagamist binoomiga $x-(-1)=x+1$ saame polünoomi $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, mille koefitsiendid on võetud tabeli kolmandalt realt. nr 2 (vt näide nr 1). Arvutuste tulemuse saab esitada ka järgmisel kujul:
\begin(võrrand)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(võrrand)
Jätkame täisarvude juurte otsimist. Nüüd tuleb otsida polünoomi $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ juured. Jällegi otsitakse selle polünoomi täisarvude juuri selle vaba liikme jagajate hulgast, arvud $45$. Proovime uuesti kontrollida numbrit $-1$. Me ei loo uut tabelit, vaid jätkame eelmise tabeli kasutamist. nr 2, st. Lisame sellele veel ühe rea:
Seega on arv $-1$ polünoomi $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ juur. Selle tulemuse saab kirjutada järgmiselt:
\begin(võrrand)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(võrrand)
Võttes arvesse võrdsust (2), saab võrdsuse (1) ümber kirjutada järgmisel kujul:
\begin(võrrand)\begin(joondatud) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(joondatud)\end(võrrand)
Nüüd peame otsima polünoomi $x^4-22x^2+24x+45$ juuri – loomulikult selle vaba liikme jagajate hulgast (arvud $45$). Kontrollime uuesti numbrit $-1$:
Arv $-1$ on polünoomi $x^4-22x^2+24x+45$ juur. Selle tulemuse saab kirjutada järgmiselt:
\begin(võrrand)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(võrrand)
Võttes arvesse võrdsust (4), kirjutame võrdsuse (3) ümber järgmisel kujul:
\begin(võrrand)\begin(joondatud) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(joondatud)\end(võrrand)
Nüüd otsime polünoomi $x^3-x^2-21x+45$ juuri. Kontrollime uuesti numbrit $-1$:
Kontroll lõppes ebaõnnestumisega. Tõstkem kuues rida punasega esile ja proovime kontrollida mõnda teist numbrit, näiteks numbrit $3$:
Ülejäänud osa on null, seega on arv $3$ kõnealuse polünoomi juur. Seega $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Nüüd saab võrdsuse (5) ümber kirjutada järgmiselt.