Lahendamisel võrrelge väärtusi ja koguseid praktilisi probleeme juhtunud iidsetest aegadest peale. Samal ajal ilmusid homogeensete suuruste võrdlemise tulemusi tähistavad sõnad nagu rohkem ja vähem, kõrgem ja madalam, kergem ja raskem, vaiksem ja valjem, odavam ja kallim jne.
Rohkem ja vähem mõisted tekkisid seoses objektide loendamise, suuruste mõõtmise ja võrdlemisega. Näiteks Vana-Kreeka matemaatikud teadsid, et iga kolmnurga külg on väiksem kui ülejäänud kahe külje summa ja et suurem külg asub kolmnurga suurema nurga vastas. Archimedes tegi ümbermõõdu arvutamisel kindlaks, et mis tahes ringi ümbermõõt on võrdne kolmekordse läbimõõduga, mille ülejääk on väiksem kui seitsmendik läbimõõdust, kuid rohkem kui kümme seitsekümmend korda läbimõõdust.
Kirjutage sümboolselt seosed arvude ja suuruste vahel, kasutades märke > ja b. Kirjed, milles kaks arvu on ühendatud ühe märgiga: > (suurem kui), Samuti kohtasite arvulisi ebavõrdsusi nooremad klassid. Teate, et ebavõrdsus võib olla tõsi või vale. Näiteks \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) on õige arvuline võrratus, 0,23 > 0,235 on vale numbriline võrratus.
Tundmatuid hõlmav ebavõrdsus võib mõne tundmatu väärtuse puhul olla tõene ja teiste jaoks väär. Näiteks ebavõrdsus 2x+1>5 on tõene x = 3 korral, aga väär x = -3 korral. Ühe tundmatuga ebavõrdsuse korral saate määrata ülesande: lahendage ebavõrdsus. Ebavõrdsuse lahendamise ülesandeid praktikas püstitatakse ja lahendatakse mitte vähem sageli kui võrrandite lahendamise ülesandeid. Näiteks paljud majandusprobleemid taandatakse lineaarsete võrratuste süsteemide uurimisele ja lahendamisele. Paljudes matemaatikaharudes on ebavõrdsused tavalisemad kui võrrandid.
Mõni ebavõrdsus on ainus abistav, mis võimaldab teil tõestada või ümber lükata teatud objekti, näiteks võrrandi juure, olemasolu.
Arvulised ebavõrdsused
Kas saate täisarve võrrelda? kümnendkohad. Kas tead võrdlemise reegleid? tavalised murrud samade nimetajatega, kuid erinevate lugejatega; samade lugejatega, kuid erinevad nimetajad. Siit saate teada, kuidas võrrelda mis tahes kahte numbrit, leides nende erinevuse märgi.
Praktikas kasutatakse laialdaselt numbrite võrdlemist. Näiteks majandusteadlane võrdleb planeeritud näitajaid tegelikega, arst patsiendi temperatuuri normaalsega, treial töödeldud detaili mõõtmeid standardiga. Kõigil sellistel juhtudel võrreldakse mõningaid numbreid. Arvude võrdlemise tulemusena tekivad arvulised ebavõrdsused.
Definitsioon. Number a rohkem numbrit b, kui erinevus a-b positiivne. Number a vähem numbrit b, kui erinevus a-b on negatiivne.
Kui a on suurem kui b, siis kirjutatakse: a > b; kui a on väiksem kui b, siis nad kirjutavad: a Seega võrratus a > b tähendab, et erinevus a - b on positiivne, s.t. a - b > 0. Võrratus a Iga kahe arvu a ja b korral alates järgmised kolm seosed a > b, a = b, a Arvude a ja b võrdlemine tähendab välja selgitamist, milline märkidest >, = või Teoreem. Kui a > b ja b > c, siis a > c.
Teoreem. Kui lisada mõlemale võrratuse poolele sama arv, siis ebavõrdsuse märk ei muutu.
Tagajärg. Mis tahes liiget saab liigutada ebavõrdsuse ühest osast teise, muutes selle liikme märgi vastupidiseks.
Teoreem. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada samaga positiivne arv, siis ebavõrdsuse märk ei muutu. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada samaga negatiivne arv, siis muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.
Tagajärg. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled jagada sama positiivse arvuga, siis ebavõrdsuse märk ei muutu. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled jagada sama negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.
Kas sa tead seda arvulised võrdsused Saate termini kaupa liita ja korrutada. Järgmisena saate teada, kuidas teha sarnaseid toiminguid ebavõrdsustega. Praktikas kasutatakse sageli võrratuste liitmise ja korrutamise võimalust. Need toimingud aitavad lahendada väljendite tähenduste hindamise ja võrdlemise probleeme.
Otsustades erinevaid ülesandeid Sageli tuleb ebavõrdsuse vasak ja parem pool liigendina liita või korrutada. Samas öeldakse vahel, et ebavõrdsused summeeruvad või korrutuvad. Näiteks kui turist kõndis esimesel päeval üle 20 km ja teisel üle 25 km, siis võib öelda, et kahe päevaga kõndis ta üle 45 km. Samamoodi, kui ristküliku pikkus on alla 13 cm ja laius alla 5 cm, siis võime öelda, et selle ristküliku pindala on väiksem kui 65 cm2.
Nende näidete kaalumisel kasutati järgmist: teoreemid võrratuste liitmise ja korrutamise kohta:
Teoreem. Sama märgi võrratuste liitmisel saadakse samamärgiline võrratus: kui a > b ja c > d, siis a + c > b + d.
Teoreem. Korrutades sama märgi võrratused, mille vasak ja parem pool on positiivsed, saadakse samamärgiline võrratus: kui a > b, c > d ja a, b, c, d on positiivsed arvud, siis ac > bd.
Võrratused märgiga > (suurem kui) ja 1/2, 3/4 b, c Koos rangete võrratuste märkidega > ja Samamoodi tähendab ebavõrdsus \(a \geq b \), et arv a on suurem või võrdne b-ga, st .ja mitte vähem b.
Märgi \(\geq \) või \(\leq \) sisaldavaid võrratusi nimetatakse mitterangeteks. Näiteks \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ei ole ranged ebavõrdsused.
Kõik rangete võrratuste omadused kehtivad ka mitterangete võrratuste puhul. Veelgi enam, kui range ebavõrdsuse korral peeti märke > vastupidiseks ja te teate seda seeria lahendamiseks rakendatud probleemid peate looma matemaatilise mudeli võrrandi või võrrandisüsteemi kujul. Järgmisena saate sellest teada matemaatilised mudelid Paljude probleemide lahendamiseks on ebavõrdsused tundmatutega. Tutvustame ebavõrdsuse lahendamise mõistet ja näitame, kuidas kontrollida, kas antud number konkreetse ebavõrdsuse lahendamine.
Vormi ebavõrdsused
\(ax > b, \neli ax, milles a ja b on antud numbrid, ja x on tundmatu, kutsutakse lineaarne ebavõrdsus ühe tundmatuga.
Definitsioon.Ühe tundmatuga ebavõrdsuse lahendus on tundmatu väärtus, mille juures see ebavõrdsus muutub tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või tuvastamist, et neid pole.
Lahendasite võrrandid, taandades need kõige lihtsamateks võrranditeks. Samamoodi püütakse võrratuste lahendamisel neid omadusi kasutades taandada lihtsate võrratuste kujule.
Teise astme võrratuste lahendamine ühe muutujaga
Vormi ebavõrdsused
\(ax^2+bx+c >0 \) ja \(ax^2+bx+c kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ja \(a \neq 0 \), nn. teise astme ebavõrdsused ühe muutujaga.
Lahendus ebavõrdsusele
\(ax^2+bx+c >0 \) või \(ax^2+bx+c) võib pidada intervallide leidmiseks, milles funktsioon \(y= ax^2+bx+c \) võtab positiivse või negatiivse väärtused Selleks piisab, kui analüüsida, kuidas funktsiooni \(y= ax^2+bx+c \) graafik asub koordinaattasand: kuhu on suunatud parabooli harud - üles või alla, kas parabool lõikub x-teljega ja kui lõikub, siis millistes punktides.
Algoritm teise astme võrratuste lahendamiseks ühe muutujaga:
1) leidke diskriminant ruuttrinoom\(ax^2+bx+c\) ja uuri, kas trinoomil on juured;
2) kui trinoomil on juured, siis märgi need x-teljele ja joonista läbi märgitud punktide skemaatiline parabool, mille harud on suunatud ülespoole > 0 korral või allapoole 0 puhul või alla 3 puhul. leida x-teljel intervallid, mille punktide paraboolid asuvad x-telje kohal (kui need lahendavad võrratuse \(ax^2+bx+c >0\)) või x-telje all (kui lahendavad ebavõrdsus
\(ax^2+bx+c Võrratuste lahendamine intervallmeetodil
Mõelge funktsioonile
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
Selle funktsiooni domeen on kõigi arvude hulk. Funktsiooni nullpunktid on arvud -2, 3, 5. Need jagavad funktsiooni määratluspiirkonna intervallideks \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) ja \( (5; +\infty)\)
Uurime välja, millised on selle funktsiooni märgid igas näidatud intervallis.
Avaldis (x + 2) (x - 3) (x - 5) on kolme teguri korrutis. Kõigi nende tegurite märk vaadeldavatel intervallidel on näidatud tabelis:
Üldiselt olgu funktsioon antud valemiga
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kus x on muutuja ja x 1, x 2, ..., x n on arvud, mis ei ole üksteisega võrdsed. Arvud x 1 , x 2 , ..., x n on funktsiooni nullpunktid. Igas intervallis, millesse definitsioonipiirkond on jagatud funktsiooni nullidega, säilib funktsiooni märk ja nulli läbimisel selle märk muutub.
Seda omadust kasutatakse vormi ebavõrdsuse lahendamiseks
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kus x 1, x 2, ..., x n on arvud, mis ei ole üksteisega võrdsed
Kaalutud meetod võrratuste lahendamist nimetatakse intervallmeetodiks.
Toome näiteid võrratuste lahendamisest intervallmeetodil.
Lahendage ebavõrdsus:
\(x(0,5-x)(x+4) Ilmselt on funktsiooni f(x) = x(0,5-x)(x+4) nullpunktid punktid \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Joonistame funktsiooni nullid arvuteljele ja arvutame iga intervalli märgi:
Valime need intervallid, mille korral funktsioon on nullist väiksem või sellega võrdne ja kirjutame vastuse üles.
Vastus:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Ebavõrdsus on avaldis, mille väärtus on, ≤ või ≥. Näiteks 3x - 5 võrratuse lahendamine tähendab muutujate kõigi väärtuste leidmist, mille puhul ebavõrdsus on tõene. Kõik need arvud on ebavõrdsuse lahendus ja kõigi selliste lahenduste hulk on tema palju lahendusi. Nimetatakse võrratusi, millel on sama lahendite hulk samaväärsed ebavõrdsused.
Lineaarsed ebavõrdsused
Võrratuste lahendamise põhimõtted on sarnased võrrandite lahendamise põhimõtetega.Ebavõrdsuse lahendamise põhimõtted
Mis tahes reaalarvude a, b ja c korral:
Võrratuste liitmise põhimõte: Kui a Korrutamise põhimõte ebavõrdsuse korral: Kui 0 on tõene, siis ac Kui bc on samuti tõene.
Sarnased väited kehtivad ka a ≤ b kohta.
Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutatakse negatiivse arvuga, tuleb võrratuse märk ümber pöörata.
Esimese astme ebavõrdsusi, nagu näites 1 (allpool), nimetatakse lineaarsed ebavõrdsused.
Näide 1 Lahendage kõik järgmised võrratused. Seejärel joonistage lahenduste komplekt.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Lahendus
Lahenduseks on mis tahes arv, mis on väiksem kui 11/5.
Lahenduste hulk on (x|x
Kontrollimiseks saame joonistada graafiku y 1 = 3x - 5 ja y 2 = 6 - 2x. Siis on selge, et x jaoks 
Lahendushulk on (x|x ≤ 1) või (-∞, 1] Lahendushulga graafik on näidatud allpool. 
Kahekordne ebavõrdsus
Kui kaks ebavõrdsust on ühendatud sõnaga Ja, või, siis see moodustub kahekordne ebavõrdsus. Topelt ebavõrdsus meeldib
-3
Ja 2x + 5 ≤ 7
helistas ühendatud, sest see kasutab Ja. Kirje -3 Topeltvõrratusi saab lahendada võrratuste liitmise ja korrutamise põhimõtete abil.
Näide 2 Lahenda -3 Lahendus Meil on
Lahenduste hulk (x|x ≤ -1 või x > 3). Lahenduse saame kirjutada ka kasutades intervallmärki ja sümbolit for ühendused või sisaldab mõlemat hulka: (-∞ -1] (3, ∞). Lahendushulga graafik on näidatud allpool. 
Kontrollimiseks joonistame graafikule y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ja y 3 = 1. Pange tähele, et (x|x ≤ -1 jaoks või x > 3), y 1 ≤ y 2 või y 1 > y 3 . 
Ebavõrdsused absoluutväärtusega (moodul)
Ebavõrdsused sisaldavad mõnikord mooduleid. Nende lahendamiseks kasutatakse järgmisi omadusi.
Kui a > 0 ja algebraline avaldis x:
|x| |x| > a on samaväärne x või x > a.
Sarnased väited |x| jaoks ≤ a ja |x| ≥ a.
Näiteks,
|x| |y| ≥ 1 on samaväärne y ≤ -1-ga või y ≥ 1;
ja |2x + 3| ≤ 4 võrdub -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Näide 4 Lahendage kõik järgmised võrratused. Joonistage lahenduste hulk.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Lahendus
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Lahenduste hulk on (x|x ≤ 2 või x ≥ 3) või (-∞, 2]. Järgmises näites kasutatakse sellist sulgu.
Paneme vastuse kirja: x ≥ -0,5 intervallidega:
x ∈ [-0,5; +∞)
Loeb: x kuulub vahemikku miinus 0,5, kaasa arvatud, pluss lõpmatuseni.
Lõpmatust ei saa kunagi sisse lülitada. See ei ole number, see on sümbol. Seetõttu on sellistes tähistes lõpmatus alati sulu kõrval.
See salvestusvorm on mugav keerukate vastuste jaoks, mis koosnevad mitmest tühikust. Aga - ainult lõplike vastuste jaoks. Vahetulemustes, kus on oodata edasist lahendust, on parem kasutada tavalist vormi, vormis lihtne ebavõrdsus. Seda käsitleme vastavates teemades.
Populaarsed ülesanded ebavõrdsusega.
Lineaarsed ebavõrdsused ise on lihtsad. Seetõttu muutuvad ülesanded sageli raskemaks. Seega oli vaja mõelda. Kui te pole sellega harjunud, pole see eriti meeldiv.) Aga see on kasulik. Toon näiteid sellistest ülesannetest. Mitte teie jaoks, et neid õppida, see pole vajalik. Ja selleks, et kellega kohtudes mitte karta sarnased näited. Mõelge natuke - ja see on lihtne!)
1. Leidke võrratuse 3x - 3 mis tahes kaks lahendit< 0
Kui pole väga selge, mida teha, pidage meeles matemaatika peamist reeglit:
Kui te ei tea, mida vajate, tehke seda, mida saate!)
X < 1
Ja mida? Ei midagi erilist. Mida nad meilt küsivad? Meil palutakse leida kaks konkreetset arvu, mis on ebavõrdsuse lahendus. Need. sobib vastus. Kaks ükskõik milline numbrid. Tegelikult tekitab see segadust.) Sobivad paar 0 ja 0,5. Paar -3 ja -8. Jah, need paarid lõpmatu hulk! Kumb vastus on õige?!
Vastan: kõike! Iga arvupaar, millest igaüks on väiksem kui üks, oleks õige vastus. Kirjutage, millist soovite. Liigume edasi.
2. Lahendage ebavõrdsus:
4x-3 ≠ 0
Selle vormi ülesanded on haruldased. Kuid abivõrratustena esinevad need näiteks ODZ leidmisel või funktsiooni määratluspiirkonna leidmisel kogu aeg. Sellist lineaarset võrratust saab lahendada tavalise lineaarvõrrandina. Ainult kõikjal, välja arvatud märk "=" ( võrdub) pane silt " ≠ " (pole võrdne). Nii lähened vastusele ebavõrdsuse märk:
X ≠ 0,75
Rohkem keerulised näited, on parem teha asju teisiti. Tehke võrdsusest ebavõrdsus. Nagu nii:
4x-3 = 0
Lahendage see rahulikult nagu õpetatud ja saate vastuse:
x = 0,75
Peaasi, et päris lõpus, lõplikku vastust üles kirjutades, ärge unustage, et leidsime x, mis annab võrdsus. Ja me vajame - ebavõrdsus. Seetõttu me seda X-i tegelikult ei vaja.) Ja me peame selle õige sümboliga üles kirjutama:
X ≠ 0,75
Selle lähenemisviisiga selgub vähem vigu. Need, kes lahendavad võrrandid automaatselt. Ja neile, kes võrrandeid ei lahenda, pole ebavõrdsustest tegelikult kasu...) Veel üks näide populaarsest ülesandest:
3. Leidke võrratuse väikseim täisarvuline lahend:
3 (x - 1) < 5x + 9
Kõigepealt lahendame lihtsalt ebavõrdsuse. Avame sulgud, liigutame, toome sarnased... Saame:
X > - 6
Kas see nii ei läinud!? Kas järgisite märke!? Ja liikmete märkide taga ja ebavõrdsuse märgi taga...
Mõtleme uuesti. Me peame leidma konkreetne number, sobib nii vastuseks kui ka tingimuseks "väikseim täisarv". Kui see teile kohe ei tule, võite lihtsalt võtta suvalise numbri ja selle välja mõelda. Kaks üle miinus kuus? Kindlasti! Kas on sobiv väiksem number? Muidugi. Näiteks null on suurem kui -6. Ja veel vähem? Vajame väikseimat võimalikku asja! Miinus kolm on rohkem kui miinus kuus! Saate juba mustrist kinni püüda ja lõpetada rumalate numbrite läbimise, eks?)
Võtame arvu, mis on lähemal -6-le. Näiteks -5. Vastus on täidetud, -5 > - 6. Kas on võimalik leida teist arvu, mis on väiksem kui -5, kuid suurem kui -6? Võid näiteks -5,5... Stop! Meile öeldakse terve lahendus! Ei veere -5,5! Aga miinus kuus? Ahh! Ebavõrdsus on range, miinus 6 ei ole mingil juhul väiksem kui miinus 6!
Seetõttu on õige vastus -5.
Loodetavasti koos väärtuste valikuga üldine lahendus kõik selge. Veel üks näide:
4. Lahenda ebavõrdsus:
7 < 3x+1 < 13
Vau! Seda väljendit nimetatakse kolmekordne ebavõrdsus. Rangelt võttes on see ebavõrdsuse süsteemi lühendatud vorm. Aga sellised kolmekordsed ebavõrdsused tuleb ikka mõnes ülesandes lahendada... Seda saab lahendada ka ilma igasuguste süsteemideta. Samade identsete teisenduste järgi.
Peame lihtsustama, viima selle ebavõrdsuse puhtale X-le. Aga... Mida kuhu tuleks kolida?! Siin on aeg meeles pidada, et vasakule ja paremale liikumine on vajalik lühivorm esimene identiteedi transformatsioon.
A täielik vorm kõlab nii: Võrrandi (ebavõrdsuse) mõlemale poolele saab liita/lahutada mis tahes arvu või avaldise.
Siin on kolm osa. Seda me kasutamegi identiteedi transformatsioonid kõigile kolmele osale!
Niisiis, vabaneme ebavõrdsuse keskosas olevast. Lahutame kogu keskmisest osast ühe. Et ebavõrdsus ei muutuks, lahutame ülejäänud kahest osast ühe. Nagu nii:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
See on parem, eks?) Jääb vaid jagada kõik kolm osa kolmeks:
2 < X < 4
See on kõik. See on vastus. X võib olla mis tahes arv kahest (ei sisalda) kuni neljani (ei sisalda). See vastus kirjutatakse ka intervallidega; sellised kirjed on ruutvõrratustes. Seal on need kõige tavalisemad asjad.
Tunni lõpus kordan üle kõige olulisema. Lineaarvõrratuste lahendamise edukus sõltub lineaarvõrrandite teisendamise ja lihtsustamise võimest. Kui samal ajal jälgige ebavõrdsuse märki, probleeme ei tule. Seda ma teile soovin. Ei ole probleeme.)
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Nüüd saate aru, kuidas lahendatakse lineaarsed võrratused a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).
Peamine viis nende lahendamiseks on kasutada ekvivalentseid teisendusi, mis võimaldavad jõuda väärtuseni a≠0 to elementaarne ebavõrdsus tüüp x
, ≥), p - teatud arv, mis on soovitud lahendus, ja a=0 korral - vormi a arvuliste võrratustega
, ≥), millest tehakse järeldus algse võrratuse lahendi kohta. Kõigepealt analüüsime seda.
Samuti ei tee haiget vaadelda lineaarse ebavõrdsuse lahendamist ühes muutujas teistest vaatenurkadest. Seetõttu näitame ka, kuidas saab lineaarset ebavõrdsust graafiliselt ja intervallmeetodit kasutades lahendada.
Kasutades samaväärseid teisendusi
Peame lahendama lineaarse võrratuse a x+b<0 (≤, >, ≥). Näitame, kuidas seda teha samaväärsete ebavõrdsuse teisenduste abil.
Lähenemisviisid erinevad sõltuvalt sellest, kas muutuja x koefitsient a on võrdne nulliga või mitte. Vaatame neid ükshaaval. Veelgi enam, kaalumisel järgime kolme punkti skeemi: esiteks anname protsessi olemuse, seejärel anname algoritmi lineaarse ebavõrdsuse lahendamiseks ja lõpuks anname lahendused tüüpilistele näidetele.
Alustame sellest algoritm lineaarse võrratuse a x+b lahendamiseks<0 (≤, >, ≥) kui a≠0.
- Esiteks kantakse arv b võrratuse c paremale poolele vastupidine märk. See võimaldab meil üle minna ekvivalentsele ebavõrdsusele a x<−b (≤, >, ≥).
- Teiseks jagatakse saadud võrratuse mõlemad pooled nullist erineva arvuga a. Veelgi enam, kui a on positiivne arv, siis ebavõrdsuse märk säilib ja kui a on negatiivne arv, siis ebavõrdsusmärk pööratakse ümber. Tulemuseks on algse lineaarse ebavõrdsusega samaväärne elementaarne võrratus ja see on vastus.
Jääb üle näidete abil mõista väljakuulutatud algoritmi rakendamist. Mõelgem, kuidas seda saab kasutada lineaarsete võrratuste lahendamiseks a≠0 korral.
Näide.
Lahendage võrratus 3·x+12≤0.
Lahendus.
Antud lineaarse ebavõrdsuse korral on meil a=3 ja b=12. Ilmselgelt erineb muutuja x koefitsient a nullist. Kasutame ülaltoodud vastavat lahendusalgoritmi.
Esmalt nihutame liikme 12 võrratuse paremale poolele, unustamata muuta selle märki, see tähendab, et −12 ilmub paremale poole. Selle tulemusena saame ekvivalentse võrratuse 3·x≤−12.
Ja teiseks jagame saadud võrratuse mõlemad pooled 3-ga, kuna 3 on positiivne arv, siis ebavõrdsuse märki me ei muuda. Meil on (3 x):3≤(−12):3, mis on sama, mis x≤−4.
Saadud elementaarvõrratus x≤−4 on ekvivalentne algse lineaarvõrratusega ja on selle soovitud lahendus.
Seega on lineaarse võrratuse 3 x + 12≤0 lahend mis tahes reaalarv, mis on väiksem kui miinus neli või sellega võrdne. Vastuse saab kirjutada ka ebavõrdsusele x≤−4 vastava arvintervalli kujul, st kui (−∞, −4] .
Olles omandanud lineaarse ebavõrdsusega töötamise oskuse, saab nende lahendused lühidalt ilma selgitusteta kirja panna. Sel juhul kirjutage esmalt üles algne lineaarne võrratus ja allpool - lahenduse igas etapis saadud ekvivalentsed võrratused:
3 x+12≤0;
3 x≤-12;
x≤-4 .
Vastus:
x≤−4 või (−∞, −4] .
Näide.
Loetlege kõik lineaarvõrratuse −2,7·z>0 lahendid.
Lahendus.
Siin on muutuja z koefitsient a võrdne −2,7. Ja koefitsient b puudub selgesõnalisel kujul, see tähendab võrdne nulliga. Seetõttu ei pea ühe muutujaga lineaarse võrratuse lahendamise algoritmi esimest sammu sooritama, kuna nulli liigutamine vasakult küljelt paremale ei muuda algse võrratuse kuju.
Jääb üle jagada võrratuse mõlemad pooled −2,7-ga, unustamata muuta ebavõrdsuse märki vastupidiseks, kuna −2,7 on negatiivne arv. Meil on (−2,7 z): (−2,7)<0:(−2,7) ja seejärel z<0 .
Ja nüüd lühidalt:
−2,7·z>0;
z<0
.
Vastus:
z<0 или (−∞, 0) .
Näide.
Lahendage ebavõrdsus 
.
Lahendus.
Peame lahendama lineaarse võrratuse koefitsiendiga a muutuja x puhul, mis on võrdne −5, ja koefitsiendiga b, mis vastab murdarvule −15/22. Toimime tuntud skeemi järgi: kõigepealt kanname −15/22 vastasmärgiga paremale poole, misjärel jagame võrratuse mõlemad pooled negatiivse arvuga −5, muutes samal ajal ebavõrdsuse märki: 
Viimane üleminek paremal küljel kasutab 
, seejärel hukati 
.
Vastus:
Liigume nüüd edasi juhtumi juurde, kui a=0. Lineaarvõrratuse a x+b lahendamise põhimõte<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
Millel see põhineb? Väga lihtne: ebavõrdsuse lahenduse leidmisel. Kuidas? Jah, nii: olenemata sellest, millise muutuja x väärtuse me algse lineaarse ebavõrdsusega asendame, saame arvulise ebavõrdsuse kujul b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
Sõnastame ülaltoodud argumendid kujul lineaarvõrratuste lahendamise algoritm 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :
- Vaatleme arvulist ebavõrdsust b<0 (≤, >, ≥) ja
- kui see on tõsi, siis on algse võrratuse lahend suvaline arv;
- kui see on väär, siis algsel lineaarsel võrratusel pole lahendeid.
Nüüd mõistame seda näidete abil.
Näide.
Lahendage võrratus 0·x+7>0.
Lahendus.
Muutuja x mis tahes väärtuse korral muutub lineaarne võrratus 0 x+7>0 arvuliseks võrratuseks 7>0. Viimane ebavõrdsus on tõsi, seega on iga arv algse ebavõrdsuse lahendus.
Vastus:
lahendus on suvaline arv või (−∞, +∞) .
Näide.
Kas lineaarvõrratusel 0·x−12,7≥0 on lahendused?
Lahendus.
Kui asendada muutuja x asemel suvalise arvuga, muutub algne võrratus arvuliseks võrratuseks −12,7≥0, mis on vale. See tähendab, et ükski arv ei ole lineaarse ebavõrdsuse 0·x−12,7≥0 lahendus.
Vastus:
ei, ei ole.
Selle lõigu lõpetuseks analüüsime kahe lineaarse võrratuse lahendeid, mille mõlema koefitsiendid on võrdsed nulliga.
Näide.
Millisel lineaarvõrratustel 0·x+0>0 ja 0·x+0≥0 pole lahendeid ja millisel on lõpmata palju lahendeid?
Lahendus.
Kui asendada muutuja x asemel suvalise arvuga, saab esimene võrratus kujul 0>0 ja teine - 0≥0. Esimene neist on vale ja teine on õige. Järelikult ei ole lineaarsel võrratusel 0·x+0>0 lahendeid ja võrratusel 0·x+0≥0 on lõpmata palju lahendeid, nimelt on selle lahend suvaline arv.
Vastus:
võrratusel 0 x+0>0 pole lahendeid ja võrratusel 0 x+0≥0 on lõpmata palju lahendeid.
Intervall meetod
Üldjuhul õpitakse intervallide meetodit koolialgebra kursusel hiljem kui ühe muutuja lineaarvõrratuste lahendamise teemat. Kuid intervallmeetod võimaldab teil lahendada mitmesuguseid ebavõrdsusi, sealhulgas lineaarseid. Seetõttu peatume sellel.
Märgime kohe, et muutuja x nullist erineva koefitsiendiga lineaarsete võrratuste lahendamiseks on soovitatav kasutada intervallmeetodit. Vastasel juhul on kiirem ja mugavam teha järeldus ebavõrdsuse lahendamise kohta eelmise lõigu lõpus käsitletud meetodil.
Intervallmeetod tähendab
- sisestades funktsiooni, mis vastab ebavõrdsuse vasakule küljele, meie puhul - lineaarne funktsioon y=a x+b ,
- selle nullide leidmine, mis jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks,
- nendel intervallidel funktsiooniväärtusi omavate märkide määramine, mille põhjal tehakse järeldus lineaarse võrratuse lahendi kohta.
Kogume need hetked kokku algoritm, mis näitab, kuidas lahendada lineaarvõrratusi a x+b<0 (≤, >, ≥) a≠0 puhul intervallimeetodit kasutades:
- Leitakse funktsiooni y=a·x+b nullpunktid, mille puhul on lahendatud a·x+b=0. Nagu teada, on a≠0 korral sellel üks juur, mida tähistame kui x 0 .
- See on konstrueeritud ja sellel on kujutatud punkt koordinaadiga x 0. Pealegi, kui on otsustatud range ebavõrdsus(märgiga< или >), siis tehakse see punkt kirjavahemärgiga (tühja keskpunktiga) ja kui see ei ole range (märgiga ≤ või ≥), siis asetatakse tavaline punkt. See punkt jagab koordinaatjoone kaheks intervalliks (−∞, x 0) ja (x 0, +∞).
- Määratakse funktsiooni y=a·x+b märgid nendel intervallidel. Selleks arvutatakse selle funktsiooni väärtus intervalli suvalises punktis (−∞, x 0) ja selle väärtuse märgiks saab soovitud märk intervallil (−∞, x 0). Samamoodi kattub märk intervallil (x 0 , +∞) funktsiooni y=a·x+b väärtuse märgiga selle intervalli mis tahes punktis. Kuid saate teha ilma nende arvutusteta ja teha järeldusi märkide kohta koefitsiendi a väärtuse põhjal: kui a>0, siis on intervallidel (−∞, x 0) ja (x 0, +∞) märgid − ja + vastavalt ning kui a >0, siis + ja −.
- Kui lahendatakse ebavõrdsusi märkidega > või ≥, siis asetatakse plussmärgiga vahe kohale luuk ja kui lahendatakse ebavõrdsused märkidega< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.
Vaatleme näidet lineaarse võrratuse lahendamisest intervallmeetodil.
Näide.
Lahendage võrratus −3·x+12>0.
Lahendus.
Kuna me analüüsime intervallmeetodit, siis kasutame seda. Algoritmi järgi leiame kõigepealt võrrandi juure −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Järgmisena joonistame koordinaatjoone ja märgime sellele punkti koordinaadiga 4 ning teeme selle punkti punkteeritud, kuna lahendame range ebavõrdsuse: 
Nüüd määrame intervallidel olevad märgid. Märgi määramiseks intervallil (−∞, 4) saab arvutada funktsiooni y=−3·x+12 väärtuse, näiteks x=3 juures. Meil on −3·3+12=3>0, mis tähendab, et sellel intervallil on + märk. Märgi määramiseks teisel intervallil (4, +∞) saab arvutada funktsiooni y=−3 x+12 väärtuse näiteks punktis x=5. Meil on −3·5+12=−3<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
Kuna lahendame ebavõrdsust märgiga >, siis joonistame lünga kohale varjutuse + märgiga, joonis võtab kuju 
Saadud pildi põhjal järeldame, et soovitud lahendus on (−∞, 4) või mõnes muus tähises x<4 .
Vastus:
(−∞, 4) või x<4 .
Graafiliselt
Kasulik on mõista ühe muutuja lineaarse ebavõrdsuse lahendamise geomeetrilist tõlgendust. Selle saamiseks vaatleme nelja sama vasakpoolse küljega lineaarset võrratust: 0,5 x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0 ja 0,5 x−1≥0 , nende lahendid on x<2
, x≤2
, x>2 ja x≥2 ning joonestada ka lineaarfunktsiooni y=0,5 x−1 graafik. 
Seda on lihtne märgata
- võrratuse 0,5 x−1 lahend<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
- võrratuse 0,5 x−1≤0 lahend tähistab intervalli, milles funktsiooni y=0,5 x−1 graafik asub Ox-telje all või langeb sellega kokku (teisisõnu, mitte abstsissteljest kõrgemal),
- samamoodi on ebavõrdsuse 0,5 x−1>0 lahend intervall, milles funktsiooni graafik on Ox-telje kohal (see osa graafikust on näidatud punasega),
- ja võrratuse 0,5·x−1≥0 lahend on intervall, milles funktsiooni graafik on kõrgem või langeb kokku abstsissteljega.
Graafiline meetod võrratuste lahendamiseks, eeskätt lineaarne ja eeldab intervallide leidmist, milles võrratuse vasakule poolele vastava funktsiooni graafik asub võrratuse paremale poolele vastava funktsiooni graafiku kohal, all, mitte all või mitte üleval. Meie lineaarse ebavõrdsuse puhul on vasakule poolele vastav funktsioon y=a·x+b ja parempoolne y=0, langedes kokku Ox-teljega.
Arvestades esitatud teavet, on seda lihtne sõnastada algoritm lineaarsete võrratuste graafiliseks lahendamiseks:
- Koostatakse funktsiooni y=a x+b graafik (skemaatiliselt võimalik) ja
- võrratuse a x+b lahendamisel<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
- võrratuse a x+b≤0 lahendamisel määratakse intervall, milles graafik on madalam või ühtib Ox-teljega,
- võrratuse a x+b>0 lahendamisel määratakse intervall, milles graafik asub Ox-telje kohal,
- võrratuse a·x+b≥0 lahendamisel määratakse intervall, milles graafik on kõrgem või langeb kokku Ox-teljega.
Näide.
Lahendage ebavõrdsus 
graafiliselt.
Lahendus.
Visandame lineaarfunktsiooni graafiku 
. See on sirge, mis väheneb, kuna x koefitsient on negatiivne. Vajame ka selle lõikepunkti koordinaati x-teljega, see on võrrandi juur 
, mis on võrdne . Meie vajaduste jaoks ei pea me isegi Oy telge kujutama. Nii et meie skemaatiline joonis näeb välja selline 
Kuna lahendame võrratuse > märgiga, huvitab meid intervall, milles funktsiooni graafik asub Ox-telje kohal. Selguse huvides tõstame selle graafiku osa punasega esile ja sellele osale vastava intervalli hõlpsaks määramiseks tõstame punasega esile selle koordinaattasandi osa, milles graafiku valitud osa asub, nagu graafikus. joonis allpool: 
Lõhe, mis meid huvitab, on punasega esile tõstetud härja telje osa. Ilmselgelt on see avatud numbrikiir 
. See on lahendus, mida me otsime. Pange tähele, et kui me lahendaksime võrratuse mitte märgiga >, vaid mitterange ebavõrdsuse märgiga ≥, siis peaksime vastusesse lisama, kuna siinkohal on funktsiooni graafik langeb kokku Ox-teljega .y=0 x+7, mis on sama mis y=7, määrab koordinaattasandil sirge, teljega paralleelne Härg ja selle kohal lamamine. Seetõttu on võrratus 0 x+7<=0
не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7
ниже оси абсцисс.
Ja funktsiooni y=0·x+0 graafik, mis on sama mis y=0, on sirge, mis langeb kokku Ox-teljega. Seetõttu on võrratuse 0·x+0≥0 lahend kõigi reaalarvude hulk.
Vastus:
teise võrratuse lahendus on mis tahes reaalarv.
Lineaarseks taanduvad ebavõrdsused
Suure hulga võrratusi saab asendada ekvivalentsete lineaarsete võrratustega, kasutades ekvivalentseid teisendusi, teisisõnu taandada lineaarseks võrratuseks. Selliseid ebavõrdsusi nimetatakse ebavõrdsused, mis taanduvad lineaarseks.
Koolis käsitletakse peaaegu samaaegselt lineaarsete võrratuste lahendamisega ka lihtsaid võrratusi, mis taanduvad lineaarseteks. Need on erijuhtumid täielik ebavõrdsus, nimelt nende vasakus ja paremas osas on terved väljendid, mis esindavad või lineaarsed binoomid või on nendeks teisendatud ja . Selguse huvides toome mitu näidet selliste ebavõrdsuste kohta: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, 
.
Eespool nimetatutega vormilt sarnased ebavõrdsused võib alati taandada lineaarseteks. Seda saab teha sulgude avamise, sarnaste terminite toomise, terminite ümberpaigutamise ja vastupidise märgiga ebavõrdsuse ühelt poolelt teisele nihutamise teel.
Näiteks võrratuse 5−2 x>0 taandamiseks lineaarseks piisab selle vasaku külje terminite ümberkorraldamisest, meil on −2 x+5>0. Teise võrratuse 7·(x−1)+3≤4·x−2+x lineaarseks taandamiseks on vaja natuke rohkem tegevust: vasakul pool avame sulud 7 x−7+3≤4 x−2+x , peale seda toome mõlemasse ossa sarnased terminid 7 x−4≤5 x−2 , seejärel viime terminid paremalt üle külg vasakule 7·x−4−5·x+2≤0 , lõpuks esitame sarnased terminid vasakul küljel 2·x−2≤0 . Sarnasel viisil ja kolmanda ebavõrdsuse saab taandada lineaarseks võrratuseks.
Kuna selliseid ebavõrdsusi saab alati taandada lineaarseteks, nimetavad mõned autorid neid isegi lineaarseteks. Kuid me peame neid siiski lineaarseteks taandatavateks.
Nüüd saab selgeks, miks vaadeldakse selliseid ebavõrdsusi koos lineaarse ebavõrdsusega. Ja nende lahenduspõhimõte on absoluutselt sama: esinedes samaväärsed teisendused, saab need taandada elementaarseteks ebavõrdsusteks, mis esindavad soovitud lahendusi.
Seda tüüpi ebavõrdsuse lahendamiseks saate selle kõigepealt taandada lineaarseks ja seejärel lahendada see lineaarne ebavõrdsus. Kuid seda on ratsionaalsem ja mugavam teha:
- pärast sulgude avamist koguge kõik terminid, mille muutuja on ebavõrdsuse vasakul küljel ja kõik numbrid paremal,
- siis tooge sarnased terminid,
- ja seejärel jagage saadud võrratuse mõlemad pooled koefitsiendiga x (kui see muidugi erineb nullist). See annab vastuse.
Näide.
Lahendage võrratus 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.
Lahendus.
Kõigepealt avame sulud, mille tulemusena jõuame võrratuseni 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Nüüd anname sarnased terminid: 6 x+15≤6 x−17 . Järgmisena liigume tingimused välja vasak pool, saame 6 x+15−6 x+17≤0 ja jällegi toome sarnased liikmed (mis viib meid lineaarse võrratuseni 0 x+32≤0) ja saame 32≤0. Nii et me jõudsime valeni arvuline ebavõrdsus, millest järeldame, et algsel ebavõrdsusel pole lahendusi.
Vastus:
lahendusi pole.
Kokkuvõtteks märgime, et on palju muid ebavõrdsusi, mida saab taandada lineaarseteks või eespool käsitletud ebavõrdsusteks. Näiteks lahendus eksponentsiaalne ebavõrdsus 5 2 x−1 ≥1 taandub lineaarvõrratuse 2 x−1≥0 lahendamiseks. Aga sellest räägime siis, kui analüüsime vastavat tüüpi ebavõrdsuste lahendusi.
Bibliograafia.
- Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Algebra: 9. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2009. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 9. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovitš A.G. Algebra ja algus matemaatiline analüüs. 11. klass. Kell 14 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele ( profiili tase) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.